Оценка L-функций Гекке на половинной прямой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Приближенные функциональные уравнения А.Ф.Лав-рика для L ~ Функций с гроссенхарактерами

Гекке.

§ I. Вывод приближенного уравнения для случая

L - ряда Дирихле с характером по модулю к

§ 2. Вывод приближенного уравнения для случая

L - рядов с групповыми характерами классов поля К

§ 3. Вывод приближенного функционального уравнения для общего L - ряда Гёкке с гроссенхарактером.

§ 4. Оценка начальных членов приближающих рядов.

ГЛАВА П. Оценка А, - функций Гекке на половинной прямой.

§ I. Оценка L - функций Гекке Гауссового поля на половинной прямой

§ 2. Оценка L (l/z +it, Л ) для случая полей степени п, ^

§ 3. Распространение оценки L - функций Гекке на поля любой степени.

В вопросах распределения нулей L - функций и связанных с ними арифметических задачах большое значение имеет получение хороших оценок соответствующих L - функций на половинной прямой.

Для дзета-функции Римана £ (s) Г.Харди и Д.Литтльвуд [i - З] (также Е.Титчмарш [4 , 5] ) получили на половинной прямой оценку £ (1Д + it) |« t1/6 ЪЛ • «>

Впоследствии эта оценка еще улучшалась (например, [б , 7]). Кроме того, аналогичную (I) оценку получил Е.Титчмарш [8] для дзета-функции Эпштейна.

Целью данной работы является получение оценки, аналогичной (I), для L- функций с гроссенхарактерами Гекке. При этом представляется важным получить такую оценку одновременно по и по показателям гроссенхарактера, так как подобные оценки позволяют получать плотностные теоремы для L, - функции Гекке, равномерные по всем параметрам. Теоремы такого типа, вместе с равномерной по параметрам теоремой Й,П.Кубилюса [9] о сдвиге границы нулей вблизи 5 = 1 для L - функций Гекке, дают возможность изучать распределение простых идеальных чисел поля в узких секторах (например, [9 - 12] ), причем "узость" сектора определяется качеством оценки по показателям гроссенхарактера. Заметим, что А.Матуляускас [13 , 14] получил для случая квадратичных полей оценки L - функций Гекке, но более слабые,чем (I). Кроме того, имеются тоже более слабые, чем (I), оценки для дзета-функции Дедекинда [15].

Для получения оценок U - функций на половинной прямой используются приближенные функциональные уравнения соответствующих

L - функций. Если мы хотим получать оценки, равномерные по параметрам гроссенхарактеров, то нам лучше использовать уравнения Лавриковского типа ([16 - 19]). Заметим, что для квадратичных полей приближенные уравнения с равномерными оценками выводились, кроме работы [17] , в работах К.Булоты [20 , 2l] и А.Матуляускаса [13 , 14 , 22] .

В данной работе, в гл.1, приближенные уравнения А.Ф.Лаври-ка для случая L - рядов с гроссенхарактерами Гекке будут выведены новым методом в удобном для нас виде. При этом применяется способ поворота контура интегрирования, аналогичный [23 ] . В §1 гл.1 рассматривается наиболее простой случай вывода приближенного функционального уравнения для L - ряда Дирихле с характером по модулю (с . В §2 этой главы рассматриваются L -функции с круговыми характерами для произвольного алгебраического поля, где, в связи с бесконечностью группы единиц, появляются новые технические трудности. В §3 гл.1 выводится приближенное функциональное уравнение для общего случая произвольного L - ряда с гроссенхарактером Гекке. И в §4 гл.1 выводятся оценки для коэффициентов в приближенном уравнении для L - ряда с гроссенхарактером. В частности, при некоторых ограничениях на показатели гроссенхарактеров, выводятся оценки начальных членов рядов в приближенном уравнении, достаточные для получения оценок соответствующих - рядов Гекке, аналогичных (I).

И, наконец, в гл.П, с ограничениями на показатели гроссенхарактеров из §4 гл.1, будет получена оценка - рядов Гекке, аналогичная (I). При этом, в §1 гл.П будет получена оценка L -рядов Гекке Гауссовского поля. В §2 гл.П будет получена оценка для L - рядов Гекке в случае алгебраических числовых полей, степень которых не превосходит 4. И, в §3, - оценка будет распространена на случай полей любой степени. При этом оценка кратных тригонометрических сумм, возникающих при применении соответствующих приближенных уравнений, сводится к оценке кратных тригонометрических сумм с квадратичными полиномами. Видимо, применение кратных тригонометрических сумм с полиномами более высокой степени позволило бы получить несколько более сильные оценки, чем (I) (аналогично, например,[6 , 7] для ^ (s) ), но это требует значительного усложнения техники оценок. Введем ряд обозначений.

Пусть К - алгебраическое числовое поле степени где и f соответственно, означают число его вещественных и невещественных сопряженных полей К^; К

I / (tn-t-ti + Р ) ~ комплексно сопряжено с К ) Y - ч, ■■ to. • Для

К будем обозначать его сопряженные через oL(р)е К(р). d^ означают, соответственно, дискриминант и число классов идеалов поля К .

Мы будем пользоваться идеальными числами, введенными как в [24 - 26] . При этом каждый идеал (£ представлен в виде (£= (оО где - число некоторого алгебраического поля, более широкого, чем К . Кроме того, если (L^- сопряженный с Q. идеал поля К ° , то , И для нормы идеала выполняется:

Будем также обозначать

NU) = s6&) - • St^-NiW).

Деление идеалов на классы переносится на классы идеальных чисел. Сравнение ZL 5Erj3 (nnocl у) означает, что j3 принадлежат одному и тому же классу и - j3 делится на Ф . СсР)-дифферента К .

Следуя Э.Гекке [24 , 25] , введем гроссенхарактеры. Пусть - целый, отличный от нуля идеал поля К » ^ . • • система + основных единиц по модулю -f ; % - оса) новной корень из I степени Л . в* и удовлетворяют

1 " г следующим системам уравнений: t+i /t±± 1

1; Z-e* при к еч 1 ^ "-у j=i то есть = 1 , при = и в^ = £ ,при t^=0 , при q = • • и где - дельта-функция Кронекера.

Обозначим л (Р) ^ (Р) при /0=1,. причем otp)=o , при j при t'^1"--'^*^-Сопоставляем каждому полю К ^ переменную ЯС^ ; Гроссенхарактер величины X по модулю £ есть:

Д, ; w. Z1 e^ |XP| Л / ,L ilef ^Ix ha

А(х)=Пе V П(тЬе / где ; . . . , Tf\ ъ - произвольные целые рациональные числа; (X/i +1,---, - целые рациональные, удовлетворяющие условиям: Ol^-^ + при j= = ^ +. . . .

ZI А^а =0 Г где А^ - целые рациональные числа, зависящие только от поля К

Гроссенхарактер идеала ) по модулю ^ имеет вид

A((£)) = UsO/Wtte), где ^ ) - гроссенхарактер величины числа с^ , ^(оО -групповой характер класса для по модулю I , пГ(Х) характер знака, то есть: где & = 0 или 1 , при f = V .

Числа m1 j . . будем называть показателями гроссенхарактера.

С ~ комплексная плоскость; S £ С

- функция Гекке с гроссенхарактером А определяется при fU 2 > 1 рядом / и V- МШ ад-*, .AJ=Z

S > где суммирование ведется по всем целым неассоциированным по модулю ^ числам об . (В дальнейшем слова "по модулю { " будут иногда опускаться).

Первообразный и непервообразный гроссенхарактеры по модулю t. определяются как обычно (например, [25] ). Нас будут интересовать L " функции с первообразными гроссенхарактерами. (Для L - функций с непервообразными гроссенхарактерами результаты легко следуют - например, [25]).

Главный характер - это характер л ((Ю)=1.

Обозначим t , ({с)

Г г С|1 г где Q, - показатели сопряженного характера Л , то есть а£ = , при jo= i3.; ^ j пря = + +

Мы будем называть показателями пары (X , S ) .

При этом из контекста будет ясно, о каких показателях идет речь.

- дзета-функция Римана.

Р (s) - гамма-функция Эйлера.

Иногда будем использовать обозначение

T(s, >)= ПГ(г,/£). jari

Под % будем понимать величину, комплексно-сопряженную с величиной % .

Константы в символе 0 и Виноградовском знаке «г могут зависеть от поля и, как правило, от идеала ( jm]} {j^}, Цju || означают, соответственно, целую, дробную часть и расстояние до ближайшего целого числа ju .

Нумерацию формул будем вести по параграфам. При необходимости ссылок на формулы другого параграфа будет указываться номер параграфа и, если нужно, номер главы. Так, (1.2.6) будет означать формулу (6) из § 2 гл.1.

Основные результаты диссертации опубликованы в [ 36-38 ] .

1. Hardy &.Н.} LittltwoooL J.£. The zeros of rimann's zeta-function of the critical0 Une-Math. zs., 1921, Boi. 1D,s. 283 - 317.

2. Hardy (т.н., iitttewood J.£. The approximate functionoct equation in the theory of the zeta-function with application to the divisor proMems of Dirichtet and Pittz.-Proc.Lond. Math.Soc.(2), 1922> v. 21, p. 39-74.

3. Hardy £//., LiMeu/ood J.f. Trie approximate function a6 equations for $(s) and^fsJ-Proc. Load Math. Soc.2), 1929,p. 81-97.

4. Titchmarsh EX. For an accont of van c/er Corpat's method and references. Quart J. of Math. (Oxfordf 19313 v.p. 161-/73.

5. Титчмарш E.K. Теория дзета-функции Римана. M.:ИЛ, 1953. -408с.

6. Min S.H. On the order of Trans. Amer. Math. Soc., /Щ v.65y р.Ш-472.7. ttaneke W. Verscharfunp der A&schatzung. von 5{ye+it)r Acta Arlthm., 1963, V. 8, n. 3 p. 357- 430.

7. Titcharsh B.C. On the Epstein's zeta-function. Proc. Lond. Math. Зое. (г), 1934, v. 36 p. 485-500.

8. Кубилюс Й.П. О некоторых задачах геометрии простых чисел. -Матем.сборник, 1952, т.31(73), №3, с.507-542.

9. Кубилюс Й.П. Об одной задаче многомерной аналитической теории чисел. Учеб.зап.Вильнюсского университета, сер.мат.-физ.-хим.н., 1955, т.4,•с.5-43.

10. Ковальчик Ф.Б. Плотностные теоремы и распределение простых в секторах и прогрессиях. Докл.АН СССР, 1974, т.219, Р I, с. 31-34.I

11. Макнис М. Нули % функций Гекке и распределение простых чисел мнимого квадратичного поля. - Лит.матем.сб., 1975, т.15, № I, с.173-184.

12. Матуляускас А. О ^ функции Гекке вещественного квадратичного поля.1. - Лит.матем.сб., 1971, т.II, № 3, с.597-605.

13. Матуляускас А. О ^ функции Гекке вещественного квадратичного поля. - Лит.матем.сб., 1973, т.13, Р 2, с.196.

14. Chandrasekharan К., Narasimhan R. The approximate FuncUonat equation for a ctass of Zeta-function. Math. ann;} 1963, V. 152, n.1,p.30-6b.

15. Лаврик А.Ф. 0 функциональных уравнениях L функций Дирихле. - Докл.АН СССР, 1966, т.171, № 2, с.278-280.

16. Лаврик А.Ф. Приближенное функциональное уравнение дзета-функции Гекке мнимого квадратичного поля. Матем.заметки, 1967, т.2, № 5, с.475-482.

17. Лаврик А.Ф. Функциональное уравнение для L функций Дирихле и задачи делителей в арифметических прогрессиях. -Изв.АН СССР, сер.матем., 1966, т.30, с.433-448.

18. Лаврик А.Ф. Приближенные функциональные уравнения функций Дирихле. Изв.АН СССР, сер.матем., 1968, т.32, № I, сДЗФ-185.

19. Булота К. Приближенное функциональное уравнение 2 -функций Гекке мнимого квадратичного поля. Лит.матем.сб., 1962, т.2, № I, с.39-82.

20. Булота К. О приближенном функциональном уравнении 2 -функций Гекке. Лит.матем.сб., 1964, т.4, № 2, с.183-196.

21. Матуляускас А. Приближенное функциональное уравнение ^ -функции Гекке вещественного квадратичного поля. Лит.матем. сб., 1969, т.9, Р 2, с.291-319.

22. Виноградов А.И. Ряды Куботы и тета-функции. В сб.:Актуальные проблемы аналитической теории чисел. Минск, 1974,с.23-48.А

23. Неске £. ЕСпе neue Art von ZetafunktLonen и net Chre Beziehumqen zur ч VertelCun^ der PrimzatfiCen. Math, Isv 1918> 3d. 1, S. 357-376.

24. Неске E- Fine neue Art von ZetafunktLonen und ihre Beztihunfjen zur VertetCung der PrimzahHen. 2. Math.Is,, 192.0, 3d. 6, S. //- 51.

25. Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.-Л.: ГИГТЛ, 1940, - 260с.

26. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.:Наука, 1975. - 184с.

27. Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. М.:Наука, 1971- 199с.

28. Чандрасекхаран К. Арифметические функции. М. :Наука, 1975.- 272с.

29. Прахар К. Распределение простых чисел. М.:Мир, 1967. - 512с

30. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.:Наука, 1964.-568с.

31. Хассе Г. Лекции по теории чисел. М.: ИЛ, 1953. - 528с.

32. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.:Наука, 1971. - 160с.

33. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М.: Наука, 1976. - 120с.

34. Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений. -М.: ИЛ, 1961. 213с.

35. Кауфман P.M. Оценка L функций Гекке Гауссового поля на половинной прямой. - Докл.АН БССР, 1978, т.22, Р I, с.25-28.

36. Кауфман P.M. Об укороченных уравнениях А.Ф.Лаврика. Зап. научн.семин. ЛОМИ, 1978, т.76, с.124-158.

37. Кауфман P.M. Оценка L функций Гекке на половинной прямой. - Зап.научн.семин. ЛОМИ, 1979, т.91, с.40-51.