Исследование интегрируемых спиновых цепочек типа XXZ в подходе алгебр Гекке тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

5-2009-74

На правах рукописи УДК 531.19

ОСЬКИН Андрей Федорович

ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СПИНОВЫХ ЦЕПОЧЕК ТИПА ХХ2 В ПОДХОДЕ АЛГЕБР ГЕККЕ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

/

оиа^'^—

Дубна 2009

003473356

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук А.П. Исаев

Научный консультант:

доктор физико-математических наук С.З. Пакуляк

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор В.Б. Приезжев

кандидат физико-математических наук Н.З.Иоргов

Ведущая организация:

Математический институт им. В.А.Стеклова Российской академии наук, г. Москва

Защита состоится "2*1 " ц.еси<лЯ 2009 г. в ii ч. А О мин. на заседании диссертационного совета Д 720.001.01 при Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, 141980, г. Дубна, Московская область, ул. Жолио-Кюри, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛТФ ОИЯИ.

Автореферат разослан " " XitkSs 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук А.Б. Арбузов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы.

Одной из важных задач современной математической физики является исследование интегрируемых систем. Конечномерными интегрируемыми системами как правило называются гамильтоповы системы, в которых число коммутирующих интегралов движения равно числу степеней свободы. В случае бесконечномерных полевых гамильтоновых систем интегрируемость впервые исследовалась Л.Д. Фадеевым и В.Е. Захаровым при изучении уравнений КдВ.

Исторически интерес к интегрируемым моделям возник при исследовании теории ХХХ1/2 спиновой цепочки Гейзенберга и модели Изинга. Когда квантовая теория начала своё развитие и добилась первых успехов, то модель Изинга, являясь классической, была признана неудовлетворительной. В 1928 году Гейзенберг предложил квантовую спиновую модель, в которой классический спин модели Изинга, принимающий только два возможных состояния, был заменён на матрицы Паули, соответствующие спину 1/2. Одномерная версия этой модели имеющая название спиновая цепочка Гейзенберга была решена Бете в 1931, при помощи конструкции ныне известной, как Бете анзац.

В течение долгого времени после этого теория интегрируемых систем не развивалась, до тех пор, пока Онсагер не нашёл в 1944 году решение модели Изинга. Это решение имело огромное значение для статистических моделей, в частности для понимания физики критических явлений. Следствием этого решения явилось появление в 50-х годах большого числа работ по точно решаемым моделям, которые вскоре включили в себя работу Бете и в скором времени интегрируемые системы стали объектом пристального внимания физиков и математиков.

В частности, в теории поля одним из наиболее известных примеров интегрируемой модели является уравнение Sine-Gordon

Dip + m2 sin ^ = 0,

для скалярного поля ip(x,t), которое полагается релятивистским и нелинейным.

Как хорошо известно, проблемы теоретико-полевых моделей со взаимодействием связаны с наличием расходимостей и необходимо вводить регуляризации. Дискретизация пространства, или другими словами, переход к решёточным моделям, является одним из способов такой регуляризации. Этот подход сводит полевую модель в конечном объёме к системе с конечным числом степеней свободы.

В начале 80-ых годов, в основном благодаря работе Нзергина и Коре-пипа, было осознано, что интегрируемые нолевые модели связаны с решёточными интегрируемыми моделями, которые в некоторых случаях могут быть интерпретированы как модели квантовых спиновых цепочек. Другими применениями моделей спиновых цепочек в современных теориях поля, являются вычисления аномальных размерностей композитных полей в N = 4 суперсимметричных теориях Янг-Миллса и при изучении высокоэнергетического предела теорий КХД.

Возвращаясь к статистическим теориям, стоит упомянуть такие модели, как ассиметричные процессы с исключением, которые физически можно рассматривать, как стохастическую систему частиц, совершающих скачки в соседние узлы по таким правилам, что две частицы не могут находиться в одном узле и не могут обогнать друг друга, и находящуюся под влиянием внешнего поля, которое движет частицы в некотором выделенном направлении. Динамику данной системы описывает гамильтониан X X !<2 анизотропной модели Гейзенберга, имеющий вид

где ц формальный параметр, суммирование берётся по п узлам цепочки, а в^в^в2 - матрицами Паули.

Одним из методов исследования таких гамильтоновых систем является квантовый метод обратной задачи рассеяния, и связанный с ним алгебраический анзац Бете. Алгебраический анзац Бете, развивающий подход Бете, был разработан Л.Д. Фаддеевым и его школой. Использование анза-ца Бете позволяет достигнуть множества интересных результатов, однако,

п-1

¿=1

помимо квантового метода обратной задачи рассеяния существует интерес: к альтернативным формам изучения подобных квантовых гамильтоновых систем.

Это связано с тем, что при изучении конкретных систем не так просто определить, являются ли они интегрируемыми пли пет. Некоторую информацию, которая позволяет ответить на этот вопрос, можно получить используя алгебраические свойства локальных матриц взаимодействия. В частном случае, если ввести Я матрицу вида

( д 0 0 0 \

О q-q'-] 1 О

я =

О 1 о о

ч О 0 о У /

которая действует в пространстве (С2)32, и определить оператор Я,- действующий на г, г + 1 узлах спиновой цепочки, то как было показано в работах Джимбо этот оператор удовлетворяет соотношениям алгебры Гекке

Я,Я, = Л;Я,, \г-Я>2, ВД-нй = Я,+1й,й,+1, (&-</)(&+(Г1) = О,

которые показывают, что матрицы Щ реализуют некоторое представление алгебры Гекке. Данное матричное представление позволяет переписать гамильтониан ХХЕх[2 модели с открытыми граничными условиями в следующей простой форме

г

Можно сформулировать более общую задачу поиска спектра для различных представлений специального элемента алгебры Гекке, который имеет ту же форму

где Т, образущне алгебры Гекке. Важным следствием данного наблюдения является следующее утверждение: любой стохастический процесс описываемый суммой локальных матриц взаимодействия, удовлетворяющих соотношениям алгебры Гекке, является интегрируемым процессом. Более того, любое представление р алгебры Гекке даёт интегрируемую систему, типа стохастического порцесса, с гамильтонианом р(Н). Таким образом важной задачей является исследование спектра гамильтониана алгебры Гекке в различных её представлениях. Данная задача очевидно сводится к изучению спектра неприводимых представлений.

Цель работы.

Целью настоящей диссертации является построение спектра гамильтониана цепочки Гекке,обобщающего гамильтониан ХХ2\^ квантовой спиновой цепочки, для различных неприводимых представлений алгебр Гекке А типа, а также детальное исследование самих алгебр Гекке для случая д не являющегося корнем из единицы.

Научная новизна и практическая ценность.

Был разработан и применен для конкретных вычислений метод поиска спектра гамильтониана для некоторых специальных представлений. Получены условия для выражения неприводимых представлений алгебры Гекке одного вида через ограничения тензорных произведений неприводимых представлений другого вида, что позволяет ввести на некоторых представлениях алгебры Гекке конструкцию аналогичную конструкции коумноже-ния. Тем самым возникает возможность вычислять спектры гамильтониана цепочки Гекке для более сложных представлений, что даёт возможность рассматривать новые интегрируемые спиновые и стохастические модели.

Полученное представление идемпотентов алгебры Гекке в виде произведения бакстеризованных элементов даёт простую конструкцию процедуры слияния. Результатом этого является, в частности, возможность получения новых решений для алгебраического аналога уравнений отражений. Также появляется возможность записать соотношения для элементов алгебры Гекке, которые в Я-матричном представлении совпадают с ТС}

уравнениями Бакстера, что и свою очередь позволит получать спектры гамильтонианов различных физических моделей на основе аналитического анзаца Бете.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на:

1. Международном совещании "Суперсимметрии и квантовые симметрии", 2007, ОИЯИ, г.Дубна;

2. XVI International Colloquium on Integrable Systems (ISQS-16), Prague, 2007;

3. семинарах темы "Современная математическая физика", ЛТФ, ОИЯИ, г.Дубна;

4. XIII конференции молодых учёных и специалистов, 2009, ОИЯИ, г. Дубна.

Публикации.

Диссертация написана по материалам 4 работ. Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Общий объем диссертации 112 страниц машинописного текста, включая список литературы из 59 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлен краткий обзор основных работ и результатов по теме интегрируемых систем и алгебр Гекке. Там же кратко описаны основные результаты, составляющие данную диссертацию.

В первой главе - "Аффинные группы кос" - описывается теория групп кос, соответствующих аффинным и неаффинным графам Дынки-на. Для случая групп кос А типа излагается конструкция так называемого "элементарного гомоморфизма" (соответствующий английский термин "evaluation homomorphism" не имеет более адекватного перевода на русский язык), при помощи которого удаётся систематически описать свойства специальных объектов соответствующей алгебры Гекке, которые называются элементами Юциса-Мёрфи и были выведены Диппером и Джеймсом при обобщении результатов Юциса и Мёрфи для симметрической группы.

Группа кос соответствующая неафинному графу Дынкина А типа порождается набором образующих Т\,... ,Т„, которые удовлетворяют соотношениям

ЗД = Т/Г4, \i-j\>2,

гтл ГТ1 ГТЛ _ m /т) ГТ1

J-iJ-i+lJ-i — i i+l-li-Li+1-

Элементы Юциса-Мёрфи определяются при этом из следующих рекку-рентных соотношений

2/i=l, yi+i=TiyiTi.

Основная идея построения элементарного гомоморфизма заключается в том, что в аффинной группе кос удаётся выполнить одновременно несколько условий. Сама по себе аффинная группа кос (вообще говоря расширенная, но в тексте для упрощения это слово будем опускать) может быть определена несколькими разными эквивалентными способами. С одной стороны она определяется набором образующих {То,... ,ТП}, которые удовлетворяют соотношениям кос, и элементами 7г £ ii, где О. фундаментальная группа данной алгебры Ли, или, другими словами, группа

автоморфизмов соответствующего аффинного графа Дынкина. С другой стороны, для аффинных групп кос естественным образом определяется подгруппа сдвигов У, изоморфная решётке ковесов, и аффинная группа кос описывается в этом случае элементами подгруппы сдвигов и образующими {Т1,...,Т„}, которые сами по себе являются образующими уже неаффинной группы кос. Так как подгруппа У является образом решётки ковесов, то тем самым она играет важную роль в теории представлений групп кос и соответствующих аффинных алгебр Гекке. Поскольку это два различных описания одной и той же аффинной алгебры, то между ними существует связь, которая описывается при помощи понятия длины. Это построение в случае аффинных групп является всего лишь расширением классического понятия и потому многие теоремы переносятся практически без изменений. С использованием конструкции длины в случае А серии для ковеса соответствующего старшему ковесу антифундаментального представления получается выражение вида Уь" = ттпТ\Т2 ■ ■ ■ Тп, где тгпТ() = Тпттп. Однако, с другой стороны, в неаффинной группе кос, существует внутренний автоморфизм, порождаемый элементом X - Тп...Т\ который действует схожим образом. Наивно можно сказать, что существует гомоморфизм аффинной группы кос на неаффинную группу с использованием отождествления 7Г > Л'. Это не совсем точно, так как данное отображение не является корректно определённым, однако, как оказывается в дальнейшем, неточность, которая допускается при таком отождествлении не является существенной. С учётом этого замечания получается, что элементу У6" соответствует некоторый элемент Юциса-Мёрфи. Рассматривая другие ковеса, и используя то же отображение, для неаффинной алгебры Гекке получается всё семейство операторов Юциса-Мёрфи, которые, таким образом являются образом решётки ковесов и наследуют её свойства. А именно, они образуют максимальную коммутативную подгруппу, а также в последующем с их помощью описывается теория представлений соответствующей алгебры Гекке. Другой подход к вычислению элементарного гомоморфизма уже в алгебрах Гекке, связан с использованием квантовых групп и был описан в работе И. Чередника.

Во второй главе - "Алгебра Гекке и сё представления" - определяются алгебры Гекке и, при помощи введённых элементов Юциса-Мёрфи у,, строится их теория представления. Данная теория, в силу причин упомянутых выше, оказывается связанной с теорией представления алгебр Ли з1„. Поэтому в обеих теориях используется сходный язык, а именно язык диаграмм Юнга. Все возможные представления алгебр Гекке при этом описываются окрашенным графом Юнга, в вершинах которого стоят диаграммы Юнга. Каждой диаграмме Юнга при этом ставится в соответствие набор стандартных таблиц Юнга Т, которые связаны со специальными элементами Ет алгебры Гекке, называющихся идемпотентами, то есть удовлетворяющих соотношениям Е^ = Ет- Идемпотенты обладают рядом свойств, во-первых они являются собственными "векторами" элементов Юциса-Мёрфи ¡/¡Ет = ЕтУь = с-1Ет, где с, - "содержимое" клетки с координатами (п,т), с, = q2<'n~"lK Во-вторых, идемпотенты можно записать как функции этих же элементов Юциса-Мёрфи. Более того, существует альтернативная форма их записи через бакстеризованные элементы

которая исследуется в диссертации и является обобщением аналогичной конструкции для симметрической группы.

Юцисом было замечено, что примитивные идемпотенты симметрической группы, могут быть получены как некоторый предел функции многих переменных специального вида, с рациональными коэффициентами и со значениями в симметрической группе. Точка в которой берётся предел определяется содержимым соответствующих клеток заданной таблицы Юнга, для которой ищется идемпотент. Эта функция имеет вид

где щ,...\ип являются комплексными переменными и произведение вычисляется в групповой алгебре С[б„] с лексикографическим упорядочиванием по парам (г,]).

Т1(х,у) = ТгУ 7?1:Г, * ,уеС,

Сходная конструкция, называемая "процедура слияния" (оригинальный английский термин "fusion procedure"), была разработана Чередииком и полное доказательство было впервые дано Назаровым. Позднее эта конструкция была построена для случая алгебр Гекке, в частности Граймом была использована версия основанная на главных крюках разбиения. Однако Молевым недавно было найдено гораздо более простая версия доказательства этой конструкции в случае симметрической группы. В диссертации было построено обобщение этого доказательства для алгебр Гекке, что позволило получить простую конструкцию слияния. А именно, для произвольной стандартной таблицы Юнга Т диаграммы Л = (Лi,..., Л;), соответствующий идемпотент Ет, получается в результате последовательного вычисления функции

= F(A) У! (С1; а2) • • • 1 (с!, с2,... с,г_ 1; u(l) |U2=С21из =Сз.. • |ц_1=Сп,

где

У к (ci, с2,..., ск; и) = TWk Тк (сх, и)Тк- i (с2, и)... Ti (ск, и) Т^Д t,

ТШк = (Tl... Ti-2 Ti_i)(Ti... Ti-2) ■ ■ ■ № Т2) Ть г = 2,..., п.

Нормировочный коэффициент F(А) вычисляется в процессе построения идемпотентов. С одной стороны, он равен

F(А) = ,»<*>-»(*) ПтГТ' «Та {ha)"

где произведение берётся по всем клеткам а = (г, j) диаграммы А, диаграмма А' = (A'j,..., Aj) является сопряжённой к А. Крюк ha определяется как

ha = Xi + X'j - г - j + 1, g-число (m)g = ^Г^-т-. число n(A) = (» - 1) -V

t=i

С другой стороны, этот нормировочный коэффициент оказывается связанным с так называемой q-размерностпъю стандартных таблиц и следом Окнеану-Маркова от соответствующих идемпотентов.

В третьей главе - "Алгебра Гекке и интегрируемые модели" - вычисляется спектр гамильтониана цепочки Гекке, для случая специальных

представлений алгебр Гекке, соответствующих диаграммам Юнга углового типа. Исходно в данной главе описывается конструкция специальных элементов алгебры Гекке аналогичных матрицам монодромии Скляпина. Полученные операторные матрицы монодромии являются производящими функциями семейства коммутирующих элементов алгебры Гекке, одним из которых и является собственно гамильтониан цепочки Гекке. Данная коммутативная подалгебра называется подалгеброй Бете. Тем самым устанавливается связь между интегрируемыми моделями связанными с ХХ2 моделями исследованными Бете и интегрируемыми системами, описываемыми гамильтонианами подалгебры Бете. В результате, задача исследования спектра гамильтониана сводится к исследованию собственных значений соответствующих элементов подалгебры Бете в различных неприводимых представлениях.

Собственно построение спектра гамильтониана цепочки Гекке для представлений, соответствующих угловым диаграммам, состоит из двух частей. Вначале производится вычисление спектра для представлений соответствующих угловым диаграммам простейшего типа, а именно диаграммам вида {к, 1}, то есть состоящих из двух рядов, причём во втором ряду находится лишь одна клетка. Далее, более сложные представления строятся из простейших как антисимметризация их тензорных произведений. Вообще говоря, алгебра Гекке не является биалгеброй и поэтому, в общем случае, коумножение в ней не определено. Это значит, что процедура тензорного произведения двух представлений алгебры Гекке не приводит к новому представлению. Однако, в работе формулируется общий результат, который указывает условия при которых данную процедуру провести можно. В частности удаётся построить представления соответствующие произвольной диаграмме Юнга углового типа, и указать коумножение для образующих алгебры Гекке в данном представлении. В силу указанной конструкции, спектр гамильтониана получается как сумма собствен-

ных значений гамильтонианов соответствующих угловым диаграммам ти-

на {А', 1} и равен

Брсс(Н{кл)) = (У 2сон ''"' ,1 < пц < 1П2 • • • < т ^ к + 1}. ^—' А + / + 1 ¿= 1

Данный результат является спектром свободных фермионов

В заключении кратко сформулированы полученные в диссертации результаты, которые и выносятся на защиту.

На защиту выдвигаются следующие результаты:

• Для гамильтониана цепочки Гекке получен точный спектр энергии, в случае неприводимых представлений алгебр Гекке А типа, соответствующих угловым диаграммам Юнга.

• Для алгебр Гекке А тина получены условия, при которых одни представления, можно выражать через специальные комбинации тензорных произведений других представлений.

• Для примитивных идемпотентов алгебры Гекке (квантовых аналогов симметризаторов Юнга) получены их факторизованные формы, записанные в терминах решений уравнения Янга-Бакстера, записанные в терминах образующих алгебры Гекке.

• Для указанной формы примитивных идемпотентов вычислены выражения для нормировочных коэффициентов, которые выражаются через (/-размерности неприводимых представлений групп 5£/,;(Лг).

По теме диссертации опубликованы следующие работы

1. A.P.Isaev, A.F.Oskin, "Open Hecke Chains and free fennions", Czechoslovak Journal of Physics, 56 (2006), 1197

2. A.P.Isaev, O.V.Ogievetsky, A.F.Oskin, "Open Hecke chains for corner type representations", Proceedings of International Workshop "Supersymmetries and Quantum Symmetries"(SQS'07), Dubna 2008, E2-2008-83, 217

3. A.P.Isaev, O.V.Ogievetsky, A.F.Oskin, "Chain models on Hecke algebra for corner type representations", Reports on Math.Ph., 61 (2008), 311

4. A.P.Isaev, A.I.Molev, A.F.Oskin, "On the idempotents of Hecke algebras", Letters in Math.Ph., 85, (2008), 79

Получено 14 мая 2009 г.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 14.05.2009. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,84. Тираж 100 экз. Заказ № 56602.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Введение

1 Аффинные группы кос

1.1 Системы Кокстера и системы корней

1.2 Расширенные группы Вейля

1.3 Подгруппа сдвигов в аффинной группе кос.

1.4 Элементарный гомоморфизм групп кос А-типа и элементы Юциса-Мёрфи

1.4.1 Построение подгруппы сдвигов для группы кос ВА

1.4.2 Общая конструкция элементов Юциса-Мёрфи

2 Алгебра Гекке и её представления

2.1 Алгебры Гекке Л-типа.

2.2 Представления алгебр Гекке

2.2.1 Разложение Пирса.

2.2.2 Собственные значения элементов Юциса-Мёрфи

2.2.3 Окрашенные графы Юнга и явная конструкция примитивных идемпотентов.

2.2.4 Неприводимые матричные представления алгебры Гекке.

2.3 Факторизованные формулы примитивных идемпотентов

2.3.1 Бакстеризованные элементы

2.3.2 Конструкция разложения примитивных идемпотентов

2.3.3 Нормировочный множитель и квантовая размерность

2.4 Частичный порядок на таблицах Юнга.

3 Алгебра Гекке и интегрируемые модели.

3.1 Построение гамильтониана XXZ-модели для алгебр Гекке 75 3.1.1 Спектр гамильтониана при малых п.

3.2 Явный вид представлений Гекке алгебры для угловых диаграмм

3.3 Спектр #(fc?1)(g).

3.4 Спектр H(k2)(q).

3.5 Общий случай: спектр

Одной из важных задач современной математической физики является исследование интегрируемых систем. Конечномерными интегрируемыми системами называются гамильтоновы системы в которых число коммутирующих интегралов движения равно числу степеней свободы. Для случая бесконечномерных систем данный термин был применён Фаддеевым и Захаровым в работе [2] при исследовании уравнений КдВ.

Наиболее известным примером интегрируемой модели является пожалуй Sine-Gordon уравнение уэ -Ь т2 sin</? О, для скалярного поля <p(x,t), которое полагается релятивистским и нелинейным.

Как хорошо известно, проблемы теоретико-полевых моделей со взаимодействием связаны с наличием расходимостей и необходимо вводить регуляризации. Дискретизация пространства, или другими словами, переход к решёточным моделям, является одним из способов такой регуляризации. Этот подход сводит полевую модель в конечном объёме к системе с конечным числом степеней свободы.

В начале 80-ых годов в основном благодаря работе Изергина и Коре-пина [14] было осознано, что интегрируемые модели связаны с решёточными моделями, которые тем самым являются интегрируемыми и могут быть интерпретированы как модели квантовых спиновых цепочек. Позже возникло много других задач, которые были интерпретированы в терминах моделей квантовых спиновых цепочек. Например есть применения этих моделей в физике конденсированных состояний [19], а также в современной теории струн [15]. Много интересных результатов с их помощью было получено в работах посвящённых изучению высокоэнергетической части теорий КХД [16, 17, 18].

Примером гамильтониана описывающего спиновые цепочки, является гамильтониан XXZ\/2 спиновой модели. Это выражение вида n-1 i „1

ТТ ^ сс сс у у 5 I ^ z z ^ f Z 2 \ 2Si Si 5г+1 2 4 ~ г=1 где q формальный параметр, суммирование берётся по п узлам цепочки, sx,sy, sz матрицы Паули s:r г О

Пространством, в котором определён данный гамильтониан является гильбертово пространство

Н = С2 ® С2 0 . С2, где произведение берётся п раз, и произвольный оператор Xi действует нетривиально только в г-ом пространстве, то есть

Xi = l<g>l<g>---<g>X<g>---<g>l, где 1 единичный оператор.

Название оператора XXZ модели своим происхождением обязано обобщению XXX модели спиновых цепочек Гейзенберга

Нххх = SiSi+1 + ei si+l + SiSi+1' i в котором деформировано взаимодействие вдоль оси z.

Одним из методов исследования таких гамильтонианов является метод обратной задачи рассеяния или алгебраический анзац Бете [2, 20, 21]. Данный метод является развитием анзаца Бете [1] и на этом пути было достигнуто много интересных результатов. Однако, помимо подхода обратной задачи рассеяния существует интерес к альтернативным формам изучения таких гамильтоновых систем. Один из этих подходов был предложен в работе Дегучи и Акутсу [22], и он сводится к тому, чтобы переопределить гамильтониан спиновой цепочки в терминах алгебр Гекке.

В простейшем понимании алгебры Гекке, это алгебры порождённые набором образующих Tj,i = 1,п и набором определяющих соотношений

Tl-q)(Ti + q~1) = О, где q формальный параметр.

Если рассмотреть матрицу вида

TiTj — TjTi: \i-j\>2, rp rri гтл rri rri m

-Ч-Ч+1-М — 1i+l1i1i+\->

R = q 0

0 q-q"1

0 1

0 0

0 (Л

1 0 0 0 0 q у которая действует в пространстве (С2)®2, и определить оператор Ri действующий на г, г + 1 пространствах гильбертового пространства 7i, то прямой проверкой нетрудно убедиться, что этот оператор удовлетворяет тем же самым соотношениям алгебры Гекке

RiRj = RjRi, | i — j R{Ri+\Ri — Ri+lRiRi+l, (Ri-qKRi + q-1)^ 0, где второе соотношение называется уравнение Янг-Бакстера. И вновь, прямой проверкой можно проверить, что гамильтониан XXZ модели может быть переписан в виде

Н =

Тем самым задача исследования спектра гамильтониана XXZ модели сводится к чисто алгебраической задаче поиска собственных значений оператора в R-матричном представлении алгебры Гекке. Как видно из этого анализа, задачу можно обобщить и исследовать собственные значения данного оператора в других представлениях, которые будут соответствовать другим интегрируемым моделям.

Изложим теперь кратко содержание данной диссертации. В первой главе описывается теория аффинных и неаффинных групп кос, и для случая групп кос А типа описывается конструкция так называемого "элементарного гомоморфизма" (соответствующий английский термин "evaluation homomorphism" не имеет более адекватного перевода на русский язык), при помощи которого удаётся систематически описать свойства специальных объектов соответствующей алгебры Гекке, которые называются элементами Юциса-Мёрфи. Эти формулы, обобщающие результаты Юциса [54] и Мёрфи [57] для &п, были выведены Диппером и Джеймсом [44]. Основная идея построения элементарного гомоморфизма заключается в том, что в аффинной группе кос удаётся выполнить одновременно несколько условий. Сама по себе аффинная группа кос (вообще говоря расширенная, но в тексте для упрощения это слово будем опускать) может быть определена несколькими разными эквивалентными способами. С одной стороны она определяется набором образующих {То,., Тп}, которые удовлетворяют соотношениям кос гр ГТ~! ГТ1 ГГ1 гр ГТ1

J-i-LjJ-i • • • — J-j-Li-lj • • • ) rriij множителей my множителей где rriij элементы матрицы Кокстера, которые определяют тип данной аффинной алгебры, и элементами тт 6 где Q фундаментальная группа данной алгебры Ли, или, другими словами, группа автоморфизмов соответствующего аффинного графа Дынкина. С другой стороны, для аффинных групп кос естественным образом определяется подгруппа сдвигов Y, изоморфная решётке ковесов, и аффинная группа кос описывается в этом случае элементами подгруппы сдвигов и образующими {Ti,.,Tn}, которые сами по себе являются образующими уже неаффинной группы кос. Так как подгруппа Y является образом решётки ковесов, то тем самым она играет важную роль в теории представлений групп кос и соответствующих аффинных алгебр Гекке. Поскольку это два различных описания одной и той же аффинной алгебры, то между ними существует связь, которая описывается при помощи понятия длины. Это построение в случае аффинных групп является всего лишь расширением классического понятия и потому многие теоремы переносятся практически без изменений [4, 5]. С использованием конструкции длины в случае А серии для ковеса соответствующего старшему ковесу антифундаментального представления получается следующий результат тгпТгТ2 .Тп, где 7гпТо = Тптгп. Однако, с другой стороны, в неаффинной группе кос, существует внутренний автоморфизм, порождаемый элементом х = тп.тъ который действует схожим образом. Наивно можно сказать, что существует гомоморфизм аффинной группы кос на неаффинную группу с использованием отождествления тг X. Это не совсем точно, так как данное отображение не является корректно определённым, однако, как оказывается в дальнейшем, ошибка, которая допускается при таком отождествлении не является существенной. С учётом этого замечания получается, что элементу Ybn соответствует элемент называемый элементом Юциса-Мёрфи и равный

Уп ~ ТпТп—\. 1j . Тп—\Тп.

Рассматривая другие ковеса, и используя то же отображение, для неаффинной алгебры Гекке получается целое семейство операторов, которые называются уже семейством элементов Юциса-Мёрфи, и которые, будучи образами подгруппы сдвигов, которая, как было сказано, в свою очередь является образом решётки ковесов, наследуют свойства данной решётки. А именно, они образуют максимальную коммутативную подгруппу, а также в последующем с их помощью описывается теория представлений соответствующей алгебры Гекке. Формулы для связи между элементами Юциса-Мёрфи и операторами X для А серии появлялись в работах [12, 13]. Другой подход к вычислению элементарного гомоморфизма с использованием квантовых групп изложен в [23].

Во второй главе, определяются алгебры Гекке и при помощи введённых элементов Юциса-Мёрфи строится их теория представления. Данная теория, в силу причин упомянутых выше, оказывается связанной с теорией представления алгебр Ли sln, и потому активно использует соответствующий язык, а именно язык диаграмм Юнга. Все возможные представления алгебр Гекке при этом описываются окрашенным графом Юнга, в вершинах которого стоят диаграммы Юнга, соответствующие специальным элементам алгебры Гекке, которые называются идемпотен-тами, то есть обладают тем свойством, что Е2 = Е. Идемпотенты обладают рядом свойств, во-первых они являются собственными функциями элементов Юциса-Мёрфи yiEj- = EtUi = с\Ет и во-вторых, они выражаются через эти же элементы. Более того, существует альтернативная форма их описания через бакстеризованные элементы, изложенная в диссертации, которая является обобщением конструкции для симметрической группы.

Юцисом [53] было замечено, что примитивные идемпотенты симметрической группы &п, могут быть получены как некоторый предел рациональной функции вида где щ,. ,ип являются комплексными переменными и произведение вычисляется в групповой алгебре (С[(3П ] с лексикографическим упорядочиванием по парам (i,j). Сходная конструкция, которую можно назвать "процедура слияния" (оригинальный английский термин "fusion procedure"), была разработана Чередником в работе [42]. Полное доказательство было впервые дано Назаровым [58]. Более простая версия доказательства этой конструкции устанавливающая связь с конструкцией Юциса-Мёрфи, была найдена недавно Молевым [55]. Её суть заключается в следующем.

Если Т является стандартной таблицей Юнга ассоциированной с разбиением Л числа п с содержимым = j — г если элемент к занимает клетку таблицы в строке г и столбце j, то последовательные вычисления определены и результатом вычисления является соответствующий принием симметрической группы &п ассоциированной с разбиением Л, pi (5п-модуль С[6„] является прямой суммой левых идеалов над всеми разбиениями Л и всеми стандартными А-таблицами Т.

Указанную выше процедуру слияния удаётся обобщить для случая алгебры Гекке. Процедура также была впервые разработана Передником [43], в то время, как детальное доказательство основанное на диверсии Юнговских симметризаторов было дано Назаровым [59], в работе Грайма [45] была использована версия основанная на главных крюках разбиения А. Однако в диссертации был использован другой подход, который использует то свойство примитивных идемпотентов алгебры 7~Cn, что они выражаются в терминах элементов Юциса-Мёрфи, и в конечном итоге задача построения сводится к последовательным вычислениям рациональных функций аналогичных случаю симметричной группы.

Также оказывается что в процессе построения идемпотентов, легко вычислить нормировочный коэффициент, и он оказывается связанным с q-размерностъю стандартных таблиц и следом Окнеану-Маркова [52] от соответствующих идемпотентов.

В третьей главе вычисляется спектр гамильтониана XXZ-модели, для случая специальных представлений алгебр Гекке, соответствующих диаграммам Юнга углового типа. Исходно в данной главе согласно работе [25] описывается конструкция элементов аналогичных матрицам момитивный идемпотент Ej, умноженный на произведение крюков диаграммы А. Левый идеал С[6

71 ] Ет является неприводимым представленодромии Склянина [24], для случая алгебр Гекке. Полученные матрицы монодромии являются генерирующими функциями семейства коммутирующих элементов, одним из которых и является собственно гамильтониан XXZ модели. Тем самым устанавливается связь между интегрируемыми моделями связанными с XXZ моделями исследованными Бете и интегрируемыми системами, получаемыми как коммутативные подалгебры в алгебрах Гекке. В результате, задача исследования спектра гамильтониана сводится к исследованию собственных значений соответствующих элементов алгебры Гекке в различных неприводимых представ л ениях.

Собственно построение спектра гамильтониана XXZ модели для представлений соответствующих угловым диаграммам состоит из двух частей. Вначале производится вычисление спектра для представлений соответствующих угловым диаграммам простейшего типа, а именно диаграммам вида 1}, то есть состоящих из двух рядов, причём во втором ряду находится лишь одна клетка. Далее, более сложные представления строятся из простейших как антисимметризация их тензорных произведений. Вообще говоря, для алгебр Гекке коумножение не определено, однако в работе формулируется общий результат, который указывает условия при которых данную процедуру провести можно. После построения представления соответствующего произвольной диаграмме Юнга углового типа, в силу указанной конструкции, спектр гамильтониана получается как сумма соответствующих собственных значений гамильтонианов соответствующих угловым диаграммам типа {/с, 1}.

Перед тем как приступить к изложению основных результатов работы, автор желает воспользоваться случаем и поблагодарить своих научных руководителей А.П.Исаева и С.З.Пакуляка, благодаря неустанной помощи которых эта работа была написана. Особая благодарность коллегам из лаборатории теоретической физики Объединённого Института Ядерных Исследований, в стенах которого были получены основные результаты. А также хотелось бы поблагодарить всех тех людей, которые оказывали мне поддержку: Анне Зборонь, Денису Кораблёву, Владимиру Колесникову, Роману Васину, Наталье Рябовой, Григорию Вартанову, Роману Лабутину, Алексею Силантьеву, Роману Пасечнику, Александру Пимикову, Лилии Кузнецовой, Габриэлле Ребелке, Освальдо Сантиляну, Андрею Зорину, Андрею Филатову, Анастасии Филатовой, Павлу Пинскому, Юлии Пинской, Юрию Ковалёву, Светлане Земсковой и всем тем, кто не был упомянут, но кто всегда был рядом.

Заключение

На защиту выдвигаются следующие результаты.

• Для алгебр Гекке А типа были получены условия, при которых одни представления, можно выражать через специальные комбинации тензорных произведений других представлений.

• С использованием этих условий, для неприводимых представлений алгебр Гекке А типа, соответствующих угловым диаграммам Юнга, был получен спектр гамильтониана XXZ модели.

• Для примитивных идемпотентов алгебр Гекке были получены их факторизованные формы, записанные в терминах бакстеризован-ных элементов.

• Для вышеуказанной формы записи примитивных идемпотентов, были получены выражения для нормировочных коэффициентов, и была указана связь с ^-размерностью соответствующих диаграмм Юнга.

1. В.Е.Захаров, Л.Д.Фаддеев, Уравнение Кортевега-де Фриса -вполнеинтегрируемая гамильтонова система, Фупкц. анализ и его прил. 5 (1971) 18.

2. В. Кац Бесконечномерные алгебры Ли, Москва "Мир", 1993.

3. Дж. Хамфрис, Введение в теорию алгебр Ли и их представлении, М.:МЦНМО, 2003.

4. Cherednik, Double Affine Hecke Algebras, Cambridge University Press (2005).

5. Yu.A. Drozd and V.V. Kirichenko, Finite dimensional algebras, Springer-Verlag, 1994. An original Russian edition by Publisher of Kiev State University "Vishcha shkola", Kiev, 1980.

6. J.E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.

7. H. Wenzl, Hecke algebras of type An and subfactors, Invent. Math. 92 (1988) 349.

8. D.Kazhdan and G.Lusztig, Representations of Coxeter Croups and Hecke algebras, Invent.Math 53 (1979) 165.

9. A.A. Kirillov, jr, Lectures on affine hecke algebras and macdonalds's conjectures., Bulletin of AMS, 34 (1997), 251.

10. G.Lusztig, Affine Hecke algebras and their graded version, J. of AMS 2 (3) (1989), 599.

11. D.Bernard, M.Gaudin, D.Haldane and V.Pasquier, Yang-Baxter equation in spin chains with long interactions, J.Phys. A, 26, (1993), 5219.

12. D.Levy, Algebraic structure of translation-invarian spin-1/2 XXZ and q-Potts quantum chains, Phys.Rev.Lett., 67 (1991), 1971.

13. A.Izergin, V.Korepin, LMPh, 6 (1984) 241.

14. L.D.Faddev, O.Tirkkonen, Connections of the Liouville model and XXZ spin chain,

15. L.N.Lipatov, High energy asymptotics of multi-colour QCD and exactly solvable lattice models, hep-th/9311037

16. L.N.Lipatov, JETP Lett, 59 (1994) 596.

17. L.D.Faddeev, G.P.Korchemsky, Phys.Lett.B, 342 (1995) 311.

18. R.J.Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics, Academic Press, New York, 1982.

19. L.D.Faddeev, How algebraic Bethe ansatz works for integrable models

20. C.Gardner, J.Green, M.Kruskal, R.Miura, Method for solving the Korteweg-de Vris equation, Phys.Rev.Lett. 19 (1967) 1095.

21. T.Deguchi, Y.Akutsu, Graded solutions of the Yang-Baxter relation and link polynomials, J.Phys.A, 23 (1990) 1861.

22. V. Chari and A. Pressley, A guide to quantum groups, Cambrige Univ. Press (1994).

23. E.K. Sklyanin, Boundary Conditions For Integrable Quantum Systems, J. Phys. A 21 (1988) 2375.

24. A.P. Isaev and O.V. Ogievetsky, On Baxterized Solutions of Reflection Equation and Integrable Chain Models, preprint math-ph/0510078.

25. A.P. Isaev, Functional equations for transfer-matrix operators in open Hecke chain models, Theor. Mat. Phys. (2006).

26. M. Jimbo, A q-analogue of Uq(gl(N + 1)), Hecke algebra and the Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys. 11 (1986) 247.

27. A.P. Isaev, Quantum groups and Yang-Baxter equations, Sov. J. Part. Nucl. 26 (1995) 501 (Fiz. Elem. Chastits i At. Yadra 26 (1995) 1204).

28. A.P. Isaev and O.V. Ogievetsky, On representations of Hecke algebras, Czechoslovak Jour, of Physics, Vol.55, No.ll (2005) 1433.

29. O. Ogievetsky and P. Pyatov, Lecture on Hecke algebras, in Proc. of the Int. School. "Symmetries and Integrable Systems Dubna (1999); preprint MPIM (Bonn), MPI 2001-40, (http://www.mpim-bonn.mpg.de/html / preprints/preprints.html).

30. A.Okounkov and A.Vershik, A new approach to representation theory of symmetric groups, Selecta Math., New Ser. Vol. 2, No. 4 (1996) 581.

31. V.F.R. Jones, Hecke algebra representations of braid groups and link polynomials, Annals of Mathematics 126 (1987) 335.

32. G.E. Murphy, On the representation theory of the symmetric groups and associated Hecke algebras, J. Algebra 152 (1992) 287;

33. R. Dipper and G. James, Blocks and idempotents of Hecke algebras of general linear groups, Proc. of London Math. Soc. 54 (1987) 57.

34. H. Wenzl, Hecke algebras of type An and subfactors, Invent. Math. 92 (1988) 349.

35. A.P Isaev and O.V. Ogievetsky, Baxterized Solutions of Reflection Equation and Integrable Chain Models, Preprint math-ph/0510078 (2005).

36. A.P. Isaev, R-matrix approach to differential calculus on quantum groups, Sov. J. Part. Nucl. 28 (3) (1997) 267.

37. A.P. Isaev and A.F. Os'kin, Open Hecke chains and free fermions, Czechoslovak Jour, of Physics, Vol.56 (2006).

38. L. Faddeev, N. Reshetikhin, and L. Takhtajan, Quantization Of Lie Groups And Lie Algebras, Leningrad Math. J. 1 (1990)193.

39. O. Ogievetsky, Uses of Quantum Spaces, Lectures presented at the School "Quantum Symmetries in Theoretical Physics and Mathematics Bariloche (2000), Contemporary Mathematics, 294 (2002) 161-231.

40. A.P. Isaev, Quantum groups and Yang-Baxter equations, Sov. J. Part. Nucl. 26 (1995) 501 (Fiz. Elem. Chastits i At. Yadra 26 (1995) 1204); preprint MPIM (Bonn), MPI 2004-132, (http://www.mpim-bonn.mpg.de/html / preprints/preprints. html).

41. R.P.Stanley, Enumerative Combinatorics, Vol.1, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

42. I.V. Cherednik, On special bases of irreducible finite-dimensional representations of the degenerate affine Hecke algebra, Funct. Analysis Appl. 20 (1986), 87-89.

43. I. V. Cherednik, A new interpretation of Gelfand-Tzetlin bases, Duke Math. J. 54 (1987), 563-577.

44. R. Dipper and G. James, Blocks and idempotents of Hecke algebras of general linear groups, Proc. London Math. Soc. 54 (1987), 57-82.

45. J. Grime, The hook fusion procedure for Hecke algebras, J. Alg. 309 (2007), 744-759.

46. A.P. Isaev, Quantum groups and Yang-Baxter equations, preprint MPIM (Bonn), MPI 2004-132 (2004), http://www.mpimbonn.mpg.de/html/preprints/preprints.html.

47. A.P. Isaev and O.V. Ogievetsky, On representations of Hecke algebras, Czechoslovak J. Phys. 55 (2005), 1433-1441.

48. H.Hinrichsen and V.Rittenberg, A two-parameter deformation of the SU(ljl) superalgebra and the XY quantum chain in a magnetic field, Phys.Lett.В 275 (1992), 350-354.

49. G.Duchamp et al., Euler-Poincare characteristic and polynomial representations of Iwahori-Hecke algebras, Publ.Res.Inst.Math.Sci. 31 2 (1995), 179-201.

50. Leah J. Ratliff, The Alternating Hecke algebra and its representations., Univ. of Sydney, PhD Thes. (2007).

51. M. Jimbo, A q-analogue of Uq(gl(N -f- 1)); Hecke algebra and the Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys. 11 (1986), 247-252.

52. V.F.R. Jones, Hecke algebra representations of braid groups and link polynomials, Ann. of Math. 126 (1987), 335-388.

53. A. Jucys, On the Young operators of the symmetric group, Lietuvos Fizikos Rinkinys 6 (1966), 163-180.

54. A. Jucys, Factorization of Young projection operators for the symmetric group, Lietuvos Fizikos Rinkinys 11 (1971), 5-10.

55. A.I. Molev, On the fusion procedure for the symmetric group, Reports on Math. Phys. 61 (2008), to appear; arXiv:math/0612207.

56. A. Molev, Yangians and classical Lie algebras, Mathematical Surveys and Monographs, 143. American Mathematical Society, Providence, RI, 2007.

57. G.E. Murphy, The idempotents of the symmetric group and Nakayama's conjecture, J. Algebra 81 (1983), 258-265.

58. M. Nazarov, Yangians and Capelli identities, in: "Kirillov's Seminar on Representation Theory"(G. I. Olshanski, Ed.), Amer. Math. Soc. Transl. 181, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, pp. 139-163.

59. M. Nazarov, A mixed hook-length formula for affine Hecke algebras, European J. Combin. 25 (2004), 1345-1376.