Оценки быстроты сближения метода сеток для задач теории упругости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

КШВСЬКШ УНШЕРСИТЕТ 1МЕН1 ТАРАСА ИЕВЧЕНКА

г 1 г п

1 ■ 1 На правах рукопису

КАЛ1Н1Н Володинир Михайлович

0Ц1НКИ ШВИДК0СТ1 ЗБШЮСИ МЕТОДУ СПОК ДЛЯ ЗАДАЧ ТЕОРИ ПРЩ0СТ1

01.01.07 - обчислввальна иатеыатцка

Автореферат

дисертац11 на здойуття вченого ступеня кандидата ф!зико-«атеиатичних наук

Ки1в - 1993

Робота виконана в Ки1врькому ун1верситет1 1мен1 Тараса Шевченка.

Науковий кер1вник: -доктор ф1зико-математичних

0 наук, професор МАКАРОВ В.Л.

0ф1ц1йн1 опоненти: -доктор ф1зико-математичних

наук, професор АБРАШИН В.М. кандидат ф1зико-математичних наук, с.н.с. ГАЛБА 6.Ф.

Пров1дна установа: - Льв1вський ун1верситет

Захист в1дйудеться 1993р. о 14.00

на зас1данн1 спец1ал1зовано1 ради Д 068.18.16 при Ки1вському ун1верситет1 1мен1 Тараса Шевченка за адресов: 252127, ы. Ки1в - 127, проспект Академ1ка Глушкова, 6, факультет к1бернетики, ауд. 40. . -

в

Э дисертаЩео можна ознайомитися в 01<5л1отец1

Ки1вського ун1верситету 1мен1 Тараса Шевченка.

Автореферат роз1сланий "2л "л tк-7опс<ус\1993р.

Вчений секретар спец1ал1зовано1 ради КУЭЬМШ А. В.

ЗАГАЛЫ1А ХАРАКТЕРИСТИКА РОЕОТИ

Актуальшсть теми. Багато важливих задач науки 1 техн1ки, таких як задач! электростатики та магн1тостатики, задачи теорЦ пруяност1, теорИ ф1льтрац11, ф1зики плазми та 1н., як1 вивчають-ся за допомогою ойчЮлсвального експерименту, на этап! математич-ного моделювання привсдять до необх1дност1 знаходгення розв'язку крайових задач для л1н1йних эл1птичних р1внянь С систем 5 другого порядку.

Э розвигком ойчислиЕально! тэхШки та II широким засгосувап-няи значке розповспдхення отринали дискратШ ыэтоди розп'кзування задач математично! ф1зшш, серед яких одним з пайсИлыл зфечтпвгпг. 1 уШверсальних е метод с1ток. При цьому неойхШю заувагити, по гп-? розв'язуванн1 р1зних прикладних задач д1схретними «етодаии íjutchk-'í • ТОЧНОСТ1 виявляеться основном як для теорЦ, так i для практики наближених метод1в. Для випадку, коли розв'язок внзЦдно! тично! задач1 с досить гладким, в теорП методу oItok с чмсяок,ч! досл1дження по з(51яност1 1 оц1нкан точность. Так застосуваияп rs-тода cItok до розв'язання крайових задач теорН npysnocTl з дос-татньо гладкими розв'язками присвячэн1 роботи 0. А. Самарського, Б.Б.Андреева, I. Г. Белух1ной, Е. Ф. Галби, I. Н. Молчанова,?. Д. Лазарева, М.Н.Карчевского, А.Д.Ляшко, С.В. Стрейкова та íisujIx. Прогз, для багатьох важливих прикладних задач на виконупться пиыоги, но гарантувтьвисоку гладк!сть ауканого розв'язку. Току великий 1пто-psc викликае питания побудсзи та досл1дг.ення з<31з:ност1 р1зн!;це?:гг схем для задач з узагальнешнш розв'язкаин, тобто при (Ильи при-

родних вимогах до гладкостХ ррзв'язку.

0дн1ес з актуальных задач теорИ методу с1ток б встановлення узгодаених оц!нок швидкост1 3dlKiiocTi р1зницевих схем, тойто таких oiUiiqk, в якик порядок швидкост1 з01жност1 узгоджений з гладкЮтв ррзв'язку вшЛдно! диферешЦально! задач!. Усп1х тут 0ув отриманий за рахунок використання оператор1в точних р1зницевих схем. Засто-совувати iU оператори для побудови р1зницевих схем вперше дуло за-пропоновако в роботах 0.А.Самарского та В. Л.Макарова. Дя методика отримала подальший розвиток у роботах 0.А.Самарського, В.Л.Макарова, Р. Д.Лазарова, В.Вайнельта, I. П. Гаврилска та 1н., присвячених пос!удов1 та ойгрунтуванно р1зницевих схем для л1н1йних та кваз1-лШйних ел!птичних р!внянь другого та четвертого порядку, р!внянь в кривол1н!йних координатах 1 т.д. Для першо! крайово! задачи плоско! статично1 теор1! прухност! з! сталими коеф1ц1енташ в декар-тових координатах узгод*ен1 спинки в норм1 бупи отри«ан1 Р. Д.Ла-заровим, В. Л. Макаровым та В.Вайнельтом. Узгодкен1 оц1нки в норм1 W^ для р1внянь Ляме теорИ прухност1 в цил1ндричних координатах, коли на границ! задан1 перем1щешш, йули отриман1 Р. Д. Лазаровим.

Разом з тим узгодкен1 оц1нки швидкост1 3dl»iacTl в норм! La для III крайово! задач! теорП прувдост1 з1 сталими коеф1ц!ентами, в норм1 W^ для I крайово! задач1 теор!! прухност1 з! зм1нниыи ко-ефЩ1ентами в декартових координатах та узгодхен1 оц1нки швидкост1 зб!*ност! в норм! Lz для задач теорП прухност! в цил!ндричних координатах не dyflH в1дом1.

Усе вищевикладене дозволяв зройити висновок, що пойудова та досл!дження р!зницевих схем для HadnuxeHoro розв'язку задач теор!!

пружност1 в р1зних системах координат в просторах узагальнеиих роз-в'язк1в е актуальное задачей.

Мета роботи: 1. Отримати узгоджен! оц1нки швидкост1 з0!жност1 р1зницевих схем, апроксимуючих III крайову задачу для системи диференц1альних р1внянь теорИ пругност1 з1 сталими коеф1ц1еиташ! в прямозеутнику .

2. Встановити узгоджен1 оц1нки швидкост1 з<31жност1 р1зницевих схем, апроксимуючих I крайову задачу для системи диференц1альних р1вишь теорИ пружност! з 1 зм1ннпми коеф1ц1енташ1 в прямокутншеу.

3. Отримати оц1нки швидкост1 зс51жност! р1зницевих схем в нора! 1г для I крайово1 задач1 для системи дифзренц1альних р1внянь тоори пружносП El сталими коеф1ц!ентами в областях дов1льно1 форми у випадку налехност1 розв'язку вих1дно1 диферешЦально! задач1 простору V^.

4. Встановити узгоджен! оц1шш швидкост1 зб1жиост1 р1э1шцев;»х схем, апроксимусчих III крайову задачу для системи дифереиц1альннх р1внянь теорИ пружност! в цил1идричних координатах.

Методика досл!дження полягае у використанн1 апарату теорИ ,р1зницевих схем I теорИ узагалькених функц!й матеыатично! ф1з!!к:;, функЩона'льного анал1зу.

Наукова новизна. В дисертацИ за допокотоо огзратср1в точних р!зницевих схем для задач теор!! пружност! в язкгртсткх та цил1н-дричних координатах побудован1! р!зницев1 схем:*, для' яклх встачов-лен1 узгоджен! оц!нки швидкост! зсЯжност!. Отр::г:сзЗ результата с новими.

Практична 1 теоретична ц!нн1сть. Даеться теср-гтпчне обгрун-

тування методу cItok, використовуваного для в1дшунання наблихеного розп'яэку основних крайових задач теорИ пружнос'т1 при негладк1й ьх1дн1П 1нформац11, то духе часто зустр1чаетъся на практиц1. На п1дстав! запропонованих 1 ойгрунтованих в дисертац11 р1зницевих схем розроблен1 алгоритми . як1 реал1зован1 у вигляд1 пакету про-граы для знаходхеня розв'язк1в ц1лого ряду прикладних задач теор11 IIpyXHOCTl.

Anpodaulfl podoTtc. OchobhI результати допов1далися на pecnyd-л1канському сем1нар1 "Питания теорИ р1зшщевих схем" при факуль-тет1 к1бернетики Ки1вського ун1верситету С кер1вники O.A.Самар-ський, В.Л.Макаров ), на сем1нар1 "Теоретичн1 та прикладн1 проблею; чисельних метод1в" кафедри чисельних метод1в математичио! ф1зики Ки1всЬкого ун1верситету, на Школ1 молодих вчених "Чисельн1 методи механ1ки суц1льного середовища" /с. Шушенське, 1987^ та на Pecnyd-л1канськ1й конференц11 молодих вчених /и. М1нск 1989/.

Пу0л1кац11. По матер1алам дисертацИ опу0л1ковано 7 podiT.

Структура та обсяг роботи. Дисертац1я обсягоы l</-i стор1нок складасться з вступу, двох глав, висновк1в та списку Л1тератури з 97 найменувань.

3MICT РОБОТИ

У вступ! зройлено огляд результат!в, пов'язаних з темою дисертацИ, 0drpyHT0BaHa актуальн1сть вийрано! теми, визначено мету дисертац1йно1 роботи, позначена наукова новизна отриманих результат^, стисло викладено зм1ст дисертацИ.

Перша глава складаеться з п'яти параграф1в 1 присвячена отриыашш ощнок швидкост! 3dl*HocTl р!зницевих схем для задач

о

теорП прукност1 в декартових-координатах.

В §1 приведен! деяк1 допом1жн1 твердження. В §2 розглядаеться третя крайова задача для однор!дного 1зо-тропного т1ла у випадку плоско1 деформацН

+ + CX+mD^^CXD = -/Ч*),

1 2 1 2 х е П, (1)

u'CxDcosCn.x ) + uaCx)cos(n,% 3=0, t 2

ж = Cx ) с Г, CS)

де fl = {х = (Xj : 0 < хд< 1, а = 1,2> - одиничний квадрат з границею Г, а - внутр1шня нормаль до гранит Г. Тут 2 = Сtt'.u2) - вектор перем1щень, к , м > 0 ~ коеф1Щсптя Jlsva, як1 характериэуить пружн1 властивост1 т1ла, ?=(/',/*)- вектор зовн1шн1х сил.

Доведено 1снування та един1сть сильного та слабого розв'язк1в в1дпов1дно! диференц1ально1 задач1.

Для побудови р1зницево1 схеми, яка апроксимуе задачу (1),(2),

необх1дно продовяити розв'язок вих1дно! задач1 на область (1 Ml, де П = { х = Cxt,x "> : -1 < 3, а = 1,2У, з збереяенням глад-

кост1. Э ц1ею метоп зд1йсниио непарне продовхення f'Cx) та парне

/

/аС%) через вертикальн1 сторони квадрата 0 1 парне продовження

/4%) та непарне /аСх) через його горкзоктальШ сторони. Продозгон1

функц11 будемо пом1чата зверху .

В област1 Q введемо с1тку и = Си х и'/а, «,/3х и D, де

12 12

о

«. = < £ = 'Л : 1а = 1'НГ1 ' Ла = 1/На

а о» I а а а в а а

в

= и„-°-в:)Ля : = Щ, - К =>. а = 1-2 1

а в,1 а а а а в в

в

На о1тц1 ы задача С1),(2) апроксиыуеться р1зницевою схемою,

с

яка пае вягляд

= -рЧх). ^ = 1,М1-1 . С, = 1.нв ,

(3)

де

= -»»аСхЗ. ^ = 1Я = 1.Н.-1 .

У?,.«/., с. • ,-./■• • '

X, ха-Аа/8 ~ _ х,-Л,/2 ха ~

Сх) = Т Т С/ ), ра(х) « Т Т С/аЭ.

С 4)

х

Т аг 1,а - оператори точних р1эницевих схем, яв+ 'Л . *

= ^ 1 . « = 12 ■ я - Л <

а а

Доведен! сл1дуюч1 теорема.

Теорема 1. Нехай а Тод1 р1зницева схена

(33, С 4), яка апроксимуе задачу Ш,(2), мае перший порядок точност1, тойто виконуеться оц1нка

I! 3-П II < М Л II иСх) 1|[М, ,

а, о

де М - константа, яка не залететь в1д Л = важСД ,Л ), § = СЙ1 ,Й3),

I 3

ас. ха-Л,/а ^ х,-А,/а х, .

п'с%з=т Т СЙ'С?,.^)). п'Схэ « т т с« с?,-«.»-.

Теорема 2- Нехай ?Сх) б II. (Ш]в, тод1 ршицеза схема СЗ),С4) мае другий порядок точност1, тайто внконусться оц1ика

¡1 И < Н А"» иСх) ||(М» .

В §3 досл1джуеться пераа крайоза задача в пряыокупшяу П = = Сх(: о<хв</а, а ! |,з } з границеа Г для неодиор!деого ан1эотропного т!ла у випадку плоско1 деформацИ

ХА *ЬхХ * 6 С35

ЙСх>=0, х еГ, (8)

де матриц! К^Сх), а,/Э = 1,2, марть вагляд

к Ы.1 \Сх) V*1 ] , к Сх) » К^ 1 .

К С*) - Г Х=Сх) 4е*3 ] , К С*) Л V*3 ],

а| I X С ж) X Сх) 3 33 I X Сх) ХЧг) ]

в 4 4 в

?Сх) б[Ь,СШ]г, а :сс2'5Ш1снт:: пругз:сот! Х^яЭ, «=Г7и иглзглтъ

w;cm. Для иатриць К^Сж) при будь яких х е А виконуеться умова

a,pz t

де (a - довХльний вектор розм1рност! 2; ia(J,(з=1,2 - його координати, символ <г> означае скалярний добуток у двовим1рноыу евкл1довому простор1.

В пряиокутнику П вводиться р1вном1рна с1тка ¡3 = и и у, де « = «,х Ыа, o>a = i»ej = iaAa, ia= l,2,....Na-lNa>, a=l,2,

4

5 = SjX ша, ua = <xa = iaha, ia= 0,1,2.....Na>, a=l,2, у = " 4

'a

На с1тц1 ы задача (S3,C63 апроксимуеться р1зницевою схемой

хеш. СП-

а,/1 = 1 ' a

j)Cx) = 0. % е г, С8]

х. хя

де т = т Т . S;Cu) = Suix^lZ-am^xjta-lWJdS, а = 1,2.

-I

Встановдена

Теорема 3. Гозв'язок р!зницево1 аадач1 £73,(8) зб^гаеться при Л 0 до розв'язку диферени1адьно1 задач! £53,С6) з! швидк1стю, що характеризуемся оц1цкор

■ 9 - в S И А ■ 7

У випадку, коли фунмия ?£*) налетать простору IWJ4D3]8, коефЩ1снти пружиоот! *{£хЗ, 1=Г7В - простору задача

С5),(63 апроксимуеться на <ПтШ ц цаотупнов р!зиицевар схецор

ï J + (KjJïJ "

- [(«At ♦ MJJ - тФ. * * ». ^

= Q, x <= r. (10)

Доведена

Теорема 4. Розв'язок р1эницево1 задач1 (9),£10) зсНгаеться при Л -t 0 до розв'язку дифэренц1ально1 задач! (5),(6) з1 швидк1стр, до характеризуемся оц1нкоп

H-anlw4u)ia *мл3« ü ntw,cni)a

. a at

В §4 розглядаеться перша крайова задача теорЦ пру«ност1 з1 сталими коефЩ1ентами в областях дов!льно1 форыи

-A&z) = ?(х) , х б 0 . СШ •

ЙСх) = 0 , ас е Г , С12)

де 0 - обиежена область на плоскост! зи1нних х = з гра-

ницею Г е G", А - оператор теорЦ пруюдест! АЙ = CX+fj)grad divÜ + pAÜ,

А - оператор Лапласа,

Задача (113,(13) за допомогоп методу ф1ктивних областей заыШюеться допом1ююр задачей в пряыокутнику 0о * < х - Cxf,xm) : : 0 < ха < ta, «si, a) g граднцер Го:

"А** + чА = ?(*), X е п, £13)

С т* f о

сш

г . а я.1?-4

f u^cosCn.Zj) = Q. X Щ- = 0. х е Г0,

дв коипоненти вектора Jixi продовжен! в область = ПоМ) нулей,

ГО, х6 П

Т I е"». х е П '

с - достатньо мале позитивне число, п - зовн1шня нормаль до Г0. Встановлена

Теорема 5. Розв'язок задач! (13),С14) з<34гаеться при с ч о до розв'язку эадач1 (11),(12) з1 швидк1стс, що характеризуемся оц1н-коо

Ч-вЛьош«*»1'1" 11 * hi сш1а-

а . а

На clTUl u = (u( х u^'*, uj/ax иа3 задача С13),СН) апрок-

симуеться р1зницево» схецов, яка мае вигляд

К С III,

+ -

уа(х) = 0,

yi fx) = Q. в

у£ СжЗ » 0,

х б Y

».а

X 6 у

яа

а = 1,2,

(15)

(16)

(17)

(18)

де

' м а а з-в "a>a э-в »-о в «.а э-в »-в а

а а, I а а а а а а

а

Гг=

-t /л

= ( хв = (i -i)A : i в 0,H >, « =1,8.

a, t а 8 а в в

с

$Сх) = С у'.у2)7, ?Сх) = Ср\ра)Т, раСх) = Г'^С?), С =1,8,

компоненти у "С ж), ра(зсЗ визначен1 на с1тках ua х а=1,а, a ГА,, 0 -i fA,a 0 1

Ah =alkab ' A,h = O AaaJ' k*h = »[ O Ai:J'

f O A„1

A,h = A|a o J-

- пол!л1н1йне поповнення citkobo! функц!! уас%) на с1тц!

Ч. х a=I»2 :

а з-а

уа = /Сх) + Сж) + Сзе3 +

• i я

+ Wy? т - f=c?. 6 еСх}-

в (х) = С х - Л . i ) х ( л - Л., х. ).

til 2 28

Доведен1 сл1дуюч1 теореми.

Теорема 6, Точн1сть р1зницево1 схема С13)-С183 характеризуеться оц1нхо»

II $ - Й, II S М Дя с"*'4 II ? lltL СП)]а .

Теорема 7. Пол1л1н1Йне поповнення cítkoboí вектор-функц11 \}(х) - розв'язку задач1 (15D-C18D Сс = Лв/8Э зб1гаеться при Л О до вектор-функц11 ЙСхЗ - розв'язку задач! С11Э,С123. продовженому нулем в область Í1 , з1 швидк!сти, що характеризуеться оц1нкоп

" У ~ 3 "iL СП )1а 5 м Л4/В " ?

В §5 наведен1 результата чнсельного експерименту для третьо1 крайово1 задач1 в прямокутнику для однор1дного 1зотропного т1ла у випадку плоско! деформацИ, як! св!дчать про непокращуван!сть тео-

о

ретичник oiíiKOX В!видкост1 з<Лжност1 за порядком.

друга глава складаеться э трьох параграф1в 1 присвячена по-0удов1 та отриманню узгоджених оц1нок швидкост1 эб1жност1 р1зни-цевих схем для задач теорП пружност1 в цил1ндричних координатах.

о

В §1 розглядаеться система р1внянь р1вноваги теорП npyxHOCTl в цил1ндричних координата* у внпадку осьово! симетрИ

СХ+гМ>( $1 ♦ i ff- Й ♦ мЙ» « "/'Cr.zJ.

(r,z) б П , (19)

+ f ff) + + ? ff) + = -^Cr'z3'

э крайовими умовами, як1 масть вигляд

w'cosCn.r) + uacosCn,z) = 0, gj¿*+ = 0, Cr,z) 6 Г, (20)

де й = < (г,z) : о < г < i, о < z £ i ), Г -11 границя, = = и'(r,z) - перем1щення по г, и2= u2(r,z) - по z, п - внутр1шня нормаль до Г. На ool симетрИ задашься умови

v% = О, ff = 0 , г = 0. (21)

За допомогою зам!ни функц1й

112 2 ' и\ = го1, и = tí , , •

задачу (19),(20) можна записати у вигляд1

ff) + ^F íTz* + - -/'Cr.г) .

(r,z) б Í) f (22)

M + » F 3r(r ff) + - "/»Cr.tí '

£u*cos(Ti,r) + u*cos(n,z) =0, i §'=0. (r,z) 6 T, (23)

¿u1 = 0, = 0., г.= 0. С 24)

Встановлен1 сл1дупч1 теореми.

Теорема 8. Нехай вектор правих частин задач1 С22)-С24) на-лежить простору [VT1 СП)]2, тод1 задача (22)-С24) мае единий

д>г

слабкий розв'язок.

Теорема 9. Нехай вектор правих частин задач1 С22)-С24) на-

лехить простору tL2r(fl))2, тод1 задача С22)-С24) мае единий сильний розв'язок.

В §2 досл1дяуеться швидк1сть зб1жност1 р1зницево1 схеми для третьо! крайово! задач1 теорП пружност1 у випадку осьово! симетрИ.

Для побудови р1зницево1 схеш!, яка апроксимуе задачу С22)-С24), необх1дно продовтати розв'язок вш:1дно1 задач1 на область П \ П, де П = { Сг,2) : 0 < г < 1, -1 < z < 3, а = 1,2),

з зберегенням гладкост!. 3 ц!еп метоп зд1йснимо парне продовгення /'Cr,z) 1 непарне /2(r,z) в1дносно пряыих г = 0 та г = 1. • В област1 П вводиться с1тка ы = Сы( , ыа), до

ы = 5 х51/г, ы = й1/2х£ , Й = {ri: о = г' < г' <---<г' = l),

112 212 11 01 Л|

й,/2= { г, = С t-i/2)A : t = 1,г, • • • ,N , Л = 1/N >, 1 t i * i' t i

= { zf - jhz : / = o, f, •••,Ha, Лг = l/lO,

K/2= < = с'~1/г:)Л2 * = ».г, •••,Na),

вузли с1тки визначаються за формулой

- 14.1 /а

На с!тц1 ш задача (22)424) апроксимуеться сл1дуючоп р1знице-вою схемоп

I = 1,11,-1 , ]• = 1,на .

+ ^(у^'г + £Х+гм)Га(г)[у^)& = V

(25)

I = 1,Н , ] = 1,Ма-1 = 0.1= , ) = .

(26)

уи = 0 ' ЧЛ = 0 ' 1 = ' * = °'Н« '

Дв у1и = у,(г;,(^-1/г)Лг), = уЧи-игЪН^ЯЪ,

6 = = Г' » Г' • 1 = Пн^Т.

1-1

а = аГ а<= 1п 1=2,Н -1, 0.

9х = Р2 = ТО^3' Ъ'Х'Ъ'Ъ- точних р!зницевиХ схем.

Доведена »'

Теорема 10. Нехай ?(г,г) налеяить простору !^Г'гСШ1а. Тод1 розв'язок р1зницево! задач1 (25),(23) зсЯгасться при & •* О до роз-

в'язку дифэренц1ально1 задач1 С22)-С24) з1 швидк1ствР сэ характеризуется оц1нкоп

II <Г»/аСЗЧ0 II < М Л II 2 II п ,

1 #г|д

■+

де й = (Я1 ,й2), й1 = "^Си'Сг;,!))), й8 = Т^Си^г^т}))

р;,/2 О

С",/а

О

В §3 наведен1 результата чиселыюго експерииэнту для тротьо1 крайово! задач1 плоско! теорП пружност1 у випадку осьово! снметрП з1 сталшгл коеф1ц1ентами, як1 св1дчать про непокращуза-Шсть теоретичних оц!нок швидкост! зб!жност! за порядком.

1. Для третьо! крайово! задач1 для системи диференШальних р1внянь теорП прукност1 з1 сталими коеф1ц1ентами в прямокутнику посЗудован1 р1з!шцев! схемм, для яких встановлен1 узгодкен1 оц1нкк швидкост1 з(31жност1.

2. По<Зудован1. р1зн:щев1 схеии та встановлен! узгодген! оц!нкн швид1сост1 зй1жност1 для першо! крайово! задач1 для системи дифэ- • ренц1альннх р1внянь теорП пругност1 з1 зм!нними коеф!ц1снтаии

в прямокутнику.

3. Для першей крайово! задач1 для системи диференц1альннх р1внянь теорП прухност! з1 сталиш! коефЩ1ентами в областях дов1льно! форыи по<5удован1 р1зницев1 схеми, як! масть порядок точност1 0СЛ4/я) в норм1 Ьа у випадку налехност! розв'язку ви-х1дно! диференц1ально! задач1 простору V/*.

4. Пос5удован1 р1зницев1 схеми та встановлен1 узгодаен1 оц1н-ки швидкост! зсЛасност! для третьо! крайово! задач! для систем«

ОСНОВН1 РЕЗУЛЬТАТ»

диференц1альних рХвнянь теорП пругност1 в цил1ндричних координатах.

0сновн1 результати дисертацП опубл1кован1 в роботах:

1. Макаров В.Л., Калинин В.М. Согласованные оценки скорости сходимости разностных схем в Ц-норме для третьей краевой задачи теории упругости. // Дифференциальные уравнения. - 1986. -Т22. - N 7. - С. 1263-1268.

2. Калинин В. М., Макаров В.Л. Оценка скорости сходимости разностной схемы в норме для третьей краевой задачи осесимметрич-ной теории упругости на решениях из МЧ 0). // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23. - N 7, - С. 1207-1218.

3. Войцеховский С.А., Калинин В.М., Макаров В. Л. Оценка скорости сходимости разностных схем для системы уравнений равновесия-неоднородного анизотропного упругого твердого тела при условиях жесткого закрепления. В сб."Вычислит, и прикладная математика",вып. 62. - 1987. - С. 14-19.

4. Калинин В.М-, Макаров В. Л. Разностная схема первого порядка точности для III краевой задачи осесимметричной теории упругости на решениях из класса . //Численные методы механики сплошной среды. Часть 2, с.99. Тезисы докладов Школы молодых ученых СШушенское 28.03-03.05 1987 г.).

3. Войцеховский С. А., Калинин В. М., Макаров В., Л. Оценка скорости сходимости разностных схем для первой краевой задачи теории упругости в областях произвольной формы. //Сб."Вычислительная и прикладная математика". - Вып. 64. - 1988. - С. 49-58.

б. Войцеховский С.А., Калинин В.М. Об оценке скорости сходимости

разностных схем для первой краевой задачи теории упургости в анизотропном случае. //Журнал вычислит, математики и матем. физики. - 1989. -Т. 29. - И 7. - С. 1088-1092.

7. Калинин В.М. Оценка скорости сходимости разностной схемы для первой краевой задачи теории упругости в случае неоднородного изотропного упругого твердого тела. Применение информатики и вычислительной техники при решении народнохозяйственных задач, Тезисы докладов Республиканской конференции молодых ученых и специалистов. С 4-7 мая 1989 г., Минск).

1

Подписано к печати 25 ноября 1993 г. Тираж 100 экз.