Особенности ферромагнитного и спин-волнового резонансов в поликристаллических и монокристаллических магнитных пленках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Василевская Татьяна Михайловна

ОСОБЕННОСТИ ФЕРРОМАГНИТНОГО И СПИН-ВОЛНОВОГО РЕЗОНАНСОВ В ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ И МОНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАГНИТНЫХ ПЛЕНКАХ

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 3 СЕН 2015

005562511

Самара-2015

005562511

Работа выполнена на кафедре радиофизики и электроники в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ульяновский государственный университет».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Семенцов Дмитрий Игоревич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева», зав. каф. экспериментальной физики Зюзин Александр Михайлович

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Фрязинского филиала ФГБУН Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН Вилков Евгений Александрович

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет».

Защита диссертации состоится 29 октября 2015 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.217.01 при ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет» по адресу: 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Главный корпус, ауд. 200.

Отзывы по данной работе в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью организации, просим направлять на имя ученого секретаря диссертационного совета Д 212.217.01 по адресу: Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Главный корпус.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного технического университета по адресу: 443100, г. Самара, ул. Первомайская, 18 и на сайте http://wwvv.samgtu.ru.

Автореферат разослан «"76 » 2015 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.217.01,

доктор технических наук

А. Р. Самборук

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последнее десятилетие исследования высокочастотных волновых явлений в тонких магнитных пленках (ТМП), а также их технические приложения привели к становлению нового научно-технического направления - спин-волновой электроники, развитие которой является примером существенного вклада фундаментальной физики в практику. ТМП и многослойные структуры на их основе получили широкое применение в различных СВЧ устройствах: в СВЧ фильтрах, датчиках слабых магнитных полей, в устройствах для считывания информации на жестких дисках [1, 2]. Основой для применения являются их резонансные свойства, а именно ферромагнитный резонанс (ФМР) [3].

Особый интерес вызывает спин-волновой резонанс (СВР) в ТМП, который заключается в возбуждении пространственно-неоднородных колебаний намагниченности волнового папа [4]. Процессы распространения спиновых волн в тонкопленочных структурах существенно зависят от типа граничных условий, которые могут быть обменными и диссипативными. Характер трансформации спектров СВР существенно зависит от типа реализуемых условий для поверхностных спинов [4,5].

Другой важной причиной изменения резонансных свойств ТМП, получаемых методом конденсации атомных пучков в вакууме, является разнообразие их структурных характеристик [6]. Варьирование условиями конденсации (глубиной вакуума и температурой подложки, скоростью напыления и углом падения пучка на подложку, величиной и ориентацией внешних полей) позволяет изменять структуру от предельно неупорядоченного мелкодисперсного состояния (аморфные пленки) до структуры весьма совершенного монокристаллического слоя.

Возможность получения поликристаллических пленок с малыми размерами кристаллитов (~10-6 -г- Ю-5 см) приводит к дополнительным особенностям статического и динамического поведения ТМП, связанным с их магнитной структурой. В связи с этим представляют интерес исследования резонансных свойств пленок со структурной анизотропией. Структурная анизотропия, возникающая в поликристаллических пленках за счет преимущественной ориентации микроструктурных образований (столбчатость кристаллитов, микропоры), вызывает анизотропию зависящих от структуры характеристик, таких как электросопротивление, резонансная частота, ширина линии ФМР и др.). К деформации спектра ФМР также может приводить и ослабление СВЧ поля в металлической пленке за счет скин-эффекта, что необходимо учитывать при построении спектров ФМР и СВР для пленок с толщиной, сопоставимой с толщиной скин-слоя.

Цель и задачи работы. Целью настоящей диссертационной работы является исследование особенностей ФМР и СВР в поликристаллических и монокристаллических магнитных пленках при их плоскостном подмагничивании

вдоль оси трудного намагничивания (СУЩ) и оси легкого намагничивания (ОЛН). В связи с этим поставлены следующие задачи:

- на основе численного решения уравнения Ландау-Лифшица выявить и построить прецессионные траектории магнитного момента вблизи равновесного положения для пленок с одноосной магнитной анизотропией и монокристаллических пленок с кубической анизотропией, намагниченных вдоль ОТН, при разных амплитудах и частотах СВЧ поля;

- на основе прецессионной динамики намагниченности в пленках с одноосной и кубической мапштной анизотропией, намагниченных вдоль ОТН, построить спектры ФМР, выявить и проанализировать особенности низкочастотного резонанса, реализуемого вблизи поля магнитной анизотропии;

- на основе аналитического решения линеаризованного уравнения Лан-дау-Лифшица определить компоненты тензора высокочастотной восприимчивости для тонкой ферромагнитной пленки с одноосной магнитной анизотропией, намагниченной вдоль ОЛН, с учетом неоднородности СВЧ поля за счет скин-эффекта;

- на основе блочной модели поликристаплической пленки провести учет угловой дисперсии одноосной и кубической магнитной анизотропии при анализе резонансных свойств намагниченной вдоль ОЛН пленки, построить и проанализировать спектры ФМР;

- с учетом затухания в спиновой системе и различных степеней закрепления поверхностных спинов на обеих поверхностях пленки построить тензор высокочастотной восприимчивости пленки с плоскостной одноосной анизотропией при подмагничивании вдоль ОЛН, построить и проанализировать спектры СВР.

Научная новизна работы:

- обнаружена бистабильностъ прецессионной динамики намагниченности при плоскостном подмагничивании магнитных пленок вдоль ОТН. Дано обоснование появления дополнительного резонансного пика вблизи поля магнитной анизотропии при плоскостном подмагничивании пленок вдоль ОТН на примере поликристаллических и монокристаллических пленок;

- проведен анализ особенностей спектра ФМР при плоскостном подмагничивании ферромагнитной пленки, обусловленных наличием как наведенной одноосной, так и кристаллографической магнитной анизотропии, а также угловой дисперсии указанных типов анизотропии, с учетом неоднородного распределения высокочастотного поля по толщине за счет скин-эффекта;

- исследовано влияние поверхностных спиновых волн, отвечающих второй дисперсионной ветви с чисто мнимыми волновыми числами, на модификацию спектра СВР тонкого ферромагнитного слоя толщиной, сравнимой с толщиной локализации спиновых волн, при плоскостном намагничивании с учетом степени поверхностного закрепления спинов, типа поверхностной анизотропии и затухания в спиновой системе.

Основные положения, выносимые на защиту:

- бистабильность в состоянии намагниченности пленок с одноосной и кубической магнитной анизотропией при их плоскостном подмагничивании вдоль ОТН приводит к появлению бифуркационного резонанса в области значений подмагничивающего поля равной полю магнитной анизотропии;

- низкочастотная резонансная прецессия магнитного момента при подмагничивании пленки вдоль ОТН вблизи поля бистабильности при малых параметрах затухания имеет перескоковый характер с установлением движения магнитного момента вокруг двух положений равновесия, результатом чего является асимметричная форма кривой резонансного поглощения;

- учет скин-эффекта в металлических магнитных пленках приводит к существенно неоднородному распределению СВЧ поля по толщине пленки и значительной модификации формы резонансной кривой. Учет угловой дисперсии одноосной и кубической магнитной анизотропии приводит к уменьшению амплитуды угловых осцилляций резонансного поля;

- при плоскостном подмагничивании тонкой ферромагнитной пленки появляется вторая дисперсионная ветвь собственных спиновых волн с волновыми числами, остающимися чисто мнимыми во всем диапазоне частот. Для тонкой ферромагнитной пленки толщиной, сравнимой с толщиной локализации спиновых волн, существенное влияние спиновых волн второй дисперсионной ветви, наличие затухания и неполного закрепления поверхностных спинов приводят к существенной перестройке спектра СВР.

Научная и практическая значимость результатов. Полученные в работе результаты представляют интерес для физики конденсированного состояния и физики магнитных явлений, так как расширяют физические представления о нелинейной динамике намагниченности в магнитных пленках. В частности, анализ условий возникновения бистабильности в прецессионной динамике намагниченности пленок, намагниченных вдоль ОТН, позволил объяснить появление дополнительного резонанса в спектрах ФМР. Проведенный в работе анализ высокочастотных свойств магнитных пленок указывает на возможность эффективного управления их СВЧ откликом с помощью внешнего магнитного поля в области ферро- и спин-волнового резонансов. Результаты работы могут представлять интерес при создании новых устройств твердотельной электроники и интегральной СВЧ-техники.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается корректностью поставленных задач, использованием для их решения апробированных методов теории конденсированных сред и магнитных явлений, обоснованностью используемых приближений, совпадением предельных переходов в полученных соотношениях с известными менее общими результатами, а также совпадением результатов теоретического и компьютерного анализа с имеющимися экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы представлены в форме публикаций и тезисов научных конференций. Научные доклады получили положительную оценку на международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», Самара (2006), на VII Всероссийской молодежной научной школе «Материалы на-но-, микро- и оптоэлектроники: физические свойства и применение», Саранск (2008), на международной конференции «Новые магнитные материалы микроэлектроники», Москва, МГУ (2009), на XI и 18-ой международной конференции «Опто-, наноэлектроника, нанотехнологии и микросистемы», Ульяновск

Публикации и личный вклад автора. По материалам диссертации опубликовано 15 научных работ: 9 статей в журналах из перечня ВАК РФ, 1 статья в научном сборнике, 5 тезисов научных конференций. Цель и задачи формулировались совместно с научным руководителем — д.ф.-м.н., профессором Д.И. Семенцовым. Все результаты численного анализа, представленные в диссертационной работе, получены автором лично. Получение основных расчетных зависимостей, интерпретация полученных результатов осуществлялась совместно с научным руководителем.

Диссертационная работа состоит из: введения, первой обзорной главы и трех оригинальных глав, заключения, списка литературы; материал изложен на 118 страницах машинописного текста, включая 37 рисунков, библиографический список содержит 103 наименования.

Во введении обоснована актуальность проведенных исследований, сформулирована основная цель работы и поставлены конкретные задачи, сформулированы научная новизна и научно-практическая значимость работы, представлены положения и основные результаты, выносимые на защиту, обозначены публикации и структура диссертации.

Первая глава диссертации посвящена рассмотрению современного состояния исследований на тему диссертации. Вторая, третья и четвертая главы содержат результаты оригинальных исследований.

Во второй главе исследуются особенности ФМР в магнитных пленках при подмагничивании вдоль ОТН. В качестве объектов исследования рассмотрены пермаллоевые пленки с одноосной магнитной анизотропией (раздел 2.1.) и монокристаллические пленки железоиггриевого граната (раздел 2.2.).

При плоскостном подмагничивании пленки с одноосной магнитной анизотропией вдоль ОТН плотность свободной энергии имеет вид:

(2009,2015).

Краткое содержание работы

где Яи = рМ0 - поле наведенной одноосной анизотропии, Я - значение постоянного поля Н0. При несовпадении направления постоянного поля Н0 с ортом пц вектор намагниченности М образует с ОЛН равновесный угол ср0, который из условия Ъ¥IЗф = О определяется выражениями

ф0(Я) =

± агссоэ (Я/Яи), Я < Яи О, Я > Яи •

(2)

Анализ зависимости ф0(Я) показывает, что в области полей Я < Яи намагниченность пленки имеет два симметрично расположенных угловых положения равновесия. Если значение подмагничивающего поля оказывается в непосредственной близости к значению поля анизотропии Я = Яи — 5Я, то угловое расстояние между двумя симметричными положениями равновесия также является малым и легко может преодолеваться при наличии СВЧ поля.

Динамическое поведение вектора М, совершающего прецессионное движение вокруг своей равновесной ориентации М0 во внешних статическом Н0 и переменном Ь(Т) = ву/гэт оМ: магнитных полях, описывается уравнением Ландау- Лифшица (ЛЛ). Решением уравнения в сферических координатах являются временные зависимости угловых переменных ф(Х) и уф, определяющие значение и пространственную ориентацию высокочастотной компоненты вектора намагниченности т (0 = М (0 — М0. В соответствии с полученным решением полевые зависимости резонансных частот имеют вид

= у^ттМоСЯ + Яи), Н0 || пи = ул/ 4ттМ0 (Я соб ф0 — Яи соб 2 ф0), Н0 1 пи.

(3)

со г/271, ГГц

Ю0/2 л

На рис. 1 представлены полевые зависимости резонансной частоты, построенные на основе соотношений (3). Видно, что при подмагничивании пленки вдоль ОТН (Н0 1 пи) резонанс наблюдается на более низких частотах, и полевая зависимость имеет две резонансные ветви (ветви Мь я>2*). Результатом численного решения уравнения ЛЛ являются прецессионные траектории вектора ш (шу ; ш2). В случае подмагничи-вания пермаллоевой одноосной плен-0 10 Яи 20 Й,Э ™ вдоль ОЛН прецессии, построен-

Рис. 1. Полевая зависимость резонансной пые с момента включения поля до частоты для пленок с одноосной магнитной установления движения, имеют вид, анизотропией при подмагничивании вдоль показанный на рис. 2. Для численно-ОЛН (ветвь ю*) и ОТН (ветви ы>Г, ш2~) го анализа параметры одноосной

пленки были выбраны близкими к параметрам реальных пленок состава 80% № 20% Ее:

4пМ0 = 104 Гс, у = 1.76 • 107 Э^с"1, Ни = 15 Э, Л = 5 • 107 с-1.

" 8 Э

о

>ч

В

-5 -

11.15 Э

Н, Э

-3 0 3 -3 0 3

тХ!М, Ю-3

Рис. 2. Траектории прецессии нормированного вектора т/Мъ пленке, намагниченной вдоль ОЛН, и спектр ФМР пленки при параметрах СВЧ поля: со = 9 • 109 с-1, Л = 0.1 Э

Из приведенных траекторий следует, что конец вектора М в установившемся режиме описывает эллиптическую траекторию в плоскости YOZ, сильно вытянутую вдоль оси Y. Практически полный выход магнитного момента пленки из равновесного положения на стационарную траекторию с момента включения СВЧ поля происходит за время т « ЗОТ ~ Л-1 = 2 • 10~8 с, где Т — 2тс/м - период СВЧ поля h(t). Поскольку траектория прецессии вектора ш в рассматриваемом случае является симметричной относительно равновесной ориентации, то компоненты восприимчивости пропорциональны полуосям эллиптической траектории вектора m в проекциях на плоскость Y0Z. Значения ту на порядок выше значений mz, поэтому имеет место неравенство Хуу » Xzy- При этом поглощаемую пленкой мощность высокочастотного поля с большой степенью точности можно связать только с компонентой

— 4i™ax-m»,n| (4)

х!уу -

2hy

Данное соотношение лежит в основе построения зависимостей Хуу(.Ю-

В соответствии с приведенными на рис. 1 зависимостями шг(Н) при под-магничивании пленки вдоль ОЛН (Н0 II пи) на фиксированной частоте ш < О)0 должны наблюдаться два резонансных пика. При оэ -> 0 обе ветви смыкаются в точке Н = Яц. Из-за наличия затухания в реальной пленке резонансная линия имеет конечную ширину ДН — 2Хш/у2М0, поэтому при понижении частоты указанные резонансные пики сближаются, сливаются и дают одну сложную линию. Частота, на которой это происходит, может быть найдена из условия

Нп ~ нп - АЯ и оценивается выражением ши - 8ттЛ/3. Наличие двух близких равновесных угла вблизи значения поля Я = Яи приводит к сложной траектории низкочастотной резонансной прецессии (рис. 3), которая уже не является эллиптической. Существенное влияние на динамику намагниченности пленки оказывают нелинейные эффекты и наличие бистабильности равновесной ориентации намагниченности вблизи значения поля Н = Нъ, при котором резонансная частота обращается в ноль. Это поле нами названо бифуркационным (Яь = Яи). Значения подмагничиваклцего пленку поля Яг1 — 12.93 Э, Яг2 — 16.89 Э соответствуют однородному резонансу, значение поля Яь ^ 14.19 Э -бифуркационному резонансу. При Я = Яь происходит спонтанный перескок магнитного момента ко второму равновесному центру.

-0.005 0 0.005 -0.005 0 0.005 -0.005 0 0.005

m /M

z

Рис.3. Траектории прецессии нормированного вектора m/M в пленке с одноосной анизотропией при намагничивании вдоль ОТН, при параметрах СВЧ поля: и = 2.8 • 109 с~1, h = 0.2 Э

у МО2

После этого нерегулярная прецессия осуществляется вокруг 16 |- указанного центра до тех пор,

пока не произойдет спонтанный перескок к первоначальному 12'" 1 центру. При достаточной для его

преодоления энергии СВЧ поля эти два равновесных состояния «притягивают» магнитный момент, и его прецессия за время с

Рис. 4. Спектр ФМР пленки с одноосной магнитной анизотропией при параметрах СВЧ поля: ш = 2.8-Ю9 с-\Ь= (0.1; 0.2) Э

CD. Ю'С-

0 10 20 30 Н, Э

Рис. 5. Полевая зависимость резонансных частот при подмагничивании вдоль ОТН пленки с одноосной магнитной анизотропией, Л =0.1Э

Я, Э

Рис. б. Полевая зависимость равновесного угла фо и резонансной частоты при подмагничивании пленки с кубической магнитной анизотропией вдоль ОТН

равной вероятностью происходит около каждого из них. Для резонансных траекторий один полный оборот совершается за время одного периода СВЧ поля.

Спектр ФМР пленки показан на рис. 4. На заданной частоте энергии СВЧ поля с амплитудой к = 0.1 Э недостаточно для преодоления магнитным моментом потенциального барьера и совершения им перескока ко второму положению равновесия. Усиление СВЧ поля (кривая 2 рис. 4) приводит к появлению дополнительного пика вблизи поля бистабильности (Яь = 14.19 Э). На основе энергетических соображений Нъ ~ V Яи(Яи - 2-ю/2МИ/ Яш).

На рис. 5 показана полевая зависимость резонансных частот пленки, намагниченной вдоль ОТН, построенная на основе прецессионной динамики намагниченности. Экспериментально бифуркационный резонанс был обнаружен в работе [7] при подмагничивании вдоль ОТН одноосных пленок Со - № - Р. Полевые зависимости резонансных частот, рассчитанные для пленок Со — № — Р с полем наведенной одноосной анизотропии Яи = 15 Э, показали хорошее согласование с экспериментом.

В разделе 2.2. исследуются особенности ФМР при подмагничивании вдоль ОТН монокристаллической пленки типа (100). Как и в случае металлической пленки с одноосной анизотропией, при подмагничивании монокристаллической пленки

вдоль ОТН в области поля магнитной анизотропии Я > НК наблюдаются два равновесных положения вектора намагниченности (рис.6). Резонансные частоты в этом случае определяются выражением:

"г = У[№ cos ф - Як(1 - sin ф cos ф) + 4ттМ0 + ЯЦ)(Я cos Ц>-Нк cos 4 ф)]1'2,

где Кх и Кц - отрицательные константы кристаллографической и одноосной анизотропии, Нк = 2\К1\/М0 и На = 2\Ки\/М0 - поля кристаллографической и ростовой анизотропии. При уменьшении частоты происходит сближение резонансных значений поля (близких к соответствующим значениям Яг1 и Яг2 линеаризованной системы) и приближение их к бифуркационному значению Яь, отвечающему возникновению состояний статической бистабильности. Для численного анализа резонансного поведения монокристаллической пленки используются параметры реальной феррит-гранатовой пленки У2 9Ьа01Ре3 9Сах 1012 [3]: 4ттМ0 = 214.6 Гс, у = 1.76 ■ 107 Э-1с-1, Л = 3 • 106 <г\ ^ =-103 эрг/см3, ки = -Ю3 эрг/см3. На рис. 7 представлены полевые зависимости параметра 8ту = [ту м - Шу 1п|/ 2М при различной частоте СВЧ поля. Вначале бифур-

Рис. 7. Спектры ФМР пленки с кубической магнитной анизотропией, построенные на частотах со/ 2л = (0.4; 0.3; 0.24) ГГц (кривые 1-3) при амплитуде СВЧ поля Л = 0.5 Э

кационный резонанс имеет малую амплитуду прецессии (кривая 1). При дальнейшем уменьшении частоты (и соответствующем сближении двух первоначальных резонансов) амплитуда бифуркационного резонанса значительно возрастает, но сама резонансная кривая остается достаточно узкой (кривая 2). Дальнейшее понижение частоты приводит к расширению области бифуркационного резонанса и реализации режимов с более сложными траекториями, включая хаотическую динамику (кривая 3). На еще более низких частотах хаотические режимы исчезают, и, ввиду конечной ширины резонансных кривых, остается одна резонансная область с максимумом при поле Я ~ Нк. В области малых подмагничивающих полей возникает интервал со сложными низкоамплитудными траекториями намагниченности, причем с уменьшением частоты он смещается в сторону Нк, а амплитуды колебаний увеличиваются. Когда на частоте 0.25 ГГц данный интервал входит в единственную оставшуюся резонансную область, вид резонансной кривой и траектории резонансной прецессии значительно усложняются.

Я, э

тг/М

о.» -ш

» ora

raJM

Рис. 8. Траектории прецессии нормированного вектора m/М в пленке с кубической магнитной анизотропией при параметрах СВЧ поля: Л = 0.5 Э и частотой т/ 2л = (0.3; 0.24; 0.2) ГГц (а, б, с) и ш/ 2к = (0.15; 0.1) ГГц (д, кривые 1 и 2)

На рис. 8 приведены проекции траекторий нормированного вектора m/М на плоскость YOZ, прецессирующего под воздействием переменного поля с амплитудой h = 0.5 Э при различных частотах. Траектории на рис. 8а построены при величине подмагничивающего поля H = (92; 111; 112; 113; 120; 142) Э (кривые 1 - 6). Таким образом, кривая 6 отвечает «правому» резонансу (на рис. 7 кривая 2) вблизи Яг2, когда равновесной является ориентация намагниченности вдоль поля Н0, а кривая 1 отвечает «левому» резонансу вблизи Яг1, когда равновесный угол ф0 Ф 0. Во втором случае имеют место две симметричных траектории - с отрицательными и положительными значениями mz (вторая из симметричных траекторий на рис. 8 не приведена). Траектория 2 отвечает бифуркационному резонансу, она является наиболее вытянутой и охватывает два равновесных положения намагниченности, составляющих бистабильность. Траектории 3 и 4 отвечают режимам, прилегающим к бифуркационному резонансу со стороны больших значений подмагничивающего поля, но при H <НК (где ф0 Ф 0 и также имеют место режимы с симметричными траекториями).

Траектория 5 представляет низкоамплитудную нерезонансную прецессию с равновесным углом ср0 = 0 (при Я > Нк). Рис. 86 отвечает области бифуркационного резонанса на кривой 3 рис. 7 при Я = (113.62; 113.63) Э (кривые 1 и 2). Приведенные траектории демонстрируют возникновение хаоса в области бифуркационного резонанса через удвоение периода прецессии: кривая 2 (и симметричная ей кривая, которая на рисунке не приведена, так как сливается с кривой 1) отвечает регулярному режиму с достаточно сложной траекторией, однако уже незначительное изменение подмагничивающего поля приводит к хаотическому режиму с узким аттрактором (так называемому, спиновому хаосу [8]). Развитый хаос представлен частью хаотической траектории на рисунке 8с, которая охватывает оба равновесных положения намагниченности при Я — 106 Э. Кривые 1 и 2 рис. 8 д отвечают случаю, когда остается одна резонансная область вблизи бифуркационного значения поля Яь; кривые построены при Я = 112 Э и различных вышеуказанных частотах переменного поля. Для кривой 2 имеет место также режим с симметричной (относительно направления Фо = 0) траекторией.

Для рассматриваемых условий характерным является возникновение динамической бистабильности (и мультистабильности), когда при одних и тех же параметрах системы могут реализоваться два (или более) динамических режима, на выбор между которыми могут влиять флуктуации параметров, или начальные условия системы. Рассматриваемые режимы оказываются очень чувствительными к ориентации подмагничивающего поля и устанавливаются они только в том случае, если направление поля достаточно близко к направлению трудной оси пленки.

В третьей главе рассмотрено влияние угловой дисперсии магнитной анизотропии на резонансные свойства поликристаллической пленки с наведенной одноосной и кристалло1рафической магнитной анизотропией. Анализ проводится на основе блочной статистической модели, в которой распределение локальных параметров описывается законом Гаусса [9]

Здесь параметры ак и аи определяют угловую дисперсию полей магнитной кристаллографической и наведенной анизотропии. В результате любая интегральная характеристика пленки в целом может быть усреднена по всему ансамблю блоков с учетом вида распределения ОЛН блоков

Высокая проводимость металлических пленок (а ~ 1016 -т- 1017с-1) создает значительное ослабление СВЧ поля в пленке за счет скин-эффекта. Распределение поля по толщине пленки имеет вид h(z) = h0 ехр(—z/5), где б -толщина скин-слоя.

(фу.и - (фк.и))

2

(5)

<Ф(аю аи)> = Ф(фк, ФиЖфк. ак)Р(фи, аи)йф^ с!фи . (6)

Исследуем резонансные свойства пленки с учетом неоднородного распределения поля по толщине пленки. При выборе начала координат z = 0 в центре пленки приближенное решение граничной задачи по определению высокочастотного поля в пленке приводит к зависимостям

hy(z) = h0y exp[ik(z + L)] exp(-icot), hz(z) = ^/ty(z), (7)

где h^ - амплитуда соответствующей компоненты СВЧ поля на поверхности пленки (z = —L), а волновое число распространяющейся в пленке волны задается выражением

: = (8)

Здесь с - скорость света в вакууме, = - ц^р^/ц^ - эффективная магнитная проницаемость. Учтено также, что в насыщенном состоянии с равновесной намагниченностью М0, параллельной оси X, и однородным распределением СВЧ поля по толщине пленки (без учета скин-эффекта) тензор магнитной проницаемости (Io имеет отличные от нуля компоненты: [i°¡ = 1, ц°у, _

Блоки являются сквозными по толщине пленки. Из-за больших полей рассеяния (для пленок пермаллойного класса 4пМ0 ~ 104 Гс) и соотношения размеров сквозного блока (диаметра £блока к толщине 21) £>блока » 21 равновесная намагниченность в каждом блоке лежит в плоскости пленки.

Прецессионное движение магнитного момента М относительно равновесного угла ф0 в одном из блоков тонкой магнитной пленки толщиной 2L будем описывается уравнением JLJI, в котором эффективное магнитное поле пленки Н3фф определяется соотношением

2А 2 К

Нэфф = Н0 + h +—TV2M +—jnu(nuM) - ЯСЮМ _ 47rez(Mez), (9)

м0 М0

где ÑW - тензор размагничивающих коэффициентов, связанных с магнитной кристаллографической анизотропией, ненулевые компоненты тензора с учетом KL > 0, имеют вид:

№ = ~2(.2~sm*2<pKl < = -^sin2 2Фх. (Ю)

Равновесный угол ф0 между намагниченностью М0 и полем Н0 определяется из уравнения [М0НЭфф] = 0. Решение линеаризованного уравнения ЛЛ для высокочастотной намагниченности m(z,t) = m exp(-itot), записанное в виде m(z) = y„h(z), дает выражение для тензора высокочастотной восприимчивости

x»J-nin2-^U ílj' <П>

где flj = y(Hj + 2ккг/М) - j = 1,2. Характерные поля H± = 4лМ0 +Н + Яцс os 2фи + НК(1 + cos 22(рк)/2, H2=H + HU cos 2фи + Нк cos 4<рк.

Поглощаемая блоком удельная мощность высокочастотного поля, усредненная по толщине пленки, определяется мнимой частью высокочастотной восприимчивости, а именно

р = / h^)hp(z)dz = (12)

При выбранной ориентации СВЧ поля поглощаемая мощность и, следовательно, положение, амплитуда и ширина линии ФМР определяются мнимой частью компоненты Хуу. Анализ показывает, что неоднородность распределения высокочастотной намагниченности по толщине пленки приводит к увеличению резонансной частоты (или уменьшению резонансного поля) и уширению резонансной кривой отдельно взятого блока. Учет угловой дисперсии (разориента-ции средних ОЛН блоков в пленке) приводит к уширению интегральной кривой и уменьшению ее амплитуды. В связи с этим интегральные резонансные характеристики дисперсной пленки необходимо находить по численно рассчитанным кривым <Хуу)-

На рис. 9 приведены полевые зависимости величины {Хуу)> полученные для бездисперсных (штриховые кривые) и дисперсных (сплошные кривые) пленок. Здесь и далее используются параметры, близкие к параметрам реальной тонкой пленки металлического ферромагнетика пермаллойного класса: 4тгМ0 = 104 Гс, Яи = 5 Э, Кх = 1500 эрг/см3, а = 8 • Ю^с"1.

■W

Рис. 9. Спектры ФМР бездисперсных (штриховые кривые) и дисперсных (сплошные кривые) пленок только с одноосной анизотропией (а) и с двумя типами анизотропии (б); ак = аа = тг/9 , (фи) = (<рк) = 0,тг/8,п/4 (кривые 1-3)

На рисунках 10 и И приведены угловые зависимости резонансных полей

15

и ширины линии ФМР. Видно, что наличие дисперсии приводит к уменьшению амплитуды изменения резонансных полей. Важной характерной особенностью резонансных кривых дисперсных пленок с наведенной одноосной и кубической магнитной анизотропией, наблюдаемой для углов вблизи направления ф = тт/4, является то, что в этой области резонансное поле дисперсной пленки практически постоянно и чем больше значение угловой дисперсии, тем шире

Рис. 10. Угловые зависимости Рис. 11. Угловые зависимости

резонансных полей дисперсной пленки ширины линии ФМР дисперсной пленки ак = аи = 0, я/18, я/9 (кривые 1-3) од = аи= 0, я/18, я/9 (кривые 1-3)

данная область. Угловые зависимости ширины линии ФМР симметричны относительно угла поворота ф = тт/2, имеют основные максимумы вблизи углов ф = тт/8,7тс/8. Локальные максимумы АН, наблюдаемые вблизи ф = я/2 при невысокой угловой дисперсии, сглаживаются с ростом дисперсии и не обнаруживаются* при ак = аи = tt/9.

В четвертой главе исследуются особенности СВР при плоскостном под-магничивании ТМП вдоль OJIH. Линеаризация уравнения ЛЛ, в котором эффективное магнитное поле

НЭфф = Н0 + h +/?nu(nuM) + «V2M - 4тге2(Ме2), (13) дает следующее соотношение выражение для высокочастотной намагниченности m(z, t) = m(z) exp(-icüt):

где дифференциальный оператор

, d4 d2 L = a afol + 62-2 ifc) - (1 + W + Q1Q2- i?e(Qi - 62)

e = со/YM0) Qi = H/M0 + ß + 4n, q2 = H/M0 + ß.

Решение однородного уравнения £т = 0 приводит к дисперсионному соотношению, связывающему частоту поля со с волновыми числами двух собственных волн = 1, 2), распространяющихся в пленке

vf2 = -¿ [й! + е2 + -е2)2 + 4е2 - (15)

На рис. 12 графически представлено соотношение (23) в случае отсутствия затухания в спиновой системе (^ = 0). Здесь Доо = со — со0, со0 = У^ол/оТоТ-В качестве расчетных параметров использованы параметры тонкой пленки толщиной 2Ь — 2 ■ Ю-6 см, выполненной на основе металлического ферромагнетика: 4ттМ0 = 104 Гс, Яи = 5 Э, а = 10~12 см2. Видно, что в области частот ы < ш0 значения волновых чисел Vf являются чисто мнимыми. В этом диапазоне частот может распространяться только поверхностная спиновая волна. На частоте со0 волновое число V! = 0, что отвечает однородной прецессии намагниченности в пленке, т.е. однородному ферромагнитному резонансу. В области частот ш > о>0 волновые числа \>1 становятся действительными, определяя распространение объемных спиновых волн. Волновые числа у2 остаются чисто мнимыми во всем диапазоне частот. Так как модуль |у2 | > 2(п/а)1/2 « 3.5 • 10бсм-1, то волны этого типа локализуются в достаточно тонком приповерхностном слое пленки. Толщина приповерхностного слоя 8 ~ I!—1 < 3 • 10~7см, т.е. на порядок меньше толщины пленки. В случае пленки толщиной 21, сравнимой с 5, спиновые волны с волновыми числами могут оказывать существенное влияние на спектр СВР.

Граничные условия для намагниченности на поверхностях пленки:

( с!т\ / с1т\

(*2т+^и=а (16)

где - параметры закрепления спинов на поверхностях пленки. Совместное решение уравнений ЛЛ и граничных условий приводит к выражению для усредненной по толщине пленки высокочастотной намагниченности:

<т)=^-|'ш(2)Й2 = 5(Ь. (17)

(V,/-)2

-13.2 -

Рис. 12. Дисперсионные кривые для двух собственных спиновых волн продольно намагниченной пленки в отсутствие затухания

Здесь тешор высокочастотной восприимчивости пленки

О-л 7 C-l)fg(vf) /-q3_f i^J/Qi-ife -ie \

Lffe> 42-41 ^ J^ £'6 62

2di d2 tg vfL + VfCdi - d2 )

где функция g(vf) = ;

2vfI[di d2 + Vf2 + vf(d! - d2 ) ctg vsL] определяет распределение по частоте (полю) спин-волновых мод в СВР,

Д= (1 + ?2)е2 - QIQ2 + ¿fefei + Qz), qf = (е2 - ei + (-i)3_V(ei - 6г)2 + 4б2)/2е.

Полученный тензор % описывает ш=1 спектр возбуждений спиновой

системы тонкой одноосной магнитной пленки, намагниченной в своей плоскости, для произвольных значений параметров закрепления на обеих поверхностях пленки как при наличии затухания, так и без него. Поглощаемая пленкой мощность СВЧ поля определяется мнимой частью высокочастотной восприимчивости % = 9! ~ а именно Р = wh(x"h)/2. Следовательно, положение максимумов компонент тензора отвечающих поляризации поля h, определяет частоты (поля) возбуждаемых в пленке спин-волновых мод. Каждой паре значений (dlßd2) отвечают свои выражения для компонент тензора х". При ориентации СВЧ поля h вдоль оси Y поглощаемую мощность определяет компонента

Анализ показал, что при полном закреплении поверхностных спинов в спектре СВР поверхностная и однородная моды отсутствуют, а объемные моды имеют максимальную амплитуду. Уменьшение параметра закрепления d приводит к умень-

Рис. 13. Спектры СВР при симметричном закреплении для двух пленок с толщинами 21 - (2; 12)-10-6 см (а, 6) при с!= (3.7; 3.8; 4; 4.1>106 см-* (кривые 1-4), 4 = 5-Ю"3

Дю/со,

Рис. 14. Спектры СВР для пленок с толщинами 2Л = (2; 12)-10"6 см и ¿г = (0; '5)407 см-1 (а, б) при Л = 3.8-106 см-1 и ^ = (5; 10)-10 3 (кривые 1,2)

шению амплитуд объемных мод. Увеличение параметра затухания ^ в спиновой системе приводит к уменьшению амплитуды и увеличению ширины всех резонансных пиков, наблюдаемых в спектре СВР. При этом величина затухания практически не оказывает влияния на положение этих пиков.

На рисунках 13 и 14 представлены спектры СВР, полученные для пленок двух толщин 21 = (2; 12) ■ 10-бсм (а, б) при различных значениях степени закрепления. Значения й выбирались такими, чтобы в спектре СВР наряду с объемными модами присутствовала поверхностная б 2-мода с волновыми числами у2 в виде дополнительного пика, обозначенного в соответствии со значениями параметра в. цифрами 1—4. Пунктирная линия является огибающей максимумов спектра СВР, изменяющегося за счет смещения поверхностной з2-моды при изменении параметра й. При выполнении условия й — 2(тт/а)1/2 на частотах со » ы0 появляется по-

верхностная мода Б2-мода, положение которой сдвигается в сторону меньших частот при понижении степени закрепления. Интенсивность б2-моды имеет максимальную амплитуду х$2 — V«- / 40тт^1 на частоте 0)5 — 2пуА/0, а при (о < ш0 спадает до нуля. В области значений (рг/а)1/2 < й > 2(тт/а)1^ в спектре СВР поверхностная мода не наблюдается. При с! — ¿(д2/ог)1/2 на частотах (о « (00 появляется поверхностная Бх-мода с амплитудой, практически не зависящей от толщины пленки х^ — 1/ и значительно превосходящей х"г- При переходе к полному отсутствию закрепления (с1 -» 0) 51-мода, сдвигаясь в сторону увеличения частоты, переходит в «однородную» моду (ФМР) с амплитудой Хтоя = 1Л°о> а амплитуда объемной моды спадает до нуля. Как и следова-

ло ожидать, увеличение толщины пленки приводит к сжатию спектра, т.е. уменьшению расстояния между объемными спин-волновыми модами, и сдвигу спектра в область меньших частот, амплитуда основного (т = 1) резонансного пика при этом значительно увеличивается. Толщина тонкой пленки сравнима с глубиной локализации поверхностных мод, тогда как у толстой пленки толщина существенно больше этой глубины. Вследствие этого, с уменьшением толщины пленки влияние поверхностной з2-моды растет, а интенсивность объемных мод уменьшается. Более того, в тонкой пленке амплитуда поверхностной моды всего на порядок меньше амплитуды основной (ш = 1) объемной моды и сравнима с амплитудой моды с ш = 3. В толстой пленке указанное различие составляет более двух порядков. Особенностью спектра СВР тонкой пленки является возможность наблюдения 52-моды на частоте однородного (ферромагнитного) резонанса со0, в то время как для толстой пленки Б2-мода не разрешается на фоне основного пика.

На рис. 14 приведены спектры СВР, построенные для пленок тех же двух толщин 21 = (2; 12) • 10~бсм (а, б) при двух значениях параметра затухания ^(кривые 1, 2). Как и в случае симметричного закрепления, увеличение параметра ^ приводит к уменьшению амплитуды и увеличению ширины резонансных пиков, не оказывая влияния на их положение. В спектре тонкой пленки в данном диапазоне частот присутствуют объемная (с номером п = 1) и поверхностная (б2) моды. Увеличение толщины пленки приводит к увеличению числа пиков, наблюдаемых в спектре СВР, а несимметричность граничных условий (при й) Ф 0) приводит к появлению четных мод. Интенсивность четных мод заметно меньше амплитуд соседних объемных мод, а с уменьшением разности — т.е. снижении несимметричности, спадает, сливаясь с фоном спин-волнового резонанса. Сравнение приведенных спектров со спектрами, полученными в случае симметричного закрепления поверхностных спинов (рис. 13), показывает, что нарушение симметрии, при котором меняется степень закрепления только на поверхности пленки л = —Ь, не приводит к изменению положения и амплитуды б2 -моды, в то время как объемные моды сдвигаются в сторону меньших частот с увеличением амплитуды.

Учет угловой дисперсии в поликристаллических пленках приводит к асимметрии резонансной линии, уменьшению амплитуды и уширению резонансных пиков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенный в работе анализ особенностей ФМР и СВР в поликристаллических и монокристаллических магнитных пленках показывает:

- при плоскостном подмагничивании пленки вдоль ОЛН резонансная прецессия магнитного момента в высокочастотном поле происходит по сильно вытянутой в плоскости пленки эллиптической траектории.

- при плоскостном подмагничивании пленки вдоль ОТН полем, значение которого оказывается в непосредственной близости к значению поля анизотро-

пии, угловое расстояние между двумя симметричными положениями равновесия магнитного момента может преодолеваться под действием высокочастотного поля, в результате чего траектория резонансной прецессии становится более сложной, причем на ее форму могут существенно влиять частота и амплитуда переменного поля;

- выявленная бистабильностъ низкочастотной прецессионной динамики намагниченности поликристаллических и монокристаллических пленок приводит к появлению в спектре ФМР дополнительного резонансного пика (бифуркационный резонанс) вблизи поля магнитной анизотропии при плоскостном подмагничивании пленок вдоль ОТН.

- низкочастотная резонансная прецессия магнитного момента при подмагничивании пленки вдоль ОТН вблизи поля бистабильности при малых параметрах затухания имеет перескоковый характер с установлением движения магнитного момента вокруг двух положений равновесия, результатом чего является асимметричная форма кривой резонансного поглощения СВЧ поля.

- учет реальных свойств металлической магнитной тонкой пленки, таких как наличие наведенной одноосной и кристаллографической магнитной анизотропии, угловой дисперсии указанных типов анизотропии, неоднородное распределение СВЧ поля по толщине за счет скин-эффекта, приводит к асимметрии и уширению интегральной резонансной кривой, а также к характерным угловым зависимостям резонансного поля и ширины резонансной линии.

- установлено, что при плоскостном подмагничивании пленки в спектре СВР появляется вторая дисперсионная ветвь собственных спиновых волн с волновыми числами, остающимися чисто мнимыми во всем диапазоне частот. Наличие этой ветви оказывает существенное влияние на модификацию всего спектра СВР пленки толщиной сравнимой с толщиной слоя локализации спиновых волн.

- особенностью спектра СВР тонкой пленки является возможность наблюдения поверхностной моды на частоте однородного (ферромагнитного) резонанса, в то время как для толстой пленки поверхностная мода не разрешается на фоне основного пика. Если при выбранном значении поверхностного закрепления положение поверхностной моды близко к объемной моде, то в спектре СВР возможно раздвоение соответствующего пика, при совпадении положений поверхностной и объемной моды амплитуда результирующего пика возрастает.

- в случае плоскостного подмагничивания пленки с симметричным закреплением поверхностных спинов степень закрепления практически не влияет на положение объемных мод, а пик поверхностной моды смещается при увеличении параметра закрепления в сторону больших частот.

- при нарушении симметрии закрепления поверхностных спинов в спектре СВР появляются четные моды, интенсивность которых заметно меньше амплитуд соседних объемных мод. С увеличением асимметрии положение мод сдвигается в сторону больших частот, амплитуда четных мод растет, а амплитуда нечетных падает.

Список цитируемой литературы

1. Shiaa, R. Materials with perpendicular magnetic anisotropy for magnetic random access memory/ R. Shiaa, H. Meng, S. N. Piramanaygam // Phys. Stat. Sol. — 2011.—Vol. 5, № 12,—Pp. 413-419.

2. Sellmyer, D. Advanced magnetic nanostructres / D. Sellmyer, R. Skomski -Advanced Magnetic Nanostructures. — 2006. — 528 c.

3. Гуревич, А.Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках/ А.Г. Гуревич — Наука, Москва. — 1973. — 591 с.

4. Ахиезер, А.И. Спиновые волны / А. И. Ахиезер, В.Г. Барьяхтар, С. В. Пе-летминский - Наука, Москва. - 1967. - 368 с.

5. Зюзин, А. М. Модификация закона дисперсии спиновых волн в многослойных пленках при изменении симметрии граничных условий / А. М. Зюзин, А. Г. Бажанов//ЖЭТФ. - 1997.-T.il 1,№ 5.- С. 1667-1673.

6. Спин-волновой резонанс в плёнках феррошпинелей, намагниченных перпендикулярно поверхности / Л. А. Митлина, Г. С. Бадртдинов, Ю. В. Вели-канова и др.// Вестник СамГТУ, Серия «Физико-математические науки» — 2011,—Выпуск 4(25). —С. 125- 133.

7. Беляев, Б. А. Особенность высокочастотной восприимчивости тонких магнитных пленок с одноосной анизотропией / Б. А. Беляев, А. В. Изотов, С. Я. Кипарисов // Письма в ЖЭТФ. — 2001.— Т. 74, № 4. — С. 248 - 252.

8. Dynamics of Chaotic, and Stochastic Systems: Tutorial and Modern Developments/ V. Anishchenko, A. Neiman, T. Vadivasova, V. Astakhov, L. Schi-mansky-Geier // Second ed., Springer Publisher, Berlin. — 2007. — 461 c.

9. Семенцов, Д. И. Низкочастотный ферромагнитный резонанс в пленках с угловой дисперсией магнитной анизотропии / Д. И. Семенцов, В. В. Сидорен-ков // ФММ. — 1988. — Т. 65, № 2. — С. 219-223.

Список основных публикаций по теме диссертации

В изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Василевская, Т. М. Спин-волновой резонанс в продольно намагниченной тонкой пленке / Т. М. Василевская, Д. И. Семенцов // ФТТ. — 2007 — Т 49 № 10, —С. 1824-1830.

2. Василевская, Т. М. Объемные и поверхностные спин - волновые моды в продольно намагниченной тонкой пленке / Т.М. Василевская, Д.И. Семенцов //ФММ, — 2008, — Т. 105, №2, —С. 115-122,

3. Василевская, Т. М. Резонансные свойства магнито - анизотропных дисперсных пленок / Т. М. Василевская, Д. И. Семенцов // ФММ. — 2009. — Т. 108 №4, —С. 339-344.

4. Василевская, Т. М. Ферромагнитный резонанс в металлических пленках с угловой дисперсией магнитной анизотропии / Т. М. Василевская, Д. И. Семенцов // Физика твердого тела. — 2010. — Т. 52, № 6. — С. 1136- 1142.

5. Василевская, Т. М. Ферромагнитный резонанс в одноосной магнитной пленке при подмагничивании вдоль «трудной» оси / Т. М. Василевская, Д. И. Семенцов // ЖЭТФ. — 2010. — Т. 137, № 5. — С. 861 - 866.

6. Василевская, Т. М. Низкочастотный ферромагнитный резонанс в одноосной магнитной пленке / Т. М. Василевская, Д. И. Семенцов // ФММ. — 2011.— Т. 111, №2, —С. 115-120.

7. Василевская, Т. М. Особенности прецессионной динамики намагниченности одноосной магнитной пленки / Т. М. Василевская, Д. И. Семенцов // ФТТ.

— 2011.—Т. 53, №1.— С.79-85.

8. Василевская, Т. М. Ферромагнитный резонанс и поле бистабильности в одноосной магнитной пленке / Т. М. Василевская, Д. И. Семенцов, С. А. Володин// ЖТФ, — 2011. — Т. 81, №9. — С. 154-158.

9. Vasilevskaya, Т. М. Bifurcation magnetic resonance in films magnetized along hard magnetization axis/ Tatiana M. Vasilevskaya, Dmitriy I. Sementsov, Anato-ly M. Shutui // Journal of Magnetism and Magnetic Material. — 2012. — Vol. 324. — Issue 19. — Pp. 2964 - 2971.

В других изданиях:

10. Василевская, Т. М. СВР в магнитных пленках с плоскостной анизотропией / Т. М. Василевская, Т. М. Семенцова // Материалы V Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». Самара -2006. — С. 16.

П.Василевская, Т. М. Спектры СВР продольно намагниченной пленки при различных типах закрепления поверхностных спинов / Т.М. Василевская, Д.И. Семенцов // Известия вузов. Поволжский регион. Естественные науки.

— 2007.— № 6, —С.75-87.

12. Василевская, Т. М. Резонансные свойства магнито- и электро-анизотропных дисперсных ферромагнитных пленок /Т. М. Василевская, Д. И. Семенцов // Материалы Седьмой Всероссийской молодежной научной школы «Материалы нано-, микро- и оптоэлектроники: физические свойства и применение», Саранск. - 2008. - С. 93 - 94.

13. Василевская, Т. М. Динамика намагниченности ферромагнитной пленки при подмагничивании вдоль ОТН/ Т. М. Василевская, Д. И. Семенцов // Труды XI международной конференции «Опто-, наноэлекгроника, нанотех-нологии и микросистемы». Ульяновск. — 2009. — С. 59.

14. Василевская, Т. М. Прецессия магнитного момента в пленке, намагниченной вблизи «трудного» направления / Т. М. Василевская, Д. И. Семенцов // Труды XXI международной конференции «Новые магнитные материалы микроэлектроники». Москва : МГУ. — 2009. — С. 973 — 974.

15. Василевская, Т. М. Спин-волновой резонанс в продольно намагниченной тонкой пленке с угловой дисперсией магнитной анизотропии / Т. М. Василевская, Д. И. Семенцов // Труды 18-й международной конференции «Опто-, наноэлекгроника, нанотехнологии и микросистемы». Ульяновск. — 2015, —С. 160-162.

Подписано в печать 20.07.2015. Формат 60x84/16. Гарнитура Times New Roman. Усл. п.л. 1,0. Тираж 120 экз. Заказ №65/за б"

Отпечатано в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432017, г. Ульяновск, ул. JI. Толстого, 42