Слабо-нелокальные структуры, метод Уизема и геометрия квазипериодических функций на плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Институт Теоретической Физики им. Л.Д.Ландау РАН

На правах рукописи

МАЛЬЦЕВ Андрей Яковлевич

СЛАБО-НЕЛОКАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ, МЕТОД УИЗЕМА И ГЕОМЕТРИЯ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НА ПЛОСКОСТИ

01.01.03 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

Черноголовка 2005.

Работа выполнена в Институте Теоретической Физики им.Л.Д.Ландау РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук В.Ф. Гантмахер доктор физико-математических наук Б.А. Дубровин доктор физико-математических наук П.Г. Гриневич Ведущая организация -Физический Институт им. П.Н.Лебедева РАН

Защита состоится 23 июня 2005 г. в 11 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д.002.207.01 по адресу: Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, 142432, Московская обл., г. Черноголовка, пр. ак. Семенова 1А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л.Д.Ландау РАН

Автореферат разослан: » »О мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических Л.А.Фальковский

наук

Общая характеристика работы.

Актуальность исследования. Появление интереса к слабо-нелокальным гамильтоновым и симплектическим структурам связано прежде всего с теорией интегрируемых уравнений в частных производных. Насколько нам известно, первым примером гамильтоновой структуры, записанной в таком виде, стала скобка Соколова ([1]) для уравнения Кричевера-Новикова ([2]), связанного с решениями "ранга 2"уравнения Кадомцева-Петвиашвили. До этого были хорошо известны локальные гамильтоновы операторы, обобщением которых и являются слабо-нелокальные операторы. Важным моментом в развитии теории таких операторов явилась работа [3] (В.Ет^иег, А.Орлов, В.Рубцов), в котором была выявлена слабо-нелокальная структура всех "высших"гамильтоновых операторов для иерархии КдФ, получаемых с помощью оператора рекурсии.

Другие важные примеры слабо-нелокальных гамильтоновых структур связаны с системами гидродинамического типа и также носят название гамильтоновых структур гидродинамического типа. Гамильтонов формализм систем гидродинамического типа, связанный с дифференциальной геометрией, появился в работах Б.А. Дубровина и С.П. Новикова ([4, 5]), где была построена теория локальных дифференциально-геометрических скобок гидродинамческого типа. Как оказалось, именно такой формализм является тесно связанным с теорией интегрирования систем гидродинамического типа, т.е. систем вида

Именно, как предположил С.П. Новиков, системы гидродинамического типа, приводимые к диагональному виду

и гамильтоновы по отношению к скобке Дубровина-Новикова произвольного вида с локальным гамильтонианом

Щ = уди )££

Щ = УДИ

•+00

я

являются вполне интегрируемыми.

Гипотеза С.П. Новикова была доказана С.П. Царевым ([6]), который предложил "обобщенный метод годографа", позволяющий решать системы такого типа.

Заметим при этом, что гамильтонова теория и теория интегрирования систем такого типа тесно связана также с методом усреднения Уизема ([7]) для интегрируемых уравнений. Именно, замечательным фактом системы Уизема, описывающей эволюцию медленно-промодулированных параметров точных т-фазных решений интегрируемых уравнений является ее диагонализуемость ([7, 8]) в указанном выше смысле. Кроме того, Б.А. Дубровиным и С.П. Новиковым ([4, 5]) была предложена также процедура усреднения локальных теоретико-полевых гамильтоновых структур, дающих локальные гамильтоновы структуры гидродинамического типа (скобки Дубровина-Новикова) для соответствующих систем Уизема. Уаказанные обстоятельства составили при этом основу теории интегрирования систем Уизема для интегрируемых уравнений, а также построения важных решений таких систем.

Позднее, О.И. Моховым и Е.В. Ферапонтовым ([9]), а также Е.В. Ферапонтовым ([10, 11]), были построены важные слабо-нелокальные обощения скобки Дубровина-Новикова, представляющие собой наиболее общие гамильтоновы операторы для систем гидродинамического типа. Важнейшим обстоятельством для таких операторов явилось при этом то, что они также связаны с теорией диагонализуемых интегрируемых систем гидродинамического типа, как и локальные операторы Дубровина-Новикова. А именно, как следует из теоремы С.П. Царева ([6]), интегрируемой с помощью "обобщенного метода годографа"является любая диагональная система гидродинамического типа допускающая гамиль-тонову структуру Дубровина-Новикова, Мохова-Феропонтова или Феро-понтова. Скобки Ферапонтова, являющиеся при этом операторами наиболее общего вида, могут рассматриваться при этом как наиболее общие слабо-нелокальные операторы гидродинамического типа.

В работе [12] С.П. Новиковым и автором, был доказан факт, аналогичный результату [3] для иерархии НУШ. Именно, было доказано, что все "высшие"гамильтоновы операторы для иерархии НУШ имеют слабо-нелокальную структуру. Кроме того, было отмечено, что как в слу-

чае иерархии КдФ, так и в случае иерархии НУШ, слабо-нелокальную структуру имеют также "отрицательные "симплектические операторы, обратные к "отрицательным"операторам Гамильтона. Там же было отмечено, что структуры такого типа (т.е. слабо-нелокальные "положи-тельные"гамильтоновы операторы и "отрицательные"симплектические структуры), видимо, свойственны большинству интегрируемых иерархий.

Задача об описании геометрии линий уровня квазипериодических функций на плоскости была поставлена С.П. Новиковым. Наиболее фундаментальное значение эта задача имеет в случае квазипериодических функций, имеющих три квазипериода. Именно этот случай соответствует задаче описания геометрии квазиклассических электронных траекторий на поверхностях Ферми сложной структуры в присутствии однородного магнитного поля В. Важность геометрических свойств таких электронных траекторий для гальваномагнитных явлений в пределе сильного магнитного поля была открыта школой И.М. Лифшица (И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, М.И. Каганов, В.Г. Песчанский). Тогда же ([13]-[19]) были исследованы многие примеры весьма интересных поверхностей Ферми и описаны различные режимы поведения проводимости в пределе сильного магнитного поля. Исследования, проведенные школой И.М. Лифшица, образовали классическую область физики твердого тела, которая и на данный момент является весьма важной при исследовании поверхностей Ферми и представляет собой, на наш взгляд, одну из наиболее красивых областей.

Теория гальваномагнитных явлений в металлах, развитая школой И.М. Лифшица, явилась основным стимулирующим фактором для построения математической теории слоений на периодических поверхностях, образованных линиями уровня замкнутой 1-формы, имеющей постоянные коэффициенты. Соответствующая задача была поставлена С.П. Новиковым и детально исследовалась его школой (С.П. Новиков, A.B. Зорич, И.А. Дынников, С.П. Царев). Как при этом оказалось, соотвествующая задача может являться источником довольно глубоких топологических наблюдений и нетривиальных структур. На данный момент можно сказать, что получено полное описание всевозможных возникающих случаев

в данной ситуации, так что в целом, эту задачу можно считать решенной ([20]-[29]).

Заметим, что полученные результаты являются важными также для теории гальваномагнитных явлений в металлах. Физические приложения топологических теорем исследовались С.П. Новиковым и автором. В частности, при этом были введены топологические характеристики устойчивых "нетривиальных"режимов поведения проводимости, имеющие вид "топологических чисел", а также описаны новые режимы проводимости, могущие возникать при наличии сложных "хаотических"тра-екторий на поверхности Ферми.

В данной работе, однако, мы уделяем основное внимание более общей проблеме С.П. Новикова, связанной с описанием геометрии линий уровня произвольной квазипериодической функции на плоскости. Отметим, что описанный выше случай является при этом частным случаем данной проблемы, соответствующим функциям с тремя квазипериодами. Надо сказать, что общая проблема С.П. Новикова, вообще говоря, является еще более сложной и топологическая сложность этой проблемы нарастает с увеличением числа квазипериодов функции. На данный момент основным результатом на случай функций с четырьмя квазипериодами является теорема С.П. Новикова ([30, 31]), утверждающая существование всюду плотных открытых множеств квазипериодических функций с "топологически регулярным "поведением линий уровня. Более сложные случаи также исследуются в настоящее время.

Мы будем рассматривать в части II квазипериодические модуляции двумерного электронного газа и соответствующие линии уровня возникающего модуляционного потенциала. Проблема описания геометрии таких линий уровня имеет при этом прямое отношение к гальваномагнитным явлениям в таких системах в пределе большой длины свободного пробега. Мы остановимся при этом подробно на случаях трех и четырех квазипериодов и будем интересоваться , главным образом, "топологически регулярным"поведении линий уровня. В частности, мы рассмотрим аналоги "топологических чисел", введепых ранее для гальваномагнитных явлений в металлах. Вообще же говоря, данное приложение по всей видимости, не является единственым для данной проблемы. Мы ожидаем, что в ближайшее время должны появиться как новые топологические

результаты, посвященные этой задаче, так и различные приложения, где она играет важную роль.

Научная новизна. Основные результаты, положенные в основу диссертации, получены впервые. Исследованы общие свойства слабо-нелокальных гамильтоновых и симплектических структур. Исследованы свойства слабо-нелокальных структур гидродинамического типа, согласованных структур такого типа и соответствующих интегрируемых иерархий. Исследована связь слабо-нелокальных структур с методом Уизема. Получены процедуры усреднения слабо-нелокальных структур. Исследована возможность создания квазипериодических потенциалов для двумерных электронных систем и рассмотрена задача С.П. Новикова об описании геометрии линий уровня квазипериодических функций в применении к таким системам. Проведено сопоставление соответствующих результатов с рассматриваемыми ранее приложениями теории квазипериодических функций в теории нормальных металлов. Обсуждены также более сложные случаи, могущие возникать в таких системах.

Цель работы. В данной работе мы исследуем некоторые общие свойства слабо-нелокальных гамильтоновых и симплектических структур, касающиеся их нелокальных частей и важные для дальнейшего изложения. Затем мы более подробно остановимся на слабо-нелокальных гамильтоновых структурах гидродинамического типа, и, в частности, рассмотрим "Лиувиллевы"и "Канонические"формы таких скобок, а также подробно рассмотрим пространства их аннуляторов и "канонических функционалов". Мы рассмотрим затем симплектические структуры, соответствующие слабо-нелокальным скобкам гидродинамического типа, и, в частности, покажем, что они также имеют слабо-нелокальную структуру. Используя явный вид таких структур мы докажем существование "функционала импульса"для общей слабо-нелокальной скобки гидродинамического типа. Явный вид симплектических структур для скобок гидродинамического типа при этом будет также играть основную роль в определении "слабо-нелокальных симплектических структур гидродинамического типа". После этого мы рассмотрим пучки согласованных скобок гидродинамического типа и исследуем "интегрируемые иерархии", порожденные такими пучками. Затем мы обратимся к методу усреднения

Уизема и предложим процедуры усреднения как слабо-нелокальных га-мильтоновых структур общего вида, так и слабо-нелокальных симплек-тических структур, а также "слабо-нелокальных"Лагранжианов. Процедура усреднения слабо-нелокальных гамильтоновых структур будет давать при этом обшие скобки типа Ферапонтова для системы Уизема при условии, что исходная система допускает слабо-нелокальную гамильто-нову структуру общего вида. Процедура усреднения слабо-нелокальных симплектических структур позволяет строить слабо-нелокальные сим-плектические структуры гидродинамического типа для системы Уизема, исходя из слабо-нелокальных симплектических структур для исходной системы. Процедура усреднения "слабо-нелокальных" Лагранжианов позволит получать слабо-нелокальный формализм "гидродинамического ти-па"для систем Уизема, исходя из общего слабо-нелокального формализма исходной системы.

В части II мы подробно рассмотрим применение метода лазерного возбуждения низколежащих уровней для создания квазипериодических потенциалов в двумерных электронных системах. Мы покажем, что данный метод легко позволяет строить квазипериодические модуляционные потенциалы с произвольным числом квазипериодов, и расмотрим топологические характеристики получаемых потенциалов, учитывая специфику метода. В частности, мы рассмотрим с этой точки зрения действие "группы квазипериодов "и введем "топологичекие числа" для регулярных открытых линий уровня потенциала, исходя из специфики созданных потенциалов. После этого мы обсудим вопросы экспериментального наблюдения описываемых явлений, а также структуру "пространства параметров" квазипериодических потенциалов, естественно возникающих в описываемом подходе.

Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные в диссертации теоретические результаты должны быть полезными при исследовании слабо-нелокальных гамильтоновых и симплектических структур общего вида, а также структур гидродинамического типа. Результаты должны иметь применение при изучении интегрируемых иерархий общего вида и гидродинамического типа, а также применение в теории медленных модуляций. Так, мы полагаем, что процедуры усреднения

слабо-нелокальных структур позволят получить слабо-нелокальные га-мильтоновы и симплектические струтуры для уравнений Уизема многих интегрируемых уравнений. Исследование квазипериодических модуляций двумерных электронных структур, на наш взгляд, может оказаться полезным при исследовании свойств двумерного электронного газа в таких структурах. Современные методы позволяют при этом получает самые разные квазипериодические модуляции с различными свойствами. Мы верим при этом, что рассмотренные вопросы могут оказаться полезными во многих таких структурах при исследовании транспортных явлений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседаниях Ученого Совета и семинарах ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН, на семинарах SISSA-ISAS (Триест), University of Maryland, Конференциях: "Solitons, Collapses and Turbulence"Черноголовка, Август 1999; "Workshop on Whitham Equations and Their Applications in Mathematics and Physics"SISSA-ISAS, Триест, Ноябрь 27 - Декабрь 03, 2000; "Topology in Condensed Matter Physics", Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems, Дрезден, Июнь 17 - 21, 2002; "Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements, Developments and Perspectives", Черноголовка, Август 1822, 2002; "Classification Problems in the Theory of Integrable Systems", SISSA-ISAS, Триест, Октябрь 1-5, 2002; Конференция им. И.Г. Петровского "Differential Equations and Related Topics", МГУ, Москва, Май 1622, 2004; "12 Сессия Научного Совета РАН "Нелинейная Динамика", Институт Океанологии РАН им. Ширшова, 20-21 декабря 2004.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух частей, заключения и списка литературы.

Содержание работы.

Во введении рассматривается постановка и история вопросов, актуальность рассматриваемых задач и их взаимосвязь, а также приводится последовательность изложения материала диссертации. В частности, во введении содержится обсуждение локальных Пуассоновых структур, которые могут считаться частным случаем слабо-нелокальных структур,

а также их связь с методом Уизема. Мы включили во введение также обсуждение гальваномагнитных явлений в нормальных металлах, являющихся исторически первым применением теории квазипериодических функций к транспортным явлениям, ограничивающимся квазипериодическими функциями с тремя квазипериодами.

В первой части рассматриваются слабо-нелокальные структуры и метод Уизема. Часть состоит из шести глав, посвященных следующим вопросам.

В главе 1, рассматриваются общие слабо-нелокальные гамильтоновы и симплектические структуры, имеющие вид

м*), ^(У)} = £ в*{<р, >рх,.. .)5^(х - у)+

к> О

+ £ екЗ(к){<р, <Рх, ■ • >(® - щ, ■ ■ •) (1)

к> О

где е* = ±1 и

Пу(*> У) = £<<Рх, • • ■) ^к)(х -у) +

к> О

д

+ £ е» <1{г\'Р> ■ ■ О К® ~ У) 4>у, ■ ■ •) (2)

в=1

соответственно. Рассматриваются общие свойства нелокальных частей (1) и (2) и, в частности, доказываются следующие утверждения: Для любой гамильтоновой струтуры (1):

1) Потоки

Р* = $(*)(¥>, ¥>*.-■■) (3)

коммутируют друг с другом.

2) Каждый из потоков (3) сохраняет гамильтонову структуру (1) Для любой симплектической структуры (2) функции ■ - •) задают коэффициенты замкнутой 1-формы на пространстве {<р(ж)}. (Подразумевается, что как функции '-Рх-, ■ ■ ■), так и <-Рт образуют линейно независимые наборы.)

В главе 2 рассматриваются гамильтоновы и симплектические структуры гидродинамического типа имеющие вид

{ЕГ(Х),СА"(У)} = дГ"(и)#(Х-У) + ЬИи) ~ У) +

+ Е в* ^дал(и) ^ «/(А" - У) «^(17) и6у (4)

к= 1

и

ад п = Е(*) к* - ^оо (5)

соответственно. При этом исследуются "Лиувиллева"и "каноническая" формы скобки (4), а также пространства ее аннуляторов и "канони-ческих"функционалов. В главе, в частности, доказываются следующие утверждения относительно "канонической"формы скобки (4):

1) Любая скобка (4) с невырожденной метрикой <?"''( У) может быть локально записана в Канонической форме

К(Х),П«(Г)} = -Ее^(%Щ%(п)) ¿'(х - у)-\ к=0 /

"1> /&(")*(* - у)+

к=0

+ Х> {%)("))х - У) (/£,(«)) (6)

к=О

после некоторого преобразования координат п" = пи{и). Более того, для любой заданной точки Ио можно выбрать координаты п"(и) таким образом, что п"{иа) = 0, /^(0) = 0.

2) Интегралы

Ии = I п"{Х)йХ (7)

являются аннуляторами скобки (6) на Ц^ пространстве £и0> состоящем из петель, начинающихся и заканчивающихся в точке Цо-3) Потоки

порождаются при этом локальными гамильтонианами

Нк = 1кк{п)(1Х

на том же фазовом пространстве.

В главе показано также, что скобка (4) с невырожденной метрикой всегда обладает симплектической структурой, имеющей при этом

вид

6 _ ^ тдпт ( й у1 дпт , ^ анк (а у1 дНк

"«"«- 6 ди» их I ди»+ ^ екди" их) дим ^

т=1 4 ' к-1 4 7

а также функционалом импульса вида

/+оо 1 г+оо ( N д \

= =■ / еТпТпТ+£ е*л*л* (9) 00 2J-co \т=1 к=1 )

В главе 3 рассматриваются согласованные пучки слабонелокальных гамильтоновых операторов гидродинамического типа (4), имеющие вид

Я" = ^ + Щ = + 45) ^ + (^0), +

9о 91

+ £ едаЧо^^^-Чож^ + А £ (10)

*=1 £=1

При этом рассматривается оператор рекурсии, соответствующий таким пучкам и соответвующие интегрируемые иерархии. В главе покажи

зывается, в частности, что при условии невырожденности тензора

а также некотором дополнительном условии невырожденности, связанным с нелокальными частями операторов и верны следующие утверждения

(1) Можно ввести локальные функционалы:

/+оо

п"(и, \)йХ , 1/ = 1,...,ЛГ (11)

ОО

/+00

р(и, Х)йХ (12)

ОО

/+оо

\)с1Х , к=1,...,д0 (13)

ОО

/+00

Н\х){и,\)йХ , 8 = 1,...,9! (14)

■00

являющиеся аннуляторами, функционалом импульса и Гамильтонианами потоков ш"0щ(и)их и и,(1)аГ1(и)их для скобки соответственно.

(2) Все функции тг"(£/, А), р(11, А), Ьщ(и, А) и А) - регулярны при А —> 0 и могут быть представлены регулярными рядами:

+оо +00

п"{и, А) = £>*([/) А' , р(и, А) = 5>,(Е7) А" (15)

д=0 9=0

+оо +оо

Л*0)(С/, А) = , А) = £ /^(ЮА« (16)

9=0 9=0

Более того, мы можем выбрать эти функционалы таким образом, что: где ¿¿е£ ф 0.

(3) Интегралы N"(0), Р(0), Я*0)(0) и Я^(0) являются аннулятора-ми, функционалом импульса и Гамильтонианами потоков и

vj'(ijsv(U)Ux для скобки J^J, в то время как потоки, порожденные функционалами

/+00

fq(U)dX

■00

связаны соотношениями:

jvj df(g+1) _ _ dfq

(°) di/« " JO)0t/€

для любого функционала F(A) из набора (11)-(14).

Все функционалы Fq, задаваемые разложениями (15)-(16) порождают локальные потоки и коммутируют друг с другом в силу обеих скобок J(o) И J( 1).

Кроме того, при тех же условиях показано, что любая положительная степень оператора рекурсии, а также все "положительные"высшие гамильтоновы операторы и "отрицательные"симплектические структуры имеют слабо-нелокальную форму гидродинамического типа.

В главе 4 рассматривается связь слабо-нелокальных гамильтоновых структур с методом Уизема. При этом мы рассматриваем метод Уизема для локальных систем, имеющих эволюционную форму

<Р1 = Q*(¥>. ¥>*>•••) (17)

Мы полагаем, что система (17) имеет конечно-параметрическое семейство Л квазипериодических решений

ipl(x,t) = Ф1 (k(U) х + w(U) t + в0, U) , г = 1,..., n (18)

где 9 = (01,...,0m), k = (/k\...,km), и = (а/,... ,wm) и Фг(0,и) образуют семейство 27г-периодических по отношению ко всем ва функций, зависящих от дополнительных параметров U = (U1,..., UN). Функции Фг(в, U) удовлетворяют системе

и/*(и) Ф* - Я* (Ф, *°(Ц) • • •) = 0 (19)

В методе Уизема мы производим растяжение X = е х, Т = б £ (е —> 0) обеих координат х и £ и пытаемся найти функцию

Т) = {в\Х, Т),..., 5т(Х, Г)) (20)

а также 27г-периодические (по в) функции

Ф г(в,Х,Т,е) = (21)

к> 0

такие, что образованные их них функции

ф'(9, Х,Т,е) = Фг + в,Х,Т,е^ (22)

удовлетворяют системе

ефгт = <2г(ф,ефх,...)

при всех X, Т и в.

Нетрудно видеть при этом, что функция Ф(о)(#, X, Т) системе (19) при всех X и Т, причем

иа _ па , .а _ с<*

Л — > — Т

Таким образом, Ф(о)(#, X, Т) принадлежит семейству Л при всех X и Т, и мы можем написать

Ф\0)(в,Х,Т) = Фг(в + в0(Х,Т),ЩХ,Т)) Мы можем ввести функции

ии(Х,Т), 6ц(Х,Т) как параметры, характеризующие главный член в (21), которые должны при этом удовлетворять условию

Г(и)]г = [^(и)]* (24)

Условия разрешимости системы (23) в следующем порядке по е накладывают при этом дополнительные условия на параметры 1]"{Х,Т),

(23)

удовлетворяет

так, что полная система условий на эти параметры имеет вид системы гидродинамического типа

Uvt = V^{V)U£ , и,ц = 1 ,...,N (25)

называемой системой Уизема.

Мы рассматриваем при этом локальные системы (17), имеющие слабонелокальную гамильтонову структуру (1) с локальным теоретико-полевым гамильтонианом

Н&} = JvH(ip,<px,...)dx (26)

Мы предложим процедуру усреднения скобки (1) и получения слабонелокальной скобки гидродинамического типа (4) для системы Уизема (25). При этом предлагаемая процедура может рассматриваться как обобщение процедуры Дубровина-Новикова на слабо-нелокальный случай. Для этой процедуры нам необходимо выполнение ряда условий. Именно, мы должны иметь набор первых интегралов I", v = 1,..., TV системы (17), удовлетворяющих следующим условиям:

(A) Каждый интеграл I" является локальным функционалом

I" = Jvv(<p,<px,...)dx (27)

порождающим локальный поток

= <?(„)(¥>, ¥>*,•••) (28)

по отношению к скобке (1).

(B) Все I" коммутируют друг с другом и с гамильтонианом (26)

{/",/"} = 0 , {Г,Н} = 0 (29)

(C) Усредненные плотности (V) функционалов /"

i р2тт г2ж

= • • ■ Уо Р"(Ф'кафв' ' ')(Гв (30)

задают систему координат U1,..., UN на семействе m-фазных решений (17).

При выполнений этих условий, а также некоторых дополнительных условий регулярности на семейство квазипериодических решений системы (17), процедура усреднения исходной скобки (1) может быть описана следующим образом:

Вычислим попарные скобки плотностей Vй(<р, • • ■), имеющие вид

{7>>, ...), VHv, <Ру, ...)} = Е v*. • • - у)+

к>0

+Е(F(k№ ■ ■ •)) - у) fefo vy> ■ • •))

к> о х v

Мы имеем здесь полные производные функций and F^ по х и у как следствие того факта, что как J", так и 1>* порождают локальные потоки (28) в силу скобки (1).

В силу коммутативности набора {Iй} мы имеем также

Ло"(<Л Ух, - - •) + Е вк (F(k№ <Р*> ■ • -))х Vi. • • •) =

fc>0

(31)

для некоторых функций • • •)•

Для "медленных"координат и"(Х) = (Т"/)(Х) мы можем теперь определить скобку Пауссона по формуле

(лтт+Ее* {WA) - ВДТО) ро

к>0

6'(Х - У)+

+

d(Q^)(X) ^ d{F[k))(X)

дХ

+Е

Ее* к>0

дх ^(*>

WW

¿(X - У)+

efc-

fc>0

КХ-У)-

ата(у)

(к) дУ

(32)

где усредненные величины являются функциями II(X) и II(У) в соответствующих точках X и У.

При этом скобка (32) удовлетворяет тождеству Якоби и инвариантна по отношению к выбору набора {I1,..., /Л }, удовлетворяющего (А)-(С), т.е.

Если и" = {V), 0" = (V") и {и^Х)^^)}, {й,,{Х),и^{У)}' -скобки (32), построение с помощью наборов {/|/} и {/"} соответственно, то

дй" , дй11 {и»{Х),и>Чу)У = ^(Х){и\Х),и°(У)}^р(У)

Скобка (32) дает при этом скобку Пуассона для системы Уизема (25). Более того, верно следующее утверждение

Функции Гамильтона

н" = ! и"(Х)йХ

и

Н = I (Гн)(и(Х))йХ

порождают в силу скобки (32) локальные коммутирующие потоки, которые дают системы Уизема для систем (28) и (17) соответственно.

Мы называем скобку (32) усреднением слабо-нелокальной скобки (1) на семействе ш-фазных решений системы (17).

В главе 5 мы рассматриваем метод Уизема для локальных систем (17), допускающих слабо-нелокальную симплектическую структуру (2), записанную в "консервативной"форме

г. / ч V- (к), ч г(к\, ч V-* 6Н(3) / ч ММ

Пг](х, у) = £<рх,. • •) -у) + 5> — и(х - у) ^

с локальным гамильтонианом

/+0О

Цф, (рх, ...)<1х (34)

■оо

Сформулируем теперь условия, необходимые для процедуры усреднения слабо-нелокальной симплектической структуры (33), дающей слабонелокальную симплектическую структуру гидродинамчекого типа для системы Уизема (25). Мы предполагаем при этом как и раньше, что система (17) имеет /V-параметрическое семейство т-фазных решений, не считая начальных фаз.

В отличие от предыдущей главы, мы потребуем здесь, чтобы существовали тп линейно независимых локальных потоков

= 0\а)(<Р,<Рх,...) (35)

(которые могут содержать систему (17)), коммутирующие с (17) и друг с другом и допускающие симплектическую структуру (33) с некоторыми локальными функциями Гамильтона ,Р(а) [</?], т.е.

/•+00 $ ^ Пг]{х,у) СЭ\а)(р,ру,...)с1у ее

где

/+00

■оо

Это означает автоматически, что функционалы Н^ [<р] должны также давать законы сохранения для систем (35), и кроме того, мы имеем

^ = дх <рх,...) (36)

для некоторых функций (рх,...).

Мы требуем также при этом, чтобы потоки (35) порождали "линейные сдвиги "начальных фаз вд на решениях (18) с некоторыми частотами и^(и), такими, что матрица - невырождена, т.е.

<)(и)= ^(и) Ф*. ■ ■ ■) (37)

где^||иА(и)|| ф 0.

Обозначим ||7^|| - обратную матрицу к

||, так что

^(и)^(и) = % (38)

Мы можем также написать

Ф*> = т£(и) (Ф, ^(и) Фв.,...) (39)

на семействе Л.

При усреднении формы (33) мы воспользуемся следующим замечанием:

Выражения

могут быть записаны как полные производные по х локальных функций т£\ч>,<Рх,---), т.е.

(40)

где

ф(<р, • • •) = Е Ё (-!)" (Ёг) («)

к> 1 р=0 ^ гкх/ рх

Кроме того, можно показать, что:

1) Для любой симплектической формы (33) выполняются соотношения

к>0 Х д д

для некоторых локальных функций • • ■)> Аар(<Р, ■ ■ •) (суммирова-

ние по повторяющимся индексам).

2) Функции Аа/з((р,...) (определенные с точностью до констант) могут быть нормированы таким образом, что Аар((р,...) = О для любой 1р(в, х), зависящей только от х (и постоянной по в при любом фиксированном х).

Мы называем при этом усреднением формы (33) форму задаваемую формулой

=

(43,

в=1

где функции 1а(и) определены формулами

Ёк. _ -М- (А \ +

эи" _ эи"[ ар) +

8=1

+

=1

9 А г/С«)

к>0 в=1 ^ К '

При этом, мы называем функции /а(и), определенные формулами (44) - переменными действия, сопряженными волновым числам &а(11).

В главе 5 показывается при этом, что симплектическая структура (43) является симплектической структурой для системы Уизема (25), в то время как функционал / (к) (X) (IX играет роль функции Гамильтона для этой системы.

В главе 6 вводится понятие слабо-нелокальной 1-формы, имеющей по определению, вид

и>г1<р](х) = а(<Л <£>*,-••) - - j у{х - у) Щ, ■ • •) ¿у

(45)

гдеЯ«[И = ¡£№К<р,<рх,...)<Ь.

При этом мы называем форму ш„[и](Х) на пространстве функций и1(Х),..., ик(Х) - слабо-нелокальной 1-формой гидродинамического типа, если она имеет вид

м

1 я /4«)

^И(Х) = -- £ к* ^¡г(и(А-)) / и(Х - У) /^'(и(Г)) ¿У г 1 ои

(46)

для некоторых функций /'"'(и) и квадратичной формы к$р.

Формы (45) и (46) тесно связаны с введенными выше слабо-нелокальными симплектическими структурами общего вида и гидродинамического типа соответственно. Именно, как можно показать, внешние производные форм (45) и (46) дают соответствующие слабо-нелокальные симплек-тические структуры (33) и (5). Более того, локально верно и обратное утверждение, именно, любая замкнутая 2-форма (33) может быть локально представлена в виде внешней производной некоторой 1-формы (45) на пространстве <р(х) (аналогично для форм гидродинамического типа). В связи с этим, представляет интерес непосредственное усреднение формы (45) в тех случаях, когда исходная симплектическая структура представлена в виде соответствующей внешней производной. В главе 6 приводится такая процедура при тех же предположениях, что и при усреднении слабо-нелокальных симплектических структур. Именно, мы называем усреднением слабо-нелокальной 1-формы (45) форму и)™(Х), определяемую формулой

яка г+оо

и$>{Х) = -^(Х) ! ^ и{Х-¥)1а{¥)<!¥-

- \ £е* ¡2 "(X - У) (Н^т йУ (47)

где /а(и) определены формулой

1а{и) = {сг чЫ + (48)

+ И^) - <л(')>«?)>] - ¿¿></>(8)т«)

Я=1 8=1

и величины ■ ..), 7а(и) и Т^\<р,...) были введены в (36), (38) и

(41) соответственно.

Можно доказать при этом, что для усредненных симплектической структуры и соответствующей 1-формы выполняются соотношения

и, таким образом, величины (48) дают те же переменные действия, что и (44).

Усредненные слабо-нелокальные 1-формы позволяют выписать при этом слабо-нелокальный Лагранжев формализм для системы Уизема, имеющий форму

6 11 - <Л>(и)] ¿ХёТ = О

или, используя (47)

«5 11 \ЩХ)р(Х-У)1а(У) + + (^])т(Х) КX - У) №)(¥) + (Iь)

3=1

йХйУйТ = 0 (49)

Во второй части диссертации мы, главным образом, обсуждаем создание квазипериодических потенциалов с помощью метода лазерного

возбуждения низколежащих уровней в двумерных электронных системах и геометрию линий уровня возникающих таким образом потенциалов. При этом обсуждаются эксперименты, в которых метод лазерного возбуждения низколежащих уровней использовался для создания "одномерно"модулированных или двояко-периодических потенциалов в плоскости. Как правило при этом использовались двумерные структуры АЮаАЭ — СаАЯ с большим временем свободного пробега при температурах Т < 4.2К. Уширенный лазерный пучок разбивался на два пучка, которые и создавали затем интерференционную картину с периодом а в плоскости образца. Лазерное облучение образца вызывало при этом дополнительную ионизацию нижележащих электронных уровней, при этом время обратной релаксации электронов на эти уровни в отсутствие излучения было достаточно большим. Как следствие этого, довольно длительное время после облучения в плоскости образца присутствовал (слабый) периодический потенциал У(х), влияющие на движение электронов в плоскости.

Во второй части предлагается использовать суперпозицию нескольких независимых интерференционных картин (Рис. 1,2) для создания квазипериодических потенциалов в плоскости.

При этом можно показать, что количество независимых интерференционных картин в случае общего положения равно числу квазипериодов получаемого потенциала К(г).

Кроме того, предполагается наличие также однородного магнитного поля В, направленного ортогонально к плоскости двумерного электронного газа.

В этой ситуации предполагается исследовать поведение проводимости в плоскости электронного газа в пределе больших длин свободного пробега.

Для анализа поведения проводимости предполагается при этом использовать квазиклассический подход, предложенный К. Бенаккером ([35]) для исследования проводимости в аналогичной ситуации с более простыми "одномерно модулированными"потенциалами.

Подход, предложенный К. Бенаккером, позволил объяснить явление "СоттешигаЫШу оза1Ыюп8"в таких потенциалах ([32, 33, 34]), а также был использован позднее ([36]) для объяснения подавления таких осцил-

Рис. 1: Схематическое изображение трех независимых интерференционных картин на плоскости с различными периодами и направлениями интерференционных полос.

ляций в более сложных двояко-периодических потенциалах.

Согласно этому подходу, движение электронов в первом приближении представляет собой движение по циклотронным орбитам, причем, поскольку только энергетические уровни, близкие к уровню Ферми, играют существенную роль для проводимости, мы можем сказать также, что существует характерный размер циклотронной орбиты, существенный для проводимости и определяемый скоростью электронов на уровне Ферми. Для введения поправок к электронному движению мы должны теперь усреднить потенциал У (г) по каждой циклотронной орбите с центром г и имеющей радиус г в = тур/еВ на уровне Ферми и получить "эффективный"усредненный потенциал К(г, В) = Уд^(г), зависящий от магнитного поля В. Условие слабости потенциала для законности рассматриваемого приближения имеет при этом вид еУггт/ер <С 1, где Угтз -среднеквадратическое значение У(г). Дрейф центра каждой циклотронной орбиты описывается при этом уравнением

Рис. 2- Схематичное изображение потенциала, образованного четырьмя интерференционными картинами с направлениями Г)2, Щ, щ и периодами оь а2, аз, а4.

(50)

Как следует из уравнения (50), мы будем при этом иметь дрейф центров орбит вдоль линий уровня потенциала Уд^(г) со скоростью, про-поциональной ||УУ^(г)|| (и обратно пропорциональной В) на этих линиях.

Как было указано К. Бенаккером, дрейф циклотронных орбит дает вклад в проводимость в плоскости, который мы будем называть здесь дрейфовым вкладом. В [36] была при этом отмечена зависимость дрейфового вклада в проводимость от геометрии линий уровня потенциала

Надо сказать, что, вообще говоря, потенциал может доволь-

но сильно отличаться от У(г). Для нас однако, наиболее важным будет являться тот факт, что потенциал Уд^(г) имеет те же симметрийные и периодические свойства, что и потенциал У(г), независимо от его конкретной формы. Так, в частности, для потенциалов V(г), образованных

тремя или четырьмя интерференционными картинами (Рис. 1,2), потенциалы Vg^(r), независимо от величины В, будут иметь соответственно три и четыре квазипериода в случае общего положения. Мы можем, таким образом, применять общие результаты теории квазипериодических функций для описания геометрии линий уровня таких потенциалов V£ff(r), и, соответственно, поведения дрейфовой проводимости в пределе т —> 00.

В диссертации обсуждаются различные возможные случаи незамкнутых линий уровня потенциалов однако главное внимание уделяется так называемым "топологически регулярным "линиям уровня (траекториям дрейфа), определяемым следующим образом:

Мы называем открытую траекторию топологически регулярной или соответствующей топологически интегрируемому случаю, если она лежит в прямой полосе конечной ширины в плоскости R2 и проходит ее насквозь от —оо до +оо (Рис. 3, а). Все другие открытые траектории в плоскости мы будем называть хаотическими (Рис. 3, Ь).

Несмотря на некоторую кажущуюся искуственность определения, топологически регулярные открытые траектории дрейфа играют важнейшую роль в теории квазипериодических функций. Так, например, в случае трех квазипериодов вероятность появления потенциала Vg^(r), имеющего топологически регулярные линии уровня, равна 1 (хотя появление потенциалов с хаотическими линиями уровня также возможно). В случае четырех квазипериодов топологически регулярные открытые траектории также имеют важнейшее значение, поскольку потенциалы, имеющие такие траектории появляются здесь в любой открытой области пространства параметров, описывающих рассматриваемые потенциалы. Можно показать, что топологически регулярные открытые траектории свойственны также многим потенциалам и с большим числом квазипериодов.

Важной особенностью топологически регулярных открытых траекторий дрейфа является их вклад в проводимость, существенно отличающийся от вклада в проводимость замкнутых траекторий дрейфа. Также как и в случае нормальных металлов, исследованном в [13]-[15], здесь верны аналогичные выражения для асимптотического поведения дрей-

фовой проводимости, имеющего вид:

v ; v то/т (то/т)2 у

в случае замкнутых траекторий и

v ; теП \ то/г (то/т)2 у

(* ~ 1) в случае открытых топологически регулярных траекторий, при условии, что ось х совпадает со средним направлением траекторий.

Мы можем видеть, что в пределе т —> оо только вклад открытых орбит в Аа1к(В) остается в 11 продольной "проводимости в плоскости. Отметим здесь, что выписанные формулы дают лишь асимптотический вид проводимости при т —> оо. Параметр то играет при этом роль времени дрейфа, необходимого для проявления геометрии траектории.

Сильная анизотропия тензора проводимости во втором случае позво-

ляет экспериментальное наблюдение топологически регулярных открытых траекторий, также как и их среднего направления.

Для топологически регулярных открытых траекторий можно ввести аналоги "топологических чисел "введенных ранее (С.П. Новиковым и автором) для проводимости нормальных металлов. Определение топологических чисел удобнее всего ввести здесь, рассмотрев действие "группы квазипериодов "на описанных выше потенциалах. Для простоты мы положим здесь, что потенциал, образованный тремя (или более) интерференционными картинами является потенциалом общего положения и не содержит точных периодов в плоскости К2. Мы зафиксируем направления интерференционных полос и периоды интерференционных картинок и рассмотрим сдвиги положений максимумов и минимумов интерференционных полос при неизменных направлениях и периодах. Все потенциалы (при неизменном В), связанные такими преобразованиями мы будем называть потенциалами, связанными преобразованиями группы квазипериодов. Легко видеть, что действие группы квазипериодов содержит, в частности, обычные сдвиги в плоскости К2.

Первым обстоятельством для потенциалов общего положения, связанных преобразованиями группы квазипериодов является то, что геометрия их линий уровня в целом не меняется после таких преобразований. Это позволяет говорить об общей геометрии линий уровня для всех таких потенциалов и, соответственно, одинаковом поведении проводимости в пределе т —► оо. Заметим однако, что это свойство может нарушаться для периодических потенциалов (необщего положения), где поведение проводимости может зависеть от положений максимумов и минимумов интерференционных полос.

Сделаем теперь следующее непрерывное преобразование:

Возьмем первую интерференционную картину (с направлением полос и периодом (т/1, а^) и будем непрерывно сдвигать интерференционные полосы в перпендикулярном им направлении пока не пройдем дистанцию ах, сохраняя две остальные интерференционные картинки неизменными. Нетрудно видеть, что в конце данной процедуры мы получим те же самые потенциалы У(х, у) и у) вследствие периодичности пер-

вой интерференционной картинки с периодом а\. Зафиксируем теперь какой-нибудь энергетический уровень, содержащий открытые топологи-

Рис. 4: Сдвиг топологически регулярных траекторий непрерывным преобразованием группы квазипериодов.

чески регулярные траектории, и посмотрим на эволюцию несингулярных открытых траекторий во время проведения нашего преобразования.

Мы знаем, что мы должны иметь параллельные (в среднем) открытые траектории в плоскости в каждый момент нашего преобразования, и кроме того, конечная картина должна при этом совпадать с исходной.

Мы можем утверждать, таким образом, что каждая регулярная открытая траектория может быть лишь сдвинута на некоторое число позиций в процессе нашего преобразования и в конце совпасть с какой-то (возможно другой) траекторией той же самой картины. Нетрудно показать при этом, что все открытые траектории будут сдвинуты на одно и то же число позиций щ (положительное или отрицательное), которое зависит от потенциала Уд^(х,у) (Рис. 4).

Число Пх всегда является четным, поскольку все траектории появляются парами с противоположными направлениями дрейфа.

Сделаем теперь аналогичные преобразования со второй и третьей интерференционными картинками, что даст нам в конечном итоге тройку

целых чисел (711,77,2, тг3), являющуюся топологической характеристикой потенциала У^(х,у).

(Заметим, что "положительное"направление нумерации открытых траекторий должно быть одним и тем же во всех трех описанных выше преобразованиях).

Тройка (щ,П2, щ) (определенная с точностью до общего знака) может быть представлена в виде

(п1,п2,пз) = М (тъгщ,тг)

где М £ 2 и (т1,т2,?пз) - несократимая целочисленная тройка. Как число М, так и тройка (гпх, тпг, т3) имеют топологический смысл, связанный с количеством связных компонент, несущих открытые траектории в трехмерном пространстве К3 и гомологическим классом каждой из таких компонент в Т3 = Ш3/Ь с точностью до знака.

Тройка (гп.1, т2, гпз) связана при этом со средним направлениям топологически регулярных открытых траекторий в плоскости К2. Именно, проведем на плоскости три прямых линии <71, с/2, дз, имеющие направления 771,772,773 и выберем "положительную"и "отрицательную"полуплос-кости для каждой прямой (¡г. Рассмотрим теперь три линейные функции Х(г), У (г), г(г) на плоскости, являющиеся расстояниями от точки г до линий дх, <72, Чз со знаками "+" или "—", в зависимости от плуплоскости, соответствующей прямой дг (Рис. 5).

Для топологически регулярных открытых траекторий можно сформулировать при этом следующее утверждение:

Среднее направление топологически регулярных открытых траекторий задается линейным уравнением:

т1Х(х, у)/ах + т2У(х, у)/а2 + т3г{х, у)/аз = 0 (51)

где (7П1,7712, тз) - несократимая целочисленная тройка, введенная выше.

Важным свойством целочисленных троек (7711,7712, тпз) является их локальная устойчивость по отношению к малым вариациям всех пе-раметров задачи (т.е. 771, 772, 773, ах, а2, а3, 1\, 12, /3, В, и даже формы функциональной зависимости У(г)[/]). Это означает, что та область пространства параметров (771,772,773, а\, а2,0,3.1\, 12, /з)> В, где имеет ме-

Рис. 5: Координаты -Х"(г), К(г) и Z(г) на плоскости.

сто ситуация бг(В) > 61 (В) для энергетического интервала, содержащего открытые траектории, может быть разделена на различные "зоны устойчивости "Га, где соотношения (51) верны для всех соответствующих потенциалов г) с теми же самыми значениями (т^т^т^). Заметим здесь, что средние направления открытых траекторий являются, вообще говоря, различными для различных значений параметров внутри каждой "зоны устойчивости"Га, однако уравнение (51) дает при этом фиксированное соотношение между этими направлениями и направлениями полос и периодами интерференционных картинок для данной "зоны устойчивости".

Последнее свойство накладывает довольно жесткие ограничения на анизотропию тензора проводимости внутри каждой "зоны устойчивости", что и позволяет измерить величины (т", т%,т%).

Заметим, что аналогичным образом топологические числа вводятся также и для топологически регулярных открытых траекторий в случае четырех квазипериодов, которые представляет теперь четверки целых чисел. При этом верно также соотношение, аналогичное (51), определя-

ющее среднее направление открытых тракторий.

В части II диссертации описываются структуры множеств "зон устой-чивости"в случае трех и четырех квазипериодов. Также обсуждаются более сложные случаи "хаотических"открытых траекторий, а также потенциалы с большим числом квазипериодов. Кроме того, обсуждаются также потенциалы необщего положения, имеющие три или четыре квазипериода.

В заключении приводятся основные результаты диссертации. Основные результаты работы.

В диссертации исследованы слабо-нелокальные гамильтоновы и сим-плектические структуры и их связь с методом Уизема. Получены результаты, касающиеся нелокальных частей слабо-нелокальных гамиль-тоновых и симплектических структур общего вида. Исследованы слабонелокальные гамильтоновы и симплектические структуры гидродинамического типа. При этом получены "Лиувиллевы"и "Канонические"формы слабо-нелокальной скобки Пуассона гидродинамического типа и доказана теорема о приводимости любой "невырожденной"скобки такого вида к "Каноническому виду". Исследованы также пространства аннулято-ров и "канонических функционалов", а также симплектические структуры, соответствующие таким скобкам, на пространствах петель. Получено выражение для функционала импульса слабо-нелокальной скобки гидродинамического типа. Исследованы согласованные пучки слабонелокальных скобок гидродинамического типа. При условиях невыро-ждености пучка, а также специального условия невырожденности нелокальной части пучка доказано наличие коммутирующих иерархий гидродинамического типа, порождаемых аннуляторами первой скобки пучка, ее фукнционалом импульса, а также "каноническими функционалами". При тех же условиях доказана слабая нелокальность и гидродинамический вид всех "высших"гамильтоновых операторов и "отри-цательных"симплектических структур. Предложены процедуры усреднения слабо-нелокальных гамильтоновых и симплектических структур,

а также слабо-нелокальных Лагранжианов, дающие соответствующие структуры гидродинамического типа для систем Уизема.

Кроме того, в диссертации исследованы приложения общей задачи С.П. Новикова к теории проводимости модулированного двумерного электронного газа с большой длиной свободного пробега. Показано, что современные методики и, в частности, методика лазерного возбуждения электронных уровней позволяют строить квазипериодические модуляционные потенциалы в плоскости двумерного газа. Описано действие "группы квазипериодов"на таких потенциалах, и описана связь между геометрией открытых траекторий потенцилов, связанных преобразованием группы квазипериодов. Установлена связь геометрии открытых траекторий дрейфа (линий уровня эффективного потенциала) с транспортными явлениями в таких системах в присутствии ортогонального магнитного поля. Для топологически регулярных открытых траекторий введены экспериментально наблюдаемые устойчивые "топологические числа", являющиеся аналогом топологических чисел, введенных ранее в теории нормальных металлов. Для потенциалов, имеющих три и четыре квазипериода, описана структура соответствующих "зон устойчивости "в пространстве параметров, задающих потенциалы. Обсуждаются также случаи "хаотических"открытых траекторий. Диссертация содержит также рассмотрение гальваномагнитных явлений в металлах со сложными Ферми-поверхностями и, в частности, полную классификацию возникающих при этом асимптотических режимов поведения проводимости в пределе и>в т —> оо.

Публикации по теме диссертации

1. С.П. Новиков, А.Я. Мальцев., "Лиувиллева форма усредненных скобок Пуассона", Успехи Математических Наук, т. 48, вып. 1,155-156 (1993).

2. А.Я.Мальцев, М.В.Павлов., "О методе усреднения Уизема."Функциональный анализ и его прил. т. 29, вып. 1, 7-24 (1995).

3. А.Я. Мальцев./'Усреднение локальных теоретико-полевых скобок Пуассона". Успехи Математических Наук, т. 52, вып. 2, 177-178 (1997).

4. А.Я. Мальцев., "Наследование гамильтоновых структур в методе усреднения Уизема", Известия РАН (Серия математическая), т. 63, вып. 6, 117-146 (1999).

5. А.Я. Мальцев., "Нелокальные скобки Пуассона и метод Уизема", Успехи математических наук, т. 54, вып. 6, 167-168 (1999).

6. A.Ya.Maltsev., The averaging of non-local Hamiltonian structures in Whitham's method., International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 30:7, 399-434 (2002).

7. A.Ya.Maltsev, S.P. Novikov., "On the local systems hamiltonian in the weakly nonlocal Poisson brackets.", Physica D 156, 53-80 (2001).

8. A.Ya. Maltsev., "On the compatible weakly-nonlocal Poisson brackets of Hydrodynamic Type", International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 32:10, 587-614 (2002).

9. А.Я. Мальцев., "Усреднение слабо-нелокальных симплектических структур", Успехи Математических Наук, т. 59, вып. 2, 193-194 (2004).

10. A.Ya.Maltsev. "Weakly-nonlocal Symplectic Structures, Whitham method, and weakly-nonlocal Symplectic Structures of Hydrodynamic Type", Journ. Phys. A: Math. Gen. 38, 637-682 (2005).

11. С.П. Новиков, А.Я. Мальцев., "Топологические квантовые характеристики, наблюдаемые при исследовании проводимости в нормальных металлах", Письма в ЖЭТФ, т. 63, вып. 10, 809-813 (1996).

12. И.А. Дынников, А.Я. Мальцев., "Топологические характеристики электронных спектров в монокристаллах", ЖЭТФ, т. 112, вып. 1 (7), 371-378 (1997).

13. А.Я. Мальцев., "Аномальное поведение тензора электропроводности в сильных магнитных полях", ЖЭТФ, т. 112, вып. 5 (11), 1710-1726 (1997).

14. С.П. Новиков, А.Я. Мальцев., "Топологические явления в нормальных металлах", Успехи Физических Наук, т. 168, вып. 3, 249-258 (1998).

15. A.Ya.Maltsev, S.P.Novikov, "Quasiperiodic functions and Dynamical Systems in Quantum Solid State Physics", Bulletin of Braz. Math. Society, New

библиотека

о» M ttr

Series 34 (1), 171-210 (2003).

16. A.Ya.Maltsev, S.P.Novikov, "Dynamical Systems, Topology, and Conductivity in Normal Metals", Journal of Statistical Physics 115 (1-2), 31-46 (2004).

17. A.Ya. Maltsev, "Quasiperiodic functions theory and the superlattice potentials for a two-dimensional electron gas", Journ. of Math. Phys. 45:3, 1128-1149 (2004).

Список литературы

[1] В.В. Соколов., "О гамильтоновости уравнения Кричевера- Новикова", Докл. Акад. Наук СССР, т. 277, вып. 1, 48-50 (1984).

[2] И.М. Кричевер, С.П. Новиков., "Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения", Успехи математических наук, т. 35, вып. 6, 47-68 (1980).

[3] B.Enriquez, A.Orlov, V. Rubtsov., "Higher Hamiltonian structures (the sl2 case)", Письма в ЖЭТФ, т. 58, вып. 8, 677-683 (1993).

[4] Б.А. Дубровин, С.П. Новиков., "Гамильтонов формализм одномерных систем гидродинамического типа и метод усреднения Боголюбова-Уизема", Доклады Акад. Наук СССР, т. 270, вып. 4, 781-785 (1983).

[5] Б.А. Дубровин, С.П. Новиков., "Гидродинамика слабо деформированных солитонных решеток. Дифференциальная геометрия и га-мильтонова теория.", Успехи Математических Наук, т. 44, вып.6, 29-98 (1989).

[6] С.П. Царев., "О скобках Пуассона и одномерных гамильтоновых системах гидродинамического типа", Докл. Акад. Наук СССР, т. 282, вып. 3, 534-537 (1985).

[7] Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир, 1977.

[8] Flaschka H., Forest M.G., McLaughlin D.W., Multiphase averaging and the inverse spectral solution of the Korteweg - de Vries equation, Comm. Pure Appl. Math., Vol. 33, no. 6, 739-784 (1980).

[9] О.И. Мохов, E.B. Ферапонтов., "Нелокальные гамильтоновы операторы гидродинамического типа, связанные с метриками постоянной кривизны", Успехи Математических Наук, т. 45, вып. 3, 191-192 (1990).

[10] Е.В. Ферапонтов , "Дифференциальная геометрия нелокальных га-мильтоновых операторов гидродинамического типа", Функциональный анализ и его приложения, т. 25, вып. 3, 37-49 (1991).

[11] Е.В. Ферапонтов., "Ограничение по Дираку гамильтонова оператора ^IJS на поверхности евклидова пространства с плоской нормальной связностью", Функциональный анализ и его приложения, т. 26, вып. 4, 83-86 (1992).

[12] A.Ya.Maltsev, S.P. Novikov. "On the local systems hamiltonian in the weakly nonlocal Poisson brackets.", Physica D 156, 53-80 (2001).

[13] И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, M.И. Каганов., "К теории гальваномагнитных явлений в металлах", ЖЭТФ, т. 31, вып. 1 (7), 63 (1956).

[14] И.М. Лифшиц, В.Г. Песчанский., "Гальваномагнитные характеристики металлов с открытыми поверхностями Ферми. I.", ЖЭТФ, т. 35, вып. 5 (И), 1251-1264 (1958).

[15] И.М. Лифшиц, В.Г. Песчанский., "Гальваномагнитные характеристики металлов с открытыми поверхностями Ферми. II.", ЖЭТФ, т. 38, вып. 1, 188-193 (1960).

[16] Н.Е. Алексеевский, Ю.П. Гайдуков, И.М. Лифшиц, В.Г. Песчанский., "Поверхность Ферми олова", ЖЭТФ, т. 39, вып. 5 (11), 12011214 (I960).

[17] И.М. Лифшиц, М.И. Каганов., "Некоторые вопросы электронной теории металлов. I. Классическая и квантовая механика электронов в металлах. "Успехи физических наук, т. 69, вып. 3, 419-458 (1959).

[18] И.М. Лифшиц, М.И. Каганов., "Некоторые вопросы электронной теории металлов. II. Статистическая механика и термодинамика электронов в металлах."Успехи физических наук, т. 78, вып. 3, 411-461 (1962).

[19] И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, М.И. Каганов., Электронная теория металлов, М.: Наука 1971.

[20] С.П. Новиков., "Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса", Успехи Математических Наук, т. 37, вып. 5, 3-49 (1982).

[21] А.В. Зорич., "Проблема Новикова о полуклассическом движении электрона в однородном магнитном поле, близком к рациональному", Успехи математических наук, т. 39, вып. 5, 235-236 (1984).

[22] И.А. Дынников., "Доказательство гипотезы С.П. Новикова для случая малых возмущений рациональных магнитных полей", Успехи математических наук, т. 47, вып. 3, 161-162 (1992).

[23] И.А. Дынников., "Задача С.П. Новикова о полуклассическом движении электрона", Успехи математических наук, т. 48, вып. 2, 179-180 (1993).

[24] И.А. Дынников., "Доказательство гипотезы С.П. Новикова о полуклассическом движении электрона", Математические заметки, т. 53, вып. 5, 57-68 (1993).

[25] С.П. Царев, Частное сообщение (1992-93).

[26] S.P.Novikov. "Quasiperiodic structures in topology". Proc. Conference "Topological Methods in Mathematics", dedicated to the 60th birthday of J.Milnor, June 15-22, S.U.N.Y. Stony Brook, 1991. Publish of Perish, Houston, TX, pp. 223-233 (1993).

[27] I.A.Dynnikov. "Semiclassical motion of the electron. A proof of the Novikov conjecture in general position and counterexamples."American Mathematical Society Translations, Series 2, Vol. 179, Advances in

the Mathematical Sciences. Solitons, Geometry, and Topology: On the Crossroad. Editors: V.M.Buchstaber, S.P.Novikov. (1997)

[28] A.V.Zorich. Proc. "Geometric Study of Foliations"(Tokyo, November 1993)/ ed. T.Mizutani et al. Singapore: World Scientific, 479-498 (1994).

[29] И.А. Дынников., "Геометрия зон устойчивости в проблеме Новикова о полуклассическом движении электрона", Успехи математических наук, т. 54, вып. 1, 21-60 (1999).

[30] С.П. Новиков., "Уровни квазипериодических функций на плоскости и гамильтоновы системы", Успехи математических наук, т. 54, вып. 3, 147-148 (1999).

[31] И.А. Дынников, С.П. Новиков., "Топология квазипериодических функций на плоскости", Успехи математических наук, т. 60, вып. 1, 3-28 (2005).

[32] D.Weiss, K.v. Klitzing, К. Ploog, and G. Weimann, "Magnetoresistance Oscillation in a Two-Dimensional Electron Gas Induced by a Submi-crometer Periodic Potential", Europhys. Lett., 8 (2), 179 (1989).

[33] R.R. Gerhardts, D. Weiss, K.v. Klitzing, "Novel magnetoresistance oscillations in a periodically modulated two-dimensional electron gas", Phys. Rev. Lett. 62 (10), 1173-1180 (1989).

[34] R.W. Winkler, J.P. Kotthaus, and K. Ploog, "Landau band conductivity in a two-dimensional electron system modulated by an artificial one-dimensional superlattice potential", Phys. Rev. Lett. 62 (10), 1177-1180 (1989).

[35] C. W. J. Beenakker, "Guiding-center-drift resonance in a periodically modulated two-dimensional electron gas", Phys. Rev. Lett. 62 :17, 20202023 (1989).

[36] D.E. Grant, A.R. Long, and J.H. Davies, "Commensurability oscillations due to pinned and drifting orbits in a two-dimensional lateral surface superlattice", Phys. Rev. В 61 (19), 13127-13130 (2000).

€10229

РНБ Русский фонд

2006-4 6359

Введение.

Часть I. Слабонелокальные структуры, интегрируемые иерархии и метод Уизема.

Глава 1. Общие свойства слабо-нелокальных Гамильтоновых и Симплек-тических структур.

Глава 2. Структуры гидродинамического типа.

Глава 3. Согласованные скобки гидродинамического типа и интегрируемые иерархии.

Глава 4. Метод Уизема и усреднение слабо-нелокальных гамильтоновых структур.

Глава 5. Усреднение слабо-нелокальных симплектических структур.

Глава 6. Слабо-нелокальные 1-формы и усреднение слабо-нелокальных Лагранжианов.

Часть II. Квазипериодические функции на плоскости и транспортные явления. '

Глава 7. Теория квазипериодических функций и "модулированный"двумерный электронный газ.

Данная работа включает в себя две основные части. Первая часть посвящена теории слабо-нелокальных (гамильтоновых и симплектических) структур для уравнений в частных производных, а также методу медленных модуляций (или нелинейному методу ВКБ), введенному Уиземом, В этой части рассматриваются общие свойства слабо-нелокальных гамильтоновых и симплектических структур общего вида, а также особо слабонелокальных структур гидродинамического типа. Кроме того, исследуется связь таких структур с теорией Уизема и, в частности, показывается, что слабо-нелокальные структуры общего вида переходят в структуры гидродинамического типа для уравнений медленных модуляций. В этой же части обсуждается связь слабо-нелокальных структур с теорией интегрируемых уравнений и рассматриваются бигамильтоновы системы гидродинамического типа. Во второй части работы рассматриваются квазипериодические функции на плоскости и задача Новикова об описании геометрии линий уровня таких функций. Мы здесь рассмотрим физические системы, где возникает данная проблема и опипхем эффекты, связанные с топологическими явлениями, возникающими при ее рассмотрении. Основное изложение посвящено здесь квазипериодическим модуляциям двумерного электронного газа в присутствии внешнего магнитного поля и поведению проводимости в таких системах в пределе больших длин свободного пробега ([130]). В этой ситуации приводится описание асимптотических режимов магнитопроводимости в зависимости от топологии линий уровня потенциала и, в частности, показывается, что в случае общего положения возможно введение топологических чисел, описывающих геометрию тензора проводимости. Отметим, что топологические числа, вводимые таким образом, аналогичны топологическим числам, возникающим при рассмотрении проводимости нормальных металлов со сложными Ферми-поверхностями в присутствии сильного магнитного поля и введенным ранее СП. Новиковым и автором. Дадим теперь более подробное описание рассматриваемых в частях I и II вопросов и сформулируем основные результаты, полученные в работе. Мы дадим сначала определение слабо-нелокальной гамильтоновой и симплектической структуры. Именно, мы называем слабо-нелокальной теоретико-полевую гамильтонову структуру в пространстве вектор-функций одной переменной р{х), определяемую выражением W\x), ipiy)} Y Biip, SHx г/)+ k>0 9 Y Kks 5(fc)(v?, Px, Ф y) Siif, cpy,...) k,s=l (0.1) i 1,..., n, (p(x) {(p{x),..., (pix)). Мы полагаем здесь v{x у) l/2sgn{x у) /c&s невырожденная симметрическая матрица. Функции BlJcp, срх,...), а также 8)Лр, ipxi зависят от конечного числа производных и обе суммы в выражении (0.1) также содержат конечное число слагаемых. Кроме того, мы полагаем также, что нелокальная часть (0.1) записана в "неприводимой"форме, так что вектор-функции 8()(, х, \к) линейно независимы (с постоянными коэффициентами).На выражение (0.1) накладывается требование кососимметричности (т.е. {(f{x),(f>>{y)} —{{у),{)}), Якоби а также выполнение тождества {{\х1 (у)1 ср(г)}Н{Р{у), ipiz)}, ip{x)}HW\z), {х)}, {у)} =О (в смысле обобщенных функций). Оба эти требования накладывают ограничения на функции BjJip, ipx,...), 5ч(, (fx, OJ необходимые ДЛЯ определения скобки Пуассона на пространстве функций {(р{х),..., (р(х)). Аналогично, слабонелокальная симплектическая структура на пространстве функций (р(х) определяется через коэффициенты Q,ij{xy) которые должны иметь вид Ы.У) 53a;lf(v,.,...)<H-2/) к>0 кь f (v?, х, 1{х у) qf\, у,.. k,s=l (0.2) Мы также предполагаем здесь, что функции ш1М(р,(рх,---), q\ {(р, (fx, зависят лишь от конечного числа производных и обе суммы в выражении (0.2) содержат конечное число слагаемых. От выражения (0.2) требуется теперь, чтобы оно удовлетворяло требованиям кососимметричности {Qij{x,y) —Q,ji{y,x)), а также замкнутости соответствующей 2-формы 6Qij{x,y) 6(p{z) 5Ctjkiy,z) S(p{x) SQki{z,x) iv) на пространстве функций (р{х).Нам удобнее здесь не накладывать требования невырожденности гамильтоновой и симплектической структур (0.1) и (0.2) на функциональном пространстве (р{х) и, более того, как мы увидим позднее, в этой ситуаv O ции более естественным является другое (дифференциально-геометрическое) определение невырожденности обоих выражений. Что касается граничных условий на пространстве (р{х), мы будем предполагать, что (f{x) стремятся к нулю достаточно быстро на бесконечности, или, более общо, достаточно быстро приближаются к некоторой константе с {с,..., с") при X ±00. (Как мы также увидим ниже, такое определение является более естественным, во многих примерах). Мы также предполагаем функции ip{x) бесконечно дифференцируемыми. Нетрудно видеть, что оба выражения (0.1) и (0,2) можно записать в более удобной форме wix), {у)} Y1 Ч)( А;>0 -{-esSl{cp,cp,...)i{x-y) s=l Sl{(p,ipy,...) 65 1 (0.3) Ы,У) 5]a;lf(,Vx,...)H-?/) к>0 X I У Т" 2/ е ±1 5=1 (0.4 используя канонический вид для квадратичной формы KksНам в дальнейшем будет удобно работать именно с "канонической"формой записи (0.3) и (0.4) для слабонелокальных гамильтоновых и симплектических структур. Как мы уже говорили, мы предполагаем также, что наборы {S(s)(, рх...)}) {q4 Va линейно независимы как вектор-функции. Мы также можем определить гамильтонов и симплектический операторы формулами dx fc>0 s=l (0.5) (0.6) где D -оператор интегрирования по x, определенный "кососимметрическим"образом, т.е. Мы будем называть первую сумму в обоих выражениях (0.5), (0.6) локальной частью соответствующего оператора, а вторую нелокальной. Несмотря на нелокальный вид операторов (0.5), (О.б) нас будут интересовать динамические системы на пространстве функций {х), имеющие локальную форму Q\<p,ipx,...) (0.7) Кроме того, мы будем предполагать, что потоки (0.7) имеют также "локальные"функции Гамильтона hiip,ip,,...),dx оо (0.8) отвечающие структурам (0.5), (0.6). Таким образом, мы называем динамическую систему (0.7) гамильтоновой по отношению к оператору (0.5) с гамильтонианом (0.8), если мы имеем соотношение J SH <Р1 Я{ср,(Рх,---) на пространстве функций (р{х). Аналогично, мы говорим, что система (0.7) допускает слабо-нелокальную симплектическую структуру (0.6), если имеет место тождество 5Н 6(р\х) Нетрудно видеть, что при сформулированных предположениях "локальная "функция Гамильтона (0.8) порождает в силу гамильтоновой структуры (0.5) локальный поток (0.7) в том и только в том случае, если для всех S(g) мы имеем тождества для некоторых локальных плотностей T(s){iVx, Другими словами, функционал Я, определенный формулой (0.8), должен являться законом сохранения для любого из потоков <Р1 4)fe<x,...) (0.9) определяемых гамильтоновым оператором (0.5). Аналогично, локальная система (0.7) может допускать симплектическую структуру с локальным гамильтонианом (0.8) только в том случае, v если имеют место тождества для некоторых F\(p, ср,...). Как будет показано ниже, для любой симплектической формы (0.4) функции q[-\(p,(px, должны задавать замкнутые 1-формы на пространстве функций (р{х). В том случае, если они явно (локально) представлены в виде вариационных производных функционалов Н J h\(p,(pxi 0) приведенные тождества также выражают тот факт, что функционалы Н должны являться законами сохранения для системы (0.7). Как хорошо известно из классической механики, невырожденные симплектические структуры на конечномерных многообразиях являются обратными к невырожденным гамильтоновым операторам и наоборот. Если рассматривать слабо-нелокальные гамильтоновы и симплектические структуры на пространстве (р{х), то они, вообще говоря, не связаны друг с другом таким образом в общем случае. Классы локальных систем, гамильтоновых в смысле скобки (0.3) и допускающих симплектическую структуру (0.4), таким образом, вообще говоря не совпадают друг с другом. Слабо-нелокальные гамильтоновы структуры (0.3) являются обощением локальных теоретико-полевых скобок Пуассона для уравнений в частных производных. Самыми известными примерами таких локальных скобок являются, например, скобки Гарднера Захарова Фаддева ([1, 2]) {(р{х),ср{у)} и Магри ([3]) 6{х-у) {ф),(р{у)} -5"{х-у) ф)5{х-у) для уравнения КдФ 2ipJ{x-y) (ft Q(p(px ххх Роль гамильтониана играет в первом случае функционал а во-втором функционал 1 п+оо Функционал Р является при этом функционалом импульса для скобки Гарднера Захарова Фаддева, производящим сдвиги вдоль оси х на пространстве функций р{х). Функционал N f (pdx является аннулятором скобки Гарднера Захарова Фаддева и одновременно функционалом импульса для скобки Магри. Как хорошо известно, уравнение КдФ было первой системой, проинтегрированной с помощью метода обратной задачи рассеяния ([4]). В работе ([1]) было показано, что она является интегрируемой также и в классическом "Лиувиллевом"смысле, а также построены переменные действиеугол для скобки Гарднера Захарова Фаддева. Хорошо известна также процедура Ленарда-Магри построения "высших"законов сохранения, коммутирующих потоков, а также гамильтоновых структур, используя бигамильтонов формализм для интегрируемых систем. Другой известный пример ультралокальная скобка Пуассона (см. [5]) {ф{х),ф{у)} -16{х-у) для уравнения НУШ {ф{х),ф{у)} 0 Ш),ф{у)} гфг -фхх 2к\ф\ф Роль функции Гамильтона играет функционал +00 оо {ФЖ Ф\) dx Скобка также обладает функционалом импульса +00 фхФХ оо и функционалом "числа частиц" +00 +00 N /I коммутирующим С Р И Н. ШЧх оо -оо Как хорошо известно, НУШ также является интегрируемой системой ([6]) в смысле метода обратной задачи рассеяния. Мы приведем здесь так

8 Заключение.

В диссертации исследованы слабо-нелокальные гамильтоновы и симплек-тические структуры и их связь с методом Уизема. Получены результаты, касающиеся нелокальных частей слабо-нелокальных гамильтоновых и симплектических структур общего вида. Исследованы слабо-нелокальные гамильтоновы и симплектические структуры гидродинамического типа. При этом получены "Лиувиллевы"и "Канонические"формы слабо-нелокальной скобки Пуассона гидродинамического типа и доказана теорема о приводимости любой "невырожденной"скобки такого вида к "Каноническому виду". Исследованы также пространства аннуляторов и "канонических функционалов", а также симплектические структуры, соответствующие таким скобкам, на пространствах петель. Получено выражение для функционала импульса слабо-нелокальной скобки гидродинамического типа. Исследованы согласованные пучки слабо-нелокальных скобок гидродинамического типа. При условиях невырождености пучка, а также специального условия невырожденности нелокальной части пучка доказано наличие коммутирующих иерархий гидродинамического типа, порождаемых аннуляторами первой скобки пучка, ее фукнционалом импульса, а также "каноническими функционалами". При тех же условиях доказана слабая нелокальность и гидродинамический вид всех "высших "гамильтоновых операторов и " отрицательных "симплектических структур. Предложены процедуры усреднения слабо-нелокальных гамильтоновых и симплектических структур, а также слабо-нелокальных Лагранжианов, дающие соответствующие структуры гидродинамического типа для систем Уизема.

Кроме того, в диссертации исследованы приложения общей задачи С.П. Новикова к теории проводимости модулированного двумерного электронного газа с большой длиной свободного пробега. Показано, что современные методики и, в частности, методика лазерного возбуждения электронных уровней позволяют строить квазипериодические модуляционные потенциалы в плоскости двумерного газа. Описано действие "группы квазипериодов "на таких потенциалах, и описана связь между геометрией открытых траекторий потенцилов, связанных преобразованием группы квазипериодов. Установлена связь геометрии открытых траекторий дрейфа (линий уровня эффективного потенциала) с транспортными явлениями в таких системах в присутствии ортогонального магнитного поля. Для топологически регулярных открытых траекторий введены экспериментально наблюдаемые устойчивые "топологические числа", являющиеся аналогом топологических чисел, введенных ранее в теории нормальных металлов. Для потенциалов, имеющих три и четыре квазипериода, описана структура соответствующих "зон устойчивости "в пространстве параметров, задающих потенциалы. Обсуждаются также случаи "хаотических"открытых траекторий. Диссертация содержит также рассмотрение гальваномагнитных явлений в металлах со сложными Ферми-поверхностями и, в частности, полную классификацию возникающих при этом асимптотических режимов поведения проводимости в пределе шв т —» оо.

Автор выражает глубокую признательность С.П. Новикову, Б.А. Дубровину, М.В. Павлову, Е.В. Ферапонтову, С.П. Цареву, О.И. Мохову, И.А. Дынникову, П.Г. Гриневичу, М.И. Каганову, В.Г. Песчанскому, И.A. Jlap-кину за многочисленные обсуждения и поддержку.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований (грант 03-01-00368).

1. В.Е. Захаров, Л.Д. Фаддеев., "Уравнение Кортевега де Фриза - вполне интегрируемая гамильтонова система", Функциональный анализ и его приложения, 5:4, (1971) 18-27.

2. C.Gardner., "Korteweg-de Vries equation and generalizations", Journ. of Math Phys., Vol. 12 (1971), 1548-1551.

3. F. Magri., "A simple model of the integrable Hamiltonian equation", J. Math. Phys., v. 19 (1978), No. 5, 1156-1162.

4. C.S. Gardner, J.M. Green, M.D. Kruskal, and R.M. Miura, Phys. Rev. Lett., 19 (1967), 1095-1097.

5. Тахтаджян JI.А., Фаддеев Л.Д., Гамильтонов подход в теории соли-тонов. М.: Наука, 1986.

6. В.Е. Захаров, А.Б. Шабат., "О взаимодействии солитонов в устойчивой среде", ЖЭТФ, 64 No. 5 (1973), 1627-1639.

7. И.М. Гельфанд, И.Я. Дорфман., "Гамильтоновы операторы и бесконечномерные алгебры Ли", Функциональный анализ и его приложения, 15, (1981) 23-40.

8. И.М. Гельфанд, И.Я. Дорфман., "Гамильтоновы операторы и связанные с ними алгебраические структуры", Функциональный анализ и его приложения, 13:4, (1979) 13-30.

9. С.П. Новиков., "Периодическая задача для уравнения Кортевега -де Фриза. I", Функциональный анализ и его приложения, 8:3 (1974), 54-66.

10. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков., "Гамильтонов формализм одномерных систем гидродинамического типа и метод усреднения Боголюбова-Уизема", Доклады Акад. Наук СССР, Том. 270, No. 4 (1983), 781-785.

11. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков., "Гидродинамика слабо деформированных солитонных решеток. Дифференциальная геометрия и га-мильтонова теория.", Успехи Математических Наук, 44:6 (1989), 2998.

12. B.A.Dubrovin and S.P.Novikov., Hydrodynamics of soliton lattices, Sov. Sci. Rev. C, Math. Phys., 1993, V.9. part 4. P. 1-136.

13. С.П. Новиков., "Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса", Успехи Математических Наук, 37:5 (1982), 3-49.

14. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков., "О скобках Пуассона гидродинамического типа", Доклады Акад. Наук СССР, Том. 279, No. 2 (1983), 294-297.

15. С.П. Новиков., "Геометрия консервативных систем гидродинамического типа. Метод усреднения для теоретико-полевых систем. "Успехи Математических Наук, 40:4 (1985), 79-89.

16. А.А. Балинский, С.П. Новиков., "Скобки Пуассона гидродинамического типа, фробениусовы алгебры и алгебры Ли.", Доклады Акад. Наук СССР, Том. 283, No. 5 (1985), 1036-1039.

17. Е.И. Зельманов., "О классе локальных, трансляционно-инвариантных алгебр Ли", Доклады Акад. Наук СССР, Том. 292, No. 6 (1987).

18. О.И. Мохов., "О скобках Пуассона типа Дубровина-Новикова (ДН-скобки)", Функциональный анализ и его приложения, 22:4 (1988), 92-93.

19. A.A.Balinskii., Classification of the Virasoro, the Neveu-Schwarz, and the Ramond-type simple Lie superalgebras, Functional Anal, and Its Appl. 21: 4 (1987), 308-309.

20. Г.В. Потемин., "О скобках Пуассона дифференциально-геометрического типа", Докл. Акад. Наук СССР, Том. 286, No. 1, (1986), 39-42.

21. О.И. Мохов., "Локальные скобки Пуассона третьего порядка", Успехи математических наук, т. 40, вып. 5, 257-258 (1985).

22. О.И. Мохов., "Гамильтоновы дифференциальные операторы и контактная геометрия", Фукциональный анализ и его приложения, т. 21, вып. 3, 53-60 (1987).

23. O.I.Mokhov., Symplectic and Poisson structures on loop spaces of smooth manifolds, and integrable systems. Russian Math. Surveys, 53:3 (1998), 515-622.

24. B.B. Соколов., "О гамильтоновости уравнения Кричевера Новикова", Докл. Акад. Наук СССР, т. 277, вып. 1, 48-50 (1984).

25. И.М. Кричевер, С.П. Новиков., "Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения", Успехи математических наук, т. 35, вып. 6, 47-68 (1980).

26. B.Enriquez, A.Orlov, V. Rubtsov., "Higher Hamiltonian structures (the sl2 case)", Письма в ЖЭТФ, т. 58, вып. 8, 677-683 (1993).

27. A.Ya.Maltsev, S.P. Novikov. "On the local systems hamiltonian in the weakly nonlocal Poisson brackets.", Physica D, 156 (2001) 53-80.

28. С.П. Царев., "О скобках Пуассона и одномерных гамильтоновых системах гидродинамического типа", Докл. Акад. Наук СССР, Том. 282, No. 3, (1985), 534-537.

29. О.И. Мохов, Е.В. Ферапонтов., "Нелокальные гамильтоновы операторы гидродинамического типа, связанные с метриками постоянной кривизны."Успехи Математических Наук, 45:3 (1990), 191-192.

30. Е.В. Ферапонтов., "Дифференциальная геометрия нелокальных гамильтоновых операторов гидродинамического типа", Функциональный анализ и его приложения, 25 : 3 (1991), 37-49.

31. Е.В. Ферапонтов., "Ограничение по Дираку гамильтонова оператора ^Ulx на повеРхности евклидова пространства с плоской нормальной связностью", Функциональный анализ и его приложения, т. 26, вып. 4, 83-86 (1992).

32. Е.В. Ферапонтов., "Нелокальные матричные гамильтоновы операторы. Дифференциальная геометрия и приложения."Теоретическая и математическая физика, 91 : 3 (1992), 452-462.

33. E.V. Ferapontov., "Nonlocal Hamiltonian operators of hydrodynamic type: differential geometry and applications", Amer. Math. Soc. Transl., (2), 170 (1995), 33-58.

34. B.A.Dubrovin., "Integrable systems in topological field theory", Nucl. Phys., B379 (1992), 627-689.

35. B.A.Dubrovin., "Flat pencils of metrics and Frobenius manifolds", ArXiv: math.DG/9803106, In: Proceedings of 1997 Taniguchi Symposium "Integrable Systems and Algebraic Geometry", editors M.-H.Saito, Y.Shimizu and K.Ueno, 47-72. World Scientific, 1998.

36. B.A.Dubrovin., "Geometry and analytic theory of Frobenius manifolds", ArXiv: math.AG/9807034

37. B.A.Dubrovin, Y.Zhang., Normal forms of hierarchies of integrable PDEs, Frobenius manifolds and Gromov-Witten invariants., ArXiv: math.DG/0108160

38. Boris Dubrovin, Si-Qi Liu, Youjin Zhang., "On Hamiltonian perturbations of hyperbolic systems of conservation laws", ArXiv: math.DG/0410027

39. Boris Dubrovin, Youjin Zhang, Dafeng Zuo., "Extended affine Weyl groups and Frobenius manifolds II", ArXiv: math.DG/0502365

40. V.E.Zakharov., Description of the n-orthogonal curvilinear coordinate systems and Hamiltonian integrable systems of hydrodynamic type. I. Intergation of the Lame equations., Duke. Math. J, 94 (1998), no. 1., 103-139.

41. I.M.Krichever., "Algebraic-geometric11 n-orthogonal curvilinear coordinate systems and the solution of assoiciativity equations., Functional Anal, and Its Appl., 31 (1997), no. 1., 25-39.

42. O.I.Mokhov., On Integrability of the Equations for Nonsingular Pairs of Compatible Flat Metrics., ArXiv: math.DG/0005081 .

43. E.V.Ferapontov., Compatible Poisson brackets of hydrodynamic type., ArXiv: math.DG/0005221 .

44. A.Ya. Maltsev. "On the compatible weakly-nonlocal Poisson brackets of Hydrodynamic Type", International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 32:10 (2002), 587-614.

45. О.И. Мохов. "Симплектические и Пуассоновы структуры на пространствах петель гладких многообразий и интегрируемые системы", Докторская диссертация, Математический институт им. В.А. Стеклова, Москва, 1996.

46. О.И. Мохов., "Дифференциальная геометрия симплектических и пуассоновых структур на пространствах петель гладких многообразий и интегрируемые системы", Труды Математического института им. В.А. Стеклова, 217 (1997), 100-134.

47. M.V.Pavlov., Elliptic coordinates and multi-Hamiltonian structures of systems of hydrodynamic type., Russian Acad. Sci. Dokl. Math., Vol. 59 (1995), No. 3, 374-377.

48. L.V. Bogdanov and E.V. Ferapontov., A nonlocal Hamiltonian formalism for semi-Hamiltonian systems of hydrodynamic type, Theor. and Math. Phys., Vol. 116, N 1 (1998) 829-835.

49. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

50. Luke J.C., A perturbation method for nonlinear dispersive wave problems, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 292, No. 1430, 403-412 (1966).

51. A.B. Гуревич, Л.П. Питаевский., "Распад начального разрыва в уравнении Кортевега де Фриза", Письма в ЖЭТФ, 17 : 5 (1973), 268-271.

52. А.В. Гуревич, Л.П. Питаевский., "Усредненное описание волн в уравнении Кортевега- де Фриза Бюргерса", ЖЭТФ, 93 : 3 (1987), 871-880.

53. Flaschka Н., Forest M.G., McLaughlin D.W., Multiphase averaging and the inverse spectral solution of the Korteweg de Vries equation, Comm. Pure Appl. Math., - 1980.- Vol. 33, no. 6, 739-784.

54. B.B. Авилов, С.П. Новиков, "Эволюция Уитемовской зоны в теории КдФ", Доклады Акад. Наук СССР, Т. 294, No. 2 (1987), 325-329.

55. B.B. Авилов, И.М. Кричевер, С.П. Новиков., "Эволюция Уитемовской зоны в теории Кортевега де Фриса", Доклады Акад. Наук СССР, Т. 295, No. 2 (1987), 345-349.

56. И.М. Кричевер., "Метод усреднения для двумерных "интегрируемых" уравнений", Функциональный анализ и его приложения, 22:3 (1988), 37-52.

57. И.М. Кричевер., "Спектральная теория двумерных операторов и ее приложения", Успехи Математических Наук, 44:2 (1989), 121-184.

58. I.M. Krichever., "Perturbation theory in periodic problems for two-dimensional integrable systems", Sov. Sci. Rev. Section С 9 (1992).

59. С.Ю. Доброхотов, В.П. Маслов., Конечнозонные почти периодические решения в ВКБ-приближениях., Современные проблемы математики. Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1980. - Т. 15. - С. 3-94.

60. С.П. Новиков, А.Я. Мальцев., "Лиувиллева форма усредненных скобок Пуассона", Успехи Математических Наук, 48:1 (1993), 155-156.

61. V.L.Alekseev, M.V.Pavlov., Hamiltonian structures of the Whitham equations, in Proceedings of the conference on NLS. Chernogolovka1994).

62. А.Я. Мальцев, M.B. Павлов., "О методе усреднения Уизема", Функциональный анализ и его приложения, 95:1 (1995), 7-24.

63. M.V.Pavlov., Multi-Hamiltonian structures of the Whitham equations, Russian Acad. Sci. Doklady Math., Vol. 50 (1995) No.2, 220-223.

64. V.L.Alekseev., On non-local Hamiltonian operators of hydrodynamic type connected with Whitham's equations, Russian Math. Surveys, 50:61995), 1253-1255.

65. Мальцев А.Я., "Усреднение локальных теоретико-полевых скобок Пуассона", Успехи Математических Наук, 52:2 (1997), 177-178.

66. А.Я. Мальцев., "Наследование гамильтоновых структур в методе усреднения Уизема", Известия РАН (Серия математическая), т. 63, вып. 6, 117-146 (1999).

67. Мальцев А.Я. "Усреднение Гамильтоновых структур в дискретном варианте метода Уизема", Успехи Математических Наук, 53:1 (1998).

68. А.Я. Мальцев., "Нелокальные скобки Пуассона и метод Уизема", Успехи математических наук, т. 54, вып. 6, 167-168 (1999).

69. A.Ya.Maltsev., "The averaging of non-local Hamiltonian structures in Whitham's method", International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 30:7 (2002) 399-434.

70. А.Я. Мальцев., "Усреднение слабо-нелокальных симплектических структур", Успехи Мат. Наук, 59:2 (2004), 193-194.

71. A.Ya.Maltsev. "Weakly-nonlocal Symplectic Structures, Whitham method, and weakly-nonlocal Symplectic Structures of Hydrodynamic Type." Journ. Phys. A: Math. Gen. 38 (3) (21 January 2005), 637-682.

72. И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, М.И. Каганов., "К теории гальваномагнитных явлений в металлах", ЖЭТФ, т. 31, вып. 1 (7), 63 (1956).

73. И.М. Лифшиц, В.Г. Песчанский., "Гальваномагнитные характеристики металлов с открытыми поверхностями Ферми. I.", ЖЭТФ, т. 35, вып. 5 (11), 1251-1264 (1958).

74. И.М. Лифшиц, В.Г. Песчанский., "Гальваномагнитные характеристики металлов с открытыми поверхностями Ферми. II.", ЖЭТФ, т. 38, вып. 1, 188-193 (1960).

75. Н.Е. Алексеевский, Ю.П. Гайдуков, И.М. Лифшиц, В.Г. Песчанский., "Поверхность Ферми олова", ЖЭТФ, т. 39, вып. 5 (11), 12011214 (1960).

76. И.М. Лифшиц, М.И. Каганов., "Некоторые вопросы электронной теории металлов. I. Классическая и квантовая механика электронов в металлах."Успехи физических наук, т. 69, вып. 3, 419-458 (1959).

77. И.М. Лифшиц, М.И. Каганов., "Некоторые вопросы электронной теории металлов. II. Статистическая механика и термодинамика электронов в металлах."Успехи физических наук, т. 78, вып. 3, 411-461 (1962).

78. И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, М.И. Каганов., Электронная теория металлов, М.: Наука 1971.

79. А.А. Абрикосов. Основы теории металлов, Москва, Наука, 1987.

80. А.В. Зорич., "Проблема Новикова о полуклассическом движении электрона в однородном магнитном поле, близком к рациональному", Успехи математических наук, т. 39, вып. 5, 235-236 (1984).

81. С.П. Новиков., Труды Математического института им. В.А. Стеклова, 166 (1984), 201.

82. И.А. Дынников., "Доказательство гипотезы С.П. Новикова для случал малых возмущений рациональных магнитных полей", Успехи математических наук, 47:3 (1992), 161-162.

83. И.А. Дынников., "Задача С.П. Новикова о полуклассическом движении электрона", Успехи математических наук, т. 48, вып. 2, 179-180 (1993).

84. И.А. Дынников., "Доказательство гипотезы С.П. Новикова о полуклассическом движении электрона", Математические заметки, т. 53, вып. 5, 57-68 (1993).

85. С.П. Царев, Частное сообщение (1992-93).

86. S.P.Novikov. "Quasiperiodic structures in topology". Proc. Conference "Topological Methods in Mathematics", dedicated to the 60th birthday of J.Milnor, June 15-22, S.U.N.Y. Stony Brook, 1991. Publish of Perish, Houston, TX, pp. 223-233 (1993).

87. S.P.Novikov. Proc. Conf. of Geometry, December 15-26, 1993, Tel Aviv University (1995).

88. С.П. Новиков, А.Я. Мальцев., "Топологические квантовые характеристики, наблюдаемые при исследовании проводимости в нормальных металлах", Письма в ЖЭТФ, т. 63, вып. 10, 809-813 (1996).

89. I.A.Dynnikov. "Surfaces in 3-Torus: Geometry of plane sections."Proc.of ECM2, BuDA, 1996.

90. И.А. Дынников, А.Я. Мальцев., "Топологические характеристики электронных спектров в монокристаллах", ЖЭТФ, т. 112, вып. 1 (7), 371-378 (1997).

91. А.Я.Мальцев., "Аномальное поведение тензора электропроводности в сильных магнитных полях", ЖЭТФ, т. 112, вып. 5 (11), 1710-1726 (1997).

92. С.П. Новиков, А.Я. Мальцев., "Топологические явления в нормальных металлах", Успехи Физических Наук, т. 168, вып. 3, 249-258 (1998).

93. A.V.Zorich. Ргос. "Geometric Study of Foliations"(Tokyo, November 1993)/ ed. T.Mizutani et al. Singapore: World Scientific, 479-498 (1994).

94. И.А. Дынников., "Геометрия зон устойчивости в проблеме Новикова о полуклассическом движении электрона", Успехи математических наук, т. 54, вып. 1, 21-60 (1999).

95. С.П. Новиков., "Уровни квазипериодических функций на плоскости и гамильтоновы системы", Успехи математических наук, т. 54, вып. 3, 147-148 (1999).

96. R.D.Leo. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 2:4, 517-545 (2003).

97. A.Ya.Maltsev, S.P.Novikov, "Quasiperiodic functions and Dynamical Systems in Quantum Solid State Physics", Bulletin of Braz. Math. Society, New Series 34 (1), 171-210 (2003).

98. A.Ya.Maltsev, S.P.Novikov, "Dynamical Systems, Topology, and Conductivity in Normal Metals", Journal of Statistical Physics 115 (1-2), 31-46 (2004).

99. И.А. Дынников, С.П. Новиков., "Топология квазипериодических функций на плоскости", Успехи математических наук, т. 60, вып. 1, 3-28 (2005).

100. D.Weiss, K.v. Klitzing, K. Ploog, and G. Weimann, "Magnetoresistance Oscillation in a Two-Dimensional Electron Gas Induced by a Submi-crometer Periodic Potential", Europhys. Lett., 8 (2), 179 (1989).

101. R.R. Gerhardts, D. Weiss, K.v. Klitzing, "Novel magnetoresistance oscillations in a periodically modulated two-dimensional electron gas", Phys. Rev. Lett. 62 : 10, 1173-1180 (1989).

102. R.W. Winkler, J.P. Kotthaus, and K. Ploog, "Landau band conductivity in a two-dimensional electron system modulated by an artificial one-dimensional superlattice potential", Phys. Rev. Lett. 62 : 10, 1177-1180 (1989).

103. C. W. J. Beenakker, "Guiding-center-drift resonance in a periodically modulated two-dimensional electron gas", Phys. Rev. Lett. 62 :17, 20202023 (1989).

104. P. Vasilopoulos and F.M. Peeters, "Quantum Magnetotransport of a Periodically Modulated Two-Dimensional Electron Gas", Phys. Rev. Lett. 63 : 19, 2120-2123 (1989).

105. E.S.Alves, P.H. Beton, M. Henini, L. Eaves, P.O. Main, O.H. Hughes, G.A. Toombs, S.P. Beaumont, and C.D.W. Wilkinson, J. Phys. Condens. Matter 1, 8257 (1989).

106. K. Ismail, D.A. Antoniadis, H.I. Smith, C.T. Liu, K. Nakamura, and D.C. Tsui, "A lateral-surface-superlattice structure on GaAs/AlGaAs for far-infrared and magnetocapacitance measurements", J. Vac. Sci. Technol. В 7 : 6, 2000-2002 (1989).

107. К. Ismail, Т.Р. Smith III, W.T. Masselink, and H.I. Smith, "Magnetic flux commensurability in coupled quantum dots", Appl. Phys. Lett. 55 : 26, 2766-2768 (1989).

108. H. Fang and P.J. Stiles, "Novel magnetoresistance oscillations in a two-dimensional superlattice potential", Phys. Rev. В 41, 10 171 (1990).

109. P. Streda and A.H. MacDonald, "Magnetic breakdown and magnetoresistance oscillations in a periodically modulated two-dimensional electron gas", Phys. Rev. В 41 : 17, 11 892 11 898 (1990).

110. A. Toriumi, K. Ismail, M. Burkhardt, D.A. Antoniadis, and H.I. Smith, Phys. Rev. В 41, 12 346 (1990).

111. C.Zhang and R.R. Gerhardts, "Theory of magnetotransport in two-dimensional electron systems with unidirectional periodic modulation", Phys. Rev. В 41, 12 850 12 861 (1990).

112. F.M. Peeters and P. Vasilopoulos, "Thermomagnetic transport coefficients of a periodically modulated two-dimensional electron gas", Phys. Rev. В 42 : 9, 5899-5901 (1990).

113. R.A. Puechner, J. Ma, R. Mezenner, W.-P. Liu, A.M. Kriman, G.N. Maracas, G, Bernstein, D.K. Ferry, P. Chu, H.H. Wieder, and P. Newman, Surf. Sci. 228, 520 (1990).

114. D. Weiss, K.v. Klitzing, K. Ploog, and G. Weimann, Surf. Sci. 229, 88 (1990).

115. P.H. Beton, M.W. Dellow, P.C. Main, E.S. Alves, L. Eaves, S.P. Beaumont, and C.D.W. Wilkinson, "Magnetic breakdown of a twodimensional electron gas in a periodic potential", Phys. Rev. В 43 : 12, 9980-9983 (1991).

116. D. Weiss, in Electronic Properties of Multilayers and Low Dimensional Semiconductor Structures, sdited by J.M. Chamberlain, L. Eaves, and J.-C. Portal (Plenum, New York, 1990), p. 25.

117. R.R. Gerhardts, D. Weiss, and U. Wulf, "Magnetoresistance oscillations in a grid potential: Indication of a Hofstadter-type energy spectrum", Phys. Rev. В 43, 5192 (1991).

118. R.R. Gerhardts, "Quasiclassical calculation of magnetotransport oscillations of a two-dimensional electron gas in an anharmonic lateral su-perlattice potential", Phys. Rev. В 45 : 7, 3449-3454 (1992).

119. F.M. Peeters and P. Vasilopoulos, "Electrical and thermal properties of a two-dimensional electron gas in a one-dimensional periodic potential", Phys. Rev. В 46 : 8, 4667-4680 (1992).

120. J.H. Davies and I.A. Larkin, "Theory of potential modulation in lateral surface superlattices", Phys. Rev. В 49 : 7, 4800-4809 (1994).

121. R. Taboryski, B. Brosh, M.Y. Simmons, D.A. Ritchie, C.J.B. Ford, and M.Pepper, "Magnetothermopower oscillations in a general superlattice", Phys. Rev. В 51 : 23, 17 243 -17 246 (1995).

122. I.A. Larkin, J.H. Davies, A.R. Long, and R. Cusco, "Theory of potential modulation in lateral surface superlattices. II. Piezoelectric effect", Phys. Rev. В 56 : 23, 15 242 15 251 (1997).

123. J.H. Davies, D.E. Petticrew, and A.R. Long, "Theory of potential modulation in lateral surface superlattices. III. Two-dimensional superlattices and arbitrary surfaces", Phys. Rev. В 58 : 16, 10789-10799 (1998).

124. С. Albrecht, J.H. Smet, D. Weiss, K. v. Klitzing, R. Hennig, M. Langen-buch, M. Suhrke, U. Rossler, V. Umansky, and H. Schweizer, "Fermi-ology of Two-Dimensional Lateral Superlattices", Phys. Rev. Lett. 83 : 11, 2234-2237 (1999).

125. D.E. Grant, A.R. Long, and J.H. Davies, "Commensurability oscillations due to pinned and drifting orbits in a two-dimensional lateral surface superlattice", Phys. Rev. В 61 (19), 13127-13130 (2000).

126. J. Briming, S.Yu. Dobrokhotov, and K.V. Pankrashkin, "The Spectral Asymptotics of the Two-Dimensional Schroedinger Operator with a Strong Magnetic Field. I", Russian Journ. of Math. Phys. 9 : 1, 14 (2002).

127. I.V. Kukushkin, J.H. Smet, V.I. Falko, K. v. Klitzing, and K. Ebert, " Geometrical commensurability oscillations in the magnetoresistance of a two-dimensional electron gas under microwave irradiation", Phys. Rev. В 66, 121306-1 121306-4 (2002).

128. A. Nogaret, "Signature of phonon drag thermopower in periodically modulated structures", Phys. Rev. В 66, 125302-1 125302-7 (2002).

129. A.Ya. Maltsev, "Quasiperiodic functions theory and the superlattice potentials for a two-dimensional electron gas", Journ. of Math. Phys. 45:3, 1128-1149 (2004).