Оптимальные ударно-волновые системы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Р Г Б ОД

2 1 ДЕК 19ГЛ

На правах рукописи

ОМЕЛЬЧЕНКО АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ

ОПТИМАЛЬНЫЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫЕ СИСТЕМЫ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург — 1998

Работа выполнена в Балтийском государственном техни1 ском университете (ВОЕНМЕХ) им. Д.Ф. Устинова (г. Сан] Петербург).

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

доктор технических наук, профессор Усков В.Н.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

доктор физико-математических наук, профессор Баранцев Р.Г.

доктор технических наук, профессор Добросердов И.Л.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

Физико-технический институт им. А.Ф.Иоффе Российской Академии Наук

Защита состоится "24" декабря 1998 г. в "14" часов на засе; нии диссертационного совета К 063.57.13 по защите диссертаций соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургск государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петс бург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, д. 2, математш механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Саш Петербургского государственного университета по адресу: Саш Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан "_"_ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 063.57.13 доктор физико-математических наук,

профессор Нарбут М.

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В широком классе задач про-гирования устройств топливно-энергетического комплекса и ракет-■космической техники, создания новых наукоемких технологий в хи-ческой промышленности и металлургии необходимы эффективные годы расчета и управления параметрами сверхзвуковых течений, д управлением понимается получение таких параметров, или ре-мов, течения, при которых конкретное газодинамическое устрой-ю, как рабочий инструмент, наиболее эффективно выполняет свои нкции для рассматриваемой прикладной задачи. Одним из возможных способов управления сверхзвуковыми тече-тми является синтез в них оптимальных ударно-волновых систем и )уктур, обладающих особыми свойствами в отношении отдельных заметров течения. Введение в методики расчета сверхзвуковых те-шй задач об оптимальных ударно-волновых системах и структурах цественно осложняет используемый математический аппарат и за-,'дпяет газодинамическое проектирование конкретных технических :ройств. Разработка единых подходов и методов создания опти-пьных ударно-волновых структур в сверхзвуковых потоках и опре-гяет актуальность темы диссертационного исследования.

Цель работы: создание единой методологии проектирования и ;чета ударно-волновых систем и структур, обеспечивающих аксиальные значения газодинамических параметров за ними.

Научная новизна работы:

Получены аналитические зависимости, позволяющие по заданным значениям числа Маха невозмущенного потока, показателя адиабаты и интенсивностей входящих в систему волн рассчитать значение любой газодинамической переменной за системой. На основе этих зависимостей найдены аналитические решения в задачах построения ударно-волновых систем, оптимальных для полного и статического давлений, плотности, скоростного напора, акустического импеданса, угла поворота потока.

2. На примере задачи минимизации похерь полного давления в сист< ме, тормозящей поток до дозвуковых скоростей, показано, что ра< сматриваемые задачи являются задачами нелинейного програх мирования с нелинейными ограничениями - неравенствами. Прс веден параметрический анализ таких задач, доказана строгая л( кальная оптимальность.

3. Исследована геометрия тел, генерирующих оптимальные ударн< волновые системы. Доказана принципиальная возможность и< пользования таких систем при гиперзвуковых скоростях.

4. На примерах центрированной волны сжатия и регулярного отр; жения скачка уплотнения от стенки (плоскости симметрии) пр< анализирована возможность оптимизации ударно-волновых стру] тур. Получены аналитические решения, обеспечивающие экстр( мальныс значения газодинамических переменных за исходящим из области взаимодействия волнами.

Достоверность представленных результатов подтверждаете сравнением с экспериментальными и численными данными других а] торов, а также использованием точных аналитических соотношений

Практическая ценность работы. На основе проведенных иссл! дований получены явные аналитические решения, позволяющие дл заданной газодинамической переменной проектировать оптимальны ударно-волновые системы, состоящие из произвольного числа вол) Параметрическое исследование оптимальных ударно-волновых а стем и структур позволило углубить знания о закономерностях свер: звуковых течений. Анализ геометрии оптимальных ударно-волновы систем, а также учет взаимодействия входящих в систему волн позв< лили в ряде случаев указать границы применимости рассматривав мых способов управления сверхзвуковым потоком. Материалы дт сертационного исследования использованы в БГТУ при подготовь учебного пособия по курсу "Теория ударно-волновых систем и пр( цессов".

Положения, выносимые на защиту:

1. Аналитические решения, описывающие ударно-волновые системы, оптимальные для полного и статического давлений, плотности, скоростного напора, акустического импеданса, угла поворота потока.

2. Методика сведения рассматриваемых задач к задачам нелинейного программирования с нелинейными ограничениями - неравенствами и проверки полученных решений на строгую локальную оптимальность.

3. Методика учета взаимодействия волн, образующих оптимальные ударно-волновые системы, а также расчета оптимальных ударно-волновых структур.

Апробация работы. Основные результаты работы докладыва-ись на Международной конференции "Фундаментальные исследова-ия в аэрокосмической науке" (Москва, ЦАГИ, 1994); XVI Всерос-ийском семинаре "Струйные и нестационарные течения в газовой инамике" (Новосибирск, 1995); IV, V, VI и VII научных конферен-иях ученых России, Белоруссии и Украины "Прикладные пробле-ы механики жидкости и газа" (Севастополь, 1995, 1996, 1997, 1998); сероссийской научной конференции "Первые Поляховские чтения" Нанкт-Петербург, 1997); Всероссийских молодежных научных кон-еренциях "XXIII Гагаринские чтения" и "XXIV Гагаринские чтения" Москва, 1997, 1998); XVII Всероссийском семинаре "Течения газа и иазмы в соплах, струях и следах" (Санкт-Петербург, 1997); II Ме-дународной конференции по неравновесным процессам в соплах и груях (Санкт-Петербург, 1998); научном семинаре кафедры Плазмо-130динамических импульсных систем БГТУ под руководством проф. .Н. Ускова (Санкт-Петербург, 1996); научном семинаре кафедры ги-эоаэромеханшш математико-механического факультета СПбГУ под утководством проф. В.Г. Дулова (Санкт-Петербург, 1998).

Публикации. Материалы диссертационного исследования опу-тикованы в семнадцати научных трудах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения пяти глав, заключения и списка литературы из 51 наименования. Работа содержит 157 страниц, 52 рисунка и 1 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, фор мулируется цель работы, описывается структура диссертации, крат ко излагаются основные результаты.

В первой главе в рамках модели совершенного невязкого газа вво дятся понятия ударно-волновых систем и структур. Показывается что при фиксированных значениях числа Маха М 6 [1, оо) набегаю щего потока и показателя адиабаты 7 £ (1,2] все газодинамически! переменные за системой 5П, состоящей из п волн (рис.1), однознач но выражаются через соответствующие переменные до нее, а такж* через интенсивности = Рк/Рк-ь к = 1 ,...,п входящих в систем; волн [1].

В частности, доказывается следующая связь чисел Маха за и до си стемой:

1 + 8(М1 - 1) = (1 + е(М2 - (1

Здесь Ек - отношение плотностей на к -й волне, выражающееся чере Зь с помощью адиабаты Рэнкина - Гюгонио на скачке уплотения адиабаты Лапласа - Пуассона в волне Прандтля - Майера.

В прикладных задачах газовой динамики мерами 'качества' ударн волновых систем служат коэффициенты восстановления газодинамк ческих переменных К^ [1], представляющие собой отношение эле ментов множества к соответствующим параметрам торможения и

множества

= £ /Я

/о /о I

В случае, когда / 6 {р, р, (/ = рг>2,

г = ра}, коэффициенты выражаются через число Маха Мп за системой 5П и коэффициент потерь полного давления:

= т1 = т5"— =

/о /оп Ро

(3)

С учетом введенного понятия коэффициентов восстановления газодинамических переменных под оптимальными ударно-волновыми системами можно понимать системы, в которых коэффициенты К^Р достигают экстремальных значений.

л

Рис.2. Плоскость интенсивностей волн

Важную роль при анализе ударно-волновых систем и структур играет плоскость интенсивностей волн (рис.2) [1]. Проведенный во второй части главы анализ изомах на плоскости интенсивностей волн позволяет найти ряд особых интенсивностей, а также соответствующих им углов поворота, играющих важную роль при рассмотре-

нии оптимальных ударно-волновых систем и структур в последующих главах.

Во второй главе рассматриваются газодинамически обусловленные системы 5п,о-, интенсивность 3„ замыкающего скачка в которых является некоторой заданной функцией числа Маха М„ перед замыкающим скачком. Вид этой функции определяется из анализа элементарных оптимальных ударно-волновых систем.

Элементарными системами являются системы 50,а и , соответствующие течению без волн и течению с одиночным прямым скачком уплотнения. Доказывается [1], что в первой системе немонотонно ведет себя скоростной напор, а во второй - статическое давление, плотность и акустический импеданс. Определяются максимальные значения соответствующих коэффициентов восстановления, а также числа Маха М/, при которых эти значения достигаются.

Анализ элементарных систем служит основой для поиска оптимальных систем 5,-1(Г, состоящих из изоэнтропной волны г и замыкающего скачка уплотнения а. В частности, доказывается [1], что интенсивности волн в оптимальных системах должны быть такими, чтобы обеспечить особые числа Маха перед замыкающим скачком уплотнения: Мх = М/. Отсюда следует, что в случае М > М^ для максимального восстановления газодинамической переменной / следует использовать волну сжатия, а в случае М < М/ - волну разрежения.

Рассмотрение систем , содержащих косой скачок уплотнения 2, начинается с системы . Определяется максимальное значение коэффициента восстановления скоростного напора в такой системе, а также интенсивность косого скачка, при котором достигается максимум . Указывается диапазон интенсивностей косого скачка, в котором система Б^а оказывается эффективной с точки зрения восстановления скоростного напора. Исследуется влияние показателя адиабаты на рассматриваемые функции.

Описанный метод исследования оптимальных систем используется затем для анализа плотности, статического давления и акустического импеданса в системе Б^т, состоящей из косого и замыкающего прямого скачков.

В заключительной части данной главы полученные результаты

обобщаются на случай многоскачковых систем 5П,1Т [1]. Доказывается, что максимальные значения газодинамической переменной / достигаются, если интенсивности первых п скачков в системе равны между собой (/1 = ... = 7П = /). В частности, значения J, обеспечивающие максимальные величины коэффициентов к1?)а и А^п!) определяется по формуле

1 + е(М2 - 1) =

(1 + е)(7 + е)»-1'

(4)

а интенсивности, приводящие к максимуму функции Кп}т, находятся из соотношения

1 + е(М2 - 1) =

+

(1 + е)(1-е2)(Л-е)п-1-

(5)

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Рис.3. Зависимость М) в оптимальных системах

На рис.3 приведена зависимость максимального значения коэффициента восстановления К^а от числа Маха набегающего потока. Кривым 1-3 па этом рисунке отвечают числа п = 1,2,3, а прямая 4 соответствует значению коэффициента К^ в оптимальной системе с изоэнтропной волной.

В третьей главе рассматривается классическая задача газовой динамики - минимизация потерь полного давления при торможении сверхзвукового потока до дозвуковых скоростей в системе 5п+1 из п+ 1-го скачка уплотнения. Путем строгой формализации данная задача сводится к следующей задаче нелинейного программирования с нелинейными ограничениями - неравенствами [6]:

1(3)

Ы .

зеп

(6)

Входящая в (6) целевая функция /(/), 3 = (Ль...,, выражается через интенсивности составляющих систему скачков по формуле

п+1

ю = П

4=1

Зк\

а множество планов П экстремальной задачи описывается следующей системой неравенств:

Зк

/хП

*=1 п+1

1 > 0, к = 1,..п;

Зк + £

-"П

Зк (1 + еЗк) Зк + е

^ Зк (1 + еЗк)

1 > 0,

+ 1>0,

>0.

На этапе предварительного анализа задачи определяется точка 3*, подозрительная на экстремум. Все компоненты х этой точки равны между собой и вычисляются по формуле

а- 1 2е

■ +

' а — 1

> 2г

+ а, а - /л

1/(1+«)

(7)

С использованием аппарата теории нелинейного программирования доказывается [6], что она является точкой строгого локального минимума. Отмечается, что при п—юо система, соответствующая полученному решению, стремится к оптимальной изоэнтропной волне.

Из теории нелинейных экстремальных задач известно, что точка, удовлетворяющая условиям строгого локального минимума, является и точкой глобального минимума, если множество планов О, выпукло, и целевая функция также является выпуклой на П. Анализ активного ограничения рассматриваемой задачи показывает, что множество планов П выпукло при любых значениях п . Однако целевая функция /(с/), / £ П, уже при п = 1 выпуклой не является, и следовательно, для доказательства глобальной оптимальности необходим более тонкий анализ функции 7(7).

Для доказательства глобальной оптимальности решения рассматривается поведение целевой функции вдоль лучей ■/ = ]* + ¿Л, исходящих из точки строгого локального минимума 3* и лежащих в множестве планов П. Монотонное возрастание целевой функции вдоль этих лучей служило бы доказательством глобальной оптимальности. Однако факт монотонного возрастания удается доказать лишь для точек из области Пх, определяемой неравенствами ,7* > х, где х - компоненты вектора 7*. В области П* = П \ Пх поведение целевой функции носит более сложный характер, и вопрос о глобальной оптимальности решения для точек из множества О» остается открытым.

Наряду с задачей минимизации целевой функции большой интерес представляет поиск точки, в которой 7(7) достигает максимума. Доказывается, что максимальные потери полного давления обеспечивает прямой скачок уплотнения.

В четвертой главе исследуется геометрия тел, обтекание которых приводит к образованию оптимальных ударно-волновых систем. Анализ начинается с оптимальных систем с изоэнтропными волнами. Показывается [2], что угол поворота потока в таких системах монотонно возрастает с увеличением числа Маха, и, начиная с некоторого числа Маха МУ, превышает предельный угол поворота потока на скачке уплотнения. Последнее обстоятельство затрудняет использование систем в реальных технических объектах.

В отличие от систем , угол поворота потока во всех оптимальных многоскачковых системах ведет себя немонотонно, достигая максимума при некотором [2]. Затем во всех системах, кроме

систем с замыкающим звуковым скачком уплотнения, этот угол уменьшается до нуля. Отмеченный факт позволяет эффективно использовать эти системы для восстановления газодинамических переменных на гиперзвуковых скоростях.

Подходы, развитые при анализе ударно-волновых систем, опти-. мальных для газодинамических переменных, могут быть успешно применены к созданию систем , разворачивающих сверхзвуковой поток на макимально возможный угол [3]. Таким системам посвящена вторая часть главы.

Среди систем с замыкающим скачком уплотнения наибольший эффект дают системы 5,у с изоэнтропной волной. В случае М < М/ в качестве такой волны целесообразно использовать волну разрежения, а в случае М > М/ - волну сжатия. В первом случае увеличение суммарного угла достигается путем предварительного разворота потока в волне разрежения в направлении, противоположном углу поворота на замыкающем скачке.

Оптимальные системы с замыкающим скачком уплотнения дают выигрыш по сравнению с углом поворота потока на скачке. Однако при малых М этот угол меньше угла поворота потока на одиночной волне. Показывается [3], что для таких значений М целесообразно использовать оптимальные системы с замыкающей изоэнтропной волной.

В пятой главе рассматриваются проблемы оптимизации ударно-волновых структур. Основная часть главы посвящена подробному рассмотрению двух простейших ударно-волновых структур. Первая из них образуется в результате распада центрированной волны сжатия в ее сингулярной точке. Распад сопровождается образованием исходящих из точки распада результирующего скачка уплотнения и отраженной волны, тип которой может меняться в зависимости от значений исходных параметров.

Проведенный анализ данной задачи позволяет на плоскости опре-

деляющих параметров (/3, М) (Р - угол поворота потока в волне) выделить четыре характерных области (рис.4).

М

Рис.4. Характерные области в задаче о распаде центрированной волны сжатия

В областях О1 и О4 отраженная волна является волной разреже-ешя, в области О2 - скачком уплотнения, а в области Оз решение в рассматриваемой постановке отсутствует [4]. Приводятся аналитиче-:кие соотношения, описывающие границы этих областей. Исследуется влияние показателя адиабаты на положение указанных границ. Полученные результаты решения задачи о распаде центрированной золны сжатия используются затем для оптимизации газодинамиче-;ких параметров за исходящими из точки взаимодействия волнами.

Вторая структура, рассмотренная в данной главе с точки зрения )бразования потока с оптимальными свойствами, образуется в ре-;ультате регулярного отражения скачка уплотнения от стенки (плос-:ости симметрии), Проведенные расчеты показывают, что коэффи-щенты К^ восстановления газодинамических переменных меняются [емонотонно с изменением интенсивности падающего скачка. Опреде-гяются значения интенсивности скачка, при котором указанные коэффициенты достигают экстремума. Особое внимание уделяется опре-

делению диапазонов чисел Маха, в которых существуют оптимальные ударно-волновые структуры.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационного исследования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Получены основные соотношения в ударно-волновых системах, позволяющие по заданным значениям числа Маха набегающего потока, показателя адиабаты и интенсивностям входящих в систему волн однозначно определить все газодинамические параметры за последней волной в системе.

2. Исследованы на оптимальность газодинамически обусловленные системы, интенсивность замыкающего скачка в которых является заданной функцией от числа Маха перед ним. Для каждой из газодинамических переменных на основе анализа элементарных ударно-волновых систем определен вид этой функции. Получены аналитические решения, позволяющие определить интенсивности волн в системах, оптимальных для статического давления, плотности, скоростного напора, акустического импеданса.

3. Задача минимизации потерь полного давления при торможении потока до дозвуковых скоростей сведена к задаче нелинейного программирования с нелинейными ограничениями - неравенствами. Определена точка, подозрительная на экстремум и доказано, что она является точкой строгого локального минимума. Установлена связь полученного решения с оптимальной для полного давления изоэнтропной волной.

4. Исследована геометрия тел, реализующих оптимальные ударно-волновые системы. Проанализирована возможность использования различных оптимальных систем в реальных технических устройствах.

5. Рассмотрены системы, разворачивающие сверхзвуковой поток на максимально возможный угол. Получены аналитические зависи-

мости, позволяющие точно рассчитать такие системы. Доказана эффективность использования систем как с замыкающим скачком уплотнения, так и с замыкающей волной разрежения.

6. Проведен анализ основных особенностей оптимизации ударно-волновых структур. Решена задача о распаде центрированной волны сжатия в сингулярной точке волны. Результаты решения использованы для оптимизации газодинамических параметров за исходящими из точки взаимодействия волнами. Исследована на оптимальность ударно-волновая структура, образующаяся при регулярном отражении скачка уплотнения от стенки (плоскости симметрии).

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Полученные в диссертационной работе результаты изложены в семнадцати научных трудах, в том числе, опубликованы в следующих работах:

1. Омельченко A.B., Усков В.Н. Оптимальные ударно-волновые системы //Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1995. N6. С.118-126.

2. Омельченко A.B., Усков В.Н. Геометрия оптимальных ударно-волновых систем //Прикладная механика и техническая физика. 1997. Т.38. N5. С.29-35.

3. Омельченко A.B., Усков В.Н. Максимальные углы поворота сверхзвукового потока в ударно-волновых системах //Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1998. N3. С.148-156.

4. Омельченко A.B., Усков В.Н. Распад центрированной волны сжатия Прандтля - Майера в стационарном потоке газа //Прикладная механика и техническая физика. 1998. Т.39. N3. С.1-10.

5. Ерофеев В.К., Омельченко A.B., Усков В.Н. Анализ акустического импеданса в стационарных сверхзвуковых течениях //Инженерно-физический журнал. 1998. Т.71. N4. С.663-668.

6. Малоземов В.H., Омельченко А.В., Усков В.Н. О минимизации похерь полного давления при торможении сверхзвукового потока //Прикладная математика и механика. Т.62. Вып.б, 1998. С.1015-1021.

7. Усков В.Н., Омельченко А.В. Оптимальные ударно-волновые струкхуры //Тезисы международной конференции "Фундаменхаль-ные исследования в аэрокосмической науке". ЦАГИ. 1994. Книга 3. С. 68-70.

8. Омельченко А.В., Усков В.Н. Управление сверхзвуковым потоком //К 90-летию со дня рождения профессора Н.Н. Поляхова /Под ред. П.Е.Товстика. СПб.: Изд-во С.-Петербург-ского ун-та. 1997. С.183-184. (Прикладная механика. Вып. 10).

9. Омельченко А.В. Оптимальные ударно-волновые системы и их обобщения //Тезисы докладов молодежной научной конференции "XXIII Гагаринские чтения". М.: РГТУ-МАТИ. 1997. Часть 4. С.13-14.

10. Омельченко А.В. Минимизация потерь полного давления //Тезисы докладов XXIV Всероссийской молодежной научной конференции "Гагаринские чтения". М.: МГАТИ. 1998. Часть 3. С.7-8.

11. Омельченко А.В., Усков В.Н. Оптимальные ударно-волновые структуры, возникающие при взаимодействии сверхзвуковой нерасчетной струи с преградой //Тезисы докладов II Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. СПб. 22-26 июня 1998 г. С.122.

12. Omelchenko A.V., Uskov V.N. Principles of shock-wave systems optimisation under design of gasdynamical lasers //Proceeding of the XII International Symposium on Gas Flow and Chemical Lasers. St. Petersburg, Russia. 31 August - 5 September 1998. P. 52.

/

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

БАЛТИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Д. Ф. Устинова (ВОЕНМЕХ)

На правах рукописи

Омельченко Александр Владимирович

ОПТИМАЛЬНЫЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫЕ СИСТЕМЫ

Специальность 01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор технических наук, профессор В. Н. Усков

Санкт-Петербург 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Основные обозначения .............................................5

Введение........................................6

1 Ударно-волновые системы и структуры 13

1.1. Ударно-волновые системы..................................13

1.2. Интенсивность системы 5„.................14

1.3. Интенсивность системы 5П)(Т. Газодинамически обусловленные системы........................................16

1.4. Коэффициенты восстановления............................16

1.5. Угол поворота потока в системе..........................18

1.6. Ударно-волновые структуры..............................18

1.7. Плоскость интенсивностей волн..........................21

1.8. Изомаха скачка уплотнения................................23

1.9. Изомахи волны разрежения и волны сжатия............25

1.10. Необходимое условие существования ударно-волновых систем....................................................27

1.11. Оптимальные ударно-волновые системы и структуры. 27

2 Газодинамически обусловленные оптимальные ударно-волновые системы 28

2.1. Элементарные оптимальные системы 50)<т..............29

2.2. Оптимальные системы с изоэнтропными волнами. . 35

2.3. Скоростной напор за системой а......................37

2.4. Плотность за системой ................................43

2.5. Статическое давление за системой Sjtm................48

2.6. Акустический импеданс за системой ..............57

2.7. Многоскачковые системы, оптимальные для скоростного напора....................................................59

2.8. Другие оптимальные многоскачковые системы. ... 61

3 Минимизация потерь полного давления 62

3.1. Постановка задачи..........................................64

3.2. Формализация задачи........................................69

3.3. Предварительный анализ..................................71

3.4. Строгая локальная оптимальность........................72

3.5. Анализ результата..........................................75

3.6. Асимптотическое поведение решения....................76

3.7. Дополнительный анализ активного ограничения. . . 78

3.8. Дополнительный анализ целевой функции..............80

3.9. Анализ решения в случае п = 0........................81

3.10. Проверка решения на глобальную оптимальность. . 82

3.11. Максимум целевой функции................................86

3.12. Дополнение 1..................................................88

3.13. Дополнение 2..................................................91

4 Геометрия оптимальных ударно-волновых систем 93

4.1. Геометрия оптимальных систем с изоэнтропной волной..............................................................95

4.2. Геометрия оптимальных односкачковых систем. ... 99

4.3. Геометрия многоскачковых оптимальных ударно-волновых систем.............................102

4.4. Простейшие ударно-волновые системы, обеспечивающие максимальный угол поворота потока......103

4.5. Оптимальные ударно-волновые системы S^l с замыкающим скачком уплотнения а..............106

4.6. Оптимальные ударно-волновые системы S^fj с замыкающей изоэнтропной волной i..............Ill

4.7. Геометрически обусловленные оптимальные ударно-волновые системы......................114

5 Простейшие оптимальные ударно-волновые структуры 117

5.1. Особенности оптимизации ударно-волновых структур. 119

5.2. Постановка задачи о распаде центрированной волны сжатия.............................121

5.3. Решение задачи о распаде центрированной волны. . 125

5.4. Использование результатов решения задачи при анализе оптимальных изоэнтропных волн сжатия.....132

5.5. Задача регулярного отражения скачка уплотнения

от стенки...........................136

5.6. Особые числа Маха и интенсивности скачков.....138

5.7. Скачки уплотнения равной интенсивности.......141

5.8. Оптимальные интенсивности системы..........145

Заключение..............................151

Библиографический список использованной литературы . . 153

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

М — Число Маха; 7 — показатель адиабаты; J — интенсивность волны; 5 — ударно-волновая система; / — интенсивность системы; К — коэффициент восстановления; / — произвольная газодинамическая переменная; р — статическое давление; Т — температура; р — плотность; ё — скоростной напор; г — акустический импеданс; /х, т — изоэнтропные функции; £, к — функции от 7 ; ¡3 — угол поворота потока в волне; — множество планов.

Нижние индексы относятся

к ....... к параметрам за к-й волной;

5 — к параметрам за системой;

а — к параметрам за замыкающим скачком;

0 — к параметрам торможения;

т — к параметрам на прямом скачке уплотнения;

а — к параметрам на слабом скачке уплотнения;

* — к параметрам в звуковой волне.

Верхние индексы относятся

^ — к газодинамической переменной / ;

— к скачку уплотнения; ^ — к изоэнтропной волне;

— к волне разрежения;

Введение

Проблема управления параметрами сверхзвукового потока путем генерации в нем ударно-волновых систем, обеспечивающих экстремальные значения газодинамических переменных за ними, является актуальной для решения многих прикладных задач, связанных со взрывами, вылетом снаряда из ствола, сверхзвуковым полетом летательных аппаратов, истечением струй из сопел реактивных двигателей при сверхкритических перепадах давления, взаимодействием сверхзвуковых струй с преградами, газодинамическим конструированием сверхзвуковых воздухозаборников [40] и т.д.

Само понятие оптимальных ударно-волновых систем возникло при решении конкретной практической задачи, связанной с получением максимального восстановления полного давления во входном диффузоре реактивного двигателя. Данная задача возникла в середине 40-х годов в связи с проблемой конструирования эффективных сверхзвуковых воздухозаборников. Одной из первых работ, посвященных данной проблеме, была работа К.Осватича (см. библиографию в [6]). В этой работе рассматривались системы, состоящие из п косых и замыкающего (п + 1)-го прямого скачка уплотнения. Оказалось, что такие системы при любых интенсивностях первых п косых скачков являются с точки зрения потерь полного давления эффективнее одиночного прямого скачка. При этом для заданных числа Маха М невозмущенного потока и количества п косых скачков существуют оптимальные значения интенсивностей косых скачков, при которых потери полного давления минимальны.

Результаты работы К.Осватича, выполненной в 1943 году в Германии и засекреченной, после окончания Второй Мировой войны оказались в США. В 1947 году Г.И.Петров и Е.П.Ухов предложили численное решение указанной задачи (см.[24]). При

этом они, в отличие от К.Осватича, рассмотрели не только системы с замыкающим прямым скачком уплотнения, но и системы, состоящие из п косых и замыкающего звукового скачка. Как оказалось, последние обеспечивают лучшее восстановление полного давления [24].

Аналитические решения поставленных задач в те годы получены не были. Это было обусловлено, прежде всего, отсутствием простых и удобных для проведения аналитических выкладок соотношений, связывающих значения газодинамических параметров как на отдельной волне, так и в ударно-волновой системе. В современном, удобном для практики виде соотношения на косом скачке уплотнения получил Ф.Шуберт в 1943 г. Однако до начала исследований, связанных с взаимодействием ударных волн, результаты Ф.Шуберта широкую известность не получили.

В конце сороковых годы появилась группа работ, посвящен- V ных исследованию взаимодействия газодинамических разрывов между собой и с твердой поверхностью, и, в первую очередь, ма-ховского отражения ударной волны. Интерес к этой проблеме был обусловлен появлением взрывных устройств большой мощности [43]. Правда, в акустической постановке задача об отражении волны от стенки была решена значительно раньше (А. Зоммер-фельд, 1901 г.), а тройные конфигурации ударных волн наблюдались еще Э.Махом, однако эти исследования не носили систематического характера.

Первые комплексные (экспериментальные и теоретические) исследования отражения ударных волн от твердой поверхности выполнены Г.Эгинком (1943 г.), Л.Смитом (1945 г.), В.Бликнеем и А.Таубом (1946 г.) [43, 41]. Теория "разветвленных" скачков уплотнения, первоначально предназначенная для объяснения эффектов взаимодействия скачка с пограничным слоем на стенке, разработана А.Вейзе, Г.Эгинком и Ф.Веккеном (1943 г.) [4]. По совету Толмина в новой форме, более простой и удобной в применении на практике, эту теорию представил В.Вуст [5]. Для анализа течения в точке ветвления скачков он ввел "сердцевидные"

кривые на плоскости Л = 1п(р1/р), ¡3 {(5 - угол поворота потока на косом скачке уплотнения) и использовал соотношение Ф.Шуберта для описания параметров за скачком.

Основополагающие теоретические и экспериментальные исследования нерегулярного (маховского) отражения нестационарной ударной волны от твердой поверхности были выполнены примерно в эти же годы Дж.Нейманом [50], Л.Д.Ландау [12], Л. Смитом, Ф.Веккеном [4], А.Кабаннбй [42]. Теория Неймана, известная под названием "трехударной", получила дальнейшее развитие и с успехом используется для исследования тройных конфигураций ударных волн как в стационарных, так и в нестационарных потоках. Наиболее полно достижения теории ударных волн, полученные в 40-е - 50-е годы, изложены в работах Р.Куранта и К.Фридрихса (1950 г.) [11], а также Л.Д.Ландау (1953 г.) [12]. Последний разработал некоторые основные принципы образования всевозможных ударно-волновых конфигураций.

В 60-е годы теория интерференции разрывов получила наибольшее развитие в работах Л.Хендерсона [44, 45, 46]. Среди работ отечественных авторов в это время следует отметить исследования Г.Г.Черного [38], Л.Б.Зельдовича [10]. Результаты целого Vх ряда исследований взаимодействия ударных волн, появившихся в это время, стали классическими [36, 37, 26, 7, 28].

В основу данного исследования легли соотношения на скачке уплотнения и в волне Прандтля - Майера, полученные в 70-е - 80-е годы В.Н.Усковым [2, 29, 30] при решении задач интерференции стационарных газодинамических разрывов. В качестве основной независимой переменной он предложил использовать интенсивность волны, представляющую собой отношение статических давлений за волной и до нее. Им же впервые был проведен подробный анализ изомах на плоскости А, /3 интенсивностей волн [30], отображающих возможные значения интенсивности одиночной волны, а также угла поворота потока на ней при фиксированном значении числа Маха набегающего потока. Анализ изомах на плоскости интенсивностей волн позволил В.Н.Ускову найти

ряд простейших оптимальных ударно-волновых систем и использовать полученные результаты в задачах взаимодействия струи с преградой.

Целью настоящей работы являлось создание единой методологии проектирования и расчета ударно-волновых систем и структур, обеспечивающих экстремальные значения газодинамических параметров за ними.

В главе 1 на основе соотношений для отдельной волны получена связь газодинамических переменных в системе, состоящей из произвольного числа скачков уплотнения и волн Прандтля -Майера. Проведен анализ изомах на плоскости интенсивностей волн, получен ряд особых интенсивностей, а также соответствующих им углов поворота, играющих важную роль при рассмотрении оптимальных ударно-волновых систем и структур в последующих главах. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [14, 31, 32].

В главе 2 изложена методология построения газодинамически обусловленных оптимальных ударно-волновых систем 5П1<Т, интенсивность Ja замыкающего скачка в которых является некоторой заданной функцией числа Маха Мп перед замыкающим скачком. Получены аналитические решения, позволяющие определить интенсивности волн в оптимальных системах. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [9, 14, 18, 19, 34].

В главе 3 классическая задача газовой динамики, связанная с минимизацией потерь полного давления при торможении сверхзвукового потока до дозвуковых скоростей в системе 5п+1 из п+1-го скачка уплотнения, сводится к задаче нелинейного программирования с нелинейными ограничениями - неравенствами. Определяется точка, подозрительная на экстремум, и доказывается, что она является точкой строгого локального минимума. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [13, 21].

В главе 4 исследуется геометрия оптимальных ударно-волновых систем, а также рассматриваются системы, обеспечивающие максимальный угол поворота сверхзвукового потока. Основные

результаты этой главы опубликованы в работах [15, 16, 23, 33].

В главе 5 анализируются особенности оптимизации ударно-волновых структур. Подробно исследуются на оптимальность ударно-волновые структуры, образующиеся при распаде центрированной волны сжатия и при регулярном отражении скачка уплотнения от стенки (плоскости симметрии). Основные результаты этой главы опубликованы в работах [17, 20, 22, 51].

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Аналитические решения, описывающие ударно-волновые системы, оптимальные для полного и статического давлений, плотности, скоростного напора, акустического импеданса, угла поворота потока.

2. Методика сведения рассматриваемых задач к задачам нелинейного программирования с нелинейными ограничениями -неравенствами и проверки полученных решений на строгую локальную оптимальность.

3. Методика учета взаимодействия волн, образующих оптимальные ударно-волновые системы, а также расчета оптимальных ударно-волновых структур.

В работе получены следующие новые научные результаты:

1. Получены аналитические зависимости, позволяющие по заданным значениям числа Маха невозмущенного потока, показателя адиабаты и интенсивностей входящих в систему волн рассчитать значение любой газодинамической переменной за системой. На основе этих зависимостей найдены аналитические решения в задачах построения ударно-волновых систем, оптимальных для полного и статического давлений, плотности, скоростного напора, акустического импеданса, угла поворота потока.

2. На примере задачи минимизации потерь полного давления в системе, тормозящей поток до дозвуковых скоростей, показано, что рассматриваемые задачи являются задачами нелинейного программирования с нелинейными ограничениями - неравенствами. Проведен параметрический анализ таких задач, доказана строгая локальная оптимальность.

3. Исследована геометрия тел, генерирующих ударно-волновые системы. Доказана принципиальная возможность использования таких систем при гиперзвуковых скоростях.

4. На примерах центрированной волны сжатия и регулярного отражения скачка уплотнения от стенки (плоскости симметрии) проанализирована возможность оптимизации ударно-волновых структур. Получены аналитические решения, обеспечивающие экстремальные значения газодинамических переменных за исходящими из области взаимодействия волнами.

Практическая ценность работы заключается в том, что на основе проведенных исследований получены явные аналитические решения, позволяющие для заданной газодинамической переменной проектировать оптимальные ударно-волновые системы, состоящие из произвольного числа волн. Параметрическое исследование оптимальных ударно-волновых систем и структур позволило углубить знания о закономерностях сверхзвуковых течений. Анализ геометрии оптимальных ударно-волновых систем, а также учет взаимодействия входящих в систему волн позволил в ряде случаев указать границы применимости рассматриваемых способов управления сверхзвуковым потоком. Материалы диссертационного исследования использованы в БГТУ при подготовке учебного пособия по курсу "Теория ударно-волновых систем и процессов".

По материалам диссертационного исследования опубликовано 6 статей в журналах "Прикладная математика и механика", "Известия РАН. Механика жидкости и газа", "Прикладная меха-

ника и техническая физика", "Инженерно-физический журнал".

Основные результаты работы доложены и обсуждены на Международной конференции "Фундаментальные исследования в аэрокосмической науке" (Москва, ЦАГИ, 1994); XVI Всероссийском семинаре "Струйные и нестационарные течения в газовой динамике" (Новосибирск, 1995); IV, V и VI научных конференциях ученых России, Белоруссии и Украины "Прикладные проблемы механики жидкости и газа" (Севастополь, 1995, 1996, 1998); научном семинаре кафедры Плазмогазодинамических импульсных систем БГТУ под руководством проф. В.Н. Ускова (Санкт-Петербург, 1996); Всероссийской научной конференции "Первые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 1997); Всероссийских молодежных научных конференциях "XXIII Гагаринские чтения" и "XXIV Гагарин-ские чтения" (Москва, 1997, 1998); XVII Всероссийском семинаре "Течения газа и плазмы в соплах, струях и следах" (Санкт-Петербург, 1997); II Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Сантк-Петербург, 1998); XII Международном симпозиуме по газовым и химическим лазерам; научном семинаре кафедры гидроаэромеханики математико-�