Особенности спин-орбитального взаимодействия в сложных гетероструктурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

На правах рукописи

РОМАНОВ Константин Сергеевич

ОСОБЕННОСТИ СПЬЛ-ОРБИТАЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В СЛОЖНЫХ ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ

Специальность:

01.04.10 - физика полупроводников

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Рабога выполнена в Физико-техническом институте им А.Ф. Иоффе РАН

Научный руководитель'

доктор физико-математических наук профессор

Аверкиев Никита Сергеевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Глинский Геннадий Федорович

доктор физико-математических наук, профессор

Козуб Вениамин Иванович

Ведущая организация.

НИИ Физики им. В А Фока СПбГУ

Защита состоится "_ " имя 2005 в I & ч мин. на заседа-

нии диссертационного совета К 002 205 01 при Физико-техническом институте им. А Ф Иоффе РАН по адресу. 194021, Санкт-Петербург, Политехническая 26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью организации, просьба направлять по вышеуказанному адресу на имя учёного секретаря диссертационного совета.

Автореферат разослан " с2005.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук Бахолдин С И

Чооч

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы. Достижения современной электроники обязаны прежде всего тем успехам, которые достигнуты в области физики полупроводников В настоящее время одним из наиболее перспективных направлений развития технологий в электронике является переход на наноструктурный уровень Это стимулировано свойствами полупроводниковых гетероструктур, таких как квантовые точки, квантовые проволоки и квантовые ямы Переход к сложным гетероструктурам, в которых этих особенностей мож " быть больше, приводит к эффектам, в принципе не возможным в простых структурах Так, в системах, состоящих из двух близко расположенных квантовых ям, захватывающих носители разных знаков, в самосогласованных гетеропереходах На типа, в дельта-легированных квантовых ямах проявляются новые, ранее не изученные явления, не обнаруживающиеся в простых квантовых ямах и гетеропереходах.

В системах, состоящих из двух близко расположенных квантовых ям, при определённом выборе материалов можно подобрать зонную структуру так, что при оптической накачке индуцированные носители разных знаков будут пространственно разнесены. То есть, сформируются два заряженных слоя- слой электронов, локализованных преимущественно в одной яме, и слой дырок, локализованных в другой яме. Такая конфигурация частиц приводит к тому, что оптические и транспортные свойства структуры становятся сильно зависящими от концентрации носителей (даже если число дырок и электронов одинаково) и внешнего электрического поля, приложенного вдоль оси роста структуры.

Технология дельта легирования позволяет создавать системы с контролируемым воздействием потенциала гетероструктуры на состояние, локализованное на одиночной примеси. Современные методики роста позволяют очень гибко в широких пределах варьировать свойства выращиваг емых структур. Поэтому системы, содержащие как одиночные дефекты, так и воздействующие на них гетероструктуры, дают возможность относительно просто модифицировать параметры локализованных на дефектах носителей.

Самосогласованные гетеропереходы На типа из-за взаимодействия ва-

лентной зоны одного из контактирующих полупроводников с зоной проводимости другого имеют достаточно сложную электронную структуру, которая приводит к необычным магнетотранспортным свойствам перехода.

В настоящее время появилась возможность экспериментального исследования сложных полупроводниковых гетероструктур, однако вопрос теоретического описания результатов таких исследований и свойств этих гетероструктур во многом остаётся открытым.

Целью настоящего исследования является изучение особенностей влияния спин-орбитального взаимодействия на электронную структуру и на транспортные свойства сложных полупроводниковых гетероструктур.

Научная новизна работы состоит в том, что'

1. Впервые построена теория слабой локализации в 2А полупроводниковых структурах или металлических плёнках во всём интервале классически слабых магнитных полей в случае, когда спиновая релаксация носителей происходит по механизму Эллиота-Яфета. Показано, что спин-орбитальное взаимодействие существенно влияет на величину магнетосопротивления как в диффузионном, так и в недиффузионном режимах.

2. Впервые рассмотрены состояния дырки, локализованной на акцепторе или А+ центре в квантовой яме, в рамках метода потенциала нулевого радиуса.

3. Показано, что в самосогласованных гетеропереходах Па типа в внешнем магнитном поле, возникают „квазищели" в плотности состояний

4. Исследована зависимость положения уровней энергии системы, состоящей из двух связанных квантовых ям, от концентрации локализованных в ямах носителей. Показано, что влияние обменно-корреляционных поправок на энергетический сдвиг основных уровней системы является существенным.

Практическая ценность работы определяется тем, что в ней расширены рамки теоретических представлений о свойствах электронных зонных

* Г

структур в перспективных в приложениях сложных полупроводниковых гетероструктур, а разработанные методы и полученные формулы позволяют аналитически определять характеристики систем в зависимости как от состава материала, так и величин внешних воздействий Результаты работы могут быть использованы для проведения целенаправленных исследований аномального магнетосопротивления в двумерных структурах со спиновой релаксацией Эллиота-Яфета.

Достоверность полученных результатов обусловлена тем, что развитые в работе теоретические мод: ли адекватно описывают эксперимент, а полученные зависимости и рассчитанные характеристики согласуются с экспериментальными данными и качественно, и количественно Основные положения, выносимые на защиту-

1. Взаимодействие зоны проводимости и валентной зоны в самосогласованных гетеропереходах Па рода приводит к антипересечению уровней Ландау с одинаковыми номерами и возникновению квазищелей в спектре уровней Ландау.

2. Модель потенциала нулевого радиуса хорошо применима для описания А(-ь) центров в квантовых ямах, выращенных из материала, обладающего кубической симметрией, с учётом сложной валентной зоны.

3. Спиновая релаксация но механизму Эллиота-Яфета сильно влияет на эффект слабой локализации в двумерных системах как в диффузионном, так и в недиффузионном режимах

4 Величина сдвига линии фотолюминесценции в несимметричных ге-тероструктурах, состоящих из двух связанных квантовых ям, зависит как от энергии электростатического взаимодействия носителей, так и от обменно-корреляционной энергии Относительное влияние обменно-корреляционных слагаемых падает с уменьшением величины перекрытия волновых функций носителей разных знаков.

Апробация работы Результаты работы докладывались на семинарах ФТИ им. А Ф. Иоффе РАН, на Международной Конференции по Физике Полупроводников (1СР£!-27,Флагстафф,Аризона,2004), Международном

Симпозиуме "Nanostructures; Physics and Technology" (Санкт-Петербург, 2004), Всероссийском совещании по физике низких температур (Екатеринбург, 2003), Уральской международной зимней школе по физике полупроводников (Екатеринбург, 2004)

По результатам исследований, составляющих содержание диссертации, опубликовано 10 научных работ, список которых приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из Введения, 4-х глав, Заключения и Списка литературы Объём диссертации составляет 99 страниц, включая 11 рисунков. Список цитированной литературы содержит 48 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении обоснована актуальность темы исследований, сформулирована цель работы и отмечена её научная новизна, перечислены основные положения, выносимые на защиту

В первой главе рассматриваются особенности электронной структуры самосогласованных гетеропереходов На типа и влияние этих особенностей на магнетотранспортные свойства объекта. Предлагается теоретическая модель для определения энергетического спектра как без магнитного поля, так и в случае однородного, приложенного перпендикулярно плоскости интерфейса магнитного поля.

Отличительной особенностью гетероструктур с самосогласованными переходами На типа, является энергетическое перекрытие валентной зоны одного из контактирующих полупроводников и зоны проводимости другого [!]■

Наличие энергетического перекрытия приводит к появлению ряда особенностей. Например, подвижными носителями с одной стороны от интерфейса являются электроны, а с другой — дырки, что должно приводить к сильной гибридизации состояний зоны проводимости одного полупроводника и валентной зоны другого. Деформация и изгиб зон в гетеропереходе ведёт к формированию двух двумерных потенциальных ям по разные стороны интерфейса — одной для дырок, другой для электронов. Так, в гетеропереходе GaSb/InAs со стороны GaSb формируется квантовая яма для дырок, а со стороны InAs — для электронов.

Кроме одиночных гетеропереходов в настоящее время широко исследуются структуры, состоящие из двух гетеропереходов и квантовой ямы между ними Рассматриваемый в главе одиночный гетеропереход На типа с самосогласованными квантовыми ямами обладает похожими свойствами, но конкретная форма изгиба энергетических зон вблизи гетерограни-цы зависит от концентраций носителей и может изменяться посредством легирования контактирующих объёмных материалов

Для описания одиночных самосогласованных гетеропереходов На типа в работе предлагается следу чцая модель. Рассматривается одиночная квантовая яма с бесконечными саенками, поделённая на две части, в каждой из которых зонные параметры постоянны.

Для полупроводников АШВУ и их твёрдых растворов, образующих рассматриваемый тип гетеропереходов, наиболее подходящей зонной схемой представляется модель Кейна Эта модель позволяет естественным образом учесть граничные условия на интерфейсе гетероперехода и принять во внимание реальные значения эффективных масс. Магнитное поле в рамках этой модели учитывается стандартным способом переходом к обобщённым импульсам и добавлением слагаемых, описывающих g-фaктopы электронов и дырок Поскольку в рассматриваемых материалах g-фaктop (|д| = 10) электронов значительно больше, чем g-фaктop дырок, в данной модели учитывается только §-фактор электронов. Зонная структура каждого из полупроводниковых материалов описывается в рамках модели Кейна, с учётом только линейных слагаемых

В качестве граничного условия берётся непрерывность полной волновой функции Чтобы избежать трудностей с бесконечными барьерами на краях ямы, внешним областям приписывается определённая ширина запрещённой зоны (её середина соответствует Е — 0), которая затем устремляется к бесконечности.

В рамках данной модели дисперсия тяжёлых дырок не учитывается и, соответственно, отсутствует и квантование их уровней. Для учёта тяжёлых дырок в слое СаБЬ вводится их формальное квантование путём приписывания им квадратичного закона дисперсии, без учёта влияния на электроны и лёгкие дырки Также полагается, что тяжёлые дырки одного материала не проникают вглубь другого

В результате такого рассмотрения получаются уравнения для определения энергии локализованных в структуре частиц как в нулевом, так и в ненулевом однородном, приложенном перпендикулярно плоскости гсте-роструктуры, магнитном поле

Результаты теоретических исследований сравниваются с экспериментальными данными по изучению магнетотранспорта в самосогласованных гетеропереходах СаГпАзвЬДпАя

Показано, что в структуре присутствуют пограничные состояния, обнаружено спиновое расщепление спектра как без магнитного поля, так и в приложенном поперечно структуре магнитном поле Найдены „квазищели" в спектре уровней Ландау, образующиеся п результате антипересечения уровней.

Результаты теоретических расчётов хорошо описывают особенности экспериментальных данных по магнетотранспорту в разъединенных гетеропереходах II типа СаГпАзЗЬДпАв на основе твёрдых растворов.

Во второй главе рассматриваются состояния дырки, локализованной на акцепторе в квантовой яме, в рамках модели потенциала нулевого радиуса Выводится дисперсионное уравнение дырки с учётом сложной валентной зоны с симметрией IV Проводится сравнение с экспериментальными данными по зависимости энергии связи дырки на А+ центре от ширины квантовой ямы.

На электрон или дырку, локализованные на дефекте, находящемся в квантовой яме, действует как потенциал примеси, так и потенциал структуры, причём последний, уменьшая область локализации носителя, вызывает увеличение его кинетической энергии и делокализацию в плоскости ямы. Потенциал примеси также может иметь несколько составляющих, и обычно, в первую очередь, говорят о кулоновской части потенциала (для заряженных центров) и короткодействующей части, происходящей из-за несоответствия атома примеси атому решётки. В связи с этим задача определения энергии связи и волновых функций носителя, связанного на дефекте в квантовой яме, становится весьма громоздкой и зависящей от химической природы дефекта.

В подобных материалах теоретически исследовались мелкие кулонов-ские акцепторы в прямоугольных квантовых ямах, а в качестве их характе-

ристик в конкретных структурах численно рассчитывались энергии связи дырки, например [2, 3] Для определения спектра глубокого акцептора или А+ центра, помещённого в квантовую яму, предлагается модель, в которой дефект, связывающий дырку, описывается потенциалом нулевого радиуса и находится в центре квантовой ямы с бесконечными стенками. Валентная зона материала ямы описывается гамильтонианом Латтинжера

Учёт потенциала дефекта в рамках метода потенциала нулевого ра^-диуса производится с помощью модификации уравнения Шрёдингера для свободной частицы Именно, н ходятся решения уравнения Шрёдингера без притягивающего потенциала, убывающие на бесконечности Роль притягивающего потенциала сводится к граничному условию, которое определяет асимптотическое поведение сферически симметричной части волновой функции вблизи дефекта.

После нахождения собственных функций гамильтониана определяется энергегический спектр локализованного состояния с помощью гранично го условия, накладываемого на волновую функцию дырки [А1] Оказывается, что потенциал квантовой ямы расщепляет четырёхкратно вырожденное состояние акцептора на два двукратно вырожденных Результирующие дисперсионные уравнения для каждого из уровней имеют вид

а = \к\1п (2сЪ (ак+/2)) + 3к2_1п (2сЪ (ак_/2)) -

—а| АНН (аЛ/2) ¿Л]/ (а (к% + к2.)) а = [3к\1п (2с/г (ак+/2)) + к1Ы (2сН (ак-/2)) + +а| \НЬ, (оА/2) <£Л]/ (а (к2+ + к!))

где а ширина квантовой ямы. к+~ = у—2Етп^, Е - энергия локализованного состояния, отсчитанная от вершины валентной зоны, тпщ - эффективные массы тяжёлых и лёгких дырок в материале квантовой ямы, а -параметр потенциала примеси

Таким образом, нахождение положения уровня, связанного на дефекте состояния, заключается в определении коэффициента а, исходя из энергии связи в объёмном случае при а-» оо а затем в нахождении энергий, по тем же самым формулам при конечных а. Следует отметить, что в реальном эксперименте измеряется не энергия связи а энергия перехо-

Рис 1. Рассчитанные зависимости энергий перехода с основного уровня размерного квантования тяжёлых дырок на основной (Еи возбуждённый (Еъ) уровни А+ центра от ширины ямы при энергиях связи дырки в объёмных материалах равных 5мэВ и 7мэВ (энергии указаны в скобках) и экспериментально полученные зависимости.

да Еу^А между локализованным уровнем и первым уровнем размерного квантования тяжёлых дырок* Едд—»л — тг (2тна2) - Е

На рисунке 1 представлены экспериментальные данные по изучению люминесцеиции перезаряженных акцепторов Ве в квантовых ямах ваАв различной толщины и результаты теоретических расчётов, выполненные для двух выбранных энергий Ве+-центра в объёмном материале-Еа^оо = 5мэВ, = 7мэВ Видно, что теоретическая кривая дая основного состояния Ве+-центра количественно согласуется с результатами эксперимента.

Разработанная модель позволяет оценить характерный размер волновой функции локализованного состояния, который для рассмотренной системы оказывается равным 100А В работе [4] размер Ве+ оценён исходя из анализа прыжковой проводимости и получено значение 80А для этой величины.

В третьей главе теоретически исследуется зависимость энергии перехода между основными уровнями электронов и дырок от концентрации носителей в несимметричных системах, состоящих из двух взаимодейству-

и

ющих квантовых ям: в гетероструктурах, в которых неравновесные носители противоположных знаков локализуются в разных ямах.

Обычно несимметричные системы создаются с помощью внешнего электрического поля, приложенного к симметричной гетероструктуре. Созданные таким образом системы на основе двух квантовых ям исследовались экспериментально и теоретически. Например, в [5] изучался синий сдвиг линии фотолюминесценции пространственно непрямых экситонов В данной же главе рассматривается несимметричная система, состоящая из двух взаимодействующих квгтговых ям, в отсутствие внешнего электрического поля. Асимметрия здесь достигается подбором зонных параметров материалов, образующих ямы: они выбираются так, чтобы электроны и дырки захватывались разными ямами.

Расчёт положения основных уровней электронов и дырок при различных концентрациях носителей проводится двумя методами- простым методом Хартри и методом Хартри с учётом обменно-корреляционных поправок, полученных с помощью метода локальной плотности. Достоинством метода Хартри является его простота и отсутствие .,подгоночных" параметров. Метод Хартри с учётом обменно-корреляционных поправок несо мненно более точен, но он содержит в себе элементы феноменологического описания

Для описания состояний носителей используется метод эффективной массы; электронные и дырочные подзоны считаются простыми с параболическим законом дисперсии; взаимодействие между зонами лёгких и тяжёлых дырок не учитывается В качестве граничных условий на интерфейсах выбирается непрерывность волновых функций и их производных И в том и в другом подходе уравнения решаются численно итерационным, самосогласованным методом В результате решения получаются зависимости положения энергий основных состояний электронов и дырок от концентрации носителей

Результаты расчётов сравниваются с данными экспериментов, в которых измеряется зависимость положения линии фотолюминесценции от интенсивности накачки, поэтому для сравнения теоретических и экспериментальных данных необходимо соотношение между интенсивностью накачки и концентрацией оптически инжектированных носителей. Это соотноше-

20

20

♦ ♦ ♦

и-1

о,

Роо ' 5,0е+04 1,0е+05 0,<£НЮ ' 5,0е+04 ' 1,0е+05

I, пдастпг I, mW/cш2

Рис 2 Зависимость положения линии фотолюминесценции для образцов А (слева) и В (справа) от интенсивности накачки. Пунктирные линии соответствуют простой модели Хартри, непрерывные линии - модели Хартри с учётом обменно-корреляционпых поправок, точки - экспериментальным данным.

ние может быть получено из анализа ширины пинии фотолюминесценции: полуширина линии оценивается как сумма энергий Ферми электронов и дырок, пропорциональная концентрации в 2П системах.

На рисунке 2 проведено сравнение результатов расчётов с экспериментальными данными по измерению сдвига линии фотолюминесценции в структурах 1по47Сао5зАз(40 А)/1пР(10 А) /1пА8042Ро58(40 А) (образец А) и 1по ззвао 67Аз(40 А)/1пР(10 А)/1пА8042Ро 68(40 А) (образец В). Видно, что простой метод Хартри позволяет качественно описать сдвиг линии фотолюминесценции Так. и экспериментальные, и теоретически полученные значения сдвига при одной и той же интенсивности для образца Б больше, чем для образца А Данный эффект объясняется тем, что в образце А величина перекрытия волновых функций электронов и дырок больше чем в образце Б Это приводит к большей экранировке зарядов и, соответственно, уменьшает электростатический потенциал и величину сдвига линии фотолюминесценции

Количественно же, результаты используемых в расчете методов зна^-чительно различаются. Так, простой метод Хартри достаточно хорошо описывает экспериментальные данные для образца Б, а экспериментальные данные для образца А - с двойным превышением. Эго расхождение возникло из-за того, что метод Хартри недостаточно точен при малых концентра-

циях Метод Хартри с учётом обменно-корреляционных поправок лишён этого недостатка и описывает поведение линии фотолюминесценции для обоих образцов удовлетворительно

В четвёртой главе построена теория слабой локализации в 2ё полупроводниковых структурах или металлических пленках во всём интервале классических слабых магнитных полей в случае когда спиновая релаксаг ция носителей происходит по механизму Эллиота-Яфета. Явление слабой локализации заключается в интерференции прямой и обратной электронных волн при прохождении ча ^тицей замкнутой траектории в процессе рассеяния на различных конфигурациях примесей. Под воздействием классически слабых магнитных полей эта интерференция разрушается Различают два режима слабой локализации- когда магнитная длина намного превосходит длину свободного пробега, эффективное разрушение интерференции происходит для замкнутых траекторий, содержащих много рас-сеивателей - диффузионный режим и когда магнитная длина становится сравнимой с длиной свободного пробега и интерференция начинает разрушаться для траекторий с небольшим количеством рассеивателей - недиффузионный режим

В главе создаётся теоретическое описание слабой локализации при наличии спиновой релаксации Эллиота-Яфета как в диффузионном, так и в недиффузионном режимах, то есть с учётом траекторий с любым количеством рассеивателей На основе разработанной модели рассчитывается слаболокализационная поправка к магнетосопротивлению двумерной структуры в нулевых магнитных полях и в ненулевых, перпендикулярных плоскости структуры, магнитных полях Вычисление проводится с помощью метода функций Грина

Расчёт поправки к проводимости образца с помощью этого метода заключается в вычислении нескольких диаграмм содержащих одинаковую внутреннюю часть - куперон куперон определяется с помощью интегральных уравнений, получаемых диаграммным методом

Наиболее простым образом образом куперон и, соответственно, квантовая поправка к проводимости определяются в случае нулевого магнитного поля. При этом в недиффузионном режиме слабой локализации с учётом спиновой релаксации интегральное уравнение на куперон является матрич-

ным и содержит три векторных переменных, тогда как в диффузионном случае с учётом спин-орбитального рассеяния и в недиффузионном случае без снии-орбитального рассеяния это уравнение можно переписать так, что остается лишь одна скалярная переменная

После подстановки решения уравнения на куперон в диаграммы описывающие проводимость, получается выражение для квантовой поправки к проводимости обусловленной слабой локализацией в нулевом магнитном поле-

где т, - время спиновой релаксации, т - время релаксации импульса, Тф -время сбоя фазы волновой функции за счет неупругих процессов.

Асимптотическое поведение квантовой поправки к магнетопроводи-мости в относительно больших классически слабых магнитных полях можно получить аналитически:

где 1В - магнитная длина Отсюда видно, что влияние спиновой релаксации по механизму Эллиота-Яфета на стабую пока лизанию в двумерных системах достаточно сильно и в больших полях В работе [А2] получены численные выражения для квантовой поправки к магнстопроводимости в произвольных классически слабых магнитных полях.

__ -_1п(1+2т*/т.)-1п2

1

Д<7~(1-Зт/Т8)1

В Заключении приводятся основные результаты работы.

1. Для двумерных структур построена теория слабой локализации с учётом спин-орбитального взаимодействия при рассеянии на примесях во всём интервале классически слабых магнитных полей.

2 Спиновая релаксация по механизму Эллиота-Яфета влияет на аномальное магнетосопротивление как в диффузионном, так и в недиффузионном режимах. В пределе относительно больших классически слабых полей, вклад в I ооводимость за счет спин-орбитального взаимодействия при рассеянии на примесях линеен относительно отношения времени релаксации импульса к времени спиновой релаксации

3. Взаимодействие зоны проводимости и валентной зоны в самосогласованных гетеропереходах На типа приводит к антипересечению уровней Ландау с одинаковыми номерами и возникновению квазищелей в спектре уровней Ландау

4. Модель потенциала нулевого радиуса хорошо применима не только для описания состояний дырки, локализованной на глубоком акцепторе в объёмном полупроводнике, но и для описания дырки, локализованной на А(-|) центре в квантовой яме.

5 На основании метода потенциала нулевого радиуса разработана одно-параметрическая модель глубокого акцептора или А(+) центра, помещённого в квантовую яму, с помощью которой количссхвенно описывается электронная структура объекта. Получены аналитические выражения для волновых функций и секулярного уравнения.

6. Небольшое увеличение перекрытия волновых функций электронов и дырок в структурах с пространственным разделением носителей заряда приводит к значительному уменьшению величины сдвига энергии рекомбинации от концентрации носителей.

7. В структурах с пространственным разделением носителей заряда определяющее влияние на положение основных уровней электронов и дырок оказывает расталкивающий электростатический потенциал.

8 Метод Хартри, с учётом обменно-корреляционных поправок, позволяет количественно описать влияние концентрации носителей на положение линии фотолюминисценции в структурах, состоящих из двух взаимодействующих квантовых ям, с пространственным разделением носителей разных знаков

ПУБЛИКАЦИИ

[Al] Н С. Аверкиев, К.С. Романов,Эффективная масса экситона в полупроводниках AlnBv", ФТП, 36, 289 (2002)

[А2] N S Averkiev, K.S. Romanov „2D anomalous magnetoresistance in the presence of spin-orbit scattering" - Proceedings of „Nanostructures Physics and technology" 2005, St Petersburg 21-25 june 2005.

[A3] H.C. Аверкиев, A.E Жуков, Ю.Л Иванов, Г1.В. Петров, K.C. Романов, А А. Тонких, В М Устинов, ГЭ. Цырлин „Энергетическая структура А(^)-центров в квантовых ямах", ФТП, 38, 222 (2004).

[А4] Н С. Аверкиев, В.А Березовец, М П Михайлова, К.Д. Моисеев, Р В Парфеньев, К С Романов , Особенности энергетического спектра и квантового магнетотранспорта в гетеропереходах II типа", ФТТ, 46, 2083 (2004)

[А5] К С Романов, „Магнитные квазищели в гетеропереходах Н-го а рода", тезисы на „Международную зимнюю школу по физике полупроводников", Сессия молодых ученых, С -Петербург -Зеленогорск 28 февраля - 3 марта 2003 года, стр 37.

[А6] Н С Аверкиев, В А. Березовец, М П Михайлова, К Д Моисеев, Р.В Парфеньев, К С Романов, Ю П Яковлев, В И Нижанков-ский, „Квантовый транспорт и энергетический спектр пространственно разделённых двумерных носителей заряда в гетеропереходе И-го типа GalnSbAb/p-TnAs" - тезисы на конференцию НТ 33 Всероссийское совещание по физике низких температур, Екатеринбург, стр 263 (2003).

[AT] Н.С. Аверкиев, В.А Березовец, М.П Михайлова, К Д Моисеев, Р.В. Парфеньев, К С. Романов, В И. Нижанковский, „Вертикальный и планарный квантовый транспорт в гетеропереходах II типа (GalnSb As/In As)" - тезисы XV Уральской международной зимней школы по физике полупроводников, Екатеринбург-Кыштым, 16-21 февраля 2004 г, стр.27.

[А8] N.V. Agrinskaja, N.S. Averkiev, Yu.L. Ivanov, P.V. Petrov, K.S. Romanov, V.M. Ustinov „Photoluminescent properties of holes bounded on 2D neutral a, ceptors" - Proceedings of „Nanostructures: Physics and technology" 2004, 268, St Petersburg 21-25 june 2004.

[A9] K.S. Romanov, A.Yu. Silov, B. Aneeshkumar, J H. Wolter, A.A Kuznetsov and N.S. Averkiev „Many-body correction to the blueshift in GalnAs/InP/InAsP composite quantum wells" -proceedings of „Nanostructures: Physics and technology" 2004, 128, St'Petersburg 21-25 june 2004.

[A10] N.V. Agrinskaja, N S. Averkiev, Yu L. Ivanov, P.V Petrov, К S. Romanov, V M Ustinov „Photoluminescent and kinctic properties of A( l) centers in quantum well" - Proceedings of ICPS 2004, Flagstaff, Arizona, USA 26-30 july 2004.

Список литературы

[1] Altarelli M. Electronic structure and semiconductor-semimetal transition in InAs-GaSb superlattices // Phys. Rev. B. — 1983.- Vol. 28.- Pp. 842845.

[2] Белявский В, Гольдфарб M., Копаев Ю Энергия связи кулоновских акцепторов в системах квантовых ям // ФТП — 1997.— Т 31, № 9.— С. 1095-1099

[3] Мелкие акцепторы в напряжённых гетероструктурах Ge/Gei_xSix с квантовыми ямами / В Алёшкин, Б. Андреев, В. Гаврилснко и др. // ФТП - 2000. - Т 34 - С. 582-587

[4] Проявление верхней зоны Хаббарда в проводимости двумерных структур p-GaAs-AlGaAs / Н Агринская, Ю Иванов, В Устинов, Д Полос-кин // ФТП. - 2000. - Т 35. - С. 571

[5] Negoita V., Snoke D. W, Eberl К. Huge density-dependent blueshift of indirect excitons in biased coupled quantum wells // Phys Rev Lett — 2000.-Vol. 61.-P. 2779

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97

Подписано в печать М . Формат 60x84/16. Печать офсетная. Уч. печ. л. /, 0 . Тираж /О? . Заказ <2ЛЪ .

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства Политехнического университета, 195251, Санкт-Петербург, Политехническая, 29.

№! О 1 1 6

РНБ Русский фонд

2006-4 7004

г

Введение

1 Особенности энергетического спектра и квантового магне-тотранспорта в гетеропереходах II типа

1.1 Свободные волны.

1.2 Гетеропереход.

1.3 Обсуждение результатов.

1.4 Сравнение с экспериментальными данными.'.

В связи с развитием технологий появилась возможность экспериментального исследования различных сложных гетероструктур, например таких как самосогласованные гетеропереходы Н-го рода, дельта-легированные квантовые ямы, системы двойных квантовых ям. В этих гетерострук-турах проявляются новые, ранее не изученные эффекты, которые не могут быть обнаружены в простых квантовых ямах и гетеропереходах.

В системах состоящих из двух близко расположенных квантовых ям при определённом выборе материалов ям можно подобрать зонную структуру так, что при оптической накачке индуцированные носители разных знаков будут пространственно разнесены. То есть сформируются два заряженных слоя: слой электронов, локализованных преимущественно в одной ямс и слой дырок, локализованных в другой яме. Такая конфигурация носителей приводит к тому, что оптические и транспортные свойства структуры сильно зависят от концентрации носителей (даже если число дырок и электронов одинаково) и внешнего электрического поля, приложенного вдоль оси роста структуры. Так, например, наблюдается большой сдвигу линии фотолюминесценции при увеличении интенсивности накачv ки по сравнению с аналогичным сдвигом в простой одиночной квантовой яме. Подобные свойства делают такие структуры весьма интересными с прикладной точки зрения, например их можно использовать для создания различных оптических устройств.

Дельта легирование гетероструктур, в свою очередь, позволяет изучать влияние потенциала структуры на локализованную на примеси частицу. Системы, сочетающие в себе примеси и гетероструктуры, весьма интересны как для экспериментального, так и для теоретического исследования. В них, помимо собственно потенциала точечного дефекта, который очень сложно контролировать, на локализованный носитель воздействует также и потенциал гетероструктуры. Современные технологии позволяют очень гибко в широких пределах варьировать свойства выращиваемых структур. Поэтому, системы, содержащие как одиночные дефекты, так и воздействующие на них гетероструктуры дают возможность относительно просто модифицировать параметры локализованных на дефектах носителей.

С другой стороны, контролированное введение примесей создаёт гетероструктуры, качественно отличающиеся от нелегированных, меняя люминесцентные и транспортные свойства.

Кроме того, наличие ограничивающего потенциала гетероструктуры, дельта легированных квантовых ям упрощает исследование перезаряженных центров, таких, как например отрицательно заряженный донор или положительно заряженный акцептор (D(-) и А(+) центры соответственно).

Как известно, по энергетической структуре, гетеропереходы делятся на три типа: I, II, На. В гетероперехода 1-го типа дно зоны проводимости и вершина валентной зоны одного полупроводника находятся соответственно ниже дна зоны проводимости и выше вершины валентной зоны другого полупроводника. Типичным примером такого гетероперехода является переход GaAs/AlGaAs. В гетеропереходах Н-го типа запрещённые зоны материалов смещены друг относительно друга так, что запрещённая зона первого частично перекрывается с зоной проводимости второго, а запрещённая зона второго материала перекрывается с валентной зоной первого. Переход Па типа напоминает гетеропереход П-го типа, но со значительно большим смещением зон: запрещённые зоны раздвинуты настолько сильно, что существует энергетическое перекрытие между валентной зоной одного полупроводника с зоной проводимости другого. Переходы такого типа интересны во-первых тем, что в их спектрах нет зазора, соответствующего запрещённой зоне, а во-вторых тем, что в них наблюдается сильное взаимодействие между валентной зоной и зоной проводимости разных полупроводников.

Самосогласованные гетеропереходы Па типа отличаются от простых гетеропереходов На типа, тем, что с обеих сторон интерфейса образуются потенциальные ямы, в которых могут быть локализованные носители. Поскольку движение носителей вдоль оси роста структуры ограничено, имеются уровни размерного квантования. Наличие этих уровней приводит к значительному усложнению спектра гетероперехода. В таких гетеропереходах наблюдаются антиперессчсния уровней Ландау, образующих сложную картину магнетопроводимости в больших полях, когда имеет место эффект Холла.

Также в самосогласованных гетеропереходах На рода наблюдается сильная зависимость кинетических свойств от положения уровня Ферми. При этом небольшой по сравнению с энергетическим интервалом перекрытия валентной зоны и зоны проводимости контактирующих материалов сдвиг уровня Ферми может привести к изменению проводимости образца с дырочной на электронную и наоборот.

Значение спин-орбитального взаимодействия в вышеописанных системах достаточно велико. Так в самосогласованных гетеропереходах Па рода спин-орбитальное взаимодействие фактически формирует отличия таких гетеропереходов от простых, несвязанных квантовых ям. Отличия спектра, сложная структура и антипересечения уровней Ландау являются следствиями взаимодействия валентной зоны и зоны проводимости.

В квантовых ямах на основе полупроводников вида Л3В5, имеющих кубическую симметрию кристалла, дельта-легированных акцепторными примесями спин-орбитальное взаимодействие также играет существенную роль. Так как в полупроводниках с кубической симметрией это взаимодействие приводит к расщеплению валентной зоны кристалла вблизи вершины валентной зоны. Поэтому при исследовании акцепторных примесей, помещённых в квантовую яму из такого материала необходимо учитывать сложный характер валентной зоны. Наличие потенциала гетероструктуры приводит к расщеплению уровней дырки, локализованной на примеси, в то время как уровни акцептора в объёмном полупроводнике не расщеплены.

Одним из наиболее ярких проявлений процессов, обусловленных наличием спин-орбитального взаимодействия в полупроводниках и полупроводниковых структурах является сильная зависимость магнетосопротивления в классически слабых магнитных полях от величины магнитного поля -аномальное магнетосопротивленис. Аномальное магнетосопротивления полупроводников и металлов обусловлено явлением слабой локализации, которое заключается в интерференции прямой и обратной электронных волн при прохождении частицей замкнутой траектории в процессе рассеяния на различных конфигурациях примесей. Наиболее ярко эффект слабой локализации проявляется в магнитных полях, когда интерференция разрушается под воздействием классически слабого магнитного поля. Кроме магнитного поля интерференция волн может быть разрушена за счёт процессов спиновой релаксации, релаксации фазы волновой функции, межподзонны-ми переходами и д.р., поэтому экспериментальные исследования эффекта слабой локализации позволяют определить различные характерные времена релаксации носителей заряда.

В данной диссертации рассматриваются задачи, связанные с влиянием спин-орбитального взаимодействия в сложных, двумерных гетерострук-турах.

Задачи, поставленные и выполненные в рамках проведённого исследования:

1. Построение простой модели самосогласованного гетероперехода II-рода с перекрывающимися зоной проводимости одного из контактирующих полупроводников и валентной зоной другого. Описание с помощью этой модели особенностей энергетического спектра и плотности состояний гетероперехода в отсутствие и при наличии магнитного поля.

2. Построение простой модели глубокого акцептора, помещённого в квантовую яму из полупроводника с кубической симметрией, учитывающей сложную валентную зону. Определение зависимости положения связанного уровня от ширины квантовой ямы и параметров полупроводника.

3. Построение самосогласованной модели гетероструктуры, состоящей из двух связанных квантовых ям, в которой размерно-квантованные неравновесные носители разных знаков пространственно разнесены. Описание зависимости сдвига линии фотолюминесценции от интенсивности накачки. Исследование влияния обменно-корреляционных поправок на положение основных уровней размерно-квантованных электронов и дырок.

4. Теоретическое описание слабой локализации в двумерных структурах при наличии спиновой релаксации в рамках механизма Эллиота-Яфе-та. Определение зависимости магиетосопротивления как в малых, так и в относительно больших классически слабых магнитных полях.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Взаимодействие зоны проводимости и валентной зоны в самосогласованных гетеропереходах На рода приводит к антипересечению уровней Ландау с одинаковыми номерами и возникновению квазищелей в спектре уровней Ландау.

2. Модель потенциала нулевого радиуса хорошо применима для описания А(+) центров в квантовых ямах, выращенных из материала, обладающего кубической симметрией, с учётом сложной валентной зоны.

3. Спиновая релаксация по механизму Эллиота-Яфета сильно влияет на эффект слабой локализации в двумерных системах как в диффузионном, так и в недиффузионном режимах.

4. Величина сдвига линии фотолюминесценции в несимметричных гетероструктурах, состоящих из двух связанных квантовых ям, зависит как от энергии электростатического взаимодействия носителей, так и от обменно-корреляционной энергии. Относительное влияние обмепно-корреляционных слагаемых падает с уменьшением величины перекрытия волновых функций носителей разных знаков.

Научная новизна полученных результатов:

1. Впервые построена теория слабой локализации в 2d полупроводниковых структурах или металлических плёнках во всём интервале классически слабых магнитных полей в случае, когда спиновая релаксация носителей происходит по механизму Эллиота-Яфета. Показано, что спин-орбитальное взаимодействие существенно влияет на величину магнетосопротивления как в диффузионном, так и в недиффузионном режимах.

2. Впервые рассмотрены состояния дырки, локализованной на акцепторе или А+ центре в квантовой яме, в рамках метода потенциала нулевого радиуса.

3. Показано, что в самосогласованных гетеропереходах На типа в внешнем магнитном поле, возникают „квазищели" в плотности состояний.

4. Исследована зависимость положения уровней энергии системы, состоящей из двух связанных квантовых ям, от концентрации локализованных в ямах носителей. Показано, что влияние обменно-корреляцион-ных поправок на энергетический сдвиг основных уровней системы является существенным.

Заключение

Совокупность представленных в диссертации результатов исследований позволяет сформулировать следующие научные положения, выносимые на защиту.

1. Для двумерных структур построена теория слабой локализации с учётом спин-орбитального взаимодействия при рассеянии на примесях во всём интервале классически слабых магнитных полей.

2. Спиновая релаксация по механизму Эллиота-Яфета влияет на аномальное магнетосопротивление как в диффузионном, так и в недиффузионном режимах. В пределе относительно больших классически слабых полей, вклад в проводимость за счёт спин-орбитального взаимодействия при рассеянии на примесях линеен относительно отношения времени релаксации импульса к времени спиновой релаксации.

3. Взаимодействие зоны проводимости и валентной зоны в самосогласованных гетеропереходах Па типа приводит к антипересечению уровней Ландау с одинаковыми номерами и возникновению квазищелей в спектре уровней Ландау.

4. Модель потенциала нулевого радиуса хорошо применима не только для описания состояний дырки, локализованной на глубоком акцепторе в объёмном полупроводнике, но и для описания дырки, локализованной на А(+) центре в квантовой яме.

5. На основании метода потенциала нулевого радиуса разработана одно-параметрическая модель глубокого акцептора или А(+) центра, помещённого в квантовую яму, с помощью которой количественно описывается электронная структура объекта. Получены аналитические выражения для волновых функций и секулярного уравнения.

6. Небольшое увеличение перекрытия волновых функций электронов и дырок в структурах с пространственным разделением носителей заряда приводит к значительному уменьшению величины сдвига энергии рекомбинации от концентрации носителей.

7. В структурах с пространственным разделением носителей заряда определяющее влияние на положение основных уровней электронов и дырок оказывает расталкивающий электростатический потенциал.

8. Метод Хартри, с учётом обменно-корреляционных поправок, позволяет количественно описать влияние концентрации носителей на положение линии фотолюминисценции в структурах, состоящих из двух взаимодействующих квантовых ям, с пространственным разделением носителей разных знаков.

1. Altarelli М. Electronic structure and semiconductor-semimetal transition in 1.As-GaSb superlattices // Phys. Rev. В.— 1983.— Vol. 28,— Pp. 842-845.

2. Sai-Halasz G., Esaki L., Harrison W. InAs-GaSb superlattice energy structure and its semiconductor-semimetal transition // Phys. Rev. В.— 1978. Vol. 18.- Pp. 2812-2818.

3. Electronic states and quantum Hall effect in GaSb-InAs-GaSb quantum wells / M. Altarelli, J. Maan, L.L.Chang, L.Esaki // Phys. Rev. В.— 1987. Vol. 35,- Pp. 9867-9870.

4. Ландау Л., Лифшиц E. Курс теоретической физики: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. — М.: МАИК «Наука/Интерпериодика», 2004.— Vol. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).

5. Landolt М., Bornstein R. Numerical Data and Functional Relationships in Science and Technology. — New-York: Springer, 1982. — Vol. 17a, Physics of Group IV Elements and III-V Compounds. — P. 853.

6. Сурис P. Пограничные состояния в гетеропереходах // ФТП.— 1986. — Т. 20, № 11.-С. 2008-2015.7. de Leon S., Shvartsman L., Laikhtman B. Band structure of coupled

7. As/GaSb quantum wells // Phys. Rev. В.— 1999.- Vol. 60.— Pp. 1861-1870.

8. Halvorsen E., Galperin Y., Chao K. Optical transitions in broken gap heterostructurcs // Phys. Rev. B. — 2000. — Vol. 61.—Pp. 16743—16749.

9. Zakharova A., Yen S., Chao K. Hybridization of electron, light-hole, and heavy-hole states in InAs/GaSb quantum wells // Phys. Rev. B. — 2001. — Vol. 64. P. 235332.

10. Interface-induced phenomena in type II antimonide-arsenide heterostructures / M. Mikhailova, K. Moiscev, V. Berezovetz et al. // IEE Proc.-Optoelectron. Vol. 145. — 1998. — P. 268.

11. Электролюминесценция в полуметаллическом канале на одиночной разъединенной гетерогранице II типа / К. Моисеев, М. Михайлова, Ю. Яковлев и др. // ФТП. 2003. - Т. 37.- С. 1214.

12. Quantum magnetotransport at a type II broken-gap single heterointerface / K. Moiseev, V. Berezovets, M. Mikhailova et al. // Sur.Science. — 2001.— Vol. 482, no. 2.-P. 1083.

13. Two-dimensional semimetal channel in a type II broken-gap GalnAsSb/InAs single heterojunction / V. Berezovets, M. Mikhailova, K. Moiscev et al. // phys.stat.sol.(a).- 2003. — Vol. 195, no. 1.- P. 194.

14. Магнитотранспорт в полуметаллическом канале в гетероструктурах р — GaixInxAsySbiy/p — InAs с различным составом твердого раствора / Т. Воронина, Т. Лагунова, М. Михайлова и др. // ФТП. — 2000. — Т. 34, № 2. С. 194.

15. Зависимость энергии активации А(+)-центров от ширины квантовых ям в структурах GaAs/AlGaAs / Ю. Иванов, П. Петров, А. Тонких и др. // ФТП- 2003.-Т. 37, № 9.-С. 1114-1116.

16. Проявление верхней зоны Хаббарда в проводимости двумерных структур p-GaAs-AlGaAs / Н. Агринская, Ю. Иванов, В. Устинов, Д. Полос-кин // ФТП. 2000. - Т. 35. - С. 571.

17. Проявление А(+) центров в люминисценции двумерных структур GaAs/AlGaAs / Ю. Иванов, Н. Агринская, П. Петров и др. // ФТП.— 2002. Т. 36, № 8. - С. 993-995.

18. Masselink W., Chang Y.-C., Могкос Н. Binding energies of acceptors in GaAs AlxGaixAs quantum wells // Phys. Rev. B. — 1983. — Vol. 28. — Pp. 7373-7376.

19. Белявский В., Гольдфарб M., Копаев Ю. Энергия связи кулоновских акцепторов в системах квантовых ям // ФТП. — 1997.— Т. 31, № 9.— С. 1095-1099.

20. Мелкие акцепторы в напряжённых гетероструктурах Ge/GeixSix с квантовыми ямами / В. Алёшкин, Б. Андреев, В. Гавриленко и др. // ФТП. 2000. - Т. 34. - С. 582-587.

21. Перелъ В., Яссиевич И. // ЖЭТФ.- 1982.- Т. 82, № 0.- С. 237.

22. Пахомов А., Халипов К., Яссиевич И. // ФТП.— 1996.— Т. 30.— С. 1387.

23. Krivolapchuk V. V., Moskalenko Е. S., Zhmodikov A. L. Specific featuresof the indirect exciton luminescence line in GaAs/AlxGaixAs double quantum wells // Phys. Rev. В.— 2001.- Vol. 64.- P. 045313.

24. Fukuzava Т., Mendez E. E., Hong J. M. Phase transition of an exciton system in gaas coupled quantum wells // Phys. Rev. Lett— 1990.— Vol. 64. Pp. 3066-3069.

25. Exciton tunneling revealed by magnetically tuned interwell coupling in semiconductor double quantum wells / I. Lawrence, S. Haacke, H. Mariette et al. // Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 73. — Pp. 2131-2134.

26. Smith D. L., Mailhiot C. Optical properties of strained-layer superlattices with growth axis along 111. // Phys. Rev. Lett.— 1987.— Vol. 58.— Pp. 1264-1267.

27. Mailhiot C., Smith D. L. Electromodulation of the electronic structure and optical properties of lll.-growth-axis superlattices // Phys. Rev. B. — 1988. Vol. 37. - Pp. 10415-10418.

28. Negoita V., Snoke D. W., Eberl K. Huge density-dependent blueshift of indirect cxcitons in biased coupled quantum wells // Phys. Rev. Lett. — 2000.-Vol. 61.-P. 2779.

29. Boring P., Gil B.} Moore K. J. Dramatic photoinduction of hole tunneling in double quantum wells with built-in piezoelectric fields // Phys. Rev. Lett. 1993. - Vol. 71. - Pp. 1875-1878.

30. Ultrafast all-optical gate with subpicosecond on and off response time / D. Hulin, A. Mysyrowicz, A. Antonetti et al. // Appl. Phys. Lett. — 1986. — Vol. 49.-Pp. 749-751.

31. Likamwa P., Kanan A. U // IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron.— 1996. Vol. 2. - P. 655.

32. Reboredo F. A., Proetto C. R. Novel magnetic instabilities in semiconductor double quantum wells // Phys. Rev. Lett.— 1997.— Vol. 79.— Pp. 463-466.

33. Gunnarsson 0., Lundqvist B. Exchange and correlation in atoms, molecules, and solids by spin-density-functional formalism // Phys. Rev. B. 1976. - Vol. 13. - Pp. 4274-4298.

34. D'yakonov M. I., Khaetskii A. V. Size quantization of the holes in a semiconductor with a complicated valence band and of the carriers in a gapless semiconductor // Soviet Physics JETP.— 1982.— Vol. 55, no. 5. - Pp. 917-920.

35. Bergmann G. Weak localization in thin films // PHYSICS REPORTS. -1984. Vol. 107. - Pp. 1-58.

36. Kawabata A. On the Field Dependence of Magnetoresistance in Two-Dimensional Systems // Journal of Physical Society of Japan.— 1984.— Vol. 53. Pp. 3540-3544.

37. Zduniak A., Dyakonov M., Knap W. Universal behavior of magnetoconductance due to weak localization in two dimensions // Phys. Rev. B. 1997. - Vol. 56. - Pp. 1996-2003.

38. Lyanda-Geller Y. Quantum interference and electron-electron interactions at strong spin-orbit coupling in disordered systems // Phys. Rev. Lett. — 1998. Vol. 80. - Pp. 4273-4276.

39. Weak andtiloealization and spin precession in quantum wells / W. Knap, C. Skierbiszewski, A. Zduniak et al. // Phys. Rev. В. 1996. — Vol. 53.-Pp. 3912-3923.

40. Релаксация спина и слабая локализация двумерных электронов в несимметричных квантовых ямах / А.М.Крещук, С.В.Новиков, Т.А.Полянская, И.Г.Савельев // ФТП.- 1997.- Т. 31.- С. 459-467.

41. Слабополевое магнитосопротивление двумерных электронов в гетеро-структурах Ino.53Gao.47As/InP в режиме замороженной фотопроводимости / Д. Быканов, А. Крещук, С. Новиков и др. // ФТП. — 1998. — Т. 32.-С. 1100-1107.

42. Zutic /., Fabian J., Sarma S. D. Spintronics: Fundamentals and applications // Rev. Mod. Phys. — 2004. Vol. 76. — Pp. 323-410.

43. Dmitriev A., Kachorovskii V., Gornyi I. Nonbackscattering contribution to weak localization // Phys. Rev. B. 1997. - Vol. 56. - Pp. 9910-9917.

44. Averkiev N., Golub L., Willander M. Spin relaxation anisotropy in two-dimensional semiconductor systems // Journal of Physics: Condensed Matter. 2002. - Vol. 14. - Pp. 271-1394.

45. Абрикосов А., Горькое JI., Дзялошинский И. Методы квантовой теории поля в статистической физике.— Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1962.

46. Hikami S., Larkin A., Nagaoka Y. On the Field Dependence of Magnetoresistance in Two-Dimensional Systems // Prog. Theor. Phys. — 1980. Vol. 63. - Pp. 707-710.

47. Kawabata A. Theory of Negative Magnetoresistancc I. Application to Heavily Doped Semiconductors // Journal of Physical Society of Japan. — 1980. Vol. 49. - Pp. 628-637.

48. Градштейн И., Рыжик И. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.— М.: Физматгиз, 1963. — 1100 с.