Перестановки во множестве натуральных чисел и их применение к изучению рядов в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

РГ5 ОД

ЛАЗАРЕВА ЕЛЕНА ГЕННАДЬЕВНА

ПЕРЕСТАНОВКИ ВО МНОЖЕСТВЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ РЯДОВ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Специальность 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Томск - 2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа Томского государственного университета

Научный руководитель: кандидат физико - математических наук, доцент Сибиряков Геннадий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук, профессор Богачев Владимир Игоревич кандидат физико - математических наук, доцент Рубан Анатолий Альбертович

Ведущая организация: учереждение РАН Санкт - Петербургское отделение математического институтаим. В.А: Стеклова

Защита состоится /^^¿--¿убд.' 2000 г. в

/¿Г

часов на

заседании диссертационного совета К 002.23.02 в Институте математики им.

С.Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск -90, пр. академика В.А. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Автореферат разослан

г.

1

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ. - мат. наук, доцент

Актуальность темы. Во многих областях математики используются ряды - числовые, векторные, функциональные. В основном ряды используются как инструмент приближения одних объектов другими - более простыми. Именно поэтому исследование свойств самих рядов является важным разделом математики. Истоком темы, которой посвящена данная работа, является классическая теорема Римана: условно сходящийся числовой ряд можно переставить так, что он будет сходиться к любому наперед заданному числу, а также к +оо или к —ос. Если понимать иод областью сумм рл-

оо

да Y1 хк элементов пространства Е множество тех х € Е, что при fc=i

оо

некоторой перестановке тг ряд хь сходится к х (это определение

к-1

ввел М.И.Кадец [Кадец М.И. Об условно сходящихся рядах в пространстве Lp // Успехи матем. наук.-1954.-Т.9., 1.-С.107 - 110], используется также термин "множество сумм"), то из теоремы Римана следует: область сумм числового условно сходящегося ряда есть множество действительных чисел.

Естественным образом возникает вопрос: что можно сказать об области сумм условно сходящегося векторного ряда или ряда, составленного из функций? Первый результат, относящийся к векторным рядам, а именно, к рядам комплексных чисел, получил П.Леви в 1905г. Для рядов в произвольном конечномерном пространстве на этот вопрос ответил Е.Штейниц в 1913 r.[Sleinitz Е. Bedingt konvergente reien und konvexe syst.eme//J.reme und angew. math.-1913.- Vol. 143.-P.128-175; Vol.l-M.-P. 1-49; 1916.-Vol.l46.-P.68-lll]. Теорема Штейница гла-

oo

сит: область сумм ряда J2 хк в m - мерном пространстве Е есть

А:-1

оо

подпространство я + Го, где s = Е хк, Г0 - ашгулятор мио?кества

fc=i

оо

г = {/€£■*: Е |/Ы1 сходится}. к = 1

Однако в бесконечномерном нормированном пространстве аналог теоремы Штейница не верен. Область сумм ряда в данном случае может быть незамкнутым множеством (М.И.Островскнй), не иметь

линейной структуры (И.Марцинкевич, П.А.Корнилов), а то и вовсе состоять из нескольких точек (М.И.Кадсц, К.Возннковский; П.А.Корнилов). Причем такие ряды существуют в каждом банаховом пространстве. Налицо принципиальное отличие структуры области сумм ряда в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.

Достаточные условия для того, чтобы область сумм ряда в бесконечномерном пространстве совпадала с подпространством s + Го, исследуются в работах М.И.Кадеца, С.Троянского, Е.М.Никишина, Д.В.Иечерского, С.А.Чобаняна, М.И.Островского, И.Баранн и других математиков. Насколько известно автору, сегодня не существует методов нахождения элементов области сумм ряда, если его члены не удовлетворяют ни одному из этих условий.

В отечественной литературе практически не встречается другой подход к этой проблеме, связанный с изучением свойств перестановок (биекций множества натуральных чисел на себя) в связи с тем, как они действуют на ряды. Перестановки, сохраняющие сумму или сходимость рядов в банаховом пространстве Е, исследуют RAVituIa, P.A.B.Pleasants, P.Schaefer, E.H.Johnston и другие авторы. Оказывается [Schaefer P. Sum - preserving rearangements of infinite scries//Am er. Math. Montly.-1981.- N88.-P.33-40], что эти свойства перестановок не зависят от пространства Е.

Однако вопрос о существовании других свойств перестановок, более значимых в связи с проблемой области сумм ряда в бесконечномерном пространство и не зависящих от пространства Е, остается открытым. Очевидно, что не менее важными являются те свойства рядов, которые не зависят от пространства. Некоторые из таких свойств изучаются в данной работе.

Цель работы. Получение новых результатов о свойствах рядов в бесконечномерных банаховых пространствах. Исследование тех свойств перестановок рядов, которые не зависят от пространства, в котором рассматриваются ряды. Исследование геометрии про-

странств рядов, естественно возникающих в связи с этой тематикой.

Методы исследования. Исследования проводятся с помощью основных методов и принципов функционального анализа. Основной метод доказательств в первой и второй главе - конструктивный. Кроме этого, во второй главе применяется метод построения рядов с нелинейной областью сумм! предложенный Корниловым [Корнилов П.Л. О перестановках условно сходящихся функциональных ря-дов//Матем. сборник.-1980.-137.4.-С.598-616], и техника В.М.Кадеца [Ка-дец В.М., Кадец М.Н. Перестановки рядов в пространствах Банаха,- Тарту, 1988.-С.112-116] переноса полученных результатов на все банаховы пространства. Для доказательсгв недополняемости в третьей главе используется возможность вложения в подпространство посгранст-ва со, а в само пространство - пространства т. В последней теореме, касающейся недополняемости, используется классическая техника доказательства недополняемости со в т [см., например Кутателадзе С.С. Основы функционального аналнза.-Новоснбирск, 1995.-С.98], видоизмененная в соответствии с условиями теоремы.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми и заключаются в следующем:

1. Рассмотрено новое понятие - умножение перестановки на число. Показано, каким образом с помощью этого понятия мо?кно исследовать области сумм рядов. Выделен класс перестановок, допускающих умножение на целые числа. Таким образом, если перестановка из этого класса меняет сумму некоторого ряда, то можно гарантировать, что его область сумм будет неограниченной и указать часть из содержащихся в ней элементов.

2. Для некоторого подмножества перестановок из данного класса доказано, что их умножение на нецелые числа невозможно. Причем с помощью понятия выделяемых перестановок этот результат можно перенести на более широкое множество перестановок. Дан-

ный результат в совокупности с первым является новым даже для числовых рядов. А именно, зафиксируем одну из таких перестановок и рассмотрим все числовые ряды, сходящиеся к нулю и после этой перестановки сходящиеся к единице. Оказывается, что можно указать одну перестановку, после которой все они будут сходиться к числу два (или к любому другому целому числу), но нельзя указать одной перестановки, после которой все эти ряды будут сходиться к числу ^ (или к любому другому нецелому числу).

3. Получены новые результаты относительно пространств рядов над пространством Е. Доказано, что всюду плотными множествами первой категории являются множество безусловно сходящихся рядов в пространстве сходящихся рядов и множество абсолютно сходящихся рядов в пространстве безусловно сходящихся рядов. Доказано: в случае, когда пространство Е содержит изоморфную копию с0 и существует счетное тотальное семейство функционалов на пространстве Е, пространство безусловно сходящихся рядов вкладывается не-дополняемым образом в пространство безусловно ограниченных сходящихся рядов. Доказано, что пространства безусловно сходящихся рядов и безусловно ограниченных сходящихся рядов не дополняемы в пространстве безусловно ограниченных рядов над пространством Е всякий раз, когда пространство Е содержит изоморфную копию со.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть полезны специалистам, работающим в областях функционального анализа, связанных с рядами.

Апробация работы. Основные результаты и положения работы были доложены:

- на XXXIV и XXXV международных научных студенческих конференциях "Студент и научно - технический прогресс",г. Новосибирск, 1996г., 1997г.;

- на международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике", г.Томск, 1997г.;

- на III и IV сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике, г.Новосибирск, 1998г., 2000г.;

- на семинарах по функциональному анализу и топологии кафедры теории функций Томского государственного университета, 1997г., 1998г., 2000г.;

- на семинаре отдела геометрии и анализа института математики им. С.Л.Соболева СО РАН, г.Новосибирск, 2000г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 2 статьи и 5 тезисов докладов.

Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы, содержащего 27 наименований. Первая и третья глава имеют по два, а вторая - три раздела. Общий объем диссертации - 77 страниц.

Содержание работы.

В первой главе диссертации мы вводим в рассмотрение два класса перестановок:

перестановки вида 7гР1? {р, д & N \ {1}, для каждого т€Лг

кр,я{рт) = дт,

- биекция, сохраняющая порядок) и

перестановки вида 7Гдд (множества А, В С Л7, множества А, В, N \А,М\В бесконечны,

тгав :А-*В, ТГав : Ат \ А N \ В

- биекции, сохраняющие порядок).

Очевидно, что перестановки вида тгр-ч - частный случай перестановок вида л-дд.

Кроме этого, вводятся следующие понятия. Будем говорить, что перестановка п меняет сумму (меняет сходимость) в

нормированном пространстве Е, если в пространстве Е сущест-

ОО ОС

вует сходящийся ряд Е хк такой, что ряд Е х*(к) сходится и

к=1 к-\

оо оо оо

Е хк Ф Е х*(к) (ряд Е х-п{к) расходится). к = 1 к — \ к-1

В первом разделе первой главы вводятся базовые понятия, относящиеся к сходимости рядов в бесконечномерных пространствах, приводятся некоторые известные результаты и доказываются две теоремы.

Теорема 1.1. Перестановка тг меняет сумму (меняет сходимость) в нормированном пространстве Е тогда и только тогда, когда тг меняет сумму (меняет сходимость) в К.

Замечание. Теорема 1.1 говорит о том, что свойства перестановки менять сходимость и менять сумму не зависят от пространства Е. Она не является новым результатом, что уже было упомянуто выше. Однако в данной работе приводится оригинальное доказательство этого факта, демонстрирующее технику, применяемую и в дальнейшем при работе с перестановками рядов. Все остальные результаты работы, по мнению автора, являются новыми.

Для того, чтобы исследовать области сумм рядов с помощью некоторого множества перестановок, нужно убедиться, что эти перестановки способны менять сумму. Этой цели служит

Теорема 1.2. Если р,д £ N \ {1}, р ф q, то перестановка 7ГР1<г меняет сумму.

Во втором разделе первой главы вводится одно из ключевых понятий работы.

Пусть ~ - перестановка, а £ Л. Определим множество перестановок а-тг следующим образом: перестановка а принадлежит мно-

жеству а • 7г тогда и только тогда,.когда для любого ряда в любом нормированном пространстве Е из*соотношений

оо оо

= О, ^^(Л) = X, х € Е к=1 к =1

оо

следует, что ряд У] хо{к) сходится к аа\ Будем писать при этом: к=1

<т € о • тг.

Доказываются две теоремы об умножении перестановок вида тгдв: на —1 и на натуральные числа. Из этих теорем следует

Теорема 1.5. Пусть Л, В - бесконечные подмножества натурального ряда с бесконечными дополнениями, М - целое число. Тогда множество м ■ ттав пусто и существует бесконечное множество С С N с бесконечным дополнением такое, что 7Гсв € М -лав-

со

Следствие 1.2. Пусть сходящийся ряд £к = £ 0 Н0Р~

к=1

мированном пространстве Е таков, что существует перестановка

оо

— яав, меняющая его сумму, то есть ряд ^ х*(к) сходится к

/с —1

элементу у ф х. Тогда область сумм этого ряда не ограничена, а именно:

оо

{х + п(у-х),п£2} СОСС£хк).

к = 1

В конце первой главы приводится пример построения перестановки а € -1 • ттав Для А = {2т}^=1, В = {2гп}^=1 и предложение, обобщающее результат, полученный в этом примере:

Предложение 1.2. Пусть А С Аг - произвольное бесконечное множество с бесконечным дополнением, В — {2тп}^=1. Тогда при С = N \ В верно, что тгсв € —1 • тлв■

Вторая глава посвящена вопросу умножения перестановок рассматриваемых видов на нецелые числа. Вначале для перестановки л"з(2 доказывается посредством леммы 2.1

Теорема 2.1. Перестановка 7Гз>2 не допускает умножения на

число

Первый раздел второй главы завершается следствием, утверждающим тоже самое для перестановки К2,з-

Второй раздел переносит утверждение теоремы 2.1 на все перестановки вида 7грС помощью классического примера Марцин-кевича - Корнилова[Корнилов П.А. О перестановках условно сходящихся функциональных рядов//Матем. сборник.-1980.-137,4.-С.598-616] доказывается

Теорема 2.4. При любых р, д € Лг \ {1}(р ф д) перестановка ■кР:Ч не допускает умножения на нецелые числа. Теорема 2.4 включает в себя утверждение теоремы 2.1, но ее доказательство проведено не напрямую, а через пространство (0,1). Теорема 2.1 доказана построением числовых рядов, необходимых для подтверждения данного факта.

Третий раздел второй главы посвящен следующему понятию. Будем говорить, что из перестановки я- можно выделить перестановку сг, если найдутся две возрастающие последовательности нат5гральных чисел (ш,) и (п,) такие, что -г(пг) = ш<7(,) для каждого г 6 N. Доказываются некоторые свойства, связывающие перестановки 7Г и а - теорема 2.5. Из теоремы 2.5 вытекают два утверждения, объединенные в следствие: Следствие 2.2.

(¡) Пусть А, В С N - бесконечные множества с бесконечными дополнениями. Если перестановку <г можно выделить из пав, то 7г допускает умножение на целые числа.

(и) Пусть р, q £ Аг, р ф q. Если из перестановки тг можно выделить 7Гр1?, то тг не допускает умножения на нецелые числа. Далее в третьем разделе вводится понятие эквивалентных перестановок: перестановки ж п <т эквивалентны, если для любого схо-

оо

дящегося к нулю ряда хк в произвольном нормированном про-

странстгзе Е ряды хт(к) " Y1 хсф) либо сходятся к одному и тому £ = 1 к=1

же элементу пространства Е, либо оба расходятся. Рассматривается пример: из перестановки ттсв, где

00

B={3m}~=1, С= (J{7n+l,7n + 4,7n + 5}

п=0

можно выделить перестановку, эквивалентную 7Г5 7.

С помощью понятия регулярная перестановка типа тгав (существуют такие натуральные числа R, г, S, s, что для каждого п = 0,1,2,... выполнено:

card {Л П {Rn + 1,..., R(n + 1)} = г,

card{Bn {5n+ l,...,S{n + 1)} = s.)

этот пример расширяется:

Теорема 2.G. Если перестановка 7Гдв ~ регулярная, то существуют натуральные числа р и q такие, что из перестановки ттав можно выделить перестановку, эквивалентную тгр<я. Завершает третий раздел второй главы

Следствие 2.3. Если перестановка zab регулярна и не эквивалентна тождественной, то она не допускает умножения на нецелые числа.

В третьей главе мы рассматриваем некоторые пространства, элементами которых являются ряды из банахова пространства Е. А именно,

пространство сходящихся рядов

со

(Sc(E), I •!) = {(rfe)i° е Sb(E) : ряд сходится},

к = 1

п

1Ы?=11 = sup{||5>*ll, neN}, fc=1

пространство безусловно ограниченных рядов

(Sub(E), III-III),

где

lll№=illl = sup{|| £ хк\\Е, К С Аг, К конечно} к£К

(во множество Sub{E) входят те последовательности, норма ||| • ||| которых конечна).

Естественные подпространства в последнем пространстве: пространство безусловно ограниченных сходящихся рядов

оо

(Я'вс(£Ы1МН) = {ЫГ eSUB{E) : ряд £ Хк сходится},

к=1

и пространство безусловно сходящихся рядов

(Suc(E),\\\-\\\)--={(xk)? eSUB(E):

оо

ряд безусловно сходится}.

fc=l

В первом разделе третьей главы доказывается Теорема 3.1. Пространства Ь'ив{Е) и Ьивс{Е) различны и отличаются от Suc{E) в том и только в том случае, если Е содержит изоморфную копию Со-

Доказывается, что данные пространства являются банаховыми (предложение 3.1 ). Доказывается

Теорема 3.2. Безусловно сходящиеся ряды образуют всюду плотное множество первой категории в пространстве сходящихся рядов.

Доказывается

Теорема 3.3. Абсолютно сходящиеся ряды образуют всюду плотное множество первой категории в пространстве безусловно сходящихся рядов, если пространство Е бесконечномерно.

Во втором разделе рассматривается цепочка пространств Зис{Е) С Бивс(Е) с Бив[Е)

случае, когда пространство Е содержит изоморфную копию с0. До-азывается, что ири этом все включения не дополняемы (в одном 1учае при дополнительном условии):

Теорема 3.4. Если пространство Е содержит со, то простран-гво не дополняемо в Бив(Е).

Теорема 3.5. Если пространство Е содержит со, то простран-гно Бис(Е) не дополняемо в Бив{Е).

Теорема 3.6. Если на пространстве Е существует счетное то-альное семейство функционалов и Е содержит со, то пространство ис{Е) не дополняемо в пространстве Вивс{Е).

Перечень работ автора по теме диссертации.

1. Иванова Е.Г. Перестановки рядов в нормированном про-гранствс// Материалы XXXIV международной научной студен-еской конференции "Студент и научно - технический прогресс".-овосибирск, 1996.-С.27

2. Иванова Е.Г., Сибиряков Г.В. О. делении перестановок жрпослам// Всеснбирские чтен!1я по математике и механике: Избранные оклады международной конференции.- Томск,1997.-Т. 1, С.122-128

3. Иванова Е.Г. Перестановки рядов, меняющие сумму или ходимость// Всесибирские чтения по математике и механике: Тез. окл. международной конференции.-Томск,1997.-Т. 1, С.94

4. Иванова Е.Г. Пространства сходящихся векторных рядов// [атериалы XXXV международной научной студенческой конферен-ии "Студент II научно - технический прогресс".-Новосибирск, 1997.-.39

5. Иванова Е.Г. Дополняемость в пространствах рядов// Иссле-овашш по математическому анализу и алгебре.-Томск,1998,- С.97-02

6. Иванова Е.Г. Пространства векторных рядов// Ш сибирским конгресс по индустриальной и прикладной матема тике ИНН РИМ -1998: Тез. докл., Ч. I.- Новосибирск, 1998.-С.71

7. Лазарева Е.Г. Умножение перестановок жрл на нецелые числа невозможно// IV сибирский конгресс по индустриальной и прикладной математике ИНПРИМ - 2000: Тез. докл., Ч. I,- Новосибирск, 2000.-С.127

Введение.

Глава 1. Умножение перестановок на целые числа

1° Основные понятия. Перестановки, меняющие сумму и сходимость.

2° Умножение перестановок на целые числа.

Глава 2. Умножение перестановок на нецелые числа

1° Перестановка 7Г3 2 не делится пополам.

2° Возможности примера Марцинкевича - Корнилова.

3° Свойства выделяемых перестановок.

Глава 3. Пространства векторных рядов

1° Множества первой категории в пространствах рядов.

2° Недополняемые подпространства в пространствах рядов.

Во многих областях математики используются ряды - числовые, векторные, функциональные. В основном ряды используются как инструмент приближения одних объектов другими - более простыми. Именно поэтому исследование свойств самих рядов является важным разделом математики. Истоком темы, которой посвящена данная работа, является классическая теорема Римана: условно сходящийся числовой ряд можно переставить так, что он будет сходиться к любому наперед заданному числу, а также к = оо или к — оо. Если понимать оо под областью сумм ряда £ хк элементов пространства Е множество к= 1 оо тех х Е Е, что при некоторой перестановке п ряд £ Хк сходится к=1 к х (это определение ввел М.И.Кадец в [5], используется также термин "множество сумм" '[7],[8],[16]), то теорема Римана формулируется так: область сумм числового условно сходящегося ряда есть множество действительных чисел.

Естественным образом возникает вопрос: что можно сказать об области сумм условно сходящегося векторного ряда или ряда, составленного из функций? Первый результат, относящийся к векторным рядам, а именно, к рядам комплексных чисел, получил П.Леви в 1905 г. [21]. Для рядов в произвольном конечномерном пространстве на этот вопрос ответил Е.Штейниц в 1913 г.[25]. Теорема Штейница оо гласит: область сумм ряда £ Хк в га - мерном пространстве Е есть к=1 оо подпространство я + Го, где в = £ Го - аннулятор множества к= 1

ОО

Г={/ЕЯ*: £ 1/Ы1 сходится.}.

С— 1

Однако в бесконечномерном нормированном пространстве аналог теоремы Штейница не верен. Область сумм ряда в данном случае может быть незамкнутым множеством (М.И.Островский,[13]), не иметь линейной структуры (И.Марцинкевич, П.А.Корнилов[9]), а то и вовсе состоять из нескольких точек (М.И.Кадец, К.Возняковский[20], П.А.Корнилов[8]). Причем такие ряды существуют в каждом банаховом пространстве. Налицо принципиальное отличие структуры области сумм ряда в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.

Эта ситуация стала объектом исследований большого числа математиков. В существующих работах по данному вопросу можно выделить два основных связанных друг с другом направления исследований.

Первое заключается в нахождении условий, достаточных для того, чтобы область сумм ряда в бесконечномерном пространстве совпадала с подпространством з + Го. Этой теме посвящены работы М.И.Кадеца[5], С.Троянского [15], Е.М.Никишина [11],[12], Д.В.Печерского [14], С.А. Чобаняна [16], М.И.Островского[13], И.Ба-рани[1] и других авторов. Классическим здесь является результат М.И.Кадеца (1954 г.,[5]) для пространств Ьр1 р > 1 : условие оо ■

Е 1ЫГП{2*} < оо к=1 оо является достаточным для того, чтобы область сумм ряда Е Хк со

•=1 впадала со множеством я + Го- Этот результат С.Троянский (1967 г.,[15]) обобщил на равномерно гладкие банаховы пространства как оо р(1ы1)<оо к=1 р- модуль гладкости пространства). Работу С.А.Чобаняна [16](1984 г.) можно считать обобщением результата С.Троянского на случай произвольного банахова пространства.

Другое направление - построение рядов, области сумм которых не совпадают с подпространством з+Го и исследование известных достаточных условий совпадения в связи с этими рядами. Среди таких результатов выделяются работы П.А.Корнилова[6]-[9], М.И.Кадеца[20], В.М.Кадеца[4], М.И.Островского[13]. Наиболее интересные результаты данных исследований были перечислены ранее.

Самый полный обзор исследований по обоим направлениям содержится в монографии В.М.Кадеца и М.И.Кадеца "Перестановки рядов в пространствах Банаха" [3].

Возможны и другие подходы к представленной проблеме. Один из них, практически не встречающийся в отечественной литературе, связан с изучением свойств перестановок (биекций множества натуральных чисел на себя) в связи с тем, как они действуют на ряды. Под действием перестановки на ряд естественно понимать ряд, полученный из исходного данной перестановкой его членов: если тт : N —» Лг оо перестановка, £ - исходный ряд, то после действия перестановки к=1 оо

7г получается ряд Е хж(к)- В связи с этим возникают понятия: перек=1 У ' становка 7г меняет сумму в пространстве Е и меняет сходимость в пространстве Е (существует сходящийся ряд в пространстве Е, который после перестановки тг сходится к другому элементу или, соответственно, расходится).

Перестановки, меняющие сумму или сходимость, исследуют 11.\¥ь Ыа [26], [27], Р.А.В.РЬгиза^ [23], Р.БсЬаеГег [24], Е.Н.Ло1п^оп[18],[19] и другие авторы. Так, еще в 1955 г. R.P.Agnew [17] получил критерий для перестановок, сохраняющих сходимость числовых рядов, а в 1981 г. Р.БсЬаеГег доказал, что этот критерий справедлив в любом банаховом пространстве ([24]). Таким образом оказалось, что свойство перестановки менять сходимость не зависит от 'пространства. Аналогичная теорема представлена в нашей работе с доказательством, так как была получена независимо и другим способом. К последним развернутым работам, освещающим перестановки, меняющие сумму и сходимость, можно отнести статьи (например, [27], 1995 г., имеет большую библиографию). Однако эти исследования ушли далеко в сторону от рассматриваемой проблемы.

Мы предлагаем пойти дальше в исследовании перестановок в связи с их действием на ряды. А именно, в монографии [3] приведен следующий пример.

Пусть 7Г - такая перестановка, что 7г(1, 5к) = к для четных к, а для нечетных к < ^ выполнено 7г(к) < Пусть а(2,Ьк) — к для четных к и а (к) < если к < ] - нечетные. Тогда из сходимости оо оо числовых рядов £ хк К нулю и £ %х(к) к числу х слсдует, что ряд к=1 к=1 У '

00 ХаОе) также сходится, причем к числу 2х. А= 1 ^ ;

В связи с этим примером естественно появляется определение. Пусть 7Г, о - перестановки, а £ Я. Определим множество перестановок а ; 7г следующим образом: перестановка а принадлежит множеству а ■ 7г тогда и только тогда, когда для любого ряда в любом нормированном пространстве Е из соотношений оо оо

Е хк = о, X! хтг(к) = х, х е Е к=1 ¿=1 оо следует, что ряд £ хацл сходится к ах. Будем писать при этом: а (Е к=1 а • 7г. Данное понятие является ключевым в нашей работе.

Мы рассматриваем два класса перестановок: перестановки вида 7тм (р, д 6 Лг\ {1}, для каждого т Е ТУ

ЪлЬ*171) = ят> тгм : ТУ \ {рт}£=1 -> ТУ \ {9т}£=1

- биекция, сохраняющая порядок) и перестановки вида 7тдв (множества А, В Е ТУ, множества А, В, ТУ \ А, ТУ \ В бесконечны,

71АВ:А^ В, пАВ : N\B

- биекции, сохраняющие порядок).

Очевидно, что перестановки вида - частный случай перестановок вида тга,в- В процитированном выше примере 7г = 7Г3 2, о — 7^2.

Кроме этого, мы рассматриваем некоторые пространства, элементами которых являются ряды из банахова пространства Е. А именно, пространство сходящихся рядов (5с{Е), | • |), где к=1 множеству 5д(£1) принадлежат те последовательности (ж^)^Т] , для которых ряд £ Хк сходится) и к=1 пространство безусловно ограниченных рядов [Sub{E)1 ||| • |||), где

ШЫьаШ = sup{II Е хк\\Е, К С N, К конечно} кек множеству S[jb{E) принадлежат те последовательности, норма |||-||| которых конечна).

Естественные подпространства в пространстве Sub{E): пространство безусловно ограниченных сходящихся рядов оо

Subc(E), III • III) = {(xk)T G SUB(E) : ряд £ .г, сходится}, k=l и пространство безусловно сходящихся рядов оо

SUC(E), III • III) = {{хк)? G SUB{E) : ряд £ xk безусловно сходится}. k=l

Цель данной работы - получение новых результатов о свойствах рядов в бесконечномерных нормированных пространствах посредством изучения понятия умножения перестановки на число и некоторых естественно возникающих вопросов, связанных с пространствами рядов.

Ключевые понятия работы: ряд в нормированном пространстве, тип сходимости ряда (условная,безусловная, абсолютная сходимость), область сумм ряда, перестановка, умножение перестановки на число, пространства рядов. Содержание работы.

В первой главе диссертации выделяется два класса перестановок: перестановки вида 7ГМ и перестановки вида пав- В первом разделе вводятся базовые понятия, относящиеся к сходимости рядов в бесконечномерных пространствах, приводятся некоторые известные результаты и доказываются две теоремы.

Теорема 1.1. Перестановка п меняет сумму (меняет сходимость) в нормированном пространстве Е тогда и только тогда, когда тт меняет сумму (меняет сходимость) в R.

Теорема 1.2. Если p,q G N \ {1}, р ф q, то перестановка ттрл меняет сумму.

Во втором разделе доказываются две теоремы об умножении перестановок вида ттав'- на —1 и на натуральные числа. Из этих теорем легко следует

Теорема 1.5. Пусть А, В - бесконечные подмножества натурального ряда с бесконечными дополнениями, М - целое число. Тогда множество М-ттав не пусто и существует бесконечное множество С с N с бесконечным дополнением такое, что пев £ М • ттав-Следствие 1.2 из теоремы 1.5 гарантирует неограниченность области сумм ряда, если его сумма меняется под действием некоторой перестановки вида ттав- В конце первой главы приводится пример построения перестановки а е -1 ■ пав Для А — {2Ш}^=1, В — {2т}~=1 и предложение, обобщающее результат, полученный в этом примере.

Вторая глава посвящена вопросу умножения перестановок рассматриваемых видов на нецелые числа. Вначале для перестановки 7Гз;2 доказывается посредством леммы 2.1

Теорема 2.1. Перестановка 7Г3 2 не допускает умножения на число

Первый раздел второй главы завершается следствием, утверждающим тоже самое для перестановки 7Г2,з

Второй раздел переносит утверждение теоремы 2.1 на все перестановки вида 7гм. С помощью классического примера Марцинкевича -Корнилова ([9]) доказывается

Теорема 2.4. При любых р^ 6 Ж \ {1}( р ф д) перестановка прл не допускает умножения на нецелые числа.

Теорема 2.4 включает в себя утверждение теоремы 2.1, но ее доказательство проведено не напрямую, а через пространство ^2(0,1). Теорема 2.1 доказана построением ряда, необходимого для подтверждения данного факта (для каждой перестановки о ряд свой).

Третий раздел посвящен следующему понятию. Будем говорить, что из перестановки 7г можно выделить перестановку сг, если найдутся две возрастающие последовательности натуральных чисел (?пг) и (щ) такие, что п(щ) = для каждого г 6 N. Доказываются некоторые свойства, связывающие перестановки 7Г и а - теорема 2.5. Из теоремы 2.5 вытекают два утверждения, объединенные в следствие 2.2:

Следствие 2.2. ([)Пустъ А, В С N - бесконечные множества с бесконечными дополнениями. Если перестановку тт можно выделить из кав> т0 11 допускает умножение на целые числа. (11) Пусть р1с[ £ Р Ф Я- Если из перестановки л можно выделить 7ГМ, то тт не допускает умножения на нецелые числа.

Далее в третьем разделе вводится понятие эквивалентных перестановок (определение 2.3) и рассматривается

Пример 2.1: из перестановки ттсв, гДе оо в = {Зш}~=1, С = и {7п + 1, 7п + 4, 7п + 5} п=о можно выделить перестановку, эквивалентную 7^7.

С помощью понятия регулярная перестановка типа тгав (определение 2.4) пример 2.1 расширяется до теоремы 2.6: если перестановка пав ~ регулярная, то существуют натуральные числа р и д такие, что из перестановки тт^в можно выделить перестановку, эквивалентную тгр^. Завершает третий раздел второй главы следствие 2.З.: если перестановка тт^в регулярна и не эквивалентна тождественной, то она не допускает умножения на нецелые числа.

В третьей главе рассматриваются пространства рядов. Заметим, что пространства Бцв{Е) и Зивс(Е) различны и отличаются от 8ис{Е) в том и только в том случае, если Е содержит с\} (теорема 3.1).

Доказывается, что пространств а Зцв{Е), 8ивс{Е), Зис{Е) являются банаховыми (предложение 3.1).

Доказывается, что безусловно сходящиеся ряды, образуют всюду плотное множество первой категории в пространстве сходящихся рядов (теорема 3.2).

Доказывается, что абсолютно сходящиеся ряды образуют всюду плотное множество первой категории в пространстве безусловно сходящихся рядов, если 'пространство Е бесконечномерно (теорема 3.3).

В случае, когда пространство Е содержит изоморфную копию с о, доказывается недополняемость пространства Бивс{Е) в пространстве 8ив{Е) (теорема ЗА), Бис{Е) в Бив{Е) (теорема 3.5) и пространства вис(Е) в пространстве Зцвс{Е) (теорема 3.6,). Последнее утверждение доказано в случае, если на, пространстве Е существует счетное тотальное семейство функционалов.

Нумерация. Номера определений, а так же теорем, предложений, лемм, следствий и примеров, которые приводятся с доказательствами и пояснениями, состоят из двух чисел. Первое означает номер главы, в которую попадает данное определение, утверждение или пример, второе - порядковый номер этого определения, утверждения данного типа или примера в данной главе. Так, предложение 2.2 - второе предложение во второй главе. Деление главы на разделы при этом не учитывается. Утверждения и примеры, взятые из литературы, не нумеруются. Нумерация формул, на которые имеются ссылки - сквозная в каждой главе.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Геннадию Васильевичу Сибирякову за постановку интересных задач, постоянную поддержку и внимание к работе.

1. Барани И. Перестановки рядов в бесконечномерных пространствах // Математические заметки.-1989.-Т.46, N 6.-С.10-17

2. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория.-М.:Изд-во иностранной литературы, 1962.-895с.

3. Кадец В.М., Кадец М.И. Перестановки рядов в пространствах Банаха.-Тарту: Изд-во Тартуского ун-та, 1988.-195 с.

4. Кадец В.М. Сколько точек может содержать область сумм ряда в банаховом пространстве? // Теория функций, функцион. анализ и их приложения.-1990.-К 54.-С.54-57

5. Кадец М.И. Об условно сходящихся рядах в пространстве Ьр // Успехи математических наук.-1954.-Т.9, N 1.-С.107-110

6. Корнилов П.А. Об условно сходящихся рядах последовательностей и функций // Сибирский математический журнал.-1987.-Т.28, N 3.-С.140-148

7. Корнилов П.А. О линейности множества сумм функционального ряда // Успехи математических наук.-1982.-Т.37, N 2.-С.205-206

8. Корнилов П.А. О множестве сумм условно сходящегося ряда // Математический сборник.-1988.-137, N 1.-С.114-127

9. Корнилов П.А. О перестановках условно сходящихся функциональных рядов // Математический сборник.-1980.-137, N 4.-С.598-616

10. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа.- Новосибирск^, во Института математики,1995.- с.

11. Никишин Е.М. О перестановках рядов в пространстве Ьр // Математические заметки.-1973.-Т. 14, N 1.-С.31-37

12. Никишин Е.М. Перестановки функциональных рядов // Математический сборник.-1971.-85, N 2.-С.272-286

13. Островский М.И. Области сумм условно сходящихся рядов в банаховых пространствах // Теория функций, функцион. анализ и их приложения.- 1986.-Ы 46.-С.77-85

14. Печерский Д.В. О перестановках членов в функциональных рядахДоклады АН CCCP.-1973.-T.209, N 6.-C.1285-1287

15. Троянский С. Об условно сходящихся рядах в некоторых F-пространствах // Теория функций, функцион. анализ и их приложения.-1967.-N 5.- С.102-107

16. Чобанян С.А. Структура множества сумм условно сходящегося ряда в банаховом пространстве // Доклады АН СССР.-1984.-Т.278, N 3.-С.556-559

17. Agnew R.P. Permutations preserving convergense of series // Proc.Amer. Math.Soc.-1955.-N6.-P.563-564

18. Johnston E.H. Rearrangements of divergent series // Rocky Mountain Journal of Math.-Vol.13, N1.-P.143-153

19. Johnston E.H. Rearrangements that preserve rates of divergense // Can.J.Math.-1982.-Vol.XXXIV, N4.-P.916-920

20. Kadec M.I., Wozniakowcki K. On series whose permutations have only two sums // Bull, of the Pol. acad. of sciences math.-1989.-Vol.37, N2.-P.15-21

21. Levi P. Sur les series semi-convergentes // Nouv.Ann. of Math.-1905.-5.-P.506-511

22. Lindenstrauss J.,Tzafriri L. Classical Banach Spaces I.- Berlin:Springer-Verlag,1977.-190p.

23. Pleasants P.A.B. Rearrangement that preserve convergense //J. London Math. Soc.-1977.-Vol.15, N2.-P.134-142

24. Schaefer P. Sum-preserving rearrangements of infinite series // Amer. Math. Monthly.-1981.-N88.-P.33-40

25. SCeinitz E. Bedingt konvergente reihen und konvexe systeme // J. reine und angew. Math.-1913.-Vol.l43.-P.128-175; Vol.144.-P.l-49; 1916.-Vol.l46.-P.68-lll

26. Witula R. The Riemann theorem and divergent permutations // Coll. Math.-1995.-Vol.LXIX.-P. 275-287

27. Witula R. Convergence-Preserving Functions // Nieuw Archief Voor Wiskunde.-1995.-13, N1.-P.31-35Работы автора по теме диссертации

28. Иванова Е.Г. Перестановки рядов в нормированном пространстве// Материалы XXXIV международной научной студенческой конференции "Студент и научно технический прогресс".-Новосибирск, 1996.-С.27

29. Иванова Е.Г., Сибиряков Г.В. О делении перестановок лР1(1 пополам// Всесибирские чтения по математике и механике: Избранные доклады международной конференции.- Томск,1997.-Т. 1, С.122-128

30. Иванова Е.Г. Перестановки рядов, меняющие сумму или сходимость// Всесибирские чтения по математике и механике: Тез. докл. международной конференции.-Томск,1997.-Т. 1, С.94

31. Иванова Е.Г. Пространства сходящихся векторных рядов// Материалы XXXV международной научной студенческой конференции "Студент и научно технический прогресс".-Новосибирск, 1997.-С.39

32. Иванова Е.Г. Дополняемость в пространствах рядов// Исследования по математическому анализу и алгебре.-Томск,1998.- С.97-102

33. Иванова Е.Г. Пространства векторных рядов// III сибирский конгресс по индустриальной и прикладной математике: Тез. докл. Ч. I.- Новосибирск, 1998.-С.71

34. Лазарева Е.Г. Умножение перестановок 7гР;д на нецелые числа невозможно// IV сибирский конгресс по индустриальной и прикладной математике:Тез. докл. Ч. I,- Новосибирск,2000.-С.127