Особые управления в задачах оптимизации тепловых процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОШТБТ РС&СР ПО ДЕЛАМ НАШ И БНСШЕЙ 1ЖОЛН

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ОСМОНОВА. ЧШШОН

ОСОШЕ УПРАВЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ОБТШИЗАШШ ■ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ

01.01.09 - матемаготеская кйбернетгка

Автореферат

диссертации на.соискание ученой степени кадищага физико-математических ваук

Иркутск - 1991

Работа выполнена на кафедре высшей математики и теоретической механики Кыргызского сельскохозяйственного института иы.К.И.Скрябина

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, ■

профессор А.И.Егоров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Д.А.Обсянников (НИИ ЬМ и НУ при Санкт-Петербургском университете)

кандидат- физико-математических наук,

доцент Ь.А.Терлецкий

(ИГУ)

Ведущая организация: Институт кибернетики им.БЛ.Глушкова

АН-Украины

Защита состоится 1992 г.- в часов на

заседания Сдецаализхроваиного совета К 063.32.06 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Иркутском государственном университете (664003, ИркуЮк, бульвар Гагарина, 20, 1-ый корпус ИГУ, математический факультет)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Иркутского государственного университета (^ульвар Гагарина,24)

Автореферат разослан Ь/$Ш1 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат физико-математических наук,

доцент Н.Б.Еельтюков,

ОЕШ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. При качественном исследовании задач оптимального управления основное место занимает процедура выявления необходимых условий оптимальности, ибо эти условия позволяет сузить класс допустимых управлений, подозрительных на оптимальность.

Одним из основных направлений в математической теории оптимального управления является теория необходимых условий первого порядка, начало которой было положено открытие« принципа максимума Еоятрягина. При практическом, использовании принципа максимума была замечена возможность его ьыроадекия, т.е. необходимое условие оптимальности выполняется на серии допустимых управлений тождественно, которые в теории оптимальных процессов называются особами (понятие особого управления впервые было введено Л.И.Ро-зоноэроы). Появление особых управлений весьма затрудняет проблему отбора (поиска) оптимального управления. Исследование этой проблемы привело я необходимый, условиям оптимальности особых управлений а теории необходимых условий, второго а высших порядков. Больше успехи в этом направлении достигнуты при исследовании управляемых систем с сосредоточенными параметрами (например г работах Р.Габасова, Ф.М.Каралловой, и др.).

Дело обстоит сложнее, когда объектом исследования являются управляемые процессы, поведение которых описывается системами с распределенными параметрами. Здесь прямое распространение необходимых условий оптимальности высокого порядка, имеющихся в задачах управления системами с сосредоточенными параметрами на задачи управления системами с распределенными параметрами,наталкивается на принципиальные трудности, которые преодолеваются нестандартными способами в каждом конкретном случав. ..Однако и в

этом направлении получен рад важных результатов, например, в работах проф.О.В.Васияьева -и его учеников и других авторов.

Тем на менее интерес к исследованию особых управлений не ослаб, ибо, как покагкьаа? практика, особое управление отвадь яе редкость, а скорее правило, говорящее о сложности решаемой задачи оптимального управления. Поэтому задачи оптимизации с особыми управлениями не теряя свою актуальность, все более привлекают широкий круг исследователей.

Одними из управляемых систем с распределенными параметрами, где мало изучена юяадения осооых управлении и качественный анализ их поведения, являются диффузионные и тепловые процессы. В настоящей диссертации исследованы отдельные вопросы этой большой проблеш..

Цель работы. Получить конструктивные методы выгода необходимых условий оптимальности второго порядка для диффузионных и тепловых процессов ж исследовать вопросы появления особых управлений в задачах оптимизации тепловых процессов, изучить их структуры..

Метода исследования. £ диссертации используются методы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, функционального анализа а математической физики.

Научная новизна; При исследовании :особкх управлений в задачах оптимизаций дайй-зиэшшх а тепловых процессов:

предложена методика, где используются свойства обобщенной функции Дирака, доаволяшая преодолеть некоторые неудобства,. Еознккаюдиэ при выводе необходимых условий второго порядка ранее известными методами;

установлена•структура особого управления, которая ягдяег-

ся специфической для ряда задач оптимизации с особыми управлениями и указан способ выявления особого множества, состоящего только из особых управлений;

предложен алгоритм построения приближенного особого управления, который обеспечивает наперед заданную точность как по функционалу, гак и по состояли® управляемого процесса.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на городском семинаре по теории оптимального управления в г.Днепропетровске, на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Кыргызского государственного университета, на семинаре "Моделирование, идентификация, синтез систем управления в химических и химикотметаллургических производствах" (г.Алушта, Крымская область, 1990 г.), на научном семинаре лаборатории "Математические методы технической кибернетики" Института автоматики АН Республики Кыргызстан (1990г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-6.

Структура и обгем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы из 49 названий (на пяти страницах), и содержит 127 страниц машинописного текста. Формулы, теоремы, замечания нумеруются двумя цифрами, из которых первая означает номер параграфа, вторая - порядковый номер внутри параграфа.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ •

Бо введении сформулированы основные, положения, которые рассматриваются в диссертация, приведен обзор литературы по вопросам, примыкающим к теме диссертации и дано краткое изложение содержания, диссертации.

При исследовании объектов управления с распределенными параметрами встречается ряд принципиальных трудностей, преодо-

ленке которых зависит от конкретной задачи.

Одна из этих трудностей заключается в следующем. Состояние управляемого объекта описывается сложными функциональными ■ уравнениями, например, уравнениями в частных производных при наличии сложных граничных и начальных условий. Качество управления процессом оценивается до заданному критерии, который для многих задач оптимизации является функционалом, зависящим от функции состояния объекта и управляющих воздействий. Выбор такого функционала и оптимизация по нему могут гакзе составить значительные трудности, гак как в общем случае этот функционал иожет Сыть определен на произвольном многообразии.

Кроме того, рассмотрение задачи управления с распределенными параметрами приводит к необходимости использовать аппарат функционального анализа, т.е. при исследовании поведения управляемого объекта вместо обычного конечномерного фазового пространства рассматривается бесконечномерное функциональное пространство. -

Известно, что.при выводе необходимых условий оптимальности особого управления принвдпиальнув трудность .составляет процедура построения двух специальных матричных уравнений, которые можно назвать вторыми сопряженными уравнениями. Для построения матричных уравнений яе существует общего рецепта, а известные методы их построения тесно связаны со специфическими особенностями соответствующих задач. Поэтому эти особенности, которые для дифференциальных уравнений с частными производными разных типов могут бнть разными, существенно влияет при выводе необходимых условий оптимальности особого управяе-

• ния. '

Б первой главе, при изложении обтай схемы вывода кеоСхо-

димых условий оптимальности типа принципа максимума и необходимых условий оптимальности особых управлений для диффузионных и тепловых процессов, предложена методика, согласно которой отпадает необходимость реаения вышеотмеченных двух матричных уравнений. Согласно этой методике, где были использованы свойства обобщенной функции Дирака, необходимое условие оптимальности особого управления получено с помощью решения второй сопряженной задачи.

"В 1.1 решается задача оптимального управления процессом, описываемым краевой задачей

¿.¿ч 1 «

цсо.оО - кх.) > * е С?х ,

п.

ы и | г =. си^с*) Сл(и,зс;) +с1(х) и = О , (1)

где сц(*> 6 С^с^} > йх) , , а(х)±0

- заданные непрерывные функции, придем •

функция х,а,р) кусочно непрерывна по Ц,Х) и в каждой точке С?х» непрерывно-дифференцируема до второго

порядка по переменным и. и

является допустимым управлением; Т - фиксированный момент времени. -

Задача оптимального управления состоит в отыскании управления р°а) 7) такого, чтобы функционал

[-¡;0с,1Ш.:с)]с1хс(* (2)

принимал наименьшее возможное значение.

Необходимое условие оптимальности первого порядка (аналог принципа максимума) и необходимое условие оптимальности особого управления даны в следующих теоремах.

Теорема 1.1. Для того, чтобы допустимое управление ^ а соответствующее ему решение Ц^.х) задачи (I) были оптимальными по функционалу (2),необходимо выполнение неравенства

¿[Наях Р\V) - и0, р,V)] ¿с<{* 4 0 .(3)

где Н(±,Х, и., р,V) - и,р) - функция Понтрягина, УН\Х") - решение сопряженной краевой задачи

Venn) = О , зс <7 9Х ,

Теорема 1.2. Для того, чтобы управление p(-i), особое на участке С1',4"] с. СО.Т], было оптимальным в задаче (I) по функционалу (2), необходимо выполнение интегрального неравенства

где Лр-f (-t^w.p) - приращение функции по

Ф^Л^). - решение второй сопряженной краевой задачи

- -чКцД^и.р.у)! fey) , Ct^^eQLj

ф(т,х#) = 0, ) е <?х* ,

= oj У з Y-xt-Qx., г, * v [о,т]

Здесь коэффициенты обладают теми же свойствами, что и в краевой задаче (I);

- дельта-функция Дирака,

Аналогичные исследования проведены при минимизации следую-

цих функционалов

ЭГ|>1 а ^ ^Ех.т*)] и)

'Зпр! = 5 ^ И.я.иад] о(хс1ъ (р)

*а множества решений краевой задачи (I).

В 1.2 рассматривается задача оптимального управления процессом, описываемым краевой задачей

- ± ^(Vрах», £ ц ^ 0 , (5)

¿Л''! 4

где ш-»»«. - мерная матрице №] - симметрична и элементы этой матрицы определены в С!иГ 9Д к «) - положительно определенная матрице; иг - мерная вектор-функция определена и непрерывна в , имеет непрерывные производные по н

; элеменгн матрицы непрерывны и определены в (>1х ; (■ - допустимое управление, Г - фиксировано.

Задача оптимального управления состоит в отыскании управления в такого, чтобы функционал вида (2) принимал наименьшее возможное .значение.

Неооходимое условие оптимальности типа принципа максимума и необходимое условие оптимальности особого управления даны в следующих теоремах.

Теорема 2.1. Для того, чтобы допустимое управление рг(Ч1) ^и^Д) было оптимальным по функционалу (2), необходимо выполнение условия

нал,р\у) ~ ±о (6)

где На,х.р,Г) , ри.%1) } уи,х) -

- сопряженная вектор-функция, которая удовлетворяет краевой .задаче

Vît, х) = О , х 6 ,

¿ coi(и,*,) + %*Сх) У = О геГ,

к>< 1 0 "S 1

3f - знак транспонирования.

Теорема 2.2. Для оптимальности управления , осо-

бого на множестве необходимо выполнение неравенства

i о (7)

в каждой точке при всех ра,х)<£ U) Ш„) с с

ил * н, - мерной матрицей-функцией *f , удовлетворяющей

♦í'ÍT.áq.u) = О у ,

где ^(х-^) - диагональная матрица, состоящая из функций Дирака.

Также выписаны необходимые условия оптимальности первого и второго порядков в случае, когда минимизируется функционал U) ила Jf).

Рассматриваемые ниже примеры простейших задач оптимизации' приведены для иллюстрации результатов обшей схемы.

Ь 1.3 рассматривается управляемый процесс, описываемый краевой задачей

И* ~ Цхх: + , 1, 0<4 4Т(

Wie,!} = fl*) . ?<ЭСЧ1Л

Ux(i,0) - LL^tt,-!) -О , cK-fciT (8)

где Йх) 6 - заданные функции,

р(4) & (О, Т) - допустимое управление, а минимизируемый функционал имеет вид

ЗГ/О - J UeU.i)cU: . О)

о

В 1.4 рассматривается управляемый процесс, описываемый краевой задачей

U-t - А Кхх ~ . <К*<1,

Ц.<0,Х} = l(st) , О^-ХИ 1,

Ш)-Uli, <><ш,(10)

где А - постоянная симметричная матрица, элементами которой является ведественные числа 0.^-, -<,2, ; ^.ОДс ^X'ittlX (?(сс) с- XV^'CO, i) , 4И) £ \kf(üj) - заданные вектор-функции; f>(-i) £ Wl (0,1) ~ скалярная управлявздя функция, а минимизируемый функционал имеет вид .

Б 1.5 на примере системы телеграфных уравнений показано, что предлагаемая методика без особых затруднений может быть перенесена на некоторые задачи управления системами, описываемыми уравнениями гиперболического типа.

Ь этом примере управляемый процесс описывается краевой задачей.

+ + ^ * '^Шр.С-Ь) , 1, о*.иг ьОСо.х) я ,

где Ал - известные достоянные матрицы порядка 2x2,

& заданные вектор-функции, ■

- скалдрное допустимое управление. Задача оптимального управления состой в отыскании управления ¡ГШ иакого, чтобы функционал

ОГрЗ х $\о*СГ,®)5& и>№с)гЦ £ =

принимал наименьшее возможное значение.

£о второй главе, состоящей из трех параграфов, исследованы вопросы появления особых управлений в задачах оптимизации тепловых процессов с управляющими параметрами разной природы (распределенное управление, управление как функция-трлько от времени), которые на практике часто находят приложения (например, задаче управления процессом индукционного нагрева). Во всех рассмотренных задачах, согласно теореме 1еви, установлено, что особые управления р° имеют специфическую структуру

Р° - к *Ъ , ¿ е М с. Н , 21 ^

которая является общей для ряда задач оптимизации. Слагаемое к. определяется как решение операторного • уравнения

4 / ц^н-

с положительным оператором А:Н-*Н. Слагаемое £ определяется после того, как будет найдено к. тем или иным способом, например, используя процесс оргогонзлизации Шмидта.

Поскольку элемент к фиксирован, то можно заметить, что множество особых управлений имеет вид (1 ^Л/, где множество Я состоит из элементов 2 6 Я , которые ортогональны только

решению операторного уравнения Л -Ц (эти кшросы отражены б параграфах 2.1 и 2.2).

Решение уравнения П'^1 не всегда удается получить е замкнутом виде. Поэтому возникает вопрос о построении приближенного решения уравнения, а следовательно и приближенного решения задачи оптимизации. Б этой связи в 2.3 указан способ построения приближенного решения задачи оптимизации, который позволяет находить это решение с любой степенью точности. Имеется иллюстративный численный пример.

Ь 2.1 рассматривается управляемый процесс теплопроводности в однородном сгзржне, описываемый функцией 1Ш, я) , которая удовлетворяет в оСласти \ Ocx^i уравнению

и.^ - + />«,*) ,

а на границе области О- условиям

и(0,1) = И.„(х) , 0<х С. 1 ,

и.С4.0) - и.и.1) го (0<* ¿Т ,

где а, - известная постоянная, ЩЩв - известная

функция, ¿ССд является допусти?.ш управлением, Т -

фиксированный момент времени.

Задача оптимального управления состоит в отыскании управления /Э^х) такого, чтобы функционал

1

ЭГ/>] = ] [и(Т,Х)-ихШ]гсЬс (13)

принимал наименьшее возможное значение. Здесь - известная

функция из Ч (0,1) .

Необходимое условие оптимальности первого порядка приводит к условию

уи,х)=у(1,х,р}=0 , (14)

которое не дает никакой информации об оптимальности какого-либо

управления. Функция Y(i,X) определяется как решение сопряженной задачи

V* * а Vax = о , сте-Сг,

VCT.Z) + £.[ LUTZ) - i/td)] -О, ^ £ СО, L) VCl.D) - V(i,l) t. С > H (P,T;J

Если управление p(i?-) представить в виде ряда Фурье

р- £ У„ (х) , />„(-0 * j Р(i.z)X^) cfx.

то условие (14) приьодиг к счетной системе интегральных уравнений

р -aUV-ü , п

)г U, '^Л'..., (15)

где На - известные постоянные. При исследовании системы (15) установлено, что согласно теореме Леьи, Д^) мокно однозначно представить в виде

V ~ ^ - ^ ; ^ М 1 Ъ (16)

где ¿J,/*) принадлежит пространству f{h элементов вида ^ } и является единственным решением уравнения

(15), а слагаемое fc^W.) определяется из условия ортогональности элементу С^Щ пространства На.. Асно, что ?„ Ч) определяется неоднозначно, поэтому совокупность таких элементов образует некоторое множество.

Вследствие представления (16) особое управление имеет специфическую структуру

p(-ifX) = q.U.x) + Zi-i.x) где Cjtt.y?) £ а - элемент пространства ("¿г)

удовлетворяющий условии ортогональности

ф ' i i t'T \ \ qu,üc)ZU,xjdxd-L - -2_ J QMU)t,(i>c/i - О

ос' о *

Замахам, что здесь функция фиксирована, а ,с{1,Х-)

может изменяться но некоторому множеству Л1, составленному из . элементов , ортогональных с Ц^Л) . Это обстоятельст-

во сужает класс допустимых управлений и позволяет определить множество, состоящее только из особых управлений.

¿ля конечномерной аппроксимации рассматриваемой задачи оптимизации условие существования особого управления проверено с помоаыо скобок Пуассона и получен аналогичный результат.

Ьычисдено значение минимизируемого функционала на особых управлениях, оно равно нулю.

В 2.2 рассматривается задача оптимизация, где требуыся минимизировать функционал (13) на множестве решений краевой задачи

-аиХъ рЩ-ЫплI } С£,х) е- О-1 и.СОД) - , о«с< 1,

их0Ь,О)аО. и*(*Л)Ли.КЛМ, (17)

где С|.«), У- заданные функции, >0,

р(±) - управлявшее воздействие из

Краевая задача (17) часто встречается в приложениях, например, если С-5Х} то ока описывает процесс индукционного нагрева.

Необходимое условие оптимальности первого порядка приводит к условию

УУВД<т;с(х = <5 , (18)

о I

где УЧ4,Х) - решение сопряженной задачи

V* + а Ухх - о , а,х)еСтл

УСт.х) ■+ I Еиад - М1(Х)] - О ■, ос (г Со, 4)

Далее, условие С18) кз которого следует определить особое управление, вриводит нас к следующей бесконечномерной проблеме моментов: среди допустимых управлений рк) <= Ц(о,Т) треоуегся наИти такое, которое удовлетворяет системе интегральных уравнений

и -а£(ТЧ) : .

¿4*1 рМеЬ , П*1Л>(19)

( или ь операторной форме ),

где ^х «„„е, , а , И**. , "

коэффициенты Фурье заданных, функций и1(х]1 14 (х) .

Согласно теореме Леви, для элемента р(±) & 1л(о,т) имеет место разложение

Р") * £(.4) + *(*) . (20)

где ¡^ц) и £({) взаимно ортогональные элементы пространства Ме/Т).

Если элемент (■£) искать в пространстве Их элементов вида ^ рк) • Г£> может быть определен как решение уравнения (19).

После того, как будет найдено. рЛ(1) , из условия ортогональности можно определить слагаемое Ж], причем единственное для каждого р(^) , ибо разложение (20) единственно. Далее, из элементов ЪН) 6 ^(0,?], ортогональных с найденным ,

образуем подмножество А' с Ц!С,?), Тогда множество ососых управлений будет состоять только из элементов вида

ра)»1>ла) ,

где РА - найденное решение уравнения (19). ,

Ь 2..3 указан один из возможных путей построения приближенного решения задачи оптимизации с особым управлением.

Здесь рассматривается случай, когда требуется мшшшзиро-

вать функционал (13) на множестве решений краевой задачи

ц(о,х) ^ к<дх) , ~хе(сл)

и(-Ь.О) = 1Ш, 1) = О, 4 в С0,Т] (21)

где у (Я) 1 %_ р а) {-1*1(0,7} - управляющая функция.

В отличие от краевой задачи (17), в (21) граничные условия изменены лишь для того, чтобы результаты довести до численных расчетов, ибо в случае краевой задачи (17) нахождение собственных значений -к само по себе является трудной задачей.

Особое управление находится из условия (18), которое содер-аит управление в неявном виде. Сопряженная функция удов-

летворяет краевой задаче

V* * 0.V**. - о } (Ь,х) е 0- #

\Г1Т,Х) + 2. С и ЩХ) - ИдСх)] - 0Л X (о>

Г(~Ь,о) = та,4) - О ^ ^ (22)

Определение особого управления из условия (18), как это следует из результатов предыдущего параграфа, приводит к необходимости решения операторного уравнения построить решение которого в общем случае довольно сложно. Исходя из потребности практики это уравнение мохно решись приближенно. Поэтому здесь предлагается один из способов построения приближенного решения. Е задаче (21) функцию ^(Х) заменяем функцией

<7 ¿я) &,Сх) , (23)

где число /V определяется "в зависимости от степени точности приближенного решения. Тогда решение задачи (21) и (22) можно представить в виде.

/V

и(Ьх) * X ЕЦ*ШХЗ + X (24)

г/

т,х)= X ?Я«)У,(х) + Xл;ш уп иу (25)

где - собственные функции однородной краевой задачи

X' (хЗ - О г х(е)* У(1\ - О л

а коэффициенты Й«.<*)( ипШ , ^'„(-О, , соответственно определяются по следующим формулам ,

и„а>= е (иси.+ 5 ат) »--¿X.

и

-а-Лег-и _

ук - - а С и^стз - е л п.* -/, л'

V, Н) = - 2.1 1МЮ - ] №4'' , » = '>4 ....

Б силу (23) и последующие следствий функционал (13) примет

вид

к

31>3 = 2 [ Й, (Ч - и,«]2- Гц. (Г)- ии (26)

Таким образом, решение краевых задач и минимизируемый функционал представлены в виде двух слагаемых, первое из которых подвергается действиям управлявших сил, а второе - нет.

В этой ситуации "приближенное" осооое управление находим как решение следующей задачи:, среди управлении £ ¿ч (О,1?)

требуется найти такое, которое удовлетворяет конечной системе интегральных уравнений

. , п -аДт ) <]*Л рМсН- , п.-<И27) .

и минимизирует функционал

ЭД>3 ' ^Ц йч^)- итТ1.

л» Г

Управление рй)6 ^(0,7) представим в ьиде

где h(i) я ZCi) - взаимно ортогональные элементы пространства L^C0/?). Далее, рассмотрим множество Мы, состоящее из элементов взда \ YA^t Заметим, что в силу линейкой независимости функций \ зго ;,HOjrecTEO 0<зра3ует подпространство в Ljo/i1).

Будем рассматривать h (I) как элемент множества , а Iii) - как. элементы из ортогональные множеству MN. Тогда

легко видеть, что элемент hl-t) определяется как единственное решение системы (27), так как в этом случае коэффициенты разло-

, Wfc

Vxt i '

однозначно определяются как решение алгебраической систе.'/ы

ибо для матрицы Д - ^ ci-fc , в силу ее положительности,

всегда существует обратная •

Тогда множество ввда \ i,(+)+ 2(t)}, где

фиксированный элемент, а i(t) пробегает некоторое множество элементов яз , ортогональна с -liit), образует "прибли-

женное" особое множество.

Число Л' в (23) может быть найдено по одной или по совокупности следуюдих оценок:

ПГрЗ < &t з

- < ,

II <

при заданных £t>о ,. ¿д>0, £4>0.

Указанная методика построения приближенного решения про-

'иллюстрирована ка численных примерах.

Ь заключение параграфа указан еще один способ решения уравнения (27), где в основу положен метод ортого'нализащш Шмидта.

ОСНОЬШЕ РЕЗУЛЬТАТУ РАБОХК

I. Разработана методика вывода необходимых условий оптимальности второго порядка в задаче оптимального управления процессами, описываемыми параболическими уравнениями или системами.

КсследоЕзны вопросы появления особых управлений, их оптимальность к структуры.

3. Разработана методика построения приближенного особого оптимального управления с «лвбой степенью точности.

4. Рассмотрены примеры, которые хорошо иллюстрируют полученное результаты.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Осмонона Ч. Особые управления в системе с распределенными параметрами. - /Дычкслкгельная математика и программирование. - Днепропетровск, 1976, с.160-1£5.

2. Осмоновв Ч. Особые управления в системе уравнений с частными производными гиперболического типа. //Приближенное решение задач оптимального управления системами с распределенными параметрами.-Фрунзе, 1376, сЛ14-125.

3. Осмонова Ч. Об оптимальности особого управления ъ за-'4 °даче оптимизации процесса теплопроводности. - // Математические методы управления системами с распределенными параметрами. - Фрунзе, 1978, с.25-43.

Осмонова Ч. Один случай определения особых режимов дви-

зения объекта с распределенными параметрами. - // Вопросы качественного исследования и приближенного решения антегродидаерекцкз-лькых уравнений. - Фрунзе, 1281, с.76-60.

5. Осмонова Ч. Необходимые условия оптимальности в задаче управления системы уравнений с распределенными параметрами.

- // Дифференциальные уравнения и их приложения: Тезиса докладов республиканской научной конференции. - Орунзе, 1939, с.120.

6. Осмонова Ч. Об оптимальности особого управления в задаче оптимизации параболической системы. - // Математические методы оптимизации. - Ешкек, 1$ЭХ, с.ЭЭ-106.