Сверхпроводимость и спиновый транспорт в двумерных электронных системах со спин-орбитальным взаимодействием тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ имени Л. Д. ЛАНДАУ

Димитрова Ольга Венциславовна

Сверхпроводимость и спиновый транспорт в двумерных электронных системах со спин-орбитальным взаимодействием

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Черноголовка - ,2006

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской Академии Наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Фейгельман М. В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Копнии Н.Б.,

кандидат физико-математических наук, профессор Бараш Ю. С.

Ведущая организация: Институт физических проблем им. П. Л. Капицы

Защита состоится 30 июня 2006 года в 11:30 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.207.01 при Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН по адресу: 142432, Московская обл., Ногинский р-н, г. Черноголовка, Институт физики твердого тела РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

Автореферат разослан мая 2006 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

Гриневич П. Г.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Двумерные электронные системы возникают в полупроводниковых квантовых ямах на границе раздела двух материалов, либо в сверхтонких слоях металлов на диэлектрической подложке. В обоих случаях естественным образом нарушается симметрия по отношению к отражению относительно плоскости, в которой находятся "двумерные" электроны проводимости. В таких случаях, благодаря нарушению трансляционной симметрии и симметрии инверсии, возникает электрическое поле, перпендикулярное к плоскости системы. Оно не влияет непосредственно на орбитальное движение электрона в плоскости, но взаимодействует со спином электрона посредством релятивистского спин-орбитального взаимодействия, известного как взаимодействие Рашбы [1]. В диссертации теоретически изучено влияние взаимодействия Рашбы на свойства следующих электронных систем: двумерный взаимодействующий электронный газ в присутствии немагнитных примесей; двумерный сверхпроводник (в рамках модели BCS) в параллельном магнитном поле в чистом и грязном случае, джозефсоновский переход через чистый двумерный электронный газ.

Целью работы являлось:

1. Исследование спин-холловской проводимости в электрическом поле в двумерном электронном газе со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы.

2. Нахождение фазовой диаграммы двумерного спин-орбитального сверхпроводника в продольном магнитном поле.

3. Исследование влияния взаимодействия Рашбы на сверхпроводящий ток в джозефсоновском переходе через двумерный электронный газ, а также нахождение поперечной спиновой поляризации.

Научная новизна работы заключается в следующих оригинальных результатах, которые выносятся на защиту:

• Для модели невзаимодействующих электронов в присутствии примесей показано, что статическая спин-холловская проводимость равна нулю. Результат получен в линейном порядке по спин-орбитальному расщеплению, для любой пеисчезающей силы беспорядка и в общем случае зависящей от импульса скорости Рашбы а(р) и непараболичсском спектре е(р). Для случая параболического спектра и постоянной "скорости Рашбы" а приведено простое доказательство зануления спин-холловского эффекта на основе анализа общих коммутационных соотношений для операторов. Этот результат остается верными также и для случая взаимодействующих электронов (по крайней мере, если взаимодействие не зависит от спинов).

• В чистом пределе I —+ оо и в присутствии электрон-электронного взаимодействия, получено универсальное соотношение между зависящей от частоты спин-холловской проводимостью crs//(Q) и восприимчивостью Паули Показано, что электрон-электронное взаимодействие перенормирует "универсальное" значение а^ц = е/8я7г, на величину относительной поправки, определяющейся только стандартным параметром Кулона.

• В рамках модели спин-орбитального металла с иерархией энергий €f apF соц ~3> Тс для чистого поверхностного сверхпроводника в параллельном магнитном поле найден функционал Гинзбурга-Ландау, включая разложение до степеней восьмого порядка. На линии фазового перехода ТС{Н) найдены две критические точки: точка Лифшица С и симметричная точка S и показано существование "киральной" сверхпроводящей фазы с параметром порядка А(г) ос exp(iQr) и большим Q ~ H/vf■ Вычислен равновесный сверхпроводящий ток, пропорциональный вариации свободной энергии по волновому вектору параметра порядка, и доказано, что равновесный ток в основном состоянии обращается в ноль.

• Найден тензор сверхпроводящей плотности электронов в BCS-подобной

и в киралыюй фазах и обнаружено, что на линии Лифшица сверхпроводящая плотность для направления тока _1_ Ь обращается в ноль, что символизирует разрушение сверхпроводимости в окрестности этой линии. Вглубине киралыюй фазы сверхпроводящий отклик подобен отклику в обычной ВСЭ фазе. Исследовано влияние слабой киральной анизотропии на фазовую диаграмму и найден слабый градиент параметра порядка в основном состоянии ВСБ-фазы, преобразующий ее в "длинноволновую киральную" фазу.

• В присутствии немагнитных примесей с помощью метода трансфер матрицы найдена критическая сила примесей, при которой происходит исчезновение неоднородных сверхпроводящих состояний. В грязном пределе обнаружено увеличение критического магнитного поля с усилением беспорядка. В грязном пределе и в первом порядке по а/ур найдена слабая неоднородность ВСБ состояния.

• Установлено, что в симметричной точке <5 непрерывный вихрь с неразрушенной сверхпроводимостью в коре вихря энергетически более выгоден, чем сингулярный вихрь Абрикосова. Показано, что вблизи симметричной точки, из-за присутствия расширенной до [/(2) симметрии параметра порядка, имеют место существенные флуктуации.

• Получено обобщение уравнения Беенаккера, связывающее андреевский спектр джозефсоновского перехода с матрицей рассеяния в нормальном состоянии, на случай присутствия спин-орбитального взаимодействия. Для случая короткого контакта в присутствии спин-орбитального взаимодействия получено явное решение для энергии андреевских уровней, выраженных через коэффициенты прохождения.

• Получена матрица рассеяния в нормальном состоянии для модели контакта с нормальным отражением на Б-Ы границах. Показано, что спин-орбитальное взаимодействие спин-расщепляет коэффициенты прохождения.

• Найдено уравнение на андреевский спектр для контакта произвольной длины и показано, что в присутствии взаимодействия Рашбы спии-расщепление является общей характеристикой андреевских уровней.

• Получена формула для полного среднего джозефсоновского тока, выраженная через спектральную функцию для случая контакта произвольной длины, из которой видно, что полный средний джозсфсоновский ток не зависит от взаимодействия Рашбы независимо от длины контакта.

• Найдена спиновая поляризация в области двумерного электронного газа при ненулевом джозефсоновском токе. Вид зависимости среднеквадратичной спиновой поляризации от величины спин-орбитального спаривания напоминает универсальные мезоскопичсские флуктуации проводимости.

Научная и практическая ценность.

Полученные новые результаты позволяют лучше понять физику спин-холл эффекта, двумерной сверхпроводимости и эффекта Джозефсона и могут быть применены для дальнейших теоретических исследований и анализа экспериментальных данных.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на на Международной конференции NATO "Coherent Charge and Spin Transport on a Nanoscale" (Черноголовка, 2003), на Международной летней школе по квантовой нанофизике (Les Houches, Франция, 2004), на Международной летней школе по физике конденсированного состояния (Виндзор, Англия, 2004), а также на научных семинарах Института теоретической физики ЕТН ITP (Швейцария, 2003), Аргопской Национальной Лаборатории (г. Чикаго, США, 2004), Университета Ратгерс (США, 2004), Института NORDITA (Копенгаген, 2005) и Института теоретической физики им. JI. Д. Ландау РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 научных работы, список которых приведен в конце реферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения,

трех глав, приложения, заключения, списка публикаций по теме диссертации, и списка цитированной литературы из 64 позиций.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность рассматриваемой темы, научная новизна исследований, а также сформулированы цели и приведены основные результаты работы. Кратко описала структура диссертации.

В главе 1 теоретически изучены поперечный спиновый ток и парамагнитная восприимчивость в двумерном электронном газе. Спин-холловский эффект в двумерном электронном газе - следствие спин-орбитального спаривания. Эффект состоит в том, что протекание электрического тока через образец вызывает бездиссипативный спиновый транспорт в перпендикулярном направлении [2], = где оец- зависящая от частоты спин-холловская проводимость, - внешнее переменное электрическое поле. Причем оператор спинового тока г-ой компоненты спина в направлении ц определен как: jfí = (й(лсгг + ст!и/,)/2, где г)^ - оператор скорости.

В разделе 1.2.1 диссертации мы производим подробное микроскопическое вычисление спин-холловской проводимости для обобщенной модели пепара-болического спектра и произвольной зависимости скорости Рашбы от импульса:

К<з{р) = е(р)6а0 + а(р) (о1рру - , (1)

где рц = —гНдц - оператор импульса электрона, е(р) - зонный спектр, а(р) -скорость Рашбы, аг (г = х, у, г) - матрицы Паули, а а, /3 - спиновые индексы.

Взаимодействие электрона с точечными немагнитными примесями, расположенными в координатах нумерующихся индексом г, описывается примесным гамильтонианом:

Ътр = X) / ШЦг^Ы^г, (2)

Рис. 1: Слева) Спин-Холловская проводимость от одной петли. Справа) Вершинная поправка к спип-холловской проводимости дается суммой непересекающихся лестничных диаграмм.

где и(г) - потенциал точечной примеси. Мы предполагаем, что потенциал достаточно слаб, и применимо Борцовское приближение. Мы раскладываем функцию Грина электрона, усредненную по реализациям потенциала беспорядка, по теории возмущений по степеням гамильтониана (2), используя диаграммную технику [9]. В приближении непересекающихся диаграмм аен дается суммой одной петли и лестничных диаграмм, показанных на Рис. 1. Сначала мы вычисляем однопетлевую диаграмму, Рис. 1, получаем ^. Лестничные диаграммы, показанные на Рис. 1 справа, представляют вершинные поправки к току. Сумма лестничных диаграмм с п = 1,2... примесными линиями дает лестничную часть спип-холловской проводимости Спин-Холловская проводимость - сумма двух вкладов, и равна нулю:

= + = 0. (3)

Она явно не зависит от примесного времени рассеяния т. Таким образом, в линейном порядке по спин-орбиталыюму взаимодействию мы показываем, что в статическом пределе о „и = 0 независимо от отношения между обратным упругим временем рассеяния 1/т и спин-орбитальным расщеплением Д = 2арр, подобно известному ранее результату для стандартной модели Рашбы. Мы обобщили результат 1поие и др. [4] сг„я = 0 для случая произвольной дисперсии электронов, произвольной силы беспорядка и произвольной зависимости скорости Рашбы от импульса а(р), что значительно расширяет его диапазон применимости. В частности, мы нашли, что исчезновение спин-холловской проводимости в объемных образцах с примесями не ограничено случаем равных Ферми-скоростей на разных киральных ветвях. Наш результат (3), согласуется с [5, 6, 7].

Таким образом, мы наблюдаем скачок между спин-холловской проводимостью в чистой системе аец = е/8пН и спин-холловской проводимостью (3) в присутствии бесконечно малого количества немагнитных рассеивателей. Как было показано в работе [7], этот скачок связан с диссипацией в системе, благодаря которой возникает диссипативная часть в спин-холловской проводимости = —е/8тгН, которая сокращает реактивную часть <т^н = е/8тг/г.

В подразделе 1.2.2 мы приводим новые аргументы в пользу того, что спин-холловский эффект в равновесии равен нулю. Используя уравнение Гейзен-берга, показываем, что в однородной системе полный спиновый ток г компоненты спина пропорционален производной по времени полного г спина системы. Когда рассматриваем внешние поля, постоянные во времени, мы должны предположить, что система находится в стационарном состоянии (т. е. требуется рассеяние на примесях для установления равновесия). В стационарном состоянии полный спин системы должен быть постоянен, поэтому полный спиновый ток должен быть равен нулю. Этот аргумент, а также зануление спинового тока при приложенном магнитном поле в отсутствии рассеивателей (НайЬЬа, 2004 [8]) показали, что это сокращение - внутреннее свойство гамильтониана свободных электронов и не зависит от вида рассеивателей.

В разделе 1.3 мы изучаем спин-холловскую проводимость и восприимчивость Паули в присутствии электрон-электронного взаимодействия. В подразделе 1.3.1 находим соотношение между зависящей от частоты спин-холловской проводимостью и восприимчивостью Паули. В очень чистом двумерном электронном газе средняя длина свободного пробега I может превысить размер системы Ь, и поэтому мы исследуем зависящую от частоты спин-холловскую проводимость о\,я(П). Мы выводим универсальное соотношение между зависящей от частоты спин-холловской проводимостью <тан(£1) чистого двумерного электронного газа и его продольной магнитной восприимчивостью и тем самым находим дополнительный аргумент в пользу равновесной природы спин-холловского отклика:

где m - зонная масса, цв - магнетон Бора, д - фактор Ланде. Соотношение (4) верно для любых независящих от спина электрон-электронных взаимодействий, на любой частоте и для любой электронной плотности п, при которой можно использовать параболический спектр, е(р) = р2/2т. Соотношение (4) верно даже в случая очень низкой плотности п < п*, когда заселена только одна киральная ветвь, и результат Синовы и др. [3] неприменим.

Для того, чтобы получать соотношение (4) между спин-холловской константой и восприимчивостью Паули, выписываем два точных коммутационных соотношения для оператора полного тока и оператора полного спина, верных в присутствии произвольного (но сохраняющего спин) двухчастичного взаимодействия U{\? — г*|) в гамильтониане:

[Я, Л] = -2iema2evliJ^ и [Я, Sß] = irnaJ*, (5)

где Sß, i/„, Jp - операторы соответственно полного спина, полного тока, и полного спинового тока.

Средний спиновый ток электронной системы как отклик на слабое переменное электрическое поле, Ex(t) = Eqx cos Sit, однородное в пространстве, дается общим квантово-мсханичсским выражением в первом порядке теории возмущений - формулой Кубо, в которой происходит суммирование по точным уровням взаимодействующей системы. Используя точные коммутационные соотношения (5), мы можем выразить матричные элементы операторов полного зарядового и полного спинового токов, входящих в формулу Кубо, через матричные элементы оператора полного спина. После чего отклик полного среднего спинового тока на внешнее электрическое поле Ex(t) принимает вид, полностью аналогичный (с точностью до замены множителя е/т на {дцв)2) выражению линейного отклика для спиновой восприимчивости Паули относительно продольного магнитного поля Hy(t) = Ноу cos ilt, которое заменило бы электрическое поле Ex(t). Это наблюдение немедленно приводит нас к соотношению (4), которое является главным результатом данного раздела.

В подразделе 1.3.2 мы вычисляем поправки к спин-холловской проводи-

Sfe-.P')

G(e',p')

Рис. 2: Поправка к спин-холловской проводимости от электрон-электронного взаимодействия дается суммой трех диаграмм, которые имеют одинаковый знак и коэффициент. Индексы +, —, а, ß соответствуют пространству Келдыша. Пунктирные линии соответствуют взаимодействию U(\p — ;7|).

мости, которые происходят от двухчастичного электрон-электронного взаимодействия, и находим, что эти поправки отличны от нуля. В самом низком порядке по электрон-электронному взаимодействию t/(|f|), вклад в 5сг3ц(£1) вносят три диаграммы, показанные на Рис. 2. Вычисление диаграмм на Рис. 2 в пределе О —► 0 в двух предельных случаях короткодействующего двухчастичного взаимодействия (потенциал Кулона, экранированный на длине к"1, меньшей чем межэлектронное расстояние), и полного дальнодействующсго кулоновского взаимодействия дают окончательные выражения для о3н'-

(short) asH

е Aixh

1 -

те"

27к

(Coulomb) _ е

1 -

27716'

,2 1

Зтг ерр_

(6)

соответственно для точечного потенциала и для потенциала Кулона; через е обозначена диэлектрическая проницаемость. Прямое микроскопическое вычисление в первом порядке по величине взаимодействия показывает, что электрон-электронное взаимодействие перенормирует и спин-холловскую проводимость и продольную спиновую восприимчивость одинаково, так что соотношение (4) остается верным. Относительные величины этих поправок пропорциональны безразмерному кулоновскому параметру ^^ и не содержат спин-орбитального расщепления Д. Влияние беспорядка на а8н в присутствии электрон-электронного взаимодействий было изучено в более поздней работе [10].

В главе 2 построена универсальная фазовая диаграмма двумерного спин-орбитального сверхпроводника в продольном магнитном поле. Известно, что в присутствии спин-орбитального взаимодействия Рашбы в сильном продольном магнитном поле возникает неоднородное сверхпроводящее состояние [13]

типа Ларкина-Овчинникова-Фульде-Феррела (ТОБТ) [14, 15] со сверхпроводящим параметром порядка Д(г) ос соз(С5г) (так называемая полосатая фаза). Мы рассмотрели случай сильного взаимодействия Рашбы со спин-орбитальным расщеплением большим чем сверхпроводящая щель Д, и покат зали, что при низких температурах Т < 0.4Тсо состояние типа ЬСЖР отделено от обычного однородного состояния линией фазового перехода первого рода.

При более высоких температурах показано существование другого неоднородного состояния - "киралыюй" фазы с параметром порядка Д(г) ос ехр(г(5г) (где Л, ос Тсц/уг), которая лежит между однородным ВСЭ и ЬСЖР-состояннсм при дцвЬ ~ 1.57^). Область существования этого нового состояния ограничена двумя линиями фазового перехода второго рода С.Т и ¿>Т', выходящими из точки Лифшица С и "симметричной" точки ¿>, как показано на Рис. 3. Линия ТО помечает границу метастабильности "однородной" фазы, которая отделена от ЬОРР-фазы линией фазового перехода первого рода. В отличие от обычного ЬОРР состояния, сверхпроводящая плотность "кирального" состояния п., порядка полной 2Б плотности электронов, за исключением области вблизи линии перехода второго рода £.Т между ВСЭ состоянием и новой "киральной" фазой. Вблизи линии С.Т компонента сверхпроводящей плотности пуау (у ± И) обращается в ноль. Таким образом, в "киралыюй" фазе тензор п"3 анизотропен. Соответственно анизотропен электромагнитный отклик системы.

"Симметричная" точка 5 на линии ТС(Н) выделена тем, что в ней симметрия сверхпроводящего параметра порядка расширена до и (2), в отличие от обычной симметрии и(1). Установлено, что в симметричной точке 5 непрерывный вихрь с неразрушенной сверхпроводимостью в коре вихря энергетически более выгоден, чем сингулярный вихрь Абрикосова.

Изучено влияние немагнитных примесей, характеризующихся временем упругого рассеяния г, на фазовую диаграмму. В чистом пределе Тщт » 1 рассеяние на примесях уменьшает критическое магнитное поле (в чистом случае оно дается выражением Нро = \/'2арг А(0)) и одновременно смещает точку

Т/т*

0,6

0,4 -

ВС S

(1.547, 0.455)

1,4

ь:

(1.779, 0.525)

S

ГФ

1-8 Н/Тео

Рис. 3: Фазовая диаграмма, на которой показано: средне-полевое положение линии сверхпроводящего фазового перехода ТС(Н) (жирная линия) и две линии фазового перехода второго рода в чистом случае - СТ линия между однородным и "киральным" состоянием и линия устойчивости "кирального" состояния ST'. "Киральное" состояние помечено буквой Ь. ("helical"). Пунктирная линия ниже точки Т обозначает границу устойчивости BCS состояния. Точечной линией показана физическая линия Твкт(Н) перехода Березинского-Костерлица-Таулеса (для численных значений Тсo/ef = 0.02 и a/vp = 0.34). Эффект усиленных флуктуаций в области точек С и 5 - смещение Тцкт(Ю линии в направлении (0,0).

Рис. 4: Линии сверхпроводящего фазового перехода для разных времен т между упругими столкновениями на примесях: 1 /2тТсо = 0.0,0.5,1.2,2.1,3.2,4.5,7.7,11.7. Крестиками обозначены точки Лифшица.

Лифшица £ к более низким температурам, как показано на Рис. 4. Таким образом, неоднородное состояние исчезает при условии Т^т < 0.11. В грязном пределе Тсо «С 1 выживает однородная фаза с увеличенным парамагнитным критическим полем Нро = у/тсТсц/Атё*.

В главе 3 изучается джозефсоновский переход через двумерный электронный газ. Мы рассматриваем самую простую двумерную модель баллистического перехода сверхпроводник-двумерный электронный газ-сверхпроводник (см. например [16]) бесконечной ширины в направлении поперечном к направлению протекания тока. Мы пренебрегаем возможными потенциальными барьерами на S/N границах, предполагая, что нормальное отражение происходит только из-за разности Ферми-скоростей, и рассматриваем баллистическое распространение электроннов в 2D структуре между сверхпроводящими контактами.

В разделе 3.2 мы показываем, что в пределе короткого перехода (длина перехода L <С £sc ~ hvs/A, где vs - скорость Ферми, Д - щель в сверхпро-

-0.5 -1

Рис. 5: Четыре спин-расщепленных андреевских уровня ±е„, з = ±1, как функции разницы сверхпроводящих фаз Х-

водниках) положения андреевских уровней могут быть выражены через собственные значения прохождения Т полной матрицы рассеяния 5 точно таким же способом, как было найдено Беснаккером [19] для переходов с независящим от спина рассеянием:

e*,v(Pv) = %{РУ) sin2

(7)

где г) = ± и 11(Ру) - вероятности прохождения - собственные значения матрицы Т^Т, зависящие от спинового индекса s = ± и сохраняющегося импульса Ру = Pf sin tf> (Pf - Ферми-импульс, ip - угол направления скорости квазичастицы в области двумерного электронного газа), Т - блок прохождения в матрице рассеяния S. Вообще, Т+(ру) ф Т_{ру), таким образом каждому ру значению соответствуют четыре невырожденных андреевских уровня, как показано на Рис. 5.

В разделе 3.3 мы вычисляем матрицы рассеяния S для самой простой двумерной модели баллистического перехода сверхпроводник-двумерный электронный газ-сверхпроводник бесконечной ширины в направлении, поперечном к направлению тока. Мы демонстрируем явное спин-расщепление вероятностей прохождения Т±(ру) для каналов прохождения, характеризующихся проекцией импульса ру (или углом ip):

sinh2 х

Ш,х(<р)) = -

cos ¡3 = 1 - 2 sinV sin2А, (8)

этЬ2 х + бп12(£ ± |)' где фаза А возникает из-за взаимодействия Рашбы, х определяется отношением скоростей Ферми металла и 2БЕС, а £ == ррЬсоаср - глазная квазиклас-

сическая фаза. Уравнение (8) явно демонстрирует спин-расщепление коэффициентов прохождения 71. Заметим, что ¡3 = 0, и расщепление отсутствует для траекторий с <р = 0, как было показано для одномерного (один канал) контакта [18]. В отсутствии нормального отражения, то есть при х —► оо, все собственные значения прохождения равны единице, и спин-орбитальиые эффекты также исчезают [17].

Мы показываем, что функция распределения для вероятностей прохождения V{T) совпадает с обсуждавшейся Мелсеном и Беенаккером [20] в отсутствии спин-орбитального спаривания:

■р (Т) =_tanhz (9)

* 27~\/Г—Т у/Т — tanh2 х В разделе 3.4 мы получаем выражение для джозефсоновского тока короткого перехода и демонстрируем, что средний ток нечувствителен к взаимодействию Рашбы. В квазиклассическом пределе pfL —+ оо средний джозеф-соновский ток может быть вычислен при помощи функции распределения Vv(T), уравнение (9), следующим образом:

еД dip cos ip

lr/2

. Tsinx , A^/l-Tsin2! / tanh 9T-•

хА-^пЧ 2T

Уравнение (10) демонстрирует независимость среднего джозефсоновского тока от спин-орбитального спаривания. Такой средний ток является осмысленной характеристикой контакта, если оба продольных размера контакта намного больше фермиевской длины волны, L, Ly h/pF-

В разделе 3.5 мы выходим за рамки предела короткого контакта: мы получаем уравнение для спин-расщепленных андреевских уровней для переходов с произвольным L/£sc отношением:

9± (с, х) = cos 2£ - Q cos ¡3 ± у/1 - Q2 sin /?, (11)

т/ . еД f+n/2 dweosw ,„„.

I(X) = W / „ x (10)

2« J-п/2 7Г

/

где параметр ¡3 определен в (8),

Ак2К2А2 (cos Ф + cos х)

Q = cos Ф +

(К2 - к2)2 (Д2 - £2) '

т „ 2 кКе „ , ч

Ф = 2агс1ап(^ + ^д2_е2+^, (12)

где С = 2теЬ/к - зависящая от энергии часть фазы £(б), к = рр сов^з, Ре - Ферми-импульс в сверхпроводниках. Из уравнения (11) видно, что в присутствии взаимодействия Рашбы, для контакта произвольной длины, спин-расщепление является общей характеристикой андреевских уровней.

Мы демонстрируем, что вклад андреевских уровней в средний (квазиклассический) сверхпроводящий ток также нечувствителен к БО спариванию:

«х> - Е/, "3>

где = е = ги>п,х), как определено в уравнении (12). Уравнение (13) демонстрирует, что квазиклассическое среднее джозефсоновского тока через контакт сверхпроводник/двумерный электронный газ Рашбы/сверхпроводник не зависит от константы взаимодействия Рашбы, и этот результат верен для произвольной разности Фсрми-скоростей, и произвольной длины контакта. Отметим, что этот результат вереи до тех пор, пока не учтено электрон-электронное взаимодействие в области двумерного электронного газа.

В разделе 3.6 изучается спиновая поляризация, возникающая в переходе. Симметрия задачи джозефсоновского перехода через двумерный электронный газ со взаимодействием Рашбы позволяет возникновение спиновой поляризации в области двумерного электронного газа при ненулевом сверхпроводящем токе. А именно, нарушенная симметрия инверсии вдоль оси г и нарушенная Т-инвариантность разрешают существование аксиального вектора - спиновой поляризации - в перпендикулярном направлении. Мы показали численно, что спиновая поляризация существует, но демонстрирует неожиданное поведение. Вид зависимости среднеквадратичной спиновой поляризации от величины спин-орбитального спаривания напоминает универсальные

а

0.03

0.025

0.02

0.015

0.01

0.005

1

\L

Ly = 2

X=1

а vn

0.05

0.1

0.15

0.2

Рис. 6: Среднеквадратичная спиновая поляризация а, как функция спин-орбитального взаимодействия.

мезоскопические флуктуации проводимости, см. Рис. 6. В связи с этим стоит отметить, что спин-орбитальное взаимодействие (связывающее спиновую переменную с протекающим током) вместе с квантовой природой спина электрона приводят к усилению интерференционных эффектов, находящихся вне рамок квазиклассического приближения. Это обстоятельство было недавно отмечено в другом контексте в работе Осипова и др. [21]. В рассмотренном нами случае аналогичные эффекты приводят к нерегулярным осцилляциям среднеквадратичной спиновой поляризации, при исчезающей (в термодинамическом пределе) средней поляризации. Экспериментальная демонстрация возникновения спиновой поляризации при протекании джозефсоновского тока в SNS контакте стала бы в один ряд по актуальности с недавними экспериментальными работами (Kato et al, 2004, Wunderlich et al, 2005 [11, 12]), в которых был обнаружен спин-холл эффект и, соответственно, измерена спиновая поляризация.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Основные результаты

1. Изучены теоретически спин-холловская проводимость и восприимчивость Паули двумерного электронного газа (2БЕС) со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы (БО), в квазиклассическом пределе 1. Показано, что статическая спин-холловская проводимость равна нулю в линейном порядке по спип-орбиталыюму расщеплению, для любой неисчезающей силы беспорядка и в общем случае зависящей от импульса скорости Рашбы а(р) и непараболическом спектре е(р). В чистом пределе I —► оо и в присутствии электрон-электронного взаимодействия, получено универсальное соотношение между зависящей от частоты спин-холловской проводимостью <75#(Г2) и восприимчивостью Паули Показано, что электрон-электронное взаимодействие перенормирует "универсальное" значение сг^} = е/8тгН, на величину относительной поправки, определяющейся только стандартным параметром Кулона.

2. Построена универсальная фазовая диаграмма двумерного спин-орбитального сверхпроводника в продольном магнитном поле. Впервые найдено устойчивое в заметной части фазовой диаграммы решение в виде "ки-ралыюй" фазы с модуляцией параметра порядка ос ег<^г. Для случая сильного взаимодействия Рашбы со спин-орбитальным расщеплением большим чем сверхпроводящая щель Д, показано, что при низких температурах Т < ОЛТсо состояние типа ЬОРР отделено от обычного однородного состояния линией фазового перехода первого рода. Показано, что немагнитные примеси подавляют оба неоднородных состояния, которые полностью исчезают при Т^т < 0.11.

3. Исследовано влияние спин-орбитального взаимодействия на сверхпроводящий ток в джозсфсоновских переходах в чистом пределе. Получено обобщение формулы Беенаккера для андреевских уровней на случай присутствия спин-орбитального рассеяния. Для бесконечно длинного непрозрачного контакта (присутствие нормального отражения на границе нормальный металл-сверхпроводник (N8)) предсказано расщепление андреевских уров-

ней, вызванное присутствием спин-орбитального рассеяния. Найдена спиновая поляризация в области двумерного электронного газа при ненулевом джо-зефсоновском токе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. О. V. Dimitrova, М. V. Feigel'man, Phase diagram of a surface superconductor in parallel magnetic field, Письма в ЖЭТФ, том 78, стр. 637 (2003).

2. О. V. Dimitrova, Spin-Hall conductivity in a two-dimensional Rashba electron gas, Phys. Rev. В 71, 245327 (2005).

3. О. V. Dimitrova, M. V. Feigel'man, 2D SNS junction with Rashba spin-orbit interaction, ЖЭТФ, т. 129, вып. 4, с. 742-750 (2006).

Цитируемая литература:

[1] Е. I. Rashba, Sov. Phys. - Solid State 2, 1109 (1960).

[2] S. Murakami, N. Nagaosa, and S. C. Zhang, Science 301, 1348 (2003); S. Murakami, N. Nagaosa, and S. C. Zhang, Phys. Rev. В 69, 235206 (2004).

[3] J. Sinova, D. Culcer, Q. Niu, N. A. Sinitsyn, T. Jungwirth, and A. H. MacDonald, Phys. Rev. Lett. 92, 126G03 (2004).

[4] J. I. Inoue, G. E. W. Bauer, and L. W. Molenkamp, Phys. Rev. В 70, 041303(R) (2004).

[5] E. G. Mishchenko, A. V. Shytov, and В. I. Halperin, Phys. Rev. Lett. 93, 226602 (2004).

[6] Al. Khaetskii, Phys. Rev. Lett. 96, 056602 (2006).

[7] R. Raimondi and P. Schwab, Phys. Rev. В 71, 033311 (2005).

[8] E. I. Rashba, Phys. Rev. B, 70, 201309 (2004).

[9] A. A. Abrikosov, L. P. Gor'kov and I. E. Dzyaloshinski, Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics (Dover, New York, 1975).

[10] A. Shekhter, M. Rhodas and A. M. Finkel'stein, Phys. Rev. В 71, 165329 (2005).

[11] Y. K. Kato, R. C. Myers, A. C. Gossard, D. D. Awschalom, Science, 306, 1910 (2004b).

[12] J. Wunderlich, В. Kaestner, J. Sinova and T. Jungwirth, Phys. Rev. Lett., 94, 047204 (2005).

[13] V. Barzykin and L. P. Gorkov, Phys.Rev.Lett.89, 227002 (2002).

[14] A. I. Larkin and Yu. N. Ovchinnikov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 47, 1136 (1964) [Sov. Phys. JETP 20, 762 (1965)].

[15] P. Fulde and R. A. Ferrel, Phys. Rev. 135, A550 (1964).

[16] A. Chrestin, T. Matsuyama and U. Merkt, Phys. Rev. В 49, 498 (1994).

[17] E. Bezuglyi et al, Phys. Rev. B. 66 052508 (2002).

[18] I. V. Krive et al, Fiz. Niz. Temp. 30, 535 (2004).

[19] C. W. J. Beenakker, Phys. Rev. Lett. 67, 3836 (1991).

[20] J. A. Meisen and C. W. J. Beenakker, Physica В 203, 219 (1994).

[21] A. Ossipov et al, cond-mat/0603524.

Введение

1 Поперечный спиновый ток и парамагнитная восприимчивость в двумерном электронном газе

1.1 Введение.

1.2 Обращение в ноль dc спин-холловской проводимости в присутствии беспорядка.

1.2.1 Микроскопическое диаграммное вычисление.

1.2.2 Общее доказательство отсутствия стационарного спин-холловского тока.

1.3 Спин-Холловская проводимость и Паули восприимчивость в присутствии электрон-электронного взаимодействия.

1.3.1 Соотношение между зависящей от частоты спин-холловской проводимостью и восприимчивостью Паули

1.3.2 Поправки от взаимодействия к спин-холловской проводимости

1.4 Выводы.

2 Фазовая диаграмма поверхностного сверхпроводника в продольном магнитном поле

2.1 Введение.

2.2 Модель двумерного спин-орбитального сверхпроводника

2.3 Сверхпроводящий фазовый переход.

2.4 Свойства сверхпроводника вблизи симметричной точки.

2.5 Фазовая диаграмма

2.6 Ток и электромагнитный отклик в киральной фазе.

2.7 Преобразование состояния БКШ в "слабо киральную" фазу

2.8 Фазовая диаграмма в присутствии немагнитных примесей

2.9 Переход Березинского-Костерлица-Таулеса.

3 Джозефсоновский ток и спиновая поляризация в контактах сверхпроводник- двумерный электронный газ-сверхпроводник

3.1 Введение.

3.2 Спектр андреевских состояний.

3.3 S-матрица и коэффициенты прохождения.

3.4 Джозефсоновский ток.

3.5 Уравнение на спектр и ток для контакта произвольной длины

3.6 Спиновая поляризация.

3.7 Обсуждение.

Двумерные электронные системы возникают в полупроводниковых квантовых ямах на границе раздела двух материалов, либо в сверхтонких слоях металлов на диэлектрической подложке. В обоих случаях естественным образом нарушается симметрия по отношению к отражению относительно плоскости, в которой находятся "двумерные" электроны проводимости. В таких случаях, благодаря нарушению трансляционной симметрии и симметрии инверсии, возникает электрическое поле, перпендикулярное к плоскости. Оно не влияет непосредственно на орбитальное движение электрона в плоскости, но взаимодействует со спином электрона посредством релятивистского спин-орбитального взаимодействия, известного как взаимодействие Рашбы [1].

В диссертации теоретически изучено влияние взаимодействия Рашбы на свойства следующих электронных систем: двумерный взаимодействующий электронный газ в присутствии немагнитных примесей; двумерный сверхпроводник (в рамках модели БКШ) в параллельном магнитном поле в чистом и грязном случае, джозефсоновский переход через чистый двумерный электронный газ.

Присутствие спин-орбитального взаимодействия в электронных системах демонстрирует ряд интересных неожиданных физических явлений. Все они обязаны своим возникновением ограничению степени свободы электронных спинов: направление спина электрона, благодаря взаимодействию Рашбы, теперь оказывается связанным с направлением его импульса. Точнее, собственными состояниями гамильтониана оказываются состояния со спином, направленном перпендикулярно вправо и перпендикулярно влево от направления импульса. Спин электрона перестает быть хорошим квантовым числом и вводиться новое квантовое число - киральность, соответствующее этим двум состояниям. В электронном двумерном металле при включении взаимодействия Рашбы две совпадающие Ферми-окружности, соответствующие прежде двукратному вырождению по спину, смещаются: соответствующая одной киральности Ферми-окружность раздувается, а другой - сжимается. Существование для каждой киральности двух отличных Ферми-окружностей объясняет такие эффекты, как индуцирование спиновой поляризации при приложении продольного электрического поля, или существование неоднородной фазы при включении продольного магнитного поля в спин-орбитальном сверхпроводнике.

Спин-орбитальное взаимодействие Рашбы в сверхпроводниках без центра инверсии существенно модифицирует сверхпроводящее состояние. В обычных сверхпроводниках имеет место иерархия энергетических масштабов ер hjjj) > Те, где ер - энергия Ферми, сир - Дебаевская частота, Тс - температура сверхпроводящего перехода. Спин-орбитальное взаимодействие характеризуется скоростью а и энергетическим расщеплением киральных подзон в металле арр, где рр - импульс Ферми. Может быть как арр Тс, так и apF <С Тс. Случай слабого спин-орбитального взаимодействия был рассмотрен в работах [27, 28], однако на поверхности спин-орбитальное взаимодействие усилено скачком химического потенциала и спин-орбитальное расщепление apF может достигать значений гораздо больших чем Тс. Теория двумерного сверхпроводника при произвольном спин-орбитальном взаимодействии была построена в работах [20, 29]. Такое сверхпроводящее состояние должно обладать рядом необычных свойств благодаря тому, что на поверхности кристалла нарушена симметрия "верх-низ"; волновая функция конденсата является в этом случае смесью синглетной и триплетной волновой функции [27, 20]. При низких температурах восприимчивость Паули увеличена по сравнению с обычными сверхпроводниками [20]; парамагнитный предел в параллельном магнитном поле смещен в сторону намного более высоких значений поля благодаря возникновению неоднородного сверхпроводящего состояния [29], подобного предсказанному Ларкиным-Овчинниковым и Фульде-Феррелом [30, 31] (LOFF) для ферромагнитного сверхпроводника. Йип [32] сделал утверждение о довольно неожиданном свойстве такого сверхпроводника: индуцирование параллельным магнитным полем сверхпроводящего тока, перпендикулярного направлению поля и пропорционального полю по величине. Все эти свойства вытекают из кирального расщепления спектра электронов на поверхности благодаря присутствию спин-орбитального члена Рашбы [1]; величина этого расщепления арр мала по сравнению с энергией Ферми, но может быть довольно большой по сравнению с другими энергиями в задаче.

Задача о неоднородном состоянии в спин-орбитальном сверхпроводнике отличается от задачи Ларкина-Овчинникова в отношении того, как магнитное поле меняет Ферми-поверхность. В LOFF задаче Ферми-поверхности, соответствующие спину вверх или спину вниз, увеличиваются или уменьшаются в радиусе; а в спин-орбитальном сверхпроводнике при приложении продольного магнитного поля происходит параллельный перенос Ферми-поверхностей в противоположных направлениях на вектор Q, пропорциональный полю и перпендикулярный ему. Это благоприятствует возникновению неоднородного состояния: становиться энергетически возможным формирование Куперовской пары на ненулевом импульсе, пропорциональном Q. Принципиальное отличие от стандартной LOFF задачи состоит в том, что там Куперовские пары формировались из электронов, принадлежащих двум разным концентрическим Ферми-сферам, и значит, направление вектора Куперовской пары не было фиксированным, что обуславливало большое разнообразие в наблюдаемых фазах (которые включали в себя и сложные решетки в импульсном пространстве) (см. например [36]). Наоборот, в рассматривав-мом здесь спин-орбитальном сверхпроводнике, Куперовская пара формируется на одной и той же Ферми-окружности и направление вектора Куперов-ской пары фиксировано приложенным магнитным полем, поэтому параметр порядка является суперпозицией конечного числа гармоник на волновых векторах разных по величине, но одинаковых по направлению. Такое неоднородное состояние можно назвать "полосатым": если будем двигаться в плоскости сверхпроводника вдоль прямых параллельных магнитному полю, то не будем наблюдать изменение фазы сверхпроводящего параметра порядка. В работе [33], исходя из феноменологической модели, для спин-орбитального сверхпроводника была показана возможность существования состояния типа бегущей волны - длинноволновая киральная фаза. Возможность такого состояния была рассмотрена также в работе Ларкина и Овчинникова [30], которые обнаружили, что оно имеет более высокую энергию чем "полосатое" состояние с синусоидальной модуляцией; кроме того, они показали, что сверхпроводящая плотность в киральном состоянии обращается в ноль. Мы покажем, что в нашей задаче коротковолновая киральная фаза, напротив, является сверхпроводящей и должна реализоваться в значительной части фазовой диаграммы.

Как было показано [34], неоднородное состояние LOFF подавляется примесями, поэтому в диссертации мы изучали и влияние примесей на спин-орбитальную сверхпроводимость и неоднородное состояние. Линия перехода от нормального в сверхпроводящее состояние Tc(h) была определена в [29]; однако переход между обычным однородным сверхпроводящим состоянием БКШ, существующем в низких магнитных полях и состоянием типа LOFF, возникающим в высоких полях изучен не был.

Изучение модели спин-орбитального сверхпроводника актуально и с экспериментальной точки зрения: как взаимодействие электронов через фононы, так и нарушенная симметрия инверсии присущи большинству двумерных электронных структур, поэтому естественно ожидать открытие двумерной сверхпроводимости, для которой была бы применима изучаемая модель. В литературе были сообщения о наблюдении поверхностной сверхпроводимости, к которой данная модель может иметь отношение. Например, поступили сообщения об экспериментальных наблюдениях сверхпроводящих состояний, локализованных на поверхности металлов и даже диэлектриков. Островки поверхностной сверхпроводящей фазы наблюдались в поверхностно допиро-ванном кристалле WO3 : Na при критической температуре Тс = 91.5К [25]. Упомянем также недавнюю экспериментальную статью [26], в которой изучался тонкий бис л ой Ве/Au с нарушенной симметрией инверсии, и сообщалось о сильно увеличенном продольном критическом магнитном поле.

Спин-холловский эффект в двумерном электронном газе - следствие спин-орбитального спаривания. Эффект состоит в том, что протекание электрического тока через образец вызывает бездиссипативный спиновый транспорт в перпендикулярном направлении [2]. Спин-холловский эффект зависит от размерности, геометрии, рассеянии на примесях, плотности носителей в системе, а также от вида спин-орбитального спаривания. Для случая идеального двумерного электронного газа с взаимодействием Рашбы, Синова и др. [3] нашли спин-холловский ток поперечной (z) спин компоненты в продольном электрическом поле Еи, j* = (TsH^uE^, с "универсальной" спин-холловской проводимостью а8н = e/inh, не зависящей от константы взаимодействия Рашбы а и плотности газа п, при условии, что обе спин-расщепленные ветви заполнены. Это имеет место, когда плотность п > п* = т^оР/п. Сначала считалось, что незначительное количество примесей не изменяет этот результат, т. е. спин-холловская константа "универсальна" (Sinova et al, 2004). Однако затем оказалось, что если правильно учесть влияние беспорядка, то вершинная поправка сокращает вклад от одной петли. Для стандартной модели Рашбы было показано, что dc спин-холловская проводимость исчезает даже в случае произвольно слабого беспорядка (Inoue et al, 2004; Raimondi and Schwab, 2005 [4, 5, 6, 7]), а3н = 0, что было подтверждено и численным экспериментом (Sheng, Sheng, Weng and Haldane, 2005 [8]). Ненулевое и близкое к "универсальному" значение было вновь получено только при рассмотрении ас проводимости <т3н(и) в режиме 1/т cj <С b/h (Mischenko et al., 2004 [5]). В диссертации мы приводим новые аргументы в пользу того, что спин-холловский эффект в равновесии равен нулю. Используя уравнение Гейзенберга, показываем, что в однородной системе полный спиновый ток 2 компоненты спина пропорционален производной по времени полного z спина системы. Когда рассматриваем внешние поля, постоянные во времени, мы должны предположить, что система находиться в стационарном состоянии (т. е. требуется рассеяние на примесях для установления равновесия). В стационарном состоянии полный спин системы должен быть постоянен, поэтому полный спиновый ток должен быть равен нулю. Этот аргумент, а также зануление спинового тока при приложенном магнитном поле в отсутствии рассеивателей (Rashba, 2004 [10]) показали, что это сокращение - внутреннее свойство Гамильтониана свободных электронов и не зависит от вида рассеивателей. В очень чистом двумерном электронном газе средняя длина свободного пробега I может превысить размер системы L, и поэтому имеет смысл исследовать зависящую от частоты спин-холловскую проводимость сг<,#(Г2). Недавно Э. И. Рашба продемонстрировал [И] прямое соотношение между (jsh(Q) и диэлектрической функцией отклика б(^) чистого невзаимодействующего двумерного электронного газа со спин-орбитальным взаимодействием. В диссертации мы выводим универсальное соотношение между зависящей от частоты спин-холловской проводимостью <7sh{Q) чистого двумерного электронного газа и его продольной магнитной восприимчивостью и тем самым находим дополнительный аргумент в пользу равновесной природы спин-холловского отклика. В последние три года спин-холловский эффект был объектом огромного внимания с точки зрения теоретического изучения. Частично интерес объясняется тем, что тема эта соприкасается с элементами спинтроники, электронного транспорта и контроля за неравновесными спиновыми распределениями, а также тем, что изучение вопроса потребовало тщательного и осторожного анализа. Актуальность этой темы тем более возросла после недавних экспериментальных наблюдений этих эффектов (Kato et al, 2004b; Wunderlich et al, 2005; Sih et al, 2005).

В третьей части диссертации изучается джозефсоновский переход через двумерный электронный газ. SNS контакты изучались давно как экспериментально, так и теоретически, но сравнительно недавно технологии позволили делать джозефсоновские переходы через двумерный электронный газ [43, 44, 45, 46, 47, 48]. Общая особенность всех этих структур - малое экспериментально измеренное произведение IcRn, намного меньшее теоретических предсказаний. В частности, это несоответствие известно для коротких переходов с высококачественными S/N границами, что демонстрируется измерением несинусоидальной зависимости ток-фаза [48]. Таким образом, кажется естественным искать эффекты, которые не были приняты во внимание в существующей теории, см. например [49, 50], но могли бы отвечать за столь сильное подавление критического тока. Очевидный кандидат, который исследуется в диссертации - спин-орбитальное взаимодействие Рашбы, которое присутствует в структурах с двумерным электронным газом из-за асимметрии квантовой ямы верх-низ. В гетероструктурах In As спин-орбитальное расщепление особенно велико (см. работу [51]), и приводит к расщеплению Ад = 2apF ~ 5meV, что значительно больше сверхпроводящей щели ниобия. Поэтому кажется естественным, что учет взаимодействия Рашбы мог бы быть важным при анализе джозефсоновского тока в этих структурах. В этом отношении можно также упомянуть статью [52], где показано, что постоянные токи в мезоскопических металлических кольцах заметно варьируются присутствием спин-орбитального спаривания - что, казалось бы, указывает на возможность существования подобного эффекта и для джозефсоновского тока. В литературе можно встретить мнение, что спин-орбитальное взаимодействие не может влиять на эффект близости в сверхпроводящих структурах, так как оно сохраняет симметрию по обращению времени (Т-инвариантность). Однако этот аргумент, вообще говоря, неприменим, когда рассматривается критический джозефсоновский ток, так как присутствие тока само уже нарушает Т-инвариантность. В недавних статьях [53, 54], в которых изучалось влияние как спаривания Рашбы, так и магнитного Зеемановского поля на критический ток S-N-S контактов, было найдено, что в отсутствии Зеемановского члена взаимодействие Рашбы (если оно рассматривается для самой простой модели равных Ферми-скоростей на обоих киральных ветвях), полностью выпадает из уравнений для андреевских уровней. Здесь мы показываем, что это сокращение не является общим, а происходит из-за разных упрощений, используемых в упомянутых работах: в статье [53] вводилась модель полностью прозрачных S/N границ, а в статье [54] - простая одномерная модель. Идея о том, что андреевские уровни могут быть спин-расщеплены из-за SO спаривания, была предложена в работе [55] для узкого (небольшое число каналов) перехода. SO эффект, который мы здесь обсуждаем, отличается от рассмотренного в работе [55]. В диссертации мы рассматриваем самую простую двумерную модель баллистического перехода сверхпроводник-двумерный электронный газ-сверхпроводник (см. например [50]) бесконечной ширины в направлении поперечном к направлению протекания тока.

Симметрия задачи джозефсоновского перехода через двумерный электронный газ со взаимодействием Рашбы позволяет возникновение спиновой поляризации в области двумерного электронного газа при ненулевом сверхпроводящем токе. А именно, нарушенная симметрия инверсии вдоль оси z и нарушенная Т-инвариантность разрешают существование аксиального вектора - спиновой поляризации - в перпендикулярном направлении. Мы показали численно, что спиновая поляризация существует, но демонстрирует неожиданное поведение. Вид зависимости среднеквадратичной спиновой поляризации от величины спин-орбитального спаривания напоминает универсальные мезоскопические флуктуации проводимости. В связи с этим стоит отметить, что спин-орбитальное взаимодействие (связывающее спиновую переменную с протекающим током) вместе с квантовой природой спина электрона приводят к усилению интерференционных эффектов, находящихся вне рамок квазиклассического приближения. Это обстоятельство было недавно отмечено в другом контексте в работе Осипова и др. [64]. В рассмотренном нами случае аналогичные эффекты приводят к нерегулярным осцилляциям среднеквадратичной спиновой поляризации, при исчезающей (в термодинамическом пределе) средней поляризации. Экспериментальная демонстрация возникновения спиновой поляризации при протекании джозефсоновского тока в SNS контакте легла бы в один ряд по актуальности с недавними экспериментальными работами (Kato et al, 2004, Wunderlich et al, 2005), в которых был обнаружен спин-холл эффект и, соответственно, измерена спиновая поляризация.

Структура диссертации такова. В Главе 1 изучены теоретически спин-холловская проводимость и восприимчивость Паули двумерного электронного газа (2DEG) со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы (SO), в квазиклассическом пределе ppl > 1. Показано, что статическая спин-холловская проводимость равна нулю в линейном порядке по спин-орбитальному расщеплению, для любой неисчезающей силы беспорядка и в общем случае зависящей от импульса скорости Рашбы а(р) и непараболическом спектре е(р). Этот результат получен явным диаграммным вычислением для модели невзаимодействующих электронов в присутствии примесей. Кроме того, для случая параболического спектра и постоянной "скорости Рашбы" а приведено простое доказательство зануления спин-холловского эффекта на основе анализа общих коммутационных соотношений для операторов. Этот результат остается верными также и для случая взаимодействующих электронов (по крайней мере, если взаимодействие не зависит от спинов), а также для более общего случая зонного спектра е(р) и спин-орбитального расщепления а(р), если выполнено условие ра(р) = const • де(р)/др. В чистом пределе I -> оо и в присутствии электрон-электронного взаимодействия, получено универсальное соотношение между зависящей от частоты спин-холловской проводимостью о3н(0,) и восприимчивостью Паули Показано, что электрон-электронное взаимодействие перенормирует "универсальное" значение а^ = e/Snh, на величину относительной поправки, определяющейся только стандартным параметром Кулона.

В Главе 2 построена универсальная фазовая диаграмма двумерного спин-орбитального сверхпроводника в продольном магнитном поле. Известно, что в присутствии спин-орбитального взаимодействия Рашбы в сильном продольном магнитном поле возникает неоднородное сверхпроводящее состояние [29] типа Ларкина-Овчинникова-Фульде-Феррела (LOFF) [30, 31] со сверхпроводящим параметром порядка Д(г) ос cos(Qr) (так называемая полосатая фаза). Мы рассмотрели случай сильного взаимодействия Рашбы со спин-орбитальным расщеплением большим чем сверхпроводящая щель А, и показали, что при низких температурах Т < 0.4Zк» состояние типа LOFF отделено от обычного однородного состояния линией фазового перехода первого рода. При более высоких температурах другое неоднородное состояние с Д(г) ос exp(iQr) лежит между однородным БКШ и LOFF-состоянием при gfish ~ 1.5Тсо. В отличие от обычного LOFF состояния, сверхпроводящая плотность п8 порядка полной 2D плотности электронов (за исключением области вблизи линии перехода второго рода между БКШ состоянием и новой "киральной" фазой, где nysy обращается в ноль). Показано, что немагнитные примеси подавляют оба неоднородных состояния, которые полностью исчезают при Тсот <0.11.

В Главе 3 исследовано влияние спин-орбитального взаимодействия Рашбы на сверхпроводящий ток в джозефсоновских переходах в чистом пределе. Получено обобщение формулы Беенаккера для андреевских уровней на случай присутствия спин-орбитального рассеяния. Для бесконечно длинного непрозрачного контакта (присутствие нормального отражения на границе нормальный металл-сверхпроводник (NS)) предсказано расщепление андреевских уровней, вызванное присутствием спин-орбитального рассеяния. Показано, что квазиклассическое среднее джозефсоновского тока тем не менее не зависит от взаимодействия Рашбы, если пренебрегать электрон-электронным взаимодействием в области двумерного электронного газа. Найдена спиновая поляризация в области двумерного электронного газа при ненулевом джозеф-соновском токе.

В Заключении перечислены оригинальные результаты, содержащиеся в диссертации.

В Приложения мы вынесли изложение ряда технических вычислительных деталей.

Заключение

Научная новизна работы заключается в следующих оригинальных результатах, которые выносятся на защиту:

Глава 1.

• Для модели невзаимодействующих электронов в присутствии примесей показываем, что статическая спин-холловская проводимость равна нулю благодаря сокращению двух вкладов: вершинная поправка сокращает вклад от одной петли. Результат получен в линейном порядке по спин-орбитальному расщеплению, для любой неисчезающей силы беспорядка и в общем случае зависящей от импульса скорости Рашбы а(р) и непараболическом спектре е(р).

• Для случая параболического спектра и постоянной "скорости Рашбы" а приведено простое доказательство зануления спин-холловского эффекта на основе анализа общих коммутационных соотношений для операторов. Этот результат остается верными также и для случая взаимодействующих электронов (по крайней мере, если взаимодействие не зависит от спинов), а также для более общего случая зонного спектра е(р) и спин-орбитального расщепления ot(p), если выполнено условие ра(р) = const • де/др.

• В чистом пределе / —► оо и в присутствии электрон-электронного взаимодействия, получено универсальное соотношение между зависящей от частоты спин-холловской проводимостью crs#(Q) и восприимчивостью Паули х(Г2).

В чистом пределе для модели невзаимодействующих фермионов более высокого спина j найдена спин-холловская проводимость и показано, что crSH(j) также универсальна и растет с j.

Показано, что электрон-электронное взаимодействие перенормирует "универсальное" значение а^ = e/Snh, на величину относительной поправки, определяющейся только стандартным параметром Кулона.

Глава 2.

В рамках модели спин-орбитального металла с иерархией энергий ер > арр шо Тс для чистого поверхностного сверхпроводника в параллельном магнитном поле найден функционал Гинзбурга-Ландау, включая разложение до степеней восьмого порядка.

На линии ТС{Н) найдены две критические точки: точка Лифшица С и симметричная точка S и тем самым показано существование "киральной" сверхпроводящей фазы с параметром порядка А(г) ос exp(iQr) и большим Q ~ H/vp на фазовой диаграмме.

В киральной фазе найдены два условия самосогласования на А и на Q.

На фазовой диаграмме найдены границы устойчивости БКШ и киральной фазы: линия Лифшица, оканчивающаяся в критической точке Ландау Т; и линия, начинающаяся в симметричной точке.

Установлено, что киральная фаза и пространственно четная фаза (полосатая структура) разделены двумя фазовыми переходами второго рода и промежуточной новой сверхпроводящей фазой.

В БКШ и в киралыюй фазе найден равновесный сверхпроводящий ток, пропорциональный вариации свободной энергии по волновому вектору параметра порядка, и доказано, что равновесный ток в основном состоянии обращается в ноль.

Найден тензор сверхпроводящей плотности электронов в БКШ и в ки-ральной фазе и обнаружено, что на линии Лифшица сверхпроводящая плотность для направления тока L h обращается в ноль, что символизирует разрушение сверхпроводимости в окрестности этой линии. Вглубине киральной фазы сверхпроводящий отклик подобен отклику в обычной БКШ фазе.

Исследовано влияние слабой киральной анизотропии на фазовую диаграмму и найден слабый градиент параметра порядка в основном состоянии БКШ, преобразующий ее в "длинноволновую киральную" фазу (на существование последней указал Agterberg [33]).

В присутствии немагнитных примесей с помощью метода трансфер матрицы найдена критическая сила примесей, при которой происходит исчезновение неоднородных сверхпроводящих состояний.

В грязном пределе обнаружено увеличение критического магнитного поля с усилением беспорядка.

В грязном пределе и в первом порядке по a/vp найдена слабая неоднородность БКШ состояния.

Установлено, что в симметричной точке S непрерывный вихрь с неразрушенной сверхпроводимостью в коре вихря энергетически более выгоден, чем сингулярный вихрь Абрикосова.

Показано, что вблизи симметричной точки, из-за присутствия расширенной до U (2) симметрии параметра порядка, имеют место существенные флуктуации.

Глава 3.

Получено обобщение уравнения Беенаккера, связывающее андреевский спектр джозефсоновского перехода с матрицей рассеяния в нормальном состоянии, на случай присутствия спин-орбитального взаимодействия.

Для случая короткого контакта в присутствии спин-орбитального взаимодействия получено явное решение для энергии андреевских уровней, выраженных через коэффициенты прохождения.

Получена матрица рассеяния в нормальном состоянии для модели бесконечно длинного непрозрачного контакта (присутствие нормального отражения на границе нормальный металл-сверхпроводник). Показано, что спин-орбитальное взаимодействие спин-расщепляет коэффициенты прохождения.

Показано, что квазиклассическое среднее джозефсоновского тока тем не менее не зависит от взаимодействия Рашбы, если пренебрегать электрон-электронным взаимодействием в области двумерного электронного газа.

Найдено уравнение на андреевский спектр для контакта произвольной длины и показано, что в присутствии взаимодействия Рашбы спин-расщепление является общей характеристикой андреевских уровней.

Получена формула для полного среднего джозефсоновского тока, выраженная через спектральную функцию для случая контакта произвольной длины, из которой видно, что полный средний джозефсоновский ток не зависит от взаимодействия Рашбы независимо от длины контакта.

Найдена спиновая поляризация в области двумерного электронного газа при ненулевом джозефсоновском токе. Вид зависимости среднеквадратичной спиновой поляризации от величины спин-орбитального спаривания напоминает универсальные мезоскопические флуктуации проводимости.

Работы, представленные на защиту

1. О. V. Dimitrova, М. V. Feigel'man, Phase diagram of a surface superconductor in parallel magnetic field, Письма в ЖЭТФ, том 78, стр. 637 (2003).

2. О. V. Dimitrova, Spin-Hall conductivity in a two-dimensional Rashba electron gas, Phys. Rev. В 71, 245327 (2005).

3. О. V. Dimitrova, M. V. Feigel'man, 2D SNS junction with Rashba spin-orbit interaction, ЖЭТФ, т. 129, вып. 4, с. 742-750 (2006).

1. Б. 1. Rashba, Sov. Phys. - Solid State 2, 1109 (1960).

2. S. Murakami, N. Nagaosa, and S. C. Zhang, Science 301, 1348 (2003); S. Murakami, N. Nagaosa, and S. C. Zhang, Phys. Rev. В 69, 235206 (2004).

3. J. Sinova, D. Culcer, Q. Niu, N. A. Sinitsyn, T. Jungwirth, and A. H. Mac-Donald, Phys. Rev. Lett. 92,126603 (2004).

4. J. I. Inoue, G. E. W. Bauer, and L. W. Molenkamp, Phys. Rev. В 70, 041303(R) (2004).

5. E. G. Mishchenko, A. V. Shytov, and В. I. Halperin, Phys. Rev. Lett. 93, 226602 (2004).

6. Al. Khaetskii, Phys. Rev. Lett. 96, 056602 (2006).

7. R. Raimondi and P. Schwab, Phys. Rev. В 71, 033311 (2005).

8. D. N. Sheng, L. Sheng, Z. Y. Weng, F. D. M. Haldane, Phys. Rev. В 72, 153307.

9. E. I. Rashba, Phys. Rev. В 68, 241315 (2003).

10. E. I. Rashba, Phys. Rev. B, 70, 201309 (2004).

11. E. I. Rashba, Phys. Rev. В 70, 161201 (2004).

12. P. L. Krotkov and S. Das Sarma, Phys. Rev. В 73, 195307 (2006).

13. A. A. Abrikosov, L. P. Gor'kov and I. E. Dzyaloshinski, Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics (Dover, New York, 1975).

14. L. V. Keldysh, Sov. Phys. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 47, 1515 (1964) Sov. Phys. JETP 20, 1018 (1965)].

15. A. G. Aronov, Yu. B. Lyanda-Geller, Pisma ZhETF 50, 398 (1989).

16. V. M. Edelstein, Solid State Communications, Vol. 73, No. 3, pp. 233-235, (1990).

17. E. I. Rashba, Phys. Rev. В 70, 201309.

18. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Statistical Physics (Course on Theoretical Physics), Pergamon Press; 2d rev. and enl. ed edition (1969).

19. S. I. Erlingsson, John Schliemann and D. Loss, Phys. Rev. В 71, 035319 (2005).

20. L. P. Gor'kov and E. I. Rashba, Phys. Rev. Lett. 87, 037004 (2001).

21. A. Shekhter, M. Khodas and A. M. Finkel'stein, Phys. Rev. В 71, 165329 (2005).

22. Y. K. Kato, R. C. Myers, A. C. Gossard, D. D. Awschalom, Science, 306, 1910 (2004b).

23. J. Wunderlich, B. Kaestner, J. Sinova and T. Jungwirth, Phys. Rev. Lett., 94, 047204 (2005).

24. V. Sih, R. C. Myers, Y. K. Kato, W. H. Lau, A. C. Gossard and D. D. Awschalom, Nature Phys., 1, 31.

25. S. Reich and Y. Tsabba, Eur.Phys. J. В 9,1 (1999). Y. Levi et al., Europhys. Lett., 51, 564 (2000).

26. X. S. Wu and P. W. Adams, Y. Yang and R. L. McCarley, cond-mat/0509385.

27. V. M. Edelstein, JETP, 95, 2151 (1989).

28. JI. H. Булаевский, А. А. Гусейнов, А. И. Русинов, ЖЭТФ, 71,2356 (1976).

29. V. Barzykin and L. P. Gorkov, Phys.Rev.Lett.89, 227002 (2002).

30. A. I. Larkin and Yu. N. Ovchinnikov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 47, 1136 (1964) Sov. Phys. JETP 20, 762 (1965)].

31. P. Fulde and R. A. Ferrel, Phys. Rev. 135, A550 (1964).

32. S. K. Yip, Phys. Rev. В 65, 144508 (2002).

33. D. F. Agterberg, Physica С 387, 13 (2003).

34. L. G. Aslamazov, Sov. Phys. JETP 28, 773 (1969).

35. R. A. Klemm and A. Luther, Phys. Rev. В 12, 877 (1975).

36. H. Burkhardt and D. Rainer, Ann. Phys. (Berlin) 3, 181 (1994).

37. Manfred Sigrist and Daniel F. Agterberg, Progress of Theoretical Physics, Vol.102, No. 5, 965 (1999).

38. V. N. Popov, Functional Integrals and Collective Excitations, Cambridge University Press, Cambridge (1987).

39. A. M. Поляков, Калибровочные поля и струны, ИТФ им. Ландау (1995).

40. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, том V, Статистическая Физика, часть1, Физматлит, Москва (2001).

41. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, том IX, Статистическая Физика, часть2, Физматлит, Москва (2001).

42. И. С. Градштейн и И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм; рядов и произведений, Государственное издательство физико-математической литературы, Москва (1963).

43. В. J. van Wees et al, Physica В 203, 285 (1994).

44. H. Takayanagi, J. B. Hansen and J. Nitta, Physica В 203, 291 (1994).

45. F. Giazotto et al, Journal of Superconductivity: Incorporating Novel Magnetism, 17, 317 (2004); cond-mat/0207337.

46. A. Chrestin, T. Matsuyama and U. Merkt, Phys. Rev. В 55, 8457 (1997).

47. Th.Schapers et al, Phys. Rev. 67, 014522 (2003).

48. M. Ebel et al, Phys. Rev. В 71, 052506 (2005).

49. A. Brinkman and A. A. Golubov, Phys. Rev. В 61, 11297 (2000).

50. A. Chrestin, T. Matsuyama and U. Merkt, Phys. Rev. В 49, 498 (1994).

51. J. Nitta, T. Akazaki, H. Takayangai and T. Enoki, Phys. Rev. Lett. 78, 1335 (1997).

52. Y. Meir, Y. Gefen and O. Entin-Wohlman, Phys. Rev. Lett. 63, 798 (1989).

53. E. Bezuglyi et al, Phys. Rev. B. 66 052508 (2002).

54. I. V. Krive et al, Fiz. Niz. Temp. 30, 535 (2004).

55. N. M. Chtchelkatchev and Yu. V. Nazarov, Phys. Rev. Lett. 90, 2268062003).

56. M. Khodas, A. Shekhter and A. M. FinkePstein, Phys. Rev. Lett. 92, 0866022004).

57. C. W. J. Beenakker, Phys. Rev. Lett. 67, 3836 (1991).

58. P.A.Mello and J.-L.Pichard, J.Phys.I (Paris), 1, 493 (1991).

59. J. A. Melsen and C. W. J. Beenakker, Physica В 203, 219 (1994).

60. N. I. Lundin et al, Superlattices and Microstructures, Vol 20, No. 1, 1996.

61. Идея этого вычисления принадлежит Н. М. Щелкачеву.

62. Н. М. Щелкачев, Диссертация (2002), ИТФ им. JI. Д. Ландау, http: //iims. itp. ас. ru/phdnms. pdf.

63. T.Koga, Y.Sekine and J.Nitta, cond-mat/0504743; M.Konig, A.Tscheschetkin, E.M.Hankiewicz et al, Phys. Rev. Lett.96, 076804 (2006).

64. A. Ossipov et al, cond-mat/0603524.