Оснащенные распределения касательных элементов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА. II ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИ« ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имеип С. II. ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.02

Па правах рукописи УСУБАЛИЕВА Айнура СагынСековна

ОСНАЩЕННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАСАТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

(01.01.04 — Геометрия и то. огня)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1991

Работа выполнена в Московском государственном университете пм. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ЕВТУШИК Л. Е.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор СТЕПАНОВ Н. В.

кандидат физико-математических наук, доцент МИКЕШ Й.

Ведущая организация — Калининградский государственный университет. *

на заседании специализированного совета К 053.02.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском ордена Ленина н Трудового Красного Знамени педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, 14. Математический факультет МПГУ им. В. И. Ленина, ауд. 302.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ им. В. И. Ленина (119882, Москва, Малая Пироговская, 1).

Автореферат разослан «.....'¿$199 I г.

Защита состоится

часов

Учен! ециализированного совета,

доцент Г, А. КАРАСЕВ

1 I

АртудльррстЕ, Т9Ш- Усилия многих геометров в прошлом и текущем столетиях бшш направлены на изучение геометрических свойств совокупности интегральных кривых не вполне интегрируемых систем Пфаффа. Эта задача сохраняет свою актуальность я в современной дифференциальной геометрии и составляет ее раздел - теория распределений на многообразиях. При этом, распределения коразмерности два, оснащенные векторным полем, ортогональным к плоскостям распределения, занимает "промежуточное" положение мевду гиперраспрёделенизм и распределением коразмерности больше двух. Зтим обусловлен интерес, проявляемый к исследованию таких распределений.

работы. Изучение геометрических свойств совокупности интегральных кривых двумерного оснащенного распределения четырехмерного евклидова пространства, посредством выяснений аналогов геометрических характеристик классической дифференциальной геометрии, а такяе исследование понятий и конструкций, возникающих непосредственно из таких распределений.

Рау?йад_ рорпзнд.. Новым в лиссертадаи является следующее: I. Впервые :еских харахтерис-

завясимость этих характеристик от выбора оснащения.

2. С помощью оснащения конструируются различные инвариантные сети распределения /\р и устанавливается их взаимосвязь с известными ^вариантными сетями неоснащенного двумерного распределения /\ в четырехмерном евклидовом пространстве.

3. Впервые для сетей распределения рассматривается понятие псевдофокусов на оснащающей л дополнительной нормалях. Изучаются геометрические свойства сетей в зависимости от расположения их псевдофокусов, а также влияние геометрических свойств сети на расположение юс псевдофокусов (обратная задача). В частности, подобно исследуются псевдофокусы сетей, сконструироватшх в настоящей работе.

Пр^удчесрд^ рдрррруЕ. Результаты работы могут быть использованы в дальнейших исследованиях по диффербнщгальной геометрии теории распределений на гладких многообразиях, главным образом при геометрической интерпретации некоторых факторов многомерной неголономной геометрии. Рассмотрение четырехмерного пространства целесообразно о точки зрения теории относительности.

тик двумерного рактеристиками :

аналогичными ха-; устанавливается

Дпробзддя пабода. Результаты работы докладывались я обсуждались на заседаниях научно-исследовательского семинара при кафедре геометрии Московского педагогического государственного университета км. В.И.Лекина (руководитель - проф. В.Т.Базылев), на семинаре классической дифференциальной геометрии в Московском государственном университете ш. М.В.Ломоносова (руководитель -проф. Л.Е.ЕвтугшО, на семинаре при кафедре алгебры я геометрии Киргизского государственного университета им. 50-летия СССР (руководитель - доцент Б.А.Абакиров), а также на Всесоюзной школа "Оптимальное управление. Геометрия: и анализ" (г.Кемерово).

Дуфшкации. По материалам диссертации опубликовано пять работ, которые отражают основное содержание диссертации.

р^бртц. Диссертационная работа состоит из введения, .трех глав и списка литературы из Si наименований. Изложена на IIS машинописного текста.

Содержание работы

Настоящая работа относится к теории распределений, т.е. к разделу локальной дифференциальной геометрии, в которой изучаются геометрические конструкции, определенные не вполне интегрируй тш системами дифференциальных уравнений Пфаффа. В работе исследуются неинтегрируеше 2-мврные распределения четырехмерного евклидова пространства, дооснащенные заданием векторного поля, ортогонального плоскостям распределения.

При этом, если в каждой точке четырехмерного евклидова пространства Ev по определенному закону сопоставляется 2-плос-ность, то говорят, что задано двумерное распределение Д в

Е4 . Кривые линии, которые в каждой своей точке А 'касаются 2-плоскостк распределения, обр азу шей вместе с этой точкой элемент распределения, называются интегральными кривыми распределения и образуют пфаффово (или иеголономное) многообразие этого распределения.

Если при этом задано векторное пол.е р , ортогональное в каждой точке 2-плоскости расределения, ?о говорят, что задано оснащенное распределение в .

Если систем дифференциальных уравнений, задающая совокупность интегральных кривых распределения Д Р вполне интегрируема, то у нее существуют двумерные интегральные многообразия и, ;

следовательно, все интегральные кривые, проходящие через одну течку, определяют в этой точке элемент поверхности, и все пространство Е^, расслаивается на г°°г поверхностей. В этом случае . говорят, что распределение интегрируемо иди голояомно. В

противном случае, когда условия: интегрируемости не ешолшэны, интегральные кривые, проходящие через одну точку, поверхности не образуют. В этом случае говорят, что распределение /Ч ^ неинтегрируемо или неголономно. В работе изучается случай не-интегряруемых распределений.

Работа состоит из трех глав. Первая глава посвящена изучению различных кривизн, связанных с интегральными кривыми распределения ели от них независящие, определенные только точкой пространства и оснащением. Приводятся их геометрические характеристики и взаимосвязи, а также связи с аналогичными понятиями для поверхностей и неоснащенных распределений Д . Во второй главе речь идет о построении различных инвариантных сетей оснащенных распределений Д^ . При этом под сетью ш будем понимать пару интегральных линий распределения /\Г , определенных парой инвариантно заданных направлений, т.е. интегральных линий пары инвариантных одномерных распределений. В последней главе изучаются псевдсфокусы различных сетей распределения на

оснащающей нормали. Понятие псэадофокусов сети для поверхности на нормали к этой поверхности (в отличие от понятия фокуса в касательной плоскости поверхности) било введено В.Г.Еазылевш и активно изучалось в работах его учеников. Под псевдофокусом сети на нормали понимается такая точка нормали (в общем случае их две), дифференциал которой при смещении исходной точки по поверхности в направлении одной лиши сети, остается ортогональным этому направленна (т.е. расположено в нормальной плоскости, ортогональной данному направлении). Это определение ойо&цается на сети распределения /Ч г , и изучаются возможные расположения на оснадавдей нормали псевдофокусов сети распределения, построенных во второй главе, даотся различные геометрические интерпретации различных случаев расположения псевдофокусов.

§ I главы I носит вспомогательный характер, В нем приведены' основные понятия и обозначения, связанные с распределением Д/> . В частности, получены условия полной интегрируемости распределения. В следующем параграфе рассмотрена относительная кривизна интегральной кривой, как проекция вектора кривизны кривой (

на оснащающую нормаль [А,р] , построена индикатриса этой кривизны по аналогии с индикатрисой Дюпена для поверхностей по типу индикатрисы проведена классификация точек пространства Е^ . Доказана теорема Меньв для этой кривизны. Показана связь относительной кривизны оснащенных распределений с вектором нормальной кривизны неоснащенных распределений А . Именно, имеет место

где Ип - ректор нормальной кривизны интегральной кривой распределения Л г (проекция вектора кривизны на ортогональную плоскость

Ш) распределения), К¥ , - кривизны отно-

сительно двух ортогональных оснащений р и

В следу идем параграфе вычисляются главные относительные 1фивизны как экстремумы относительных кривизн, определяется полная (как произведение главных) кривизна, ее связь с полной кривизной неоснащенных двумерных распределений пространства Ё^ . В частности, справедливо

~ Кпр + К^ ,

где К„ - полная кривизна распределения Д , оцределенная как полная кривизна соприкасающейся двумерной поверхности распределения Д , Кпр , Кц^ - полные кривизны относительно двух ортогональных оснащений р и Ц . Доказана справедливость теоремы Эйлера о связи относительной кривизны произвольной интегральной кривой распределения о главными относительными кривизнами этого распределения. .Рассмотрены относительно омбилические точки, т.е. точки, в которых относительные кривизны по всем направлениям одинаковы. Показано,. что если точка является омбилической относительно двух ортогональных оснащений, то она омбилическая относительно любого другого оснащения.

В § 4 по аналогии о классической теорией поверхностей рассматривается средняя относительная кривизна оснащенного распределения как полусумма главных; дается геоштрическая характеристика этой кривизны, приводится еа связь со средней кривизной двумерного неоснащенного распределения, определенной как радиус-вектор центра индикатрисы вектора нормальной кривизны (вектора, ортогонального плоскости распределения)•

В § 5 этой главы осуществляется два подхода к определению линий кривизны. Именно, рассматриваются интегральные линии, огибаемые направлениями о экстремальной относительной кривизной -линии относительной кривизны 1-го рода, и интегральные линии, в бесконечно близких точках которых оснащавшие нормали пересекаются - линии относительной кривизны 2-го^ода. Оказалось, что в случае неинтегрируемого распределения Ар - это различные совокупности кривых. Они сливаются при выполнении условий интегрируемости распредблеяия и только в этом случае. Эти сети кривых : в каждой точке имеют общие биссектрисы, а линии относительной кривизны 1-го рода всегда ортогональны.

Подсчитав произведение огносительных кривизн дан линий кривизны 2-го рода (по аналогии о произведением относительных кривизн линий кривизны 1-го рода, приводящие к понятию полной кривизны) , мы придем к некоторому инварианту (не зависящему от направлений, а только от точки и оснащения), который назван в работе гаусоовой относительной кривизной распределения ДР . Эту величину можно охарактеризовать геометрически через сферическое отображение по аналогии о тем, как это делается в классической теории поверхностей. Длся этого надо рассматривать предел отношения элемента площади сферического отображения к элементу плскаада данной поверхности, когда последний стягивается в точку. Существенно по-другому обстоят дела в случае неинтегрируэмого распределения, так как в этом случае невозможно выделить элемент поверхности, а также коразмерность два не позволяет рассматривать обычное сферичеокое отображение. Но как оказалось, для сферического отображения вполне достаточно рассмотреть три бесконечно близкие точки плоскости распределения А ДА) и оснащающие нормали в этих точках. Отнеся затем эти нормали к одной точке, мы получим сферический треугольник, который необходимо спроектировать на исходную 2-плоскооть распределения А ) и сравнить его площадь с площадью исходного треугольника (взять предел, когда исходный треугольник стягивается в точку). Полученный предел с точностью до знака совпадает о введенной гауссовой относительной кривизной. Можно определенным образом образом приписать знал рассматриваемому пределу и в точности получить гауссову кривизну.

Сравнивая эту^ величину с полной отсноситейьной кривизной распределения- Др , получим, чта они совпадают в случае интегрируемости распределения.

Для неоснащенных распределений Л вводилось понятие гауссовой кривизны следующим образом. Рассматривалось трехмерное проективное пространство Р3 , которое дополняет четырехмерное евклидово пространство Е^ до четырехмерного проективного пространства ^ . Евклидовы двяяенкя пространства Е^ индуцируют в пространстве ?3 эллиптическое движение. Каждай вектор пространства Е^ определяет точку эллиптического пространства Р3 . Ориентированная 2-плосхость цространства Е^ пересекает пространство Рл по ориентированной прямой, она однозначно определяет две единичных вектора цространства Вл , т.е. два сферических отображения. Эти отображения и были использованы для построения гауссовой кривизны неоснащенного распределения. Именно, полуразность сферических кривизн, построенных с помощью этих отображений бесконечно малого треугольника плоскости распределения А (Л) к определила гауссову кривизну Нр распределения й . Ее связь с относительной гауссовой кривизной распределения Д выражена соотношением

кг = КГР + «ц,

где , Кеч - гауссовы кривизны относительно оснащений

р и ? .

В последнем шестом параграфе этой главы вводится понятие относительного геодезического кручения интегральной кривой. Для этого интегральная кривая рассматривается в паре с ортогональной к ней интегральной кривой; касательный вектор этой кривой переносится вдоль исходной кривой и результат проектируется на осна-шицув нормаль. Полученная величина названа относительным геодезическим кручением. Обращение еа в ноль тождественно вдоль интегральной кривой определяет линии относительно кривизны 2-го . рода. Дяя этой кривизны такяе справедлива теорема Менье: линии, Емекщае в данной точке общую касательную имеют в ней одинаковое относительное геодезическое кручение. Эта теорема, в дальнейшем, позволяет рассмотрение интегральной кривой заменить рассмотрением ее касательного вектора. _ ' 1

Геодезическое кручение дог интегральной кривой неосна-

щенного двумерного распределения Л пространства £< определялось с помощь» ортогональной ей интегральной кривой посредством •' • переноса касательного вектора этой кривой- вдоль исходной и проектирования результата на ортогональгую плоскость &(А) раопрэде-

ленкя. Имеет место соотношение

где ¿Су - геодезические кручения относительно двух орто-

гональных оснащений р а Щ .

Рассматриваются главные относительные, т.е. экстремальные, геодезические кручения. Их полусумма определяет среднее относительное геодезическое кручение . Оно могло быть получено не с помощью экстремальных относительных геодезических крэченкй, а как полусумма относительных геодезических кручений, любой ортогональной пары интегральных линий. Эта величина характеризует голономность распределения Д^, и обращается в ноль в случае полной его интегрируемости. Если рассмотреть среднее геодезическое кручение неоснащенного распределения А как полусумму геодезических кручений произвольной ортогональной пары интегральных линий, то справедливо соотноаение

где ЗГрс. и ¿б^е. - средние геодезические кручения относительно двух ортогональных оснащений р и ^ - . Вектор Э^^. обращается в ^оль-тогда я только тогда, когда неоснащенное, распределение Д вполне интегрируемо и поэтому может быть назван вектором неголономностк распределения Д

Далее в 2-плоскости Д^/ТПстрогтся индикатриса относитель--ного геодезического кручения по типу индикатрисы Дюпена в классической дифференциальной геометрии. Исследуется взаимное распо- ■ ложение индикатрисы относительной кривизны и индикатрисы относи- ' тельного геодезического кручения. Это кривые второго порядка, с ' .общим центром, угол между их осями (главными направлениями) составляет 45°, в'точках с отрицательной гауссовой относительной кривизной обе кривые - гиперболы, в. других точках возможно появление эллипса и параболы. В случае полной интегрируемости распределения дискриминанты обеих индикатрис равны мевду собой я,-следовательно, типы, этих кривых совпадают. В противном случае эти кривые возможно относятся к различным типам кривых второго порядка.

Вторая глава,'как указывалось выше, посвящена конструктивному построению'сетей распределения'. Д^ ■ . Здесь рассматриваются-три-вида сетей. :

В параграфе I этой главы рассматриваются асимптотические линии как интегральные линии распределения, соприкасающиеся 2-плоскостя которых в каждой точке ортогональны оснащающему вектору. К аналогичным интегральным кривым приводит требование обращения в ноль относительной кривизны в каждой точке линии. Оказалось, что через каждую точку пространства проходит, вообще говоря, две асимптотические линии. По их количеству (а также до вещественности) можно классифицировать точки пространства как это делается в классической теории поверхностей: два асимптотических действительных направления - гиперболическая точка, два мнимых - эллиптическая,, одной действительное - параболическая точка. Эта классификация совпадает о классификацией, проведенной по индикатрисе относительно^ кривизны.

Для неоснащенных распределений А рассматривались так называемые куспвдальные направления, т.е. те направления, двигаясь по которым бесконечно близкие плоскости распределения пересекаются не в точке, а по прямой. Таких направлений в каждой точка, вообще говоря, два. Направления, по которым пересекаются бесконечно близкие в нусодцальном направлении плоскости распределения, называются сопряженными им направлениями. Как оказалось, если существует оснащение распределения Ар , для которого любое направление плоскости распределения будет асимптотическим, то одно из куспидальных направлений этого рас-*праделешш совпадает со своим сопряженным. Это жэ будет иметь • место, если два оснащения порождают одну пару асимптотических* направлений (при этом любое другое оснащение порождает ту же пару асимптотических направлений).

Обратный факт выражен в теореме: направление асимптотиче- . скоа относительно двух оснащений является кусшдалышм .и сопряженным одновременно и, обратно, направление куспидальное и сопряженное одновременно является асимптотическим .относительно, любого оснащения данного распределения.

-Оказывается, произведение относительных геодезических кручений асимптотичеоких линий дает гауссову относительную кривизну г

Понятие сопряженных направлений распределения Л дает возможность допрлнить 'сведения о гауссовой относительной кривизне этого распределения. Согласно теореме § 2.1, при обращении'в ноль гауссовой относительной кривизны сопряженные направления

распределения Л сливаются в одно направление. Пря этом сложное отношение куспадалышх и сопряженных направлений становится равным I.

Второй параграф этой глава посвяшен изучению линий относительной кривизны 1-го рода, введенных в первой главе. Показано, что если пара направлений являются направлениями линий кривизны

1-го рода относительно двух оснащений, то эти линии есть линии кривизны 1-го рода относительно произвольного оснащения. При этом существует такое оснащение, при котором любое направление есть направление линий кривизны 1-го рода. Все утверждения сохраняются и в том случае, когда одно из направлений обладает этим свойством, т.е. является направлением линий кривизны 1-го рода относительно двух оснащений.

Исследованию линий относительной кривизны 2-го рода посвящен последний третий параграф зтой главы. Дяя линяй кривизны

2-го рода справедливы утверждения аналогичные утверждениям о линиях кривизны 1-го рода и об асимптотических линиях. Именно, если интегральные линии являются линиями кривизны 2-го рода от-, носятельно двух оснащений, то они являются линиями кривизны 2-го рода относительно произвольного ,оснащения.. При этом существует оснащение, для которого любое направление есть направление, линий кривизны 2-го рода.

Оказывается, если направление линий'кривизны 2-го рода не зависит от выбора оснащающего вектора (т.е. являются линиями ' , кривизны 2-го рода относительно произвольного оснащении:), то. эти линии являются куспидальными линиями распределения Д и об-' ратно. В частности, есля также линии кривизны 2-го рода сливают- ' оя в одну, то и куспидапьнне сливаются в одну линию, и она явля- ■ ется линией: кривизны 2-го рода относительно произвольного оснащения. •' ' "

Третья глава, как указывалось выше,., исследует понятия, связанные о псевдофокусада сети ва оснашающэй нормали. • Псевдофокусы нормали 1А; ё,] относительно, сети ЫЯА} (*<? = /, 2) называется точка («¿-Л^) . смещение которой при смещении точки Л ' в направлении с/, 4 не выходит из З-плоскоста СД (¿=(,2, &фс>) -

Определению количества шзевдофркусов на нормали (их, вообще,говоря,- два)вычислению их координат, геометрической "интерпретаций'этих координат посвящен первый параграф этой главы. В

12

I

частности, оточено, что если оснащение гр коллинеарно вектору средней кривизны Н распределения А , то на дополнительной нормали [А1с] псевдофокусы произвольной сети симметричны относительно, точки рассмотрения '-4 , если .та оснащение ортогонально Н , то на оскапавдей нормали псевдофокусы произвольной сети семметричны относительно точки Д

Специальные случаи расположв£шг лсевдофокусов на оснащающей нормаля рассмотрены во втором параграфе этой главы. Выяснено, что ии один из псеидофохусов произвольной сети не может совпа-.дать с точкой рассмотрения А , Симметричными относительно точки А псевдофокусы могут быть только в случаях, указанных з предыдущих параграфах. Вычисляется сложное отношение псевдо-фокусоЕ двух произвольных сетей. Показано, что псевдофокусы различных сетей не могут разделять друг друга. Если сети ортогональны я биссокторнк друг к другу, то их сложное отношение равно нулю и, слод.вательно, хотя бы один из псевдофокусов у них общий. ■Оказалось, что на произвольной нормали точка, гармоническая к псевдофокусам произвольной сети и точке А будет одна и та ке для всех сетей. Эта точка названа четвертой гармонической. При этом, оели оснащение коллинеарно вектору средней кривизны, то на дополнительной нормали четвертая гармоническая точка - несобственная, а если оснащение ортогонально вектору средней кривизны распределения Д2 , то на оснащающей нормали четвертая гармо-'ническая точка - несобственная. :

Далее изучаются псевдофокусы, сетей, рассмотренных во второй главе.'Псевдофокусы сети на оснащающей нормали линий кривизны '1-го рода исследуются в третьем параграфе этой главы. Псевдофокусы .таких сетей не могут совпадать, один из псевдофокусов ста-, носится несобственной точкой оснащающей нормали только в параболических точках (где полная относительная кривизна распределения равна нулю). Псевдофокусы сети, биссекторной к сети линий кривизны 1-го рода, сливаются в одну точку, именно, в четвертую гармоническую точку этой нормали, и, следовательно, вместе о точкой . А гармонически разделяют на этой нармалЬ псевдофокусы произвольной сети. ' •

Совпадение псевдофокусов, сети, как .оказалось, характеризуется тем, что ее направления гармонически разделяют направления сети- линий кривизны 1-го рода. При этом, если есть еще и ортогональна, то ее совпавшие псевдофокусы совпадают о четвертой гар-

монячной точкой нормали. В частности,сеть биосекторная к линиям кривизны 1-го рода обладает этим свойством.

В случае интегрируемого распределения Л. совпадение псевдофокусов некоторой сети на двух ортогональных оснащениях приводят к тому, что линии кривизны 1-го рода относительно некоторого оснащения становятся линиями кривизны 1-го рода относительно произвольного оснащения. Это утверждение теоремы 2 параграфа 3. В заключении этого параграфа доказанные утверждения формируются для случая интегрируемого распределения, т.е. дая двумерных поверхностей четырехмерного евклидова пространства.

В четвертом параграфе главы исследуются псевдофокусы на оснащающей нормали сети линий кривизны 2-го рода. Псевдофокусы этой сети не могут совпадать между собой. Совпадение одного из. них о несобственной точкой этой нормали равносильно требованию обращения в ноль гауссовой относительной кривизны, что как указывалось в § 2.1, означает совпадение сопряженных направлений распределения Д , или равенство единице сложного отношения куспидальвых и сопряженных направлений. При этом второй псевдо--фокус будет серединой отрезка между точкой А и четвертой гармонической точкой нормали. . . .

Псевдофокусы'сети асимптотических линий (на оснащающей нормали) рассмотрены в пятом параграфе. Показано, что псевдофокусы этой сети совпадают только в случае полной интегрируемости рас- . . пределакия Л , несобственной-точкой псавдофокус может $ыть только в случае ортогональности этой сети, причем в этом случае, сеть асимптотических линяй будет биссекторной к сети линий кривизны 1-го рода. При этом гауссова относительная кривизна должна обращаться в ноль и, согласно выводам теоремы § 2.1, сопряженные направления распределения А сливаются в одно направление, а сложное отношение кусшдальных и сопряженных направлений становится равным I,

Если же оснащение выбрано ортогонально вектору средней 'кривизны, то один из псевдофокусов асимптотических линий обязательно будет несобственной точкой оснащающей нормали.

Совпадение псевдофокусов рассматриваемых сетей между собой исследовано в шестом параграфе этой главы. Доказана теорема: на оснащающей нормали псэвдсфокусы линий кривизны 1-го и 2-го рода совпадают тогда и только тогда, когда оснащающий веткор ортогонален вектору среднего геодезического кручения распределения А.

Совпадение псевдофокусов линий кривизны 1-го уода и асимптотических линий на оснащающей нормали возможно только в точках положительной гауссовой относительной кривизны.

Случай совпадения псевдофокусов линий кривизны 2-го рода с псевдофокусами асимптотических линий определен однозначно. Именно, совпадение псевдофокусов этих' сетей происходит только в. точках нулевой гауссовой относительной кривизны или в точках совпадения направлений линий кривизны 1-го рода.

Справедливы и такие утверадения:

- псевдофокусы линий кривизны 2-го рода совпадают о псевдо-фокусамя асимптотических линий только в точках, где совпадают или сопряженные направленm распределения шш направления линий кривизны 1-го рода;

- поевдофокусы линий кривизны 2-го рода совпадают с псевдофокусами асимптотических линий только в точках, где сложное отношение кусг'далышх и сопряженных направлений равно единице или оовпадают направления линий кривизны 1-го рода.

Основное содержание диссертационной работы опубликовано в следующих работах:

•I. Усубалиева A.C. Асимптотические линии оснащенного распределения ЛР в E/f /Дезисы докл. Всосохш.школы-сешнар "Оптимальное управление. Геометрия и анализ". - Кемерово, I98S,' - С.126.

S-. Усубаляева A.C. Об асимптотических линиях оснащенных распре- ■' делений АР в £4 //В межвуз. cd. научн. тр. "Ткани и квазигруппы". - Калинин, 1987. - C.I08-II2.

3. Усубалиева A.C., Глова Н.И. К теории кривизны оснащенных распределений Дгр в Ev //Укр. твои. сб. - 1988. - Вып.31. - С.26-36. .

4. Усубалиева A.C. Зависимость оснащения распределения ¿\р в

от задания сети асимптотических линий /Дезисы сообщений IX Всесоюзной геометрической конф. - Кишинев, 1988. -. С.226-2271

5. .Усубалиэва A.C. Q псевдофокусах сети распределения в

//If&y.' 111 Всесопз. школы "Донгрягинокие чтения. Оптимальное управление. Геометрия и анализ. .- Кемерово. 1990. -С.80. ' . .