Оптимизация электронно-оптических каналов на основе модели локально холодного пучка тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.20 ВАК РФ

На правах рукописи

МИТИНСКИЙ Сергей Владимирович

ОПТИМИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОННО-ОПТИЧЕСКИХ КАНАЛОВ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ ЛОКАЛЬНО ХОЛОДНОГО ПУЧКА

01.04.20 - физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

НОВОСИБИРСК - 2008

003455811

Работа выполнена в Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН

ОФИЦИАЛЬНЫ!' О! Ш01 ШИТЫ:

Корчуганов Владимир Николаевич

доктор физико-математических наук.

Мсшкон

Игорь Николаевич

доктор физико-математических наук, член-корр. РАИ.

Тимченко

доктор физико-математических наук.

Николай Алексеевич

ВЕДУЩАЯ ОРГА1ШЗАЦИЯ: Институт физических проблем

в " /О " часов на заседании ______г.„.,__________ _______,J3.016.03

Института ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАИ.

Адрес: 630090, г. Новосибирск-90,

проспект академика Лаврентьева, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЯФ им. Г.И. Будкера СО РАН.

Автореферат разослан ¿¿•ОсЯ 2008 г.

им. ПЛ. Капицы РАН, г. Москва.

Защита диссертации состоится

г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

А.А. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Один из главных показателей качества пучка - поперечный эмиттанс (обычно прилагательное "поперечный" опускается) - есть мера эффективного объема, занимаемого пучком в поперечной фазовой плоскости (ФП). В широко распространенных до сих пор циклических ускорительных машинах эмиттанс определяется конкуренцией процессов возбуждения и затухания бетатронных колебаний. В машинах с конечной длиной траектории пучка эффект таких процессов, как правило, чрезвычайно мал и эмиттанс определяется (¿) свойствами эмиттера, (п) нелинейностью и (ш) временной зависимостью фокусировки, а также (¡у) рядом коллективных эффектов: (а) кильватерным полем, (Ь) когерентным синхротронным излучением и (с) эффектом собственного заряда. В связи с возрастающим количеством таких машин и успехами технологии в создании сильноточных эмиттеров с малым эмиттан-сом резко возрос интерес к сохранению рекордно малого эмиттанса сильноточного пучка до места его использования, так что изучение коллективных эффектов и уменьшение их влияния на эмиттанс представляются крайне актуальными. В последнее время имеется особый спрос на машины с предельно малым эмиттансом, 1 мм-мрад (нормализованный) и менее, и большим пиковым током - сотни и тысячи ампер. Такие машины используются в коротковолновых лазерах на свободных электронах, линейных коллайдерах, комптоновских источниках излучения и источниках синхротронного излучения четвертого поколения на базе ускорителей-рекуператоров.

В ряду эффектов собственный заряд превалирует в тех частях машины, где энергия пучка относительно невелика. Его влияние падает обратно пропорционально энергии и квадрату размера пучка. Можно сказать, что влияние собственного заряда преобладает, если поперечная потенциальная энергия частиц в его поле много больше, чем их кинетическая энергия. Таким образом, собственный заряд превалирует в электронных пушках и инжекторах ускорителей. При разработке таких инжекторов важно (I) знать оценку минимально возможного эмиттанса при заданных технологических параметрах машины и (II) представлять в некотором приближении ее гео-

метрию для последующей прецизионной численной оптимизации. Для этого необходима простая, понятная и достоверная модель процессов в пучке с преобладанием собственного заряда. Такая модель важна и для понимания явлений в инжекторах.

За последнее время наука существенно продвинулась в этом направлении: разработаны различные модели пучка с собственным зарядом, получены некоторые оценки увеличения эмиттанса под действием собственного заряда, а также обнаружено численно и экспериментально, что эмиттанс может не только увеличиваться, но и уменьшаться под действием собственного заряда. Имеется качественное объяснение этого явления и некоторые аналитические модели. Тем не менее, простой, понятной и адекватной аналитической модели данного явления до сих пор нет, а оценки (I) и (И) получены лишь для некоторых определенных конструкций машин численными методами. В связи с этим весьма актуальным представляется разработка адекватной модели движения пучка с собственным зарядом и эволюции его эмиттанса, а также получение на ее основе универсальных оценок эмиттанса и параметров машин.

Предмет исследования

Влияние собственного заряда и других факторов на эмиттанс пучка в инжекторе.

Цель работы и задачи

Цели работы - (0 минимизировать эмиттанс пучка на выходе из инжектора, получить оценку эмиттанса и (¿11) получить оценки параметров оптимальной машины. Задача состоит в построении адекватной модели процессов в пучке с превалированием собственного заряда, а также в получении аналитических и численных оценок на основе этой модели.

Методы исследования

Использовались аналитические и численные модели пучка с собственным зарядом с разумными предположениями и упрощениями. Для аналитических и численных оценок применена модель локально холодного длинного сгустка. В основном рассматриваются аксиально-симметричные системы с линейными внешними фокусирующими полями. В таких системах движение слоя (поперечного сечения) сгустка и частицы в слое описывается известным уравнением Капчинского-Владимирского. Рассматривается главная траектория в ФП - решение основного уравнения с заданными начальными условиями. Главная траектория масштабируется пропорционально корню из тока.

Выведено линеаризованное уравнения для безразмерного отклонения от главной траектории - оно не зависит явно от фокусировки и его решения носят колебательный характер. Когерентность этих зарядовых колебаний приводит к колебаниям эмиттанса. Условия минимума эмиттанса получены из свойств линеаризованного уравнения. Аналитические оценки эмиттанса в минимумах и максимумах получены добавлением в линеаризованное уравнение высших членов разложения правой части исходного уравнения в ряд. Учет этих поправок приводит к сдвигу волнового числа зарядовых колебаний. Численные оценки получены интегрированием исходного нелинейного уравнения.

Для пушек получены численные оценки вне рамок данной модели, однако, оптимизация корректирующего канала, предназначенного для оптимизации эмиттанса, проведена аналогично остальным каналам. Для оценки других эффектов, влияющих на эмиттанс в пушках, использованы различные аналитические и численные модели.

Защищаемые положения

1. Для модели локально холодного пучка предложена концепция масштабируемой главной траектории в поперечном фазовом пространстве - решения уравнения движения одного из слоев сгустка либо одной из частиц в слое. Главные траектории всех слоев в сгустке либо всех частиц в слое подобны.

2. Выведено линеаризованное уравнение для безразмерного отклонения от главной траектории. Оно не зависит явно от фокусировки, все его решения носят колебательный характер. Волновое число его решений - зарядовых колебаний - не зависит от амплитуды.

3. Показано, что наблюдаемые колебания эмиттанса являются фундаментальным свойством пучка с превалированием собственного заряда и не зависят явно от фокусировки в канале. Они являются следствием когерентности зарядовых колебаний.

4. Предложены определения фазы и относительной амплитуды зарядовых колебаний - эти величины вычисляются из элементов С и С' матрицы преобразования (значение и производная соБ-подобной траектории), определяемой линеаризованным уравнением. Выведены также формулы для получения этих величин из дифференциальных характеристик сгустка.

5. Получены два альтернативных критерия минимума эмиттанса: нулевая производная безразмерного отклонения либо кратность п зарядовой фазы.

6. Получена оценка нелинейного сдвига волнового числа зарядовых колебаний. На основе нее получена универсальная формула для оценки эмит-

танса в оптимальных каналах. Коэффициенты в этой формуле оценены аналитически и численно для различных типов каналов и эффектов. Оценены и параметры оптимальных каналов.

7. Показано, что та же формула для оценки эмиттанса верна и для электронных пушек. Коэффициенты в этом случае получены численно для ряда пушек различной геометрии. Сформулированы требования к оптимальной геометрии импульсной пушки. Продемонстрировано, что добавление к пушке оптимального канала уменьшает эмиттанс пучка в 2...15 раз.

8. На основе модели разработан эффективный код для численной оптимизации акцептанса электронно-оптических каналов для пучка с заданным начальным током, размерами и наклонами. С помощью этого кода успешно оптимизированы несколько электронных каналов.

Научная новизна работы

На основе модели локально холодного длинного сгустка построена общая модель движения пучка с превалированием собственного заряда. Эффекты продольной и поперечной неоднородностей заряда рассматриваются с единых позиций и описываются схожими уравнениями. Их проявления качественно одинаковы - это колебания эмиттанса.

Предложена концепция главной траектории - решения исходного нелинейного уравнения движения с заданными начальными условиями. Главная траектория масштабируется пропорционально корню из тока. В качестве главной выбирается траектория одного из слоев сгустка или одной из частиц слоя. Движение прочих рассматривается как возмущение соответствующей главной траектории.

Выведено линеаризованное уравнение для безразмерного отклонения от главной траектории. Оно не содержит явно фокусировки в канале и зависит лишь от параметров пучка. Его решения всегда носят колебательный характер, предложено называть их зарядовыми колебаниями. Зарядовые колебания различных слоев или частиц в слое когерентны в линейном приближении. Это приводит к колебаниям эмиттанса пучка. Таким образом, показано, что наблюдающиеся колебания эмиттанса пучка с превалированием собственного заряда являются фундаментальным свойством самого пучка и не связаны непосредственно с фокусировкой.

Показано, что выбор траектории движения одного из слоев сгустка или одной из частиц слоя в качестве главной имеет критическое значение. Лишь в этом случае относительная амплитуда зарядовых колебаний мала в окрестности этого объекта и движение пучка поддается анализу в линейном приближении. Если выбрать главное решение из других соображений (на-

пример, какое-либо известное аналитическое решение исходного нелинейного уравнения), амплитуды будут не малы и линейный анализ невозможен.

Получены критерии минимума эмиттанса в канале: нулевой наклон безразмерного отклонения или кратность я фазы зарядовых колебаний, определенной из свойств линейного уравнения.

Из-за нелинейности зарядовые колебания не полностью когерентны -нелинейная добавка приводит к сдвигу волнового числа. Величина этого сдвига получена из высших членов разложения в ряд правой части исходного уравнения. На основе выведенной формулы сдвига волнового числа получены аналитические оценки эмиттанса в минимумах и параметров оптимальных каналов. Такие же оценки получены и для максимумов. Выведена общая формула для оценки эмиттанса, внесенного оптимальной системой с превалированием собственного заряда. Варьируется лишь безразмерный коэффициент, зависящий от типа системы и распределения заряда. Полученные аналитически коэффициенты для различных типов каналов уточнены численно решением исходного нелинейного уравнения. Показано, что эмитанс в конце оптимального канала может быть в разы и десятки раз меньше, чем в неоптимальном.

Из анализа движения пучка в пушках получена формула для оценки эмиттанса - она в точности такая же, как и для электронных каналов. Движение пучка в пушке не соответствует описанной выше модели, так что коэффициенты получены численно. При этом движение в корректирующем канале после пушки происходило согласно описанной модели. Показано, что оптимальный корректирующий канал способен уменьшить эмиттанс пучка в 2... 15 раз. Определены рекомендации по геометрии импульсных пушек.

На основе изложенной модели разработан код для численной оптимизации акцептанса электронно-оптических каналов для пучков с превалированием собственного заряда. В силу использованной модели код на много порядков эффективнее для поставленной задачи, чем традиционные коды, оперирующие макрочастицами.

Научная и практическая ценность работы

Научная ценность данной работы - это простая и наглядная линейная модель процессов в пучке заряженных частиц с превалирующим собственным зарядом. Она дает адекватное представление о сущности колебаний эмиттанса в таком пучке. С ее использованием возможно также получить оценки эмиттанса и параметров оптимальных каналов. Модель адекватна также для пучков с эллиптической симметрией и ненулевым микроскопическим эмиттансом.

Практическая ценность состоит в полученных оценках эмиттанса каналов и пушек и их оптимальных параметров. При проектировании инжекто-

ров с предельно малым эмиттансом нетривиальны вопросы о минимально достижимом эмиттансе и выборе параметров машины. Обычно они решаются более или менее успешно численным моделированием с помощью каких-либо общепринятых либо специализированных кодов. При этом необходима оптимизация по большому числу параметров. Так как эффективность таких кодов оставляет желать лучшего, а начальное приближение известно очень неточно, процесс чрезвычайно трудоемок и занимает много времени. Знание хорошего начального приближения и понимание механизмов процессов в пучке резко сокращают время оптимизации.

Наконец, разработанный на базе упомянутой модели код позволяет весьма быстро оптимизировать электронно-оптические каналы на предмет потерь пучка. Это один из важнейших параметров ускорителей-рекуператоров с высокой реактивной мощностью. Хотя в работе рассматривались, в основном, электронные пучки, все полученные результаты могут быть применены без ограничений к протонным и ионным машинам с ограниченной длиной траектории.

Апробация диссертации

Материалы исследования докладывались и получили положительную оценку на следующих научных конференциях: AFEL'97, Hirakata, Osaka, Japan, Jan. 21-24, 1997; XII National Conf. SR-98, July 13-18, 1998, Novosibirsk, Russia; XVI совещание по ускорителям заряженных частиц, Протвино, 20 - 22 октября, 1998; 13th International Conference on High-Power Particle Beams June 25-30, 2000, Nagaoka, Niigata 940-0048, Japan; APAC'01, September 17-21, 2001 Beijing, China; 24th International Free Electron Laser Conference, September 9-13, 2002, Argonne, Illinois, USA; APAC2004, March 22-26 2004, Gyeongju, Korea; ICAP'04, June 29 - July 4 2004, St.-Petersburg, Russia; XV International Synchrotron Radiation Conference SR-2004, July 19-23, 2004, Novosibirsk, Russia; FEL2005, Stanford Univ., Palo Alto, California, USA, Aug 21-26 2005; XIX International Workshop on Charged Particle Accelerators, September 12-18, 2005, Alushta, the Crimea, Ukraine; EPAC 2006, Edinburgh, UK 26-30 June 2006; XVI International Synchrotron Radiation Conference SR-2006, Novosibirsk, Russia, 10-15 July 2006; XXth Russian Conference on Charged Particle Accelerators RuPAC 2006, Novosibirsk, Russia, September 1014, 2006; Asian Particle Accelerator Conference APAC 2007, Indore, India , Jan 29 - Feb 2 2007; FEL 2007, Aug 26-31, Budker INP, Novosibirsk, Russia; Advanced Beam Dynamics Workshop NANOBEAM-2008, Novosibirsk, Russia, May 25-30, 2008; XVII International Synchrotron Radiation Conference SR-2008, Novosibirsk, Russia, 15-20 June 2008.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

Во Введении показана актуальность работы, сформулированы предмет, цели, задачи и методы исследования, научная новизна и практическая значимость труда, приведена апробация результатов.

В Главе 1 приведен анализ состояния проблемы и сформулирована научная задача. Качество пучка заряженных частиц есть важнейшая характеристика ускорителя. Ограничим рассмотрение тремя показателями качества: эмиттансом

где 4 - одна из поперечных координат частицы: х - в главной плоскости машины (обычно горизонтальная) или у - ей перпендикулярная; '- наклон траектории частицы, то есть производная по координате г вдоль орбиты пучка; а <...> - усреднение по всему пучку при заданном г; током /; а также яркостью

Задача проектирования ускорителя всегда включает в себя оптимизацию качества пучка. До детальной оптимизации численными методами, еще на этапе предварительного проекта крайне желательно уметь оценить с достаточной точностью, какие именно параметры пучка следует ожидать от машины. Для численной же оптимизации весьма полезно иметь хорошее начальное приближение геометрии и параметров машины.

Пусть на некотором этапе определены необходимый ток пучка и концепция машины. Тогда в рамках данных ограничений надлежит сделать обоснованный вывод о достижимых поперечном и продольном эмиттансах. Оставим за пределами данного рассмотрения кольцевые машины и продольный эмиттанс. Будем рассматривать лишь поперечное движение в машинах с конечной длиной траектории. В этом случае, пренебрегая такими малыми эффектами, как некогерентное синхротронное излучение, рассеяние на остаточном газе и столкновения частиц в пучке, можно считать движение частиц в ускорителе детерминированным. Таким образом, параметры пучка могут быть найдены решением уравнений движения.

Известны, как минимум, следующие факторы, влияющие на эмиттанс: 1. Конечный фазовый объем пучка с эмиттера, определяемый различными факторами.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

2. Силы собственного заряда пучка.

3. Аберрации фокусирующих линз и поворотных магнитов.

4. Когерентное синхротронное излучение в поворотах при высокой энергии.

Остановим свое внимание на втором факторе. Он наиболее значим, пока энергия пучка не слишком велика - по мере повышения энергии вклад собственного заряда в эмиттанс падает. Поэтому наиболее критической частью ускорителя с этой точки зрения является инжектор. Надлежит выяснить, как именно действует собственный заряд на эмиттанс в инжекторе и как это действие можно ослабить.

Прежде всего необходимо получить уравнения движения пучка с собственным зарядом во внешних фокусирующих полях в подходящем приближении. Уравнение движения круглого однородно заряженного пучка без эмиттанса и энергетического разброса в линейном аксиально-симметричном внешнем фокусирующем поле в параксиальном приближении достаточно тривиально

, 21 „

г "Ш~г-Сг- <3)

где г - радиус пучка, / - ток, /0 = 4к-тс2¡2йе ~ 17045 А для электронов -ток Альвена, р = у/с - отношение продольной скорости частицы к скорости

света, у = ^1/(1-р2) - релятивистский фактор, а О - приведенная фокусировка. Важнейшее обобщение этой элементарной модели было сделано Кап-чинским и Владимирским. Во-первых, они предложили микроканоническое распределение - равномерное по поверхности гиперэллипсоида в четырехмерном поперечном фазовом пространстве. Показано, что проекция такого распределения на плоскость, образованную любой из пар координатных осей х, х', у, у', есть равномерно заряженный эллипс. Во-вторых, они показали, что сила собственного заряда линейно зависит от х и у в равномерно заряженном эллиптическом цилиндре, ось которого - г, а главные оси сечения совпадают с х и у. Отсюда следует вывод, что вид такого распределения сохраняется в линейной фокусирующей системе с эллиптической симметрией (то есть в которой компоненты силы линейно зависят от соответствующей координаты и не зависят от другой). Тогда можно записать уравнения движения такого пучка в параметрическом виде - это просто система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Таким образом, модель Капчинского -Владимирского (КВ) описывает движение заряженного пучка с эмитгансом. Эмиттанс при этом сохраняется.

Все попытки построить другое распределение с подобными свойствами до сих пор успехом не увенчались. Некоторые распределения сохраняются в однородной фокусировке либо в адиабатическом приближении. В нескольких работах отмечено, что уравнения КВ достаточно точно описывают

10

любой пучок с эмиттансом и собственным зарядом в смысле среднеквадратичных значений. При этом рассматриваются уравнения для вторых моментов распределения частиц в ФП, и делается предположение, что члены в них, зависящие от высших моментов, пренебрежимо малы. Таким образом, предположение отсутствия высших моментов приводит к их отсутствию всегда, то есть прямо предполагается, что эмиттанс сохраняется. При этом признается, что движение пучка в смысле вторых моментов все же зависит от распределения, хотя и слабо.

Однако, нас интересует не только характер движения пучка с собственным зарядом, но и изменение его эмиттанса. Известны несколько оценок увеличения эмиттанса из-за собственного заряда. Формула Лапостолля (Р. М. Lapostolle)

£Е=а2Ае'2, (4)

где а - огибающая, А - первеанс, е2 -параметр, зависящий от распределения, 0.05...0.1, получена из анализа вторых моментов распределения. При постоянном размере эмиттанс растет (или падает) только с изменением коэффициента. Никаких возможностей оценить увеличение эмиттанса из этой формулы нет. Карлстен (В. Е. Carlsten), ссылаясь на Кима (К. J. Kim), приводит другую оценку, полученную в предположении независимого движения однородно заряженных слоев (поперечных сечений) сгустка в аксиально-симметричной системе:

(5)

где L - длина канала, / - длина сгустка, а - его радиус, a G - некоторая функция, характеризующая уменьшение поперечной силы с уменьшением длины сгустка. Эта формула дает приемлемый результат только в очень коротких каналах. Длину канала при этом надлежит сравнивать с периодом колебаний огибающей под действием фокусирующих сил и сил собственного заряда:

На практике, все инжекторы имеют длину, сравнимую с \sc или больше. Хофман (I. Hofmann) дает еще одну оценку, основанную на сохранении поперечной энергии:

44-1V (7)

г2 3[v2 J

где v0 и v - бетатронные частоты без собственного заряда и с оным, a AU -изменение "нелинейной энергии поля". Например, для гауссова распределения член в скобках равен 0.26, а для параболического 0.057. Однако, попе-

речная энергия сохраняется лишь в канале с однородной фокусировкой, поэтому такая оценка представляется недостоверной.

По-видимому, Карлстен впервые упомянул, что нормализованный эмиттанс пучка может не только возрастать, но и уменьшаться. Это было продемонстрировано численно и экспериментально при анализе высокочастотного (ВЧ) фотоинжектора и линака для Los Alamos XUV FEL. Явление названо "emittance compensation" (дословный перевод - "компенсация эмит-танса"). Термин в настоящее время является устоявшимся в англоязычной литературе. Для качественного объяснения явления рассмотрим движение двух однородно заряженных слоев сгустка с разными токами в канале из двух пустых промежутков и тонкой линзы между ними. Начальный эмиттанс сгустка нулевой. Положим, что слои движутся независимо. Рис. 1 иллюстрирует процесс - сначала поперечные фазовые портреты (ПФП) слоев разворачиваются друг относительно друга и проекционный эмиттанс возрастает, а затем приближаются друг к другу и складываются. Эмиттанс при этом уменьшается до нуля.

Рис. 1. Движение двух слоев с разными токами в канале с линзой.

Сделано утверждение, что "наличие линзы меняет всю физику". Это утверждение с завидным постоянством кочует по всем статьям об emittance compensation. Оно, как будет показано ниже, совершенно неверно - механизм явления не зависит явно от фокусировки. Сам же термин "emittance compensation" весьма неудачен, поскольку ничего здесь не компенсируется, а колебания эмиттанса, как будет показано ниже, связаны с когерентностью колебаний слоев. В инжекторе, состоящем из ВЧ-пушки и линака, движение несколько сложнее. Типичное поведение эмиттанса и огибающей показано на Рис. 2. Видно, что после пушки нормализованный эмиттанс падает, затем вновь возрастает и, наконец, опять снижается до минимума на выходе из линака.

Впоследствии было опубликовано достаточно много работ на эту тему. Тем не менее, многие работы содержат существенные ошибки и необоснованные допущения. Никаких же достаточно удобных и точных оценок эмиттанса и параметров оптимальных каналов нет. Имеются лишь несколько прецедентов, копирование и некоторое масштабирование которых возможно.

Так что разработчик уже на самом раннем этапе проекта вынужден обращаться к полномасштабному численному моделированию, что делает любую оптимизацию чрезвычайно малоэффективной, если вообще возможной. Обращает на себя внимание и немалое число достаточно распространенных спорных утверждений вроде необходимости согласования пучка с инвариантной огибающей в линаке.

05 0

Рис. 2. Типичные графики огибающей (нижняя кривая) и нормализованного эмиттанса (верхняя кривая) в оптимизированном ВЧ инжекторе.

Таким образом, имеются некоторые модели движения пучков с превалированием собственного заряда. Общие выводы, сделанные с помощью этих моделей, подтверждены экспериментально. Однако отмеченные недостатки делают весьма актуальной задачу поиска подходящей модели процессов в пучках с превалированием собственного заряда. На основе такой модели крайне желательно также получить простые и надежные оценки эмиттанса и параметров оптимальной .машины. Разумеется, уточняться все это должно численно, но с хорошим начальным приближением задача оптимизации неизмеримо упрощается.

Глава 2 посвящена основам метода. В ней даются критерии значимости эффекта собственного заряда, описываются модели эффектов продольной и поперечной неоднородностей заряда, выводится безразмерное уравнение малых зарядовых колебаний, далее учитывается нелинейный эффект, определяются матрица преобразования, зарядовая фаза и дифференциальные характеристики сгустка. В качестве исходного используется уравнение КВ, переписанное для среднеквадратичных величин: Г „2

X =-

)

х + у }

Р

(8)

--в у,

х + у р

где х и у означают среднеквадратичные размеры в горизонтальной и вертикальной плоскостях, а в индексах - соответствующие проекции; " - вторая производная по независимой координате г; / = ///0фу)3 - безразмерный

ток; £, О, е и р - среднеквадратичный эмиттанс, фокусирующий градиент, заряд частицы и ее продольный импульс. Собственным зарядом можно пренебречь, если выполнено два неравенства: "силовое"

г2 т р2

ь2.»-1-«% (9)

Т 1......

——Ь =---Ь«\, П01

/ /0 фу) (х + у) х*

и "фазовое"

±А£ = ±_I.

16 е 16е/0(ру)3

где Ь - длина канала. Оба условия всегда нарушаются при достаточно малой энергии и достаточно большом токе.

Эффект продольной неоднородности заряда рассматривается в следующем приближении: длина сгустка в сопровождающей системе координат много больше его поперечных размеров, все его слои имеют нулевой эмиттанс и однородное распределение заряда, вся же система имеет эллиптическую симметрию, то есть компоненты фокусирующей силы и наклоны линейно зависят от соответствующих координат, а каждый слой - эллипс с главными осями х и у. Движение каждого слоя считается независимо.

Возьмем какой-нибудь слой с током у'о, найдем решение (8) с некоторыми начальными условиями и назовем его главным. Чтобы получить главное решение для другого слоя умножим полученное на у У]/То • Эмиттанс

сгустка, все слои которого движутся по главным траекториям, равен нулю. Если же начальные условия двух упомянутых слоев одинаковы (как обычно и бывает на эмиттере), размеры второго будут колебаться около главного решения. Линеаризованное уравнение для .малых отклонений от главной траектории имеет два собственных локальных решения, ассоциированных с монопольной и квадрупольной модами колебаний. Для квазистационарного движения в аксиально-симметричном канале волновое число второй в 42 раз меньше. По причине крайней затруднительности одновременной фазировки двух мод далее рассматриваются только аксиально-симметричные системы. Уравнение движения тогда выглядит следующим образом:

(11)

ру р у 2х

где % = еа р . В процессе движения происходит периодическое развертывание и свертывание ПФП слоев (Рис. 3), то есть эмиттанс осциллирует.

Уравнение движения частицы в слое при анализе эффекта поперечной неоднородности заряда аналогично (11) с точностью до коэффициента при у. Для каждой частицы, однако, у - это ток, текущий внутри окружности с ее радиусом. Эта величина не меняется, если движение ламинарно. Условие ламинарности нарушается лишь в разреженном гало пучка (= 12% частиц для

гауссова распределения), так что это нарушение мало влияет на оценку эмит-танса. В процессе движения неоднородного слоя происходит периодическое искривление и выпрямление его ПФП (Рис. 4), то есть эмиттанс осциллирует. Аналогично случаю продольной неоднородности рассматривается набор подобных главных траекторий для разных частиц и их малые колебания вокруг этих траекторий.

Рис. 3. Развертывание и свертывание поперечных фазовых портретов слоев.

Фокусировка

Рис. 4. Движение гауссова слоя.

Линеаризованное уравнение для малых безразмерных отклонений от главной траектории

I * |32Т,

5' +

~ л: 2 — + -

РУ J

5' = -

1

(12)

где Ъ-Ъх/х, является основой для дальнейших аналитических оценок. Оно не зависит явно от фокусировки и его решения имеют колебательный характер. Условие минимума эмиттанса в линейном приближении чрезвычайно просто:

5' = 0. (13)

Нелинейность зарядовых колебаний приводит к расфазировкс движения слоев и росту эмиттанса на фоне его колебаний. Для оценки этого эффекта необходимо ввести нелинейные поправки в (12) - у'/2х2(52 -б3) в правой части в следующем приближении. Это дает линейно нарастающую поправку фазы

Аф=1/12фя2, (14)

где а - амплитуда колебаний, а <? - общий набег фазы. Таким образом, если ПФП соседних слоев совмещаются в некоторый момент, то таковые у более удаленных будут несколько развернуты в силу нелинейного фазового набега.

Как и любое линейное ОДУ второго порядка, (12) определяет матрицу преобразования между двумя произвольными точками каналаг0

где (С, С") и (5, 5") - значения (5, 8') в если в г0 они равнялись (1,0) и (0, 1) соответственно. Приращение зарядовой фазы в канале можно определить как

причем квадрант надо выбирать так, чтобы знаки совф и -эшф совпадали с таковыми у С и С соответственно. Необходимо подчеркнуть, что (^ зарядовая фаза - это не то же самое, что известная бетатронная фаза и (п) определение (16) не единственно возможное. Оно приведено здесь, потому что удобно для анализа когерентных зарядовых колебаний. Например, условие минимума эмиттанса в линейном приближении 9 = птс, где п целое.

Особо необходимо отметить, что зарядовые колебания - это не колебания огибающей (или среднеквадратичного размера) пучка или радиуса частицы во внешнем фокусирующем поле, а колебания состояния относительно главной траектории в ФП. Именно они приводят к колебаниям эмиттанса в силу их когерентности. Например, колебания огибающей пучка в свободном пространстве без внешней фокусировки невозможны, решение (11) апериодично и инфинитно. В то же время решение (12) носит колебательный характер и определение фазы (16) имеет смысл. При движении в свободном пространстве от перетяжки (х' = 0) асимптотический набег фазы (при 2—> со) составляет -3.67, а минимум эмиттанса достигается при

2 = 8.15д:07~1/2, где х0 - начальный размер.

Так как сгусток представляет собой не просто хаотический ансамбль слоев, а их набор с непрерывно меняющимися вдоль него параметрами, можно определить дифференциальные параметры сгустка - фазу и относительную амплитуду зарядовых колебаний. Эти величины важны для оценки параметров оптимального, то есть минимизирующего эмиттанс, корректирующего канала. Например, если дифференциальные фазы большей части слоев расположены вблизи некоторого значения, набег фазы в корректирующем канале должен быть дополнением до целого числа п. Из дифференциальных амплитуд можно получить оценку остаточного эмиттанса. Аналогичные параметры определены и для частиц в слое.

В Главе 3 на основе разработанной выше модели проведен анализ эффектов собственного заряда в различных типах каналов: однородном, простейшем неоднородном (состоящем из двух пустых промежутков и тонкой линзы между ними), с группировкой и с ускорением. Рассматривались эффекты продольной и поперечной неоднородностей заряда по отдельности и

(15)

— С'х

(16)

ф = агйап

совместно. Для всех аналитических оценок в однородных каналах использована формула (14). В неоднородном канале эмиттанс оценивался из разложения решения в конце канала в ряд в окрестностях главной траектории. При ускорении или группировке изменение относительной амплитуды колебаний оценивалось из (12) в адиабатическом приближении. Одновременно найдены параметры оптимальных каналов. Во всех рассмотренных случаях проведено численное моделирование систем в широком диапазоне параметров с помощью специально разработанных кодов, использующих нелинейное уравнение (11). На входе в канал наклон всегда был нулевой, все слои стартовали с одним размером (x0 = 1), пиковый ток сгустка либо ток слоя (при моделировании эффекта поперечной неоднородности) j= 1, начальное распределение заряда (продольное и/или поперечное) - гауссово.

Во всех случаях наименьший эмиттанс достигался при набеге фазы в канале = 2л. Оптимальный однородный канал сильно несогласован с пучком - биения огибающей составляют 1.4...3.3. Этот результат опровергает известное утверждение о необходимости согласования пучка с инвариантной огибающей (в данном случае х = const). Показано, что согласованная фокусировка оптимальна для максимумов эмиттанса - аналитические и численные оценки здесь совпадают. Движение неоднородного в продольном и поперечном направлениях пучка в оптимальном однородном канале показано на Рис. 5. Видно, что минимумы эмиттанса с фазой 2пк заметно ниже, чем с (2п - 1)л. Подобные кривые характерны для всех типов распределений и каналов с непрерывной фокусировкой. Во всех случаях эмиттанс в конце опти-

Рис. 5. Эмиттанс (сплошная линия) и среднеквадратичный размер (пунктирная) сгустка в поле й = 0.13.

Аналитические оценки эмиттанса в однородном канале оказались приблизительно вдвое завышенными по сравнению с численными. Оптимальная фокусировка при этом также несколько завышена. При совместном эффекте эмиттанс выше, чем при действии неоднородностей по отдельности,

а оптимальная фокусировка имеет промежуточное значение. Такие соотношения характерны для всех рассмотренных типов каналов.

Аналитическая оценка эффекта продольной неоднородности дала точные параметры оптимального простейшего неоднородного канала, а вот величина эмиттанса оказалась заниженной в ~ 1.5 раза. Эмиттанс в оптимальном простейшем неоднородном канале примерно такой же, как и в оптимальном однородном. Движение неоднородного в продольном и поперечном направлениях пучка в оптимальном неоднородном канале показано на Рис. 6.

7.

Рис. 6. Эмиттанс (сплошная линия) и среднеквадратичный размер (пунктирная) сгустка в неоднородном канале с линзой силой Б = 0.445.

В значительно более длинных (но с набегом фазы 2л) каналах тс-минимум может располагаться до линзы (Рис. 7). Это подтверждает вывод о возможности "компенсации эмиттанса" в свободном пространстве - фокусировка не является необходимым условием для эффекта, хотя и влияет на его величину.

г

Рис. 7. Эмиттанс (сплошная линия) и среднеквадратичный размер (пунктирная) сгустка в неоднородном канале с линзой силой О = 0.1227.

В канале с непрерывной фокусировкой и группировкой (/ = гаг, ) аналитическая оценка дает зависимость £ = со/и7(и), где гз = у, / /0 - отношение токов в конце и начале канала. Численное же моделирование дало зависимости и1/3 для однородного в поперечном направлении пучка и и028 для неодно-

18 ' '

родного по всем направлениям. При этом полагалось g ос ], так что размер равновесного слоя вдоль канала не менялся. Структура экстремумов эмит-танса неоднородного по всем направлениям пучка в конце канала показана на Рис. 8 и Рис. 9. Хорошо видны овраги с набегом фазы пи с переменной глубиной.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Рис. 8. Эмиттанс в конце канала в зависимости от его длины Ь и фокусировки £ без группировки.

2 4 6 8 10 12 14 16 16 20 1-

Рис. 9. Эмиттанс в конце канала в зависимости от его длины Ь и фокусировки § при отношении токов 10/1.

Если в канале происходит ускорение частиц, то у °с (|3у)~"1; 2, а в (11) и (12) сохраняются члены с х' и 8' соответственно. Аналитическая оценка дает зависимость нормализованного эмиттанса е„ а~1/4, где а = ((Зу), /(Ру)0 -

19

отношение импульсов в конце и начале канала. Численный результат - а"0'136 для однородного в поперечном направлении пучка и ~ const для неоднородного по всем направлениям. На Рис. 10 показана структура экстремумов эмиттанса неоднородного по всем направлениям пучка в канале с ускорением (без ускорения см. Рис. 8). Овраги с равным набегом фазы в значительной мере сглажены, но все еще хорошо заметны.

Рис. 10. Нормализованный эмиттанс в конце канала в зависимости от его длины Ь и фокусировки g при отношении импульсов 5/1.

Во всех случаях нормализованный эмиттанс в 2я-минимуме может быть оценен как

Распределенная фокусировка в согласованном канале должна быть

1/1

g = -

/0(Py)

з'

(17)

(18)

(19)

Для силы линзы в середине простейшего неоднородного канала справедливо

Бс Г

D = -

/о (PY)

з'

(20)

Если энергия или ток пучка меняются вдоль канала, все параметры относятся к его началу. Коэффициенты в (17) - (20) приведены в Табл. 1.

Параметр Однородный канал

Продольная неоднородность Поперечная неоднородность Совместный эффект

Ес 0.023 0.0079 0.037

0.09 0.38 0.13

Ьс 14.2 7.15 11.85

Простейший неоднородный канал

£С 0.030 0.0144 0.046

0.381 0.688 0.445

Ьс 14.0 8.0 12.0

Распределенная фокусировка: группировка

£С 0.0215 0.0349- -и0 28

0.08...0.11 0.10...0.14

Ьс 12.728

Распределенная фокусировка: ускорение

£С 0.0220- ссЧШ6 0.035

0.1...0.16 0.115- а0227

V 11.96 +6.05а 10.89 + 5.03а

Глава 4 посвящена эффекту собственного заряда в электронных пушках. В ней рассматриваются также другие факторы, влияющие на эмиттанс пучка из пушки. Источник электронов (а также протонов или ионов) всегда эмитирует частицы с весьма малой энергией. Таким образом, влияние собственного заряда наиболее сильно именно вблизи эмиттера. К сожалению, модель, изложенная в Главе 2, совершенно не работает в этой области по следующим причинам:

1. Вблизи эмиттера всегда присутствуют металлические электроды с фиксированным потенциалом. Распределение заряда на них зависит от распределения заряда в пучке и создает поля, сопоставимые с собственным полем пучка. Таким образом, влияние электродов является определяющим вблизи эмиттера. Кроме того, поперечные силы, создаваемые зарядом электродов, вообще говоря, нелинейны.

2. Если пучок нестационарный (состоит из сгустков), то всегда найдется область, где энергия частиц достаточно мала и длина сгустка в сопровождающей системе координат сравнима или меньше его поперечных размеров. В этом случае взаимодействие между слоями с разными токами существенно.

3. Если пучок нестационарный, голова и хвост сгустка находятся в разных • условиях - в тот момент, когда рождается голова, сгустка еще нет, а ко-

21

гда хвост - он уже есть. В процессе ускорения за головой находится часть сгустка с меньшей энергией, а перед хвостом - с большей, так что поперечные силы в этих двух случаях различаются из-за нелокальности взаимодействия. Таким образом, набранный поперечный импульс зависит не только от тока в слое, но и от его координаты в сгустке. Тем не менее, можно найти формулы масштабирования параметров пушки, а коэффициенты в них определить численно. В нерелятивистском приближении г/(геЛ[]) = const, где г, - радиус эмиттера, для одной и той же геометрии. Остается лишь найти коэффициент при re yfj в выражении для эмит-

танса и оптимальное соотношение размеров эмиттера и пушки. Еще один важный параметр - фаза зарядовых колебаний на выходе из пушки, поскольку канал после нее должен давать недостающий до 2пп набег, чтобы компенсировать разворот фазовых портретов слоев. Кроме того, этот канал должен также правильно фазировать зарядовые колебания в слоях, связанные с поперечной неоднородностью заряда. Таким образом, в корректирующем канале всегда имеет место совместный эффект продольной и поперечной неодно-родностей заряда.

Для того чтобы найти коэффициент качества и параметры корректирующего канала, численно моделировались пушки с различной геометрией и для каждой подбирался оптимальный корректирующий канал. Первая рассчитанная геометрия изображена на Рис. II. Ее условное название 300kvGun. Пушка диодного типа, геометрия катодного электрода подобрана так, чтобы минимизировать эмиттанс пучка с током 2 А при напряжении 300 кВ. Радиус эмиттера ге = 5 мм, расстояние до анодного электрода / = 123 мм. Состояние пучка оценивалось на расстоянии 200 мм от катода. Рассчитанные параметры слоев в зависимости от тока приведены на Рис. 12. Все параметры - среднеквадратичные. Этих данных достаточно, чтобы восстановить дифференциальные характеристики сгустка - зарядовую фазу и относительную амплитуду зарядовых колебаний на выходе пушки. Зависимости зарядовой фазы и амплитуды от тока для описанной пушки показаны на Рис. 13. Видно, что в пределах от 1 до 3 А фаза почти не зависит от тока и составляет около 2.5 ~ 0.8п. Таким образом, если после пушки поместить идеальный однородный канал (то есть такой, в котором набег фазы не зависит от амплитуды) с набегом фазы ~ 1.2л, следует ожидать, что эмиттанс на выходе такой системы будет минимальным. Остаются лишь вопросы: (i) сгусток с каким пиковым током и заданным продольным распределением (например, гауссовым) даст наименьший эмиттанс в такой системе; (ii) с каким слоем такого сгустка должен быть согласован канал после пушки и (iii) каков в нем набег фазы. Для зарядовых колебаний в слоях было найдено, что эмит-тансы слоев достаточно малы, так что влияние поперечной неоднородности относительно невелико и им можно пренебречь.

/

Е^иМ

/ /

п 115 155 »»* Рис. 11. Геометрия пушки "ЗООкуСип".

Рис. 12. Параметры слоя в зависимости от тока: среднеквадратичный размер (Д), его наклон (+) и эмиттанс (•).

Рис. 13. Дифференциальные параметры сгустка в зависимости от тока слоя: фаза (Д) и относительная амплитуда (•) зарядовых колебаний.

На Рис. 14 показана зависимость эмиттанса 2.2 А сгустка (продольное распределение гауссово) от набега фазы в идеальном канале и тока согласованного с каналом слоя. Оптимум 1.03 мм-мрад достигается при согласованном токе 1.043 А и набеге фазы в компенсирующем канале 3.91 = 1.246л. Если не добавлять компенсирующий канал, эмиттанс при том же пиковом токе составит 6.63 мм-мрад.

С.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2

Рис. 14. Эмиттанс, мм-мрад, сгустка с пиковым током 2.2 А в зависимости от набега зарядовой фазы в канале и тока согласованного слоя.

Кроме идеального канала к пушке добавлялся и простейший неоднородный канал из двух пустых промежутков и тонкой линзы между ними. В этом случае оптимизировались все три параметра канала. На Рис. 15 приведены зависимости эмиттанса и показателя качества ес =е/(хед/7), где хе —

среднеквадратичный размер пучка на эмиттере (в данном случае - однородной плотности тока эмиттера - половина радиуса эмиттера), от пикового тока во всех трех случаях: без канала, с оптимальными идеальным либо простейшим неоднородным каналом. Видно, что в первых двух случаях эмиттанс растет почти пропорционально корню из пикового тока при /р > 0.8 А. Соответственно, ес = сопиЦ). Оба канала дают почти одинаковый результат при

Рис. 15. Эмиттанс (сплошные линии) и показатель качества (пунктир) в зависимости от пикового тока сгустка. Верхние кривые - на выходе пушки, нижние и средние - с оптимальными идеальным и неоднородным каналом.

Чтобы выяснить вопрос о влиянии геометрии пушки на ее эмиттанс, моделировался ряд пушек с измененной геометрией:

• 150kvGun - пушка вдвое короче, тот же ток 2 А достигался при напряжении 150 кВ, катодный электрод оптимизирован для этих параметров.

• 300kvShortGun - также вдвое короче исходной, но в нее добавлен еще один цилиндрический электрод под потенциалом катода, чтобы при том же напряжении 300 кВ "естественный" ток остался около 2 А, катодный электрод оптимизирован для этих параметров.

• 850kvGun - удлиненная вдвое пушка, диаметры электродов вдвое больше. Ток 2 А с ограничением собственным зарядом достигается при напряжении 850 кВ, катодный электрод оптимизирован для этих параметров.

• 300kvLongGun похожа на предыдущую, но добавлен электрод с распределенным зарядом, чтобы ток при 300 кВ остался 2 А. Катодный электрод оптимизирован.

• 300kvLongGunPl аналогична предыдущей, но ее прикатодный электрод плоский, то есть оптика существенно не пирсовская. Она включена в рассмотрение, чтобы оценить эффект прикатодной оптики.

• RFGunlMV создает в области пучка поля, близкие к таковым в ВЧ пушке с частотой 1.3 ГГц в момент пролета электронов. Дополнительный соленоид для фокусировки не использовался - его роль выполняет корректирующий канал после пушки. Это модель первой (длиной обычно около V* длины волны) ячейки пушки. Напряжение 1 MB.

• RFGun2MV - та же геометрия, но напряжение вдвое выше. Добавлена, так как энергия уже релятивистская и классическое масштабирование дает ошибку.

В двух последних случаях радиус катода 2 мм, во всех остальных 5 мм. Параметры всех рассмотренных пушек сведены в Табл. 2. Условные обозначения следующие: Eq - показатель качества пушки без коррекции; Zch - показатель качества пушки с оптимальным идеальным однородным каналом; /ш -ток согласованного слоя в этом канале; о - набег фазы в этом канале; /р -

пиковый ток сгустка; гсг - показатель качества пушки с оптимальным неоднородным каналом. Наилучшие показатели качества без коррекции и с неоднородным каналом у "ВЧ пушек", причем от напряжения ес практически не зависит. Немногим хуже показатели у 300kvLongGunPl. Отсюда можно заключить, что плоский катодный электрод значительно лучше квазипирсовой геометрии (как у всех остальных пушек), если пушка импульсная, а фронт и спад составляют значительную часть импульса. Разумеется, при этом эмит-тансы слоев больше, но вклад их в проекционный эмиттанс сгустка невелик.

В то же время большее поле вблизи катода (из-за более равномерного его распределения в зазоре пушки) уменьшает действие продольной неоднородности заряда.

Табл. 2. Параметры модельных пушек.

Пушка 4 IJh Ф Er

300kvGun 0.25...0.35 0.04...0.06 0.4...0.5 2.4...2.5 0.05...0.08

150kvGun 0.25...0.35 0.03...0.05 0.37...045 2.0...2.1 0 04...0.06

300kvShortGun 0.3...0.4 0.04...0.07 0.56...0.67 1.9 0.1...0.2

850kvGun 0.35...0.5 0.07...0.1 0.49...0.59 2.5...2.7 0.11...0.17

300kvLongGun 0.26 0.045...0.055 0.3...0.45 3.1...3.4 0.05...0.08

300kvLongGunPl 0.3...0.5 0.06...0.08 0.11...0.13 1.6...1.8 0.02...0.025

RFGunlMV 0.2...0.35 0.037...0.06 0.022...0.067 0.6...1.0 0.017...0.023

RFGun2MV 0.2...0.35 0.037...0.065 0.02...0.08 0.6...1.1 0.018...0.022

В Табл. 3 приведены параметры лучших (с точки зрения показателя качества) созданных к настоящему времени импульсных пушек. Во второй колонке приведена энергия электронов на выходе первой ячейки пушки. Дело в том, что собственно "пушкой" является как раз эта ячейка. Как видно из таблицы, качество лучших реальных пушек приближается к полученной оценке, но не достигает ее. Дело в том, что на эмиттанс влияют и другие факторы - температура фотоэлектронов и нелинейность ВЧ фокусировки. По-видимому, пушка ЬСЬБ достигла ограничения по первому фактору.

Табл. 3. Параметры существующих пушек.

Пушка Ekin, МэВ /р,А Xe, MM e„, мм-мрад £C

LCLS* 2.0 50 1 0.83 0.034

DESY 1.05 100 1 2.7 0.06

DESY* 1.05 43 0.57 1.7 0.10

BNLIV 1.33 67 0.3 1.4 0.14

BNLIV * 1.33 133 0.3 1.35 0.095

MIT 0.27 50 0.5 3.5 0.14

*Звездочкой отмечены пушки с "beam shaping", то есть в которых продольное и/или поперечное распределение электронов приближено к прямоугольному.

Если применяется катод с сеткой для модулирования тока, то на эмиттанс влияют также следующие факторы:

1. Рассеяние на ячейках.

2. Фокусировка/дефокусировка в ячейках при неоптимальном токе катода.

3. Неоднородность заряда пучка, создаваемая ячейками.

Из них превалирует второй. Получены оценки вклада в эмиттанс всех названных факторов. Для фокусировки/дефокусировки в ячейках эмиттанс можно оценить как

Еи « 0.001 (21)

где d - размер ячейки сетки, а D - расстояние катод-сетка. Коэффициент 0.01 размерный, так что значения величин нужно брать в метрах и амперах. Из сделанных оценок следует, что типично эффект сетки меньше, чем некоррек-тированный эмиттанс импульсной пушки. При добавлении же оптимального корректирующего канала ситуация меняется на противоположную.

В Главе 5 описан код I&Eps, разработанный на основе изложенной выше модели специально для оптимизации акцептанса электронно-оптических каналов для пучков с превалированием эффекта собственного заряда. Имеющиеся неспециализированные коды используют параметрическую либо непараметрическую модель пучка. Например, Trace3D оперирует параметрической моделью однородно заряженного трехмерного эллипсоида - обобщением модели КВ на трехмерный случай. Однако известно, что модель КВ не распространяется на трехмерный случай. Кроме того, нормализованный эмиттанс пучка при движении через канал может изменяться, что не учитывается моделью. Подавляющее же большинство кодов, например PARMELA, MAFIA и Elegant, оперируют непараметрической моделью макрочастиц. Это означает, что время счета канала хоть со сколько-нибудь приемлемой точностью составляет минуты и десятки минут, так что оптимизация его представляет чрезвычайно длительную и трудоемкую задачу. Для оптимизации потерь тока в канале необходима на порядки более эффективная модель, чем макрочастицы, так как процесс оптимизации предполагает многократный (типично сотни раз) счет одного и того же канала. Кроме того, допустимые потери в канале, как правило, весьма малы, так что необходим эффективный способ учета разреженного гало пучка.

Цель разработки кода I&Eps - получить удобный и эффективный инструмент для оценки и максимизации акцептанса каналов для нестационарных пучков с преобладанием эффекта собственного заряда. Прецизионность результата не столь важна, так как обычно состояние пучка на входе канала разработчику в точности не известно, а тонкая настройка делается уже на готовой машине. Важно лишь иметь хорошее начальное приближение для оптимизации реального канала вручную. В противном случае ручная настройка, то есть поиск глобального экстремума функции десятков и сотен переменных, представляется невозможным. Важно также знать на стадии проектирования акцептанс канала при заданных допустимых потерях или наоборот, потери при заданном эмиттансе.

Сгусток рассматривается как совокупность однородно заряженных эллиптических слоев без эмиттанса. Для каждого справедливо (8) с е = 0. Зави-

27

симости начального состояния и тока слоя от продольной координаты внутри сгустка зачастую известны неточно или неизвестны вовсе. Поэтому пучок рассматривается не как определенный сгусток, а как ансамбль слоев с различными токами, размерами, наклонами и энергиями. Таким образом, для каждого слоя используется параметрическая модель движения, корректная в случае нулевого микроскопического эмиттанса и однородной плотности тока. Сгусток же рассматривается непараметрически, то есть число слоев произвольно. Это разумный компромисс, позволяющий обойтись сравнительно небольшим количеством уравнений в решаемой системе, что приводит к резкому повышению эффективности. В то же время достаточно точно вычисляется огибающая каждого слоя и, следовательно, потери в канале. Проекционный эмиттанс также вычисляется, но результат может быть признан лишь как оценка, поскольку рассматривается не сгусток в заданном начальном состоянии, а ансамбль слоев, начальные состояния которых варьируются в процессе оптимизации канала.

Пользовательский интерфейс кода имеет три основных окна: редактор канала, геометрия канала и оптимизатор. В первом необходимо задать структуру канала - типы и длины магнитных элементов и апертур камеры. Поддерживается три основных типа магнитов: диполи, квадруполи и соленоиды; а также два типа апертур: неизменного сечения и "конические". Магниты могут быть с прямоугольным распределением поля или с произвольным. В окне оптимизатора можно видеть список магнитов канала в виде пиктограмм; три области параметров: начальные, целевые и достигнутые; а также графики размеров и г|-функции пучка вдоль канала. Перед оптимизацией нужно задать все начальные параметры, а также отметить галочкой и задать целевые.

Приведено несколько примеров каналов, оптимизированных с помощью 1&Ер5, в том числе инжекционный канал в КАЕЫ (Тэджон, Корея) -Рис. 16. Его основные параметры приведены в Табл. 4. Вначале канал был спроектирован без учета собственного заряда. При его первоначальной настройке было найдено, что такой режим не может быть использован из-за слишком больших потерь пучка в канале. Получить хоть сколько-нибудь приемлемые потери, используя указанный режим в качестве начального приближения и варьируя градиенты во всех линзах в широких пределах, также не удалось. Для того чтобы найти хоть какой-нибудь подходящий режим канала за ограниченное время (Г&Ерв еще не существовал), была построена простейшая численная модель канала на основе уравнений КВ, включающая все магниты в приближении прямоугольного распределения поля. Найденный с помощью такой модели режим был затем оптимизирован на реальном канале вручную. При этом удалось снизить потери пучка до 5 - 6%, но пришлось регулировать все линзы. Тем не менее, оптимизированный режим

сильно отличался от найденного с помощью модели - начальное приближение оказалось не слишком хорошим.

Рис. 16. Инжекционный канал в КАЕМ.

Табл. 4. Параметры инжекционного канала в КАЕЫ.

Кинетическая энергия элктронов, МэВ 1.5

Пиковый ток, А 20

Средний ток, мА до 10

Начальный эмиттанс, л мм-мрад 10

Относительный энергетический разброс З-Ю"3

Акцептанс при 4% потерь, к мм-мрад 15.5

Этот случай послужил толчком к разработке кода 1&Ерз. Когда код заработал, найденный с его помощью режим был установлен на линзах канала. Дальнейшая ручная настройка касалась только первых трех и последних двух линз, то есть тех, которые лежат вне диполей и, следовательно, не влияют на хроматизм. Настройка нескольких линз в начале канала совершенно необходима, так как начальное состояние пучка известно весьма неточно. Регулировка линз на выходе также неизбежна, поскольку ускоряющие резонаторы учитываются приближенно. Таким способом потери в канале были снижены до ~ 3%. После более тонкой настройки инжектора и некоторых линз канала потери пучка удалось снизить до 0.5...1%. Таким образом, код 1&Ерз дает весьма хорошее начальное приближение для дальнейшей ручной настройки канала.

Рассмотрены и другие примеры каналов, оптимизированных с помощью 1&ЕрБ. Причем были и разработаны новые и модифицированы старые каналы. Процесс оптимизации достаточно быстр и занимает обычно меньшее время, чем ввод конфигурации канала.

В Заключении приведены основные результаты работы, выводы и дальнейшие перспективы. В работе использована модель локально холодного пучка для оценок эмиттанса и параметров оптимальных каналов. Движение слоев в сгустке полагалось независимым, а частиц в слое - ламинарным. Главная траектория в фазовом пространстве есть решение уравнения движения слоя в сгустке или частицы в слое. Главные траектории масштабируются пропорционально корню из тока. Если все частицы движутся по главным траекториям, эмиттанс пучка всегда нулевой.

Выведенное линеаризованное уравнение для малого безразмерного отклонения описывает возмущенное относительно главной траектории движение. Оно не содержит в явном виде фокусировки в канале и его решения носят колебательный характер. Зарядовые колебания - это возмущение главной траектории, а вовсе не движение огибающей. Их когерентность в линейном приближении приводит к колебаниям эмиттанса. Условие минимизации эмиттанса - нулевая производная безразмерного отклонения. Нелинейность колебаний порождает сдвиг волнового числа и ненулевой эмиттанс в минимумах. Получена оценка этого сдвига. Линеаризованное уравнение однозначно определяет матрицу преобразования. Определений фазы может быть много - выбрано удобное для заявленных целей. Кратность такой фазы я есть альтернативное условие минимума эмиттанса пучка. Из состояния ансамбля слоев или частиц могут быть определены дифференциальные характеристики пучка: фаза и относительная амплитуда зарядовых колебаний как функции координаты в сгустке либо слое. Это важнейшие характеристики для определения параметров оптимального канала для минимизации эмиттанса и его оценки в минимуме.

Используя уравнение для малого безразмерного отклонения и нелинейную поправку частоту, получены аналитические оценки эмиттанса в минимумах и максимумах для эффектов продольной и поперечной неоднород-ностей собственного заряда. Эти оценки уточнены численно. Одновременно найдены параметры оптимальных каналов. Получены численные оценки эмиттанса для совместного эффекта. Аналогичные оценки (где возможно, аналитические, а численные во всех случаях) получены для каналов с неоднородной фокусировкой, с группировкой и с ускорением. Во всех случаях эмиттанс в конце оптимального канала в разы и десятки раз меньше, чем в неоптимальном.

Получена формула масштабирования эмиттанса для пушек. Рассмотрен набор пушек с различной геометрией. Варьировались отношение длины пушки к размеру эмиттера и распределение электрического поля в пушке. Для каждой пушки подобраны оптимальные идеальный (линейный) и простейший неоднородный корректирующие каналы, минимизирующие эмиттанс. Добавление оптимального корректирующего канала снижает эмиттанс в 2...15 раз. Наилучшая геометрия импульсной пушки - с плоским прика-

тодным электродом. Плотность тока с катода должна быть наибольшей возможной при данной геометрии. Сделаны оценки эффектов сетки для катода с сеткой. Самый сильный эффект, сравнимый с макроскопическим эффектом собственного заряда в пушке - (де)фокусировка на ячейках сетки, зависящая от тока.

Во всех рассмотренных системах эмиттанс может быть оценен как

где ес - коэффициент, зависящий от типа системы, а г - среднеквадратичный размер пучка на входе. Для оптимальных систем е° колеблется в пределах 0.0079...0.046.

На основе описанной выше модели разработан код для численного моделирования движения пучка с собственным зарядом в канале. В модели учитываются разброс сил собственного заряда вдоль сгустка и размеры апертур в канале. Код оптимизирует акцептанс канала для пучка с заданным начальным током, размерами и наклонами. С помощью этого кода успешно оптимизированы несколько электронных каналов. Процесс оптимизации достаточно быстр и занимает обычно меньшее время, чем ввод конфигурации канала.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

1. С.В. Мигинский, В. В. Перов. Влияние собственного заряда на группировку сгустка. Препринт ИЯФ №93-92, Новосибирск, 1993.

2. В.И. Баткин, Э.Л. Бояринцев, ..., С. В. Мигинский и др. Инжектор для ускорителя лазера на свободных электронах. Приборы и техника эксперимента, 1997, №5, 94-97 (Instrum. Exp. Tech. 40: 672-675, 1997).

3. B.C. Lee, Y.U. Jeong, ..., S.V. Miginsky, et al. High average current 2-MeV electron accelerator for a high-power free-electron laser. Nucl. Inst. Meth.

' Phys. Res. A 429 (1999), 352-357.

4. S.V. Miginsky. New Quadratures with Local Error Estimation and Two Strategies of Step Control in Calculation of Definite Integrals. Prepr. BINP №2001-18, Novosibirsk, 2001.

5. E.I. Antokhin, R. R. Akberdin, ..., S. V. Miginsky, et al. Commissioning of the accelerator-recuperator for the FEL at the Siberian Center for Photochemical Research. Journal of Synchrotron Radiation, 10 (2003) Part 5, 343-345.

6. S.V. Miginsky. New Quadratures with Local Error Estimation and Two Strategies of Steplength Control in Calculation of Definite Integrals. Int. J. Comput. Math., 80 (2003), №3,347-356.

работах:

7. B.C. Lee, Y.U. Jeong, ..., S.V. Miginsky. High-power infrared free electron laser driven by a 352 MHz superconducting accelerator with energy recovery. Nucl. Inst. Meth. Phys. Res. A 528 (2004), 106-109.

8. S.V. Miginsky, G.N. Kulipanov, N.A. Vinokurov. A facility for a few views X-ray tomography of transient processes. Nucl. Inst. Meth. Phys. Res. A 543 (2005), 166-169.

9. V.P. Bolotin, N.A. Vinokurov,,.., S.V. Miginsky, et al. A project of accelerator-recuperator for Novosibirsk high-power FEL. Physics of Particles and Nuclei Letters, V. 3, Supp. 1 / Dec., 2006, S40-S42.

10. V.P. Bolotin, N.A. Vinokurov,..., S.V. Miginsky, et al. Статус терагерцово-го ЛСЭ в Новосибирске (Status of the Novosibirsk terahertz FEL). Вопросы атомной науки и техники (Problems of Atomic Science and Technology), 2006, №2, 5-7.

11. A.V. Bondarenko, S.V. Miginsky, B.C. Lee, et al. Проект мощного ЛСЭ в KAERI на базе сверхпроводящего линака-рекуператора (The project of а high-power FEL driven by an SC ERL at KAERI). Там же., 37-39.

12. S.V. Miginsky. An optimizer for high-current beamlines. Nucl. Inst. Meth. Phys. Res. A 558 (2006), 127-130.

13. S.H. Park, K.T. Lee,..., S.V. Miginsky. Design Study for a 1 keV Compton X-Ray Generation with the KAERI SC RF Linac. Nucl. Inst. Meth. Phys. Res. A 575(2007), 17-21.

14. A.V. Bondarenko, S.V. Miginsky, B.C. Lee, et al. A Compton X-ray Source Based on a SC Linac at KAERI. Nucl. Inst. Meth. Phys. Res. A 575 (2007), 11-13.

15. S.V. Miginsky. Minimization of Space Charge Effect. Nucl. Inst. Meth. Phys. Res. A575 (2007), 234-237.

16. A.V. Bondarenko, S.V. Miginsky, B.C. Lee, et al. Electron Optics of a Future SC ERL at KAERI. Nucl. Inst. Meth. Phys. Res. A575 (2007), 14-16.

17. S.V. Miginsky. Space charge effect, coherence of charge vibration and emit-tance. Prepr. Budker IMP 2007-11, Novosibirsk, 2007.

18. C.B. Мигинский. Когерентность колебаний пучка в поле собственного заряда и параметры электронных пушек. Вестник НГУ 2 (2007), вып. 4, 132-144.

19. С.В. Мигинский. Оптимизатор акцептанса сильноточных электронно-оптических каналов. Вестник НГУ 3 (2008), вып. 2, 80-87.

20. С.В. Мигинский. Колебания эмиттанса в локально холодном пучке. Вестник НГУ 3 (2008), вып. 3.

21. С.В. Мигинский. Эффект собственного заряда, когерентность зарядовых колебаний и эмиттанс. Журнал технической физики, 78 (2008), вып. 9, 96-106.

МИГИНСКИЙ Сергей Владимирович

Оптимизация электронно-оптических каналов на основе модели локально холодного пучка

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Сдано в набор 15.08.2008 г. Подписано к печати 25.08.2008 г. Формат 100x90 1/16 Объем 2,0 печ.л., 1,6 уч.-изд.л. Тираж 100 экз. Бесплатно. Заказ № 22

Обработано на IBM PC и распечатано на ротапринте ИЯФ им. Г.И. Будкера СО РАН, Новосибирск, 630090, пр. Академика Лаврентьева, 11.

Введение.

Глава 1. Постановка задачи и состояние вопроса.

1.1. Качество пучка заряженных частиц.

1.2. Состояние проблемы.

1.3., Постановка задачи.

Глава 2. Основы метода.

2.1. Основные уравнения. Оценка значимости эффекта собственного заряда.

2.2. Основы метода. Продольная неоднородность заряда.

2.3. Основы метода. Поперечная неоднородность заряда.

2.4. Безразмерное уравнение малых колебаний.

2.5. Нелинейность зарядовых колебаний.

2.6. . Матрица преобразования и зарядовая фаза.

2.7. Дифференциальные характеристики сгустка.

2.8. Выводы.

Глава 3. Собственный заряд в различных типах каналов.

3.1. Эффект продольной неоднородности заряда в однородном канале.

3.2. Эффект поперечной неоднородности заряда в однородном канале.

3.3. Совместный эффект в однородном канале.

3.4. Эффект продольной неоднородности заряда в неоднородном канале.

3.5. Эффект поперечной неоднородности заряда в неоднородном канале.

3.6. Совместный эффект в неоднородном канале.

3.7. Эффект собственного заряда при группировке.

3.8. Эффект собственного заряда при ускорении.

3.9. Параметры оптимальных каналов.

ЗЛО. Выводы.

Глава 4. Собственный заряд в электронных пушках.

4.1. Макроскопический эффект собственного заряда в пушках.

4.2. Эффекты сетки.

4.3. Выводы.

Глава 5. Оптимизатор сильноточных электронных каналов.

5.1. Мотивация.

5.2. Предлагаемая модель.

5.3. Алгоритм.

5.4. Пользовательский интерфейс.

5.5. Примеры каналов, оптимизированных при помощи кода.

5.6. Выводы.

Один из главных показателей качества пучка - поперечный эмиттанс (обычно прилагательное "поперечный" опускается) - есть мера эффективного объема, занимаемого пучком в поперечной фазовой плоскости (ФП). В широко распространенных до сих пор циклических ускорительных машинах эмиттанс определяется конкуренцией процессов возбуждения и затухания бетатронных колебаний. В машинах с конечной длиной траектории пучка эффект таких процессов, как правило, чрезвычайно мал и эмиттанс определяется 0) свойствами эмиттера, (и) нелинейностью и (ш) временной зависимостью фокусировки, а также (¡у) рядом коллективных эффектов: (а) кильватерным полем, (Ь) когерентным синхротронным излучением и (с) эффектом собственного заряда. В связи с возрастающим количеством таких машин и успехами технологии в создании сильноточных эмиттеров с малым эмиттансом резко возрос интерес к сохранению рекордно малого эмитганса сильноточного пучка до места его использования, так что изучение коллективных эффектов и уменьшение их влияния на эмиттанс представляются крайне актуальными. В последнее время имеется особый спрос на машины с предельно малым эмиттансом, 1 мм-мрад (нормализованный) и менее, и большим пиковым током - сотни и тысячи ампер. Такие машины используются в коротковолновых лазерах на свободных электронах [1] - [4], линейных коллайдерах [5], [6], комптоновских источниках излучения [7], [48] и источниках синхротронного излучения четвертого поколения на базе ускорителей-рекуператоров [8] -[10].

В ряду эффектов собственный заряд превалирует в тех частях машины, где энергия пучка относительно невелика. Его влияние падает обратно пропорционально энергии и квадрату размера пучка. Можно сказать, что влияние собственного заряда преобладает, если поперечная потенциальная энергия частиц в его поле много больше, чем их кинетическая энергия. Таким образом, собственный заряд превалирует в электронных пушках и инжекторах ускорителей. При разработке таких инжекторов важно (I) знать оценку минимально возможного эмитганса при заданных технологических параметрах машины и (II) представлять в некотором приближении ее геометрию для последующей прецизионной численной оптимизации. Для этого необходима простая, понятная и достоверная модель процессов в пучке с преобладанием собственного заряда. Такая модель важна и для понимания процессов в пучке.

За последнее время наука существенно продвинулась в этом направлении: разработаны различные модели пучка с собственным зарядом, получены некоторые оценки увеличения эмитганса под действием собственного заряда, а также обнаружено численно и экспериментально, что эмиттанс может не только увеличиваться, но и уменьшаться под действием собственного заряда. Имеется качественное объяснение этого явления и некоторые аналитические модели. Тем не менее, простой, понятной и адекватной аналитической модели данного явления до сих пор нет; оценки (I) и (II) получены лишь для некоторых определенных конструкций машин численными методами; и, наконец, многие выводы, сделанные в работах по данной проблеме, попросту ошибочны. В связи с этим весьма актуальным представляется разработка адекватной модели движения пучка с собственным зарядом и трансформации его эмитганса, а также получение на ее основе универсальных оценок эмитганса и параметров машин.

Таким образом, предмет исследования диссертации - это влияние собственного заряда и других факторов на эмиттанс пучка в инжекторе.

Цели работы - (1) минимизировать эмиттанс пучка на выходе из инжектора, (и) получить оценку эмитганса и (111) получить оценки параметров оптимальной машины. Задача состоит в построении адекватной модели процессов в пучке с превалированием собственного заряда, а также в получении аналитических и численных оценок на основе этой модели.

Методы исследования - аналитические и численные модели пучка с собственным зарядом. Разумные предположение и упрощения. Для аналитических и численных оценок использована модель локально холодного длинного сгустка. В основном рассматриваются аксиально-симметричные системы с линейными внешними фокусирующими полями. В таких системах движение слоя (поперечного сечения) сгустка и частицы в слое описывается известным уравнением Капчинского-Владимирского. Рассматривается главная траектория в ФП - решение основного уравнения с заданными начальными условиями. Главная траектория масштабируется пропорционально корню из тока. Выведено линеаризованное уравнения для безразмерного отклонения от главной траектории - оно не зависит явно от фокусировки и его решения носят колебательный характер. Когерентность этих зарядовых колебаний приводит к колебаниям эмитганса. Условия минимума эмитганса получены из свойств линеаризованного уравнения. Аналитические оценки эмиттанса в минимумах и максимумах получены добавлением в линеаризованное уравнение высших членов разложения правой части исходного уравнения в ряд. Учет этих поправок приводит к сдвигу волнового числа зарядовых колебаний. Численные оценки получены интегрированием исходного нелинейного уравнения.

Для пушек получены численные оценки вне рамок данной модели, однако оптимизация корректирующего канала, предназначенного для оптимизации эмиттанса, проведена аналогично остальным каналам. Для оценки других эффектов, влияющих на эмитганс в пушках, использованы различные аналитические и численные модели.

Научная новизна работы включает следующие пункты. На основе модели локально холодного длинного сгустка построена общая модель движения пучка с превалированием собственного заряда. Эффекты продольной и поперечной неоднородностей заряда рассматриваются с единых позиций и описываются схожими уравнениями. Их проявления качественно одинаковы - это колебания эмиттанса.

Предложена концепция главной траектории — решения исходного нелинейного уравнения движения с заданными начальными условиями. Главная траектория масштабируется пропорционально корню из тока. В качестве главной выбирается траектория одного из слоев сгустка или одной из частиц слоя. Движение прочих рассматривается как возмущение соответствующей главной траектории.

Выведено линеаризованное уравнение для безразмерного отклонения от главной траектории. Оно не содержит явно фокусировки в канале и зависит лишь от параметров пучка. Его решения всегда носят колебательный характер, предложено называть их зарядовыми колебаниями. Зарядовые колебания различных слоев или частиц в слое когерентны в линейном приближении. Это приводит к колебаниям эмиттанса пучка. Таким образом, показано, что наблюдающиеся колебания эмиттанса пучка с превалированием собственного заряда являются фундаментальным свойством самого пучка и не связаны непосредственно с фокусировкой.

Показано, что выбор траектории движения одного из слоев сгустка или одной из частиц слоя в качестве главной имеет критическое значение. Лишь в этом случае относительная амплитуда зарядовых колебаний мала в окрестности этого объекта и движение пучка поддается анализу в линейном приближении. Если выбрать главное решение из других соображений (например, какое-либо известное аналитическое решение исходного нелинейного уравнения), амплитуды будут не малы и линейный анализ невозможен.

Получены критерии минимума эмиттанса в канале: нулевой наклон безразмерного отклонения или кратность к фазы зарядовых колебаний, определенной из свойств линейного уравнения.

Из-за нелинейности зарядовые колебания не полностью когерентны -нелинейная добавка приводит к сдвигу волнового числа. Величина этого сдвига получена из высших членов разложения в ряд правой части исходного уравнения. На основе выведенной формулы сдвига волнового числа получены аналитические оценки эмиттанса в минимумах и параметров оптимальных каналов. Такие же оценки получены и для максимумов. Выведена общая формула для оценки эмиттанса, внесенного оптимальной системой с превалированием собственного заряда. Варьируется лишь безразмерный коэффициент, зависящий от типа системы и распределения заряда. Полученные аналитически коэффициенты для различных типов каналов уточнены численно решением исходного нелинейного уравнения. Показано, что эмитанс в конце оптимального канала может быть в разы и десятки раз меньше, чем в неоптимальном.

Из анализа движения пучка в пушках получена формула для оценки эмиттанса - она в точности такая же, как и для электронных каналов. Движение пучка в пушке не соответствует описанной выше модели, так что коэффициенты получены численно. При этом движение в корректирующем канале после пушки происходит согласно описанной модели. Показано, что оптимальный корректирующий канал способен уменьшить эмиттанс пучка в 2. 15 раз. Определены рекомендации по геометрии импульсных пушек.

На основе изложенной модели разработан код для численной оптимизации акцептанса электронно-оптических каналов для пучков с превалированием собственного заряда. В силу использованной модели код на много порядков эффективнее для поставленной задачи, чем традиционные коды, оперирующие макрочастицами.

Научная ценность данной работы - это простая и наглядная линейная модель процессов в пучке заряженных частиц с превалирующим собственным зарядом. Она дает адекватное представление о сущности колебаний эмиттанса в таком пучке. С ее использованием возможно также получить оценки эмиттанса и параметров оптимальных каналов. Модель адекватна также для пучков с эллиптической симметрией и ненулевым микроскопическим эмитгансом.

Практическая ценность состоит в полученных оценках эмиттанса каналов и пушек и их оптимальных параметров. При проектировании инжекторов с предельно малым эмитгансом нетривиальны вопросы о минимально достижимом эмитгансе и выборе параметров машины. Обычно они решаются более или менее успешно численным моделированием с помощью каких-либо общепринятых либо специализированных кодов. При этом необходима оптимизация по большому числу параметров. Так как эффективность таких кодов оставляет желать лучшего, а начальное приближение известно очень неточно, процесс чрезвычайно трудоемок и занимает много времени. Знание хорошего начального приближения и понимание механизмов процессов в пучке резко сокращают время оптимизации.

Наконец, разработанный на базе упомянутой модели код позволяет весьма быстро оптимизировать электронно-оптические каналы на предмет потерь пучка. Это один из важнейших параметров ускорителей-рекуператоров с высокой реактивной мощностью. Хотя в работе рассматривались, в основном, электронные пучки, все полученные результаты могут быть применены без ограничений к протонным и ионным машинам с ограниченной длиной траектории.

Материалы исследования докладывались и получили положительную оценку на научных конференциях [11] - [34]. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [35] - [55].

Диссертация основывается на работах, выполненных автором в ИЯФ им. Г.И.Будкера СО РАН за период 1996-2008 гг., и посвящена проблемам влияния собственного заряда на эмитганс пучка и оптимизации параметров электронно-оптических каналов и пушек. Диссертация состоит из введения,

5.6. Выводы

1. На основе взглядов, изложенных в главах 2 и 3, разработан код для численного моделирования движения пучка с собственным зарядом в канале. В модели учитываются разброс сил собственного заряда вдоль сгустка и размеры апертур в канале. В конечном итоге оптимизируется акцептанс канала к пучку с заданным начальным током, размерами и наклонами.

2. С помощью этого кода успешно оптимизированы несколько электронных каналов. Процесс оптимизации достаточно быстр и занимает обычно меньшее время, чем ввод конфигурации канала.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, основные выводы и результаты работы следующие:

1. Получены оценки существенности влияния собственного заряда на движение пучка: "силовая" и "фазовая". Если не выполнено "силовое" условие, движение пучка происходит совершенно не так, как в одночастичной модели. Если же не выполнено "фазовое" условие, собственный заряд влияет на положении кроссоверов в канале.

2. Длинный в сопровождающей системе координат сгусток может быть рассмотрен как ансамбль независимо движущихся поперечных сечений (слоев). Если каждый слой однородно заряжен, обладает эллиптической симметрией, пулевым эмиттансом и движется в канале с линейной фокусировкой с той же симметрией, то любое решение уравнения Капчинского - Владимирского может быть названо главным - оно масштабируется пропорционально корню из тока слоя. Эмиттанс сгустка, все слои которого движутся по главным траекториям в фазовом пространстве, всегда равен нулю.

3. Выведено линеаризованное уравнение для малых отклонений от главной траектории. Оно имеет две моды колебаний - монопольную и квадрупольную. Движение в малом всегда устойчиво. Моды имеют значительно отличающиеся волновые числа. В аксиально-симметричной системе квадрупольная мода не возбуждается. Везде далее рассматриваются только такие системы.

4. При возмущенном движении в линейном приближении эмитанс обнуляется дважды за период. При этом фазовые портреты слоев совмещаются. Таким образом, зарядовые колебания - это не колебания огибающей пучка или радиуса частицы во внешнем фокусирующем поле, а колебания состояния относительно главной траектории в ФП.

И именно они приводят к колебаниям эмиттанса в силу их когерентности.

5. Неоднородный в поперечном направлении пучок (или слой) обладает теми же свойствами, если помимо всех приближений, изложенных выше, допустить полную ламинарность движения частиц в нем. Доля частиц, движение которых неламинарно, типично невелика - они не оказывают существенного влияния на оценки эмиттанса. При возмущенном движении такого пучка его фазовый портрет периодически искривляется и выпрямляется, то есть эмиттанс также осциллирует. Это, как и в предыдущем случае, следствие когерентности зарядовых колебаний.

6. Выведенное линеаризованное уравнение для малого безразмерного отклонения от главной траектории практически одинаково для движения слоев и частиц в слоях. Оно весьма удобно для анализа движения пучков с собственным зарядом.

7. Показано, что условие минимизации эмиттанса - нулевая производная безразмерного отклонения.

8. Нелинейность колебаний вокруг главной траектории легко учитывается в следующем приближении в виде поправки в частоту. Выведена формула этой поправки.

9. Уравнение для малого безразмерного отклонения однозначно определяет матрицу преобразования. Определений фазы может быть много - выбрано удобное для заявленных целей. Кратность такой фазы % есть альтернативное условие минимума эмиттанса пучка.

Ю.Явление, известное как "emittance compensation", напрямую никак не связано с фокусирующими свойствами канала (традиционно считается, что "компенсирующий" соленоид - абсолютно необходимый элемент). Оно является следствием устойчивости уравнения для малого безразмерного отклонения. В частности, минимумы эмитганса встречаются и при движении без фокусировки.

11.Из состояния ансамбля слоев или частиц могут быть определены дифференциальные характеристики пучка: фаза и относительная амплитуда зарядовых колебаний как функции координаты в сгустке либо слое. Это важнейшие характеристики для определения параметров оптимального канала для минимизации эмитганса и его оценки в минимуме.

12.Используя уравнение для малого безразмерного отклонения и нелинейную поправку волнового числа, получены аналитические оценки эмиттанса в минимумах и максимумах для эффекта продольной неоднородности собственного заряда. Эти оценки уточнены численно. Одновременно найдены параметры оптимальных каналов. Оптимальный для минимумов канал сильно несогласован с пучком — огибающая в нем меняется в ~ 3 раза. Численная оценка эмиттанса меньше аналитической в ~ 2 раза. Оптимальный для максимумов канал согласован с пучком, оценки эмиттанса совпадают.

13. Аналогичные оценки получены для эффекта поперечной неоднородности заряда. Оптимальный для минимумов канал в этом случае также несогласован с пучком - огибающая в нем меняется в ~ 1.4 раза. Численная оценка эмиттанса меньше аналитической в ~2 раза. Оптимальный для максимумов канал согласован с пучком, оценки эмиттанса совпадают.

14.Получены численные оценки эмиттанса для совместного эффекта. Параметры оптимальных каналов промежуточны между двумя ранее рассмотренными случаями, а значения эмиттанса выше.

15.Аналогичные оценки (где возможно, аналитические, а численные во всех случаях) получены для каналов с неоднородной фокусировкой, с группировкой и с ускорением. Основные выводы те же, что и в предыдущих случаях.

16.Во всех случаях эмиттанс в конце оптимального канала в разы и десятки раз меньше, чем в неоптимальном.

17.Описанная выше модель пучка не работает в электронных пушках, поэтому для их анализа применялось численное моделирование. Получена формула масштабирования эмиттанса. Для пушек и каналов она одинакова.

18.Рассмотрен набор пушек с различной геометрией. Варьировались отношение длины пушки к размеру эмиттера и распределение электрического поля в пушке. Для каждой пушки вычислены параметры слоя в зависимости от тока и дифференциальные параметры сгустка: фаза и относительная амплитуда зарядовых колебаний. Подобраны оптимальные идеальный (линейный) и простейший неоднородный корректирующие каналы, минимизирующие эмиттанс.

19.Добавление оптимального корректирующего канала снижает эмиттанс в 2. 15 раз.

20.Наилучшая геометрия импульсной пушки при условии использования корректирующего канала - с плоским прикатодным электродом. Плотность тока с катода должна быть наибольшей возможной при данной геометрии.

21.Сделаны оценки эффектов сетки для катода с сеткой. Самый сильный эффект, сравнимый с макроскопическим эффектом собственного заряда в пушке, - (де)фокусировка на ячейках сетки, зависящая от тока. Для фотоэлектронных пушек начальная температура электронов дает эффект, сравнимый с собственным зарядом.

22.На основе описанной выше модели разработан код для численного моделирования движения пучка с собственным зарядом в канале. В модели учитываются разброс сил собственного заряда вдоль сгустка и размеры апертур в канале. В конечном итоге оптимизируется акцеггганс канала для пучка с заданным начальным током, размерами и наклонами.

23.С помощью этого кода успешно оптимизированы несколько электронных каналов. Процесс оптимизации достаточно быстр и занимает обычно меньшее время, чем ввод конфигурации канала. Из вышеизложенного важнейшими результатами являются 2-8 и 10-17. Добавка в нормализованный эмиттанс в любой системе с превалированием собственного заряда из рассмотренных выше определяется по формуле (3.135) где 8е - коэффициент, зависящий от типа системы, г - среднеквадратичный размер пучка на входе, I - ток пучка, /0 = 4л ■ тс2- ток Альвена, Р = у/с

- отношение скорости частицы к скорости света, а у = ^1/(1 — (З2) релятивистский фактор. Для рассмотренных оптимальных систем 8е колеблется в пределах 0.0079.0.046. Если же в канале происходит группировка либо ускорение пучка, ес пропорционально и0-28-0-33 либо а"0136 '0 соответственно, где и = /„„,//,-„ и ®* = рои11рт - коэффициенты группировки и ускорения соответственно.

В дальнейшем было бы весьма полезно решить непростую задачу оптимизации канала с эллиптической симметрией (то есть содержащего диполи и квадруполи). Такие каналы обязательно присутствуют в инжекторах ускорителей-рекуператоров, а энергия инжекции в них по соображениям радиационной безопасности обычно не превышает 10 МэВ. В этом случае необходимо включить в рассмотрение квадрупольные моды колебаний.

Микроскопический (сеточный или тепловой) эмитганс слоя также оказывает влияние на движение пучка. Хотя основные результаты работы от этого не меняются, но возможны поправки в оценки вклада собственного заряда в эмитганс и параметров оптимального канала. Было бы неплохо в будущем учесть эти поправки, тем более что сеточный эмитганс варьируется от слоя к слою.

Полученные в диссертации оценки позволяют получить хорошее приближение как параметров пучка, так и геометрии инжектора высокой яркости на самом раннем этапе проектирования машины и использовать его как начальное приближение для дальнейшей прецизионной численной оптимизации.

Я глубоко признателен Геннадию Николаевичу Кулипанову и Николаю Александровичу Винокурову за плодотворное обсуждение материалов диссертации и высказанные ценные замечания. Выражаю искреннюю благодарность коллегам за совместную работу над инжектором ЛСЭ: Михаилу Александровичу Тиунову, Геннадию Ивановичу Кузнецову, Александру Даниловичу Орешкову, Михаилу Алексеевичу Щеглову, Евгению Ивановичу Колобанову, Александру Николаевичу Матвеенко, Олегу Александровичу Шевченко и всем сотрудникам лабораторий 8-1, 6-0, 6-1 и 6-2 ИЯФ. Также хочу поблагодарить своих зарубежных коллег за совместную работу над инжектором в KAERI: Byung Cheol Lee, Young Uk Jeong, Seong Нее Park и Young Kyung Lim (KAERI, Корея) и проектом 4GLS: Hywel Owen и Bruno Muratori (ASTeC, Соединенное Королевство).

1. http://www-ssrl.slac.stanford.edu/lcls/machine.html

2. L. F. DiMauro, J. Arthur, N. Berrah, et al. Progress report on the LCLS XFEL at SLAC. J. Phys.: Conf. Ser. 88 (2007) 012058.3. http://xfel.desv.de/

3. J. Feldhaus, J. Arthur and J. B. Hastings. X-ray free-electron lasers. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 38 (2005) S799.

4. T. Behnke. Linear electron positron colliders. NIM A494 (2002), 22.

5. T. Behnke. The ILC: The next step in Particle Physics. J. Phys.: Conf. Ser. 53 (2006)371.

6. F. M. Quinn, E. A. Seddon, W. F. Flavell, et al. The 4GLS Project: update and technological challenges. AIP Conf. Proc., May 12, 2004, 705, 93.

7. G. Kulipanov, A. Skrinsky, and N. Vinokurov. Multi-pass Accelerator-Recuperator (MARS) as Coherent X-ray Synchrotron Radiation Source. AIP Conf. Proc., January 19, 2007, 879, 234.

8. В. C. Lee, S. K. Kim, ., S. Miginsky, et al. Parameters of microtron beam: simulation and measurement. AFEL'97, Hirakata, Osaka, Japan, Jan. 21-24, 1997.

9. D. G. Myakishev, S. V. Miginsky, M. A. Tiunov. 2 MeV injector: numerical simulation. XII National Conf. SR-98, July 13-18, 1998, Novosibirsk, Russia.

10. V.Anashin, V.Arbuzov, S. V. Miginsky, et al. Status of the 2-MeV CW RF injector for the Novosibirsk high-power FEL. XII National Conf. SR-98, July 13-18, 1998, Novosibirsk, Russia.

11. В.В.Анашин, Я.К.Авласов, ., С. В. Мигинский и др. Состояние работ на 2-МэВ инжекторе для мощного ЛСЭ. XVI совещание по ускорителям заряженных частиц, Протвино, 20 22 октября, 1998.

12. N. Fomin, Е. Gorniker, ., S. Miginsky, et al. Getting Short Bunches from a 2-MeV Electron Injector. 13th International Conference on High-Power Particle Beams June 25-30, 2000, Nagaoka, Niigata 940-0048, Japan.

13. S.V.Miginsky, V.V.Anashin, V.S.Arbuzov, et al. Status of a 2-MeV CW RF injector for the Novosibirsk high-power FEL. APAC'01, September 17-21, 2001 Beijing, China. Proc.: 82-84.

14. В. C. Lee, Y. U. Jeong, ., S. Miginsky. KAERI Infrared FEL Driven by a 40-MeV Superconducting Accelerator. 24th International Free Electron Laser Conference, September 9-13, 2002, Argonne, Illinois, USA.

15. S. V. Miginsky. An optimizer for high-current beamlines. APAC2004, March 22-26, Gyeongju, Korea. Proc. 756-758.

16. S. V. Miginsky. An optimizer for high-current beamlines. ICAP'04, June 29 July 4, St.-Petersburg, Russia.

17. S. V. Miginsky, G. N. Kulipanov, N. A. Vinokurov. A facility for a few views X-ray tomography of transient processes. XV International Synchrotron Radiation Conference SR-2004, July 19-23, 2004, Novosibirsk, Russia.

18. Seong Нее Park, Kitae Lee, ., S. Miginsky. Compton X-Ray Generation at the KAERI SC RF LINAC. FEL2005, Stanford Univ., Palo Alto, California, USA, Aug 21-26 2005.

19. S. V. Miginsky, A. V. Bondarenko, В. C. Lee, et al. The project of a highpower FEL driven by an SС ERL at KAERI. XIX International Workshopon Charged Particle Accelerators, September 12-18, 2005, Alushta, the Crimea, Ukraine.

20. A. V. Bondarenko, S. V. Miginsky, B. C. Lee, et al. The Design of a 1.8 keV Compton X-Ray Generator for a SC RF Linac at KAERI. EPAC 2006, Edinburgh, UK 26-30 June 2006 Proc.: 196.

21. S. V. Miginsky. Minimization of Space Charge Effect. XVI International Synchrotron Radiation Conference SR-2006, Novosibirsk, Russia, 10-15 July 2006.

22. S. H. Park, K. T. Lee, ., S. Miginsky. Design Study for a 1 keV Compton X-Ray Generation with the KAERI SC RF Linac. XVI International Synchrotron Radiation Conference SR-2006, Novosibirsk, Russia, 10-15 July 2006.

23. A.V.Bondarenko, S. Miginsky , B.C.Lee, et al. A Compton X-ray Source Based on a SC Linac at KAERI. XVI International Synchrotron Radiation Conference SR-2006, Novosibirsk, Russia, 10-15 July 2006.

24. S. V. Miginsky. Optimal Beamlines for Beams with Space Charge Effect. XXth Russian Conference on Charged Particle Accelerators RuPAC 2006, Novosibirsk, Russia, September 10-14, 2006.

25. A.V.Bondarenko, S. Miginsky , B.C.Lee, et al. 1.8 keV Compton X-ray source driven by SC linac at KAERI. XXth Russian Conference on Charged Particle Accelerators RuPAC 2006, Novosibirsk, Russia, September 10-14, 2006.

26. S. V. Miginsky. Electron Guns and Beamlines in the View of Emittance Compensation. Asian Particle Accelerator Conference APAC 2007 , Indore, India , Jan 29 Feb 2 2007.

27. S. V. Miginsky. Coherence of space charge vibration and parameters of electron guns. FEL 2007, Aug 26-31, Budker INP, Novosibirsk, Russia.

28. S. V. Miginsky. Emittance Compensation in Non-Circular-Symmetrical Beamlines. Advanced Beam Dynamics Workshop NANOBEAM-2008, Novosibirsk, Russia, May 25-30, 2008.

29. S. V. Miginsky. Coherence of Charge Oscillation and Emittance Compensation. Advanced Beam Dynamics Workshop NANOBEAM-2008, Novosibirsk, Russia, May 25-30, 2008.

30. S. V. Miginsky. Emittance Compensation of Elliptical Beams. XVII International Synchrotron Radiation Conference SR-2008, Novosibirsk, Russia, 15-20 June 2008.

31. S. V. Miginsky. Scope of the Locally Cold Beam Model. XVII International Synchrotron Radiation Conference SR-2008, Novosibirsk, Russia, 15-20 June 2008.

32. С. В. Мигинский, В. В. Перов. Влияние собственного заряда на группировку сгустка. Препринт ИЯФ №93-92, Новосибирск, 1993.

33. В. И. Баткин, Э.Л. Бояринцев, ., С. В. Мигинский и др. Инжектор для ускорителя лазера на свободных электронах. Приборы и техника эксперимента, 1997, №5, 94-97 (Instrum. Exp. Tech. 40: 672-675, 1997).

34. В. С. Lee, У. U. Jeong, ., S. V. Miginsky, et al. High average current 2-MeV electron accelerator for a high-power free-electron laser. Nucl. Inst. Meth. Phys. Res. A 429 (1999), 352-357.

35. S. V. Miginsky. New Quadratures with Local Error Estimation and Two Strategies of Step Control in Calculation of Definite Integrals. Prepr. BINP #2001-18, Novosibirsk, 2001. http://www.inp.nsk.su/activitv/preprints/files/2001 018.pdf

36. Antokhin, R. R. Akberdin, ., S. V. Miginsky, et al. Commissioning of the accelerator-recuperator for the FEL at the Siberian Center for Photochemical Research. Journal of Synchrotron Radiation, 10 (2003) Part 5, 343-345.

37. S. V. Miginsky. New Quadratures with Local Error Estimation and Two Strategies of Steplength Control in Calculation of Definite Integrals. International Journal of Computer Mathematics, 80 (2003), #3, 347-356.

38. В. C. Lee, Y. U. Jeong, ., S. V. Miginsky. High-power infrared free electron laser driven by a 352 MHz superconducting accelerator with energy recovery. Nucl. Inst. Meth. Phys. Res. A 528 (2004), 106-109.

39. S. V. Miginsky, G. N. Kulipanov, N. A. Vinokurov. A facility for a few views X-ray tomography of transient processes. NIM A 543 (2005), 166169.

40. V. P. Bolotin, N. A. Vinokurov, S. V. Miginsky, et al. A project of accelerator-recuperator for Novosibirsk high-power FEL. Physics of Particles and Nuclei Letters, V. 3, Supp. 1 / Dec., 2006, S40-S42.

41. V.P. Bolotin, N.A. Vinokurov, ., S. V. Miginsky, et al. Status of the Novosibirsk terahertz FEL (Статус терагерцового ЛСЭ в Новосибирске). Problems of Atomic Science and Technology (Вопросы атомной науки и техники), 2006, №2, 5-7.

42. S. V. Miginsky. An optimizer for high-current beamlines. NIM A 558 (2006), 127-130.

43. S. H. Park, К. T. Lee, ., S. V. Miginsky. Design Study for a 1 keV Compton X-Ray Generation with the KAERI SC RF Linac. Nucl. Inst. Meth. Phys. Res. A 575 (2007), 17-21.

44. A. V. Bondarenko, S. V. Miginsky, В. C. Lee, et al. A Compton X-ray Source Based on a SC Linac at KAERI. NIM A 575 (2007), 11-13.

45. S. V. Miginsky. Minimization of Space Charge Effect. NIM A 575 (2007), 234-237.

46. A. V. Bondarenko, S. V. Miginsky, В. C. Lee, et al. Electron Optics of a Future SC ERL at KAERI. NIM A 575 (2007), 14-16.

47. S. V. Miginsky. Space charge effect, coherence of charge vibration and emittance. Prepr. Budker INP №2007-11, Novosibirsk, 2007. http://vvww.inp.nsk.su/activitv/preprints/files/2007 011 .pdf

48. С. В. Мигинский. Когерентность колебаний пучка в поле собственного заряда и параметры электронных пушек. Вестник НГУ 2 (2007), вып. 4, 132-144.

49. С. В. Мигинский. Оптимизатор акцептанса сильноточных электронно-оптических каналов. Вестник НГУ 3 (2008), вып. 2, (в печати).

50. С. В. Мигинский. Колебания эмиттанса в локально холодном пучке. Вестник НГУ 3 (2008), вып. 3, (в печати).

51. С. В. Мигинский. Эффект собственного заряда, когерентность зарядовых колебаний и эмиттанс. Журнал технической физики 78 (2008) (в печати).

52. Handbook of accelerator Physics and Engineering. Editors: A. W. Chao and M. Tigner. World Scientific, 1999.

53. J. Rosenzweig, E. Colby Charge Wavelength Scaling of RF Photoinjector Designs. In: Advanced Accelerator Concepts, AIP Conference Proc. 335 (1995), 724.

54. M. Reiser. Theory and Design of Charged Particles Beams. A Wiley-Interscience Publication, 1994.

55. H. Alfven. On the Motion of Cosmic Rays in Interstellar Space. Phys. Rev. 55 (1939), 425.

56. I. M. Kapchinsky, V. V. Vladimirsky. Limitations of Proton Beam Current in a Strong Focusing Linear Accelerator with the Beam Space Charge. In

57. Proc.: Int. Conf. on High-Energy Acc. and Instrum. CERN, Geneva, 1959, 274.

58. И. M. Капчинский. Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях. М., Атомиздат, 1966.

59. И. М. Капчинский. Теория линейных резонансных ускорителей. М., Энергоиздат, 1982.

60. F. J. Sacherer. Transverse Space-Charge Effects in Circular Accelerators, Ph.D. Thesis, LBNL, Berkeley, CA, October, 1968.

61. J. Struckmeier, I. Hofmann. Generation of Emittance Conserving non-KV Distributions in Periodic Focusing Channels. EPAC98 Sixth European Particle Accelerator Conference, Stokholm, 22-26 June 1998.

62. V. Danilov, S. Cousineau, S. Henderson, J. Holmes. Self-consistent time dependent two dimensional and three dimensional space charge distributions with linear force. Phys. Rev. ST Accel. Beams 6, 094202 (2003).

63. F. J. Sacherer. RMS Envelope Equations with Space Charge. IEEE Trans. Nucl. Sei. 18 (1971), 1105.

64. P. M. Lapostolle. Possible emittance increase through filamentation due to space charge in continuous beams. IEEE Trans. Nucl. Sei., NS-18 (1971), 1101.

65. В. E. Carlsten. Space-Charge-Induced Emittance Compensation in High-Brightness Photoinjectors. Particle Accelerators 49 (1995), 27.

66. K. J. Kim. RF and Space-Charge Effects in Laser-Driven RF Electron Guns. NIM A 275 (1989), 201.

67. S. L. Smith, B. D. Muratori, H. L. Owen, et al. Optic issues in ongoing ERL projects. NIM A 557 (2006), 145-164.

68. N. A. Vinokurov. Space Charge. In: High Quality Beams, Joint US-CERN-Japan-Russia Accelerator School. St. Petersburg and Moscow, Russia, 1-14 July 2000. Melville, New York, 2001.

69. I. Hofmann. Space Charge Dominated Beams. In: Frontiers of Particle Beams. Springer-Verlag, 1986 (сборник), p. 200.

70. В. E. Carlsten, New photoelectric injector design for the Los Alamos National Laboratory XUV FEL accelerator, NIM A 285 (1989), 313.

71. L. Serafmi, J. Rosenzweig. Envelope Analysis of Intense Relativistic Quasilaminar Beams in RF Photoinjectors: A Theory of Emittance Compensation, Phys. Rev. E 55 (1997), 7565.

72. Дж. Лоусон. Физика пучков заряженных частиц. М., Мир, 1980. J. D. Lawson. The Physics of Charged-Particle Beams. Clarendon Press, Oxford, 1977.

73. M. Ferrario. Recent advances and novel ideas for high brightness electron beam production based on photo-injectors. ICFA 2002. Proc. in: The Physics and Application of High Brightness Electron Beams 45, World Scientific, Singapore, 2003.

74. В. E. Carlsten. Emittance growth due to radial density variations of an emittance dominated electron beam in a channel with continuous acceleration and focusing. Physics of Plasmas 5 (1998), 1148.

75. В. E. Carlsten. Long-term, correlated emittance decrease in intense, high-brightness induction linacs. Physics of Plasmas 6 (1999), 3615.

76. В. M. Fomel, M. A. Tiunov and V. P. Yakovlev. SAM an Interactive Code for Evaluation of Electron Guns. Prepr. Budker INP №96-11, Novosibirsk, 1996. http://www.inp.nsk.su/activitv/preprints/oldwww/texts/p96 1 l.ps

77. H. Xiaozhong, T. Chuanxiang, H. Wenhui, L. Yuzheng. A first-order analytical investigation on emittance evolution of relativistic space-charge dominated beams. NIM A 560 (2006), 197.

78. Chung-xi Wang. Comment on the Invariant-Envelope Solution in RF Photoinjectors. NIM A 557 (2006), 94.

79. Chun-xi Wang, Kwang-Je Kim, M. Ferrario and An Wang. Criteria for emittance compensation in high-brightness photo injectors. Phys. Rev. ST AB, 10(2007), 104201.

80. X. Chang, I. Ben-Zvi, J. Kewisch. Emittance compensation of compact superconducting guns and booster linac system. Phys. Rev. ST Accel. Beams 9, 044201 (2006).

81. B. E. Carlsten, D. T. Palmer. Enhanced emittance compensation in a high-frequency RF photoinjector using RJF radial focusing. NIM A 425 (1999), 37.

82. J. B. Rosenzweig, A. M. Cook, R. J. England et al. Emittance compensation with dynamically optimized photoelectron beam profiles. NIM A 557 (2006), 87.

83. O. J. Luiten, S. B. Van der Geer, M. J. De Loos, et al. How to Realize Uniform Three-Dimensional Ellipsoidal Electron Bunches. Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 094802-1.

84. M. Ferrario, W. D. Moeller, J. B. Rosenzweig, et al. Optimization and Beam Dynamics of a Superconducting Radio-Frequency Gun. NIM A 557 (2006), 98.

85. X. Qiu, K. Batchelor, I. Ben-Zvi, and X-J. Wang. Demonstration of Emittance Compensation through the Measurement of the Slice Emittance of a 10-ps Electron Bunch. Phys. Rev. Lett., 76 (1996), 3723.

86. D. H. Dowell, P. R. Bolton, J.E. Clendenin. Slice Emittance Measurements at the SLAC Gun Test Facility. NIM A 507 (2003) 327.

87. J. Yang, F. Sakai, T. Yanagida, et al. Low-emittance electron-beam generation with laser pulse shaping in photocathode radio-frequency gun. J. Appl. Phys., 92 (2002), 1608.

88. J. Rossbach, P. Schmuser. Basic Course on Accelerator optics. CAS CERN Accelerator School. Fifth General Acc. Phys. Course. Proc. Geneva, 1994, 17-88.

89. JI. Д. Ландау, Е. М. Лифншц. Теоретическая физика: Механика, т. 1. М., Наука, 1988.

90. Г. Брук. Циклические ускорители заряженных частиц. М., Атомиздат, 1970.

91. J. R. Dormand and P. J. Prince. J. Сотр. Appl. Math., 6 (1980), 19-26.

92. Ф. P. Гантмахер. Лекции по аналитической механике. М., Физматгиз, 1960.

93. Б. Н. Пшеничный, Ю. М. Данилин. Численные методы в экстремальных задачах. М., Наука, 1975.

94. J. R. Pierce, Theory and Design of Electron Beams, Van Nostrand, Princeton, New Jersey, 1954.98. http://www-ssrl.slac.stanford.edu/lcls/99. http://www-ssrl.slac.stanford.edu/lcls/parameters.html

95. V. Miltchev, K. Abrahamyan, G. Asova, et al. Transverse Emittance Measurements at the Photo Injector Test Facility at DESY Zeuthen. FEL'04, Trieste, Italy, Aug 29 Sep 3 2004.

96. F. Lohl, S. Schreiber, M. Castellano, et al. Measurements of the transverse emittance at the FLASH injector at DESY. PRST-AB 9, 092802 (2006) http://prst-ab.aps.org/pdf/PRSTAB/v9/i9/e092802

97. S. Schreiber. Commissioning of the VUV-FEL Injector at TTF. EPAC'04, Lucerne Congress Centre, Switzerland, 5-9 July 2004.

98. M. Krasilnikov et al., "Characterization of the electron source at the Photo Injector Test Facility at DESY Zeuthen,", FEL 2003, Tsukuba, 8-12 Sept 2003.

99. J. Yang, F. Sakai, T. Yanagida, et. al. Experimental Studies of Photocathode RF Gun with Laser Pulse Shaping. EPAC'02, Paris 3-7 June 2002.

100. W. J. Brown. Low emittance electron beam production and characterization with a 17 GHz photocathode RF gun. Ph. D. thesis. MIT 2001. http://dspace.mit.edu/handle/l 721.1/8287

101. S. R. Trotz. Experimental Study of a 17 GHz High Gradient Photocathode Injector. Ph. D. thesis. MIT 1997.

102. W. J. Brown, S. Trotz, К. E. Kreischer, et al. Experimental and theoretical investigations of a 17 GHz RF gun. NIM A425 (1999), 441-459.

103. В. Ф. Козлов. Справочник по радиационной безопасности. М., Атомиздат, 1977.

104. Б. Прайс, К. Хортон, К. Спинни. Защита от ядерных излучений. М., 1959.

105. TRACE 3-D Documentation, K.R. Crandall and D.P. Rusthoi, LA-UR-97-886, Los Alamos National Laboratory Report, May 1997.

106. L. Young and J. Billen, Los Alamos National Laboratory Technical Report No. LA-UR-96-1835, 1996.112. www.cst.de

107. M. Borland. Elegant: A Flexible SDDS-Compliant Code for Accelerator Simulation. Advanced Photon Source LS-287, September 2000.

108. M. Borland. Elegant: A Flexible SDDS-Compliant Code for Accelerator Simulation. ICAP-2000, Darmstadt, Germany, September 2000.

109. E. Hairer, S. P. Norsett, G. Wanner. Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems. Springer-Verlag, 1986. Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М., Мир, 1990.

110. В. С. Lee, Y. U. Jeong, S. Н. Park, et al. NIM A 528 (2004), 106-109.

111. S. V. Miginsky, N. A. Vinokurov, D. A. Kayran, et al. Status of the Novosibirsk High Power Terahertz FEL APAC 2007, Indore, India , Jan 29 -Feb 2 2007 Proc.