Особенности тепловых и упругих свойств квазикристаллов при низких температурах

Черников, Михаил Альбертович

Особенности тепловых и упругих свойств квазикристаллов при низких температурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Черников, Михаил Альбертович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Особенности тепловых и упругих свойств квазикристаллов при низких температурах»

Автореферат диссертации на тему "Особенности тепловых и упругих свойств квазикристаллов при низких температурах"

На правах рукописи

ЧЕРНИКОВ Михаил Альбертович

.1 I

ОСОБЕННОСТИ ТЕПЛОВЫХ И УПРУГИХ СВОЙСТВ КВАЗИКРИСТАЛЛОВ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ

Специальность 01.14.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 2005

Работа выполнена в Институте сверхпроводимости и физики твердого тела Российского научного центра «Курчатовский институт» и в Лаборатории физики твердого тела Швейцарского федерального технологического института

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН Л.А. Максимов доктор физ.-мат. наук В.Е. Дмитриенко доктор физ.-мат. наук А.Ф. Прекул

Ведущая организация:

Московский государственный институт стали и сплавов (технологический университет)

Защита состоится "_"_2005 г. в_на заседании

диссертационного совета Д 520.009.01 Российского научного центра «Курчатовский институт» по адресу: 123182, г. Москва, пл. акад. И.В. Курчатова, д. 1

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Российского научного центра «Курчатовский институт»

Автореферат разослан "_"_2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А.В. Мерзляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Квазикристаллы, открытые в 1984 г. Шехтманом с соавторами [1] в метастабильных сплавах А1-Мп, полученных методом быстрой закалки расплава, обладают многими свойствами, характерными для твердых тел с периодической структурой, например, огранкой и способностью когерентно рассеивать падающее излучение. В то же время, квазикристаллы принципиально отличаются от периодически упорядоченных кристаллов отсутствием трансляционной симметрии. Они имеют особый апериодический тип дальнего координационного порядка и могут обладать вращательной симметрией, несовместимой с периодичностью.

В 1987 г. были открыты термодинамически стабильные квазикристаллы, которые кристаллизуются в гранецентрированной икосаэдри-ческой (г.ц.и.) структуре [2]. Корреляционная длина структуры некоторых термодинамически стабильных квазикристаллов, определенная по результатам рентгеноструктурного анализа, достигает нескольких микрометров, что ставит эти квазикристаллы по структурному качеству в один ряд с самыми совершенными периодически упорядоченными кристаллами. Первые эксперименты, проведенные на этих фазах на рубеже 80-х и 90-х годов, показали, что термодинамически стабильные квазикристаллы следует причислять к совершенно отдельному и весьма необычному классу веществ, сочетающих как свойства стекол, так и свойства, характерные для периодически упорядоченных кристаллов. К интересным объектам исследований относятся и термодинамически стабильные декагональные квазикристаллы, упорядоченные периодически вдоль декагональной оси и квазипериодически в плоскости, перпендикулярной этой оси, что дает возможность проведения сравнительных исследований свойств как периодически, так и квазипериодически упорядоченных твердых тел вдоль различных кристаллографических направлений одного и того же монокристаллического образца.

фициента температуропроводности квазикристаллов, характерные для стекол. Тем не менее, поскольку структура квазикристаллов принципиально отличается от структуры аморфных веществ, представляется несправедливым утверждать, что свойства квазикристаллов определяются теми же самыми механизмами, что и свойства веществ в аморфном состоянии. Перечисленные наблюдения привели к бурному росту экспериментальных и теоретических исследований как электронных свойств квазикристаллов, так и свойств возбуждений квазикристаллической решетки и послужили стимулом постановки цикла исследований, представленных в настоящей диссертации.

Цель работы

Цель диссертационной работы состояла в том, чтобы на основе экспериментального исследования теплоемкости и теплопроводности икосаэдрических (А1-Мп-Рс1, А1-11е-Рс1) и декагональных (А1-Си-Со, А1-№-Со) квазикристаллов, а также упругих свойств декагонального квазикристалла А1-№-Со выяснить в какой степени представления о низкочастотных возбуждениях решетки, сложившиеся для периодически упорядоченных кристаллов и аморфных веществ, справедливы для квазикристаллов и сформировать представления, применимые к этому новому классу твердых тел.

Вклад автора

Вклад автора в проведенное исследование состоял в постановке задач, в синтезе поликристаллов и росте монокристаллов квазикристаллических фаз, их характеризации, в проведении измерений, анализе полученных экспериментальных данных и выполнении расчетов.

Степень новизны

1. Впервые в диапазоне температур от 0,065 до 290 К исследованы термодинамические и кинетические тепловые свойства термодинамически стабильных квазикристаллов с икосаэдрической и декагональной структурами, а также упругие свойства декагонального квазикристалла и проведено их сравнение с соответствующими свойствами периодически упорядоченных кристаллов и аморфных веществ.

2. Обнаружен большой кубический по температуре вклад в низкотемпературную теплоемкость икосаэдрической фазы А1-Мп-Р(1, существенно превышающий вклад модели Дебая, рассчитанный по данным акустических измерений. Установлено, что кубический по темпе-

ратуре вклад в теплоемкость декагональной фазы А1-№-Со, напротив, совпадает с вкладом длинноволновых акустических мод.

3. Впервые показано, что при температурах ниже 1 К тепловое сопротивление решетки икосаэдрических фаз А1-Мп-Рс1 и А1-11е-Рс1 обратно пропорционально квадрату температуры, а средняя длина свободного пробега акустических мод ограничена взаимодействием с низкочастотными локализованными состояниями, которые описываются моделью двухъямных туннелирующих систем.

4. Обнаружено необычное поведение температурной зависимости решеточной теплопроводности икосаэдрических квазикристаллов, проявляющее себя, в зависимости от величины параметра деформационного взаимодействия акустических мод с туннелирующими системами, как пологий максимум при температурах порядка 20-30 К или как А-плато в температурном диапазоне от 15 до 70 К. Аналогичная особенность обнаружена также и на кривых теплопроводности решетки декагональных фаз, измеренных вдоль направления в квазипериодической плоскости.

5. Для объяснения такого поведения температурной зависимости решеточной теплопроводности квазикристаллов предложен и качественно обоснован механизм рассеяния фононов, связанный со процессами переброса в твердых телах с квазикристаллической структурой.

6. Впервые, на примере фазы А1-№-Со, измерены все компоненты тензора модулей упругости квазикристалла декагональной симметрии. Показано, что число независимых модулей упругости, которые определяют деформацию в плоскости, перпендикулярной декагональной оси, равно двум, как и для изотропной среды.

Практическая значимость

Проведенное исследование позволило сформировать взгляд на фундаментальные свойства квазикристаллов, определить их принципиальные отличия от свойств периодически упорядоченных кристаллов и аморфных веществ и получить данные, необходимые для практического использования этих перспективных материалов для нужд техники и промышленности.

Результаты проведенного исследования позволяют сформулировать рекомендации по применению квазикристаллических материалов в качестве тепловых барьеров. Полученные данные представляют собой справочный материал по теплоемкости, теплопроводности и упругим

свойствам квазикристаллов в широком диапазоне температур, используемый в работах других авторов.

Достоверность

Полученные в диссертации экспериментальные данные по тепловым и упругим свойствам квазикристаллов и следствия их анализа достоверны и воспроизводимы. Для их получения применялись хорошо отработанные классические методики измерений и обработки данных и близкие к идеальным образцы. Результаты нашли подтверждение в работах других авторов.

Апробация работы

Включенные в диссертацию результаты были представлены и обсуждались на следующих научных конференциях и совещаниях: Первое всероссийское совещание по квазикристаллам, Москва, 14 апреля 2003 г., Международная конференция по апериодическим кристаллам, Неймеген, Нидерланды 4-8 июля 2000 г., Совещание американского физического общества, Лос Анджелес, Калифорния, США, 16-20 марта 1998 г., 26-я европейская конференция по динамическим свойствам твердых тел, Давос, Щвейцария, 21-23 сентября 1997 г., 16-я конференция отделения физики конденсированного состояния европейского физического общества, Лёвен, Бельгия, 25-28 августа 1997 г., 6-я международная конференция по квазикристаллам, Токио, Япония, 26-30 мая 1997 г., Совещание американского физического общества, Канзас-Сити, Миссури, США, 17-21 марта 1997 г., 21-я международная конференция по физике низких температур, Прага, Чехия, 8-14 августа 1996 г., Французский коллоквиум по квазикристаллам, Париж, Франция, 5-7 июня 1996 г., Совещание по апериодическим кристаллам, Краков, Польша, 1-5 июня 1996 г., Совещание американского физического общества, Сент-Луис, Миссури, США, 18-22 марта 1996 г., 5-я международная конференция по квазикристаллам, Авиньон, Франция, 2226 мая 1995 г., 20-я международная конференция по физике низких температур, Юджин, Орегон, США, 4-11 августа 1993 г., Совещание швейцарского физического общества, Базель, Щвейцария, 1-2 октября 1992 г., а также на семинарах научных центров и университетов, принимающих активное участие в исследованиях по физике и материаловедению квазикристаллов, в России, Германии, Китае, США, Франции, Швейцарии и Японии.

Публикации

Научные результаты диссертации опубликованы в 19 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем работы

> Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и библио-

графии. Полный объем диссертации составляет 212 страниц, включая 42 рисунка, 7 таблиц и список литературы из 263 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована ее цель, приведены выносимые на защиту положения и порядок изложения материала диссертации.

Глава I представляет собой обзор литературы по структуре и физическим свойствам квазикристаллов. В § 1 приводится краткое описание структуры квазикристаллов и построение их моделей методом сечения/вложения. Значительное внимание уделяется классификации апериодических кристаллов и положению в этой классификации квазикристаллов. В § 2 перечислены характерные особенности электропроводности, термо-э.д.с., эффекта Холла и оптических свойств квазикристаллов. В § 3 приводятся результаты исследований сверхпроводимости квазикристаллических фаз, а также их магнитных свойств. § 4 посвящен экспериментальным и теоретическим работам по динамике квазикристаллической решетки. Обсуждаются характерные особенности полученых в экспериментах по неупругому рассеянию нейтронов спектров возбуждений решетки квазикристаллов, а также результаты расчетов динамического отклика реалистичных трехмерных моделей. В § 5 обсуждаются работы по тепловым и упругим свойствам термодинамически стабильных квазикристаллов. В § б перечислены технические применения квазикристаллов и материалов на их основе, включая как уже освоенные в промышленности, так и перспективные разработки.

Глава II посвящена исследованию тепловых свойств икосаэдричес-ких фаз А1-Мп-Рс1 и А1-11е-Рс1 при низких температурах.

В § 7 приводятся подробности приготовления и характеризации образцов икосаэдрических фаз А1-Мп-Рс1 и АШе-Рс!, которые использовались для экспериментальных исследований теплоемкости и теплопроводности.

В § 8 обсуждаются результаты измерений теплоемкости икосаэдри-ческой фазы А1-11е-Р<1 в интервале температур между 0,065 и 19 К.

Полученные впервые данные по теплоемкости в интервале температур 0,065-1 К позволили получить новую информацию о низкотемпературном состоянии икосаэдрической фазы Al-Re-Pd. Так, обнаружено, что ниже 0,4 К теплоемкость растет при уменьшении температуры, а вблизи 0,065 К меняется приблизительно как Г-2, что свидетельствует о наличии значительного ядерного сверхтонкого вклада. В случае ико-саэдрических квазикристаллов Al-Re-Pd ядерный сверхтонкий вклад Cn = AqT~2 связан с взаимодействием между электрическими квад-рупольными моментами ядер и градиентом статического электрического поля, создаваемого соседними ионами.

Различные эксперименты, выполненые при температурах ниже 1 К, указывают на присутствие в икосаэдрических фазах низкоэнергетических возбуждений, которые феноменологически описываются в рамках туннельной модели [3, 4]. Возбуждения туннелирующих систем вносят линейный по температуре вклад Cts = 7rsТ в теплоемкость, коэффициент которого для аморфных веществ составляет порядка 0,03-0,1 мДж/г-атом-К2. Поэтому, строго говоря, в анализе низкотемпературной теплоемкости икосаэдрической фазы Al-Re-Pd необходимо учитывать как вклад электронных возбуждений, так и вклад возбуждений туннелирующих систем.

Аппроксимация данных по теплоемкости в диапазоне 0,065-4 К выражением СР(Т) = (tts + 1е\)Т + РТ3 + AqT~2, т. е. в предположении, что основные вклады в теплоемкость вносят возбуждения туннелирующих систем, а также возбуждения электронных, решеточных и ядерных степеней свободы, дает tts + 7ei = 0,13 мДж/г-атом-К2, /3 — 36 мкДж/г-атом- К4 и Aq = 8,2 мкДж-К/г-атом.

Коэффициент Aq ядерной теплоемкости может быть записан как

л и м V- P'Vik № + 2)№ + 3) i^QQikV m Q= ' (1)

где pi — концентрация элемента i, Vik, 1ц. и Qik — соответственно, содержание, ядерный спин и ядерный электрический квадрупольный момент изотопа к элемента г, a eq — максимальная компонента тензора градиента электрического поля, усредненного по всем узлам [5].

В случае икосаэдрической фазы Al-Re-Pd только два встречающихся в природе изотопа, а именно 185Re и 187Re, оба с ядерным спином / = §, могут вносить существенный вклад в ядерную теплоемкость. Значение коэффициента Aq, которое следует из анализа данных по теплоемкости, соответствует eq = 2,3 • 1015 ед. СГС. Сравнимые зна-

чения eq были получены из анализа результатов измерений ядерной теплоемкости рения в нормальном состоянии [6].

Учитывая структурные особенности икосаэдрических фаз, в частности, наличие большого числа неэквивалентных узлов решетки, приведенную оценку градиента электрического поля следует понимать как среднее значение. Тем не менее, можно с уверенностью утверждать, что значительная часть атомов рения в квазикристаллах Al-Re-Pd занимает узлы с неикосаэдрической локальной симметрией. Это связано с тем обстоятельством, что определяемое взаимодействием квадруполь-ного момента с локальным электрическим полем расщепление ядерных уровней, на которое указывает наблюдение значительной ядерной сверхтонкой теплоемкости икосаэдрической фазы AI-Re-Pd, возможно только в том случае, если симметрия этого поля ниже, чем кубическая.

В § 9 представлены данные измерений теплопроводности икосаэдрической фазы Al-Re-Pd в температурном диапазоне 0,35-90 К. Решеточный вклад Ai, полученный вычитанием из полной теплопроводности оценки рассчитанного в предположении выполнения закона Видемана-Франца электронного вклада, монотонно увеличивается с ростом температуры во всем исследованном температурном диапазоне. Выше 5 К заметна тенденция к насыщению зависимости Ai (Т), а в температурном интервале 15-70 К решеточная теплопроводность мало меняется с температурой. Такое поведение температурной зависимости решеточной теплопроводности икосаэдрической фазы Al-Re-Pd отличается от поведения А[(Т) как периодически упорядоченных кристаллов, так и веществ в аморфном состоянии. Кривая Х\(Т) периодического кристалла имеет явно выраженный максимум, как правило, в интервале температур порядка О,О30£>-О,10£>, где во — температура Дебая, связанный с переходом от режима рассеяния фононов на границах образца или на электронах проводимости соответственно для диэлектрических и металлических кристаллов к режиму рассеяния с участием процессов переброса. Теплопроводность решетки большинства аморфных веществ монотонно возрастает с ростом температуры, причем в интервале температур приблизительно между 2 и 10 К наблюдается так называемое Л-плато.

В поведении теплопроводности икосаэдрической фазы Al-Re-Pd и аморфных материалов в их соответствующих областях А-плато имеются, однако, важные различия. По сравнению с аморфными материалами, А-плато икосаэдрической фазы Al-Re-Pd появляется при значительно более высоких температурах. Более того, теплопроводность этой фазы в том температурном интервале, где наблюдается А-плато,

значительно выше, чем теплопроводности диэлектрических и металлических стекол в их областях плато. Появление Л-плато в температурной зависимости решеточной теплопроводности икосаэдрической фазы АЩе-Рс! связано с особенностями процессов переброса в твердых телах с квазикристаллическим упорядочением, приводящими к сравнительно слабой, по сравнению с периодически упорядоченными кристаллами, температурной зависимости средней длины свободного пробега нелокализованных возбуждений решетки.

В температурном интервале 0,35-1,5 К теплопроводность решетки может быть аппроксимирована выражением А|(Т) = где ( « 2,2. Степенная зависимость А( ос Т( с показателем степени близким к 2, в этом температурном диапазоне характерна для поведения решеточной теплопроводности аморфных веществ. Хорошо известно, что такие свойства различных по своей природе аморфных веществ как, например, скорость и поглощение звука, внутреннее трение, теплоемкость, теплопроводность и диэлектрическая проницаемость, демонстрируют универсальное поведение при низких температурах. Эти свойства феноменологически описываются туннельной моделью [3, 4], предполагающей, что имеется набор двухъямных туннелирующих систем с широким спектром относительных сдвигов (расстроек) уровней в ямах Д и туннельных амплитуд перехода между ямами До, отвечающим функции распределения вида

Приблизительно квадратичная по температуре решеточная теплопроводность аморфных веществ при температурах порядка и ниже 1 К связана с рассеянием фононов двухъямными туннелирующими системами. При низких температурах наиболее вероятным процессом взаи-модейстия фононов с такими системами является резонансное рассеяние, при котором средняя длина свободного пробега фононов I обратно пропорциональна частоте и>. Такая зависимость 1(и) приводит к теплопроводности решетки, пропорциональной квадрату температуры.

В приближении Дебая теплопроводность в рамках туннельной модели может быть записана как

где Сч — безразмерный параметр деформационного взаимодействия

Р(Д, 1п Д0) <*Д сИп Д0 = Р ЙД <11п Д0 .

(2)

(3)

поперечных звуковых волн с туннелирующими системами

С, = Щ. (4)

Здесь ъ — константа деформационного взаимодействия поперечных звуковых волн с туннелирующими системами, ар — плотность.

Анализ данных по решеточной теплопроводности икосаэдрической фазы А1-11е-Рс1 с учетом выражения (3) приводит к Сь = 9,5 • Ю-4, что соответствует верхней границе интервала 10_4-10~3, в который попадают значения С\, полученные из анализа данных по теплопроводности типичных аморфных веществ.

Вблизи 90 К величина решеточной теплопроводности икосаэдрической фазы А1-11е-Р(1 достигает типичной для аморфных материалов величины порядка 1 Вт/м-К, что соответствует средней длине свободного пробега возбуждения решетки порядка половины длины волны возбуждения [7). Это означает, что в рассматриваемой области температур ответственные за транспорт тепла моды решетки уже не могут быть представлены как распространяющиеся коллективные возбуждения.

В § 10 обсуждаются данные по низкотемпературной теплоемкости образца икосаэдрической фазы состава А170МП21РС19, полученные релаксационным методом в температурном диапазоне 0,06-18 К. Анализ данных СР(Т) дает значения коэффициентов линейного и кубического по температуре вкладов соответственно 7 = 0,41 мДж/г-атом-К2 и /6 = 41 мкДж/г-атом-К4. Расчет решеточной теплоемкости Со в де-баевском приближении для икосаэдрической фазы А1-Мп-Рс1 с учетом приведенных в работе [8] низкотемпературных значений скоростей звука и приводит к Со/Т3 = 16,3 мкДж/г-атом-К4. Таким образом, для А17оМп21Ра9 коэффициент /3 кубического по температуре вклада в теплоемкость существенно превышает отношение Со/Т3 модели Дебая.

В § 11 анализируются данные по низкотемпературной теплопроводности поликристаллических и монокристаллических образцов икосаэдрической фазы А1-Мп-Рс1. Теплопроводность решетки поликристаллического образца состава А170Мп21Рс19 в диапазоне температур от 0,06 до 20 К монотонно увеличивается с ростом температуры, причем выше 10 К становится заметной тенденция к насыщению зависимости А|(Т). От 20 до 60 К А] практически не зависит от температуры и начинает медленно возрастать с температурой выше 60 К. В целом,

поведение Ai(T) напоминает температурную зависимость решеточной теплопроводности икосаэдрического квазикристалла Al-Re-Pd.

В интервале температур 0,35-1,1 К температурная зависимость решеточной теплопроводности икосаэдрической фазы Al-Mn-Pd может быть аппроксимирована выражением Ai(T) = АТ(, где ( = 2,04, что указывает на рассеяние фононов двухъямными туннелирующими системами [3, 4]. Существование туннелирующих систем в квазикри- *

сталлах Al-Mn-Pd было продемонстрировано Вернье с соавторами [9] на основе анализа результатов низкотемпературных ультразвуковых экспериментов. Анализ данных Ai(T) в температурном диапазоне от <

0,35 до 1,1 К в предположении, что тепловое сопротивление решетки обусловлено резонансным рассеянием фононов туннелирующими системами, приводит к параметру деформационного взаимодействия Ct = 2,4 • Ю-4.

Детальный анализ зависимости теплопроводности решетки от температуры в области А-плато позволяет выявить пологий максимум около 30 К, за которым сначала следует участок отрицательного наклона кривой Ai(T), а затем минимум вблизи 55 К. Уменьшение Ai с ростом температуры в интервале 30-55 К может быть объяснено особенностями процессов переброса в твердых телах с квазикристаллическим дальним порядком. Частота процессов переброса в квазикристаллах имеет степенную зависимость от температуры, связанную с тем обстоятельством, что при неупругом рассеянии импульс фонона может передаваться решетке квазикристалла сколь угодно малыми порциями. Такая слабая зависимость частоты процессов переброса от температуры может приводить к значительно более пологому, чем для периодических кристаллов, участку отрицательного наклона dXi/dT кривой решеточной теплопроводности Ai (Т) или даже к А-плато. Максимум зависимости А¡(Т) вблизи 30 К отражает переход от режима преимущественного рассеяния фононов туннелирующими системами к режиму, где преобладающим механизмом теплового сопротивления решетки становятся процессы переброса.

Убедительные факты в пользу такого происхождения максимума кривой Ai(T) и области отрицательного наклона d\\/dT могут быть получены из анализа данных по решеточной теплопроводности образца икосаэдрической фазы состава Al7o,8Mn8,3Pd2o,9> вырезанного из монокристалла, выращенного методом Чохральского. Решеточная теплопроводность этого образца сначала увеличивается с ростом температуры, достигает максимума при 20 К и затем уменьшается. В интервале 0,4-0,55 К наклон зависмостсти log A|(logT) практически постоянен,

а сама зависимость А¡(Т) может быть аппроксимирована выражением (3) с параметром деформационного взаимодействия = 9,3 • Ю-5. Это значение параметра С\ приблизительно в 2,5 раза ниже, чем значение (Л, полученное для икосаэдрической фазы А^оМпэРс^. Таким образом, значения параметра деформационного взаимодействия, полученные из анализа экспериментальных данных по теплопроводности > икосаэдрической фазы А1-Мп-Рс1 при Т < 1 К, значительно меняются

от образца к образцу. Интересно отметить, что параметры деформационного взаимодействия образцов А1-Мп-Р(1 существенно меньше I соответствующего параметра образца икосаэдрической фазы А1-Ле-Рс1.

Перечисленные факты могут указывать на то, что двухъямные тун-нелирующие системы не являются внутренним свойством икосаэдри-ческих квазикристаллов. Тем не менее, их присутствие, зависящее от качества образца, представляется естественным следствием структурных особенностей квазикристаллов. Для сравнения следует отметить, что параметры С4 для различных видов аморфных веществ попадают в сравнительно узкий диапазон значений.

Так же, как и в случае косаэдрической фазы АШе-Рс!, решеточная теплопроводность образцов икосаэдрической фазы А1-Мп-Рс1 при температурах выше 70 К составляет порядка 1 Вт/м-К, что соответствует режиму минимальной теплопроводности, когда средняя длина свободного пробега возбуждения решетки приблизительно равна половине длины волны возбуждения [7].

В § 12 сформулированы полученные в главе II результаты по низкотемпературным тепловым свойствам икосаэдрических квазикристаллов А1-11е-Рс1 и А1-Мп-Р(1.

Глава III посвящена исследованию тепловых свойств декагональ-ных квазикристаллов А1-Си-Со и А1-№-Со при низких температурах.

В § 13 приводятся подробности роста и характеризации монокристаллов декагональных фаз А1-Си-Со и А1-№-Со, которые использовались для измерений теплоемкости и теплопроводности.

В § 14 представлены данные измерений низкотемпературной теплоемкости монокристаллического образца декагональной фазы А1-Си-Со. Теплоемкость декагональной фазы А1-Си-Со в температурном интервале 1,5-4,5 К хорошо описывается выражением СР(Т) = ■уТ + 0Т3 с параметрами 7 = 0,51 мДж/г-атом-К2 и /3 = 9,2 мкДж/г-атом-К4, указывая на то, что основные вклады в низкотемпературную теплоемкость связаны с обычными возбуждениями электронной системы и решетки. Значение параметра 7 сравнимо с типичными значениями коэффициентов линейного вклада в теплоемкость икосаэдрических фаз,

лежащими в интервале 0,1-0,6 мДж/г-атом-К2, относительно малая величина которых объясняется присутствием псевдощели в плотности электронных состояний на уровне Ферми, связанной с доминирующей ролью механизма Юм-Розери в стабилизации этих фаз [10, 11, 12]. Что же касается декагональных квазикристаллов, то, напротив, вопрос о том, ведет ли тот же самый механизм к их стабилизации, является спорным.

В § 15 представлены результаты измерений температурных зависимостей теплопроводностей АР(Т) и АЧ(Т) соответственно вдоль периодического направления и вдоль направления в квазипериодической плоскости монокристаллических образцов декагональной фазы А1-Си-Со в различных температурных диапазонах между 0,06 и 105 К. Решеточный вклад А^ в теплопроводность декагональной фазы А1-Си-Со вдоль периодического направления был получен вычитанием оценки электронного вклада Ар,, рассчитанного в предположении выполнения закона Видемана-Франца и с использованием данных по электропроводности, полученных на том же самом образце. При самых низких и при самых высоких температурах поставленного эксперимента, то есть там, где относительный вклад фононов в полную теплопроводность Ар ожидается малым, Ар близка по величине к электронной теплопроводности Ари что свидетельствует о применимости закона Видемана-Франца для периодического направления декагональной фазы А1-Си-Со.

Температурная зависимость решеточной теплопроводности декагональной фазы А1-Си-Со вдоль периодического направления проходит через четко выраженный максимум в промежуточной области температур порядка О,О40£>- Такой максимум является характерным и для решеточной теплопроводности А[(Т) периодических кристаллов. В периодических кристаллах в температурном диапазоне несколько выше максимума кривой А[(Т) тепловое сопротивление определяется началом процессов переброса, и поэтому фононная теплопроводность, как ожидается, должна экспоненциально уменьшаться с увеличением температуры благодаря экспоненциальному увеличению числа заполненных высокочастотных фононных состояний, которые разрешают процессы переброса. Теплопроводность декагональной фазы А1-Си-Со вдоль периодического направления уменьшается с увеличением температуры выше температуры максимума кривой АР(Т), хотя и невозможно утверждать, что экспоненциальный закон действительно подтверждается. Вообще говоря, в периодических кристаллах экспоненциальная зависимость А\(Т) в большинстве случаев замаскирована эф-

фектами рассеяния на примесях, структурных дефектах или изотопических неоднородностях. Значительно ниже температуры максимума кривой А|(Т) средняя длина свободного пробега фононов в периодических кристаллах ограничена рассеянием на границах образца или фонон-электронным рассеянием. Для обоих процессов рассеяния Ai растет с увеличением температуры. Соответственно, переход от низких температур к высоким сопровождается максимумом кривой фононной теплопроводности даже в поликристаллических образцах и монокристаллах невысокого структурного качества.

Данные по решеточной теплопроводности фазы Al-Cu-Co с дека-гональной структурой вдоль направления в квазипериодической плоскости Af(T) между 0,2 и 0,8 К могут быть аппроксимированы степенной зависимостью Af = АТ^, где С ~ 2, что указывает на рассеяние колебаний решетки с участием туннелирующих систем или электронов проводимости. При более высоких температурах наклон кривой log Af (log Т) постепенно уменьшается и зависимость Af(T) насыщается приблизительно при 25 К. В температурном интервале 30-70 К теплопроводность решетки вдоль квазипериодического направления практически не зависит от температуры и начинает вновь медленно увеличиваться выше 70 К. Таким образом, поведение теплопроводности решетки Af(T) декагональной фазы Al-Cu-Co вдоль направления в квазипериодической плоскости в целом напоминает зависимость Ai (Т) икосаэдрических фаз Al-Mn-Pd и Al-Mn-Pd.

Степенной закон с показателем степени близким к 2, наблюдался и для температурной зависимости теплопроводности решетки икосаэдрических фаз Al-Mn-Pd и Al-Mn-Pd. В главе II такое поведение А) (Т) анализировалось в предположении рассеяния колебаний решетки двухъямными туннелирующими системами — основным механизмом рассеяния колебаний решетки в аморфных веществах при низких температурах [3, 4]. Вывод о присутствии двухъямных туннелирующих систем в монокристаллах декагональной фазы Al-Ni-Co, изоструктур-ного аналога декагональной фазы Al-Cu-Co, недавно был сделан Бертом с соавторами [13] на основе анализа результатов низкотемпературных измерений зависимости скорости поперечных звуковых волн с частотой 70 МГц от температуры.

Присутствие плато в зависимости решеточной теплопроводности декагональной фазы Al-Cu-Co вдоль направления в квазипериодической плоскости от температуры связано с особенностями процессов переброса в твердых телах с квазикристаллическим дальним порядком. Отметим, что плато на кривой решеточной теплопроводности пред-

ставляется общим наблюдением для квазикристаллов с икосаэдричес-кой структурой.

В § 16 представлены результаты измерений теплоемкости монокристалла декагональной фазы А1-№-Со в интервале температур между 1,5 и 36 К. В диапазоне 1,5-3 К температурная зависимость теплоемкости может быть описана как сумма линейного и кубического по температуре вкладов. Линейная аппроксимация данных по теплоемкости, построенных как Ср/Т от Т2, методом наименьших квадратов в температурном диапазоне 1,5-3 К дает 7 = 0,63 мДж/г-атом-К2 и /3 = 9,5 мкДж/г-атом-К4. Малая величина коэффициента 7 указывает на низкую плотность электронных состояний на уровне Ферми и поэтому может свидетельствам в пользу присутствия псевдощели в плотности электронных состояний на Ер-

При низких температурах только акустические возбуждения вносят вклад в теплоемкость решетки, которая может быть представлена как [14]

где 1/и3 — усредненный обратный куб длинноволновых фазовых скоростей У{((р,в) трех акустических мод, распространяющихся в направлении, определенном углами ¡р и в, то есть

Средняя скорость звука г;8 декагональной фазы А1-№-Со, рассчитанная по формуле (6) с учетом плотности р и измеренных при температуре 5 К модулей упругости, равна 4,9 • 105 см/с. Подстановка этого значения и8 в выражение (5) дает коэффициент акустического вклада в теплоемкость Со/Т3 = 8,9 мкДж/г-атом-К4, в хорошем соответствии с экспериментальным результатом для коэффициента /3 кубического по температуре вклада в теплоемкость.

В § 17 приводятся данные по теплопроводности монокристаллов декагональной фазы А1-№-Со, измереной вдоль периодического направления и вдоль направления в квазипериодической плоскости, в различных температурных диапазонах от 0,06 до 80 К. Решеточная теплопроводность вдоль направления в квазипериодической плоскости значительно увеличивается с ростом температуры между 0,07 и 2 К. С

(5)

1 <кр эт всЮ

V? {<р, в) 4тг

(6)

последующим увеличением температуры зависимость А^(Т) насыщается вблизи 30 К, а в диапазоне 30-80 К А^1 практически не зависит от температуры. Появление особенности типа плато на температурной зависимости решеточной теплопроводности А^(Т) декагональной фазы А1-№-Со вдоль направления в квазипериодической плоскости находится в качественном согласии с предсказаниями предложенной в гл. V модели, рассматривающей процессы переброса в твердых телах с квазикристаллическим упорядочением. Плато на кривой решеточной теплопроводности, измеренной вдоль направления в квазипериодической плоскости, наблюдается и для декагональной фазы А1-Си-Со.

Решеточная теплопроводность А]5 вдоль периодического направления проходит через максимум вблизи 25 К и значительно уменьшается с дальнейшим ростом температуры. Такое поведение напоминает кривые решеточной теплопроводности периодических кристаллов, которые в области промежуточных температур порядка О,О30д-О,10о характеризуются переходом от режима рассеяния фононов на границах образца или на электронах проводимости к режиму фононного рассеяния с участием процессов переброса. В интервале температур 0,451,2 К решеточная теплопроводность вдоль периодического направления хорошо описывается степенным законом А^СГ) = АТ^, где С ~ 2. Приблизительно квадратичная по температуре зависимость решеточной теплопроводности может быть связана с рассеянием фононов с участием двухъямных туннелирующих систем [3, 4] или электронов проводимости [15].

В § 18 приводятся результаты по низкотемпературным тепловым свойствам монокристаллов декагональных фаз А1-Си-Со и А1-№-Со, полученные в главе 1П.

В главе IV анализируются данные измерений всех компонент тензора модулей упругости сц*/ декагональной фазы А1-№-Со в температурном интервале 5-290 К, полученые методом резонансной ультразвуковой спектроскопии.

В § 19 обсуждаются упругие свойства квазикристаллов. Зависимость тензора напряжений а1} от тензора деформаций щ} инвариантна по отношению к преобразованию инверсии, поэтому классификация кристаллов по их упругим свойствам соответствует классификации по классам Лауэ. Так, 32 кристаллических класса периодически упорядо-ченых кристаллов объединены в 11 классов Лауэ — по одному классу для триклинной, моноклинной и ромбической систем и по два класса для гексагональной, тетрагональной, ромбоэдрической и кубической систем. Оба трехмерных кристаллических класса икосаэдрической сис-

темы 235 и т35 принадлежат классу Лауэ т35 [16]. Декагональная система состоит из двух классов Лауэ — 10/т и 10/тптпт, объединяющих трехмерные кристаллические классы 10, 10/тп и 1022, 10тт, Т0т2, 10/ттт, соответственно [17].

В системе координат с осью г, выбранной вдоль оси 10-го порядка, свободная упругая энергия декагонального квазикристалла класса Лауэ 10/т или 10/ттт, соответствующая только фононным деформациям, имеет вид

^ = ^схххх(и1х + и\у) + ^сггг2и]г + сххгг(иххигг: + иууигг) +

+ Сххууиххиуу "I" {схххх ~ сххуу)иХу ^схгхг{иХг иуг) ■ СО

Различие между упругими свойствами квазикристаллов с декагональ-ной структурой, принадлежащих к классам Лауэ 10/тп и 10/ттт, появляется лишь при учете модулей упругости третьего порядка или фазонных степеней свободы. Число независимых компонент тензора модулей упругости равно пяти.

Воспользуемся сокращенными обозначениями, часто встречающимися в литературе по упругим свойствам кристаллов. В этих обозначениях компоненты тензора 4-го ранга с1}ы записываются как Сар с двумя индексами, пробегающими значения 1, 2, 3, 4, 5 и 6, которым отвечают пары индексов хх, уу, гг, уг, гх и ху, соответственно [18]. Выражению (7) для свободной энергии соответствует матрица модулей упругости С а/} вида

/ С„ Си С13 0 0 0 \

С\2 Сп Сгз 0 0 0

С13 С\з Сзз 0 0 0

0 0 0 С44 0 0

0 0 0 0 Си 0

V 0 0 0 0 0 Сев /

где

= (9)

Равенство (9) уменьшает число независимых модулей упругости, которые определяют деформацию в плоскости х, у, то есть в квазипериодической плоскости, до двух, как и для изотропной среды. Таким образом, в плоскости, перпендикулярной к оси 10-го порядка, упругие

свойства декагонального квазикристалла изотропны; иначе говоря, де-кагональный квазикристалл обладает свойством поперечной упругой изотропии. Среди периодически упорядоченных твердых тел свойством поперечной упругой изотропии обладают только гексагональные кристаллы [18]. Отметим, для сравнения, что упругие свойства квазикристаллов икосаэдрической системы полностью изотропны — их деформация определяется двумя независимыми модулями упругости. Напомним, что свойством упругой изотропии не обладает ни один из периодически упорядоченных кристаллов — скорость звука анизотропна даже в кубических кристаллах, а их деформация определяется тремя независимыми компонентами тензора модулей упругости.

В § 20 обсуждается экспериментальный подход к установлению факта, обладает ли данная среда свойством поперечной упругой изотропии. В качестве примера рассмотриваются периодически упорядоченные кристаллы класса Лауэ 4/тптт тетрагональной системы, в который входят кристаллические классы 422, 4шт, 42т и 4/ттт. Матрица модулей упругости кристаллов класса Лауэ 4/ттт отличается от матрицы модулей упругости среды с поперечной упругой изотропией только в одном отношении, а именно тем, что

Сыф\(Си-С12). (Ю)

Поэтому представляется полезным сравнить поперечно изотропные среды с тетрагональными кристаллами класса Лауэ 4/ттт, которые наиболее близки к ним по упругим свойствам. Удобной мерой отклонения от поперечной изотропии является азимутальная анизотропия сдвига

Сц— Си . .

= 2Свв (И)

Первое слагаемое в правой части выражения (11) представляет собой отношение квадратов скоростей чистых поперечных волн, поляризованных в кристаллографической плоскости (001) и распространяющихся вдоль кристаллографических направлений [110] и [100]. Для поперечно изотропных сред азимутальная анизотропия сдвига равна нулю.

В § 21 описываются измерения компонент тензора модулей упругости, проводившиеся на монокристаллическом образце декагональной фазы состава А^ИЦбСохз, ограненном в виде прямоугольного параллелепипеда размером порядка 2x1x1 мм3 с ребрами, параллельными осям симметрии второго и десятого порядков. Измерения проводились

методом резонансной ультразвуковой спектроскопии [19], который позволяет определять все компоненты тензора модулей упругости по частотам механических резонансов свободного образца размером порядка 1 мм. Резонансные частоты образца были измерены в диапазоне 13 МГц, в котором наблюдалось в общей сложности 30 резонансов. В зависимости от возбуждаемой моды, добротность исследуемого образца находилась в пределах 1500-2500, что указывает на его высокое акустическое качество.

В то время, как резонансные частоты образца могут быть рассчитаны по известным модулям упругости, для определения модулей упругости по известным резонансным частотам необходимо решение обратной задачи. Резонансные частоты анализировались программой, основанной на минимизации функции

' = (12,

где /, и д, — соответственно расчитанная и измеренная частоты резонанса I, а. N — число измеренных резонансов. Как правило, в тех случаях, когда среднеквадратичное отклонение измеренного спектра от расчитанного не превышает 0,1%, определенные по данному критерию погрешности измерений превышают все ошибки измерений, включая ошибки, связаные с воспроизводимостью, и составляют порядка 1, 0,02 и 3% соответственно для модулей сжатия (Сц, Сзз), сдвига (С44, Сев) и недиагональных модулей [19].

Модули упругости были определены в предположении, что исследуемый квазикристалл обладает, по меньшей мере, симметрией, соответствующей классу Лауэ 4/ттт, так что независимыми являются не более чем шесть компонент матрицы модулей упругости. Среднеквадратичное отклонение при таком анализе резонансных частот составило всего 0,11%, что указывает на прекрасное согласие между измеренными и вычисленными частотами. Погрешности измерений чистых модулей сдвига Сев и С' = |(Сц — С12) составили 0,03%. Анализ спектра резонансных частот в предположении тетрагональной симметрии дал Сев = 0,8845 1012 дин/см2 и С' = 0,8847-1012 дин/см2. Таким образом, азимутальная анизотропия сдвига определяющая предел экспериментальной чувствительности к отклонению от состояния поперечной упругой изотропии, составляет (2 ± 4) • 10~4. То обстоятельство, что величина параметра Л8 не превышает погрешности измерений, указывает на практически совершенную поперечную упругую изотропию,

как и ожидается для декагонального квазикристалла.

Измерения спектра резонансных частот монокристалла декагональ-ной фазы Al-Ni-Co проводились также при нескольких фиксированных температурах в интервале от 5 до 290 К. Поскольку поперечная упругая изотропия этой фазы уже была экспериментально установлена, спектр резонансных частот анализировался в предположении пяти независимых модулей упругости. Установлено, что модули упругости слабо зависят от температуры.

В § 22 обсуждается поверхность обратной фазовой скорости дека-гональной фазы Al-Ni-Co, то есть геометрическое место точек, определяемых радиус-векторами обратной фазовой скорости s = n/t) в пространстве волновых нормалей. Существует три листа поверхности обратной фазовой скорости, обычно обозначаемые в соответствии с поляризацией соответствующих акустических волн: квазипродольной (L) для внутреннего листа и квазисдвиговой (Ti, Т2) для двух внешних листов. Для поперечно изотропных сред зависимость фазовой скорости монохроматической упругой волны от направления волновой нормали дается выражениями [18]

= Сц + ^csin20 (13)

pv2L Tl = С44 + ^ (asin2в + /icos2в) ±

± IJ (a sin2 в + h cos2 в)2 - 4 (ah - d?) sin2 в cos2 в, (14)

где в — угол между вектором волновой нормали п и полярной осью z, а параметры о, с, dvih определены следующим образом: а = Сц - Си, с = Cii—Ci2~2Cu, d = С13+С44, h = С33-С44. В целом, формалистов поверхности обратной фазовой скорости, построенных с использованием выражений (13) и (14) и значений модулей упругости декагональной фазы Al-Ni-Co, измеренных при комнатной температуре, указывает на небольшое отклонение от состояния полной упругой изотропии.

В § 23 рассчитан необходимый для определения вклада длинноволновых акустических мод в низкотемпературную теплоемкость декагональной фазы Al-Ni-Co усредненный обратный куб фазовых скоростей трех акустических мод. Численное интегрирование выражения (6) с учетом выражений (13) и (14) для угловой зависимости скоростей звука vt(6) и модулей упругости, измеренных при Т = 5 К, приводит ки, = 4,9 • 105 см/с.

В § 24 сформулированы результаты по упругим свойствам декаго-нальной фазы А1-№-Со, полученные в главе IV.

В главе V рассматриваются механизмы рассеяния фононов, связанные с особенностями структуры квазикристаллов.

В § 25 обсуждаются спектр возбуждений решетки квазикристалла. Для квазикристаллических решеток существует серия самых сильных гармоник в фурье-образе плотности, волновые вектора которых образуют геометрическую прогрессию

<Ь ос Сп. (15)

Для одномерного квазикристалла (цепочки Фибоначчи) и для трехмерного квазикристалла с г.ц.и. структурой основание С геометрической прогрессии (15) равно г-1, где т = ¿(-^5 + 1) [16].

Решение задачи о собственных колебательных модах цепочки Фибоначчи было получено методом трансфер-матриц, связывающих амплитуды колебаний двух соседних атомов [20, 21]. Из решения для цепочки Фибоначчи известно, что ширины главных щелей спектра возбуждений решетки ведут себя как ш2 [22, 23]. Самые сильные гармоники в фурье-образе плотности трехмерных квазикристаллов возникают от граней атомных поверхностей, используемых при описании структуры квазикристаллов. Зависимость амплитуды этих гармоник от волнового вектора определяется структурным фактором, расчет которого показывает, что и в трехмерном случае следует ожидать той же пропорциональности ширин щелей главной серии квадрату частоты.

В § 26 рассматриваются процессы переброса в квазикристаллах. Явление рассеяния, известное для периодически упорядоченных кристаллов как процесс переброса [24], является следствием взаимодействия между двумя процессами рассеяния. В одном из этих процессов, а именно, в многофононном рассеянии, импульс возбуждения решетки сохраняется. В другом процессе, а именно, в брэгговском отражении, закон сохранения импульса нарушается. Характерное время передачи энергии отраженной акустической волне в этом процессе можно оценить как где Е% — ширина щели в спектре возбуждений решетки. В периодически упорядоченных кристаллах может достигать значений порядка /штах, где ытах — максимальная частота решетки, поэтому брэгговские отражения происходят очень быстро.

Для периодически упорядоченных кристаллов важным является то обстоятельство, что ни один из этих процессов рассеяния, если их рассматривать отдельно, не приведет к тем физическим последствиям,

к которым приводит процесс переброса, например, к конечной теплопроводности. Все сказанное в еще большей степени справедливо для квазикристаллов, в которых ожидается иерархическая структура щелей любой ширины, не превышающих и поэтому брэгговские отражения следует рассматривать как отдельные процессы рассеяния. В дополнение к этому, в квазикристаллах импульс колебательных возбуждений может быть передан решетке малыми порциями, не ограниченными снизу по величине. Напомним, что естественный масштаб для процессов переброса в периодически упорядоченных кристаллах задается вектором обратной решетки. Для квазикристаллов такого масштаба не существует. Это означает, что в то время как в периодических кристаллах вероятность процессов переброса уменьшается экспоненциально при малых частотах (температурах), в квазикристаллах она должна меняться по степенному закону.

Рассмотрим сначала случай структурно модулированных периодических кристаллов. Рассмотрим область фононного спектра, где волна плотности с волновым вектором до привела к формированию щели 8и при <7 = до- Качественно понятно, что модуляция плотности оказывает влияние только на моды с волновыми векторами близкими к до- Более точно, значительная часть отраженных волн присутствует только в модах, для которых

1<? — 9о| < ~ • (16)

Для квазикристаллов ситуация является более сложной. Вместо всего одной гармоники, описывающей модуляцию плотности, как это имеет место в случае периодической сверхструктуры, приходится иметь дело с бесконечным их количеством. Волновые вектора этих гармоник плотно заполняют обратное пространство, так что явное различие между резонансными областями становится невозможным.

Как обсуждалось выше, существует главная серия гармоник плотности. Гармоники главной серии отличаются от всех остальных гармоник амплитудой. Оценка полного объема резонансных областей в обратном пространстве для гармоник главной серии приводит к вероятности рассеяния вновь возникшего фонона гармониками плотности Р ос ш/штах. Малые щели, которые не принадлежат к главной серии, не вносят существенного вклада в рассеяние фононов гармониками плотности.

В § 27 обсуждаются физические последствия, к которым приводит рассеяние фононов гармониками плотности в квазикристаллах. В качестве примера, рассмотриваются процессы переброса, которые вклю-

чают фонон-фононное рассеяние и брэгговское отражение. В предположении, что трехфононные процессы не запрещены законами сохранения и только один фонон в трехфонном процессе имеет низкую частоту, а два других являются тепловыми фононами с частотой порядка квТ/Н, среднее транспортное сечение рассеяния, обусловленное процессами переброса, пропорционально ш2Т4, то есть не является экспоненциальным ни по частоте, ни по температуре, как это имеет мес- ' то для процессов переброса в обычных периодически упорядоченных кристаллах [24]. В пределе низких температур и в предположении, что процессы переброса являются основным источником теплового сопро- " тивления квазикристаллической решетки, приближение Дебая приводит к

А) ос Т~3 . (17)

Далее в § 27 обсуждается то, каким образом процессы переброса могут проявляться на кривых решеточной теплопроводности реальных квазикристаллов. Даже в периодически упорядоченных кристаллах экспериментальное подтверждение режима, в котором процессы переброса определяют тепловое сопротивление А,-1 (Т), путем наблюдения зависимости

А, осГ«е9-/ьт, (18)

где £ и Ь порядка единицы, не является тривиальным. Такое поведение \\(Т) может наблюдаться в ограниченном температурном диапазоне О,(Ш£>-О,10£>, а для его наблюдения необходимы монокристаллы очень высокого структурного качества и высокой изотопической чистоты [15]. Переход, при понижении температуры, к казимировскому режиму теплопроводности, ограниченной границами образца, приводит к максимуму в температурной зависимости фононной теплопроводности. Структурные дефекты, примеси и изотопические неоднородности подавляют этот максимум и меняют соотношение (18). В то же время, даже в поликристаллических образцах и в образцах с примесями наблюдается четко выраженный максимум кривой Х\(Т).

В аналогичном режиме для квазикристаллов, то есть когда тепло- *

вое сопротивление определяется процессами переброса, ожидается, что теплопроводность меняется с температурой по степенному закону, то есть значительно слабее, чем в случае периодических кристаллов. При ^

температурах ниже 1 К, теплопроводность икосаэдрических квазикристаллов ограничена резонансным рассеянием фононов на двухъямных туннелирующих системах и меняется приблизительно как Т2. Этот механизм рассеяния, как правило, уменьшает теплопроводность решетки

до значений, на порядок величины меньших, чем в пределе Казимира. При температурах порядка 100 К теплопроводность решетки медленно растет с температурой — в этой области температур ответственные за транспорт тепла колебательные моды квазикристаллической решетки уже не могут быть представлены как распространяющиеся коллективные возбуждения. Ниже этого высокотемпературного режима на кривой теплопроводности квазикристалла можно выделить две области — область рассеяния фононов на двухъямных туннелирующих системах, в которой ¿Х\/(1Т > 0 и область процессов переброса {¿\\/<1Т < 0).

- Разделяющий эти области максимум значительно ниже и шире, чем

пик между областью рассеяния на границах и областью процессов переброса на кривой теплопроводности периодически упорядоченного (диэлектрического) кристалла. В случае сильного рассеяния фононов туннелирующими системами этот максимум вместе с областью процессов переброса могут вырождаться в плато /в.Т « 0).

В § 28 перечислены полученные в главе V результаты по рассеянию фононов в квазикристаллах.

В заключении сформулированы выводы диссертации:

1. Выполнено систематическое исследование термодинамических и кинетических тепловых свойств двух классов квазикристаллов, с икосаэдрическими и декагональными структурами, а также упругих свойств декагонального квазикристалла в широком диапазоне температур, от 0,065 до 290 К. Проведено их сравнение с соответствующими свойствами периодически упорядоченных кристаллов и веществ в аморфном состоянии. Установлено, что с точки зрения динамических свойств возбуждений решетки квазикристаллы представляют собой самостоятельный класс твердых тел.

2. Обнаружен аномально большой кубический по температуре вклад в низкотемпературную теплоемкость икосаэдрического квазикристалла А1-Мп-Рс1, существенно превышающий дебаевскую теплоемкость. Напротив, для декагонального квазикристалла А1-№-Со кубический вклад совпадает с вкладом возбуждений длинноволновых акустичес-

| ких мод.

3. Выявлена особая роль низкочастотных локализованных состояний, описываемых моделью двухъямных туннелирующих систем, в

* тепловом сопротивлении решетки икосаэдрических квазикристаллов

А1-Мп-Р(1 и А1-11е-Р<1 при низких температурах, ниже 1 К. Установлено, что средняя длина свободного пробега акустических мод ограничена взаимодействием с низкочастотными локализованными состояниями. В этом режиме тепловое сопротивление решетки обратно пропор-

ционально квадрату температуры. В то же время, в отличие от других классов твердых тел с двухъямными туннелирующими системами (стеклами, разупорядоченными кристаллами), параметр деформационного взаимодействия акустических мод с туннелирующими системами существенно зависит как от химического состава, так и от метода синтеза образцов.

4. Обнаружено необычное поведение температурной зависимости решеточной теплопроводности икосаэдрических квазикристаллов, проявляющееся либо как пологий максимум при температурах порядка 20-30 К, либо как А-плато в температурном диапазоне от 15 до 70 К. Такая же особенность обнаружена на кривых теплопроводности решетки декагональных фаз вдоль направления в квазипериодической плоскости.

5. Выявлена специфическая роль процессов переброса в тепловом сопротивлении решетки квазикристаллов. Установлено, что процессы переброса в квазикристаллах приводят к степенной зависимости средней длины свободного пробега фононов от температуры, что приводит к значительно более пологому максимуму кривой решеточной теплопроводности, чем в случае периодических кристаллов.

6. Установлен нижний предел по температуре, порядка 100 К, начиная с которого колебательные моды решетки икосаэдрических квазикристаллов нельзя рассматривать как распространяющиеся коллективные возбуждения. Выше этого предела решеточная теплопроводность икосаэдрических фаз приближается к минимальной теплопроводности, соответствующей режиму средней длины свободного пробега возбуждения решетки порядка половины длины волны возбуждения.

7. Экспериментально определена симметрия тензора модулей упругости декагональных квазикристаллов, на примере декагональной фазы Al-Ni-Co. Измерены все компоненты тензора. Установлено, что в квазипериодической плоскости (перпендикулярной к декагональной оси) упругие свойства изотропны. Обнаружена слабая полярная упругая анизотропия — при переходе от квазипериодической плоскости к периодической декагональной оси изменение скоростей звука не превышает 13%.

Научные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Черников М. А. Упругие свойства икосаэдрических и декагональных квазикристаллов //Успехи физических наук — 2005 — т. 175, Л> 4 - с. 437-444.

2. Черников М. А. К вопросу о низкотемпературной теплоемкости икосаэдрических и декагональных квазикристаллов // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования - 2005 - № 4 - с. 91-103.

3. Черников М. А. Технические применения квазикристаллов // Сборник докладов первого всероссийского совещания по квазикристаллам (апрель 2003) — Москва: Российский научный центр „Курчатовский институт'', 2003 — с. 72—81.

4. Михеева М. Н., Теплов А. А., Буков К. Г., Григорьев М. С., Черников М. А. Приготовление и исследование структуры квазикристаллического сплава Al-Pd-Tc // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования — 2002 — № 3 - с. 17-19.

5. Krisch М., Brand R. A., Chernikov М. А., Ott Н. R. Phonons in the icosahedral quasicrystal i-AlPdMn studied by inelastic X-ray scattering // Physical Review В - 2002 - vol. 65, no. 13 - pp. 134201/1-7.

6. Brand R. A., Krisch M., Chernikov M. A., Ott H. R. Phonons in the icosahedral quasicrystal i-AlPdMn studied by coherent inelastic scattering of synchrotron radiation // Ferroelectrics - 2001 - vol. 250, no. 1-4 - pp. 233-236.

7. Bianchi A. D., Bommeli F., Felder E., Kenzelmann M., Chernikov M. A., Degiorgi L., Ott H. R., Edagawa K. Low-temperature thermal and optical properties of single-grained decagonal Al-Ni-Co qua-sicrystals // Physical Review В - 1998 - vol. 58, no. 6 - pp. 30463056.

8. Wälti Ch., Felder E., Chernikov M. A., Ott H. R., de Boissieu M., Janot C. Lattice excitations in icosahedral Al-Mn-Pd and Al-Re-Pd // Physical Review В - 1998 - vol. 57, no. 17 - pp. 10504-10511.

9. Chernikov M. A., Ott H. R., Bianchi A., Migliori A., Darling T. W. Elastic moduli of a single quasicrystal of decagonal Al-Ni-Co: evidence for transverse elastic isotropy // Physical Review Letters -1998 - vol. 80, no. 2 - pp. 321-324.

10. Bianchi A. D., Bommeli F., Chernikov M. A., Gubler U., Degiorgi L., Ott H. R. Electrical, magneto-, and optical conductivity of quasicrys-tals in the Al-Re-Pd system // Physical Review В - 1997 - vol. 55, no. 9 - pp. 5730-5735.

11. Bianchi A. D., Felder E., Kenzelmann M., Chernikov M. A., Ott H. R., Edagawa K. Low-temperature thermodynamic and thermal-transport properties of decagonal Al-Ni-Co // Proceedings of the 6th International Conference on Quasicrystals. 26-30 May 1997. Tokyo,

Japan / Eds. S. Takeuchi and T. Fujiwara. - Singapore: World Scientific, 1997. - pp. 471-474.

12. Chernikov M. A., Edagawa K., Felder E., Bianchi A. D., Wälti Ch., Kenzelmann M., Ott H. R., de Boissieu M., Janot C., Feuerbacher M., Tamura N., Urban K. Low-temperature lattice excitations and dynamics of quasicrystals from specific heat and thermal conductivity // Proceedings of the 6th International Conference on Quasicrystals. 26-30 May 1997. Tokyo, Japan / Eds. S. Takeuchi and T. Fujiwara.

- Singapore: World Scientific, 1997. - pp. 451-458.

13. Edagawa K., Chernikov M. A., Bianchi A. D., Felder E., Gubler U., Ott H. R. Low-temperature thermodynamic and thermal-transport properties of decagonal А^СигоСо^ // Physical Review Letters -1996 - vol. 77, no. 6 - pp. 1071-1074.

14. Chernikov M. A., Bianchi A., Felder E., Gubler U., Ott H. R. Low-temperature thermal properties of icosahedral Al-Re-Pd // Euro-physics Letters - 1996 - vol. 35, no. 6 - pp. 431-437.

15. Chernikov M. A., Bianchi A., Müller H., Ott H. R. Low-temperature thermal transport in icosahedral Al7oMn9Pd2i // Quasicrystals: Proceedings of the 5th International Conference. 22-26 May 1995. Avignon, France / Eds. C. Janot and R. Mosseri. - Singapore: World Scientific, 1995 - pp. 569-576.

16. Kalugin P. A., Chernikov M. A., Bianchi A., Ott H. R. Structural scattering of phonons in quasicrystals // Physical Review В - 1996

- vol. 53, no. 21 - pp. 14145-14151.

17. Chernikov M. A., Bianchi A., Ott H. R. Low-temperature thermal conductivity of icosahedral Al7oMn9Pd2i // Physical Review В -1995 - vol. 51, no. 1 - pp. 153-158.

18. Chernikov M. A., Bernasconi A., Beeli C., Ott H. R. Low-temperature conductivity and magnetoronductivity of icosahedral Al70Mn9Pd2i // Europhysics Letters - 1993 - vol. 21, no. 7 - pp. 767-772.

19. Chernikov M. A., Bernasconi A., Beeli C., Schilling A., Ott H. R. Low-temperature magnetism in icosahedral Al7oMn9Pd2i // Physical Review В - 1993 - vol. 48, no. 5 - pp. 3058-3065.

ЛИТЕРАТУРА

1. Shechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn J. W. Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry // Physical Review Letters — 1984 — vol. 53, no. 20 — pp. 19511953.

2. Tsai A.-P., Inoue A., Masumoto T. A stable quasicrystal in Al-Cu-Fe system // Japanese Journal of Applied Physics — 1987 — vol. 26, no. 9 — pp. L1505-L150?.

3. Anderson P. W., Halperin B. I., Varma C. M. Anomalous low-temperature thermal properties of glasses and spin glasses. (Ultrasonic attenuation and magnetic impurity systems) // Philosophical Magazine — 1972 — vol. 25, no. 1 — pp. 1-9.

4. Phillips W.A. Tunneling states in amorphous solids // Journal of Low Temperature Physics — 1972 — vol. 7, no. 3/4 — p. 351-360. (1972).

5. Phillips N. E. Low-temperature heat capacity of metals // Critical Reviews in Solid State Sciences — 1971 — vol. 2, no. 4 — pp. 467553.

6. Rockwood S. D., Gregory E. H., Goodstein D. L. A calorimetric measurement of the nuclear quadrupole coupling in pure, single crystal, rhenium metal // Physics Letters A — 1969 — vol. 30, no. 4 — pp. 225-226.

7. Cahill D. G., Pohl R. 0. Heat flow and lattice vibrations in glasses // Solid State Communications — 1989 — vol. 70, no. 10 — pp. 927930.

8. Amazit Y., Fischer M., Perrin B., Zarembowitch A., de Boissieu M. Pressure and temperature dependence of the elastic properties in Al-Mn-Pd quasi-crystal // Europhysics Letters — 1994 — vol. 25, no. 6 — pp. 441-446.

9. Vernier N., Bellessa G., Perrin B., Zarembowitch A., de Boussieu M. Tunnelling states in quasi-crystals / / Europhysics Letters — 1993 — vol. 22, no. 3 — pp. 187-192.

10. Bancel P. A., Heiney P. A. Icosahedral aluminum-transition-metal alloys // Physical Review B — 1986 — vol. 33, no. 12, no. 1 — pp. 7917-7922.

11. Vaks V. G., Kamyshenko V. V., Samolyuk G. D. Possible effects of bandstructure in properties of quasicrystals // Physics Letters A — 1988 — vol. 132, no. 2-3 — pp. 131-136.

12. Friedel J. Do metallic quasicrystals and associated Prank and Kasper phases follow the Hume Rothery rules? / / Helvetica Physica Acta — 1988 — vol. 61, no. 4 — pp. 538-556.

13. Bert F., Bellessa G., Grushko B. Tunneling state anisotropy in a single grain decagonal quasicrystal // Physical Review Letters — 2002 — vol. 88, no. 25 — pp. 255901/1-4.

14. Maradudin A. A., Montroll E. W., Weiss G. H., Ipatova I. P. Theory

of lattice dynamics in the harmonic approximation. — New York: Academic Press, 1971.

15. Berman R. Thermal Conduction in Solids. — Oxford: Claredon Press, 1976. — 193 pp.

16. Levitov L. S., Rhyner J. Crystallography of quasicrystals; application to icosahedral symmetry // Journal de Physique I — 1988 — vol. 49, no. 11 — pp. 1835-1849.

17. Rabson D. A., Mermin N. D., Rokhsar D. S., Wright D. C. The space groups of axial crystals and quasicrystals // Reviews of Modern Physics — 1991 — vol. 63, no. 3 — pp. 699-733.

18. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т. VII. Теория упругости. — 4-е изд., испр. и доп. — М.: Наука, 1987. - 248 с.

19. Migliori A., Sarrao J. L., Visscher W. M., Bell Т. M., Ming Lei, Fisk Z., Leisure R. G. Resonant ultrasound spectroscopic techniques for measurement of the elastic moduli of solids // Physica В — 1993 — vol. 183, no. 1-2 — pp. 1-24.

20. Китаев А. Ю. Об электронных свойствах трехмерного квазикристалла со слабым потенциалом // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики — 1986 — т. 48, № 5, с. 270-272.

21. Lu Jian Ping, Odagaki Т., Birman J. L. Properties of one-dimensional quasilattices // Physical Review В — 1986 — vol. 33, no. 7 — pp. 4809-4817.

22. Калугин П. А., Китаев А. Ю., Левитов Л. С. Электронный спектр одномерного квазикристалла // Журнал экспериментальной и теоретической физики — 1986 — т. 91, № 2 — с. 692—670.

23. Sutherland В., Kohmoto М. Resistance of a one-dimensional qua-sicrystal: power-law growth // Physical Review В — 1987 — vol. 36, no. 11 — pp. 5877-5886.

24. Peierls R. Zur kinetischen Theorie der Warmeleitung in Kristallen // Annalen der Physik — 1929 — Band 3, Heft 3 — S. 1055-1100.

Подписано в печать 21.04.2005. Формат 60x90/16 Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,75 Тираж 55. Заказ 30

Отпечатано в РНЦ «Курчатовский институт» 123182, Москва, пл. Академика Курчатова

№-8 460

РНБ Русский фонд

2006-4 5211

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Черников, Михаил Альбертович

Введение.

Глава I. Структура и свойства квазикристаллов

§ 1. Квазикристаллические структуры

§ 2. Электронные свойства

§ 3. Сверхпроводимость и магнетизм

§ 4. Динамика решетки.

§ 5. Тепловые и упругие свойства

§ 6. Технические применения

Глава II. Тепловые свойства икосаэдрических фаз Al-Re-Pd и

Al-Mn-Pd

§ 7. Приготовление образцов

§ 8. Теплоемкость икосаэдрической фазы Al-Re-Pd.

§ 9. Теплопроводность икосаэдрической фазы Al-Re-Pd

§ 10. Теплоемкость икосаэдрической фазы Al-Mn-Pd

§ 11. Теплопроводность икосаэдрической фазы Al-Mn-Pd

§ 12. Выводы главы II

Глава III. Тепловые свойства декагональных фаз Al-Cu-Co и

Al-Ni-Co.

§ 13. Приготовление образцов.

§ 14. Теплоемкость декагональной фазы Al-Cu-Co

§ 15. Теплопроводность декагональной фазы Al-Cu-Co.

§ 16. Теплоемкость декагональной фазы Al-Ni-Co

§ 17. Теплопроводность декагональной фазы Al-Ni-Co

§ 18. Выводы главы III

Глава IV. Упругие свойства декагональной фазы Al-Ni-Co

§ 19. Упругие свойства квазикристаллов.

§ 20. Поперечная упругая изотропия и анизотропия v*

§ 21. Модули упругости декагональной фазы Al-Ni-Co

§ 22. Поверхность обратной фазовой скорости

§ 23. Акустический вклад в низкотемпературную теплоемкость

§ 24. Выводы главы IV

Глава V. Рассеяние фононов в квазикристаллах

§ 25. Фононы в квазикристаллах.

§ 26. Процессы переброса в квазикристаллах

§ 27. Решеточная теплопроводность квазикристаллов

§ 28. Выводы главы V.

Введение диссертация по физике, на тему "Особенности тепловых и упругих свойств квазикристаллов при низких температурах"

Квазикристаллы обладают многими свойствами, характерными для твердых тел с периодической структурой, например, дифрактограммами с острыми пиками и огранкой. Корреляционная длина структуры квазикристаллов, определенная по результатам рентгеноструктурного анализа, достигает нескольких микрометров, что ставит квазикристаллы по структурному качеству в один ряд с самыми совершенными периодически упорядоченными кристаллами. В то же время, квазикристаллы принципиально отличаются от периодически упорядоченных кристаллов отсутствием трансляционной симметрии. Они имеют особый тип апериодического дальнего порядка и могут обладать вращательной симметрией, несовместимой с периодичностью.

За открытием Шехтманом с соавторами икосаэдрической симметрии в метастабильных сплавах А1-Мп, полученных методом быстрой закалки расплава [1], последовали интенсивные исследования возможного влияния квазипериодичности на физические свойства. Вскоре, однако, было ^ обнаружено, что метастабильные сплавы А1-Мп, а также и другие метастабильные квазикристаллы обладают высокой степенью беспорядка и зачастую содержат включения периодически упорядоченных интерметаллических соединений, что осложнило поиск предполагаемых необычных физических свойств. Результаты, полученные на образцах метастабильных фаз, указывали на то, что по своим физическим свойствам квазикристаллы близки к разупорядоченным металлам. Таким образом, первые эксперименты не смогли выявить каких-либо существенных осо-* бенностей, а многие результаты оказались связанными с несовершенством структуры матералов.

Новые возможности для экспериментального исследования свойств твердых тел с квазикристаллической структурой появились после от-V* крытия в тройных системах А1—Си—(Fe, Ru, Os) термодинамически стабильных фаз, которые кристаллизуются в гранецентрированной икоса-эдрической (г.ц.и.) структуре [2, 3]. Первые же эксперименты, проведенные на этих фазах, показали, что квазикристаллы следует причислять к отдельному и весьма необычному классу веществ [4], сочетающих как свойства стекол, так и свойства, характерные для периодически упоря-л доченных кристаллов.

Удобным объектом для исследований возможных нетривиальных физических свойств оказалась открытая вскоре термодинамически стабильная фаза с г.ц.и. структурой в тройной системе А1—Mn—Pd [5, 6], брэг-говские пики которой не уширены структурными дефектами даже без отжига. Равновесная фазовая диаграмма тройной системы А1—Mn—Pd позволяет выращивать монокристаллы икосаэдрической фазы стандартными методами роста кристаллов, что дало возможность провести детальные исследования структуры этой фазы и ее свойств. Высокая степень структурного совершенства монокристаллов икосаэдрической фазы

Al-Mn-Pd была подтверждена наблюдением аномального прохождения рентгеновских лучей, то есть эффекта Боррманна [7, 8, 9]. Другим объектом, привлекшим внимание исследователей, оказалась фаза Al-Re-Pd с г.ц.и. структурой, которая обладает, в зависимости от химического состава, очень низкими значениями электропроводности при низких температурах, сравнимыми со значениями, характерными для легированных полупроводников [10, 11, 12].

К интересным объектам исследований относятся и декагональные квазикристаллы, упорядоченые периодически вдоль оси симметрии десятого порядка и квазипериодически в плоскости перпендикулярной этой оси, то есть обладающие структурными свойствами периодических кристаллов и квазикристаллов [13, 14]. Открытие Хе с соавторами [15] v* и Цаем с соавторами [16] термодинамически стабильных декагональных квазикристаллов соответственно в тройных системах А1—Си—Со и А1—Ni—Со, равновесные фазовые диаграммы которых позволяют выращивать монокристаллы значительного размера [17, 18, 19, 20, 21], позволило проводить сравнительные исследования свойств как периодически, так и квазипериодически упорядоченных твердых тел вдоль разных на-^ правлений одного и того же монокристаллического образца [22, 23].

Одной из удивительных особенностей квазикристаллов с совершенной структурой оказалось сочетание высокого структурного качества с транспортными свойствами, напоминающими транспортные свойства разупорядоченных материалов. Например, зависимости электропроводности квазикристаллов от температуры и внешнего магнитного поля имеют особенности, которые, как правило, наблюдаются в стеклах. Неожиданным результатом оказались и крайне низкие значения коэффициента теплопроводности квазикристаллов, характерные для стекол. Тем не менее, поскольку структура квазикристаллов существенно отличается [t от структуры веществ в аморфном состоянии, представляется несправедливым утверждать, что свойства квазикристаллов определяются теми же самыми механизмами, что и свойства аморфных веществ. Перечисленные наблюдения привели к бурному росту экспериментальных и теоретических исследований как электронных свойств квазикристаллов, так и свойств возбуждений квазикристаллической решетки и послужили стимулом постановки цикла исследовний, представленных в настоящей диссертации.

• Основная цель диссертационной работы состояла в том, чтобы на основе экспериментального исследования теплоемкости и теплопроводности икосаэдрических (Al-Mn-Pd, Al-Re-Pd) и декагональных (Al-Cu-Co,

Al-Ni-Co) квазикристаллов, а также упругих свойств декагонального ква-vt зикристалла Al-Ni-Co выяснить в какой степени представления о низкочастотных возбуждениях решетки, сложившиеся для периодически упорядоченных кристаллов и аморфных веществ, справедливы для квазикристаллов и сформировать представления, применимые к этому новому классу твердых тел.

На защиту выносятся перечисленные ниже результаты исследования ^ тепловых и упругих свойств свойств квазикристаллов при низких температурах.

Исследование теплоемкости икосаэдрической фазы Al-Mn-Pd. Установлено, что кубический по температуре вклад в низкотемпературную теплоемкость существенно превышает вклад модели Дебая.

Исследование транспорта тепла в икосаэдрических квазикристаллах Al-Mn-Pd и Al-Re-Pd в различных диапазонах температур от 0,06 до 110 К. Показано, что при температурах ниже 1 К средняя длина свободного пробега акустических мод определяется рассеянием на возбуждениях двухъямных туннелирующих систем. Установлено, что при более высоких температурах зависимость решеточной теплопроводности икосаэдрических фаз Al-Mn-Pd и Al-Re-Pd от температуры характеризуется соответственно пологим максимумом при 20 К и особенностью типа А-плато между 15 и 70 К, которые связаны с переходом, при повышении температуры, к режиму рассеяния акустических мод с участием процессов переброса. Показано, что в области температур порядка 100 К решеточная теплопроводность икосаэдрических фаз близка к минимальной теплопроводности, соответствующей режиму средней длины свободного • пробега возбуждения решетки порядка половины длины волны возбуждения.

Экспериментальное определение симметрии тензора модулей упругости декагональных квазикристаллов на примере декагональной фазы Al-Ni-Co. Измерение всех компонент тензора модулей упругости в интервале температур от 5 до 290 К. Расчет акустического вклада в теплоемкость Al-Ni-Co по данным низкотемпературных измерений модулей упругости.

Исследование низкотемпературной теплоемкости монокристаллов декагональных фаз Al-Cu-Co и Al-Ni-Co. Установлено, что кубический по ^ температуре вклад в теплоемкость монокристалла декагональной фазы

Al-Ni-Co в пределах погрешности эксперимента равен вкладу длинноволновых акустических мод.

Измерение температурных зависимостей теплопроводности монокристаллов декагональных фаз Al-Cu-Co и Al-Ni-Co вдоль периодического направления и вдоль направления в квазипериодической плоскости. Установлено, что для обеих декагональных фаз температурная зависимость решеточной теплопроводности вдоль периодического направления проходит через максимум вблизи 25 К, типичный для периодических кристаллов, а характерной особенностью решеточного вклада в теплопроводность вдоль направления в квазипериодической плоскости является широкое А-плато между 30 и 70 К.

Расчет теплового сопротивления решетки квазикристалла. Установлено, что в квазикристаллах процессы переброса приводят к степенной зависимости средней длины свободного пробега делокализованных возбуждений решетки от температуры, в отличие от экспоненциальной температурной зависимости средней длины свободного пробега фоно-нов, обусловленной процессами переброса в кристаллах с периодичес-* кой структурой. Показано, что такая более слабая температурная зависимость приводит к тому, что максимум на кривой температурной зависимости решеточной теплопроводности реальных квазикристаллов становится более пологим или превращается в Л-плато.

Диссертация состоит из пяти глав и заключения. Первая глава представляет собой обзор литературы по структуре квазикристаллов и их свойствам. Вторая глава посвящена экспериментальным исследованиям теплоемкости и теплопроводности квазикристаллов Al-Mn-Pd и Al-Re-Pd с икосаэдрической структурой при низких температурах. Третья глава глава содержит результаты исследования теплоемкости и теплопроводности монокристаллов декагональных фаз Al-Cu-Co и Al-Ni-Co. В четвертой главе изложены результаты исследования упругих свойств монокристалла декагональной фазы Al-Ni-Co. Исследованию теплового сопротивления квазикристаллов, связанного с особенностями фононных процессов переброса в твердых телах с квазикристаллической структурой, посвящена пятая глава. Наконец, в заключении перечислены выводы диссертации.

Научные результаты диссертации опубликованы в работах [24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42].

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

Результаты исследования тепловых и упругих свойств квазикристаллов при низких температурах, полученные впервые:

1. Выполнено систематическое исследование термодинамических и кинетических тепловых свойств двух классов квазикристаллов, с икоса-эдрическими и декагональными структурами, а также упругих свойств декагонального квазикристалла в широком диапазоне температур, от 0,065 до 290 К. Проведено их сравнение с соответствующими свойствами периодически упорядоченных кристаллов и веществ в аморфном состоянии. Установлено, что с точки зрения динамических свойств возбуждений решетки квазикристаллы представляют собой самостоятельный класс твердых тел.

2. Обнаружен аномально большой кубический по температуре вклад в низкотемпературную теплоемкость икосаэдрического квазикристалла Al-Mn-Pd, существенно превышающий дебаевскую теплоемкость. Напротив, для декагонального квазикристалла Al-Ni-Co кубический вклад совпадает с вкладом возбуждений длинноволновых акустических мод.

3. Выявлена особая роль низкочастотных локализованных состояний, описываемых моделью двухъямных туннелирующих систем, в тепловом сопротивлении решетки икосаэдрических квазикристаллов Al-Mn-Pd и Al-Re-Pd при низких температурах, ниже 1 К. Установлено, что средняя длина свободного пробега акустических мод ограничена взаимодействием с низкочастотными локализованными состояниями. В этом режиме тепловое сопротивление решетки обратно пропорционально квадрату температуры. В то же время, в отличие от других классов твердых тел с двухъямными туннелирующими системами (стеклами, разупорядоченными кристаллами), параметр деформационного взаимодействия акустических мод с туннелирующими системами существенно зависит как от химического состава, так и от метода синтеза образцов.

4. Обнаружено необычное поведение температурной зависимости решеточной теплопроводности икосаэдрических квазикристаллов, проявляющееся либо как пологий максимум при температурах порядка 2030 К, либо как Л-плато в температурном диапазоне от 15 до 70 К. Такая же особенность обнаружена на кривых теплопроводности решетки декагональных фаз вдоль направления в квазипериодической плоскости.

В заключение я пользуюсь случаем выразить глубокую благодарность своему учителю X. Р. Отту за многочисленные советы и постоянный интерес к моей работе. Я весьма признателен К. Беели, Р. А. Бранду, А. Д. Бианки, П. А. Калугину, М. Кришу, А. Миглиори, М. Н. Михеевой, А. А. Теплову, Э. Фельдеру, М. Фойербахеру и К. Эдагаве, совместно с которыми проводились исследования свойств квазикристаллов, а также Дж. JI. Бирману и JL С. Левитову за обсуждение спектров элементарных возбуждений в квазикристаллах и Н. А. Черноплекову за обсуждение особенностей плотности колебательных состояний в металлах с примесями и сплавах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список источников диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Черников, Михаил Альбертович, Москва

1. Shechtman D., Blech 1., Gratias D., Cahn J. W. Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry // Physical Review Letters - 1984 - vol. 53, no. 20 - pp. 1951-1953.

2. Tsai A.-P., Inoue A., Masumoto T. A stable quasicrystal in Al-Cu-Fe system // Japanese Journal of Applied Physics 1987 - vol. 26, no. 9- pp. L1505-L1507.

3. Tsai A.-P., Inoue A., Masumoto T. New stable icosahedral Al-Cu-Ru and Al-Cu-Os alloys // Japanese Journal of Applied Physics 1988 -vol. 27, no. 9 - pp. 1587-1590.

4. Kimura K., Kishi K., Hashimoto Т., Takeuchi S., Shibuya T. Electrical resisitivities of stable quasicrystals // Materials Science and Engineering A 1991 - vol. 133, pp. 94-97.

5. Tsai A.-P., Inoue A., Yokoyama Y., Masumoto T. Stable icosahedral Al-Pd-Mn and Al-Pd-Re alloys // Materials Transactions JIM 1990- vol. 31, no. 2 pp. 98-103.

6. Beeli C., Nissen H.-U., Robadey J. Stable Al-Mn-Pd quasicrystals // Philosophical Magazine Letters 1991 - vol. 63, no. 2 - pp. 87-95.

7. Berenson R., Birman J. L. Anomalous transmission of X-rays through a quasicrystal // Physical Review В 1986 - vol. 34, no. 12 - pp. 89268928.

8. Kycia S. W., Goldman A. I., Lograsso T. A., Delaney D. W., Black D., Sutton M., Dufresne E., Bruning R., Rodricks B. Dynamical X-ray diffraction from an icosahedral quasicrystal // Physical Review В -1993 vol. 48, no. 5 - pp. 3544-3547.

9. Hartwig J., Agliozzo S., Baruchel J., Colella R., de Boissieu M., Gastaldi J., Klein H., Mancini L., Wang J. Anomalous transmission of X-rays inquasicrystals // Journal of Physics D: Applied Physics 2001 - vol. 34, no. 10A - pp. 103-108.

10. Akiyama H., Honda Y., Hashimoto Т., Edagawa K., Takeuchi S. Towards insulating quasicrystalline alloy in Al-Pd-Re icosahedral phase // Japanese Journal of Applied Physics 1993 - vol. 32, no. 7B -pp. L1003-L1004.

11. Pierce F. S., Poon S. J., Guo Q. Electron localization in metallic quasicrystals // Science 1993 - vol. 261, no. 5122 - pp. 737-739.

12. Pierce F. S., Guo Q., Poon S. J. Enhanced insulatorlike electron transport behavior of thermally tuned quasicrystalline states of Al-Pd-Re alloys // Physical Review Letters 1994 - vol. 73, no. 16 - pp. 22202223.

13. Steurer W., Kuo К. H. Five-dimensional structure analysis of decagonal a165cu2oco15 // Acta Crystallographica, Section B: Structural Crystallography and Crystal Chemistry 1990 - vol. 46, pt. 6 - pp. 703-712.

14. Steurer W., Haibach Т., Zhang В., Kek S., Luck R. The structure of decagonal AlyoNiisCois // Acta Crystallographica В 1993 - vol. 49, pt. 4 - pp. 661-675.

15. He L. X., Wu Y. K., Kuo К. H. Decagonal quasicrystals with different periodicities along the tenfold axis in rapidly solidified AI65CU20M15 (M = Mn, Fe, Co or Ni) // Journal of Materials Science Letters 1988- vol. 7, no. 12 pp. 1284-1286.

16. Tsai A.-P., Inoue A., Masumoto T. New decagonal Al-Ni-Fe and Al-Ni-Co alloys prepared by liquid quenching // Materials Transactions JIM- 1989 vol. 30, no. 2 - pp. 150-154.

17. Kortan a. R., Thiel F. a., Chen H. S., Tsai a.-P., Inoue a., Masumoto T. Stable tenfold faceted single-grain decagonal quasicrystals of a165cui5co2o // Physical Review В 1989 - vol. 40, no. 13 - pp. 93979399.

18. Grushko В., Urban, К. A comparative study of decagonal quasicrys-talline phases // Philosophical Magazine В 1994 - vol. 70, no. 5 -pp. 1063-1075.

19. Edagawa K., Tamaru H., Yamaguchi S., Suzuki K., Takeuchi S. Ordered and disordered phases in Al-Ni-Co decagonal quasicrystals // Physical Review В 1994 - vol. 50, no. 17 - pp. 12413-12420.

20. Godecke Т., Scheffer M., Luck R., Ritsch S., Beeli C. Formation and phase boundaries of (Со,№)зАЦ and the ternary X-phase in the Al-AlCo-AINi system // Zeitschrift fur Metallkunde 1997 - vol. 88, no. 9 - pp. 687-697.

21. Godecke T. Liquidus projections surface and phase equilibria with liquid of the Al-AlCo-AINi ternary subsystem // Zeitschrift ftir Metallkunde 1997 - vol. 88, no. 7 - pp. 557-569.

22. Li Shu-yuan, Wang Xue-mei, Lu Li, Zhang Dian-lin, He L. X., Kuo К. H. Anisotropic transport properties of a stable two-dimensional quasicrystal: Al62Si3Cu2oCoi5 // Physical Review В 1990 - vol. 41, no. 13 - pp. 9625-9627.

23. Basov D. N., Timusk Т., Barakat F., Greedan J., Grushko B. Anisotropic optical conductivity of decagonal quasicrystals // Physical Review Letters 1994 - vol. 72, no. 12 - pp. 1937-1940.

24. Черников M. А. Упругие свойства икосаэдрических и декагональ-ных квазикристаллов // Успехи физических наук — 2005 — т. 175, № 4 с. 437-444.

25. Черников М. А. К вопросу о низкотемпературной теплоемкости икосаэдрических и декагональных квазикристаллов // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования 2005 - № 4 - с. 91-103.

26. Черников М. А. Технические применения квазикристаллов // Сборник докладов первого всероссийского совещания по квазикристаллам (апрель 2003) — Москва: Российский научный центр „Курчатовский институт", 2003 — с. 72—81.

27. Михеева М. Н., Теплов А. А., Буков К. Г., Григорьев М. С., Черников М. А. Приготовление и исследование структуры квазикристаллического сплава Al-Pd-Tc // Поверхность. Рентгеновские, син-хротронные и нейтронные исследования — 2002 — № 3 — с. 17—19.

28. Krisch М., Brand R. A., Chernikov М. A., Ott Н. R. Phonons in the icosahedral quasicrystal i-AlPdMn studied by inelastic X-ray scattering // Physical Review В 2002 - vol. 65, no. 13 - pp. 134201/1-7.

29. Brand R. A., Krisch M., Chernikov M. A., Ott H. R. Phonons in the icosahedral quasicrystal i-AlPdMn studied by coherent inelastic scattering of synchrotron radiation // Ferroelectrics 2001 - vol. 250, no. 1-4 - pp. 233-236.

30. Walti Ch., Felder E., Chernikov M. A., Ott H. R., de Boissieu M., Janot C. Lattice excitations in icosahedral Al-Mn-Pd and Al-Re-Pd // Physical Review В 1998 - vol. 57, no. 17 - pp. 10504-10511.

31. Chernikov M. A., Ott H. R., Bianchi A., Migliori A., Darling T. W. Elastic moduli of a single quasicrystal of decagonal Al-Ni-Co: evidence for transverse elastic isotropy // Physical Review Letters 1998 -vol. 80, no. 2 - pp. 321-324.

32. Bianchi A. D., Bommeli F., Chernikov M. A., Gubler U., Degiorgi L., Ott H. R. Electrical, magneto-, and optical conductivity of quasicrystalsin the Al-Re-Pd system // Physical Review В 1997 - vol. 55, no. 9 -pp. 5730-5735.

33. Edagawa K., Chernikov M. A., Bianchi A. D., Felder E., Gubler U., Ott H. R. Low-temperature thermodynamic and thermal-transport properties of decagonal AI65CU20C015 // Physical Review Letters 1996 -vol. 77, no. 6 - pp. 1071-1074.

34. Chernikov M. A., Bianchi A., Felder E., Gubler U., Ott H. R. Low-temperature thermal properties of icosahedral Al-Re-Pd // Europhysics Letters 1996 - vol. 35, no. 6 - pp. 431-437.

35. Kalugin P. A., Chernikov M. A., Bianchi A., Ott H. R. Structuralscattering of phonons in quasicrystals // Physical Review В 1996- vol. 53, no. 21 pp. 14145-14151.

36. Chernikov M. A., Bianchi A., Ott H. R. Low-temperature thermal conductivity of icosahedral Al7oMn9Pd2i // Physical Review В 1995 -vol. 51, no. 1 - pp. 153-158.

37. Chernikov M. A., Bernasconi A., Beeli C., Ott H. R. Low-temperature conductivity and magnetoconductivity of icosahedral Al7oMngPd2i // Europhysics Letters 1993 - vol. 21, no. 7 - pp. 767-772.

38. Chernikov M. A., Bernasconi A., Beeli C., Schilling A., Ott H. R. Low-temperature magnetism in icosahedral Al7oMngPd2i // Physical Review В 1993 - vol. 48, no. 5 - pp. 3058-3065.

39. International Union of Crystallography. Report of the Executive Committee for 1991 // Acta Crystallographica A 1992 - vol. 48 - pp. 922946.

40. Feng Y. C., Lu G., Ye H. Q., Kuo К. H., Withers R. L., Van Tendeloo G. Experimental evidence for and a projection model of a cubic quasi-crystal // Journal of Physics-Condensed Matter 1990 - vol. 2, no. 49- pp. 9749-9755.

41. Donnadieu P., Su Huanglung, Proult A., Harmelin M., Effenberg G., Aldinger F. From modulated phases to a quasiperiodic structure with a cubic point group and inflation symmetry // Journal de Physique I- 1996 vol. 6, no. 9 - pp. 1153-1164.

42. Donnadieu P., Harmelin M., Su Huanglung, Seifert H.-J., Effenberg G.,

43. Aldinger F. A quasicrystal with inflation symmetry and no forbidden symmetry axes in a rapidly solidified Mg-Al alloy // Zeitschrift fur Metallkunde 1997 - vol. 88, no. 1, - pp. 33-37.

44. Donnadieu P. The deviations of the Al6Li3Cu quasicrystal from icosahedral symmetry: a reminiscence of a cubic crystal // Journal de Physique I 1994 - vol. 4, no. 5 - pp. 791-799.

45. Drager J., Lifshitz R., Mermin N. D. Tetrahedral Quasicrystals. // Quasicrystals: Proceedings of the 5th International Conference. 22-26 May 1995. Avignon, France / Eds. C. Janot and R. Mosseri. Singapore: World Scientific, 1995. - pp. 72-75.

46. Selke H., Vogg U., Ryder P. L. New quasiperiodic phase in AI85Cr15 // Physica Status Solidi A 1994 - vol. 141, no. 1 - pp 31-41.

47. Menguy N., de Boissieu M., Guyot P., Audier M., Elkaim E., Lauriat J. P. Modulated icosahedral AI-Fe-Cu phase: a single crystal x-ray diffraction study // Journal of Non-Crystalline Solids 1993 - vol. 153154 - pp. 620-622.

48. Kalugin P. A., Kitaev A. Yu., Levitov L. S., 6-dimensional properties of Alo.8eMno.i4 alloy // Journal de Physique (Paris), Lettres 1985 -vol. 46, no. 13 - pp. L601-L607.

49. Janner A., Janssen T. Symmetry of periodically distorted crystals // Physical Review В 1977 - vol. 15, no. 2 - pp. 643-658.

50. Janner A., Janssen T. Superspace groups // Physica A 1979 - vol. 99, no. 1-2 - pp. 47-76.

51. Janner A., Janssen T. Symmetry of incommensurate crystal phases. I. Commensurate basic structures // Acta Crystallographica A 1980 -vol. 36, pt. 3 - pp. 399-408.

52. Bak P. Icosahedral crystals: where are the atoms? // Physical Review Letters 1986 - vol. 56, no. 8 - pp. 861-864.

53. Bak P. Icosahedral crystals from cuts in six-dimensional space // Scripta Metallurgica 1986 - vol. 20, no. 9 - pp. 1199-1204.

54. Janssen T. Crystallography of quasi-crystals // Acta Crystallographica A 1986 - vol. 42, pt. 4 - pp. 261-271.

55. Gratias D., Cahn J. W., Mozer B. Six-dimensional Fourier analysis of the icosahedral Al73Mn2iSi6 alloy // Physical Review В 1988 - vol. 38, no. 3 - pp. 1643-1646.

56. Levine D., Steinhardt P. J. Quasicrystals: a new class of ordered structures // Physical Review Letters 1984 - vol. 53, no. 26 - pp. 24772480.

57. Goldman A. I., Kelton R. F. Quasicrystals and crystalline approxi-mants. // Reviews of Modern Physics 1993 - vol. 65, no. 1 - pp. 213230.

58. Gratias D., Katz A., Quiquandon M. Geometry of approximant structures in quasicrystals // Journal of Physics-Condensed Matter 1995 - vol. 7, no. 48 - pp. 9101-9125.

59. Steurer W., Haibach T. Crystallography of quasicrystals // Physical properties of quasicrystals / Ed. Z. M. Stadnik. Berlin: Springer-Verlag, 1999 - pp. 51-90.

60. Duneau M., Oguey С. Ideal AlMnSi quasicrystal: a structural model with icosahedral clusters // Journal de Physique I 1989 - vol. 50, no. 2 - pp. 135-146.

61. Cornier-Quiquandon M., Quivy M., Lefebvre S., Elkaim E., Heger G., Katz A., Gratias D. Neutron-diffraction study of icosahedral Al-Cu-Fe single quasicrystals // Physical Review В 1991 - vol. 44, no. 5 — pp. 2071-2084.

62. Boudard M., de Boisseau M. Experimental determination of the structure of of quasicrystals // Physical properties of quasicrystals / Ed. Z. M. Stadnik. Berlin: Springer-Verlag, 1999 - pp. 91-126.

63. Прекул А. Ф., Рольщиков А. В., Щеголихина H. И. Исследование собственной проводимости квазикристаллов Al-Cu-Fe в модели бесщелевого полупроводника // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики — 1997 — т. 65, № 4, с. 338—340.

64. Fudjiwara Т. Theory of electronic structure in quasicrystals // Physical properties of quasicrystals / Ed. Z. M. Stadnik. Berlin: Springer-Verlag, 1999 - pp. 169-207.

65. Rapp O. Electronic transport properties of quasicrystals // Physical properties of quasicrystals / Ed. Z. M. Stadnik. Berlin: Springer-Verlag, 1999 - pp. 127-167.

66. Klein Т., Gozlan A., Berger C., Cyrot-Lackmann F., Calvayrac Y., Quivy A. Anomalous transport properties in pure AlCuFe icosahedral phases of high structural quality // Europhysics Letters 1990 - vol. 13, no. 2 - pp. 129-134.

67. Biggs B. D., Poon S. J., Munirathnam N. R. Stable Al-Cu-Ru icosahedral crystals: a new class of electronic alloys // Physical Review Letters 1990 - vol. 65, no. 21 - pp. 2700-2703.

68. Lindqvist P., Berger C., Klein Т., Lanco P., Cyrot-Lackmann F., Calvayrac Y. Role of Fe and sign reversal of the Hall coefficient in qua-sicrystalline Al-Cu-Fe // Physical Review В 1993 - vol. 48, no. 1 -pp. 630-633.

69. Kirihara K., Nagata Т., Kimura K. Thermoelectric properties of AlPdRe icosahedral alloys // Journal of Alloys & Compounds 2002 - vol. 342, pp. 469-472.

70. Kirihara K., Kimura K. Composition dependence of thermoelectric properties of AlPdRe icosahedral quasicrystals. Journal of Applied Physics 2002 - vol. 92, no. 2, pp. 979-986.

71. Homes С. C., Timusk Т., Wu X., Altounian Z., Sahnoune A., Strom-Olsen J. O. Optical conductivity of the stable icosahedral quasicrystal Al63.5Cu24.5Fei2 // Physical Review Letters 1991 - vol. 67, no. 19 -pp. 2694-2696.

72. Degiorgi L., Chernikov M. A., Beeli C., Ott H. R. The electrodynamic response of the icosahedral quasicrystal Al7oMngPd2i // Solid State Communications 1993 - vol. 87, no. 8 - pp. 721-726.

73. Basov D. N., Pierce F. S., Volkov P., Poon S. J., Timusk T. Optical conductivity of insulating Al-based alloys: comparison of quasiperiodicand periodic systems // Physical Review Letters 1994 - vol. 73, no. 13 - pp. 1865-1868.

74. Vekilov Yu. Kh., Isaev Б. I., Arslanov S. F. Influence of phason flips, magnetic field, and chemical disorder on the localization of electronic states in an icosahedral quasicrystal // Physical Review В 2002 -vol. 62, no. 21 - pp. 14040-14048.

75. Burkov S. E., Varlamov A. A., Livanov D. V. Electronic transport in quasicrystals: an approach to scattering with fractional multicompo-nent Fermi surfaces // Physical Review В 1996 - vol. 53, no. 17 -pp. 11504-11510.

76. Оленев Д. В., Исаев Е. И., Векилов Ю. X. Электронный спектр и волновые функции икосаэдрического квазикристалла // Журнал экспериментальной и теоретической физики — 1998 — т. 113, № 3 — с. 1009-1025.

77. Векилов Ю. X., Исаев Е. И. Электронная проводимость квазикристаллов при низких температурах // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики — 2002 — т. 75, N2 11 — с. 583—584.

78. Wong К. М., Lopdrup Е., Wagner J. L., Shen Y., Poon S. J. Transport and superconducting properties of the Mg32(Al,Zn)4g-type quasicrys-talline and crystalline phases // Physical Review В 1987 - vol. 35, no. 5 - pp. 2494-2497.

79. Graebner J. E., Chen H. S. Specific heat of an icosahedral superconductor Mg3Zn3Al2 // Physical Review Letters 1987 - vol. 58, no. 19- pp. 1945-1948.

80. Graebner J. E., Golding В., Schutz R. J., Hsu F. S. L., Chen H. S. Low-temperature properties of a superconducting disordered metal // Physical Review Letters 1977 - vol. 39, no. 23 - pp. 1480-1483.

81. Azhazha V., Grib A., Khadzhay G., Malikhin S., Merisov В., Puga-chov A. Superconductivity of Ti-Zr-Ni alloys containing quasicrystals // Physics Letters A 2002 - vol. 303, no. 1 - pp. 87-90.

82. Matsuo S., Nakano H., Ishimasa Т., Fukano Y. Magnetic properties and the electronic structure of a stable Al-Cu-Fe icosahedral phase // Journal of Physics-Condensed Matter 1989 - vol. 1, no. 38 - pp. 68936899.

83. Klein Т., Berger C., Mayou D., Cyrot-Lackmann F. Proximity of a metal-insulator transition in icosahedral phases of high structural quality // Physical Review Letters 1991 - vol. 66, no. 22, pp. 2907-2910.

84. Liick R., Kek S. Magnetothermal analysis of the decagonal phases Al65Cu2oCoi5 and Al7oNii5Coi5 // Journal of Non-Crystalline Solids- 1993 vol. 153-154 - pp. 329-333.

85. Hattori Y., Niikura A., Tsai A.-P., Inoue A., Masumoto Т., Fukamichi K., Aruga-Katori H., Goto T. Spin-glass behaviour of icosahedral Mg-Gd-Zn and Mg-Tb-Zn quasi-crystals // Journal of Physics-Condensed Matter 1995 - vol. 7, no. 11 - pp. 2313-2320.

86. Charrier В., Schmitt D. Magnetic properties of RgMg42Zn5o quasicrystals (R = Tb, Dy, Ho, Er) // Journal of Magnetism & Magnetic Materials 1997 - vol. 171, no. 1-2 - pp. 106-112.

87. Yokoyama Y., Inoue A., Masumoto T. New ferrimagnetic quasicrystals in Al-Pd-Mn-B and Al-Cu-Mn-B systems // Materials Transactions JIM 1992 - vol. 33, no. 11 - pp. 1012-1019.

88. Lin C. R., Lin С. M., Lin S. Т., Lyubutin I. S. Ferromagnetism in the icosahedral A^.sBr.sPdisFe^ quasicrystal // Physics Letters A 1995 - vol. 196, no. 5-6 - pp. 365-370.

89. Любутин И. С., Линь Ч. Р., Линь С. Т. Магнитное упорядочение атомов Fe в икосаэдрических квазикристаллах ALfo-zB^Pdao-yFey // Журнал экспериментальной и теоретической физики — 1997 — т. 111, № 4 с. 1449-1464.

90. Matsuo S., Ishimasa Т., Nakano Н., Fukano Y. High-temperature magnetic properties of a stable Ale5Cu2oFei5 icosahedral phase // Journal of Physics F: Metal Physics 1988 - vol. 18, no. 9 - pp. L175-L180.

91. Baberschke K., Pureur P., Fert A., Wendler R., Senoussi S. Rare-earth spin-glasses with uniaxial anisotropy // Physical Review В 1984 — vol. 29, no. 9 - pp. 4999-5006.

92. Lifshitz R. Symmetry of magnetically ordered quasicrystals // Physical Review Letters 1998 - vol. 80, no. 12 - pp. 27172720.

93. Charrier В., Ouladdiaf В., Schmitt D. Observation of quasimagnetic structures in rare-earth-based icosahedral quasicrystals // Physical Review Letters 1997 - vol. 78, no. 24 - pp. 4637-4640.

94. Islam Z., Fisher I. R., Zarestky J., Canfield P. C., Stassis C., Goldman A. I. Reinvestigation of long-range magnetic ordering in icosahedral Tb-Mg-Zn // Physical Review В 1998 - vol. 57, no. 18, - pp. R11047-R11050.

95. Los J., Janssen Т., Gahler F. Phonons in models for icosahedral quasicrystals: low frequency behaviour and inelastic scattering properties

96. Journal de Physique I 1993 - vol. 3, no. 6 - pp. 1431-1461.

97. Goldman A. I., Stassis C., Bellissent R., Moudden H., Рука N., Gayle F. W. Inelastic-neutron-scattering measurements of phonons in icosahedral Al-Li-Cu // Physical Review В 1991 - vol. 43, no. 10 - pp. 87638766.

98. Goldman A. I., Stassis C., de Boissieu M., Currat R., Janot C., Bellissent R., Moudden H., Gayle F. W., Phonons in icosahedral and cubic Al-Li-Cu // Physical Review В 1992 - vol. 45, no. 18 - pp. 1028010291.

99. Quilichini M., Heger G., Hennion В., Lefebvre S., Quivy A. Inelastic neutron scattering study of acoustic modes in a monodomain AlCuFe quasicrystal // Journal de Physique I 1990 - vol. 51, no. 17 - pp. 17851790.

100. Boudard M., de Boissieu M., Kycia S., Goldman A. I., Hennion В., Bellissen R., Quilichini M., Currat R., Janot C. Optic modes in the AlPdMn icosahedral phase // Journal of Physics-Condensed Matter -1995 vol. 7, no. 37 - pp. 7299-7308.

101. Shibata K., Currat R., de Boissieu M., Sato T. J., Takakura H., Tsai ш A. P. Dynamics of the ZnMgY icosahedral phase // Journal of Physics

102. Condensed Matter 2002 - vol. 14, no. 8 - pp. 1847-1863.

103. Dugain F., de Boissieu M., Hradil K., Shibata K., Currat R., Kortan

104. Parshin P. P., Zemlyanov M. G., Brand R. A., Dianoux A.-J., Calvairac Y. Atomic-partial vibrational density of states of i-AlCuFe quasicrystals // Applied Physics A 2002 - vol. 74, Suppl - pp. S1657-S1659.

105. Wagner J. L., Wong К. M., Poon S. J. Electronic properties of stable icosahedral alloys // Physical Review В 1989 - vol. 39, no. 12 -pp. 8091-8095.

106. Mizutani U., Sakabe Y., Shibuya Т., Kishi K., Kimura K., Takeuchi S. Electron transport properties of thermodynamically stable Al-Cu-Ru icosahedral quasicrystals // Journal of Physics-Condensed Matter- 1990 vol. 2, no. 28 - pp. 6169-6178.

107. Bancel P. A., Heiney P. A. Icosahedral aluminum-transition-metal alloys // Physical Review В 1986 - vol. 33, no. 12, no. 1 - pp. 7917-7922.

108. Vaks V. G., Kamyshenko V. V., Samolyuk G. D. Possible effects of bandstructure in properties of quasicrystals // Physics Letters A 1988- vol. 132, no. 2-3 pp. 131-136.

109. Friedel J. Do metallic quasicrystals and associated Frank and Kasper phases follow the Hume Rothery rules? // Helvetica Physica Acta -1988 vol. 61, no. 4 - pp. 538-556.

110. Lasjaunias J. С., Sulpice A., Keller N., Prejean J. J., de Boissieu M. Magnetic and calorimetric study of a single grain of quasicrystalline Al-Pd-Mn // Physical Review В 1995 - vol. 52, no. 2 - pp. 886-893.

111. Prejean J. J., Lasjaunias J.-C., Berger C., Sulpice A. Low temperature calorimetric investigation of an insulating icosahedral Al-Pd-Re quasicrystal // Materials Science & Engineering A 2000 - vol. A294-A296 - pp. 504-507.

112. Михеева M. H., Панова Г. X., Теплов А. А., Хлопкин M. H., Чер-ноплеков Н. А., Шнков А. А. Термодинамические и кинетические свойства икосаэдрической квазикристаллической фазы системы А1-Pd-Tc // Физика твердого тела — 2000 — т. 42, № 12 — с. 2113-2119.

113. Perrot A., Dubois J. М. Heat diffusivity in quasicrystals and related alloys // Annales de Chimie-Science des Materiaux 1993 - vol. 18, no. 7 - pp. 501-511.

114. Dubois J. M., Kang S. S., Archambault P., Colleret B. Thermal diffusivity of quasicrystalline and related crystalline alloys // Journal of Materials Research 1993 - vol. 8, no. 1 - pp. 38-43.

115. Freeman J. J., Dahlhauser K. J., Anderson A. C., Poon S. J. Low-temperature thermal conductivity of glassy and icosahedral Pd-U-Si alloys // Physical Review В 1987 - vol. 35, no. 5 - pp. 2451-2452.

116. Perrot A., Dubois J.-M., Cassart M., Issi J. P. Thermal conductivity and Lorentz number in AI Cu Fe quasicrystals // Quasicrystals: Proceedings of the 5th International Conference. 22-26 May 1995. Avignon, France

117. Eds. С. Janot and R. Mosseri. Singapore: World Scientific, 1995 -pp. 588-591.

118. Zhang Dian-Lin, Cao Shao-Chun, Wang Yun-Ping, Lu Li, Wang Xue-Mei, Ma X. L., Kuo К. H. Anisotropic thermal conductivity of the 2D single quasicrystals: Al65Ni2oCoi5 and Al62Si3Cu2oCoi5 // Physical Review Letters 1991 - vol. 66, no. 21 - pp. 2778-2781.

119. Naugle D. G., Bruton W. D., Rathnayaka K. D. D., Kortan A. R. Anisotropic transport properties of the decagonal quasicrystal A^oNiisCois // Journal of Non-Crystalline Solids 1996 - vol. 205-207, pt. 1 -pp. 17-20.

120. Amazit Y., de Boissieu M., Zarembowitch A. Evidences for elastic isotropy and ultrasonic-attenuation anisotropy in Al-Mn-Pd quasicrystals // Europhysics Letters 1992 - vol. 20, no. 8 - pp. 703-706.

121. Vernier N., Bellessa G., Perrin В., Zarembowitch A., de Boussieu M. Tunnelling states in quasi-crystals // Europhysics Letters 1993 -vol. 22, no. 3 - pp. 187-192.

122. Amazit Y., Fischer M., Perrin В., Zarembowitch A., de Boissieu M. Pressure and temperature dependence of the elastic properties in AI

123. Mn-Pd quasi-crystal // Europhysics Letters 1994 - vol. 25, no. 6 -pp. 441-446.

124. Liu P., Hultin Stigenberg A., Nilsson J-O. Isothermally formed qua-sicrystalline precipitates used for strengthening in a new maraging stainless steel // Scripta Metallurgica et Materialia 1994 - vol. 31, no. 3 - pp. 249-254.

125. Bloom P. D., Baikerikar K. G., Anderegg J. W., Sheares V. V. Fabrication and wear resistance of Al-Cu-Fe quasicrystal-epoxy composite materials. // Materials Science & Engineering A 2003 - vol. 360, no. 1-2 - pp. 46-57.

126. Akiyama H., Hashimoto Т., Shibuya Т., Edagawa K., Takeuchi S. Electrical resistivities of Al-Pd-Mn icosahedral quasicrystals. Tokyo, 1992.- 27 p. (University of Tokyo; Institute for Solid State Physics; Technical Report, ser. A, no. 2599).

127. Feuerbacher M., Weller M., Diehl J., Urban K. Mechanical spectroscopy of Al-Pd-Mn single quasicrystals // Philosophical Magazine Letters -1996 vol. 74, no. 2 - pp. 81-87.

128. Anderson P. W., Halperin В. I., Varma С. M. Anomalous low-temperature thermal properties of glasses and spin glasses. (Ultrasonic attenuation and magnetic impurity systems) // Philosophical Magazine- 1972 vol. 25, no. 1 - pp. 1-9.

129. Phillips W. A. Tunneling states in amorphous solids // Journal of Low Temperature Physics 1972 - vol. 7, no. 3-4 - p. 351-360.

130. Pohl R. 0. Low temperature specific heat of glasses // Topics in Current physics. Berlin: Springer-Verlag, 1981. - vol. 24: Amorphous solids. Low-temperature properties / Ed. W. A. Phillips. - pp. 27-52.

131. Hunklinger S., Raychaudhuri A. K. Thermal and elastic anomalies in glasses at low temperatures // Progress in Low Temperature Physics,

132. Vol. IX / Ed. D. F. Brewer. Amsterdam: Elsevier, 1986. - pp. 265-344.

133. Krajcf M., Hafner J. Metal-insulator transition in approximants to icosahedral Al-Pd-Re // Physical Review В 1999 - vol. 59, no. 13 - pp. 8347-8350.

134. Janot C. Conductivity in quasicrystals via hierarchically variable-range hopping // Physical Review В 1996 - vol. 53, no. 1 - pp. 181-191.

135. Maradudin A. A., Montroll E. W., Weiss G. H., Ipatova I. P. Theory of lattice dynamics in the harmonic approximation. New York: Academic Press, 1971.

136. Levine D., Lubensky Т. C., Ostlund S., Ramaswamy S., Steinhardt P. J., Elasticity and dislocations in pentagonal and icosahedral quasicrystals // Physical Review Letters 1985 - vol. 54, no. 14 - pp. 15201523.

137. Bak P., Symmetry, stability, and elastic properties of icosahedral incommensurate crystals // Physical Review В 1985 - vol. 32, no. 9 -pp. 5764-5772.

138. Lubensky Т. C., Ramaswamy S., Toner J., Hydrodynamics of icosahedral quasicrystals // Physical Review В 1985 - vol. 32, no. 11 -pp. 7444-7452.

139. Phillips N. E. Low-temperature heat capacity of metals // Critical Reviews in Solid State Sciences 1971 - vol. 2, no. 4 - pp. 467-553.

140. Rockwood S. D., Gregory E. H., Goodstein D. L. A calorimetric measurement of the nuclear quadrupole coupling in pure, single crystal, rhenium metal // Physics Letters A 1969 - vol. 30, no. 4 - pp. 225226.

141. Rockwood S. D. Dilution refrigeration and a calorimetric measurement of the quadrupole coupling constant in rhenium metal: Ph. D. thesis -California Institute of Technology, 1970. 169 pp.

142. Smith D. R., Keesom P. H. Specific heat of rhenium between 0.15 and 4.0 К // Physical Review В 1970 - vol. 1, no. 1 - pp. 188-192.

143. Buttet J., Baily P. K. Knight shift and zero-field splitting in rhenium determined by nuclear acoustic resonance // Physical Review Letters 1970 - vol. 24, no. 22 - pp. 1220-1223.

144. Freeman J. J., Anderson A. C. Thermal conductivity of amorphous solids, Physical Review В 1986 - vol. 34, no. 8 - pp. 5684-5690.

145. Бурин A. JL, Каган Ю. О природе универсальных свойств аморфных твердых тел // Журнал экспериментальной и теоретической физики — 1996 — т. 109, № 1 — с. 299-324.

146. Boudard M., de Boissieu M., Janot C., Dubois J. M., Dong C. The structure of the icosahedral AlPdMn quasicrystal // Philosophical Magazine Letters 1991 - vol. 64, no. 4 - pp. 197-206.

147. Chandrasekhar В. S., Ott H. R., Rudigier H. Electrical resistivity and glassy behaviour in crystalline metallic alloys // Solid State Communications 1982 - vol. 42, no. 6 - pp. 419-421.

148. Berret J. F., Miessner M. How universal are the low temperature acoustic properties of glasses? // Zeitschrift fiir Physik В 1988 - vol. 70, no. 1 - pp. 65-72.

149. Casimir H. B. G. Note on the conduction of heat in crystals // Physica 1938 - vol. 5 - pp. 495-500.

150. Thompson Eun-Joo, Vu P. D., Pohl R. O. Glasslike lattice vibrations in the quasicrystal Al72.iPd2o.7Mn7.2 // Physical Review В 2000 -vol. 62, no. 17, pp. 11437-11443.

151. Matey J. R., Anderson A. C. Phonon transport in glassy metals below 100 К // Physical Review В 1977 - vol. 16, no. 8 - pp. 3406-3410.

152. Cahill D. G., Pohl R. O. Heat flow and lattice vibrations in glasses // Solid State Communications 1989 - vol. 70, no. 10 - pp. 927-930.

153. Einstein A. 2. Elementare Betrachtungen iiber die thermische Moleku-larbewegung in festen Korpern // Annalen der Physik 1911 - Bd. 35, S. 679-694.

154. Trambly de Laissardiere G., Fujiwara T. Electronic structure and conductivity in a model approximant of the icosahedral quasicrystal Al-Cu-Fe // Physical Review В 1994 - vol. 50, no. 9 - pp. 5999-6005.

155. Krajcf M., Windisch M., Hafner J., Kresse G., Mihalkovic M. Atomic and electronic structure of icosahedral Al-Pd-Mn alloys and approximant phases // Physical Review В 1995 - vol. 51, no. 24 - pp. 1735517378.

156. Du Chatenier F. J., Miedema A. R. Observation of the linear term and the h.f.s. contribution to the heat capacity below 1° К of some dilute alloys // Physica 1966 - vol. 32 - pp. 403-414.

157. Binder K., Young A. P. Spin glasses: experimental facts, theoretical concepts, and open questions // Reviews of Modern Physics 1986 -vol. 58, no. 4 - pp. 801-976.

158. Maletta H., Felsch W. Insulating spin-glass system Eu^Sri-^S // Physical Review В 1979 - vol. 20, no. 3 - pp. 1245-1260.

159. Thompson J. O., Thompson J. R. Very low temperature magnetization of two dilute PdMn alloys // Journal of Applied Physics 1979 - vol. 50, no. 11 - pp. 7364-7366.

160. Caudron R., Costa P., Lasjaunias J. C., Levesque B. Power law behaviour for the specific heat of spin glasses at very low temperatures // Journal of Physics F: Metal Physics 1981 - vol. 11, no. 2 - pp. 451456.

161. Meschede D., Steglich F., Felsch W., Maletta H., Zinn W. Specific heat of insulating spin-glasses, (Eu,Sr)S, near the onset of ferromagnetism // Physical Review Letters 1980 - vol. 44, no. 2 - pp. 102-105.

162. Zweers H. A., van den Berg G. J. The transition from a uniform ferro-magnet to a complicated ordering structure in Pd rich Pd-Mn alloys // Journal of Physics F: Metal Physics 1975 - vol. 5 - pp. 555-564.

163. Zweers H. A., Pelt W., Nieuwenhuys G. J., Mydosh J. A. Spin freezing in the spin glass phase of PdMn // Physica В & С 1977 - vol. 86-88- pp. 837-838.

164. Martin D. L. Specific heat of spin-glass CuMn below 3 К // Physical Review В 1979 - vol. 20, no. 1 - pp. 368-375.

165. Ларкин А. И., Хмельницкий Д. E. Вириальное разложение для магнитных примесей в металлах // Журнал экспериментальной и теоретической физики — 1970 — т. 58, № 5 — с. 1789—1793.

166. Campbell I. A., Compton J. P., Williams I. R., Wilson G. V. H. Anomalous low-temperature susceptibility for very dilute Mn in Cu // Physical Review Letters 1967 - vol. 19, no. 23 - pp. 1319-1321.

167. Alba M., Hammann J., Jacoboni С., Pappa C. Very low field susceptibility of the highly frustrated CsMnFeFe and CsNiFeF6 compounds // Physics Letters A 1982 - vol. 89, no. 8 - pp. 423-426.

168. Wang K., Garoche P. Phason-strain-field influences on low-temperature specific heat in icosahedral quasicrystals Al-Li-Cu and Al-Fe-Cu // Physical Review В 1997 - vol. 55, no. 1 - pp. 250-258.

169. Jaric M. V., Mohanty U. "Martensitic" instability of an icosahedral quasicrystal // Physical Review Letters 1987 - vol. 58, no. 3 - pp. 230233.

170. Jaric M. V., Mohanty U. Density-functional theory of elastic moduli: Icosahedral quasicrystals // Physical Review В 1988 - vol. 38, no. 14- pp. 9434-9446.

171. Hafner J., Krajci M. Electronic structure and stability of quasicrystals: Quasiperiodic dispersion relations and pseudogaps // Physical Review1.tters 1992 - vol. 68, no. 15 - 2321-2324.

172. Fujiwara T. Electronic structures and transport properties in quasicrystals // Journal of Non-Crystalline Solids 1993 - vol. 156-158 - pp. 865-871.

173. Hill E. A., Chang Т. C., Wu Y., Poon S. J., Pierce F. S., Stadnik Z. M. Temperature-dependent NMR features of the AI65CU20RU15 icosahedral alloy // Physical Review В 1994 - vol. 49, no. 13 - pp. 8615-8620.

174. Gavilano J. L., Ambrosini В., Vonlanthen P., Chernikov M., Ott H. R. Low-temperature nuclear magnetic resonance studies of an Al7oRe8.6Pd2i.4 icosahedral quasicrystal // Physical Review Letters -1997 vol. 79, no. 16 - pp. 3058-3061.

175. Simonet V., Hippert F., Gignoux C., Berger C. Proceedings of the 6th International Conference on Quasicrystals. 26-30 May 1997. Tokyo, Japan / Eds. S. Takeuchi and T. Fujiwara. Singapore: World Scientific, 1997. - pp. 696-699.

176. Kobayashi A., Matsuo S., Ishimasa Т., Nakano H. Magnetic properties of F- and P-type icosahedral quasicrystals of Al-Pd-Mn // Journal of Physics Condensed Matter - 1997 - no. 15 - pp. 3205-3217.

177. Slichter C. P. Principles of Magnetic Resonance. New York: Springer1. Verlag, 1989. 655 pp.

178. Piche L., Maynard R., Hunklinger S., Jackie J. Anomalous sound velocity in vitreous silica at very low temperatures // Physical Review Letters 1974 - vol. 32, no. 25 - pp. 1426-1429.

179. Matey J. R., Anderson A. C. Phonon propagation in glassy metals, Physical Review В 1978 - vol. 17, no. 12 - pp. 5029-5032.

180. Zaitlin M. P., Anderson A. C. Phonon thermal transport in noncrystalline materials // Physical Review В 1975 - vol. 12, no. 10 -pp. 4475-4486.

181. Roth E. P., Anderson A. C. Low-temperature thermal conductivity and specific heat of a machinable ceramic (for cryogenic apparatus) // Journal Applied Physics 1976 - vol. 47, no. 8 - pp. 3644-3647.

182. Thacher P. D. Effect of boundaries and isotopes on the thermal conductivity of LiF // Physical Review 1967 - vol. 156, no. 3 - pp. 975-988.

183. Odoni W., Fuchs P., Ott H. R. Size effect on the lattice thermal conductivity of lead single crystals // Physical Review В 1983 - vol. 28, no. 3 - pp. 1314-1319.

184. Zaitlin M. P., Scherr L. M., Anderson A. C. Boundary scattering of phonons in noncrystalline materials. (Thermal conductance) // Physical Review В 1975 - vol. 12, no. 10 - pp. 4487-4492.

185. Beeli C. Electron quasicrystallography: Ph. D. thesis. Eidgenossische Technische Hochschule Zurich, 1992. 136 pp.

186. Peierls R. Zur kinetischen Theorie der Warmeleitung in Kristallen // Annalen der Physik 1929 - Bd. 3, H. 3 - S. 1055-1100.

187. Ritsch S. Electron quasicrystallography of decagonal Al-Ni-Co: Ph. D. thesis. Eidgenossische Technische Hochschule Ziirich, 1996. - 149 pp.

188. Poon S. J. Electronic properties of quasicrystals. An experimental review // Advances in Physics 1992 - vol. 41, no. 4 - pp. 303-363.

189. Wang Yun-ping, Zhang Dian-lin, Chen L. F. Universality of the Hall-effect anisotropy in decagonal quasicrystals // Physical Review В -1993 vol. 48, no. 14 - pp. 10542-10545.

190. Trambly de Laissardiere G., Fujiwara T. Electronic structure and transport in a model approximant of the decagonal quasicrystal Al-Cu-Co // Physical Review В 1994 - vol. 50, no. 14 - pp. 9843-9850.

191. Berman R. Thermal Conduction in Solids. Oxford: Claredon Press, 1976. - 193 pp.

192. Bert F., Bellessa G., Grushko B. Tunneling state anisotropy in a single grain decagonal quasicrystal // Physical Review Letters 2002 -vol. 88, no. 25 - pp. 255901/1-4.

193. Sabiryanov R. F., Bose S. K., Burkov S. E. Electronic structure and stability of a model of the decagonal quasicrystal Al-Cu-Co // Journal of Physics-Condensed Matter 1995 - vol. 7, no. 28 - pp. 5437-5459.

194. Krajcf M., Hafner J., Mihalkovic M. Electronic structure and transport properties of decagonal Al-Cu-Co alloys // Physical Review В 1997 - vol. 56, no. 6 - pp. 3072-3085.

195. Krajcf M., Hafner J., Mihalkovic M. Are decagonal quasicrystals stabilized by a Hume-Rothery mechanism? // Europhysics Letters 1996vol. 34, no. 3 pp. 207-212.

196. Kroll W. On the determination of the elastic spectra of solids from specific heat data // Progress of Theoretical Physics 1952 - vol. 8, no. 4 - pp. 457-460

197. Лифшиц И. M. Об определении энергетического спектра бозе-систе-мы по ее теплоемкости // Журнал экспериментальной и теоретической физики 1954 — т. 26, № 5 — с. 551—556.

198. Henley С. L. Current models of decagonal atomic structure // Journal of Non-Crystalline Solids 1993 - vol. 153-154 - pp. 172-176.

199. Mihalkovic M., Dugain F., Suck J.-B. Vibrational density of states of decagonal AljoCoisNi^ // Journal of Non-Crystalline Solids 1996 -vol. 205-207, pt. 2 - pp. 701-705.

200. Hafner J., Krajcf M., Mihalkovic M. Propagating and localized elementary excitations in decagonal quasicrystals // Physical Review Letters 1996 - vol. 76, no. 15 - pp. 2738-2741.

201. Klemens P. G., Thermal conductivity of solids at low temperatures // Kaltephysik I, vol. XIV of Handbuch der Physik / Ed. S. Fliigge. -Berlin: Springer, 1956. pp. 198-281.

202. Karamargin M. C., Reynolds C. A., Lipschultz F. P., Klemens P. G. Lattice thermal conductivity and deviations from Matthiessen's rule for dilute alloys of tin with cadmium // Physical Review В 1972 -vol. 6, no. 10 - pp. 3624-3633.

203. Shibuya Т., Hashimoto Т., Takeuchi S. Anisotropic conductivity in a decagonal quasicrystal of Al7oNii5Coi5 // Journal of the Physical Society of Japan 1990 - vol. 59, no. 6, pp. 1917-1920.

204. Levitov L. S., Rhyner J. Crystallography of quasicrystals; application to icosahedral symmetry // Journal de Physique I 1988 - vol. 49, no. 11 - pp. 1835-1849.

205. Rokhsar D. S., Wright D. C., Mermin N. D. The two-dimensional qua-sicrystallographic space groups with rotational symmetries less than 23-fold // Acta Crystallographica A 1988 - vol. 44, pt. 2 - pp. 197211.

206. Rabson D. A., Mermin N. D., Rokhsar D. S., Wright D. C. The space groups of axial crystals and quasicrystals // Reviews of Modern Physics 1991 - vol. 63, no. 3 - pp. 699-733.

207. Yang Wenge, Hu Chengzheng, Ding Di-Hua, Wang Renhui. Differences in elastic behavior between pentagonal and decagonal quasicrystals // Physical Review В 1995 - vol. 51, no. 6 - pp. 3906-3909.

208. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т. VII. Теория упругости. — 4-е изд., испр. и доп. — М.: Наука, 1987. — 248 с.

209. Reynolds G. А. М., Golding В., Kortan A. R., Parsey J. М., Jr. Isotropic elasticity of the Al-Cu-Li quasicrystal // Physical Review В 1990 -vol. 41, no. 2 - pp. 1194-1195.

210. Sathish S., Kulik A., Gremaud G. Elastically isotropic Al-Li-Cu quasicrystal // Solid State Communications 1991 - vol. 77, no. 6 -pp. 403-407.

211. Spoor P. S., Maynard J. D., Kortan A. R. Elastic isotropy and anisotropy in quasicrystalline and cubic AlCuLi // Physical Review Letters 1995 - vol. 75, no. 19 - pp. 3462-3465.

212. Migliori A., Sarrao J. L., Visscher W. M., Bell Т. M., Ming Lei, Fisk Z.,1.isure R. G. Resonant ultrasound spectroscopic techniques for measurement of the elastic moduli of solids // Physica В 1993 - vol. 183, no. 1-2 - pp. 1-24.

213. Migliori A., Sarrao J. L. Resonant ultrasound spectroscopy: applications to physics, materials measurements, and nondestructive evaluation. -New York: John Wiley & Sons, 1997. 201 pp.

214. Demarest H. H., Jr., Elastic and thermodynamic properties of alkali-halides at high pressure and temperature // Transactions of the American Geophysical Union 1972 - vol. 53, no. 4 - p. 526.

215. Ohno I. Free vibration of a rectangular parallelepiped crystal and its application to determination of elastic constants of orthorhombic crystals // Journal of Physics of the Earth 1976 - vol. 24, no. 4 - pp. 355-379.

216. Chu F., Lei M., Maloy S. A., Mitchell Т. E., Migliori A., Garrett J. Single crystal elastic constants of NbSi2 // Philosophical Magazine В- 1995 vol. 71, no. 3 - pp. 373-382.

217. Chu F., Ming Lei, Maloy S. A., Petrovic J. J., Mitchell Т. E. Elastic properties of C40 transition metal disilicides // Acta Materialia 1996- vol. 44, no. 8 pp. 3035-3048.

218. Christoffel E. B. Ueber die Fortpflanzung von Stossen durch elastische feste Korper // Annali di Matematica Рига ed Applicata 1877 -tomo VIII - pp. 193-243.

219. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik (mit AusschluB der Kristallop-tik). Berlin: Teubner, 1928. - 978 S.

220. Reuss A. Berechnung der FlieBgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitatsbedingung fiir Einkristalle // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik 1929 - Bd. 9, H. 1 - S. 49-58.

221. Hill R. The elastic behaviour of a crystalline aggregate // Proceedings of the Physical Society of London, Series A 1952 - vol. 65 - pp. 349354.

222. Ledbetter H. M. Elastic proprties // Materials at low temperatures / Eds. R. P. Reed and A. F. Clark. Metals Park: American Society for Metals, 1983. - pp. 1-46.

223. Kajiyama K., Edagawa K., Suzuki Т., Takeuchi S. Thermal expansion of icosahedral Al-Pd-Mn and decagonal Al-Cu-Co quasicrystals // Philosophical Magazine Letters 2000 - vol. 80, no. 1 - pp. 49-56.

224. R. Penrose. Tilings and quasi-crystals: A non-local growth problem?

225. Introduction to the Mathematics of Quasicrystals. Aperiodicity and Order. Vol. 2 / Ed. M. V. Jaric. San Diego: Academic Press, 1989. -pp. 53-79.

226. Kohmoto M., Kadanoff L. P., Tang Chao. Localisation problem in one dimension: mapping and escape // Physical Review Letters 1983 -vol. 50, no. 23 - pp. 1870-1872.

227. Калугин П. А., Китаев А. Ю., Левитов Л. С. Электронный спектр •V одномерного квазикристалла // Журнал экспериментальной и теоретической физики 1986 - т. 91, № 2 — с. 692-670.

228. Китаев А. Ю. Об электронных свойствах трехмерного квазикристалла со слабым потенциалом // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики — 1986 — т. 48, № 5, с. 270—272.

229. Lu Jian Ping, Odagaki Т., Birman J. L. Properties of one-dimensional quasilattices // Physical Review В 1986 - vol. 33, no. 7 - pp. 48094817.

230. Sutherland В., Kohmoto M. Resistance of a one-dimensional quasicrystal: power-law growth // Physical Review В 1987 - vol. 36, no. 11 -pp. 5877-5886.

231. Bilz H., Kress W. Phonon dispersion relations in insulators. Berlin: Springer-Verlag, 1979. - pp. VIII+241.

232. Нейтроны и твердое тело: В 3 т. Т. 3 / Изюмов Ю. А., Черноплеков Н. А. Нейтронная спектроскопия — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 328 с.

233. Levitov L. S. Local rules for quasicrystals // Communications in Mathematical Physics 1988 - vol. 119, no. 4 - pp. 627-666.