Пластическое течение и упруго-пластическое деформирование сыпучей среды

Кондратьев, Дмитрий Сергеевич

Пластическое течение и упруго-пластическое деформирование сыпучей среды тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Кондратьев, Дмитрий Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Пластическое течение и упруго-пластическое деформирование сыпучей среды»

Автореферат диссертации на тему "Пластическое течение и упруго-пластическое деформирование сыпучей среды"

На правахрукописи

КОНДРАТЬЕВ ДМИТРИЙ СЕРГЕЕВИЧ

Пластическое течение и упруго-пластическое деформирование сыпучей среды

01.02.05 - Механика жидкости газа и плазмы 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2004

Работа выполнена на кафедре физической механики Московского физико-технического института (государственного университета).

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Ширко Игорь Владимирович

Официальные

доктор физико-математических наук, профессор Кондауров Владимир Игнатьевич;

доктор физико-математических наук, профессор Никитин Лев Васильевич

оппоненты:

Ведущая организация:

Институт проблем механики РАН

Защита диссертации состоится 28 декабря 2004 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета К 212.156.06 в Московском физико-техническом институте по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ. Автореферат разослан 26 ноября 2004 года. Ученый секретарь

диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Согласно сложившейся терминологии, под механикой сыпучих сред понимается наука о законах деформирования грунтов, горных пород, собственно гранулированных и сыпучих сред и других материалов, поведение которых объединяется тем, что условия перехода к состоянию пластического течения (критерии текучести) зависят от гидростатического давления.

Механика сыпучих сред является научной основой инженерных методов расчета оснований и фундаментов объектов гражданского и промышленного строительства, подземных сооружений и объектов горнодобывающей промышленности (шахты, скважины и др.) и т.д. Ее важной задачей является прогнозирование и предотвращения таких катастрофических явлений как горные лавины, камнепады, оползни, сели и др.; мониторинг напряженного состояния естественных откосов и склонов; минимизация землеотводов под дорожное строительство, отвалы промышленных отходов, уменьшение объемов вскрышных работ при открытом способе добычи полезных ископаемых; рационализация ресурсопользования и решение современных экологических проблем.

При исследовании напряженного и деформированного состояния таких сред в настоящее время в основном используются два подхода. Первый подход основывается на модели идеально жесткопластического материала и теории, основанные на подобных предположениях, обычно называются теориями предельного равновесия.

Другой подход состоит в том, что в качестве уравнений связи между компонентами тензоров напряжений и деформаций широко используются, особенно в инженерных приложениях, соотношения, подобные соотношениям теории упругости. На начальных этапах нагружения упругие коэффициенты полагаются постоянными, т.е. справедлив обычный закон Гука, а по мере роста нагрузок их считают переменными, определяемыми из эксперимента. Однако гипотезы, позволяющие применять эти соотношения в механике сыпучих сред, не сформулированы и общепринятая деформационная теория сыпучих сред до настоящего времени не разработана. Переход от упругого состояния к состоянию предельного равновесия исследован недостаточно.

Таким образом, разработка деформационной теории сыпучей среды, позволяющей проследить переход от чисто упругого состояния к состоянию предельного равновесия (обосновать применимость теории упругости с переменными коэффициентами в механике грунтов), построение эффективных численных методов является актуальной проблемой, имеющей важный фундаментальный и прикладной характер.

Цель работы.

Разработать теорию упруго-пластического деформирования сыпучих сред, содержащую в себе теорию предельного равновесия, т.е. позволяющую путем определенного предельного перехода получить из уравнений упруго-пластического деформирования среды уравнения предельного равновесия. Эта теория позволит представить разрешающую систему уравнений, в виде уравнений теории упругости с переменными коэффициентами и обосновать вид (структуру) этих коэффициентов.

Вывести и исследовать системы определяющих уравнений деформационного типа, описывающие упругое и предельное состояние сыпучей среды, решить тестовые задачи, разработать численные методы расчетовЛ решить задачи, имеющие важное теоретическое и прикладное значение.

Научная новизна работы.

Построены поля скоростей для классической задачи о предельном равновесии склона, что привело к решению этой задачи отличному от описанного в литературе.

Предложена новая теория деформирования сыпучей среды за пределами упругости, учитывающая как упругие, так и пластические деформации, имеющая структуру, подобную структуре деформационной теории пластичности и позволяющая проследить переход от чисто упругого состояния к состоянию предельного равновесия.

Введена система специальных функций, определяющих компоненты тензоров напряжений и деформаций, и получена разрешающая система уравнений упругопластического деформирования среды для случая плоского деформированного состояния. Указан предельный переход, с помощью которого из этих уравнений получаются известные уравнения теории предельного равновесия.

В упругопластической постановке решены классические задачи о нагружении трубы (толстостенного кругового цилиндра) внутренним давлением и о напряженном состоянии плоского склона. Прослежен переход к состоянию предельного равновесия.

Решена новая упругопластическая задача о нагружении кругового слоя, имеющего отверстие (скважину) в центре. Предложено новое объяснение эффекту гидроразрыва пласта при давлениях ниже горного.

Для нахождения напряженного и деформированного состояния в упругопластических задачах общего вида предложены три итерационных численных метода, На тестовой задаче проведено сравнение этих методов.

Практическая ценность работы.

Предложенные в работе деформационная теория сыпучей среды, позволяющая проследить переход от чисто упругого состояния к состоянию предельного равновесия, и построенные на ее основе численные методы сделают более эффективными инженерные методы расчетов оснований и фундаментов объектов гражданского и промышленного строительства, подземных сооружений и объектов горнодобывающей промышленности. Они также позволят осуществлять мониторинг напряженного состояния откосов и склонов, т.е. решить задачу прогнозирования и предотвращения таких катастрофических явлений как горные лавины, камнепады, оползни, сели и т.д.

Применение результатов работы на практике помогут в решении вопросов рационализации природопользования и охраны окружающей среды, таких как минимизирование землеотводов под дорожное, промышленное и гражданское строительство, под отвалы промышленных отходов, уменьшение объемов вскрышных работ при открытом способе добычи полезных ископаемых и т.д. Решенные задачи имеют важное прикладное значение в вопросах добычи артезианских вод, углеводородного сырья и др.

Таким образом, результаты работы внесут фундаментальный вклад в механику сыпучих сред, которая составляет научные основы многих современных технологических процессов и инженерных методов расчетов.

Обоснованность и достоверность.

Обоснованность и достоверность полученных результатов вытекает из математической строгости и постановки рассматриваемых задач и применяемых методов. Предложенные в диссертации математические модели и вытекающие из них результаты основаны на общих законах и уравнениях нелинейной континуальной механики, а также фактически естественных гипотезах и допущениях. Кроме того, обоснованность и достоверность подтверждаются „сравнением полученных результатов с известными результатами других авторов, полученных по теории предельного равновесия использованием внутренних проверок точности вычислений.

На защиту выносятся следующие положения:

поля скоростей, построенные на базе теории предельного равновесия, для практически важных задач: об устойчивости оснований, откосов, активном и пассивном давлении засыпки на подпорную стенку; новое решение классической задачи о нахождении распределения напряжений и скоростей в склоне;

новая теория деформирования сыпучей среды за пределами упругости, учитывающая как упругие, так и пластические деформации, и имеющая структуру, подобную структуре деформационной теории пластичности;

^ разрешающая система уравнений упругопластического деформирования среды выведенная для случая плоского деформированного состояния; предельный переход, с помощью которого из этих уравнений получаются известные уравнения теории предельного равновесия; ^ решение упругопластической задачи о нагружении трубы (толстостенного кругового цилиндра) внутренним давлением и исследование перехода трубы к состоянию предельного равновесия;

решение в новой постановке упругопластической задачи о нагружении кругового слоя, имеющего отверстие (скважину) в центре, новое объяснение эффекту гидроразрыва пласта при давлениях ниже горного; ^ решение в упругопластической постановке классической задачи о напряженном состоянии плоского склона; параметры задачи, при которых склон находится в чисто упругом состоянии; условия перехода склона к состоянию предельного равновесия; ^ результаты сравнения трех итерационных численных методов для нахождения напряженного и деформированного состояния в упругопла-стических задачах общего вида.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях:

• XLIII, XLIV XLV, XLVI научных конференциях МФТИ в 2000, 2001, 2002,2003 гг.

• Eighth International Conference on Composites Engineering, ICCE/8, August 1-11,2001, Tenerife, Spain.

• American Society for Composites 17th Technical Conference, October 21-23, 2002 Purdue University, West Lafayette, USA.

Работа неоднократно принимала участие в различных конкурсах и выполнялась при финансовой поддержке:

• межотраслевой программы сотрудничества Минобразования и Министерства природных ресурсов РФ 2001-2002 г. (проект № 05.01.010);

• научной программы Министерства образования РФ «Университеты России» 2002-2003 г. (проект № 04.01.062);

• Российского фонда фундаментальных исследований 2004-2005 гг. (проект № 04-05-97200-р2004);

• научной программы Министерства образования и науки РФ «Фундаментальные исследования в области естественных и точных наук» (проект №Е0204.0 35).

Публикации.

Список печатных работ опубликованных по материалам диссертации приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 39 наименований. Работа изложена на 157 страницах с 53 рисунками.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведен обзор литературы по теме диссертации, описано краткое содержание диссертации, обосновывается актуальность исследований, проведенных автором, формулируются основные цели и задачи диссертационной работы, ее научная и практическая значимость. Перечислены основные теоретические и прикладные проблемы в механике сыпучих сред, решение которых предложено в диссертации.

Первая плава содержит основные уравнения механики сплошной среды и основные законы пластичности. Проведено исследование сыпучей среды, находящейся в предельном состоянии. Приведено условие предельного равновесия, сформулированы системы уравнений. Проведено подробное исследование уравнений, описывающих поля напряжений и скоростей, и преобразование их к канонической системе. Показано, что эти уравнения являются гиперболическими, подробно рассмотрены все возможные краевые задачи и приведены методы их численного решения.

Во второй главе приведены решения большого количества практических задач: об устойчивости оснований, откосов, активном и пассивном давлении засыпки на подпорную стенку, а также задача о нахождении распределения напряжений и скоростей в склоне. Наибольший интерес представляет задача о склоне. В работе показано существенное отличие решения автора от решения А. Надаи и В.В. Соколовского [1], и подробно объяснена причина данного отличия.

В третьей главе изложена новая теория деформирования сыпучей среды за пределами упругости, учитывающая как упругие, так и пластические деформации, и имеющая структуру, подобную структуре деформационной теории пластичности металлов. Она существенно упрощает анализ разрешающей системы уравнений и позволяет проследить переход от чисто упругого состояния к состоянию предельного равновесия.

В § 18 рассматриваются условия интегрируемости уравнений теории предельного равновесия сыпучей среды Прагера-Дракера [2].

В механике грунтов, горных пород, и сыпучих сред критерий предельного состояния (условие пластического течения) обычно принимается в виде

где - компоненты девиатора напряжений. Вид функции (1.1)

Лф

/15Фб +5Ф V ч3 8а 9 Ьг 2ху

Ё'(1-3)

определяется из эксперимента, причем Л/г/а< 0. Здесь и далее полагается, что растягивающие напряжения положительны.

На основании ассоциированного закона течения [2] для компонент скоростей пластических деформаций и скорости изменения относительного объема будем иметь

(1-2)

3 от

Введем девиатор скоростей пластических деформаций с компонентами = е£ -¿'5 и интенсивность скоростей пластических деформаций

сдвига цр = ^¿'¡2. Тогда для параметра X получим X = 2г1Р/|ЭФ/Зт|. Без ограничения общности будем считать что 5Ф/дг>0. При этом соотношения (1.2) примут вид

Ц" 2

х 3 аа

В случае простого деформирования = , и следовательно,

= ¿¡¡ = е°, ц" = , т.е. скорости деформаций не меняются со

временем, в гиперпространстве траектория деформирования - прямая линия, а компоненты тензора напряжений, в силу соотношений (1.1), (1.3), остаются постоянными. Значения е° должны быть выбраны так, чтобы

выполнялось условие ортогональности траектории деформирования к предельной поверхности (1.1), т.е. выполнялось второе из равенств (1.3). Тогда

е° = г/тД/ст. Интегрируя уравнения (1.3) по / и учитывая, что

£рг = £°Г = гр, 41"/ = ¡21 = ^е'е* ¡2 = у", где у" - интенсивность пластических деформаций сдвига, получим выражения

ур 2 ¿т

0.4)

В теории упругости тензоры деформаций и напряжений связаны законом Гука

е., =—5„, £ =--а, у' =—, (1.5)

' 2в 9 2в 1 + V 2в

где б - модуль сдвига, V - коэффициент Пуассона.

Допуская, как обычно [3], что полные деформации можно представить в виде суммы пластических и упругих деформаций, из равенств (1.4) и (1.5) получим соотношения

е„ = е„ + ег =

е = е' + е'

1 У" I У

1 1-2У

3 ст ¿с

(1.6)

О,

1 + у

подобные соотношениям Генки в деформационной теории пластичности [3]. Такое представление определяющих уравнений позволяет разработать итерационные методы решения задач [4,5] механики сыпучих сред, аналогичные методам упругих решений в деформационной теории пластичности.

Если зависимость (1.1)- линейная функция вида

Ф(а,т) = т-(Я-о)1ёа = 0, (1.7)

где Я и а - постоянные материала, определяемые его механическими свойствами, то в пространстве главных напряжений О], с2, а3 она представляет круговой конус с осью а, = ст2 = ст3 и углом при вершине

Обычно используемый в приложениях критерий Кулона [1,6] (если отказаться от требования с^ > с2 ^ ст3) имеет вид

|о, -сг2|<[2Я-(а, +о2)]зтр (123), (1.8)

где р - угол внутреннего трения, Я - приведенный коэффициент сцепления, и в этом же пространстве является шестигранной пирамидой, имеющей три плоскости симметрии, которые пересекаются по той же оси а, = ст2 = а3,

На рис. 1 показан шестиугольник, образованный пересечением пирамиды (1.8) с девиаторной плоскостью а, + а2 + сгэ = 0, и три окружности, образованные пересечением конуса (1.7) с этой же плоскостью, для трех разных значений а: л/Зятр

Ща

+ вт р 2л/3втр

■2,3 ■

3±втр

причем а, соответствует конусу, вписанно' му в пирамиду (1.7), а2 - малому, а а3 -большому описанным вокруг нее конусам.

Рис. 1. Пересечение поверхностей текучести с девиаторной плоскостью.

В § 19 выводится разрешающая система уравнений упругопласти-ческого деформирования сыпучей среды. С этой целью главные значения тензора напряжений могут быть выражены через величины а, т и новую функцию в виде

аи = а+2тсов(а>?я/3)/>/5, <г3 = c-2tcoscd/V3 . (2.1) Тогда главные значения тензора деформаций на основании выражений (1.6) запишутся так:

е12 = s+2ycos(ci);^/3)/V3, е3 =e-2ycosco/V3. (2.2)

При этом имеет место конечное соотношение (1.6).

Компоненты тензора напряжений в ортогональной декартовой системе координат могут быть представлены в виде

а( = сгбу+2т [и(1иу, cos (со - я/3)+иал;2 cos (со + я/3) - и(3и;3 coscoj/л/з, (2.3)

где - девять направляющих косинусов, задающих направления главных осей тензора напряжений, однозначно определяемые тремя углами Эйлера. Аналогичным образом могут быть представлены и компоненты тензора деформаций через величины (2.2), (1.6) и те же значения направляющих косинусов. Следовательно, компоненты тензора напряжений и деформаций определяются пятью функциями и тремя углами Эйлера.

Трех дифференциальных уравнений равновесия и двух конечных соотношений (1.1), (1.6) недостаточно для их нахождения, т.е. задача статически неопределима и для ее решения требуется привлекать уравнения для перемещений.

Разрешающую систему дифференциальных уравнений получим для случая плоского деформированного состояния, когда и тензоры на-

пряжений и деформаций от координаты Z не зависят. Ось Z - главная ось, т. е. С2=03 ; угол собственного вращения ф является углом между осью х и направлением главного напряжения СТ,, а остальные углы Эйлера равны нулю. В этом случае равенства (2.3) можно представить в виде

оху = o+t£cos(o/-V3±sincocos2q)J, т^ = * sinai sin 2ф. (2.4)

Главные значения компонентов тензора деформаций (2.2) запишутся так:

81Д = 2у5т(я/3±ш), Е3=0, (2.5)

а для самих компонентов тензора деформаций получим

(2.6)

Подставляя компоненты (2.4) в два уравнения равновесия

ду дх

получим

—Га + т (cos шД/з + sin со cos 2ф)1 +—(tsin со sin 2ф) = О,

7 ! (2-7)

—Т^собшД/З-8шсосо82фи+—(х8шшзт2ф) = 0.

Двух уравнений (2.7) и критерия (1.1) недостаточно для определения напряженного состояния, т. е. задача продолжает оставаться статически неопределимой.

Выражая в левых частях формул (2.6) компоненты тензора деформации через компоненты вектора перемещений

_8и _ 1

Е*~а? 7лу~2{ду'8х)'

и деля первые два равенства на третье, получим два уравнения для определения поля смещений

2 бш и эт 2ф - (^/з соэ сз + вт со соэ 2ф| ^

_______________ -+

дх v \8у дху

2 sin оз sin 2ф— - (\¡3 cos to - sin ш cos 2ф) (— + — ду v '\ду дх

= 0,

(2.8)

= 0.

Конечное соотношение (1.6) в случае плоского деформированного состояния принимает вид

2 1 l-2v 2( ИЛ

^ycosffl=—J—. (2.9)

Четыре дифференциальных (2.7), (2.8) и два конечных соотношения (1.1) и (2.9) содержат шесть искомых функций а, т, ф, со, ы, v и позволяют найти компоненты тензора напряжений и веюгора перемещений и, v.

Полученная система уравнений существенно упрощается если пренебречь упругими деформациями. Для этого достаточно в формуле (2.9) положить равными нулю члены, содержащие множитель 1/G. Полагая, для упрощения дальнейших выкладок, что критерий предельного состояния (1.1) имеет вид линейной функции (1.7), из формулы (2.9) получим

ю = arceos = (2.10)

При ю = ю0 критерий (1.7) может быть заменен условием (1.8), которое в данном случае перепишется как

f = (tf-í)sinp; 5 = (ст1 + а2)/2, / = (а,-ст2)/2. (2.11)

Используя известные формулы аХ)1 = 5±/соз2(р, т^ = /Б1п2ф получим с учетом (2.11)

о1ьК = ^±(Я-^)5трсоз2ф, т^ =(Я-,фтр8т2ф. При этом уравнения (2.7) приобретают вид

ds „5/ . „ Й . f . „ дФ „

—+со$2ф— + 8т2ф--21\ зт2ф—-соз2ф—

дх дх ду \ дх ду

= 0,

ds . . 8t . dt „ /

— + sin 2ф--сов2ф— + It

ду дх ду

соз2ф—+вт2ф— I = 0. дх ду)

(2.12)

При учете равенства (2.11) для граничных условий, заданных в напряжениях, они позволяют определить напряженное состояние среды, т. е. в результате пренебрежения упругими деформациями задача стала статически определимой.

Уравнения (2.12) принадлежат к гиперболическому типу и имеют два семейства характеристик

A,^ = const, ^ = (2.13)

Здесь введены обозначения

dt/ds = cos 2\|/, 2\|/ = я/2 + р, dX = sin 2у ds/í.

Уравнения (2.8) перепишутся так:

„ . „ ди , „ ~ \(ди dvy. .

251п2ф--(cos 2ф —cos2vj/) — + — | = 0,

дх

kду dxj

' = 0.

(2.14)

2зт2ф—+(сое 2ф + сое 2ц/) —+—

ду {ду дх)

Они также принадлежат к гиперболическому типу, уравнения их характеристик совпадают с (2.13), а условия вдоль характеристик имеют вид

^ = (2.15)

Отметим, что уравнения (2.12) - (2.15), с точностью до обозначений совпадают с уравнениями теории предельного равновесия, полученными [7] с помощью критерия (1.1), ассоциированного закона течения (1.2) и предположения о жесткопластическом поведении материала. Отличие состоит в том, что в уравнениях (2.14) и, V - компоненты вектора перемещения, а ранее [7] через и, V были обозначены компоненты вектора скорости. Однако уравнения (2.12), (2.14) также являются уравнениями теории предельного равновесия, но получены путем соответствующего предельного перехода из уравнений (2.7), (2.8), учитывающих упругие деформации в пластических областях. Следовательно, разработанная теория упругопла-стического деформирования содержит в себе теорию предельного равнове-

сия и позволяет исследовать переход среды от чисто упругого состояния к состоянию предельного равновесия.

В § 20 с целью применения полученных уравнений рассмотрим задачу об упругопластическом деформировании цилиндрической трубы внутреннего радиуса а и внешнего радиуса Ъ, нагруженную внутренним давлением р и находящуюся в плоском деформированном состоянии. Внешнее давление равно нулю.

Пока давление р достаточно мало, труба находится в упругом состоянии по всему сечению. Компоненты тензора деформаций в цилиндрической системе координат, связанной с осью трубы, выражаются через радиальное смещение так:

с1и _ и

б =0.

(3.1)

Они удовлетворяют уравнению совместности деформаций и связаны с компонентами тензора напряжений аг, Св законом Гука

2в

((^К^Бег), стг=у(стг+00).

Последние, в свою очередь, удовлетворяют уравнению равновесия

<1сг | а,-ое _0

<1г г

Решая систему уравнений (3.1) - (3.4), получим

а стг =2уС2, И = ^(1 -2У)С2Г + ^.

Постоянные интегрирования можно найти из граничных условий

°г1а=~Р>

Окончательно решение принимает вид

г.г\

1 + "

1Ь

(

(1-2у)Г+-

Х =

и — и

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6) .(3.7)

Оно справедливо только в случае, когда труба находится в упругом состоянии по всему сечению. Для того чтобы найти область его применимости, подставим выражение (3.7) при г = а в критерий текучести (1.7) и найдем критическое давление

#tga

А =

А/(1+х)2+(1-2у)2Х2/з+2(1+у)Х1Еа/з'

(3.8)

после превышения которого в трубе появляется область а^гйс пластического состояния. При этом в области сйгйЪ по-прежнему останутся спра-

ведливыми формулы (3.5), только постоянные интегрирования уже нужно будет находить из условия непрерывности аг в точке с и второго из граничных условий (3.6).

Поскольку оси г,в, г - главные оси тензоров напряжений и деформаций, компоненты этих тензоров совпадают с выражениями (2.1), (2.2) с точностью до замены индексов 1,2,3 на В,г,г. Таким образом, ненулевые компоненты тензоров напряжений и деформаций имеют вид

агв = (т+2тсоз((о±7с/3)/-^, ст2 =а-2тсозюД/з, (3.9) Егв = Е+2усоз(ю±я/3)/л/з, 8г = б—2у сое со/т/з ~ 0. (3.10) Внося в уравнения равновесия (3.4) и совместности деформаций (3.2) выражения (3.9), (3.10) и принимая критерий текучести в форме (1.7), получим

-2(Н-с)^а5та = 0, (3.11)

<1г

о+(Я - а) tg а сое (со + я/3)

—[у зт(о) + я/3)] + у эти = 0.

(3.12)

вид

Конечное соотношение (2.9) при учете выражения (1.7) принимает

4 (ЗЛЗ)

Система из трех уравнений (3.11) - (3.13) позволяет найти три искомые функции а, у и со, которые полностью определяют НДС в области а<г<с. Радиальное смещение может быть найдено по формуле и = е/ = 2гу 8т(со + л/3).

Граничные условия для уравнений (3.11), (3.12) находятся из условия непрерывности компонент тензоров напряжений и деформаций на границе г-с между упругой зоной и областью пластического состояния. После преобразований эти условия приобретают вид

(3.14)

г = с:

где

а „ = Я

ю = сос.

л/3 Ьг 1-2 ус2'

л/3 1-2У

У-Ус

1+-

2 1+V 1£асо8Шс

(3.15)

В упругой зоне с<Г<Ь по-прежнему справедливы формулы (3.5), причем второе из условий (3.6) позволяет записать первые три из них так:

^ I 1 - 1 ] о С1 С1 Зст*

(3.16)

Значение ас дается вторым выражением в (3.15).

Считая величину с/Ь параметром нагружения, получим задачу Ко-ши для уравнений (3.11) - (3.13) с начальными условиями (3.15) в точке с и областью интегрирования а<Г<С\ в упругой зоне с<гйЬ решение задано аналитически соотношениями (3.16). Внутреннее давление р, соответствующее конкретному значению параметра <;/Ь, будет найдено из условия р-~аг(а).

Хотя указанная система уравнений и может быть решена аналитически, это нецелесообразно ввиду громоздкости получающихся выражений. Отметим только, что при изменении параметра нагружения с)Ь от значения а/Ь до 1, внутреннее давление р меняется от ра (3.8) до некоторого давления д, соответствующего переходу трубы в пластическое состояние по всему сечению. Деформации трубы при этом остаются конечными, что было отмечено еще в работе [8].

4 / 4 { / / / у

* ✓ / / / /

1 2 3 4 Ь/а

Рис.2. Зависимости безразмерного давленияр от Ь/а приразныхзначенияху.

Когда внутреннее давление р в трубе превышает упругая зона отсутствует и труба полностью находится в пластическом режиме (однако при этом ее несущая способность не исчерпывается). Во всем сечении трубы по-прежнему справедливы уравнения (3. 11)-(3. 13) с граничными условиями (3.6). Поскольку в этом случае первое из условий (3.14), (3.15) теряет смысл, введем в качестве параметра нагружения значение функции у на внешнем контуре трубы. Заданная величина 1(Ь), а также второе и

третье из условий (3.14), (3.15), позволяют найти значения <т(2>), и тем самым определить задачу Коши в области Ь^г>а.

Внутреннее давление р, соответствующее выбранному значению у (¿), по-прежнему будет найдено из условия /7 = -(Тг(а) . Нормируя функцию у(2>),, введем безразмерный параметр у = у(2>) так, ЧТО у(б) = 1 соответствует переходу трубы в пластическое состояние по всему сечению. На рис. 2 при ^а. = \Л, V = 0.1 и разных значениях у Показаны зависимости безразмерной величины р = р^Ь/а^Н . По мере возрастания у что соответствует увеличению смещения на внешнем контуре трубы, кривые на рис. 2 приближаются к предельной кривой, показанной штрихами. Вид этой кривой может быть достаточно просто получен, если рассмотреть предельный случай, когда нагружение трубы приводит к бесконечно большим ее деформациям. Как было показано выше, такой предельный переход равносилен замене 1/3 = 0 в уравнениях упругопластического деформирования и переходу их в уравнения предельного равновесия.

В этом случае получим Ш = С00=СОП81 (2.10). При этом уравнения (3.11), (3.12) достаточно просто интегрируются

А и В - постоянные интегрирования. Граничные условия (3.6) позволяют определить величину А, а также внутреннее давление, соответствующее этому предельному решению

р=н({Ъ1а)п-\). (3.18)

Постоянная В может быть выбрана произвольно, поскольку материал не-упрочняющийся, т.е. в предельном состоянии смещения в трубе могут быть определены только с точностью до произвольного постоянного множителя.

Итак, в зависимости от величины внутреннего давления р труба может находиться в одном из трех режимов деформирования: чисто упругом при 0£р<р0, упруго-пластическом п ]р01С т о пластическом при При деформации трубы, найденные из упруго-пластического решения, становятся бесконечно большими (разрушение). Внутренние давления, превышающие , невозможны. Из этих результатов следует, что переход трубы в пластическое состояние по всему сечению не означает наступления предельного равновесия. Нагрузки р асимптотически стремятся к предельным нагрузкам р (верхняя кривая на рис. 2) при неограниченном возрастании деформаций трубы. Отметим, что ранее [6] этот результат отмечен не был.

В § 21 в качестве второго примера рассмотрена следующая задача. Под слоем высоты I грунта с удельным весом у, имеется пласт материала толщины А, причем А « Ь. В грунте и пласте пробурена скважина радиуса а, она заполнена жидкостью с удельным весом у;. Требуется определить НДС в пласте, полагая, что переход от упругого состояния к предельному определяется критерием (1.7).

Если скважина отсутствует, то напряженное состояние в пласте соответствует гидростатическому сжатию: ог в1 = -у,Ь, т.е. напряжения равны горному давлению. При наличии скважины упругие напряжения выражаются формулами (3.5), а постоянные С,, С2 определяются из граничных условий

Компоненты тензора напряжений принимают вид

^.е=-У/(1 + (1-Д)(яЛ)2) = ст±т> а:=~У*1'> А = У//Г,- (4-1)

Из закона Гука получим

1 l-2v 1

£, =---Y,L, и = гаг =--у L

' 2G 1+v 9 2G

г + (1-Д)—

(4.2)

1 + v г

Таким образом, при упругом деформировании наличие скважины не вызывает дополнительных перемещений в вертикальном направлении.

Формулы (4.1), (4.2) справедливы до тех пор, пока весь слой находится в упругом состоянии. Подставляя выражение (4.1) при г =а в критерий (1.7), найдем критическое значение глубины залегания пласта

у, l-A-tga

после превышения которой в пласте возникает область пластичности а£гйс.

Произведя замену индексов 1,2,3 -> 9,г, z в формулах (2.1), (2.2), получим

-ytL = с - 2(# -a)tga собюД/з (=aj. (4.4)

Конечное соотношение (1.6) примет вид

1 l-2v 2 ( 1

е =--a+-tga

2 G 1 + v 3 5

Подставляя выражения для компонент тензоров напряжений и деформаций в уравнения (3.2), (3.4), получим уравнение (3.11) и уравнение

+2у cos(co - ф)/>/з ]+2у sin о = 0. (4.6)

y-^(ff-a)tga|. (4.5)

Два дифференциальных (3.11), (4.6) и два алгебраических (4.4), (4.5) уравнения позволяют найти четыре искомые функции а, ш, е и у, которые полностью определяют НДС в области а<г<с.

В упругой зоне с<г<°о компоненты тензора напряжений по-прежнему будут иметь вид (3.5); при учете условий на бесконечности имеем С2 = -у,£, и тогда

о,,е=-у МСгУ. (4.7)

Из условий непрерывности компонентов тензора напряжения на границе г = с между областями упругого и предельного состояний, имеем граничные условия (3.14), в которых

&с = -п/2, ас =-у,£, у с = ^(Я-ас)1ёа, (4.8)

а для постоянной в формуле (4.7) получаем С, = с2 (Я + у^^а.

Если ввести относительный радиус г/с, то условия (3.14), (4.8) при г/с = 1 и заданных значениях у, и Ь > определяют задачу Коши для системы уравнений (3.11), (4.4) - (4.6). Их численное интегрирование ведется до точки а/с < 1, в которой выполняется краевое условие

ст0 + 2(Я-аа)1ёасо8(йа+^3)/7з=-у,1 (=<4^). (4.9)

Систему уравнений (4.4), (4.9) можно решить в явном виде и показать, что решение существует только при

.Я втр

¿<4=2

СТе/уД

у,(1-Д)-(1 + Д)зтр' е,Ш

ц-1 ]

- и ^ •

/з 17

1 12 14 г/с | 1 |

12 14 16 18 г/с Рис. 3. Распределение остаточных напряжений а, и смещений е1 в пласте

Оказывается, что при компоненты тензора деформации не-

ограниченно возрастают, а при решение не существует, что физиче-

ски соответствует разрушению (схлопыванию) пласта. Этот интересный факт иллюстрирует серия кривых 8г0/Н для ряда значений параметра \1 = Ь/Ц , показанная в правой верхней части рис. 3. Для механических характеристик материала приняты значения при этом предельное значение параметра Пересечение штриховой линии на рис. 3 с кривой, соответствующей определенному значению параметра , дает безразмерную величину границы упругой зоны и области пластичности для данного значения параметра

Итак, если в пласте разбурить скважину, то при выполнении условия (4.3) в нем возникнет область пластического деформирования. Если затем повышать давление в скважине, то пласт будет постепенно разгружаться. Когда давление станет равно горному, в отличие от случая чисто упругого деформирования пласт не вернется в исходное состояние гидростатического сжатия - в нем возникнут остаточные напряжения. На рис. 3 приведены результаты расчетов остаточных напряжений д0 в пласте, отнесенных к величине горного давления у^, для ряда значений Ц. Случай Ц = 1 соответствует горизонтальной прямой (чисто упругое деформирование). Штриховая линия - граница областей упругости и пластичности. По этим кривым можно судить о том, насколько близко давление в пласте к горному после разгрузки, т. е. насколько сильно отличаются предсказания упругой и упругопластических теорий. Расчеты показывают, что остаточное радиальное напряжение в пласте отличается от горного давления не более чем на 10%; тогда как остаточное напряжение по модулю оказывается значительно меньше горного давления - разница доходит до 90% (при других значениях параметров задачи, например, при меньшем отношении плотностей Д, разница может даже превысить 100%, т. е. остаточное напряжение 5В станет растягивающим). Этот результат имеет важное практическое значение для построения теории гидроразрыва пласта.

В § 22 рассматривается плоский склон из однородного грунта с удельным весом . Склон расположен под углом к горизонту, его поверхность не нагружена. Найдем НДС этого склона в поле сил тяжести.

Введем систему координат хуг таким образом, чтобы ось у была направлена вглубь склона, а плоскость соответствовала его поверх-

ности. Ось х направлена вдоль поверхности склона вниз, а ось £ - по траверсу.

Поскольку склон бесконечен в направлениях х и все физические величины в этой задаче будут функциями только координаты у. Это позво-

ляет искать вектор смещения в виде и=(«(>'),При этом в тензорах напряжений и деформаций останутся ненулевыми следующие компоненты: о,, ау ст2, т^ и у^ = и'/2, = V (штрих означает производную по

У)-

Уравнения равновесия

+у, э!пр — О, а^,+у5со8Р = 0

легко интегрируются, и с учетом условий а^] д = о = О получаем

= -у,^8шр> о^-у^совр. (5.1)

В упругой области компоненты ах = стг определяются законом Гука

о^-у^^совр. (5.2)

Тогда для компонентов тензора деформаций получим выражения

Полученное упругое решение справедливо только в области, где выполняется соотношение х<(Н-а)Ща. Вычисляя интенсивности касательного напряжения т и среднего давления с, найдем глубину границы зоны упругого деформирования

Ряс. 4. Граница упругости склона в пространстве параметров задачи.

Из формулы (5.4) следует, что если tga > -ч/з 1,(г\ и угол склона

Р < Р, = агс1ё(^Ч2а-3!;2/з), (5.5)

то весь склон будет находиться в упругом состоянии и пластическая область не возникнет. Этот результат будет верен и для идеально-сыпучего материала, т.е. для материала с Н= 0.

Поверхность в пространстве параметров задачи р, 3, V соответствующая знаку равенства в формуле (5.5) показана на рис. 4 для случая конуса, вписанного в пирамиду Кулона, т.е. tga определяется первой формулой (1.9) (заштрихованная область). Ее вид существенно зависит от принятой аппроксимации критерия Кулона. Жирными линиями показаны кривые, ограничивающие поверхность, соответствующую описанному конусу, т.е.

tg a = 2л/з sin р/(3 - sin р).

Если же угол Р>Рр то в грунте будет существовать зона 0<у<у1 упругого деформирования, а на больших глубинах грунт будет находиться в предельном состоянии. Формулы (5.1) останутся верны и в пластической области, однако соотношения (5.2), (5.3) окажутся уже другими, так как вместо закона Гука необходимо будет применять закон пластического течения (1.6), (1.7).

Будем искать ах в виде

ох = -y^cosp - fisinp), (5.6)

где ц = ц(>!) - неизвестный множитель. Соотношение (1.7) дает

(з - 4 tg2cc )ц2 + 12ц8 tg2a + 9(l - 02 tg2a) = 0; e=e(>')=(^/(Y^)+cosß)/sinß.

Решая это квадратное уравнение и подставляя вместо tga его выражение через угол р (CtgCL = \jCtg2p + 4/3 , первая формула в (1.9), вписанный ко-

нус), получим

n = -20tg2p +^e2tgJp-l)(3 + 4tg2p)

(5.7)

(второй корень квадратного уравнения отбрасывается, т.к. он не удовлетворяет условию непрерывности тензора напряжений на границе между упругой и пластической областями).

Зная компоненты тензора напряжений, тензор деформаций можно найти из закона (1.6). После вычислений получим

Поле смещений м(у),у(д') склона может быть получено интегрированием компонент тензора деформаций согласно уравнениям и' = , v' = ъу с начальными условиями, соответствующими слою глубиной к на жестком основании и(Л) = 0, vi.li) = 0.

Анализ выражения (5.8) показывает, что при стремлении 0 к с^р, что соответствует глубинам

Я втр

У-*Уг =

1, «п(Р-р)

(5.9)

деформации еу, у^, а также смещения и, V неограниченно возрастают, тоща как напряжения Ох, остаются конечными. Если Л — у2, то на

нижней границе пластического слоя смещения достигают бесконечно больших величин, что физически соответствует разрушению склона. Отметим, что выражение для у2 (5.9) совпадает с величиной Ъ, введенной в § 1 Главы 2, где она являлась линией разрыва напряжений для склона из жест-копластического материала.

При углах |3, ¿Р^р в грунте будет существовать пластическая область, простирающаяся от у1 до бесконечности (т.е. к может быть сколь угодно большой величиной). Если же угол склона оказывается большим, чем р, то склон будет находиться в равновесии, только если его глубина не превышает критическое значение (5.9). Таким образом, при Р>р пластическая область может занимать только слой

Результаты численных расчетов смещений «(у), (в единицах С7/Я) представлены на рис. 5 для разных значений глубин к (в единицах при чему соответствуют критические зна-

чения: Р! = 7,9°, ух =1,ЮН/уг, у2 =2,8794н/уг. Из этих графиков следует, что при у—*уг величины смещений резко возрастают, стремятся к постоянным значениям по высоте слоя, и область вблизи уг стремится к линии разрыва смещений. Т.е. полученное упругопластическое решение асимптотически стремится к решению теории предельного равновесия, изложенному в § 13 диссертации. Несмотря на большое количество работ [1,6], посвященных решению этой задачи, указанный результат получен впервые.

В § 23 рассматриваются три типа итерационных методов решения упругопластических задач статики сыпучей среды, аналогичные методам упругих решений А. Ильюшина в теории пластичности [9]. А именно, метод дополнительных нагрузок, метод дополнительных деформаций, и метод переменных коэффициентов упругости.

Все три построенные схемы тестировались на пробной задаче с целью сравнить скорости сходимости численных решений к теоретическому. Тестирование производилось на рассмотренной § 22 задаче, в частном случае нулевого угла наклона склона, Р = 0., В каждом из методов расчет проводился до тех пор, пока максимальное изменение величины £у в двух последовательных итерациях не составляло 0.0001.

0 2 4 6 8 10 12 14 П

-2

• 4

• 6

-8

- 10 /и УС

Рис. 6. Скорости сходимости итерационныхметодов: А (переменных параметров упругости),В(дополнительныхнагрузок), С(дополнительных деформаций).

Расчеты показывают, для данной задачи каждый из предложенных методов обладает экспоненциальной скоростью сходимости. При этом скорости сходимости методов дополнительных нагрузок и дополнительных деформаций оказались примерно равны, тогда как метод переменных параметров упругости показал приблизительно в два раза большую скорость сходимости (рис. 6).

выводы

На базе теории предельного равновесия проведено подробное исследование системы уравнений, описывающей поля напряжений и скоростей. Показано, что рассмотрение полей напряжений совместно с полями скоростей приводит к отличному от описанного в литературе решению классической задачи о предельном равновесии склона.

Показано, что в случае простого (пропорционального) деформирования уравнения для скоростей в теории предельного равновесия сыпучей среды могут быть проинтегрированы, и она может быть представлена в виде теории деформационного типа. Определяющая система уравнений упруго-пластического деформирования сыпучей среды представлена в виде уравнений теории упругости с переменными «упругими» модулями. Определена зависимость «упругих» модулей от механических свойств среды и степени ее деформирования.

Разработана новая теория упруго-пластического деформирования сыпучей среды, содержащая в себе теорию предельного равновесия. Причем компоненты тензора скорости деформации являются суммой упругой и пластической составляющих, последняя из которых определяется из ассоциированного закона течения. Разработанная теория позволяет проследить переход от чисто упругого состояния к состоянию предельного равновесия.

На основании анализа разрешающей системы уравнений теории упруго-пластического деформирования показано, что ее переход в уравнения теории предельного равновесия происходит при неограниченном росте деформаций. Линии разрыва скоростей в теории предельного равновесия трансформируются в слои конечной толщины, в которых происходит непрерывное изменение смещений.

В качестве примера решена упругопластическая задача о нагруже-нии трубы (толстостенного кругового цилиндра) внутренним давлением. Показано, Что нагрузка, соответствующая переходу трубы в чисто пластическое состояние по всему сечению, как правило, не совпадает с нагрузкой, полученной на основании теории предельного равновесия. Определен предельный переход, при котором такое совпадение происходит.

Решена новая упругопластическая задача о нагружении кругового слоя, имеющего отверстие (скважину) в центре. Определены глубины залегания пласта, при которых в окрестности скважины появляется зона пластической деформации. Определено предельное значение глубины, при которой происходит схлопывание пласта. Определены остаточные напряжения в окрестности скважины при повторном повышении давления в скважине до величины горного давления. Предложено новое объяснение эффекту гидроразрыва пласта при давлениях ниже горного. Решение этой задачи в рамках теории предельного равновесия было невозможно.

Решена в упругопластической постановке классическая задача о напряженном состоянии плоского склона. Установлено соотношение между механическими характеристиками среды и углом склона, при котором склон по всей глубине всегда остается в упругом состоянии. Показано, что при упругопластическом деформировании возможны три различных напряженно-деформированных состояния. Прослежен переход к состоянию предельного равновесия и установлено, что, в отличие от существующих представлений, пластическое течение склона из жесткопластического материала невозможно при углах склона меньших угла внутреннего трения. При углах склона больших угла внутреннего трения происходит пластическое течение не всего склона, а только его верхнего слоя определенной толщины.

Для нахождения напряженного и деформированного состояния в упругопластических задачах общего вида предложены три итерационных численных метода (аналогичные методам дополнительных нагрузок, дополнительных деформаций и переменных коэффициентов упругости в деформационной теории пластичности). На тестовой задаче исследована скорость сходимости каждого из методов, проанализированы их преимущества и недостатки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды. М.: Физматгиз, 1960.274 с.

2. DruckerD.C, Praguer W. Soil mechanics and plastic analysis or limit design // Quart. App. Math. 1952. V. 10. № 2. P. 157-165.

3. Nadai A Theory of Flow and Fracture of Solids. V. 1. N.Y., etc., McGraw-Hill, 1950. 572 p. = Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. T.I. М.: Мир, 1954.647 с.

4. Быков Д.Л. О некоторых методах решения задач теории пластичности // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1975. № 4. С. 119-139.

5. БурогоН.Г., КукуджановВ.Н. Решение упруго-пластических задач методом конечных элементов // Вычислительная механика твердого деформированного тела. М.: Наука, 1991. Вып. 2. С. 78-122.

6. Nadai A. Theory of Flow and Fracture of Solids. V. 2. N.Y., etc., McGraw-Hill, 1963.762 p. = Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 2. М.: Мир, 1969. 863 с.

7. Соколовский В.В. Об уравнениях теории пластичности // ПММ. 1955. Т. 19. Вып. 1.С. 41-54.

8. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высш. шк., 1969.608 с.

9. ИльюшинА.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948.376 с.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. ШиркоИ.В., КондратьевД.С., Стеценко П.В. Деформационная теория в механике гранулированных сред // Механика композиционных материалов и конструкций. 2002. Т. 8. № 4. С. 555-573.

2. КондратьевД.С., СтеценкоП.В., ШиркоИ.В. Учет остаточных напряжений при гидроразрыве пласта // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук: Докл. XLVI науч. конф. МФТИ. Ч. 3.2003. С. 172.

3. ShirfoLV, KondratyevD.S., StetsenL-P.V. Deformation theory in the mechanics of granular media // Proc. American Soc. Composites: 17th Techn. Conf., West Lafayette, 2002. P. № 168.

4. Ширко КВ., КондратьевД.С., Стеценко П.В. О сходимости метода упругих решений в задачах механики грунтов // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук: Докл. XLV науч. конф. МФТИ. ч.3.2002. С. 18-20.

5. ШиркоИ.В., КондратьевД.С., Стеценко П.В. Некоторые задачи грунтов и горных пород // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук: Тез. докл. XLIV науч. конф. МФТИ. Ч. 3.2001. С. 41.

6. Kondratyev D.S., ShirL-1. V. Simple regime of deforming in granular materials // Proc. ICCE/8, Tenerife, 2001. POSTER.

7. Кондратьев Д.С., Ширко ИВ. Простое деформирование в механике сыпучих сред // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук: Тез. докл. XLIII науч. конф. МФТИ. Ч. 3.2000. С. 10.

8. Кондратьев Д.С., Стеценко ПВ, ШиркоИ.В. Упруго-пластическое деформирование и предельное равновесие сыпучих сред // ПММ (принята в печать 23.1Х.2ОО4).

12452 î

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Кондратьев, Дмитрий Сергеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Основные положения механики гранулированных сред

§1. Напряженное состояние

§ 2. Деформация

§3. Скорость деформации

§ 4. Дифференциальные уравнения равновесия. Граничные условия

§ 5. Упругое тело, идеальная и вязкая жидкости

§ 6. Поверхность и кривая текучести. Условия текучести

§ 7. Уравнения пластического состояния

§ 8. Предельное равновесие сыпучей среды

§ 9. Предельное равновесие сыпучей среды при плоском деформированном состоянии

§ 10. Уравнения равновесия в напряжениях и скоростях

§11. Линии разрыва полей скоростей

§ 12. Основные краевые задачи. Численное интегрирование уравнений

Глава 2. Устойчивость оснований и откосов

§ 13. Напряженное состояние оснований

§ 14. Устойчивость откосов.

§ 15. Устойчивость оснований. Минимальное давление

§ 16. Активное давление засыпки на подпорную стенку

§ 17. Пассивное давление засыпки на подпорные стенки

Глава 3. Упругопластическое деформирование и предельное равновесие гранулированных сред

§ 18. Условие интегрируемости уравнений теории течения

§ 19. Разрешающая система уравнений. Плоское деформированное состояние

§ 20. Нагружение цилиндрической трубы внутренним давлением

§ 21. Упругопластическое деформирование кругового пласта

§ 22. Упругопластическое деформирование склона

§ 23. Численные итерационные методы решения

ВЫВОДЫ

Введение диссертация по механике, на тему "Пластическое течение и упруго-пластическое деформирование сыпучей среды"

Ее важными задачами являются: прогнозирование и предотвращение таких катастрофических явлений как горные лавины, камнепады, оползни, сели и др.; мониторинг напряженного состояния естественных откосов и склонов; минимизация землеотводов под дорожное строительство, отвалы промышленных отходов, уменьшение объемов вскрышных работ при открытом способе добычи полезных ископаемых; рационализация ресурсопользования и решение современных экологических проблем.

В настоящее время решение этих задач является особенно актуальным в связи с повышением этажности зданий, увеличением габаритов сооружений и массы технологического оборудования, что приводит к увеличению удельных нагрузок на основания. Одновременно возросли требования к качеству строительства, сокращению его материалоемкости, стоимости и продолжительности работ. Это повышает значение правильной оценки несущей способности грунтов оснований, обеспечивающих нормальную эксплуатацию указанных сооружений. Уплотнение городской и промышленной застройки, интенсивное использование подземного пространства требуют надежной оценки влияния строительных работ на существующие здания, обоснования безопасных технологий строительства. Сложные проблемы возникают в связи с резким увеличением объемов работ по реконструкции зданий и сооружений. В экономически развитых районах при наличии сложившейся городской застройки ощущается нехватка территорий с благоприятными грунтовыми условиями и приходится застраивать площадки, ранее считавшиеся непригодными. Все в большей степени строительство смещается в районы со сложными климатическими, сейсмическими и грунтовыми условиями. Очень важной проблемой является также увеличение глубин подземных сооружений и объектов горнодобывающей промышленности (шахты, скважины и др.)

Все это делает особенно актуальной разработку новых и уточнение существующих теорий деформирования грунтов и горных пород, построение эффективных численных методов, решение возникающих краевых задач.

Основоположник теории предельного равновесия К. Кулон (1773) сформулировал основные положения предельного равновесия и применил их к определению давления засыпки, ограниченной горизонтальной плоскостью, на подпорную стенку с вертикальной абсолютно гладкой задней гранью, исходя из допущения о существовании плоской поверхности сползания. Те же положения были использованы впоследствии при нахождении давлений засыпки, ограниченной произвольной поверхностью, на подпорные стенки с наклонными и ломаными шероховатыми задними гранями. Далее В. Ренкин (1857) рассмотрел предельное равновесие бесконечного массива, ограниченного наклонной плоскостью, ввел понятие о поверхностях скольжения и нашел условие предельного состояния сыпучей среды, которое Г.Е. Паукер применил к оценке устойчивости оснований. Затем В.И. Курдюмов (1889) провел ряд экспериментов о предельном сопротивленни оснований, ясно показавших, что нарушение равновесия происходит путем сползания сыпучей среды по некоторым криволинейным поверхностям.

Дальнейшие исследования по теории предельного равновесия, обстоятельно разобранные в известном курсе Н.А. Цытовича, составили два направления.

Первое направление ставит своей целью создание упрощенной теории предельного равновесия, дающей возможность разбирать различные задачи простейшими средствами. Оно было развито С.И. Белзецким (1914), Г. Креем (1918), Н.М. Герсевановым (1923), Н.П. Пузыревским (1923) и В. Фелениусом (1926), которые принимали допущение о существовании поверхностей сползания некоторых простейших форм - плоских, призматических или круглоцилиндрических.

Указанное допущение, сводящее рассмотрение каждой задачи к выяснению самого невыгодного положения поверхности сползания выбранной формы, хотя и не имеет достаточного обоснования, нередко все же дает приемлемые результаты. Поэтому упрощенная теория, еще более разработанная И.П. Прокофьевым (1934) и Н.И. Безуховым (1934), а впоследствии снабженная удобными графиками и таблицами, до сих пор имеет довольно широкое распространение.

Второе направление, продолжающее идеи В. Ренкина, пытается построить строгую теорию предельного равновесия, позволяющую рассматривать различные задачи и находить соответствующие сетки линий скольжения. Оно ведет свое начало от Ф. Кеттера (1903), который, взяв дифференциальные уравнения равновесия и условие предельного состояния в каждой точке,^составил систему уравнений предельного равновесия сыпучей среды, а затем успешно занялся ее исследованием.

Большое влияние на дальнейшее развитие этой теории оказал Л. Прандтль (1920), который поставил и рассмотрел ряд задач о пластическом равновесии, причем впервые использовал решение с особой точкой и пучком прямых линий скольжения, проходящих через нее. Эти результаты затем были применены Г. Рейснером (1925) и В.Н. Новоторцевым (1938) к некоторым частным задачам об устойчивости оснований, но лишь для невесомой сыпучей среды, когда линии скольжения хотя бы одного семейства являются прямыми и решения имеют замкнутую форму.

Иным путем шли Т. Карман (1927) и А. Како (1934), изучавшие систему уравнений предельного равновесия идеально-сыпучей среды; им удалось рассмотреть некоторые частные задачи о давлении на подпорные стенки весомой засыпки, когда простых решений построить уже нельзя. »

Работы В.В. Соколовского (1947) в той же области имели своей целью: с одной стороны - построение общего метода, дающего возможность рассматривать задачи о предельном равновесии также и для связной среды, с другой стороны — получение метода, позволяющего достаточно просто разбирать различные задачи о напряженном состоянии идеально-сыпучего клина.

Результатом всех этих исследований явилось значительное развитие теории предельного равновесия, как в отношении расширения круга затрагиваемых вопросов, так и повышения эффективности применяемых методов, что позволило ей стать надежной основой инженерных расчетов в статике сыпучей среды.

Начиная с основополагающей работы К. Кулона (1773) и до начала 1960-х годов механика сыпучих сред развивалась в основном как наука о статике сыпучих сред. Это в значительной степени объясняется тем, что уравнения, описывающие напряженное состояние среды при плоском деформированном состоянии [1], так же как и уравнения теории идеальной пластичности, являются статически определимыми, т.е. в случае статически определимых краевых условий могут быть решены без привлечения кинематических соотношений. При этом уравнения, описывающие напряженное состояние, принадлежат к гиперболическому типу и имеют два семейства характеристик, являющихся линиями скольжения и пересекающихся под углами, зависящими от угла внутреннего трения сыпучей среды.

Попытки исследования деформированного состояния гранулированной среды в областях, находящихся в предельном равновесии, основывались, как правило, на предположениях о жесткопластическом поведении материала и его несжимаемости. Последнее предположение приводило к тому, что уравнения для определения полей скоростей также имели два семейства характеристик, которые оказывались взаимно ортогональными и, следовательно, не совпадающими с характеристиками уравнений для напряжений.

Это противоречие удалось преодолеть в работе [2], в которой была предложена теория течения, основанная на применении к критерию текучести ассоциированного закона и предположении о жесткопластическом поведении материала. Основным преимуществом этой теории являлось то, что характеристики уравнений, описывающих поля напряжений и скоростей при плоском деформированном состоянии, совпадали, и области, находящиеся в предельном равновесии, могли быть определены однозначно.

Л:

На базе этой модели в работах [3-6] было проведено подробное исследование разрешающей системы уравнений и линий разрыва скоростей и напряжений; решен ряд новых задач, в том числе и со смешанными краевыми условиями, разработаны эффективные численные методы. Недостатком этой теории, как и вообще теории предельного равновесия, являлось то, что она позволяла определить только предельные нагрузки и распределение напряжений и деформаций в пластических областях. Нахождение напряжений и перемещений вне этих зон с помощью этой теории невозможно.

Исторически сложилось так, что изложенные выше теории, следуя Кулону, не вполне точно называют теориями предельного равновесия. Их основная задача - нахождение предельных нагрузок, трактуемых как нагрузки, при достижении которых происходит потеря равновесия (потеря устойчивости) среды. По существу, с современной точки зрения, они являются теориями течения идеалыю-жесткопластического материала, а предельные нагрузки понимаются как нагрузки, при достижении которых такое течение становится возможным. Именно в этом смысле указанные термины будут применяться в дальнейшем.

Попытка учета упругих свойств материала в рамках данного подхода приводит к уравнениям типа Прандтля-Рейсса в теории идеальной пластичности, т.е. к тому, что скорости полных деформаций начинают зависеть не только от напряжений, но и от их частных производных по времени, что вызывает математические трудности, как при анализе разрешающей системы уравнений, так и при решении конкретных задач.

Одной из последних работ в данной постановке является исследование1, в котором проведено численное моделирование динамического процесса обрушения склона на основании модели Дракера-Прагера течения упругопластического тела. Учитываются большие перемещения и деформации материала. Исследование направлено на выявление параметров и условий, приводящих к большим локализованным деформациям. Принималось начальное напряженно-деформированное состояние слоя под действием веса, учитывающее историю образования склона. Возмущением и одновременно началом процесса деформирования служило мгновенное об

1 Кукуджапов В.II. и др. Исследование локализаций пластических деформаций при потере устойчивости откосов. Препринт № 538. М.: ИПМ РАН, 1994. разование наклонной поверхности, на которой нормальные и касательные напряжения отсутствуют. Здесь основной интерес представляет переходной процесс. Характер обрушения зависит в основном от параметров задачи, а также предварительных напряжений, но в меньшей степени от способа задания возмущения.

Другой" подход к определению напряженно-деформированного состояния (НДС) сыпучей среды состоит в том, что в качестве уравнений связи между компонентами тензоров напряжений и деформаций широко используются, особенно в инженерных приложениях [7, 8], соотношения, подобные соотношениям теории упругости. На начальных этапах нагружения упругие коэффициенты полагаются постоянными, т.е. справедлив обычный закон Гука, а по мере роста нагрузок их считают переменными, определяемыми из эксперимента. При обработке экспериментальных диаграмм рекомендуется использовать как касательные, так и секущие модули, т.е. применяемая процедура подобна способу введения переменных коэффициентов упругости в методе упругих решений, разработанному в деформационной теории-пластичности. Однако гипотезы, позволяющие применять этот метод в механике сыпучих сред, не сформулированы и общепринятая деформационная теория сыпучих сред до настоящего времени не разработана. Переход от упругого состояния к состоянию предельного равновесия исследован недостаточно.

Отметим, что и в теории пластичности в этом вопросе тоже нет полной ясности. Так, при упругопластическом изгибе и кручении стержней и при изгибе пластинок переход всего сечения стержня или пластинки в пластическое состояние происходит при внешних нагрузках, совпадающих с нагрузками, даваемыми теорией предельного равновесия (см., например, [9], [10]). С другой стороны, при упругопластическом деформировании толстостенной, трубы всё сечение трубы переходит в чисто пластическое состояние при нагрузке меньше предельной. Причем в случае изгиба и кручения переход всего сечения в чисто пластическое состояние сопровождается неограниченным возрастанием деформаций, тогда как в случае тру

-а» бы деформации остаются конечными [11].

Основной целью настоящей работы является разработка деформационной теории упруго-пластического деформирования гранулированных сред, содержащей в себе теорию предельного равновесия, т.е. позволяющую путем определенного предельного перехода получить из уравнений упруго-пластического деформирования среды известные уравнения предельного равновесия.

Прежде чем перейти к построению деформационной теории предельного равновесия сыпучих сред, отметим, что в теории пластичности имеется теорема А.А. Илыошина [12], утверждающая, что в случае простого нагружения теория течения и деформационная теория приводят к одинаковым результатам, то есть уравнения теории течения могут быть проинтегрированы. При доказательстве этой теоремы используется предположение о несжимаемости материала и степенном законе упрочнения. Поскольку в модели [2] имеет место изменение объема, а материал считается не упрочняющимся, то прямой перенос теоремы Илыошина на нее невозможен. В работе показано, что для случая простого деформирования уравнения теории течения [2] удается проинтегрировать и представить уравнения предельного равновесия механики сыпучих сред в виде уравнений деформационной теории [13].

Первая глава диссертации носит вспомогательный характер. В ней кратко приводятся основные формулы теории напряжений и деформаций; при этом выделяются сведения, наиболее важные для построения теории деформирования гранулированных сред. Также в этой главе проведено исследование сыпучей среды, находящейся в предельном состоянии, приведено условие предельного равновесия, сформулированы системы уравнений. Проведено исследование уравнений, описывающих поля напряжений и скоростей, и преобразование их к канонической системе. Показано, что эти уравнения являются гиперболическими и описаны способы их численного решения.

Во второй главе приведены решения большого количества практических задач: об устойчивости оснований, откосов, активном и пассивном давлении засыпки на подпорную стенку, а также задача о нахождении распределения напряжений и скоростей в склоне. Наибольший интерес представляет задача о склоне. В работе показано существенное отличие решения автора от решения А. Надаи и В.В. Соколовского, и подробно объяснена причина данного отличия.

В третьей главе предложена новая теория деформирования гранулированной среды за пределами упругости, учитывающая как упругие, так и пластические деформации, и имеющая структуру, подобную структуре деформационной теории пластичности. Она существенно упрощает анализ разрешающей системы уравнений и позволяет проследить переход от чисто упругого состояния к состоянию предельного равновесия. Показано, что в случае простого (пропорционального) деформирования уравнения для скоростей в теории предельного равновесия сыпучей среды могут быть проинтегрированы и она может быть представлена в виде теории деформационного типа. Введена система специальных функций, определяющих компоненты тензоров напряжений и деформаций, и получена разрешающая * система уравнений упругопластического деформирования среды для случая плоского деформированного состояния. Указан предельный переход, с помощью которого из этих уравнений получаются известные уравнения теории предельного равновесия. Далее приводится решение с использованием предложенной теории ряда прикладных задач.

В § 20 решена упругопластическая задача о нагружешш трубы (толстостенного кругового цилиндра) внутренним давлением. Показано, что нагрузка, соответствующая переходу трубы в чисто пластическое состояние по всему сечению, как правило, не совпадает с нагрузкой, полученной на основании теории предельного равновесия. Определен предельный переход, при котором такое совпадение происходит.

В § 21 представлена новая задача об упругопластическом деформировании кругового пласта, имеющего отверстие (скважину) в центре. Впервые возможность появления пластических зон в подобной задаче рассматривался С. А. Христиановичем [14] применительно к исследованию гидроразрыва нефтеносного пласта. Обычно нефтеносные пласты состоят из довольно прочного песчаника, ограниченного сверху и снизу высокопластической глиной. Метод гидроразрыва состоит в том, что в скважине на верхней и нижней границе пласта устанавливаются гидравлические паркеры и между ними в скважине создается повышенное давление. В результате этого в пласте образуется трещина, в которую затем закачивается крупнозернистый песок. Определенное С.А. Христиановичем давление гидроразрыва оказалось больше соответствующего давления, наблюдаемого на практике. В некоторых случаях реальное давление гидроразрыва оказывалось даже меньше горного давления, действующего на пласт. Для объяснения этого явления С.А. Христианович полагал, что ограничивающие нефтеносный пласт слои глины перешли в предельное состояние в окрестности скважины, но сам пласт оставался упругим.

Одна из последних работ в этом направлении [15], посвящена численному решению данной задачи с учетом больших деформаций и накопления повреждаемости. Нефтеносный пласт также принимается упругим. Для описания неупругого поведения слоя глины используется модель упру-говязкопластической среды с повреждаемостью, которая строится на основе представлений феноменологической теории дислокаций и развития микродефектов применительно к процессам вязкопластического деформирования материала [16].

В данном параграфе полагалось, что ограничивающие пласт слои глины обладают настолько малой сдвиговой прочностью, что на внешних границах пласта не возникает касательных напряжений и предполагается нагружение только гидростатическим давлением. Определены глубины залегания пласта, при которых в окрестности скважины появляется зона пластической деформации. Установлено предельное значение глубины, при которой происходит схлопывание пласта. Найдено поле остаточных напряжений и деформаций. Задача имеет важное прикладное значение в вопросах добычи артезианских вод, углеводородного сырья и др. Решение этой задачи по теории предельного равновесия невозможно.

В § 22 приведено решение классической задачи о напряженном состоянии плоского склона в упругопластической постановке. Установлено соотношение между механическими характеристиками среды и углом склона, при котором склон по всей глубине всегда остается в упругом состоянии. Показано, что при упругопластическом деформировании возможны три разлииных напряженно-деформированных состояния. Прослежен переход к состоянию предельного равновесия и установлено, что, в отличие от существующих представлений, пластическое течение склона из же-сткопластического материала невозможно при углах склона меньших угла внутреннего трения. При углах склона больших угла внутреннего трения происходит пластическое течение не всего склона, а только его верхнего слоя определенной толщины.

Для нахождения напряженного и деформированного состояния в упругопластических задачах общего вида предложены три итерационных численных метода (аналогичные методам дополнительных нагрузок, дополнительных деформаций и переменных коэффициентов упругости в деформационной теории пластичности). В § 23 на тестовой задаче исследована скорость сходимости каждого из методов. Проведено комплексное сравнение этих алгоритмов друг с другом.

Применение результатов работы на практике помогут в решении вопросов рационализации природопользования и охраны окружающей среды, таких как*минимизирование землеотводов под дорожное, промышленное и гражданское строительство, под отвалы промышленных отходов, уменьшение объемов вскрышных работ при открытом способе добычи полезных ископаемых и т.д. Решенные задачи имеют важное прикладное значение в вопросах добычи артезианских вод, углеводородного сырья и др.

Обоснованность и достоверность полученных результатов вытекает из математической строгости и постановки рассматриваемых задач и применяемых методов. Предложенные в диссертации математические модели и вытекающие из них результаты основаны на общих законах и уравнениях нелинейной континуальной механики, а также фактически естественных гипотезах и допущениях. Кроме того, обоснованность и достоверность подтверждаются сравнением полученных результатов с известными результатами других авторов, полученных по теории предельного равновесия использованием внутренних проверок точности вычислений.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

ВЫВОДЫ

В качестве примера решена упругопластическая задача о нагруже-нии трубы (толстостенного кругового цилиндра) внутренним давлением. Показано, что нагрузка, соответствующая переходу трубы в чисто пластическое состояние по всему сечению, как правило, не совпадает с нагрузкой, полученной на основании теории предельного равновесия. Определен предельный переход, при котором такое совпадение происходит.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Кондратьев, Дмитрий Сергеевич, Москва

1. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1954. 274 с.

2. Drucker D.C., Praguer W. Soil mechanics and plastic analysis or limit design // Quart. App. Math. 1952. Y. 10. № 2. P. 157-165.

3. Ширко И.В. О полях скоростей при условии пластичности общего вида // Тр. МФТИ. М.: Оборонгиз, 1961. Т. 7. С. 71-84.

4. Ширко И.В. Разрывы полей напряжений при условии пластичности общего вида// Изв. АН СССР. Инж. ж. 1961. Т. 1. № 3. С. 188-192.

5. Ширко И.В. Некоторые задачи теории пластичности со смешанными граничными условиями // Изв. АН СССР. Инж. ж. 1962. Т. 2. №2. С. 305-311.

6. Shirko I. V. Effective Method of Numerical Solving the Problems of Plastic Flow of Materials // Proc. Adv. Tech. of Plasticity. Kyoto, 1990. V. 1. P. 435-439.

7. Ухов С.Б., Семенов В.В., Знаменский В.В. и др. Механика грунтов, основания и фундаменты. М.: Изд-во АСВ, 1994. 527 с.

8. Долматов Б.И., Бронин В.Н., Карлов В.Д. и др. Механика грунтов. Ч. 1. Основы геотехники в строительстве. М.: Изд-во АСВ; СПб.: СПбГА-СУ, 2000. 204 с.

9. Ширко И.В. Упруго-пластический изгиб защемленной вдоль контура пластинки //Тр. МФТИ. М.: Оборонгиз, 1959. Т. 3. С. 180-186.

10. Ширко И.В. Нелинейные деформации и предельное равновесие пространственных криволинейных стержней // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 1. С. 50-57.

11. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высш. шк., 1969. 608 с.

12. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. 376 с.

13. NadaiA. Theory of Flow and Fracture of Solids. V. 1. N.Y., etc., McGraw-Hill, 1950. 572 p. = Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 1. М.: Мир, 1954. 647 с.

14. Христиаиович С.А., Желтое Ю. П. О гидравлическом разрыве нефтеносного пласта. ii Изв. АН СССР. ОТН. 1955. № 5. С. 3-41.

15. ХЪ.Бураго Н.Г., Ковшов А.Н. Напряженное состояние горной породы в окрестности скважины // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 1. С. 139-143.

16. Кукуджанов В.Н. Микромеханическая модель неупругой среды для описания локализации деформаций. // Тр. IX конф. по прочности и пластичности. М.: ИПМ РАН, 1996. Т. 2. С. 118-124.

17. Новожилов В.В. О физическом смысле инвариантов напряжения // ПММ. 1951. Т. 15. Вып. 2. С.

18. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.: Гостехиздат, 1947.

19. Цытович Н.А. Механика грунтов. 3-е издание. М.: Госстойиздат, 1951.

20. HuberМ.Т. Die spezifische Formanderungsarbeit als MaB der Anstrengung eines Materials. Lemberg, 1904.21 .МизесР. Механика твердых тел в пластическом деформированном состоянии // Сб. «Теория пластичности». М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948.

21. Shleicher F. Der Spannungszustand an der Fliefigrenze // Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik. 1926. Bd. 6, №3.

22. Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости // Сб. «Теория пластичности». М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948.

23. Mohr О. Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik. Zweite Auflage. Berlin, 1914.

24. Генки Г. К теории пластических деформаций и вызываемых ими в материале остаточных напряжений // Сб. «Теория пластичности». М.: Гос. изд-во иностр. л ит-ры, 1948.

25. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. М.: Гос. изд-во физ.-мат. л ит-ры, 1962.

26. Качалов Л. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.

27. Механика. Новое в зарубежной науке. Выпуск 2. Определяющие законы механики грунтов. Сборник статей. Мир, Москва, 1975.

28. Механика. Новое в зарубежной науке. Выпуск 36. Механика гранулированных сред. Теория быстрых движений. Сборник статей. Мир, Москва, 1985.

29. NadaiA. Theoiy of Flow and Fracture of Solids. V. 2. N.Y., etc., McGraw-Hill, 1963. 762 p. = Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 2. М.: Мир, 1969. 863 с.

30. Кондратьев Д.С., Ширко И.В. Простое деформирование в механике сыпучих сред // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук: Тез. докл. XLIII науч. конф. М.: МФТИ. Ч. 3. 2000. С. 10.

31. Shirko /. V., Kondratyev D.S., Stetsenko P. К Deformation theory in the mechanics of granular media // Proc. American Soc. Composites: 17th Techn. Conf., West Lafayette, 2002. P. №168.

32. Быков Д.Л. О некоторых методах решения задач теории пластичности // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1975. № 4. С. 119-139.

33. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Решение упруго-пластических задач методом конечных элементов // Вычислительная механика твердого деформированного тела. М.: Наука, 1991. Вып. 2. С. 78-122.

34. Христианович С.А., Желтое Ю.П., Баренблатт Г.И., Максимович Г.К. Теоретические основы гидравлического разрыва нефтяных пластов // Избранные работы. М.: Наука, 1998. С. 269-276.

35. Бураго Н.Г., КовшовА.Н. Напряженное состояние горной породы в окрестности скважины // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 1. С. 139-143.

36. Ширко КВ., Кондратьев Д.С., Стеценко П.В. О сходимости метода упругих решений в задачах механики грунтов // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук: Докл. XLV науч. конф. МФТИ. Ч. 3.2002. С. 18-20.