Особенности лагранжевых и лежандровых отображений в разрывных гамильтоновых системах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ргь ОН

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫИ ИНСТИТУТ (Технический университет)

На правах рукописи УДК 514.853

МЯСНИЧЕНКО ОЛЕГ МИХАИЛОВИЧ

ОСОБЕННОСТИ ЛАГРАНЖЕВЫХ И ЛЕЖАНДРОВЫХ ОТОБРАЖЕНИИ В РАЗРЫВНЫХ ГАМЙЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМАХ

Специальности: 01.02.01 "Теоретическая механика" и 01.01.02 "Дифференциальные уравнения"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена ном Институте

в Московском Государственном Авиацион-

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент В.М.Закалюкин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

С.М.Гусейн-Заде,

кандидат физико-математических наук М.Э.Казарян

Ведущая организация: Московский Государственный

Университет им.Ломоносова

Защита состоится "//" О^тиЛ^!^^ 1994 г. на заседании специализированного совета К 053.18.02 в Московском Авиационном Институте.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ. Адрес института : 125871, Москва,ГСП,Волоколамское шоссе, 4.

Автореферат разослан " 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук,

доцент /"7 Л.Ф.Лобанова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена1 применению теории особенностей лагранжевых и лежандровых отображений к некоторым задачам гамильтоновой механики.

Актуальность теш. Теория лагранжевых и лежандровых особенностей - активно развивающаяся область математики, начало которой было положено в работах Р.Тома, В.И.Арнольда,

Дж.Мазера, А.Вейнстейна, Дж.Дуистермаата и др. Лагранжевы и > *

лежандровы многообразия и отображения естественно возникают в теоретической механике и в теории управления, в дифференциальной геометрии и в вариационном исчислении. Основным мотивом, побуждающим к их изучении, является возможность представления некоторых особых подмногообразий конфигурационных пространств в виде образа гладких лагранжевых (лежандровых) подмногообразий фазовых (расширенных фазовых) пространств. Возникающие при этом вырождения исследуются методами теории особенностей дифференцируемых отображений.

В механике лагранжевы и лежандровы многообразия естественно возникают как обобщенные решения уравнений Гамильто-на-Якоби. Особенности их проекций на конфигурационное пространство ответственны за появление особенностей у функции действия.

Аппарат теории лагранжевых и лежандровых особенностей отлично приспособлен для исследования разрывных гамильтоновых систем, систематическое изучение геометрии которых берет сесю начало в работах Р.Мельроза, В.И.Арнольда, А.Б.Гивента-

ля, 0.П.Щербака, М.Э.Казаряна и др., существенно продвинувших эту теорию. При этом здесь остается множество нерешенных пока задач, некоторым из которых и посвящена данная работа.

Цель работы. Целью работы является применение теории особенностей лагранжевых и лежандровых отображений к некоторым задачам теоретической механики - исследованию обобщенных решений разрывных уравнений Гамильтона-Якоби; обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби, при наличии в системе го-лономной неудерживающей связи; обобщенных решений укороченного уравнения Гамильтона-Якоби

?1Сд,Аз/ад; = Е (=сопаг), где Н = Г + V - гамильтониан, равный суше кинетической и потенциальной энергии, в точках границы области возможных движений - области конфигурационного пространства, задаваемой неравенством и < Е.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность.

В диссертационной работе получены следующие результаты :

1) Расклассифицированы типичные обобщенные решения разрывных уравнений Гамильтона-Якоби натуральных систем классической механики в точках полного отражения для случаев, когда размерность ков^гурационного пространства не превышает четырех.

2) Указаны нормальные формы особых лагранжевых многообразий, состоящих из лежащих на границе препятствия экстремалей функционала действия, при наличии в конфигурационном

пространстве гамильтоновой системы препятствия, описывающего неудерживапцую голономную связь.

3) Исследованы особенности проекций на конфигурационное пространство типичных обобщенных решений уравнений Гамильто-на-Якоби натуральных систем классической механики в точках границы области возможных движений. Исследованы типичные особенности, возникающие в однопараметрических семействах таких отображений.

4) Найдены нормальные формы, с точностью до лежандровой эквивалентности, ростков типичных пар (Ъ, F) .где L - лэ-жандрово подмногообразие пространства лежандрова расслоения a F - гладкая функция на Ь, в точках х € I таких, что F(x) = 0 и производная проектирования Ъ на базу расслоения имеет одномерное ядро.

Полученные результаты могут быть использованы в задачах теории особенностей, квантовой механики, геометрической оптики.

Апробация работы и публикации. По теме работы опубликованы статьи [1-3], основные результаты докладывались на Международном Симпозиуме по Теории Особенностей и Дифференциальным Уравнениям (Варшава, октябрь 1993 г.), на семинаре по теории особенностей МГУ (руководитель - академик В.И.Арнольд, апрель 1994 г.), на семинаре по теории особенностей в Варшавском политехническом университете (руководитель -проф. С.Янечко, январь 1993 г.). семинаре' кафедры теоретической механики МАИ (руководитель - проф. В.Г.Веретенников, апрель 1994 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Общий объем работы - 92 страницы, работа содержит 21 рисунок, 2 таблицы, одну диаграмму. Библиография содержит 13 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрывается актуальность темы исследования и кратко излагаются полученные результаты.

Первая глава - вводная, в ней фиксируются обозначения, напоминаются некоторые определения и кратко излагаются результаты используемые в дальнейшем.

Во второй главе рассматриваются нормальные формы, с точностью до лежандровой эквивалентности, ростков функций на лежандровых подмногообразиях пространств лекандровых расслоений. Основной полученный в этой главе результат формулируется так :

Рассмотрим 1 - лежандрово подмногообразие пространства проективизации кокасательно?о расслоения О?141 - РТ*КП+1 .

Пусть Ъ задается с помощью функции /С<7к+1.....=

+ рР"кдк+1 + ... + Ра<?п_1 , п > к , формулами :

<?0 = / * <?пРП' р± = м.....п-1, <?п =-а;/врп, р0= и

где - координаты на Кп+1, (р0.....рп) -

однородные координаты в слоях проективизации, сопряженные координатам q.

Утверждается что, для гладкой функции общего положения

Р: Ъ —» К . равной нулю в точно <7 = = •■• = Рп= О , существуют такие координаты (С}о, в некоторой окрестности точки О е , что в них Ь задается так же как и раньше :

°0 = / * «пРп> = .....«п =-б//аРп, Р0= Л

Л, + +

а Р имеет вид Р = ^ + + -•• , 0 $ т ^ £ ,

т < 2 + п - к. Здесь, как и раньше, Р - однородные координаты в слоях проективизации, сопряженные координатам Я .

Используемая в этой главе техника была развита В.М.За-калхжиным в задаче о классификации функций на фронтах - образах лежандровых подмногообразий Ъ с рт*Кп+1 относительно проекции проективизации кокасательного расслоения.

В третьей главе рассматриваются нерегулярности, возникающие в точках полного отражения при переходе гамильтоновой системы из одной среды - М1, в другую - М2 , и особенности лежандровых отображений, связанных с этой задачей.

Для описания движения разрывной системы необходимо рассматривать разрывное уравнение Гамильтона-Якоби :

Н = (((я,р),з) € Т*М « К | П^.р) » Е при ц а М, ,

!гг(д,р) = Б при ц € М2 }, где и - гладкие гамильтонианы, описывающие движение в средах М1 и Н^ - областях конфигурационного пространства М , на которые оно делитсй гладкой границей двух сред.

Для разрывных уравнений естественно определяются обобщенные решения - лежандровы подмногообразия Ь с Я, состоя-

щие из двух гладких частей и Ъг , лежащих в { = Е ) и { Л2 = Е } , причем задание полностью определяет . Здесь доказано, что если проектирование 11 на М в некоторой окрестности точки полного отражения не особо, то проектирование второй части решения - Ъг на М имеет особенность

Вк (лагранжев аналог этого результата был известен). Кроме того, в классификации проектирований лежандровых решений Ъг на М * Е, для Ь.г - квадратичного и выпуклого по импульсам, удалось продвинуться до размерности М равной 4. Получающийся список особенностей таков :

ъг = {(д,р),г) € т*м » з : = ?; = ? = о, р = еч,

где Е из таблицы :

аш и

Е(х,у,дЛ)

хл + 12д1 + хдг + t

х* + + хдг + t у3 ± уа2 + у2д1 + удг + хд3П х6 у- х4д1 + з?/(д) + з?дг + хд3 + t

х +

+ хдг + t

у3 ± уа? + у\ + уд2 + хд3 + Г у1 + уз? + у^ + у^,, + уя3 + хцл + г з? + у* + + у2д2+ ау/гд; + уд3+ I х6 +■ л:^ + з?дг + з?д3 + хдл + 1 г3 + я®?, * хг'/^д) + х\ + х?/г(д) + з?д3 + +

где Яд), /±(д) - функциональные модули.

В этой же главе рассмотрены нормальные формы квадратов семейств функций длины геометрической оптики между точками

2

3

4

на начальном фронте Г с м1 и точками второй среда :

?(*,!/,и,П = Ца(х) - Ыу^/у, + ЦЪ(у) - и||/и2 - t , где а(х) - начальный фронт, Ъ(у) - граница двух сред, и -точка второй среды, t - время, и1 и и2 - скорости распространения света в средах. Доказано что, если рассматриваемая точка полного отражения не принадлежит каустике в первой среде а преломленный в точке полного отражения луч не касается и не ортогонален поверхности на границе, состоящей из точек полного отражения, то квадрат этого семейства имеет локальную нормальную форму

у3 + у\ + уи2 - и*.

В четвертой главе рассматривается задача об обходе препятствия - задача исследования лагранжевых многообразий, состоящих из экстремалей функционала действия в обход препятствия, ограниченного гладкой гиперповерхностью в конфигурационном пространстве гамильтоновой системы. С этой задачей связываются три лагранжевых многообразия :

a) лагранжево подмногообразие фазового пространства (называемое многообразием, состоящим из падающих на границу препятствия лучей), состоящее из экстремалей в объемлюцем пространстве, стартующих из точек начального фронта;

b) лагранжево подмногообразие пространства кокасатель-ного расслоения границы препятствия, состоящее из экстремалей на границе препятствия (называемое многообразием, состоящим из геодезических границы, стартующих из точек касания границы и падающих на границу лучей);

с) лагранжево подмногообразие фазового пространств* состоящее из срывающихся.с границы препятствия экстремалей объемлющем пространстве..

В работах А.Б.Гивенталя было доказано, что если состой щее из геодезических границы, стартующих из точек касани границы и падающих на границу лучей, лагранжево многообрази является гладким, то, в случае общего положения, многообре зие, состоящее из срывающихся с границы препятствия экстре малей в объемлющем пространстве, локально симплектоморфн надстройке подходящей размерности над ^-мерным раскрыты ласточкиным хвостом - особым лагранжевым подмногообразием пространство многочленов вида

'■^^/(гЬ-И)! + + ... + <^/2?/ -

- Р]з*-'>/(Ь-1)1 + ... + М^Р, , снабженном симплектической структурой (Щ^ <Л>^ + ... + + сВДкл <ЗРк , образованном многочленами имеющими корень крат ности ^¡Н.

В этой главе доказано, что в общем случае многообрази геодезических границы, стартующих из точек касания границы : падающих на границу лучей, само является особым. С помощь: результатов А.Б.Гивенталя в этой главе найдены нормальны' формы таких многообразий: лагранжево подмногообразие прост ранства кокасательного расслоения границы препятствия состоящее из геодезических границы, стартующих из точек ка сания границы и Падающих на границу лучей, локально (в ок рестности геодезической, стартующей из точки асимптотическо го касания падающего луча и границы) симплектоморфно над

стройке подходящей размерности над ^-мерным раскрытым ласточкиным хвостом. Здесь к + 1 - порядок касания падающего луча и границы. В этой главе приведены также некоторые результаты, касающиеся особых многообразий геодезических объемлющего пространства.

В пятой главе приведены результаты о поведении гамиль-тоновых систем на границе области возможных движений для нулевого уровня энергии - области конфигурационного пространства, задаваемого неравенством' и < 0 , для гамильтониана Н = Т + II , где и и Т - потенциальная и кинетическая энергии натуральной механической систоми. Здесь доказано что, для общего начального фронта, лежащего внутри области возможных движений, границы этой области достигает лишь множество точек начального фронта, образующее в нем подмногообразие размерности нуль, а проектирование в конфигурационное пространство построенных по начальному фронту лагранжевых многообразий в точках границы области возможных движений имеют особенность Аг.

Из этого следует, в частности, что траектории точек в конфигурационном пространстве, стартующих из общего начального фронта в направлении, ортогональном (в смысле метрики порожденной кинетической энергией) к начальному фронту, и имеющим нулевую полную энергию, в некоторой окрестности точки границы, области возможных движений имеют гладкую огибающую, касающуюся границы.

В однопараметрических Семействах результат немного ус-

лохняется : при отдельных значениях параметра соответствующие лагранжевы отображения в точках границы имеют особенность I)* , а огибащая имеет форму "кошелька".

В этой же главе рассмотрен случай, когда начальный фронт пересекает границу. В этом случае соответствующие лагранжевы отображения имеют функциональные модули.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Мясниченко О.М. Особенности волновых фронтов на границе раздела двух сред. Алгебра и анализ, Т. 5, * 4, 1993, С. 149-169.

2. Мясниченко О.М. Точки полного отражения и волновые фронты на границе раздела двух сред. Известия РАН, сер. Математическая, Т. 58, * 2, 1994, С. 132-152.

3. Мясниченко О.М. Особенности волновых фронтов на границе раздела двух сред. Функц. анализ и его прил.,Т.28, * 2, 1994, С. 63-67.