Перестановки интегралов в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ОСИПОВ ОЛЕГ СЕРГЕЕВИЧ

ПЕРЕСТАНОВКИ ИНТЕГРАЛОВ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Специальность: 01.01.01 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

" 3 ДЕК 2009

Томск 2009

003486553

Работа выполнена на кафедре математического анализа Томского государственного университета

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент

Сибиряков Геннадий Васильевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Вычислительный центр ДВО РАН

Защита состоится 17 декабря 2009 г. в 14:45 часов на заседании диссертационного Совета Д212.267.21 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 12. ноября 2009 г. Ученый секретарь диссертационного Совета Д212.267.21

профессор

Водопьянов Сергей Константинович

доктор физико-математических наук, профессор

Гулько Сергей Порфирьевич

канд. физ.-мат. наук, доцент

А.Н. Малютина

Актуальность темы. В задаче 106 «Шотландской книги» [The Scottish book // edited by R. Daniel Mauldin. - Boston: Birkhäuser, 1981]

ОС

С. Банах сформулировал следующий вопрос. Пусть ^ хп - такой

ряд в банаховом пространстве, что при двух определенных упорядочиваниях его слагаемых сумма равна элементам yQ и у1 соответственно. Доказать, что для любого вещественного I существует такое упорядочивание слагаемых данного ряда, что сумма равна

1уа+(1-1)уг.

ОС

М. И. Кадец ввел определение области сумм ряда ^ хп векто-

П = 1

ров банахова пространства X как множества всех таких у Е X, что

ОС

при некоторой перестановке тг натуральных чисел ряд ^ х п) схо-

П = 1

дится к у [Кадец М.И. Об условно сходящихся рядах в пространстве Lp // Успехи матем. наук. - 1954. - Т. 54, 1. - С. 107-110]. В случае

условно сходящихся числовых рядов согласно классической теореме Римана область сумм совпадает с множеством всех вещественных чисел. Для рядов комплексных чисел описание области сумм было дано П. Леви в 1905. Е. Штейниц в 1913 г. доказал следующую теорему [Steinitz Е. Bedingt konvergente Reihen und konvexe systeme // J. Reine Angrew. Math. - 1913.-V. 143. -P. 128-175; 1914.-V. 144.-P.

ЭС

1-49; 1916. - V. 146. - P. 68-111]: область сумм ряда ^xn в m-

мерном пространстве X есть подпространство вида s 4- Г0, где s -

ос

сумма указанного ряда ^ хп, Г0 - аннулятор множества

п=1

тс

Г = {/ G Л'*; ]Г| /СО I сходится }.

л=1

В бесконечномерном банаховом пространстве аналог теоремы Штейница не верен, и область сумм ряда может быть нелинейной (Марцинкевич [The Scottish book // edited by R. Daniel Mauldin. -Boston: Birkhäuser, 1981], E. Никишин [Никишин E.M. Перестановки функциональных рядов // Матем. сб. - 1971. - т. 85(127). - С. 272286]), незамкнутой (М. И. Островский [Островский М.И. Области сумм условно сходящихся рядов в банаховых пространствах // Теория функций, функциональный анализ и приложения. - 1986. -№ 6. - С. 77-85.]), состоять из нескольких точек (М.И. Кадец и К. Возняковский [Kadets M.I., Wozniakowski К. On series whose permutations have only two sums // Bull. Polish Acad. Sei. Math. - 1989. -V. 37. - P. 15-21.], П. А. Корнилов [Корнилов П.А. О множестве сумм условно сходящегося функционального ряда У/ Математический сборник. - 1988,- 1 (9).-С. 114-127]).

Из курса анализа хорошо известна аналогия между свойствами числовых рядов и несобственных интегралов. Естественно возникает вопрос: что можно сказать о множестве тех чисел или векторов, к которым сходится «перестановка» условно сходящегося интеграла

—*4-ос

^ /(х) Лх ? Останется ли справедливым аналог теоремы Римана,

о

аналог теоремы Штейница? Каковы свойства «области сумм» несобственного интеграла в бесконечномерном пространстве и что можно сказать относительно интегральных аналогов рядов, для которых не выполняется утверждение теоремы Штейница? Эти вопросы изучаются в данной работе.

Цель работы. Целью работы является получение новых результатов о свойствах перестановок и областей сумм несобственных интегралов в банаховых пространствах, исследование интегральных аналогов рядов с нелинейной областью сумм.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.

1. Рассмотрено новое понятие - перестановка измеримого пространства. Установлена связь между автоморфизмами метрической булевой алгебры и перестановками на измеримом пространстве Лебега-Рохлина. Установлена связь между невозрастающими перестановками функций Харди-Литтльвуда и перестановками на измеримом пространстве ([0, +ос), р, |, где р, - мера Лебега.

2. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Мар-цинкевича-Никишина-Корнилова совпадает с пространством Ь [0,1].

3. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Корнилова (область сумм ряда состоит из двух точек) совпадает с множеством постоянных функций пространства Ьр[0,1].

4. Рассмотрен подкласс перестановок тт пространства

N

([О, +оо),р], где ц - мера Лебега, со свойством =

для любых неотрицательных чисел а, Ь. Доказано, что область сумм несобственного интеграла в любом конечномерном нормированном пространстве при указанных перестановках является аффинным множеством.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть полезны специалистам, работающим в областях функционального анализа, связанных с рядами, теорией меры, интегралами Лебега-Бохнера.

Апробация работы. Основные результаты и положения работы были доложены:

- на ХЫУ, ХЬУ и ХЬУ1 международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс», г. Новосибирск, 2006 г., 2007 г. и 2008 г.

- на научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов ММФ, посвященной трехсотлетию со дня рождения Леонарда Эйлера, г. Томск, 2007 г.

- на XV международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», г. Москва, 2008 г.

- на международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии», г. Новосибирск, 2009 г.

- на семинарах по функциональному анализу кафедры математического анализа Томского государственного университета, 2006 г., 2007 г., 2008 г., 2009 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 2 статьи и 4 тезиса докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы, содержащего 24 наименования. Первая глава состоит из двух разделов, вторая - из четырех разделов, третья - из трех разделов. Объем диссертации - 74 страницы.

Содержание работы. В первой главе рассматривается основной вопрос, какой может быть область сумм ряда в банаховом пространстве. Приводятся некоторые известные результаты для конечномерного и бесконечномерного случая. Затем проводится аналогия между рядами и несобственными интегралами, и ставятся базовые вопросы: «Что можно сказать об области сумм несобственного интеграла в банаховом пространстве?», «Является ли это множество ли-

нейным, замкнутым?», «Что следует считать перестановкой интеграла и каковы ее свойства?».

Во второй главе вводится

Определение. Пусть А - б -кольцо подмножеств множества 5. Измеримое отображение -к : 5 —> Б называется перестановкой, если

существуют такие множества N , N £ Д, что цА^ = цЛ^ = 0,

тт: 5 \ Аг, —I► 5 \ Лг2 - биекция, для которой ттЛ £ Д и ц (тсЛ) = рЛ

для любого А € А.

Доказываются простейшие свойства перестановок на измеримом пространстве:

(a) Пусть отображения -к : 5 —»5 и о : 5 —> Б являются перестановками. Тогда отображение т]: Я —> 5, ^ = -тс о <т, является перестановкой.

(b) Пусть отображение тг: в —> 5 является перестановкой, тх: S\N S\N - измеримая биещия, \íN = рЛ^ = 0, измеримое отображение а : 5 —> 5 таково, что = пРи I € 5 \ Л^. Тогда отображение а является перестановкой.

Приводится конструкция метрической булевой алгебры, формулируются основные результаты относительно изоморфизмов и доказывается

Теорема 2.2.2. Пусть - пространство с мерой

ц : М. —> [0, +оо], где Л4 - о -алгебра, полная относительно меры

(i. Пусть мера v : М —> [0,1] задана по правшу v (л) = — arctg^^j

для любого А € М, Ev - метрическая булева алгебра с мерой v. Пусть пространство (.М, М, v) является пространством Лебега-Рохлина. Тогда если отображение и : М —> М является перестановкой, то существует автоморфизм р : Ev —> Ev такой, что

р = тт (^4)/ если р : Ev —> Ev - автоморфизм, то существует

перестановка -к : М —* М такая, что р = от ^Л).

Далее устанавливается связь между перестановками и невозрас-тающими перестановками функций. Напомним, что если / - числовая измеримая функция, тогда функция

f(t) = inf > |s;|/(s)| > J/| < i|

называется невозрастающей перестановкой функции / [Богачев В.И. Основы теории меры: В 2-х томах. Т. 2. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003, с. 280].

Теорема 2.4.2. Пусть и : [0, +00) —»[0, +00) - перестановка. Тогда существует такая функция ip : [0, +00) —> (0,1], что ф('ЧО) = Ф* является невозрастающей перестановкой

функции ф.

Обратное неверно (пример 2.4.1): для функции tp : [0,2) —> [0,1), ip(i) = {/.} - дробная часть t, не существует перестановки ■к : [0,2) -> [0,2) такой, что ip(i) = ф* (тЩ.

В начале третьей главы вводятся определения. Пусть X - банахово пространство и пусть отображение х : [0, +оо) —► X таково, что существует несобственный интеграл Лебега-Бохнера

->+ЭС Т

J x(t)dt = lim J х(t)dt.

о ' о

Определение. Областью сумм интеграла j x(t)dt называется

множество ОС

J x(t)dt

- множество таких элементов у 6 X, что

^Т А.

^ х (тт(£)) dt — у при некоторой перестановке тс: [0, +оо) —> о

[0,+оо).

—Ьто

Определение. Говорят, что интеграл ^ х{£)йЬ сходится услов-

о

но, если он сходится, и существует перестановка -к : [0,+оо) —> [0,

—+Ж1

+оо) такая, что несобственный интеграл ^ расходится.

о

Рассмотрим ряд Марцинкевича-Никишина-Корнилова. Возьмём в пространстве X = Ь [0,1] следующую систему функций:

ие

1. к +1 (лт '

& + 1

гул 5 о"1

е [о, 1) \

теми{0}, к € {0,...,2т — 1} .

X

Составим ряд £ хк = ео° ~ е° + ео ~ е<> + е! " < + ео ~ ео + ■ ■• • •

*-=о

Его область сумм не обладает свойством аффинности.

Теорема 3.1.1. Пусть р> 1 и отображение х:[0,+ос)—>

I [0,1] действует по правилу: х{Ь) — хк при Ь£[к.к +1), к — 0,1,.... Тогда несобственный интеграл ^ х(Ь)(11 сходится и

о

имеет область сумм, равную [0,1].

Рассмотрим ряд Корнилова, область сумм которого состоит из двух точек. Пусть система , : [0,1) —► [0,1), является сис-

темой независимых, равномерно распределенных функций. Пусть

[ОД)->{0Д}.

0, и С1

г — 1 i

2" 2",

г — 1 г

;у1

= при п = 1,2,...; i = 1,2,...,2" и j = 1,

2,...,2n+1. Тогда область сумм ряда

к—\ Т!=1 ¡=1 J=1

равна множеству {0,1} в пространстве L[0, 1] [Корнилов П.А. О

множестве сумм условно сходящегося функционального ряда // Математический сборник. - 1988. - 1 (9). - с. 114-127].

Теорема 3.2.1. Пусть р> 1 и отображение ip : [0, +оо) —>

Lp [0,1] задано по правшу: ф(£) = ф1+1 при t е[к,к + 1), к = 0,1,....

—'+ЭС

Тогда область сумм интеграла равна множеству дейст-

о

вительных постоянных функций пространства [0,1].

Затем исследуется вопрос линейности области сумм интеграла в конечномерном нормированном пространстве. Выделяется подкласс Р перестановок тт пространства |[0, +oo),|ij, где р. - мера Лебега,

л"

со свойством -n[a,b) — [J [сп, dn) для любых неотрицательных чисел

П = 1

a, b. Множество элементов у € X, для которых существует пере-

-.+ЭС

становка -it £ Р такая, что у = J x(b(tfjdt, обозначим через

оср J хфм .

О

Теорема 3.3.3. Пусть X - конечномерное нормированное про-

В качестве следствия устанавливается аналог теоремы Римана (следствие 3.3.4): область сумм условно сходящегося несобственного интеграла числовой функции на множестве [0,+оо) совпадает с множеством всех вещественных чисел.

В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю доценту Геннадию Васильевичу Сибирякову за постановку задач и полезные обсуждения. Также автор выражает благодарность доценту Елене Геннадьевне Лазаревой за полезные обсуждения и помощь в оформлении диссертации.

Перечень работ автора по теме диссертации.

1. Осипов О.С. Об области сумм условно сходящегося интеграла в пространстве Банаха // Вестник Томского государственного университета. - 2007. -№ 297. - С. 150-156.

2. Осипов О.С. Об интегральном аналоге ряда с двухточечной областью сумм // Сибирский математический журнал. -2009.-т. 50, №6.-С. 1348-1355.

странство, х : [0, +оо) —> X, существует / х(Ь)(И . Тогда

множест-

3. Осипов О.С. Область сумм условно сходящегося интеграла в банаховом пространстве // Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Дополнительный сборник - Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2006 г. - С. 6.

4. Осипов О.С. Об интегральном аналоге ряда с двухточечной областью сумм // Научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов ММФ, посвященная трехсотлетию со дня рождения Леонарда Эйлера: Сборник материалов -Томск: Томский государственный университет, 2007 г. -С. 145-146.

5. Осипов О.С. Об области сумм несобственного интеграла, соответствующего ряду Корнилова // Материалы XLVI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика - Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2008 г. - С. 110.

6. Осипов О.С. Об интегральном аналоге ряда с двухточечной областью сумм // Материалы докладов XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» [Электронный ресурс] / Отв. ред. И.А. Алеш-ковский, П.Н. Костылев, А.И. Андреев. [Электронный ресурс] - М.: Издательство МГУ; СП МЫСЛЬ, 2008. - 1 электрон. опт. диск (CD-ROM); 12 см. [Адрес ресурса в сети интернет: http://www.lomonosov-msu.ru/2008/]

Тираж 110. Заказ № 1059. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40. Тел.: 53-30-18.

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ

1.1. Вопрос аффинности и замкнутости области сумм

1.2. Перестановки несобственных интегралов

2. ПЕРЕСТАНОВКИ ИНТЕГРАЛОВ

2.1. Изоморфизмы пространств с мерами

2.1.1. Метрическая булева алгебра

2.1.2. Точечный изоморфизм измеримых пространств

2.1.3. Изоморфизм измеримых пространств

2.1.4. Взаимосвязь изоморфизма и точечного изоморфизма измеримого пространства

2.2. Перестановки несобственных интегралов

2.3. Невозрастающие перестановки функций Харди-Литтльвуда

2.4. Связь перестановок и невозрастающих перестановок функций Харди-Литгльвуда

3. ОБЛАСТЬ СУММ ИНТЕГРАЛА

3.1. Область сумм интегрального аналога ряда Марцинкевича - Никишина -Корнилова

3.2. Область сумм интегрального аналога ряда с двухточечной областью сумм

3.3. О линейности области сумм интеграла в конечномерном нормированном пространстве

Актуальность работы. В задаче 106 «Шотландской книги» [24] С. Банах оо сформулировал следующую проблему. Пусть ^ хп - такой ряд в банаховом п—1 пространстве, что при двух определенных упорядочиваниях слагаемых его сумма равна у0 и у1 соответственно. Доказать, что для любого вещественного I существует такое упорядочивание слагаемых данного ряда, что сумма равна iy0 + ti-i)yr оо

М. И. Кадец [5] ввел определение области сумм ряда ^ хп векторов ба

71 = 1 нахова пространства X как множества всех таких у Е X, что при некоторой оо перестановке тт натуральных чисел ряд ^£„;(п) сходится к у. В случае услов

71=1 но сходящихся числовых рядов согласно классической теореме Римана область сумм совпадает с множеством всех.вещественных чисел.„Для рядов комплексных-чисел описание области cj^vim было дано П. Леви в 1905. Е. Штейниц [22] в оо

1913 доказал следующую теорему: область сумм ряда хп в т -мерном про

П=1 странстве X есть подпространство вида s + Г0, где s — сумма указанного ряда оо оо

У^ж,, Г0 - аннулятор множества Г = {/ G X*; f(xn) | сходится }.

1. п=1

В бесконечномерном банаховом пространстве аналог теоремы Штейница не верен, и область сумм ряда-может быть нелинейной; (Марцинкевич [23], Е. Никишин [10]), незамкнутой (М. И. Островский [17]), состоять из нескольких точек (М.И. Кадец и К. Возняковский [20], Г1. А. Корнилов [7]).

Из курса анализа хорошо известна аналогия между свойствами числовых рядов и несобственных интегралов. Естественно возникает, вопрос: что можно сказать о множестве тех чисел или векторов, к которым сходится «перестановоо ка» условно сходящегося интеграла J* f(x)d,x ? Останется ли справедливым о аналог теоремы Римана, аналог теоремы Штейница? Каковы свойства «области сумм» несобственного интеграла в бесконечномерном пространстве и что можно сказать относительно интегральных аналогов рядов, для которых не выполняется утверждение теоремы Штейница? Эти вопросы изучаются в данной работе.

Цель работы. Целью работы является получение новых результатов о свойствах перестановок и областей сумм несобственных интегралов-,в банаховых пространствах, исследование интегральных аналогов рядов с нелинейной областью сумм.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются-новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.

1. Рассмотрено новое понятие — перестановка измеримого пространства. Установлена связь между автоморфизмами метрической булевой алгебры и перестановками на измеримом пространстве Лебега-Рохлина. Установлена связь между невозрастающими перестановками функций Харди-Литтльвуда и перестановками на измеримом пространстве ([0, -f-oo), [ij, где |л — мера Лебега.

2. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Марцинкеви-ча-Никишина-Корнилова совпадает с пространством Lp [0,1].

3. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Корнилова (область сумм ряда состоит из двух точек) совпадает с множеством постоянных функций пространства £р[0,1].

4. Рассмотрен подкласс перестановок тт пространства ([0, +оо), (i,), где N х - мера Лебега, со свойством -к[а,Ь) = (^J [с t, dn) для любых неотрицательных

П=1 чисел а, Ъ. Доказано, что область сумм несобственного интеграла в любом конечномерном нормированном пространстве при указанных перестановках является аффинным множеством.

Практическая значимость работы. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть полезны специалистам, работающим в областях функционального анализа, связанных с рядами, теорией меры, интегралами Лебега-Бохнера.

Апробация работы. Основные результаты и положения работы были доложены:

- на XLIV, XLV и XLVI международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс», г. Новосибирск, 2006 г., 2007 г. и 2008 г.

- на научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов ММФ, посвященной трехсотлетию со дня рождения Леонарда Эйлера, г. Томск, 2007 г.

- на XV международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», г. Москва, 2008 г.

- на международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии», г. Новосибирск, 2009 г.

- на семинарах по функциональному анализу кафедры математического анализа Томского государственного университета, 2006 г., 2007 г., 2008 г., 2009 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 2 статьи и 4 тезиса докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы, содержащей 24 наименования. Первая глава состоит из двух разделов, вторая — из четырех разделов, третья — из трех разделов. Объем диссертации — 74 страницы.

Выводы и результаты

1. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Марцинкевича-Никишина-Корнилова совпадает с пространством Lp [0,1), р > 1.

2. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Корнилова, область сумм которого состоит из двух точек, совпадает с множеством постоянных функций пространства Lj0,l), р > 1.

3. Рассмотрено подмножество множества перестановок Р, используемое при доказательстве теорем 3.1.2 и 3,2.1. Доказано, что в конечномерном нормированном пространстве область сумм несобственного интеграла при перестановках множества Р является аффинных пространством.

4. Доказан интегральных аналог теоремы Римана об области сумм условно сходящегося числового ряда.

В заключение можно отметить следующие выводы и результаты.

1. Введено определение перестановки на измеримом пространстве.

2. Доказаны свойства перестановок: о композиции двух перестановок, об обратном отображении от перестановки. Доказано, что перестановка не изменяет значения интеграла Лебега-Бохнера.

3. Установлена связь между автоморфизмами метрической булевой алгебры и перестановками на измеримом пространстве Лебега-Рохлина.

4. Установлена связь между невозрастающими перестановками функций

Харди-Литтльвуда и перестановками на измеримом пространстве где |i - мера Лебега.

5. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Марцинкеви-ча-Никишина-Корнилова совпадает с пространством Lp [0,1).

6. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Корнилова, область сумм которого состоит из двух точек, совпадает с множеством постоянных функций пространства Lp [0,1).

7. Рассмотрено подмножество Р множества перестановок -к со свойстN вом: тг[а,Ъ) = [с;,dn) для любых неотрицательных чисел а, Ъ. Доказано, что

П = 1 в конечномерном нормированном пространстве область сумм несобственного интеграла при перестановках множества Р является аффинных пространством.

8. Доказан интегральных аналог теоремы Римана об области сумм условно сходящегося числового ряда.

1. Богачев В.И. Основы теории меры: В 2-х томах. Т. 1. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. - 544 с.

2. Богачев В.И. Основы теории меры: В 2-х томах. Т. 2. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. - 576 с.

3. Гусман М. Дифференцирование интегралов в К". М.: Мир, 1978. -200 с.

4. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2-х томах. Т. 1. М.: Мир, 1964.-616 с.

5. Кадец М.И. Об условно сходящихся рядах в пространстве Lp II Успехиматем. наук.-1954.-Т. 54, 1.-С. 107-110.

6. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984. -496 с.

7. Корнилов П.А. О множестве сумм условно сходящегося функционального ряда // Математический сборник. 1988. - 1 (9). — С. 114-127.

8. Крейн С. Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И. Петунии, Е.М. Семенов. М.: Главная редакция физико-математической литературы «Наука», 1978. - 400 с.

9. Либ Э., Лосс М. Анализ. Новосибирск: Научная книга, 1998. - 276 с.

10. Никишин Е.М. Перестановки функциональных рядов // Матем. сб. -1971. т. 85(127). - С. 272-286.

11. Осипов О.С. Об области сумм условно сходящегося интеграла в пространстве Банаха // Вестник Томского государственного университета. -2007.-№297.-С. 150-156.

12. Осипов О.С. Об интегральном аналоге ряда с двухточечной областью сумм // Сибирский математический журнал. — 2009. 50, № 6. - С. 13481355.

13. Островский М.И. Области сумм условно сходящихся рядов в банаховых пространствах // Теория функций, функциональный анализ и приложения. 1986. - № 46. - С: 77-85.

14. Харди Г.Г. Неравенства / Г.Г. Харди, Дж. Е. Литтльвуд, Г. Полиа. М.: ГИИЛ, 1948.-456 с.

15. Kadets M.I., Kadets V.M. Series in Banach spaces: conditional and unconditional convergence. Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 1997.

16. Kadets M.I., Wozniakowski K. On series whose permutations have only two sums // Bull Polish Acad. Sci. Math. 1989. - V. 37. - P. 15-21.21. von Neumann J. Einige Satze iiber messbare Abbildungen // Ann. Math. -1932.-V. 233.-P. 574-586.

17. Steinitz E. Bedingt konvergente Reihen und konvexe systeme // J. Reine Angrew. Math. 1913. - V. 143. - P. 128-175; 1914. - V. 144. - P. 1-49; 1916. - V. 146. — P. 68-111.

18. The Scottish book // edited by R. Daniel Mauldin. Boston: Birkhauser, 1981.

19. Ulam S. A collection of mathematical problems. Interscience Publ.: New York-London, 1960.