Планирование активного регрессионного эксперимента с откликом, зависящим от времени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи УДК 519,24

БЕЛЕЦКИЙ Владимир Евгеньевич

ПЛАНИРОВАНИЕ АКТИВНОГО РЕГРЕССИОННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА С ОТКЛИКОМ.ЗАВИСЯПШ ОТ ВРЕМЕНИ

(01.01.09 - математическая кибернетика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1991

Работа выполнена в Институте аналитического приборостроения АН СССР.

Научные руководители: доктор физико-математических наук

профессор С.М.Ермаков кандидат физико-математических наук Е.В.Седунов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Н.В.Хованов

кандидат фи{Йк&А1атематических наук В.Л.Саванов

Ведущая организация: Московский Государственный университет им. М.В.Ломоносова

Защита состоится " 5~ " .МА^Ьи^!_199&г

власов на ««Х--« сове,а

К 063.67.49 по присуждению ученой степени кандидата физико-

математических наук в Санкт-Петербургском Государственном университете, математико-мехаЯический Факультет ( Петродво-рец. Библиотечная пл., д.2)

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке СПбГУ. Автореферат разослан "31 •• 1992,г.

Ученый секретарь Специализированного совета,кандидат физико-математических наук, доцент

А.И.Шепелявый

СБЩ1Я ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение регрессионных эксперямен-ов, отклик которых зависит от времени, имело существенные »следствия для развития математической теории планирования ксперимекта. Проблематика, связанная с оптимизацией экспе-иментов по изучению случайных процессов, математическое »жидяние которых зависит от управляемых параметров и време-и, остается актуальной и в настоящее, время. При этом задачи юследования неповторяемых экспериментов, в ходе которых габлюдения проводятся непрерывно, представляют самостоя-'ельный интерес.Важную роль в современных исследованиях иг-)ают, в частности, связи между методами классической теории шанирования эксперимента и методами функционального анализа. Направление, к которому относится диссертация, представ-юно многими современными исследоевагаями ( В.П.Козлов, ¡¡.В.Седунов, Н.Г.Сидоренко, Ч.Чэнг, К.Спруйл, К.Стадден).. -

Цель работы.I.Дать достаточные условия существования зешения задачи планирования эксперимента для измерительных тереюшчающих схем в случае коррелированных наблюдений.

2.Установить необходимые условия о- и а- оптимальности хланов эксперимента для измерительных переключающих схем в глучае коррелированных наблюдений.

3.Дать достаточные условия о- и а- оптимальности планов эксперимента для измерительных переключающих схем в случае коррелированных наблюдений.

4.Доказать разрешимость задачи планирования эксперимента для измерительных переключающих схем в случае некоррелированных наблюдений.

5.Дать необходимые и достаточные условия о- и а- оптимальности планов эксперимента для измерительных переключавших схем в случае некоррелированных наблюдений.

6.Поставить и доказать разрешимость задачи планирования эксперимента для неповторяемых экспериментов с управляемым параметром, в ходе которых наблюдения проводятся непрерывно а коррелироваш.

7.Описать множество невырожденных планов для экспериментов с управляемым параметром при некоторых дополнительных условиях на функции линейной регрессии.

8.Установить необходимые условия о- и а- оптимальности планов для экспериментов с управляемым параметром при коррелированных наблдаениях,

9.Дать необходимые и достаточные условия о- и а- оптимальности планов для экспериментов с управляемым параметром при некоррелированных наблюдениях.

10,Описать алгоритмы поиска о- и а- оптимальных планов эксперимента для измерительных переключающих схем, а также для экспериментов с управляемым параметром в случае коррелированных наблюдений.

II.Описать алгоритмы построения о- и а- оптимальных планов эксперимента для измерительных переключающих схем в случае некоррелированных наблюдений.

Методика исследования. В работе использованы метода теория операторов в гильбертовом пространстве, функционального анализа для банаховых и гильбертовых пространств в сочетании с техникой корреляционных операторов случайных элементов гильбертова пространства квадратично суммируемых функций.

Научная новизна и теоретическая ценность. Все результаты. полученные в работе, являются новыми. Рассматриваемые задачи шинирования и анализа эксперимента по изучению случайных процессов выходят за рамки классической теории планирования , а также Предлагавшихся ранее подходов по ее развитию. Предлагаемый в диссертаций подход позволяет рассматривать задачи, в которых результатом измерения является функция, заданная на интервале измерения т, получаемая в ходе непрерывного изменения экспериментатором на этом интервале управляемого параметра х: х=хсо Лакая схема измерений является типичной для широкого класса задач управления экспериментом. Рассмотрение задач планирования эксперимента (т.е. выбора управляемых параметров *с1э с целью оптимального определения параметров функции регрессии ) в подобных задачах является новым.

-g-

Разработаняый в диссертации подход позволяет также учитывать коррелированность во времени наблюдений неизвестной Функции т)Со. при этом новой является идея поиска локального минимума а- и d-функционалов на множестве информационных матриц Фишера, нелинейным образом зависящих от плана экспе- • римента (в ранее предлагавшихся подходах информационная матрица линейного регрессионного эксперимента зависела от плана линейно и а- и d- функционалы достигали на множестве информационных матриц единственного минимума)»...

На основе предложенного подхода в работе комплексно рассмотрены задачи планирования и анализа эксперимента. При этом указаны аналитические решения основных задач разработанной теории, а также предложены численные методы решения рассматриваемых в диссертации задач.

-- Для изложения разработанной в диссертации теории используется язык теории операторов в гильбертовом пространстве, а также язык функционального анализа для банаховых и гильбертовых пространств. Такой язык изложения для теории планирования является во многом новым и в контексте рассматриваемых в диссертации задач представляется наиболее удобным.

Практическая ценность работы. На основе разработанной в диссертации теории были составлены программы, позволявшие планировать и анализировать эксперименты изотопного масс-спектрометрического анализа, проводимых с цель» определения изотопного состава вещества. Указанные программы вошля в Госфонд алгоритмов и программ.

Предложенный в диссертации метод планирования и анализа эксперимента позволяет существенно увеличить вероятность правильного определения изотопного состава вещества по данным изотопного масс-спектрометряческого анализа.

Апдробация работы.Основные результаты диссертации док- . ладавались на III Всесоюзной конференции " Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов " ( Гродно,1988г. ), на Всесоюз-зой конференции " Актуальные проблемы вычислительной и прик-

ладаоЯ математики •■ ( Новосибирск, 1990 г. ). а также на республиканской конференции ■■ Математические методы планирования эксперимента в лабораторных и промышленных исследованиях " ( Киев, 1989 г. ) и на республиканской конференции "Математическое и программное обеспечение анализа данных ( Минск .1990 р. ).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 7 работ Из —17з.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения.Список литературы содержат 71 название,

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Общее описание.Основным объектом, исследуемым в диссер тация, являются неповторяемые эксперименты, в ходе которых неврерывно наблюдается случайный процесс, математическое ожидание которого зависит от управляемого параметра.

Глава I диссертации посвящена планированию эксперимент для измерительных переключениях схем. В случае коррелирован них наблюдений информационная матрица Фишера нелинейным образом зависит от плана эксперимента и вследствш этого реша ются следующие основные задачи: I) получения достаточных ус ловий для разрешимости задачи планирования: 2) получения не обходимых условий d— и а- оптимальности планов эксперимента 3)нолучения достаточных условий о- и а- оптимальности плане эксперимента. В случае некоррелированных наблюдений информг цнонная матрица Фишера зависит от плана эксперимента лине! ным образом и поэтому возможны постановка и решение следукн пшх основных задач: I) доказательства разрешимости задачи планирования эксперимента 2) полупенил необходимых и достг точных условий с- и а- оптимальности планов эксперимента.

Глава 2 диссертации посвящена планированию эксперимент с управляемым параметром при отклике, зависящим от времени при этом, как и везде в диссертации, полагается, что наблюдения проводятся непрерывно ). Рассматриваемая в этой глав<

хема эксперимента является обобщением схемы, приведенной в 'лаве I. Кроме того,как показано в главе 3,рассматриваемые в ■лаве 2 задачи возникают при оптимизации некоторых физичес-:их экспериментов, схема которых отлична от приведенной в 'лаве I. Построена математическая модель такого рода экспе-шентов и для коррелированных наблюдений ( информационная |атрица Фишера нелинейным образом зависит от плана экспери-1ента ) решаются следующие основные задачи: I) доказательст-1а разрешимости задачи планирования;. 2) описания множества [евырожденных планов при условиях линейной независимости или югулярности функций линейной регрессии; 3) получения необ-годимых условий о- и а- оптимальности аланов для экспериментов с управляемым параметром. В случае некоррелированных иблвдешШ ( информационная матрица Фишера линейным образом >ависит от плана эксперимента ) решается задача получения геобходамых и достаточных условий о- и а- оптимальности пла-юв.

Перейдем к более подробному обзору результатов. Нумера-щя утверждений.далее совпадает с принятой в диссертации.

ГЛАВА I.Планирование эксперимента для измерительных переключающих схем.

В §1.1 главы I приведены условия,накладываемые на корреляционный оператор пх ¿о, ассоциированный с ошибкой наблюдения с, которые необходимы для существования наилучших (шлейных несмещенных оценок е неизвестных линейно входящих мраметров регрессии в , указано необходимое для существования таких оценок условие связи между детерминированной составляющей наблюдений и корреляционным оператором, а также выведен вид этих оценок в.

В §1.2 главы 1 приведена рассматриваемая в этой главе схема эксперимента:

1

СП

где - xict) -функция переключения": принимает значение либо о .либо i в произвольной точке t (что соответствует-либо регистрации,либо не регистрации сигнала y¡co в момент времени t),причем значения этих функций согласованы следующим образом: xictjxJctj=o для всех i<i,j<i , i^j; 1-число наблюдаемых в измерительной переключающей схеме сигналов, mv-число неизвестных параметров математического ожидания i-го сигнала; <?ik, isksm , - неизвестные параметры математического ожидания i-го сигнала, fikco, isksm^ - функции регрессии математического ожидания i-го сигнала, m-общее число неизвестных параметров. Определен план эксперимента <, соответствующего твкой схеме: e=xco=cx1ct3.....^соэ1, приведены

условия согласования плана к и корреляционного оператора dcc?, принятые в главе Г, а также сформулированы экстремальные задачи, решаемые на множестве планов, как поиск минимум; на множестве планов стандартных о- и а- функционалов от ковариационной матрицы dcéb наилучших линейных несмещенных оценок.

В §1.3 главы I выведен явный вид информационной матриц мс?э рассматриваемого эксперимента в стандартном базисе,а также сформулированы достаточные для существования решения соответствующих экстремальных задач ( т.е. о- и а- оптималь ности планов ) условия ( теорема I }.

В §1.4 главы I рассмотрены слабые производные минимизи руемых функционалов на слабом замыкании множества планов eis, введено понятие локально а- и d-оптимэльного плана : Определение. План ?* будем называть локально а- ( о- ) оптимальным, если ?* является локальным минимумом а- ( о- ) функционала на eis.

Необходимые условия локальной а- и d-оптимальности имеют форму классической теоремы эквивалентности: . ,

Теорема 2.Дяя того.чтобы точка ь* из cíe Шла локальным минимумам d-функционала необходимо.чтобы выполнялось одно из

следующих двух эквивалентных условий: ff + I. Г max d .Ct.h Odt=m

jiSJSl J

1г>Г Г тах с^СЪ.Мс».

хе с^сс.ы положительный срез некоторой функции е^съ.ю, 1-1Сло наблюдаемых в измерительной переключающей схеме сигна->в, га-чис.ло неизвестных параметров. Необходимые условия лояльной а- оптимальности планов имеют аналогичный вид ( тео-ма 3).

В §1.5 главы I сформулированы пары эквивалентных усло-й, достаточных для того ,чтобы план был решением соответ-гвущей экстремальной задачи.т.е. был глобально о- ( теоре-) 4 ) или а- ( теорема 5 ) оптимальным и доказана их спра-даивость.

В §1.6 главы I приведен пример построения аналитически-I методами и-оптимального плана для вырожденного случайного зоцесса ( т.е. случайного процесса с корреляционной функ-1ей вида: ксз.ю^зэус« ) с аддитивной добавкой белого та , а также приведен такой локально р-оптимальный план >блюдения вырожденного процесса с аддитивной добавкой бело» шума, что на интервале ю,^:, где <-Е-время эксперимента, :ть непустые интервалы ненвблюдения этого процесса.

В §1.7 главы I рассматриваются некоррелированные наблю-!ния в приведенной в §1.2 схеме эксперимента. Доказывается [раведливость приведенных необходимых и достаточных условий ■ ( теорема 6 ) и а- (теорема 7 ) оптимальности планов , >статочность условий достижимости минимума функционалами I множестве планов (теорема 8 ), а также приведен пример строения о-оптимального плана аналитическими методами.

'лава 2.Планирование эксперимента с управляемым параметром при отклике, зависящим от времени.

В §2,1 главы 2 вводится рассматриваемая в этой главе :ема эксперимента: усо^д^съ.х.вэесс^.и+ессэ , где л -юстраяство управляемых параметров, »<ь,х,е:>=етгс1.,лэ с в -ктор неизвестных параметров размерности ш, гсс,\э-ктор-функция известного вида ) - линейная по параметрам в

функция, - план эксперимента, являющийся борелевско!

мерой по х при каждом фиксированном t из интервала т. Показано, что такая схема эксперимента является обобщением схемы, приведенной в главе I. В §2Л-§2,4 главы 2 рассматриваются коррелированные наблюдения, а в §2.5 - некоррелированные,

В §2,2 главы 2 приведены простейшие условия невырозден ности информационной матрицы плана мс?>: Предложение 1.Еелн существует параметр хо из л такой, что

с-линейно независимая система функций,то мно-ке ство невырожденных плазов ео открыто и если к тому же ^сс.а.о:>_х регулярная система функций на т.то го и плоти в г -множестве веек планов.

Доказана их справедливость, выведен вид наилучших линейных несмещенных оценок и аналогично тому,как это было сделано I §1.2 главы I, сформулированы соответствующие экстремальные задачи ( т.е. с- и а- критерии оптимальности планов }

В §2,3 главы 2 выведен явный вид информационной матрш рассматриваемого эксперимента в стандартном базисе, устано! лена компактность множества информационных матриц,а также сформулирована и доказана : Теорема 9, о- и а- оптимальные планы существуют.

В §2.4 главы 2 введено понятие локально о- и а- оптимальных планов как минимумов соответствущих функционалов. Теорема 10 о необходимых условиях локальной о-оптимальност и теорема II о необходимых условиях локальной А-оптимально ти планов представлены здесь в форме классической теоремы эквивалентности.

В §2.5 главы 2 рассматриваются некоррелированные набл дения в приведенной в §2.1 схеме эксперимента. Выводится в информациойой матрица некоррелированных наблюдений, сформу лированы и доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях о- ( теорема 12 ) и а- (теорема 13 )опгимальноств аланов, а также приведены примеры построения о-оатшально1 плана аналитическими методами.

Глава 3.Численные метода построения оптимальных тацощ.

Глава 3 посвящена чяслещщ методам,разрцчщ на осдоре »лученных в главах I и 2 теоретических результатов,а такте ¡пользовании этих методов для оптимизации некоторых физи-¡ских экспериментов.

В §3.1 главы 3 приведены алгоритмы поиска локально а-о-оптимадьшга планов при коррелированных наблюденияхк ос->ванные на результатах, сформулированных в §1.4 главы I. шсаяы свойства итерационных процедур ».соответствующих этим 1Горитмам.

В #3.2 главы 3 приведеда алгоритмы построения а- и d-ггимальных планов при некоррелированных наблюдениях, осно-анные на результатах, сформулированных в §1.7 главы I. Опи-ти свойства итерационных процедур, соответствующих этим ягоритмам, приведено описание ш блок-схемы программ, осно-энных на этих процедурах.

В §3.3 главы 3 приведены алгоритмы поиска локально а- и -оптимальных планов при коррелировала« наблюдениях, осно-энные на результатах, сформулированных в §2.4 главы 2. тесаны свойства итерационных процедур, соответствующих этим гсгоритмам.

В §3.4 главы 3 приведены алгоритма построения а- я р-[ггимальных аланов при некоррелированных наблюдениях, осно-анные на результатах, сформулированных в §2.5 главы 2. писаны свойства итерационных процедур, соответствующих этим лгоритмам.

В ь 3.5 главы 3 рассмотрены вопросы применения получен-ых теоретических и численных результатов с целью оптимиза-ии эксперимента в масс-спектрометрическом изотопном анализе

электронной Оже-спектроскопии. Приводятся численные ре-ультатн по оптимизации мэсс-спектрометрического экспери-ента.

В приложении содержится тексты программ,основанных на лгоритмах,описанных в §3.2 главы 3,

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

tli. Белецкий В.Е.Планирование эксперимента при наблюдении случайных процессов типа "белого шума" в переключающих сх мах.-В кн.¡Тезисы республиканской научно-практической кон ренции "Математические метода планирования эксперимента в лабораторных и промышленных исследованиях". Киев:Изд-во К 1989 г.,с.11-12.

12). Белецкий В.Е.Планирование динамического эксперимента коррелированными наблюдениями.-В кн.: Тезисы докл. Всесою ' конф. "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной ма магики". Новосибирск: Наука,1990 г.,с.16-17. гЗкБелецкий В.Е.Планирование динамического эксперимента коррелированными наблюдениями.-Рук.деп.ВИНИТИ w 2764-В 90 t4i. Белецкий В.Е.,Козлов В.П. .Седунов Е.В.,Яхно В.В.Постр ние d-оптималышх режимов наблюдений случайных процессов па белого шума в многоканальных системах с переключениями Алгоритмы и программы, 1990, №3, с.7, № Гос. per. Б0890000760.

t 5j . Белецкий В.Е.Планирование активного эксперимента с от ликом,зависящим от времени.-В кн.:Тезисы докл. Республика ской научной конференции "Математическое и программное об печение анализа данных". Минск 1990. с6ь Козлов В.П..Седунов Е.В.Яхно В.В..Белецкий В.Е. "План ■ рование .динамических экспериментов в измерительных перекл чащих схемах". Рук,, деп. в ВИНИТИ 18.06.86 № 4500 В86 . с7г.Козлов В.П..Седунов Е.В..Белецкий В.Е.,Яхно В.В. Опти зация динамических экспериментов в измерительных переключ цкх схемах. - Завод.лаб., t.55,n 7, 1989г., с.94-99.