Отклик и распад в некоторых гамильтоновых системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

I Введение

II Отклик гамильтоновых систем на внешнее поле

1 Глава 1. Отклик одномерных нелинейных осцилляторов на внешнее однородное гармоническое поле: резонансный и хаотический случаи

1.1 Введение.

1.2 Модель.

1.3 Резонансный случай

1.3.1 Аналитическое решение.

1.3.2 Численный эксперимент.

1.3.3 Высшие резонансы.

1.4 Хаотический случай.

1.5 Обсуждение результатов.

1.6 Дополнение.

2 Глава 2. Квадратичный отклик зеркально-симметричных систем на нерезонансное поле и принцип соответствия

III Распад нелинейных консервативных систем

3 Глава 3. Биллиард Бора: распад системы с дополнительным интегралом движения

3.1 Введение.

3.2 Модель.

3.3 Связанные состояния.

3.4 Распадные состояния.

3.5 Численный эксперимент.

3.6 Ансамбль рассеяния.

3.7 Обсуждение результатов.

4 Глава 4. Распадающиеся и нераспадающиеся состояния классических нелинейных двумерных осцилляторов

4.1 Введение.

4.2 Модель и начальный ансамбль

4.3 Маятниковая модель и нераспадающаяся часть ансамбля Е.

4.4 Сепаратрисное отображение и скорость распада

4.5 Обсуждение результатов.

Диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию динамики классических гамильтоновых систем. Предметом исследования являются два фундаментальных физических процесса - отклик на внешнее периодическое возмущение (часть II) и распад (часть III). Результаты, полученные в данной работе, могут быть применены для исследования поведения микрочастиц (атомов, молекул, кластеров, кластерных ионов), находящихся в высоковозбужденных состояниях. Роль внешнего возмущения при этом может выполнять электромагнитное поле, например, излучение лазера.

Понятие "отклик" в физике имеет очень широкое толкование. В самом общем виде, отклик - это любое изменение эволюции системы, вызванное внешним воздействием. Выбор конкретной физической величины, по изменению эволюции которой можно судить об отклике, зависит от объектов и целей исследования. В случае взаимодействия электромагнитных волн с веществом обычно рассматриваются наведенная поляризация или вызванный внешним полем ток [1, 2, 3], или просто средние значения координат и скоростей частиц, через которые можно выразить все остальные величины. В данной работе под откликом всегда понимается изменение зависимости от времени среднего (по ансамблю, по состоянию) значения координаты системы, вдоль которой направлено внешнее поле. В этом случае отклик оказывается связанным с интенсивностью излучения, которая может быть измерена в эксперименте.

Обычно внешнее поле называют слабым, если его воздействие на систему может быть описано в рамках теории возмущений, и сильным - в противном случае. В данной работе мы будем использовать более подробную классификацию. Пусть движение невозмущенной системы является регулярным. Мы будем называть гюле "умеренно сильным", или просто "умеренным", если возмущенное движение регулярно, но не может быть описано в рамках теории возмущений. Внешнее поле, приводящее к возникновению хаотического режима движения, мы будем называть "очень сильным", или просто "сильным". Поля с одной и той же амплитудой могут в зависимости от частоты оказываться как слабыми, так и умеренными и сильными.

Распадом системы, состоящей из нескольких взаимодействующих частей, называется такая ее эволюция, при которой взаимодействие частей становится со временем несущественным для описания динамики каждой из них. Количественный критерий, разделяющий системы на уже распавшиеся и еще не распавшиеся, выбирается в каждом конкретном случае по-разному в зависимости от решаемых задач и используемых моделей. Распад микрочастиц обычно связан с вылетом электрона (ионизация) или тяжелой частицы или группы частиц (диссоциация, дефрагмен-тация) [4, 5].

Цель работы состояла в исследовании:

1. линейного отклика ансамбля одномерных нелинейных осцилляторов на умеренное и сильное внешнее поле;

2. квадратичного отклика нестационарных состояний зеркально-симметричных гамильтоновых систем на слабое внешнее поле;

3. динамики распада ансамбля классических гамильтоновых систем, с учетом наличия у каждой из них дополнительного интеграла движения - полного момента импульса;

4. распадающихся и нераспадающихся состояний в ансамбле двумерных нелинейных осцилляторов, полная энергия которых допускает распад.

Актуальность исследования классических моделей (на фоне достаточно хорошо развитых кванотовомеханических подходов) обусловлена следующими факторами. С одной стороны, это фундаментальный научный и методологический интерес к проблеме соответствия классического и квантового способов описания действительности ("принцип соответствия"). С другой стороны, это чисто практические выгоды, которые дает классический способ описания по сравнению с квантовым. Хотя квантовая механика, будучи более "богатой" теорией (в ней на одну фундаментальную константу больше), позволяет объяснять целый ряд эффектов, не находящих объяснения в рамках классического формализма, ее использование не всегда более предпочтительно. В частности, классические аналоги квантовомеханических выражений часто оказываются намного более удобными для численных расчетов применительно к той или иной конкретной системе. Принимая во внимание сложности, связанные с вычислением классических пределов квантовомеханических формул, удобнее не вычислять их вовсе, а решать сразу классическую задачу. Конечно, такой ход имеет смысл только тогда, когда исследуются квазиклассические состояния.

Актуальность исследования отклика нестационарных состояний (задача 2) связана с тем, что они часто возникают в экспериментальных ситуациях. Простейшим примером такого состояния является частица, в начальный момент времени локализованная в одной из двух ям зеркально-симметричного двухямного потенциала. Исследование квадратичного (а не линейного) отклика такого начального состояния особенно показательно, так как квадратичный отклик является чувствительным к нарушениям симметрии системы.

Выбор классических гамильтоновых моделей для описания динамики микрочастиц в задачах 1, 3 и 4 обосновывается следующими численными оценками. В атомной системе единиц, основанной на фундаментальных константах е « 5 • 1О~10СГС — заряд электрона, (1) me ~ 9 • 10~28г — масса электрона, (2) h « 1 • 10~27эрг • сек — постоянная Планка, (3) естественными масштабами энергии, длины и частоты являются величины 4 тп в

Ry = —V ~ 13.6эВ « 2 • 10"11 эрг — Ридберг, (4) h2 г, -s aat — -9 ~ 0.5 • 10 см — боровский радиус, (5) теег 4 « 5 • 1016сек"1. (6)

Если частица массы М локализована в потенциале, который имеет конечную глубину U и ширину а, то борновский параметр

2 MUa2

В = ^ (7) определяет число связанных состояний такой системы: TV/ ~ \/В. Для атомных масштабов But = 2meRyalt/h2 « 1. Для тяжелых частиц (атомов с N нуклонами в ядре) борновский параметр равен где безразмерный параметр ( равен отношению масс электрона и протона, с = — « 5 • 1(Г4. (9) тр

Для типичных микрочастиц (например, кластеров благородных газов или металлов) N ~ Н^-гЮ2, и/Ку ~ 101-г10~2, а/а0 ~ Ю1, что дает для числа уровней оценку N1 ~ 102 -г- 103 >> 1. Если Яу, а,и и те выбраны равными единице, то постоянная Планка % = у/2/N1 ~ 10~2 << 1, что и оправдывает применение классической механики для описания микрочастиц в высоковозбужденных состояниях.

Адекватность выбора гамильтоновых моделей обосновывается малостью затухания в рассматриваемых системах. Уменьшение энергии системы Е происходит в основном за счет диполь-ного излучения. Его интенсивность Е для частицы массы М, движущейся в потенциале глубины II и ширины а по порядку величины равна Е ~ (е2/с3) а2Г24, где О - частота классического движения частицы, по порядку величины равная частоте переходов между стационарными состояниями сип+1>п, которая, в свою очередь, может быть оценена как 0>П+1)П ~ II/Н^. Таким образом, константа радиационного затухания 7Г = Е / Е по порядку величины равна для тяжелых частиц и для электрона. Постоянная тонкой структуры е2 а = —«1(Г2} (12) пс откуда получаем 7г/0, ~ Ю-13 для тяжелых частиц и 7г/0, ~ 10~8 для электрона.

При значениях энергии, приближающихся к нулю (точнее -к порогу несвязанных состояний, если он отличен от нуля) все большую роль начинают играть процессы подбарьерного тун-нелирования, накладывающие дополнительные ограничения на область применимости классической механики, особенно при изучении распада. Характерную скорость туннелирования 7^ (имеющую размерность [сек-1]) для состояния с энергией, меньшей порога несвязанных состояний на величину Е1, можно оценить (аппроксимируя потенциал в подбарьерной области параболой, и(х) ^-(и/а2) (У/2)) как

2 6

7, = ^ехр 1--/^ п ехр (-тг\/2В™

13)

Из этой формулы видно, что при распаде системы на тяжелые части роль туннелирования существенна только тогда, когда распадающаяся система находится в "последних" связанных состояниях (Е рз II/N1): 7//^ ~ ехр (-тг\/2) ~ Ю-2. Для более низко-лежащих состояний (Е ~ и) вклад туннелирования оказывается ничтожным: ^/П ~ ехр (-тгу/Ш) ~ 1(Г10 -г 1(Г100.

Если вылетающей частицей является электрон, то вклад туннельных процессов в распад существенен всегда. В этом случае борновский параметр В ~ 1, и так как Е/11 < 1, то 7</0 > 1СГ2. Применение классической механики для описания таких процессов бессмысленно.

Для модели водородоподобного атома {и (г) = — Zel ¡г, Z > 0) число связанных состояний бесконечно. Уровни энергии и частоты переходов равны mee4Z2 тее4г2 2п + 1 тее4^2

Еп - Шп+1'п" ^"пМп + х)2 * [ ]

В системе единиц измерения, в которой масса частицы те = 1, радиус боровской орбиты п—го состояния гп — п2Ь,2/Ме4^2 = 1 и энергия п—го состояния равна Еп = 1/2, постоянная Планка равна Ть = ^/п, что оправдывает применение классической механики для описания высоковозбужденных состояний водородо-подобных атомов. Для скорости радиационного затухания имеем оценку 7,./Г2 ~ а3/п3 <<1, что оправдывает применение гамиль-тонова формализма.

Практическая ценность данной работы состоит в том, что в ней выявлен ряд общих свойств отклика и распада нелинейных систем. Кроме того, результаты, полученные в данной работе, могут послужить теоретической основой для планирования экспериментальных исследований в следующих областях:

1. генерация первой и высших гармоник в сильных и сверхсильных полях;

2. рассеяние пучков высоковозбужденных частиц на. мишенях;

3. создание высоковозбужденных устойчивых состояний.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. описан отклик микроканонического ансамбля одномерных нелинейных осцилляторов на умеренное и сильное внешнее поле; для этого введена новая физическая величина - гармоническая восприимчивость (ГВ), - являющаяся обобщением линейной восприимчивости на случаи, когда внешнее возмущение не может считаться малым, и в отличии от нее не привязанная к какому-либо определенному способу описания возмущенного движения;

2. исследована генерация второй гармоники зеркально-симметричными системами, находящимися в нестационарном начальном состоянии; показано, что нестационарность начального состояния снимает запрет на генерацию второй гармоники в зеркально-симметричных средах;

3. рассмотрена новая модель - биллиард Бора, - обладающая двумя интегралами движения; исследована зависимость хаотических характеристик движения в биллиарде Бора от дополнительного интеграла движения; найдена зависимость константы экспоненциального распада от обоих интегралов движения;

4. исследована динамика распада для класса двумерных нелинейных осцилляторов; обнаружена и теоретически объяснена немонотонная зависимость доли нераспадающихся систем от начальной энергии в канале распада; для распадающихся систем выведен закон распада и исследованы различные его стадии (задержка, неэкспоненциальный старт, степенной хвост).

Работа имеет следующую структуру. В Главе 1 на примере осциллятора Дюффинга исследуется отклик нелинейной системы на умеренное и сильное внешнее поле. Вводится понятие гармонической восприимчивости. Для умеренных полей ГВ вычисляется при помощи модели однорезонансного маятникового гамильтониана. Переход к сильным полям производится учетом перекрытия резонансов. Результаты аналитических расчетов проверяются в численном эксперименте.

В Главе 2 исследуется квадратичный отклик частицы, находящейся в зеркально-симметричном двухямном потенциале в нестационарном начальном состоянии. Приводятся оценки интенсивности излучения второй гармоники в дипольном и квадру-польном приближениях. Особое внимание уделяется рассмотрению данной проблемы с точки зрения принципа соответствия.

В Главе 3 рассматривается биллиард Бора - круглый биллиард конечной глубины с двумя частицами в нем, взаимодействующими по закону упругих гладких шаров. Исследуются (численно) его хаотические характеристики, выводятся функции распределения для некоторых динамических переменных. Для значений интегралов движения, при которых в системе возможен распад, находится (аналитически) зависимость константы распада от интегралов движения. Рассматриваются два начальных ансамбля, отвечающих разным экспериментальным схемам. Все аналитические результаты проверяются в численном эксперименте.

В Главе 4 рассматривается двумерный нелинейный осциллятор с седловой точкой, переход через которую трактуется как распад. Два комплементарных приближения - однорезонансный маятниковый гамильтониан и сепаратрисное отображение - используются для исследования нераспадающихся и распадающихся состояний, соответственно. Все аналитические результаты сравниваются с результатами численного эксперимента.

Часть материала, носящего промежуточный или вспомогательный характер, вынесена в Приложения.

Литературный обзор в качестве отдельной главы не выделен. Вместо этого обзор источников, имеющих отношение к решаемым в работе задачам, предваряет основное изложение в каждой из Глав. Такой способ цитирования литературы делает каждую Главу работы более цельной и удобной для чтения.

Апробация работы проводилась на Конференции молодых ученых по лазерной физике и теории нелинейных волн, Москва, Россия, 1996.

Основные результаты опубликованы в следующих статьях:

1. Elyutin P.V. and Pavlov-Verevkin B.V. Bohr billard: decay in the chaotic Hamiltonian systems with two integrals of motion // Phys. Rev. E, 56, 5, 5044-5050 (1997).

2. Elyutin P.V. and Pavlov-Verevkin B.V. Response of a nonlinear Hamiltonian system to the external harmonic field: resonant and chaotic cases. // Phys. Rev. E, 61, 3, 2579-2585 (2000).

3. Pavlov-Verevkin B.V. Decaying and non-decaying states in classical Hamiltonian systems // Phys. Rev. E, XX, X, XXXX-XXXX (XXXX).

4. Елютин П.В., Павлов-Веревкин Б.В. Квадратичный отклик зеркально-симметричных систем и принцип соответствия // Квантовая электроника, XX, X, XXXX-XXXX (ХХХХ).

Часть II

Отклик гамильтоновых систем на внешнее поле

выводы.

4.2 Модель и начальный ансамбль

Пусть функция Гамильтона в безразмерных переменных имеет вид

Н (рх>ру, х,у) = + и у), (121) с потенциальной энергией

-у+ £ + (122) где х, у - декартовы координаты, рх,ру ~ сопряженные импульсы. Такая функция Гамильтона описывает движение частицы единичной массы в потенциале с одной седловой точкой х = у = 0, и двумя симметричными минимумами, лежащими на оси ОХ при х = ±1 и имеющими глубину —Щ = —1/4. Константа и является частотой неустойчивых колебаний вдоль оси ОУ, константа (3 > 0 управляет взаимодействием между ж— и у— степенями свободы. Отметим, положения седловой точки и минимумов, а также седловая энергия Е3 — 0, не зависят от значений ш и /3.

Модель (121,122) проста, но не переупрощенна, так как воспроизводит все существенные свойства исследуемых объектов, такие как гладкость и нелинейность потенциала и многомерность фазового пространства. Другим ее плюсом является то, что она "составлена" из стандартных частей: при /3 = 0 она распадается на хорошо изученные осциллятор Дюффинга и гармонический осциллятор.

Величины Ех = рЦ2 - х2 ¡2 + ж4/4 и Еу = рЦ2 + со2у2/2 будем называть (парциальными) энергиями в х— и у— степенях свободы. Значение Еху = (Зх2у2 будем называть энергией взаимодействия между степенями свободы. Полная энергия Е = Н —

Ех + Еу + Еху является интегралом движения. Степень свободы х - канал распада.

Невозмущенное движение (/3 = 0) периодично вдоль обеих осей. Движение вдоль у—оси при этом гармоническое с частотой со. Движение вдоль ж—оси может описывается эллиптическими функциями Якоби, которые раскладываются в ряд Фурье, оо

Y,bk{I)cosk9, (123) к=о где

I(Ex) = -^fp(x,Ex)dx (124) является переменной действия, в - сопряженная угловая переменная, Ъ^ - амплитуды фурье-компонент, выражающиеся явно через эллиптические интегралы. Формула (124) неявно определяет зависимость действия от энергии Ех в канале распада, Ех — Нх (/), что позволяет выбирать любую из величин Ех или I в качестве аргумента у функций, руководствуясь, главным образом, соображениями удобства.

Четыре следующие функции будут нужны ниже:

V / di ' V / di ' С'Г^б) с: «<(/) = d: T(I) = ^ry

Частота Q (/) определяет скорость возрастания угла в; нелинейные параметры к и к' играют большую роль в маятниковой модели; Т (/) - период невозмущенного движения вдоль оси ОХ. Явные выражения функций (124,125) различны для Ех > Ен и для Ех < Ен; они приведены в Приложении А.

Ансамбль Е, изученный в этой главе, состоит из систем с положительной полной энергией Е > Es, чьи динамические переменные при t = 0 удовлетворяют следующим условиям: а: Е > 0, Ь: Ех (0) = Ейх < 0, с: у (0) = 0, d: ж (0) > 0. (126)

Условия (126) определяют подмножество 5* четырехмерной гиперповерхности 5, определяемой уравнением Е = Н\ распределение всех остальных динамических переменных соответствует равномерному распределению ансамбля Е по Б*.

Условия (126а,Ь) наиболее важны. Условие (126а) допускает переход через седловую точку, трактуемый как распад. Условие (126Ь) имеет два следствия. Во-первых, оно воспрещает немедленный распад: система должна сначала набрать достаточное количество энергии в канале распада. При данных Е и распад невозможен до времени задержки то Во-вторых, это условие допускает существование нераспадающихся систем. Если энергия системы в канале распада Ех (£) никогда не превышает седловое значение то такая система никогда не распадется, несмотря на то, что ее полная энергия больше седловой. Условие (126с) обеспечивает Еху = 0 при £ = 0 и вместе с (126Ь) обеспечивает одно и то же распределение энергии по степеням свободы для всех систем начального ансамбля. Условие (126с1) отражает симметрию системы.

Таким образом, начальный ансамбль Е характеризуется двумя параметрами, полной энергией Е и начальной энергией в канале распада Е^. Начальную энергию в у—степени свободы можно найти как Е^ = Е — Е® .

4.3 Маятниковая модель и нераспадающаяся часть ансамбля Е

Условие Ех (¿) > Е3 не является достаточным для распада системы. Например, если оно выполнено, когда точка находится далеко от седла, оно может нарушиться снова пока точка движется по направлению к нему. Тем не менее, мы можем считать, что доля нераспадающихся систем со знакопеременной Ех (t) мала. При этом допущении мы можем вычислить долю r¡ нераспадающихся систем ансамбля Е как долю систем, для которых Ех (í) остается отрицательной при всех t. Последняя величина может быть вычислена при помощи однорезонансной маятниковой модели.

Если начальная энергия в канале распада Ейх не слишком близка к седловому значению Е.ч, если резонансные условия Е!(!) « 2и) выполнены и ¡3 << 1, то эволюцию динамических переменных, связанных с осью х, можно описать гамильтонианом маятника (см. Приложение В)

Яр(ЗД = |.72-<?со8у>, (127) где К = к (12ш), hu> ~ значение действия, обеспечивающее точный резонанс, Ü (/2ш) = 2а;, a G = (3E°ybi (I2u))/íuj2. Угловой момент маятника J связан с переменной действия I: J = I — Таким образом, каждая система ансамбля Е представлена маятником.

Ансамбль маятников Р, репрезентирующий начальный ансамбль Е, состоит из систем с одним и тем же значением углового момента Jy = Io — hu, где /() = I (i?'|) дается уравнением (124). Их начальные углы сро случайны и распределенны равномерно на интервале [0,2-лг] (см. Рис. 4.1 на стр. 108). Маятники, чья энергия Ер = Нр (</о; <ро) превышает G, Ер > G, являются ротаторами; остальные - либраторы. Величина

Jr = y/4G/K (128) является полушириной нелинейного резонанса по действию.

Угловой момент маятника с начальными условиями (Jo,</?o) принадлежит интервалу г: J (t) £ [± Jmhl, ± JmaJ, 1: J (t) е [-J,aax, Л««] (129) где "г" или "1" отвечают ротаторам и либраторам соответственно. Знаки "+" или "—" в уравнении (129г) совпадают со знаком Л, и

Лах = со82 (^о/2), Лип = ]/4 - Л2 ^п2 (Уо/2)• (130)

Маятники, чей угловой момент никогда не превышает значение

Л = /(Ел-0)-/2ы>0, (131) соответствуют (по нашему допущению) нераспадающимся системам. Доля г] таких маятников может быть посчитана как

Г / ^о, (132)

711 27Гр< гпа где РП(1 обозначают начальные условия (Л)^о)? обеспечивающие ./("£; ,/о, (ро) < для всех £ (интервалы а-Ь, с-с1 и е-Г на Рис. 4.1). Аналитическое выражение для т] различно для различных соотношений между Л и то есть для различных значений начальных парциальных энергий Е(1 и Еу. Явные формулы для ?/ приведены в Таблице 2 на стр. 93. Колонки г/1' и г]1 представляют доли ротаторов и либраторов в ансамбле Р. Колонки 1]7ш1 г]\и1 соответствуют ротаторам и либраторам, представляющим нераспадающиеся системы. Доля всех нераспадающихся систем 7/ равна

4 = ^ + ^ (133)

Формулы Таблицы 2 позволяют ввести порог активации Еа - минимальную начальную энергию в канале распада, при которой возможен распад хотя бы одной системы ансамбля. Порог активации Еа может быть найден из уравнений а: I (Еа) = - Л, для Л < Л, , ^ Ь: /(£«) =+ для Л > Л

Поведение Г) в окрестности порога следует корневому закону: V (К) « 1

2К 12ш-1а у/Е} - Я«, (135)

7Т2в П (Д.) где 1а = 1(Еа). Для того, чтобы получить явное выражение для зависимости порога активации Еа от полной энергии системы Е, можно линеаризовать зависимость действия от энергии и положить I (Еа) « 1-2и> + 2о> (Еа — Е2ш)-> гДе Е2ш определяется как I {Е2и>) ~ Ьи- При этом получим а: Еа « Е2ш - 2иЗт, для Е2ш > ~2иЗг,

-е~Г2-- „ . , (136)

Ь: Еа^Е2ш + №*Е2ы<-2ШЗг.

На Рис. 4.2 (см. стр. 109) доля нераспадющихся систем показана как функция начальной энергии Е® в канале распада. Полная энергия Е была выбрана равной двум глубинам потенциала, Е = 2£7о = 0.5, ¡3 = 0.01, ш = 0.5. Такой выбор частоты удобен, чтобы удовлетворить условиям резонанса « 2ш: благодаря медленной расходимости Т (Ех) в окрестности седла, частота (Ех) близка к 1 почти для всех значений Ех < Е3.

Численный эксперимент был проведен с = 103 начальными условиями для каждой точки кривой, распределенными в соответствии с (126). Каждая траектория интегрировалась методом Рунге-Кутта 4-го порядка с шагом Д£ — 0.01 до тех пор, пока координата х не становилась отрицательной или полное время интегрирования не превышало тс = 103. Системы с временами жизни, большими тс, считались нераспадающимися.

При нашем выборе параметров Зт = 0.092, 3„ = 0.037 < Зг. При изменении Е^ от — Щ до нуля, За увеличивается от -0.174 до 0.035. Порог активации (136а) равен Еи = -0.124; более точное значение, которое можно получить численно из (134а), дает

Еа = —0.139, что на 18% больше экспериментального значения. Происхождение этого расхождения понятно. Резонансное значение энергии в канале распада Е2и ближе к седловому значению, чем начальное значение Е^. В окрестности седла полуширина резонанса по действию Зг стремится к нулю благодаря расходимости параметра нелинейности К. Так как мы линеаризуем все функции в точке Ех = £2ы, мы занижаем Зг для всех систем ансамбля Р. В соответствии с (136) это приводит к завышению порога актрвации Еа.

Согласие теоретической и экспериментальной кривых хорошее. Теоретическая кривая воспроизводит все существенные черты экспериментальной, такие как ее немонотонный характер зависимости г) (Е1^) и ее корневое поведение в окрестности порога активации (см. Рис. 4.2). Немонотонное поведение Г) (Е1'') весьма удивительно. Оно связано с вкладом либраторов и может наблюдаться только при 38 < Зг. В этом случае при |,7о| < 3^ некоторая часть либраторов не распадается, в то время как для З.ч < |«7о| < Зг все либраторы распадаются. Если 38 > 3Г: то все либраторы представляют нераспадающиеся системы и теория предсказывает отсутствие экстремумов у г] (Е^.

Одним из возможных путей для улучшения согласия между теорией и экспериментом является учет стохастического слоя вокруг сепаратрисы. Если энергия, запасенная в канале распада достаточно близка к седловой, \ЕХ — Ея | < ЕХ1 где Ех - ширина стохастического слоя, то движение частицы становится хаотическим и однорезонансная маятниковая модель теряет применимость. Выполнение условия Ех (£) < Е3 — Ех для всех I может быть рассмотрено как более точный критерий для нераспадающихся систем. Использование критерия Ех (¿) < Д. дает, очевидно, верхнюю оценку для доли нераспадающихся систем в ансамбле Е.

4.4 Сепаратрисное отображение и скорость распада

Для того, чтобы система распалась, энергия частицы, запасенная в канале распада, должна превысить седловое значение Дч. Если энергия Ех (£) достаточно близка к седловому значению, \ЕХ (¿)| << С/о, то для описания обмена энергией между степенями свободы можно использовать сепаратрисное отображение (см. Приложение Б).

Изменение энергии в канале распада определяется работой силы Рх — —дЕху/дх. Используя невозмущенные (/3 = 0) законы движения вдоль обеих осей и вычисляя работу этой силы за один период движения вдоль этой оси ОХ, приходим к уравнениям а: Е^1 - Е1 = £8ш2ф\ Ь: фк+1 - фк = сЛп -рр (137) где Ек: Ек+1 суть значения энергии в канале распада в два последовательные момента времени, когда координата х частицы достигает локального минимума, фк, фк+1 - значения фазы движения вдоль оси ОУ в два последовательные момента времени, когда координата х частицы достигает максимума; £ дается (179).

В окрестности сепаратрисы уравнения (137) предсказывают хаос (стохастический слой). Ширину стохастического слоя по энергии Ех можно оцененить следующим способом [75]. Сепаратрисное отображение (137) имеет четыре набора фиксированных точек: 4; = {/тг/2, I = 0.3, ц = 0,1, 2., где ги(! = —16 ехр > (138) сгущающихся к сепаратрисе. Сепаратрисное отображение, линеаризованное по энергии в точке и)ч, Ех = + есть стандартное отображение

1 ^ = -Ьвтр, (р'-<р = Г, (139) где (р = — 2</>, а параметр Ь равен

Ь = Р-, (140)

К!

Для Ь > 1 хаотическая компонента доминирует в фазовом пространстве стандартного отображения [15]. Для ширины стохастического слоя это дает

Ех = 16/ЗЯ; , ™ - (141) х у этЬ (тги) 7

Если Ех (¿) > —Ех, частица движется хаотически.

В пределах стохастического слоя возможно дальнейшее упрощение модели: можно заменить правую часть уравнения (137а) на ±е,

Е1+1 - Екх = ±е, (142 где знак перед е является случайной величиной с одинаковыми вероятностями для "+" и "—". При этом эволюция энергии в окрестности (141) сепаратрисы описана как случайное блуждание с шагом е: энергия в канале распада остается постоянной в течение времени, которое зависит от самой этой энергии, и затем мгновенно изменяется на ±£.

Динамика распадающейся системы может быть представлена как последовательная смена регулярного и хаотического режимов движения. Имея в начальный момент времени энергию в канале распада не слишком близкую к седловой, частица движется регулярно и ее движение можно описать однорезонанснои маятниковой моделью (см. предыдущий параграф). Если начальные условия позволяют ей достигнуть стохастического слоя, частица переходит в хаотический режим и, случайно блуждая, рано или поздно либо распадается, либо возвращается обратно в нелинейный резонанс. Движение в нелинейном резонансе квазипе-риодично на частотах 2со ± /Д, I = 0,1,2., где Д зависит от начальных условий системы, но всегда имеет порядок полуширины нелинейного резонанса по частоте, Д ~ Дг = К= \/4КО (см. Приложение В). Время тр между двумя последовательными фазами случайных блужданий можно оценить как период малых колебаний маятника, тр ~ 1/у/КП. Так как трД ~ 1 мы, строго говоря, не можем отличить регулярное движение от хаотического. Это позволяет нам распространить область применимости уравнения (142) за пределы стохастического слоя и использовать его для описания динамики системы при всех Ех < Ев.

При £ = 0 энергия в канале распада отрицательна, в то время как для распада должно быть выполнено условие Ех (¿) > 0. Минимальное число шагов т и минимальное время т(), нужные для системы, чтобы достигнуть седла, равны а: т т-1 1 0

Е°х\/е] + 1, Ь: го = £ Т (~Ейх + к) « - / Т (Е) с1Е

1=0 £ ¿о где [.] обозначают целую часть (см. Рис. 4.3 на стр. 110 и подпись к нему). Сумма в (143Ь) становится сколь угодно большой, когда Ех¡/е приближается к какому-либо целому числу, из-за логарифмической расходимости Т (Е) при Е —» Е8. Чтобы уйти от этого, безусловно, артефактного следствия принятой концепции случайных блужданий, мы будем использовать интегральную форму уравнения (143Ь), которая аппроксимирует сумму, но свободна от ее недостатков.

Обозначим за р¡п долю систем, которые распадаются на / — м шаге, I — т,т + 2,. Она равна вероятности сдвига на /—м шаге на т шагов вверх по энергии в первый раз. Эта вероятность может быть легко найдена [76]: рГ=^(¥Шг' (144)

Времена жизни /—шаговых траекторий принадлежат интервалу

Т (/) < t < Т+ (/), (145) где

Т± (/) = то+ (1-т)т±, Т- —Т (Я°) , г+=Т(^ + (ш-1)е)йТ(-е/2).

Аналогично случаю с то, чтобы избежать артефактного обращения т+ в бесконечность при некоторых начальных условиях, мы будем использовать приближенное выражение взамен точного, диктуемого моделью. Примем распределение времен жизни /—шаговых траекторий на интервале (145) непрерывным и равномерным (см. Рис. 4.4 на стр. 111), а: fi М = ТЦТг ■ Для т- (0 < 1 < Т+ (0 и / > Ш, b: fi (t) = 8(t- ru), для / = ш, (147) с: fi (0 = О Б остальных случаях.

Тогда распределение времен жизни F (t; Е^Ё) можно записать в виде

ОС V?fi(t)> (148) l=m,m+2. где зависимость от Е" содержится в m (см. уравнение (143а)).

Формула (148) очень трудна для анализа. Чтобы ее упростить, заменим факториалы на Г— функции Эйлера и используем конечно-разностное приближение для производной dF/dt, dF F{ Т+ (/+ 2); Д) - F (Т+ (/);Д°,£) dt ~ 2r+ ■ [ J

Интегрирование (149) no t дает скорость распада F {t\ E^E).

Когда t меняется с T+ (/) на Т+ (/ + 2), функция fi (t) обращается в ноль, в то время как функции fq (t) с индексами q, принадлежащими интервалу m+(l-m)— <q<m+(l-m + 2)—, (150) принимают ненулевые значения. Если I » 1, то нижняя граница интервала (150) сильно превосходит его ширину, что позволяет нам использовать для всех функций fq (t) одно и то же приближение

Л(*)« /т+М^Й- (151)

Из уравнений (149), (150) и (151) получаем dF рГ - РТ+ r^-fт dt 2 (r+-r)(i-r0)' где 1± =■ т + Скорость распада отсюда равна

152) р и- Ей Е) = ?п'2"" 7)/Т I"1'л' для t > ту, и Е (¿; Е1", Е) = 0 в обратном случае. Функция В (ж, у) — Г (ж) Г (у)/Г (х + у) - Бета-функция Эйлера, скорость распада зависит от Е^ через т, го и г±.

На малых временах скорость распада линейна. Если — т0)/т± < < 1, то ^ (¿; = а + Ь- (Ь — то), с коэффициентами т+ — \т/ г+ — т у 2 2т

154) где Ф (ж) = ^ 1п Г (х). Отметим, что Ь меняет знак при изменении га: Ь > 0, если га > гас = 3.48, и Ь < 0 в обратном случае. Так как о =--взятое при £ = то, мы можем сделать вывод, что если га > гас, то экспоненциального старта распада после £ = г(), не будет.

Асимптотика закона распада на больших временах имеет вид степенной функции,

2™ Т3/2 - Т3/2 1 (¿; Я) « ■ ^-----1 . (155)

1 ж ^ 3^ г+ - г ^ т0)3/2 1

Степенные хвосты скоростей распада объясняют обычно "зали-панием" траекторий в окрестностях замкнутых периодических орбит. В модели случайных блужданий такими орбитами являются циклы прыжков, простейшим из которых является цикл "туда-сюда", когда энергия частицы принимает только два значения. Так как скорость распада убывает как Е (£) £~Л//2, средоо нее по ансамблю время жизни (1)Е = / ЬЕ (¿) оказывается бесконечным.

На Рис. 4.5 (см. стр. 112) скорость распада (153) сравнена с результатами прямого численного расчета траекторий. Параметры гамильтониана ш = 0.5 и /3 = 0.01. Полная энергия Е = 0.5 = 2£У0, начальная энергия в канале распада Ейх = —0.075 = —0.3Г/(). Число систем, использованых в численном эксперименте, равнялось = 103. Каждая траектория интегрировалась методом Рунге-Кутта 4-го порядка с временным шагом Д£ = 0.01 до тех пор, пока координата х не становилась отрицательной или время жизни не превышало время обрыва счета тс = 103. Пик при Ь = тс соответствует последнему бину экспериментальной гистограммы и отвечает траекториям, не распавшимся за время счета.

Согласие между теорией и экспериментом хорошее. Для нашего выбора параметров гамильтониана и начального ансамбля отношение Е^/е = 1.19, что дает га = 2 < тс. Время задержки 70 = 7.69; минимальное время жизни, найденное в эксперименте, равнялось тШщ = 10.74. Экспериментальное время тийи должно превышать тд, так как мы считали шаг блуждания равным а не ев'т2фк, оценивая его, таким образом, сверху (см. уравнение (137а) и (142)). Порог хаоса Ех совпадает при ш = 0.5 с шагом е, Ех — £] Е1 близко к Ех, что делает сепаратрисное отображение применимым.

4.5 Обсуждение результатов

В этой главе, используя классический гамильтонов формализм, мы изучили вылет частицы из двумерного нелинейного потенциала с одним каналом распада. Начальный ансамбль Е был выбран немикроканоническим: кроме полной энергии Еу начальная энергия Е^ в канале распада была одинаковой для всех систем.

В параграфе 4.3 была исследована зависимость доли г/ нераспадающихся систем от энергии Е^, в канале распада. Было обнаружено, что условие Е > Ен не является достаточным для распада. При его выполнении распад идет только тогда, когда начальная энергия в канале распада превышает порог активации, Е°х > Еа (Е). Наиболее удивительным результатом является немонотонная зависимость г/ от при > Еа(Е). Этот факт был объяснен при помощи однорезонансной маятниковой модели.

Когда пересекает резонансное значение некоторые системы (их представляют маятники с-с1 на Рис. 4.2) оказываются сильно захваченными в нелинейный резонанс. Отклонения угловых моментов этих маятников от резонансного значения слишком малы, чтобы вести к распаду.

Поведение скорости распада на средних временах зависит от ЕЕсли минимальное число шагов га, необходимое частице, чтобы достигнуть седла, превышает критическое значение тс = 3.48, то скорость распада имеет максимум при £ > то- Соответственно, старт распада после времени задержки не является экспоненциальным. В обратном случае (га < тс) скорость распада убывает со временем монотонно, что позволяет описывать ее на временах порядка нескольких то экспоненциальной функцией.

На больших временах было выявлено степенное спадание скорости распада, Е (¿) ~ ¿~3/2. Оно было объяснено стандартным образом - как следствие залипания траекторий в окрестностях периодических траекторий.

Развитая в данной Главе теория может быть применена к широкому классу гамильтоновых систем. Она основана на фундаментальных принципах нелинейной механики и может оказаться полезной во многих областях физики, например, при исследовании распада или стабильности микрочастиц, или при описании мономолекулярных реакций. Обобщение на неконсервативные системы и на системы с более чем двумя степенями свободы представляет интересную и важную задачу.

Часть IV Заключение

Темой, объединяющей представленные в данной работе результаты, является теоретическое исследование динамики микрочастиц в высоковозбужденных состояниях. Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

1. Исследован отклик микроканонического ансамбля классических одномерных нелинейных осцилляторов на однородное гармоническое внешнее поле за границами применимости теории возмущений. Введена новая характеристика отклика, - гармоническая восприимчивость (ГВ), - являющаяся обобщением линейной восприимчивости на случаи, когда возмущение не может считаться малым. ГВ найдена аналитически и численно для случаев умеренного и сильного возмущения.

2. Для умеренных возмущений выявлена резонансная зависимость ГВ от частоты поля. Показано, что центр резонанса совпадает с частотой собственных колебаний осциллятора, значение ГВ в центре резонанса обратно пропорционально силе поля, ширина резонанса растет с силой поля корневым образом. Для сильных полей обнаружено плато ГВ на частотах, меньших собственной частоты колебаний осциллятора, вызванное быстрым расплыванием начального ансамбля по энергии.

3. Решена задача о квадратичном отклике частицы, находящейся в зеркально-симметричном двухямном потенциале в нестационарном начальном состоянии, являющемся квантовым аналогом классического движения в одной из двух ям потенциала. Показано, что благодаря туннельному расщеплению уровней в отклике второго порядка по полю присутствуют компоненты с частотами, экспоненциально близкими к удвоенной частоте внешнего поля, что позволяет говорить о генерации второй гармоники зеркально-симметричными системами в дипольном приближении. Показано, что дипольный вклад в генерацию второй гармоники доминирует над всеми остальными.

4. Рассмотрена новая динамическая система - биллиард Бора, на примере которой исследовано влияние дополнительного интеграла движения на динамику классических гамильтоновых систем. Для нераспадающихся состояний выявлены существенные (более чем в три раза) различия во временах автокорреляции различных динамических переменных, исследованы функции распределения динамических переменных. Для распадающихся состояний найдена зависимость константы экспоненциального распада от параметров гамильтониана и интегралов движения с точностью 10-15% при диапазоне изменения константы распада, превышающем два порядка.

5. Исследован распад в ансамбле двумерных нелиненых осцилляторов с одним каналом распада. Показано, что если начальная энергия Е[! в степени свободы, отвечающей за распад, превышает порог активации Еа, то в ансамбле существуют как распадающиеся, так и нераспадающиеся системы. Доля нераспадающихся систем найдена аналитически. Она зависит от Е" немонотонно, что связано с выполнением резонансных условий для частот движения вдоль каждой из степеней свободы. Закон распада для распадающейся части ансамбля найден аналитически. Он убывает на больших временах как ~ ¿г1/2. Начальная фаза распада существенно зависит от Еесли Е®. меньше некоторого значения, зависящего от полной энергии и константы связи между степенями свободы, то начальная фаза распада оказывается неэкспоненциальной.

В заключение хочу поблагодарить моего научного руководителя Павла Вячеславовича Елютина, чье руководство и советы, к моему счастью, не ограничивались рамками только науки. Я также благодарен всем сотрудникам кафедры квантовой радиофизики за внимание и интерес к моей работе и за полезные дискуссии в рамках кафедрального семинара и вне его. Отдельно хочется поблагодарить Андрея Бурлакова и Олю Смирнову за многочисленные научные и не научные беседы.

Часть V

Таблицы, рисунки и подписи к ним

1. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики. — М.: Наука, 1989. — 557 с.

2. Ильинский Ю.А., Келдыш JI.B. Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом. — М., Наука, 1989. — 232 с.

3. Н. Бломберген. Нелинейная оптика. — М., Мир, 1966. — 424 с.

4. Физическая энциклопедия. Т.1. Гл. ред. A.M. Прохоров. — М.: Сов. энциклопедия, 1988. — 704 с.

5. Физическая энциклопедия. Т.2. Гл. ред. A.M. Прохоров. — М.: Сов. энциклопедия, 1990. — 703 с.

6. Ландау, Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, Часть 1. — 4-е изд., испр. — М.: Наука, 1995. — 605 с.

7. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // УФН, 1971, т. 105, 1, 3-39.

8. Гапонов A.B., Петелин М.И., Юлпатов В.К. Индуцированное излучение возбужденных классических осцилляторов и его использование в высокочастотной электронике // Изв. ВУЗов (Радиофизика), 1967, т. 10, 9-10, 1414-1453.

9. Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы. — М.: Мир, 1978. — 222 с.

10. Berman G.P. and Zaslavsky G.M. Theory of quantum nonlinear resonance // Phys. Lett. A, 1977, v. 61A, 5, 295-296.

11. Елютин П.В., Филиппов Т.В. Переходы между квазиэнергетическими состояниями слабонелинейных квантовых систем // Оптика и спектроскопия, 1990, т. 68, 1, 13-17.

12. Коловский А.Р. Восприимчивость слабонелинейной квантовой системы // Оптика и спектроскопия, 1990, т. 69, 4, 755764.

13. Боголюбов Н.Н., Митропольский, Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — 3-е изд. — М.: Физматгиз, 1963. — 412 с.

14. Заславский Г.М., Филоненко Н.Н. Стохастическая неустойчивость захваченных частиц и условия применимости квазинелинейного приближения // ЖЭТФ, 1968, т. 54, 5, 15901602.

15. Chirikov B.V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Phys. Rep., 1979, v. 52, 5, 265-379.

16. Лихтенберг А., Либерман M. Регулярная и стохастическая динамика. — М.: Мир, 1984. — 528 с.

17. Заславский P.M. Стохастичность динамических систем. — М.: Наука, 1984. — 271 с.

18. Меерсон Б.И., Оке Е.А., Сасоров П.В. Стохастическая неустойчивость осциллятора и ионизация высоковозбужденных атомов под действием электромагнитного излучения / / Письма в ЖЭТФ, 1979, т. 29, 1, 79-82.

19. Bayfield J.E. and Koch P.M. Multiphoton ionization of highly excited hydrogen atoms // Phys. Rev. Lett., 1974, v. 33, 5, 258-261.

20. Делоне М.Б., Крайнов В.П., Шепелянский Д.Л. Высоковозбужденный атом в электромагнитном поле // УФН, 1983, т. 140, 3, 355-392.

21. Casati G., Chirikov B.V., Shepelyansky D.L. and Guarneri I. Relevance of classical chaos in quantum mechanics: the hydrogen atom in a monochromatic field // Phys. Rep., 1987, v. 154, 2, 77-123.

22. Dando P.A., Monteiro T.S., Owen S.M. Periodic orbit theory for Rydberg atom in external field // Phys. Rev. Lett., 1998, v. 80, 13, 2797-2800.

23. Делоне Н.Б. Ридберговские атомы // Сорос, образов, ж-л, 1998, т. 4, 64-70.

24. Fisher D.S., Fehrenbach C.W., Lindeen S.R. et al. Energy transfer in charge collisions between slow ions and Rydberg atoms // Phys. Rev. Lett., 1998, v. 81, 9, 1817-1820-2800.

25. Milczewski J., Diercksen G.H.F., Uzer T. Intramanifold chaos in Rydberg atoms in external fields // Phys. Rev. Lett., 1994, v. 73, 18, 2428-2431.

26. Main J., Wunner G. Rydberg atoms in external fields, as an example open quantum system with classical chaos //J. Phys. B, 1994, v. 27, 13, 2835-2848.

27. Benvenuto F., Casati G., Shepelyansky D.L. Rydberg stabilization of atoms in strong fields: the "magic mountain" in the chaotic sea // Zeitschrift fiir Phys. B, 1994, v. В94, 4, 481-486.

28. Рощупкин А.С., Крайнов В.Г1. Проблема Улама и ионизация ридберговских атомов СВЧ-полем // ЖЭТФ, 1998, т. 114, 1, 37-45.

29. Elyutin P.V. and Shan J. Susceptibility of chaotic systems to perturbation // Phys. Rev. Lett., 1996, v. 77, 25, 5043-5046.

30. Elyutin P.V. Classical susceptibilities of chaotic systems // Phys. Lett. A, 1997, v. 233, 3, 175-180.

31. Елютин П.В., Смирнова О.В. О квазиклассическом пределе квадратичной восприимчивости // ТМФ, 1999, т. 119, 1, 93104.

32. Ландау, Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — 4-е изд. — М.: Наука, 1989. — 767 с.

33. Ландау, Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — 4-е изд. — М.: Наука, 1995. — 504 с.

34. Bohr N. Nature (London), 1936, v. 137, 334.

35. Bohr N. Science, 1937, v. 86, 161.

36. Бор II. Избранные научные труды. В 2-х т. Под ред. И.Е. Тамма. Том 2. — М.: Наука, 1971.

37. Синай Я.Г. К обоснованию эргодической гипотезы для одной динамической системы статистической механики // ДАН СССР, 1963, т. 153, 6, 1261-1264.

38. Синай Я.Г. Динамические системы с упругими отражениями. Эргодические свойства рассеивающих биллиардов // УМН, 1970, т. 25, 2, 141-192.

39. Бунимович Л.А. Об эргодических свойствах некоторых биллиардов // Функц. анализ и его нрил., 1974, т. 8, 3, 73-74.

40. Bennetin G. and Strelcyn J.-M. Numerical experiments on the free motion of a point mass moving in a plane convex region: stochastic transition and entropy // Phys. Rev. A, 1978, v. 17, 2, 773-785.

41. Елютин П.В., Островская Е.А. О спектре стохастического движения в биллиардах, близких к круговым // ДАН СССР, 1993, т. 329, 5, 575-577.

42. Бунимович Л.А. Об убывании корреляций в динамических системах с хаотическим поведением // ЖЭТФ, 1985, т. 89, 4, 1452-1471.

43. Bouchaud J.-P. and Le Doussal P. Numerical study of a D-dimensional periodic Lorenz gaz with universal properties //J. Stat. Phys., 1985, v. 41, 1-2, 225-248.

44. Robnik M. Classical dynamics of a family of billiards with analytical boundaries // J. Phys. A, 1983, v. 16, 17, 3971-3986.

45. Kramli A., Simanyi N. and Szasz D. title Ann. of Math. (2), 1991, 133, 37.

46. Fermi E., Pasta J. and Ulam S. Studies of Nonlinear Problems (Los-Alamos Scientific Report, LA 1940, 1955).

47. Ford J. The Fermi-Pasta-Ulam problem: paradox turns discovery // Phys. Rep., 1992, v. 213, 5, 271-310.

48. Робинсон П. и Холбрук К. Мономолекулярные реакции. — М.: Мир, 1975. — 380 с.

49. Berblinger M., Schlier С. How accurate is Rice-Ramsperger-Kassel-Marcus theory? // Л. Chem. Phys., 1994, v. 101, 6, 4750-4758.

50. Brady J.W., Doll J.D. and Thompson D.L. Clusters dynamics: a classical trajectory study of A + An A*n+1 // J. Chem. Phys., 1979, v. 71, 6, 2467-2472.

51. Eckhardt B. Irregular scattering // Physica D, 1988, v. 33, 1-3, 89-98.

52. Handke G. Fractal dimensions in the phase space of two-electron atoms // Phys. Rev. A, 1994, v. 50, 5, R3561-3564.

53. Pikovsky A.S. Escape exponent for transient chaos and chaotic scattering in non-hyperbolic Hamiltonian systems // J. Phys. A, 1992, v. 25, 8, L477-481.

54. Meyer N., Benet, L., Lipp C. et, al. Chaotic scattering off a rotatinf target // J. Phys. A, 1995, v. 28, 9, 2529-2544.

55. Cheon Т., Shigelmra T. and Yoshinaga N. Irregular scattering with complex target // Prog. Theor. Phys., 1995, v. 93, 2, 483488.

56. Ding M., Bountis T. and Ott E. Algebraic escape in higher dimensional Hamiltonian systems // Phys. Lett. A, 1990, v. 151, 8, 395-400.

57. Крылов H.C. Работы по обоснованию статистической физики. — М.-Л., 1950. — 208 с.

58. ИТОГИ НАУКИ И ТЕХНИКИ. Современные проблемы математики. Динамические системы, т.2. — Москва, ВИНИТИ, 1985. — 310 с.

59. Garrido P.L. and Gallavotti G. Billiards correlation functions // J. Stat. Phys., 1994, v. 76, 1-2, 549-585.

60. Исихара А. Статистическая физика. — M.: Мир, 1973. — 471 с.

61. Karney C.F.F. Long-time correlation in the stochastic regime // Physica D, 1983, v. 8, 3, 360-380.

62. Chirikov B.V. and Shepelyansky D.L. Correlation properties of dynamical chaos in Hamiltonian systems // Physica D, 1984, v. 13, 3, 395-400.

63. Bauer W. and Bertsch G. Decay of ordered and chaotic systems // Phys. Rev. Lett, 1990, v. 65, 18, 2213-2216.

64. Elyutin P.V. and Pavlov-Verevkin B.V. Bohr billard: decay in the chaotic Hamiltonian systems with two integrals of motion // Phys. Rev. E, 1997, v. 56, 5, 5044-5050.

65. Evans A.K. Long-time behavior of correlation functions in the finite ideal gaz // Phys. Rev. E, 1995, v. 51, 6A, 5462-5468.

66. Alt H., Graf H.D., Harney H.L., Hofterbert R.R., Renfeld H., Richter A. and Schardt P. Decay of classical chaotic systems: the case of Bunimovich stadium // Phys. Rev. E, 1996, v. 53, 3, 2217-2222.

67. Morbidelli A. and Vergassola M. Escape rates in Hamiltonian systems // J. Stat. Phys, 1997, v. 89, 3-4, 549-560.

68. Hillermeier C.F., Bhimer R. and Smilansky U. Ionization of II Rydberg atoms: fractals and power law decay // Phys. Rev. A, 1992, v. 45, 6, 3486-3502.

69. Afraimovich V. and Zaslavsky G.M. Fractal and multifractal properties of exit times and Poincare recurences // Phys. Rev. E, 1997, v. 55, 5A, 5418-5426.

70. Chui C., Misra В and Sudarshan E.C.G. The time scale for the quantum Zeno paradox and proton decay // Phys. Lett. B, 1982, v. 117, 1-2, 34-40.

71. Fermann M.E., Golvanauskas A., Sucha G. and Harter D. Fiberlasers for ultrafast optics // Appl. Phys. B, 1997, v. 65, 2, 259275.

72. Nelson L.E., Jones D.J., Tamura K., Haus II.A. and Ippen E.P. Ultrashort-pulse liber ring lasers // Appl. Phys. B, 1997, v. 65, 2, 277-294.

73. Willox R., Antoniou L and Levitan J. Initial, non-exponential decay in billiards // Phys. Lett. A, 1997, v. 226, 3-4, 167-171.

74. Мельников В.К. Качественное описание сильного резонанса в нелинейной системе // ДАН СССР, 1963, т. 148, 6, 12571260.

75. Kuznetzov L.I., Zaslavsky G.M. Hidden renormalization group for the near-separatrix Hamiltonian dynamics // Phys. Rep., 1997, v. 288, 1-6, 457-485.

76. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — 498 с.

77. Elyutin P.V. and Pavlov-Verevkin B.V. Response of a nonlinear Hamiltonian system to the external harmonic field: resonant and chaotic cases. // Pliys. Rev. E, 2000, v. 61, 3, 2579-2585.

78. Градштейн, И.С., Рыжик, И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 5-е изд. — М.: Наука, 1971. — 1108 с.