Ортогональные ряды в симметричных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава I. Последовательности характеристических функций в симметричных пространствах

Глава II.Подпоследовательности системы Хаара в L^

§ I.Дополняемость подпространств L L , порожденных подпоследовательностями системы Хаара

§ 2.Критерий эквивалентности подпоследовательности системы Хаара стандартному базису

Глава III.Оценки коэффициентов ряда Фурье по системе

Хаара.

§ I.Связь оценок коэффициентов Фурье-Хаара с геометрическими свойствами симметричных пространств

§ 2.Внутренние р -оценки сверху и снизу.

§ З.Ряды Фурье-Хаара с монотонными коэффициентами

Глава 1У.Последовательности независимых случайных величин

§ 1.0дно экстремальное свойство функций Радемахера

§ 2.Устойчивые случайные величины и выпуклость банаховых функциональных пространств

Теория ортогональных рядов, являющаяся частью теории функций,, находит в настоящее время широкое применение в самых разнообразных областях математики. При этом наряду с разработкой общей теории ортогональных рядов продолжается изучение конкретных ортогональных систем.

Симметричные функциональные пространства, появившиеся в работах по теории интерполяции линейных операторов и гармоническому анализу, представляют собой достаточно широкий класс пространств, который охватывает, в частности, классические пространства L р .

На стыке этих двух областей математики возникает много нерешенных проблем. Так, известные для пространств L р теоремы порождают вопросы о справедливости аналогичных фактов в том или ином классе симметричных пространств. С другой стороны, решение некоторых задач в шкале пространств L ^ приводит к появлению неклассических симметричных пространств.

Предварительные сведения

Симметричным пространством /см. Г?] , [26] / называется банахово пространство Е измеримых функций на [о,±] или на полуоси (о } оо) , удовлетворяющее двум условиям:

I/ из|х(±)Иа<*)|, следует, что 0Се£

2/ если функция X равноизмерима с £ £ , то ЭС € Ё И ||ЭС||=||Ч|| .

Невозрастающая перестановка X модуля функции X определяется равенством х*(-Ь) = wuf {а » о : у" ({г: \ои(х)\ >0}) s t J .

Здесь и всюду в дальнейшем ju. - мера Лебега, Существенную информацию о свойствах симметричного пространства £ несет в себе функция Т HIG^II^^ , где £ ^ - оператор растяжения, определяемый для каждого Т>0 формулой foe (t"4) , О ШЛ( i.v) oc)(i) - <

I 0 , mm(i7z)<.i: ^ I для случая = E([o,i])% формулой etoa)(i) = ос(г'Ч) для E = E(o,") . Напомним, что числа

А .* t>d IT и называются, соответственно, верхним и нижним индексами Бонда симметричного пространства Ё . Фундаментальной функцией симметричного пространства Ё на C^j-O или (о, оо) называют функцию где или(0,0°) соответственно,

- характеристическая функция множества в<с(0,ро). Равенство определяет функция растяжения функции (~Ь ) . Поведение характеризуют два числа: v <<uhhJh¥i , л ■

X(n —«--z— - нижний показатель растяжения CP ;

ЬкЪЛй) —^ --- верхний показатель растяжения Uf ;

Функция ^^ ("t) является квазивогнутой, поэтому O^^SySl • Через £ij>f)X мы обозначаем носитель функции X(-fc) , т»е. uj>[> X ={i : x(i)*o]

Функции Хаара определяются следующим образом у 0 = A w ^ —ср г ' г / vz^'z*/ где 5

Замыкание линейной оболочки последовательности [d 1)1^4 обозначается £ oil] .

Запись означает, что существует константа такая, что

Пусть 1 ^ . Говорят, что банахово функциональное пространствоX -выпукло /соответственно, CJ- -вогнуто/, если существует константа «>) такая, что для любого К и для любого набора {0CjJ векторов из X выполнено неравенство igiocjyi *c(ri*jj;)p

1=1 -Л соответственно (f II )* ^ С |l(t I* J *)МХ Л

Если эти неравенства выполнены лишь для наборов из попарно дизъюнктных элементов, то говорят, что X допускает верхнюю J) -оценку / соответственно, нижнюю ^-оценку/ [2б] .

Основные результаты

Первая глава диссертации посвящена исследованию последовательности характеристических функций в симметричных пространствах, Непосредственно из определения вытекает следующее свойство пространств Ц , 1^|э<оо : если - последовательность дизъюнктных измеримых подмножеств отрезка Lo, ±2 , то

II 3411ц . для произвольной последовательности чисел f^fej^ • Если в качестве брать произвольную последовательность подмножеств , то Iс.^ ЗЕе^ |Jl не определяется, вообще говоря, последовательностями fCjJj^ и (ju » а зависит от расположения подмножеств Cek}k°-i •

В связи с этим возникает вопрос: какому условию должна удовлетворять последовательность [j^C^)}^! ' чтобы норма ряда C-ji в симметричном пространстве Е? являлась с точностью до эквивалентности функцией только от ^ и { J1*- ^ Здесь доказывается следующая теорема.

Теорема I.I. Цусть Е - симметричное пространство на[о, l], удовлетворяющее двум условиям: а/ .&5- Н =0 г«о ^''Е-е б/ SVg < 1 . цусть ,о<а. <at, fe = i,— дш эквивалентности

DO 00 lkEc^eJIE - HI с, *(в|вк)|в при любых б^С [од] , и произвольных С^ О необходимо и достаточно выполнения условия

- /ол/

II 00

Ясно, что в формулировке теоремы II У7 ЭР, II можно k°Wfe)»e заменить g Ct ^J^- ^ = 21 •

Из теоремы IЛ получены следствия дня пространств Орлича L ~ , Лоренца Л* и Марцинкевича И . Для пространств /соответственно /» удовлетворяющих условия

О < ^ С 4 » из теоремы I.I следует, в частности, что последовательность ортонормированных функций

I /соответственно . (^k). ] /, f(<4)Jbi I J^ где f^kJktj ~ дизъюнктные подмножества [0,1J » r эквивалентна в / jM^ / стандартному базису / / тогда и только тогда, когда выполнено /0.1/

Вторая глава диссертации посвящена исследованию подпоследовательностей системы Хаара /с.Х./ в Li * Известен следующий результат Ж.Гамлена и П.Гадета [21 J : для j3€(l,<x>) замыкание линейной оболочки любой подпоследовательности с.Х. в L^ изоморфно либо £ р , либо L £ . Ситуация при jb = 1 сложнее* Это связано с тем, что не всякая подпоследовательность с.Х, порождает в L^ дополняемое подпространство. Введем следующее определение.

Определение 2,1.1. Подпоследовательность с.Х. fcl^]**^ будем называть подпоследовательностью без разветвлений при условии, что для любого JTL множества

-t: Л( U suftclj И либо пусты, либо совпадают соотвественно с suj^olg и sujjjod^ для некоторых > И. и к >И. .

Теорема 2.1. Подпоследовательность с.Х. без разветвлений порождает в LA дополняемое подпространство.

В качестве следствия получаем, что подпространство L^ , порожденное подпоследовательностью с.Х. без разветвлений, изоморфно либо 11 , либо L* ^ .

Отметим, что подпоследовательность с.Х. может порождать подпространство, изоморфное ,. не будучи эквивалентной стандартному базису И ^ / [ 191 /. Второй параграф второй главы посвящен нахождению необходимого и достаточного условия на подпоследовательность с.Х., при котором она эквивалентна стандартному базису t ± .

Определение 2.2.1. Цусть Га,)00, - подпоследовательность

L П- J П. — ± с.Х. Последовательность С AjJuo подмножеств ["о,4J будем называть цепочкой для [ctj^, если Ai^Ai и существуют последовательность знаков f^-jj/w и последовательность дизъюнктных подмножеств множества натуральных чисел [Д^ такие, что для любых М?пг €/Vl £и|э|э dKf\Zufyd^ft при H^Wi и

Al = ["fc:

Теорема 2.2.1. Дусть {d-^}™^ - подпоследовательность с.Х. Следующие утверждения равносильны: nfeX

I/ последовательность] ^ik^i „ эквивалентна стандартно

0 l^'I^IL му базису ь ± ; 4

2/ fctnj^является безусловно базисной в L^ ; 3/ существуют натуральное k и число Ce[o,i) такие, что произвольная цепочка [Ai]iso ^ удовлетворяет условию (Ak)

В качестве следствия получаем, что если ' ii^nliLi) подпоследовательность с.Х./ эквивалентна стандартному базису , то По/ k3iГ-1 Дополняемо в . Этот результат является частичным ответом на один из вопросов Л.Дора /см. His] , (jtol&m. S. В , с. 173/

В третьей главе диссертации доказываются оценки сверху и снизу коэффициентов Фурье по с.Х. Порядок коэффициентов Фурье-Хаара различных классов функций изучался П.Л.Ульяновым £10] , С.В.Бочкаревым , Б.И.Голубовым и другими авторами / см. обзор [б] /.

В первом параграфе третьей главы исследуется связь оценок коэффициентов Фурье-Хаара с геометрическими свойствами симметричных пространств.

Теорема 3.I.I, Дусть £ - сепарабельное симметричное пространство, удовлетворяющее условию 0 < 1 , Оценка

М vlt г1=0 Ц=1 Ь n.= C»R=4 U /0.2/ с константой JM , не зависящей от , имеет место тогда и только тогда, когда пространство Ё 2-вогнуто.

Заметим, что 2-вогнутость симметричного пространства влечет неравенство оС^— / £262 » с. 132/. Обратное не имеет место. Из /0.2/ можно получить оценки коэффициентов Фтрье-Хаара

А • функций из пространств, удовлетворяющих условию оСс • Для ti (L этого рассмотрим оператор где ^ = Х>0 1 г1~К и множества f €. д ] дизъюнктны.

Теорема 3.1.2. Цусть ££ - симметричное пространство, удовлетворяющее условию o^g < < i . Оператор ограничен Б Ё и II Tg llg^g зависит только от

Е *

Теорема 3.1.3. Цусть Ё удовлетворяет условиям теоремы

3.1.1, 1 . Оценка оо ^ , м f , ь А с константой HL г не зависящей от {Ch.k} г имеет место тогда и только тогда, когда пространство EJ удовлетворяет вержей р -оценке.

Из теорем 3.1.1-3 получаем для пространств Lj, следствие» Следствие ЗЛ.1. Цусть ,£. >0 . Существует такая константа J^l(f»,£)>0 » что

2 f ic^i^-^ Л z £ i • • /о. з/ i IvpiW Vok»i 41 ' bf) V=obi '

Левая часть неравенства /0.3/ является аналогом известной теоремы Пэли о коэффициентах Фурье по ограниченным ортонормиро-ванным системам / [ 7J , с. 233/. Отметим, что неравенство /0.3/ перестает быть справедливым при £ ==■ О .

Во втором параграфе третьей главы исследуется вопрос о том, в каких симметричных пространствах Е = ЕГ(О, выполняется неравенство где f^kl - последовательность дизъюнктных подмножеств на прямой, JU. . Здесь оказывается полезным следующее понятие.

Определение 3.2.1. Будем говорить, что банахово функциональное пространство X допускает внутреннюю -оценку сверху /соответственно снизу/, 1 f если существует константа К- такая, что для произвольного набора дизъюнктных функций

С "fl]l=i и ПР0ИЗВ0ЛЬНЫХ С §1 ](>4 » §*выполняется неравенство ^ соответственно Kg | < К || £ | Jx /

Если симметричное пространство Ё имеет нетривиальные индексы Бонда, то система Хаара является безусловным базисом в , т.е. оа 2Р" I со 2. ^ 1 п ^ iSS.^^I.-Kl^XifFle:.

Из этого следует, что неравенство /0.4/ имеет место тогда и только тогда, когда £ допускает внутреннюю 2-оценку сверху. Важность неравенства /0.4/ объясняется тем, что во многих симметричных пространствах нахождение || ^нк || ^ значительно проще для дизъюнктных £ •

Для пространств Лоренца, Марцинкевича и Орлича найдены точные условия справедливости внутренних Ъ -оценок.

A A , 1

Теорема 3.2.1. Пусть = ± . Следующие утверждения

Р ^ эквивалентны;

I/ пространство Лоренца Л ^ допускает внутреннюю -оценку снизу;

2/ пространство Марцинкевича допускает внутреннюю с^ -оценку сверху;

3/ существует константа К такая, что доке произвольного набора чисел "t"Ь^ i нюю

Теорема 3.2.2. Пространство Орлича допускает внутрен

-оценку снизу тогда и только тогда,, когда существует U0>1 такое, что для любых U)ir>u0 N(Uir) |{ u^Mir).

Введенные понятия внутренних -оценок сверху и снизу связаны с понятиями верхних и нижних J> -оценок, Jb -вогнутостью и J) -выпуклостью.

Последний третий параграф третьей главы посвящен изучению рядов Фурье-Хаара с монотонными коэффициентами. П.Л.Ульянов доказал, что на множестве рядов Фурье-Хаара с монотонными коэффициентами нормы пространств "Li j, , 1 ^ J5 < 00 , эквивалентны / [ю] /. Этот результат усиливается в двух направлениях: находится точная граница в классе симметричных пространств, для которых имеет место такая эквивалентность, и монотонность коэффициентов заменяется более слабым условием.

Обозначим через & замыкание пространства существенно ограниченных функций "L^ по норме 9 i /x(-fc)i

IxL = i4{bo: Ke^Lljd-t^l] О

Это пространство обладает некоторыми экстремальными свойствами в классе симметричных пространств / [28] /.

Рассмотрим множество последовательностей {с^]^ , удовлетворяющих следующему условию: существует такое Д > О , что игах IС I I иг1п |с ч I /п\/ l^m^z*1'1 1 (и.-:1)>п I . /о.ь/

Теорема 3.3.1. Цусть El - симметричное пространство. Для того чтобы норма ряда

-О zК i была эквивалентна ^ на множестве последовательностей, удовлетворяющих условию /0.5/, необходимо и достаточно, чтобы Ё ^ &• .

В заключительной четвертой главе диссертации изучаются последовательности независимых случайных величин. Первый параграф посвящен доказательству одного экстремального свойства функций Радемахера в классе последовательностей независимых симметрично распределенных случайных величин.

Теорема 4,1. Пусть £ ^kJj^f" последовательность независимых симметрично распределенных случайных величин на Qo, 4] , | = )| о || =CL>0 . Тогда для любых ft. и -Ье[рД]

1 У LaJ!

J (| скЧ (V fix * -f /f| ck h (Z)fJ r где f ~ последовательность функций Радемахера, т.е. гк(4г) = s'Ul zk(v~b

Во втором параграфе третьей главы изучается последовательность независимых случайных величин f -?•;,} 1 = 4 » распределенных по одному и тому же закону на некотором вероятностном пространстве (Л, 21,v) :

V({ur€jl ; |{L(ur)|>M) для любых ^>1 \ 1<}<оо . Известно, что для любого Ъ. >|з существует константа К — К(]эд)< 00 такая, что для любой конечной последовательности чисел {" (X i} ± имеют место неравенства: L 27 Ц /, Неравенство /0.6/ является центральным в доказательстве того, что верхняя -оценка влечет |> -выпуклость банаховой решетки X при |> < t . Неравенство /0.6/ может быть усилено.

Теорема 4.2.1. Пусть £ "f;,]i.=d. ~ определенная выше последовательность независимых случайных величин. Тогда для любой конечной последовательности £ CL L 3 d p-i i-i

Здесь {( аг&М)*^ - перестановка в порядке убывания »вду-лей последовательности { (XL -f • Константа является точной. Сформулируем геометрическое следствие из теоремы 4»2.1.

Следствие 4.2.1. Если для любого ОС бХ и для любого разбиения £o}iJ на дизъюнктные подмножества k * Ilx||y < к к р (||х-эгек||х) то банахово функциональное пространствоX jb -выпукло.

1. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961» -932 с.

2. Бухвалов А.В., Векслер А.И., Лозановский Г.Я. Банаховы решетки некоторые банаховы аспекты теории. - Успехи матем. наук, 1979, т. 34, № 2, с. 137-183.

3. Голубов Б.И. Ряды по системе Хаара. В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ. Т.9. М.: ВИНИТИ, 1971,с. 109-146.

4. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958. 271 с.

5. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. 400 с.

6. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962. 719 с.

7. Новиков С.Я. Котип и тип функциональных пространств Лоренца. Математические заметки, 1982, т.32, В 2, с. 213-221.

8. Ульянов П.Л. О рядах по системе Хаара с монотонными коэффициентами. Известия АН СССР, серия матем., 1964, т. 28, J5 4, с. 925-980.

9. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: МИР, 1967, т.1. 498 с.

10. Новиков И.Я. Последовательности характеристических функции в симметричных пространствах. Сибирский матем. журнал, 1983, т. 24, В 2, с.193-196.

11. Новиков И.Я. О подпоследовательностях системы Хаара в .- Успехи матем.наук, 1984, т. 39, № I, с. I2I-I22.

12. Новиков И.Я, Некоторые результаты о системе Хаара в L^ •- В кн.: Всесоюзная школа по теории функций, посвященная 100-летию со дня рождения академика Н.Н.Лузина. Тез.докл., Кемерово, 1983, с. 76.

13. EJio P., SWiiT Sufefxtc^ of Lx cordainuuf Lt.

14. Scmveen 1, Gctudet R. On ^иЬарда^ o{ the Наал^-tem la LfLo.ilM<t><»). Artorf a. tttaiA.dm.v-iS.pW-^13- j j л

15. Ък^т W.B.,mau^B.,5ch£cW^n<mfe-,Tzc^miL. ^^яшЬил glrwu£uM$ in BanaxJiроШ. МвтэШ Jfrm.Mcdh. $oc.t ±949,N*Zi4. 298(э.

16. Roolin V.A., SmyoYiQp E. M. Raclemaclm In Summeitlc Sbaess. Ah-cJlySU IfYlcdk., ±9¥5, ,