Оценки скорости сходимости к равномерному распределению в многомерном случае

Хохлов, Владимир Иванович

Оценки скорости сходимости к равномерному распределению в многомерном случае тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Хохлов, Владимир Иванович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Оценки скорости сходимости к равномерному распределению в многомерном случае»

Автореферат диссертации на тему "Оценки скорости сходимости к равномерному распределению в многомерном случае"

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Хохлов Владимир Иванович

ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ К РАВНОМЕРНОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ В МНОГОМЕРНОМ СЛУЧАЕ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

_>ж С, НЬ' БЕГ 1ЛА \л 3 ^Е|у;11^; 1

Москва-2006 г.

Работа выполнена в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН Прохоров Юрий Васильевич; доктор физико-математических наук, профессор Колчин Валентин Федорович, доктор физико-математических наук,

профессор Королев Виктор Юрьевич;

доктор физико-математических наук,

профессор Сенатов Владимир Васильевич.

Московский государственный институт электроники и математики

Защита диссертации состоится 14 апреля 2006 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиКМГУ.

Автореферат разослан "_"_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор

Н. П. Трифонов

Цель работы ж ее структура

Главный объект исследования данной диссертации — распределения векторов дробных частей случайных векторов в многомерных евклидовых пространствах. Основное внимание в ней уделяется условиям, при которых эти распределения близки к многомерному равномерному распределению. С этой целью рассматриваются две задачи.

Первая — задача оценки близости распределения вектора дробных частей к многомерному равномерному распределению в гауссовском случае. Этой задаче посвящены первая и вторая главы работы.

Вторая — задача оценки близости ^-мерных проекций распределения, равномерного на сфере в я-мерном евклидовом простанстве, к распределению к-мерного вектора, компоненты которого суть независимые случайные величины со сталдартным гауссовским распределением. Этой задаче посвящена третья глава работы.

Первая глава носит вспомогательный характер по отношению к содержанию второй главы. В ней приведена сводка известных результатов, сформулированных вне связи с теорией вероятностей, поскольку главными аналитическими средствами, используемыми в первых двух главах настоящей работы, в основном, для оценки близости распределения вектора дробных частей гауссовского случайного вектора в з-мерном евклидовом пространстве Н.' к равномерному в кубе [0, 1]', будут кратные ряды Фурье и преобразования (интегралы) Фурье в Я*, а также формула суммирования Пуассона.

Дается краткий обзор результатов теории вероятностей, в которых предельным служит одномерное равномерное распределение.

Приводится следующее теоретико-вероятностное истолкование многомерного варианта формулы суммирования Пуассона. Пусть Х(,) = (Х1, Лг,..., Ха) — случайный вектор, принимающий значения в II', р(Х(,);Х(,)) (х(,) € В.") — функция плотности распределения вектора Х(„) и V ; ) — ее характеристическая функция, а именно,

Краткое содержание диссертация

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.-Петербург

ОЭ гоо&кт^^

Если при некоторых А > 0 и 6 > О

то

где ряд справа сходится абсолютно.

Ограничиваясь теперь только значениями Х(,) е [0,1]а, в левой части этого соотношения получаем плотность распределения вектора {Х(,)} дробных частей вектора Х(,). Записывая правую часть этого соотношения в виде

и принимая во внимание, что плотность распределения, равномерного в кубе [0,1]*, равна единице в этом кубе и нулю вне его, отклонение распределения случайного вектора {Х(,)} от равномерного в кубе [0,1}* распределения можем измерять величиной

Д= вир |р(Х{«)!{Х(,)}) -1|, не превосходящей, согласно приведенному выше соотношению,

£ И-2*т(з);Х(>))|= £ ^падХ,.,)!. ац^ег'.пц,,^,) пц^ег-.пц.^о^)

Таким образом, получая те или иные границы для суммы £ МЗ'ПЧ.)^.,)!

абсолютных значений характеристической функции |^(27гт(,);Х(,))| в точках вида 2тш(5), Ш(д) б 2*\0(,), можно количественно оценивать близость распределения вектора {Х(,)} дробных частей случайного вектора Х(,) к равномерному.

Во второй главе данный подход к оценке близости к равномерному распределению используется для изучения представляющего определенный практический интерес случая гауссовского распределения случайного вектора в II*. При этом в качестве управляемого параметра, влияющего на степень этой близости, выбран положительный масшабный множитель г/, на который умножается гауссовский вектор.

Изучение этого случая методом, использующим приведенные в первой главе обоснования, было начато А. А. Куликовой и Ю. В. Прохоровым в работе Куликова А А , Прохоров Ю. В Распределение дробных долей случайных векторов: гауссовский случай. I. — Теория вероятн. и ее примен., 2003, т. 48, в. 2, с. 399 402, где рассматривались случаи a = 4,s = 8,« = 12 и излагались некоторые соображения по поводу случая произвольного s 6 N. Представленные в данной главе исследования позволили несколько уточнить результат для случая a = 8 и разработать подход, позволивший перейти к случаю л = 16.

В основе рассмотрений всех перечисленных выше случаев лежит следующая оценка величины Д, проистекающая из приведенного выше теоретико-вероятностного варианта формулы суммирования Пуассона. В изучении гаус-совского случая она играет главную роль.

Утверждение. Пусть Z(,) — гауссовский случайный вектор в пространстве R* с нулевым средним и невырожденной ковариационной матрицей Е, А > 0 есть минимальное собственное значение матрицы Е.

Отклонение

Д= sup |p(x(j);{jjZ(j)})-1|

плотности распределения вектора дробных частей {^Zj,)} случайного вектора r/Z(4j от плотности равномерного распределения в кубе [0,1]* допускает оценку сверху

Af=lm(,);|m(0|J=JV N=1

где q = e"2*V\

В правую часть этой оценки вошла величина r,(jV), равная числу слагаемых во внутренней сумме предшествующей двойной суммы Эта величина равна числу целых точек на сфере S,(VN) в R' (точек с целочисленными координатами, лежащими на поверхности сферы S,(VN) бВ'с центром в нуле и радиуса VW, т е. таких = (mi,mj,...,т,), что все т3- — целые числа и т\ + т\ + ... + mj = JV).

также Вальфиша и Ломадзе). Автор не располагает какими-либо свидетельствами о прогрессе в области получения «точных» формул для этой величины ври в свыше 32.

В нашей работе опенки именно этой функции сыграли основную роль при получении опенок близости распределения вектора дробных частей многомерного гауссовского вектора к равномерному в кубе [0,1]* распределению.

Приведем здесь опенку для величины r,(N) при л = 8.

Утверждение. При любом натуральном N выполняются неравенства

14 ЛГ3 « r8(iV) < 16 С (3) JV3,

причел константы, входящие в них, неулучшаемы (т. е., каково бы ни было положительное е, в левом неравенстве 14 нельзя заменить на 14 + е, а в правом неравенстве 16С(3) нельзя заменить на 16f (3) - е); £(3) = к~3 = 1,2020569031595942854... есть значение в точке и = 3 дзета-функции ((«) Римана.

Эта оценка приводит с следующему уточнению известного ранее результата для размерности a = 8.

Теорема 1. Пусть Z(gj — гауссовский случайный вектор в пространстве К' с нулевым средним и невырожденной ковариационной матрицей £, А > 0 есть минимальное собственное значение матрицы S.

Отклонение

Д= sup |í>(x(8);{»/Z(8)})-l| *(•)€[", Ч"

плотности распределения вектора дробных частей {í/Z(8j} случайного вектора t¡ Z(8) от плотности равномерного распределения в кубе [0, 1]в допускает оценку сверху

N= 1 1

Из приведенной выше опенки для величины r,(N) при s = 8 выводится следующая оценка для величины r,(N) при з — 16.

Утверждение. При любом натуральном N для числа r\%(N) точек Ш(1в) = (т\,тпг,...,т\в) с целочисленными компонентами т» 6 Z,и — 1,2,...,16, лежащих на шестнадцатимерной сфере

Sie{VÑ) = {xllt) еЕ": *?+«? + •■ ■ + «?« = N}, где N е Z,

т. е. для числа решений уравнения х\ + х\ + ■■■ + х\е = N в целых числах, выполняются неравенства

где С(3) = £Г=1 к'3 = 1, 2020569031595942854... есть значение в точке и = 3 дзета-функции £(и) Римана.

Эта оценка позволяет получить следующий результат.

Теорема 2. Пусть — гауссовский случайный вектор в пространстве Я16 с нулевым средним и невырожденной ковариационной матрицей Е, А > 0 есть минимальное собственное значение матрицы

Отклонение Л = вчРх(,в)е[о,1]'« |р(х(1б)|{'/2(1в)})-1| плотности распределения вектора дробных частей {чЯ^} случайного вектора г]от плотности равномерного распределения в кубе [0,1]1в допускает оценку сверху

Завершая обзор результатов второй главы, отметим, что при доказательстве теоремы 2 потребовалось разработать способ вычисления сумм рядов вида Nn для натуральных п ^ 4. Получена следующая формула.

Утверждение. При любом д, удовлетворяющем условию < 1, и любом натуральном п

5 1а «5

< С2(3) лг» + 32((3)^1 + ^С(3)) я3 - с'(3) N.

15 3

Д ^ (32 Я + 3840 я2 + 38112 <? + 77312 qA

+ 38112 в5 + 384093+32?7) + ^ (256 4 + 3840 + 46848 93 + 91648 ч*

+ 46848 9® + 3840 д2 + 256 д7),

где 9 = е-»*'"'*.

где

Третья глава посвящена, в основном, изучению свойств проекций распределения, равномерного на сфере в многомерном евклидовом пространстве R*. Первоначально чисто вероятностный интерес к этой теме возник, насколько известно автору, в начале XX столетия в связи с развитием кинетической теории газа. Приведем характерное для этой проблематики утверждение.

Пусть Х(а) = [Xi, Хг,..., X,) — случайный вектор, имеющий равномерное распределение на сфере

AM = {*(.)= х\ + х\ + --- + х1 = т2). Тогда при фиксированном к и я -»оо распределение вектора

х(к) = №>•*«»• «неограниченно сближается» с распределением вектора

где Zi, Z2,..., Zic — независимые и нормальные с параметрами (0,1) случайные величины.

История этого утверждения, связанная с именами А. Пуанкаре, Э. Бореля, Дж. Максвелла, П.Леви и других, изложена в разделе 6 статьи Диакониса и Фридмана (Diaconis P., Freedman D. A. A dozen de Finetty-style results: in search of a theory. — Ann. Inst. H. Poincare, 1987, v. 23, p. 397-423), в которой авторы установили, как они пишут, «а reasonably sharp bound» для расстояния по вариации р^ между распределением Xi,...,Xn и распределением Zi,...,Z/,, где, как прежде, Zi,...,Z), — независимые нормальные (0,1) случайные величины.

Эта оценка сверху имеет вид

a-fc-З'

Оценка выводится из оценки для четных к, имеющей вид

, к+2 _л

Палее, авторы утверждают' «Порядок k/s является правильным, хотя, возможно, сомножитель [От авт.: в данной записи — единица] перед дробью может быть уменьшен».

результатов. Это, с одной стороны, позволило «восстановить» выкладки, весьма отрывочно представленные в опубликованных доказательствах наиболее сильных результатов, а, с другой стороны, дало возможность существенно уточнить и развить сами результаты. По ходу изложения будет приведена развернутая сводка необходимых для дальнейших рассмотрений сведений, связанных с классическими понятиями «расстояние по вариации» между распределениями и «сходимость по вариации» применительно к многомерному случаю.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 8. При четном к (к = 21), к < з - 4, к/а ^ л > 8 величина рь удовлетворяет неравенству

Теорема 4. При в > 12 расстояние по вариации между случайными величинами 1/3X1 и не меньше

Полученные оценки снизу для расстояния по вариации позволяют придать более определенный смысл утверждению Диакониса и Фридмана о «правильности» порядка скорости сходимости упомянутых распределений.

В третьей главе доказан также результат, подтвердивший предположение Диакониса и Фридмана о том, что сомножитель в их оценке расстояния по вариации может быть уменьшен. Действительно, он может быть уменьшен более, чем в два раза.

Текст снабжен таблицами точных значений числа целых точек на сфере в шестнадцатимерном пространстве с центром в нуле и с радиусом -/И при N — 1, 2, ...,200. Эти таблицы были любезно предоставлены к.ф.-м.н. А. А. Куликовой.

Л>}5 0,085.

Научная новизна работы, ее теоретическая я практическая значимость, апробация и публикации

Все основные результаты диссертации (теоремы 1-4) являются новыми. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в ней оценки близости к равномерному распределению могут быть использованы в прикладных задачах теории вероятностей, в частности, связанных с генераторами случайных чисел.

Непосредственно по теме диссертации опубликовано 4 печатных работы и тезисы доклада. Результаты двух первых глав докладывались на научных семинарах в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова и в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН. Ряд технических приемов, использованных во второй главе, был представлен на VITT Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (2002 г.) и на Шестом Всемирном конгрессе Общества им.Бернулли (Барселона, 2004 г.). Основные результаты третьей главы диссертации докладывались и обсуждались на VI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2005 г.).

Автор считает своим приятным долгом поблагодарить академика Ю. В. Прохорова и профессора В Ф. Колчина, под руководством которых поэтапно выполнялась эта работа, и выразить им свою искреннюю признательность.

Список публикаций автора по теме диссертации

1 Куликова A.A., Прохоров Ю.В., Хохлов В. И. Распределение дробных долей случайных векторов: гауссовский случай. П. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, в. 4, с. 776-778.

2. Прохоров Ю. В., Хохлов В. Я. Об оценке скорости сходимости проекций равномерных распределений на шарах. — Обозрение прикл. и промышл. матем., 2005, т. 12, в. 2, с. 482.

3. Хохлов В. Я. Многочлены, ортогональные относительно полиномиального распределения, и факториально-степенной формализм. — Теория вероятн. и ее примен., 2001, т. 46, в. 3, с. 585-592.

4. Хохлов В. И. Об одном способе оценки числа целых точек на многомерных сферах в задаче оценки близости к равномерному распределению — Обозрение прикл. и промышл. матем., 2008, т. 13, в. 1, с. 3-27.

5. Хохлов В. И. Свойства проекций распределений, равномерного на сфере в R'. I. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, в. 3, с. 501-516.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 07.03.2006 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 0,75. Тираж 100 экз. Заказ 136. Теп. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

2£>Q£ fr

» 1 3 9 9 У

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Хохлов, Владимир Иванович

Введение.

Список основных обозначений.

Глава 1. Формула суммирования Пуассона в применении к задачам теории вероятностей.

§1.1. Формула суммирования Пуассона и условия ее применимости

§ 1.2. Радиальные функции. Формула суммирования Пуассона для радиальных функций.

§ 1.3. Равномерное распределение и примеры сходимости к равномерному распределению.

§ 1.4. Применение формулы суммирования Пуассона в задаче оценки близости к многомерному равномерному распределению.

Глава 2. Оценки близости распределения вектора дробных частей к многомерному равномерному распределению в гауссовском случае.

§2.1. Применение формулы суммирования Пуассона для оценки близости распределения вектора дробных частей к многомерному равномерному распределению в гауссовском случае.

§ 2.2. Оценка близости распределения вектора дробных частей гауссовских случайных векторов в R8 к равномерному в кубе [0,1]

§ 2.3. Оценка близости распределения вектора дробных частей гауссовских случайных векторов в R16 к равномерному в кубе [0,1]

Глава 3. Свойства проекций распределения, равномерного на сфере в R®

§3.1. Распределение, равномерное на поверхности сферы в Rs, его проекции и характеристические функции.

§ 3.2. Расстояние по вариации как мера близости распределений.

§ 3.3. Неравенство Диакониса-Фридмана.

§ 3.4. Нижняя оценка для интеграла рь.

§3.5. Уточнение верхней оценки для расстояния рк.

Введение диссертация по математике, на тему "Оценки скорости сходимости к равномерному распределению в многомерном случае"

Вторая — задача оценки близости ^-мерных проекций распределения, равномерного на сфере в s-мерном евклидовом простанстве, к распределению к-мерного вектора, компоненты которого суть независимые случайные величины со стандартным гауссовским распределением. Этой задаче посвящена третья глава работы.

Первая глава носит вспомогательный характер по отношению к содержанию второй главы. В ней приведена сводка известных результатов, сформулированных вне связи с теорией вероятностей, поскольку главными аналитическими средствами, используемыми в первых двух главах настоящей работы, в основном, для оценки близости распределения вектора дробных частей гауссовского случайного вектора в 5-мерном евклидовом пространстве R* к равномерному в кубе [О, 1]Л, будут кратные ряды Фурье и преобразования (интегралы) Фурье в Rs, а также формула суммирования Пуассона.

Приводится следующее теоретико-вероятностное истолкование многомерного варианта формулы суммирования Пуассона.

Пусть Х(я) = (Х\,Х2,.,Ха) — случайный вектор, принимающий значения в Rs, р(х(Л);Х(в)) (x(g) G Rs) — функция плотности распределения вектора Х(5) и y>(t(s);X(4)) — ее характеристическая функция, а именно, v(t(.,;X(.))= / е'^').-(о)р(Х(я);Х(л))йх(в). J Я'

Если при некоторых А > 0 и 6 > О

Kx(s);X(s))<(1 + |x^|)s+fi и |y(t(,);x(a))|<(i + |t^|)a+g, то р(ти+хы;Х(а))= £ e2«>(o^.))^(2™(5);X(j)), m(j)6Z' m(<)€Z' где ряд справа сходится абсолютно.

Ограничиваясь теперь только значениями X(sj е [О, l]s, в левой части этого соотношения получаем плотность распределения вектора {X(sj} дробных частей вектора X(sj. Записывая правую часть этого соотношения в виде и принимая во внимание, что плотность распределения, равномерного в кубе [О, 1]", равна единице в этом кубе и нулю вне его, отклонение распределения случайного вектора {X(sj} от равномерного в кубе [0, 1]® распределения можем измерять величиной

Д= sup |p(xw;{X(e)})-l|, x(oe[0,i]' не превосходящей, согласно приведенному выше соотношению,

И-2тгт(в);Х(а))| = |p(27rm(e);X(il))|.

И1(.) 6Z-, rn(,)5i!0(O m(j)6Z' , m(f)^0(,)

Таким образом, получая те или иные границы для суммы

Е M27rm(s);X(s))| m(,)6Z',m(j)?S0(,) абсолютных значений характеристической функции |^(27ГШ(Л);Х(5))| в точках вида 27гт(я), txi(3) € Z"\0(4), можно количественно оценивать близость распределения вектора {X(4j} дробных частей случайного вектора X(s) к равномерному.

Во второй главе данный подход к оценке близости к равномерному распределению используется для изучения представляющего определенный практический интерес случая гауссовского распределения случайного вектора в R". При этом в качестве управляемого параметра, влияющего на степень этой близости, выбран положительный масшабный множитель 77, на который умножается гауссовский вектор.

Изучение этого случая методом, использующим приведенные в первой главе обоснования, было начато А.А.Куликовой и Ю.В.Прохоровым в работе Куликова А. А., Прохоров Ю. В. Распределение дробных долей случайных векторов: гауссовский случай. I. — Теория вероятн. и ее примен., 2003, т. 48, в. 2, с. 399402, где рассматривались случаи s = 4,s = 8,s = 12 и излагались некоторые соображения по поводу случая произвольного s € N. Представленные в данной главе исследования позволили несколько уточнить результат для случая s = 8 и разработать подход, позволивший перейти к случаю s — 16.

В основе рассмотрений всех перечисленных выше случаев лежит следующая оценка величины Д, проистекающая из приведенного выше теоретико-вероятностного варианта формулы суммирования Пуассона. В изучении гауссовского случая она играет главную роль.

Утверждение. Пусть Z^ — гауссовский случайный вектор в пространстве R" с нулевым средним и невырожденной ковариационной матрицей Е, А > 0 есть минимальное собственное значение матрицы Е.

Отклонение

Д= sup |р(х(л); {?7Z(jl)>) — lj

X(O6[0,l]' плотности распределения вектора дробных частей {77 } случайного вектора rjZ(s) от плотности равномерного распределения в кубе [0, l]s допускает оценку сверху оо оо

ЛГ=1т(0:|т(0|*=ЛГ N= 1 где q = е-2,rV\

В правую часть этой оценки вошла величина ra(N), равная числу слагаемых во внутренней сумме предшествующей двойной суммы. Эта величина равна числу целых точек на сфере S„(\/N) в R" (точек с целочисленными координатами, лежащими на поверхности сферы Sa(VN) bR'c центром в нуле и радиуса VW, т.е. таких = (mi,m2,.,ma), что все mj — целые числа и т\ + т22 + . + т* = N).

В теории чисел эта функция, весьма непросто выражающаяся через более элементарные функции типа суммы степеней делителей натуральных чисел, давно является предметом глубоких и утонченных исследований (следуя Г. Хар-ди (G. Н. Hardy), упомянем здесь имена Якоби, Успенского, Лиувилля, Эйзенштейна, Смита, Минковского, Рамануджана и Морделла; мы упомянем здесь также Вальфиша и Ломадзе). Автор не располагает какими-либо свидетельствами о прогрессе в области получения «точных» формул для этой величины при s свыше 32.

В нашей работе оценки именно этой функции сыграли основную роль при получении оценок близости распределения вектора дробных частей многомерного гауссовского вектора к равномерному в кубе [0, 1]а распределению.

Приведем здесь оценку для величины r3(N) при 5 = 8.

Утверждение. При любом натуральном N выполняются неравенства

14iV3^r8(JV)<16C(3)JV3, причем константы, входящие в них, неулучшаемы (т. е., каково бы ни было положительное е, в левом неравенстве 14 нельзя заменить на 14 + е, а в правом неравенстве 16 С(3) нельзя заменить на 16 £ (3) - е); С(3) = k~3 = 1,2020569031595942854. есть значение в точке и = 3 дзета-функции £(и) Римана.

Эта оценка приводит с следующему уточнению известного ранее результата для размерности s = 8.

Теорема 1. Пусть Z(8j — гауссовский случайный вектор в пространстве R8 с нулевым средним и невырожденной ковариационной матрицей Е, А > 0 есть минимальное собственное значение матрицы £.

Отклонение

Д= sup |p(x(8);{T7Z(8)})-1|

Х(в)б[0,1]® плотности распределения вектора дробных частей {r]Z(8)} случайного вектора 7/Z(8j от плотности равномерного распределения в кубе [0, I]8 допускает оценку сверху где , =

N= 1 ^

Из приведенной выше оценки для величины ra(N) при s = 8 выводится следующая оценка для величины rs(N) при s = 16.

Утверждение. При любом натуральном N для числа rie(N) точек Ш(16) = (mi,rri2,.,Ш1б) с целочисленными компонентами ти G Z,i/ = 1,2,.,16, лежащих на шестнадцатимерной сфере

5i6(v^V) = {х(16) eR16: x\ + x\ + . + x\s = N}, где N е Z, т.е. для числа решений уравнения х\ + х\ -f ••• + х\6 = N в целых числах, выполняются неравенства

5 15 3 Пв(ЛГ) < 1§ С2(3) ЛГ7 + 32С (3) (l + ^ С (3)) iV3 - 6^ С2(3) Л, где С(3) = k~3 = 2020569031595942854. есть значение в точке и = 3 дзета-функции ((и) Римана.

Эта оценка позволяет получить следующий результат.

Теорема 2. Пусть Z(16j — гауссовский случайный вектор в пространстве R16 с нулевым средним и ковариационной матрицей А — минимальное положительное собственное значение матрицы £.

Отклонение Д = suPx(ie)e[o,i]ie |p(x(i6)i плотности распределения вектора дробных частей случайного вектора г/Х^щ от плотности равномерного распределения в кубе [0, I]16 допускает оценку сверху

Д < (/^s (32g + 3840g2 + 38112g3 + 77312g4 + 381129s+ 3840g2 +32 57)

A (i - g)8 (256 q+3840 q2 +46848 q3+91648 qi 46848 q5 + 3840 q2 + 256 q7), где q = е~2*2т>2х.

Завершая обзор результатов второй главы, отметим, что при доказательстве теоремы 2 потребовалось разработать способ вычисления сумм рядов вида Nn qN для натуральных п > 4. Получена следующая формула.

Утверждение. При любом q, удовлетворяющем условию |g| < 1, и любом натуральном п

ОО 71

N=О V ч> 7=0 где

6=0 \1 /

Пусть X(s) = (ХиХ2,. ,Xa) — случайный вектор, имеющий равномерное распределение на сфере

Ss(r) = {х(л): х\ + х\ + ■ • • + х\ = г2}. Тогда при фиксированном к и s —> оо распределение вектора

X(fc) = (Xi,X2,.,Xk) «неограниченно сближается» с распределением вектора где Zi,Z2,--.,Zk — независимые и нормальные с параметрами (0,1) случайные величины.

История этого утверждения, связанная с именами А.Пуанкаре, Э.Бореля, Дж. Максвелла, П.Леви и других, изложена в разделе б статьи Диакониса и Фридмана (Diaconis P., Freedman D.A. A dozen de Finetty-style results: in search a theory. — Ann. Inst. H. Poincare, 1987, v. 23, p. 397-423), в которой авторы установили, как они пишут, «а reasonably sharp bound» для расстояния по вариации р^ (см. лемму 6 или формулу (45) ниже) между распределением Xi,.,Xk и распределением Z\,.,Z^, где, как прежде, — независимые нормальные (0,1) случайные величины.

Эта оценка сверху имеет вид

Рь ^ 3' Ю < s -4.

Оценка выводится из оценки для четных к, имеющей вид

Далее, авторы утверждают: «Порядок k/s является правильным, хотя, возможно, сомножитель [От авт.: в данной записи — единица] перед дробью может быть уменьшен».

Попытки применения этого и других результатов, накопленных в этой области, для изучения главного объекта нашего исследования в многомерном случае — распределения векторов дробных частей случайных векторов — натолкнулись на необходимость подвергнуть детальному анализу доказательства этих результатов. Это, с одной стороны, позволило «восстановить» выкладки, весьма отрывочно представленные в опубликованных доказательствах наиболее сильных результатов, а, с другой стороны, дало возможность существенно уточнить и развить сами результаты. По ходу изложения будет приведена развернутая сводка необходимых для дальнейших рассмотрений сведений, связанных с классическими понятиями «расстояние по вариации» между распределениями и «сходимость по вариации» применительно к многомерному случаю.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 3. При четном к (к — 21), к ^ s - 4, k/s ^ s ^ 8 величина р (см. (11) и (12) удовлетворяет неравенству

Теорема 4. При s ^ 12 расстояние по вариации между случайными величинами y/sX\ и Z\ не меньше

Текст снабжен таблицами точных значений числа целых точек на сфере в шестнадцатимерном пространстве с центром в нуле и с радиусом VW

0,085. при N = 1,2, .,200. Эти таблицы были любезно предоставлены к.ф.-м.н. А. А. Куликовой.

Все основные результаты диссертации (теоремы 1-4) являются новыми.

Непосредственно по теме диссертации опубликовано 4 печатных работы и тезисы доклада. Результаты двух первых глав докладывались на научных семинарах в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова и в Математическом институте им. В. А.Стеклова РАН. Ряд технических приемов, использованных во второй главе, был представлен на VIII Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (2002 г.) и на Шестом Всемирном конгрессе Общества им. Бернулли (Барселона, 2004 г.). Основные результаты третьей главы диссертации докладывались и обсуждались на VI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2005 г.).

Автор считает своим приятным долгом поблагодарить академика Ю. В. Прохорова и профессора В. Ф. Колчина, под руководством которых поэтапно выполнялась эта работа, и выразить им свою искреннюю признательность.

Список основных обозначений

Ниже будут использоваться следующие обозначения: N есть множество всех натуральных чисел; Z есть множество всех целых чисел; R* есть з-мерное евклидово пространство; = у/ж^+а^Н-----Yx\ есть норма вектора x^ = (xi,x2,. . .,are)eRs; t(s)>x(s)) = + +----1" t»x» есть скалярное произведение векторов •••><») g R3 и x(s) = (х\,х2,.,ха) е Rs; Ba(r) = {x(8j: |X(8)| < г} есть шар в Ra радиуса г с центром в 0; 5"s(r) = {x(8j: |Х(8)| = г} есть сфера в R* радиуса г с центром в 0; {z} — дробная часть вещественного числа z; z(s)} = ({^l}) {zz}, • • • j {zs}) есть вектор дробных частей вектора Z(8) = (zi,z2,.,za) е Rs; р (t(sj; X(sj) — характеристическая функция случайного вектора X(s) е Rs; p(x(sj;X(s)) — соответствующая плотность распределения вероятностей (если она существует); ra(N) — число точек m^ = (mi,m2,.,ma) с целочисленными компонентами тпи G Z, v = 1,2,.,5, лежащих на многомерной сфере

Sa(VN) = {x{s)eR3: х\ + х22 + --- + х2а = N}, где N G N, т. е. число решений уравнения х\ + х\ -)-----f- х\ = N в целых числах;

Пв = 7гя/2/Г(й/2 + 1) есть объем единичного шара в Rs; иа = 2тг3/2/Г(з/2) есть площадь поверхности единичной сферы в R"; для хеК1 полагаем х+ = х при х > 0, х+ = 0 при х < 0.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Хохлов, Владимир Иванович, Москва

1. Абрамовиц М., Стпиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. Пер. с англ. А.В.Прохорова под ред. В.В.Сазонова. М.: Физматлит, 1977.

3. Большее JI. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. 3-е изд. М.: Физматлит, 1983.

4. Боровков К. А. О сходимости проекций равномерных распределений на шарах. — Теория вероятн. и ее примен., 1990, т. 35, в. 3, с. 547-551.

5. Браунли К. А. Статистические исследования в производстве. Пер. с англ. В. А.Говоркова под ред. А.Н.Колмогорова. М.: ИИЛ, 1947.

6. Ватпсон Г. II. Теория бесселевых функций. Ч. 1. М.: ИИЛ, 1949.

7. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. 3-е испр. изд. М.: Физматлит, 1967.

8. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. 3-е изд., перераб. М.: Физматлит, 1981.

9. Гнеденко Б. В. Об области притяжения нормального закона. — Докл. АН СССР, 1950, т. 71, в. 3, с. 425-428.

10. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.-Л.: Гостехиздат, 1949, 264 с.

11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир, 1965.

12. Золотарев В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.: Физматлит, 1986.

13. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. 2-е изд. доп. М.: Физматлит, 1975.

14. Кац. М. Вероятность и смежные вопросы в физике. 2-е изд. М.: УРСС, 2003.

15. Колмогоров А. Н. Некоторые работы последних лет в области предельных теорем теории вероятностей. — Вестн. МГУ, 1953, т. 10, с. 29-38.

16. Колмогоров А. II. Основные понятия теории вероятностей. 2-е изд. М.: Физматлит, 1974.

17. Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

18. Коробов II. М. О некоторых вопросах равномерного распределения. — Изв. АН СССР, 1950, т. 14, с. 215-231.

19. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: ГИИЛ, 1948.

20. Крамер Г. Случайные величины и распределения вероятностей. М.: ГИИЛ, 1947.

21. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т. I. М.: Высшая школа, 1970.

22. Кузнецова А. Я., Куликова А. А. Одна предельная теорема о сходимости к равномерному распределению. — Вестник Московского ун-та, сер. вычисл. матем. киберн., 2002, № 3, с. 39-45.

23. Куликова А. А. Предельные теоремы для случая сходимости распределений вероятностей к равномерному распределению. Дисс. на соискание уч. ст. канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ, 2003, 80 с.

24. Куликова А. А., Прохоров Ю.В. Односторонние устойчивые распределения и закон Бенфорда. — Теория вероятн. и ее примен., 2004, т. 49, в. 1, с. 178-184.

25. Куликова А. А., Прохоров Ю. В. Распределение дробных долей случайных векторов: гауссовский случай. I. — Теория вероятн. и ее примен., 2003, т. 48, в. 2, с. 399-402.

26. Куликова А. А., Прохоров Ю.В., Хохлов В. И. H.F.D. (Я-function distribution) и закон Бенфорда. I. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, в. 2, с. 366-371.

27. Куликова А. А., Прохоров Ю.В., Хохлов В. И. Распределение дробных долей случайных векторов: гауссовский случай. II. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, в. 4, с. 776-778.

28. Математическая энциклопедия. Т. III. /Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1977.

29. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. 1. 3-е изд. М.: Физматлит, 1978.

30. Прохоров А. В. Равномерное распределение. — В энциклопедии: Вероятность и математическая статистика. /Под ред. Ю.В.Прохорова. М.: БРЭ, 1999, с. 528-529.

31. Прохоров Ю.В. Асимптотическое поведение биномиального распределения. — Успехи матем. наук, 1953, т. 8, в. 3, с. 135-142.

32. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей: основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы. 2-е изд. перераб. М.: Физматлит, 1973.

33. Прохоров Ю.В., Хохлов В. И. Об оценке скорости сходимости проекций равномерных распределений на шарах. — Обозрение прикл. и промышл. матем., 2005, т. 12, в. 2, с. 482.

34. Прудников А. П., Брычков Ю.А., Маричев О.М. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Физматлит, 1981.

35. Рабочая книга социолога. / Под ред. Г. В.Осипова и др. М.: Наука, 1977.

36. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1966.

37. Сачков В. II. Вероятностные методы в комбинаторном анализе. М.: Наука, 1978.

38. Стейн П., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.

39. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. Пер. с англ. 3-го переем, изд. М.: Мир, 1984.

40. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. Пер. Ю. В. Прохорова с англ. 2-го изд. М.: Мир, 1984.

41. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III. 5-е изд. М.: Физматлит, 1969.

42. Хохлов В. И. Многочлены, ортогональные относительно полиномиального распределения, и факториально-степенной формализм. — Теория вероятн. и ее примен., 2001, т. 46, в. 3, с. 585-592.

43. Хохлов В. И. Об одном способе оценки числа целых точек на многомерных сферах в задаче оценки близости к равномерному распределению. — Обозрение прикл. и промышл. матем., 2006, т. 13, в. 1, с. 3-26.

44. Хохлов В. И. Свойства проекций распределений, равномерного на сфере в Rs. I. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, в. 3, с. 501-516.

45. Циглер П., Хельмберг Г. Новейшее развитие теории равномерного распределения. — Математика (сб. переводов), 1963, т. 7, № 3, с. 3-46.

46. Ширяев А. П. Вероятность. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Физматлит, 1989.

47. Bochner S. Harmonic Analysis and the Theory of Probability. Berkeley-Los-Angeles: Univ. California Press, 1955.

48. Borel Е. Introduction geometrique a quelques theories physiques. Paris: Gau-thier-Villars, 1914.

49. Good I. J. Some statistical applications of Poisson's work. — Statist. Sci., 1986, v. 1, № . 2, p. 157-180.

50. Diaconis P., Freedman D. A dozen de Finetty-style results: in search a theory. — Ann. Inst. Henry Poincare, 1987, v. 23, p. 397-423.

51. Hardy G.II., Wright E.M. An Introduction to the Theory of Numbers. 4th ed. Oxford: Clarendon Press, 1960.

52. Kaucky J. Kombinatoricke identity. Bratislava: J. Kaucky/Veda, 1975, 476 s.

53. Laplace P. S. Theorie analytique des probabilites. Paris, 1812.

54. Lerch M. Z poctu integralnfho. — Rozpravy Ces. Akad. cis. Fr. Jos. pro vedy, slovesnost a umenf v Praze. Tnda II. Rada mat.-fys., 1893, sv. 2, s. 9, s. 1-40.

55. Poisson S. D. Sur le calcul numerique des Integrales defmies. — Mem. Acad. Sci. Inst. France, 1827, v. 6, p. 571-602.

56. Scheffe. H. A useful convergence theorem for probability distributions. — Ann. Math. Statist., 1947, v. 18, p. 434-438.

57. Stam A. J. Limit theorems for uniform distributions on high dimensional Euclidean spaces. — J. Appl. Probab., 1982, v. 19, p. 221-228.

58. Strasser H. Mathematical Theory of Statistics. Berlin-N. Y.: Walter de Gruyter, 1985.

59. Weyl II. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod Eins. — Math. Ann., 1961, B. 77, S. 313-352.