Упруго-пластическое деформирование сыпучего материала во вращающейся емкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

[^Щ■ОДЬЕКД ЭЯЗО^ВЛЯВ!

МИКЕНИНА Ольга Александровна

УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ СЫПУЧЕГО МАТЕРИАЛА ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЕМКОСТИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2005

Работа выполнена в Институте горного дела СО РАН

Научный руководитель доктор технических наук

Бобряков Альберт Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Киселев Сергей Петрович

доктор технических наук, профессор Серяков Виктор Михайлович

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М. В. Ломоносова (Москва)

Защита состоится «30» сентября 2005 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 003.035.01 в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, ул. Институтская, 4/1, ИТПМ СО РАН. Факс (3832) 330-72-68 E-mail: shulgin@itam.nsc.ru

С диссертационной работой можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной механики СО РАН

Автореферат разослан « 22.» августа 2005 года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Самсонов В. И.

10.22>!о Общая характеристика работы

Актуальность темы. В ряде отраслей промышленности используются технологические процессы, которые сводятся к деформированию и разрушению сыпучих материалов во вращающихся цилиндрических емкостях. К ним относятся шаровые мельницы, мельницы самоизмельчения, смесители барабанного типа, устройства для сушки сыпучих материалов, цементные печи. Для расчета и оптимизации таких процессов необходимо исследование упруго-пластического деформирования сыпучего материала в данных емкостях. Большая часть работ в этой области выполнена в рамках инженерных схем расчетов. Представляет интерес исследование процессов деформирования строгими методами механики деформируемого твердого тела с использованием современных математических моделей и методов численного решения задач.

Цель работы состояла в исследовании процесса деформирования сыпучего материала во вращающейся цилиндрической емкости в рамках строгих математических моделей механики деформируемого твердого тела и анализе кинетики смешения материала.

Идея работы состоит в том, чтобы исходную достаточно сложную задачу разбить на две: динамическую задачу о течении материала в тонком поверхностном слое и квазистатическую задачу об упруго-пластическом деформировании материала вне данного слоя и затем полученное решение использовать для исследования кинетики перемешивания материала без привлечения дополнительных гипотез.

Задачи исследований: решение краевых задач о допредельном упруго-пластическом деформировании сыпучей среды во вращающейся цилиндрической емкости с учетом внутреннего трения, дилатансии и возможной упругой разгрузки материала; исследование течения сыпучего материала в тонком поверхностном слое, численное моделирование кинетики процесса смешения сыпучего материала. Обработка лабораторных экспериментальных данных.

Методы исследований: метод конечных элементов для численного решения задач, аналитический и численный методы для исследования динамического течения в тонких слоях, метод статистической обработки теоретических и экспериментальных данных.

Основные научные положения, защищаемые автором

В результате численного решения квазистатической задачи о деформировании области с плоской свободной границей, угол наклона к горизонту которой постепенно увеличивается, определены поля перемещений и напряжений, области активного нагружения и упругой разгрузки, участки на границе контакта, где внешнее трение не развито либо развито полностью.

1. Решение указывает на возможность двух принципиально различных режимов деформирования материала. При первом режиме условие полностью развитого трения достигается по всей границе контакта с емкостью, что вызывает смещение материала как жесткого 1

РОС. НАЦИОНАЛЫ! БИБЛИОТЕКА С Пет О»

2. При втором режиме трение развито не полностью (есть участок прилипания) и в предельное состояние переходит материал, примыкающий к свободной поверхности, что вызывает течение в поверхностном слое.

3. Для исследования течения в поверхностном слое строится динамическая модель. Решение в рамках данной модели указывает на возможность либо непрерывного течения, либо течения, которое сводится к сходу отдельных лавин. Численно показано, что с увеличением времени начальная конфигурация профиля свободной поверхности материала «забывается» и устанавливается стационарный процесс.

В упрощенном варианте задача сводится к исследованию последовательности одномерных отображений. Показана возможность существования циклов с удвоением периода, режимов типа шумящих циклов и хаотических режимов.

4. Многократная численная реализация процесса схода лавин указывает на перемешивание материала во всей области.

5. Сравнение численных решений с результатами лабораторных экспериментов показывает удовлетворительное качественное совпадение.

Достоверность научных результатов подтверждается сопоставлением с известными ранее теоретическими и экспериментальными результатами, использованием строгих методов механики деформируемого твердого тела, проведением тестовых расчетов, соответствием теоретических и лабораторных экспериментальных результатов.

Новизна научных положений состоит в численном решении задачи строгими методами механики деформируемого твердого тела в рамках модели, учитывающей внутреннее трение, дилатансию и упругую разгрузку, определении параметров, при которых реализуется либо режим смещения материала как жесткого целого, либо его переход в предельное состояние в поверхностном слое.

Показано, что для исследования течения необходимо учитывать динамические эффекты; разработана соответствующая математическая модель. Ее численная реализация позволила исследовать роль параметров материала и конфигурации начального профиля, а также кинетику перемешивания без введения дополнительных гипотез о характере перемешивания.

Личный вклад автора. Построение численных решений о допредельном деформировании материала и их анализ; построение математической модели и решение задачи о течении сыпучих материалов в тонких слоях; анализ кинетики перемешивания; участие в экспериментальных исследованиях и их обработка.

Теоретическая и практическая ценность работы.

В строгой постановке определены поля перемещений, напряжений и деформаций во всей деформируемой области. Из решения определены диапазоны параметров, при которых материал либо смещается вниз как жесткое целое без перемешивания, либо в предельное состояние переходит поверхностный слой, что приводит к течению с перемешиванием. Эти обстоятельства являются принципиально важными с технологической точки зрения.

В упрощенном варианте задача сведена к исследованию последовательностей одномерных отображений. Показана возможность существования циклов с удвоением периода, режимов типа шумящих циклов и хаотических режимов.

Численно без привлечения дополнительных гипотез показано, что многократная реализация процесса схода лавин приводит к диффузии ключевого компонента и перемешиванию материала во всей области.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на 18 Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Кемерово, 2003); на Международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (Томск, 2004); на Международной конференции «Проблемы и перспективы развития горных наук», (Новосибирск, 2004); на Сибирской конференции молодых ученых по наукам о Земле, (Новосибирск, 2004); на летнем семинаре «Геомеханика и геофизика», (Новосибирск, 2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников из 118 наименований. Работа содержит 126 страниц машинописного текста, 110 рисунков, 7 таблиц.

Автор выражает благодарность А. П. Бобрякову, А. Ф. Ревуженко за руководство работой и О. П. Бушмановой, совместно с которой проводился ряд численных расчетов.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяются цели исследований, излагается научная новизна, формулируются основные научные положения, выносимые на защиту.

В главе 1 дан краткий обзор работ отечественных и зарубежных авторов по теме диссертации, отражающий современное состояние вопроса.

В обзоре литературы рассмотрены работы по следующим направлениям: математические модели деформирования сыпучих сред; работы по теоретическому и экспериментальному исследованию процессов деформирования сыпучих сред в барабанных мельницах различных типов, цементных печах, смесителях барабанного типа.

В настоящее время разработан ряд математических моделей деформирования сыпучих сред, в которых учитываются внутреннее трение и дилатансия, а также возможная упругая разгрузка. Однако для решения задач о допредельном состоянии сыпучего материала во вращающихся емкостях эти модели не использовались. В диссертационной работе ставится задача исследования процесса пластического деформирования в области допредельного состояния материала.

Изучению динамики движения сыпучей среды посвящена обширная литература. Обзор литературных источников в этой области показывает, что возможно три основных режима движения материала внутри мельниц и смесителей барабанного типа: колебательный, каскадный и водопадный. Первые два режима, которые реализуются при достаточно малых скоростях вращения барабана, исследуются в диссертационной работе.

Ряд работ посвящен исследованию кинетики смешения сыпучих материалов. При этом для описания процесса смешения вводится предположение о том, что он описывается специальными дополнительными уравнениями. Представляет интерес исследование процесса смешения без введения дополнительных уравнений, опираясь только на решение задачи о деформировании материала и его течении в предельном состоянии.

Глава 2 посвящена постановке и исследованию задачи о допредельном упруго-пластическом деформировании сыпучей среды в медленно поворачивающейся емкости, частично заполненной сыпучим материалом.

Рассмотрим цилиндрическую емкость (барабан), частично заполненную сыпучим материалом, которая медленно поворачивается вокруг горизонтальной оси (рис.1). Известно, что в сыпучих материалах пластические деформации появляются уже на начальной стадии деформирования, когда состояние материала еще далеко от предельного. Ставится задача о расчете напряженно-деформированного состояния материала и определения областей активного на-гружения и разгрузки, а также области, в которой состояние материала близко к предельному. Требуется также исследовать влияние угла дилатансии, коэффициента внешнего трения, коэффициента заполнения емкости материалом на процесс деформирования и движения материала.

В работе выбрана математическая модель, разработанная в Институте горного дела СО РАН, в которой учитываются основные свойства сыпучих материалов: дилатансия и внутреннее трение. Учитываются также упругие и допредельные пластические деформации. В реальном сыпучем материале упаковка частиц является хаотической, нерегулярной. В модели хаотическая упаковка

А

Рис. 1. Деформируемая область

заменяется эффективной регулярной. Эффективной в том смысле, что она наделяется такими же макросвойствами, что и исходная нерегулярная упаковка. Параметры последней берутся из экспериментальных данных. Структура упаковки материала характеризуется углом Э. В процессе деформирования он проявляется как угол дилатансии:

Ае = tgЗ Ау,

где Ае, Ау — приращение деформаций объема и сдвига. Если Э < 0, то материал при сдвиге уплотняется, если Э > 0, то разрыхляется. Обратимся к описанию внутреннего трения. В сыпучих материалах пластические деформации связаны с отношением касательных напряжений к нормальным. В модели этот факт учитывается таким образом: вводится угол (р такой, что tg(р равен отношению касательного и нормального напряжений на контакте между частицами упаковки. Затем определяется связь угла (р с главными напряжениями. Таким образом, угол <р{.Х\, Х2 ) является характеристикой напряженного состояния материала. Данная характеристика имеет смысл мобилизованного угла внутреннего трения материала. Критерий активного нагружения или разгрузки выражается через указанную характеристику следующим образом: А<р >0 —

активное нагружение, Аср <0 — разгрузка (ф> 0).

Процесс нагружения осуществляется по шагам. На каждом шаге нагружения область и оси координат поворачиваются на угол Д/У по часовой стрелке. Такое нагружение приводит к изменению направления объемных сил Х1 относительно деформируемой области. Для каждого шага нагружения вычисляются поля приращений перемещений и напряжений Дм,, До^ ,(/,/= 1, 2).

Пусть (Ту, ст[ компоненты напряжений и главные напряжения — на 1-й шаге нагружения. Условие активного нагружения имеет вид: А<р' =<р1 -V-' >0.

где

I <з\ я „

(р = -ага%—у- +--«У.

<г, 4

Замкнутую систему уравнений можно записать в следующей форме:

дх, дх2 дАа" дАа± + АХ2=0;

дх, дх

2

'Аи.,1

Д<т22 = D АМ22 (2)

чАвГ12> Auv +ДМ1>2/

где D ■

Dp (a1*1; (p1'1; v; E; Э\ ф при A<p = (p' - (p1'1 > 0, De при A <p < 0.

De - матрица упругих модулей. Коэффициенты матрицы Dp зависят от величины напряжений, достигнутых на предыдущем шаге нагружения, коэффициента Пуассона, модуля Юнга и параметров, характеризующих дилатансию и внутреннее трение материала. Вследствие громоздкости выражения для коэффициентов здесь не приведены.

Примем, что начальные напряжения в материале равны:

а°и = ка°22, <т°2 = -у(Н-х2), сг,°2 = 0, (3)

где к, Н— const.

Краевые условия ставятся на свободной поверхности (приращения нормальных и касательных напряжений отсутствуют) и на контакте материала с

барабаном: 1) \(7Т |< — fan - условие сухого трения (где f=const; <JT , <Уп -

касательное и нормальное напряжения на границе); 2) ип=0 - условие непроникания, стенки барабана предполагаются абсолютно жесткими.

Участки границы, где выполняются строгое неравенство или равенство,

заранее неизвестны и определяются в ходе решения задачи. Если | <Тт |< —f<J„ , то ставятся два кинематических условия (прилипания):

Un=0, UT=0, (4)

где ип и их - нормальная и касательная составляющая перемещения. Если же на границе трение развито полностью, то

к,1=-/о-и.ия=0. (5)

Для определения неизвестных участков границы, на которых выполняются условия (4) или (5), на каждом шаге нагружения строится итерационный процесс. Он заканчивается, когда во всех точках раздела различных типов краевых условий выполняются условия склейки:

г-тХ

(6)

'«О

\anj

где индексами «+», «—» обозначены односторонние пределы соответствующих напряжений. Более общий случай, когда учитывается различие в значениях статического и динамического fd коэффициентов трения, рассматривается

аналогично. Здесь условие непрерывности (6) заменяется условием на скачок отношения напряжений:

{ \ м

- /я /й-

Таким образом, задача с краевыми условиями, содержащими неравенства, сводится к решению последовательности задач с условиями типа равенств.

Численное решение строится методом конечных элементов. Область деформирования разбивается сеткой, в узлах которой определяются приращения перемещений, в элементах вычисляются приращения напряжений. Полученные поля напряжений и их приращений позволяют находить все характеристики механического состояния сыпучей среды в исследуемой области.

В главе 2 приведены решения задач при различных исходных параметрах: значении угла дилатансии 9; начальном значении коэффициента бокового распора к; параметре упрочнения материала в допредельном состоянии Т]; параметре %, характеризующем изменение угла дилатансии материала в зависимости от сдвига; статического и динамического коэффициентов внешнего трения /и' Угла поворота барабана ¡3, коэффициента Пуассона V и модуля Юнга

Е. Строятся поля перемещений и напряжений, в каждой точке вычисляется угол мобилизованного внутреннего трения; находятся области активного нагружения и упругой разгрузки.

На рис.2 изображены изолинии поверхности ф = ф(хх,х2)'- у =0.01;

3 = -9°; к=0.43; Н=0.15; у = 0.3; /? = 30°; Д>? = Г; 7 = 0.1; £ = 0; статический коэффициент внешнего трения =0.36, динамический коэффициент внешнего трения /а=0.Ъ5, Ь=1. Можно выделить слой материала, в котором угол <р(хх, х2 ) достигает своего критического значения ср*.

-ол-

■0А-

■О.в-

-ов-

-1 -0,8 -<Хв ЧХ4 -0,2 0 0.2 ОД ОЛ 0.8

Рис. 2. Изолинии мобилизованного угла трения <р(х1,х2)

На рис.3 приведены изолинии поверхности Аф = А(р(хпх2) (приращений угла в градусах): у =0.01; ¿» = -5°; к=0.43; Н=0.15; V = 0.3; /? = 10°; Д/? = 1°; Т] = 0.1; £ = 0; = 0.36, = 0.35, Ь=1. Прослеживаются области активного нагружения и разгрузки.

Рис. 3. Области активного нагружения и упругой разгрузки

Таким образом, видно, что в предельное состояние переходит не весь слой, примыкающий к свободной поверхности материала, а только его часть. Здесь происходит потеря устойчивости и начинается течение материала в тонком слое. Для его описания рассматривается отдельная модель.

Глава 3 посвящена решению задачи о течении сыпучего материала в тонком поверхностном слое и исследованию кинетики перемешивания.

Вначале рассматривается модель процесса, связанная с использованием метода клеточных автоматов. Разобьем профиль на N столбцов заданной высоты /г,, где i е [1 .../V] - четное число). Пусть /г( (/) - количество материала в /-ом столбце в момент времени Вследствие поворота барабана высоты столбцов за единицу времени меняются на величину СО(И 12 — 1). Это приводит к тому, что разница между высотами соседних столбцов увеличивается. С другой стороны, если разница между высотами соседних столбцов становится больше критической, то из столбца с большей высотой материал пересыпается в соседний столбец с меньшей высотой. Это приводит к противоположному процессу -уменьшению разницы высот. Примем, что за единицу времени количество пересыпавшегося материала пропорционально разнице высот и равно к • [йм (?) — /г, (/)], где к - заданная постоянная. Тогда:

\NI2-i) при / е [2..Ы -1];

h„(t + l) = hN(t) + k- [hN_,(t) - hN(t)]-co -N/2-, h,(t + l) = h1(t)-lc-[hI(t)-h}(tj\+co-(N/2-l).

В зависимости от угловой скорости и параметра к режим пересыпания может быть непрерывным или порционным. На рис.4 изображен график изменения количества материала V, находящегося в движении, в зависимости от времени при порционном режиме пересыпания.

Рис.4. Зависимость количества пересыпаемого материала от времени при порционном режиме пересыпания

Рассмотрим напряженное состояние тонкого слоя, примыкающего к свободной поверхности материала (рис. 5). Обозначим через Р нормальное напряжение в сечении слоя. На подошву слоя действует сила трения. Выписывается условие равновесия слоя. Сыпучий материал не выдерживает растягивающих напряжений и поэтому на решение накладывается дополнительное неравенство Р > 0. Далее определяются участки слоя (кластеры), где действует сжимающее напряжение Р > 0. На границах кластеров выполняются условия Р=0.

В каждом кластере вычисляется максимальное значение сжатия, и среди них выбирается абсолютный максимум Ртак. Если Ртах меньше критического

значения Р , то устойчивость слоя сохраняется и параметр нагружения увеличивается до тех пор, пока в некоторой точке Х = Ь° значение сжатия Р(х) не

достигнет критического значения Р . В данной точке происходит потеря устойчивости слоя и начинается течение материала. В движение приходит часть кластера, которая находится выше критической точки х = Ь°. Обозначим через а° и Ь° - начало и конец части кластера (лавины), которая придет в движение. В процессе движения они меняются, так что Cl = a(t) ; b = b(t).

Потеря устойчивости слоя происходит путем образования одной линии скольжения (типа линии, возникающей за подпорной стенкой). Это приводит к тому, что на концах слоя его толщина линейно меняется В расчетах указанное изменение толщины учитывалось и это оказалось существенным. После потери устойчивости лавина начинает скользить по материалу, который находится в допредельном состоянии. Если считать, что в процессе движения толщина лавины не меняется, и пренебречь центробежной силой и слагаемым, связанным с кривизной поверхности, то движение лавины можно описать следующими уравнениями:

-^ = Am-fm)-tgMKt)-a(t))>^P- = vcosa(a(t)), (7) g at dt

где g - ускорение свободного падения; I, v = v(t) - длина лавины и ее скорость;

ç>k - кинематический угол трения; v(0) = 0, а(0) = а°, b(0) = b°; у = /(*)-

заданный профиль, tga = -f'(x). Начальные и текущие значения a(t) и b(t)

связаны условием:

_

\4\ + {f'x?dx = l = const- (8)

a(l)

Учитывалось также необходимое условие существования лавины (как движущегося кластера) - условие отсутствия растягивающих напряжений: P(x,t) > О

при a(t) <х< b(t).

Решением уравнений (7), (8) является функция a(t), которая описывает движение лавины. После остановки лавины весь материал переходит в допредельное состояние. При этом крутизна профиля, с одной стороны, уменьшается за счет схода лавины и, с другой стороны, увеличивается за счет поворота барабана. Далее рассчитывается новая конфигурация профиля; новый профиль разбивается на кластеры и вся процедура расчета повторяется снова.

Решен ряд задач при различных исходных данных (угловой скорости вращения со, значений кинематического и статического углов трения, начальной формы профиля). В зависимости от указанных параметров либо некоторое время течения не происходит и конфигурация профиля меняется только за счет вращения (в материале развиваются допредельные пластические деформации), либо сразу начинается течение. В ходе решения вычислялись следующие параметры: {I,}—последовательность длин движущихся лавин, {г, } — последовательность временных промежутков, в течение которых лавины движутся вниз, / , т , сг(/), (т(т) — среднее арифметическое и среднее квадратичное отклонение последовательностей {} и { Tt}.

Рассмотрим влияние скорости вращения на характер движения материала. Конфигурация свободной поверхности профиля зависит от двух противодействующих факторов: с одной стороны, вращение увеличивает крутизну профиля, с другой — ссыпание материала уменьшает крутизну. При достаточно большой скорости вращения течение материала происходит непрерывно. В определенном диапазоне изменения скорости вращения и значений кинематического и статического углов трения пересыпание осуществляется отдельными порциями.

Исследовалась эволюция профиля свободной поверхности материала. Рассмотрим несколько примеров, а) Начальный профиль имеет форму прямой у = —0.53х +1. б) Начальный профиль задан функцией y = -tg(0,01ях). в)Начальный профиль задан функцией у = 10 + 100/(х + 4)- В каждом из рассмотренных случаев начальные профили имели различную форму. Однако после схода достаточно большого количества лавин конфигурация профиля выходит на стационарное состояние ухкх ■ Значение к от исходной формы профиля не зависит и соответствует кинематическому коэффициенту трения.

Таким образом, численный расчет показывает, что при детерминированных внешних условиях процесс в целом приводит к хаотической динамике, поэтому естественно применить в данной задаче методы нелинейной динамики. Для этого рассмотрим упрощенную модель процесса, которая позволяет дать его обозримое описание и выявить ряд закономерностей, которые трудно проследить в более сложных моделях.

Исключим из модели фактор, который имеет наибольшее число степеней свободы - криволинейный профиль свободной поверхности материала. Предположим, что профиль представляет собой прямую, наклоненную под углом а к горизонту (рис. 6). Пусть 5-объем лавины, который стекает вниз и B=const . Перемещение объема В приводит к тому, что профиль свободной поверхности станет положе. Если новую конфигурацию профиля аппроксимировать прямой, то вследствие смещения объема В угол ее наклона уменьшится от значения а до а -Ъ, где b=2B/R2, R - радиус барабана. На перемещение лавины при заданном угле наклона а потребуется время f*( а ). Вращение барабана с угловой

скоростью w за время t* приведет к увеличению крутизны профиля на угол at*. Следовательно за время t крутизна профиля меняется от значения а до значения

а'= « + -¡=2--Ь = F(a), Р = а-<р >0 (9)

у sin р к

где Q = ю cos (pig - безразмерный параметр, t определено из решения

уравнений (7), (8). Таким образом, задача свелась к исследованию одномерных отображений, определяемых функцией (9), то есть к исследованию последовательности

Po>Pi=F(Po\P2=F(Pi)"P,=F(P»-î)">

где рв>0 — задано.

Данная модель обнаруживает весьма сложное и интересное поведение. Во-первых, в ней наблюдаются предельные устойчивые циклы и бифуркации удвоения периодов. Например, при 6=0,1 (5,73°); Г2 =0,015; 0,014; 0,0139; 0,01385; 0,013842; 0,013841; 0,0138405; 0,01384045; 0,013840405; 0,013840402; 0,013840400 наблюдаются циклы с периодом 2м N от 1 до 11 (рис. 7, N =2, на

Рис.7. Устойчивый цикл

При дальнейшем уменьшении О (¿=0.1) появляются циклы, некратные 2Ы: 48 при О=0,013801; 60 при П= 0,0138001 и т.д. Четко прослеживаются шумящие циклы (П =0,01383) и постепенный переход к хаосу. На рис.8, 9 показаны траектория от «=19700 до 20001 и гистограмма для и от 1 до 20001. Здесь =0.0137; А=0.1 и виден переход к хаосу, в котором еще прослеживаются черты былого порядка.

3.5467041

2.902239 -

2.257775-

1.613310-

0.968845 "

0.324380 0.968845 1.613310 2.25"'775 2.902239 3.546704 Рис. 8. Последовательность отображений от номера 19700 до 20001

tu

Lim LiA|iniiii

0.471 1.057 1.643 2.230 2.816 3.395

Рис. 9. Гистограмма углов наклона свободной поверхности материала

Перейдем к вопросу о кинетике перемешивания материала. Расчеты проводились в следующей последовательности.

1. Отмечалось некоторое количество частиц ключевого компонента объема Q;

2. Параметр нагружения увеличивался и решалась последовательность задач о сходе лавин. Фиксировалось текущее положение частиц ключевого компонента.

3. После схода достаточного количества лавин (расчетах - до 15 тыс.) анализировался характер распределения ключевого компонента по всему объему материала V. Для анализа задавался определенный объем Б и после этого подсчитывалось содержание в этом объеме ключевого компонента. Задавая последовательность разных положений в, получалась соответствующая последовательность Х1. Данная последовательность зависит также от времени I. В идеальном процессе должна получиться такая смесь, когда в любой достаточно представительной пробе, взятой в произвольном месте, отношение частиц ключевого компонента к общему объему будет близко к величине I = QIV.

Перемешивание можно рассматривать, как процесс, происходящий по двум полярным координатам - по радиусу г и углу в. Исследовалось качество смешения по каждой координате в отдельности. Использованы две оценки качества смеси: первая оценка - по наиболее неоднородному элементу -

М = шах|Х, - /| . Вторая оценка - в среднем по объему:

Рис. 10. График зависимости функции а оП

Решался ряд задач при различных исходных данных. На рис. 10 изображен график функции <7 (1) (по оси абсцисс отложено количество шагов по времени, по оси ординат - оценка £7), которая получена при следующих данных: У=20 600; 0=824; /=0,04; <ря-<рк =5°.

Глава 4 посвящена обработке экспериментов, проведенных в лаборатории механики деформируемого твердого тела ИГД СО РАН, и сравнению результатов с теоретическими решениями. Рассматривается следующий эксперимент: барабан, выполненный из оргстекла, заполненный сыпучим материалом (сухим песком), медленно приводится во вращение с постоянной угловой скоростью. Как только угол откоса превысит критический, материал начинает пересыпаться. Измерение объема пересыпаемого материала производится с по-

мощью флажка, закрепленного на оси вращения барабана и свободным концом касающегося поверхности материала. В момент схода лавины флажок поворачивается и самописец фиксирует угол его поворота. Данный угол связан с объемом ссыпавшейся порции.

а

Рис. 11. Экспериментальная осциллограмма

Для каждой из порций материала на шаге с номером п фиксируем две величины ап - максимальный угол, при котором происходит срыв материала (на

рисунке - амплитуда ВС) иг,- время между сходами двух лавин (участок АС). Для последовательностей ап, тп построены гистограммы. Проведено сравнение экспериментальных результатов с численными. На рис. 12 приведена гистограмма последовательности объема ссыпавшихся порций для экспериментального и численного результатов.

0.5! 0.51

IV

п

Рис. 12. Гистограмма последовательности объема ссыпавшихся порций: (а) - экспериментальный результат; (б) - результат численных расчетов

Проводились также следующие эксперименты. Формировалась коническая насыпь, на которую затем подавалась тонкая струя сыпучего материала. Происходило накопление частиц и обрушение накопленного материала. В некоторых случаях наблюдался стационарный поток. Вес насыпи непрерывно фиксировался на диаграмме и затем проводилась ее обработка.

Во втором варианте данных опытов тонкая струя сыпучего материала подавалась на наклонный желоб. Это приводило к формированию насыпи, по которой последовательно стекают отдельные лавины. Для последовательностей масс ссыпавшихся порций построены соответствующие гистограммы. Данный эксперимент был промоделирован численно. Сопоставление показывает удовлетворительное качественное совпадение экспериментальных данных и численных расчетов.

Основные результаты работы

1. Для исследования задачи о деформировании области с плоской свободной границей, угол наклона к горизонту которой постепенно увеличивается, использовалась математическая модель, учитывающая допредельные пластические деформации, упругую разгрузку и переход среды в предельное состояние, а также такие основные свойства сыпучей среды, как внутреннее трение и дила-

тансия. Решение показало, что деформируемая область разделяется на две части: область активного нагружения и область упругой разгрузки. В соответствие с этим, в предельное состояние переходит не весь поверхностный слой материала, а только его верхняя часть, которая испытывает активное нагружение; на нижней части поверхностного слоя происходит упругая разгрузка.

2. В зависимости от коэффициента заполнения емкости, угла внешнего трения и упруго-пластических характеристик материала, возможно два режима деформирования: либо в предельное состояние переходит материал, примыкающий к свободной поверхности, и начинается течение в тонком слое, которое приводит к перемешиванию, либо происходит срыв материала по всей внешней границе, что приводит к его смещению как жесткого целого без перемешивания.

3. Задача о течении в тонком слое исследовалась методом клеточных автоматов, а также в динамической постановке. Показано, что при достаточно медленной скорости вращения возможно два режима пересыпания материала: непрерывный и порционный. Порционный режим характеризуется движением отдельных лавин. При увеличении скорости вращения временные промежутки между сходами лавин уменьшаются и пересыпание переходит в непрерывный режим. Начальная конфигурация свободной поверхности профиля «забывается». Построены гистограммы последовательностей объемов сошедших лавин.

4. В упрощенном варианте задачу можно свести к исследованию последовательностей одномерных отображений. Показано, что возможны цикличе-

ские режимы с удвоением периода, режимы типа шумящих циклов и хаотические режимы.

5. Обработка численных экспериментов указывает на диффузию ключевого компонента и перемешивание материала во всей области.

6. Эксперименты показали, что на режим пересыпания сыпучего материала в барабане влияет скорость его вращения. При достаточно большой скорости вращения материал стекает непрерывно. Если скорость вращения плавно уменьшать, то течение переходит в прерывистый режим. Аналогичные результаты получены в опытах с конической насыпью и течением по желобу. Сопоставление экспериментальных данных и численных расчетов дает удовлетворительное качественное совпадение.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. О. А. Ревуженко (О. А. Микенина). Численное моделирование течения сыпучей среды в тонких слоях // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Труды 18 Межреспубликанской конференции - Кемерово, 2003. -С. 166- 172.

2. А. Ф. Ревуженко, О. А. Ревуженко. Метод клеточных автоматов в задаче о течении сыпучей среды // Проблемы нелинейной механики. Сборник статей к восьмидесятилетию проф. Л. А. Толоконникова. - Тула: ТулГУ, 2003 -348с.

3. О. А. Ревуженко. Динамика течения тонких слоев сыпучей среды // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых, 2004, №2 - С. 38-48.

4. О. А. Ревуженко. О перемешивании сыпучих материалов в тонких слоях // Физическая мезомеханика, т.7, ч. 2,2004. С. 277 - 281.

5. О. П. Бушманова, О. А. Ревуженко. Допредельное пластическое деформирование сыпучей среды во вращающемся барабане // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых, 2004, №6,. - С. 58 - 68.

6. О. А. Ревуженко. О динамике движения лавин // Тезисы докладов Второй Сибирской международной конференции молодых ученых по наукам о Земле, 2004.-С. 144-146.

7. А. П. Бобряков, О. А. Ревуженко. Течение зернистого материала по склону конической насыпи // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых, 2005, №2. - С. 16-25.

i

Подписано к печати "18" августа 2005г.

Тираж 100 экз. Заказ № 1615. Отпечатано "Документ-Сервис", 630090, Новосибирск, Институтская 4/1, тел. 335-66-00

»15391

РНБ Русский фонд

2006-4 12336

Введение.

Глава 1. Математические модели процессов деформирования сыпучих материалов во вращающихся цилиндрических емкостях: обзор.

Глава 2. Математическая модель и численное решение задачи о допредельном деформировании сыпучей среды.

2.1 Математическая модель допредельного упруго-пластического деформирования сыпучей среды. Постановка задачи.

2.2 Описание численного алгоритма.

2.3 Результаты расчетов.

Глава 3. Динамика течения сыпучей среды в тонких слоях.

3.1 Исследование задачи методом клеточных автоматов.

3.2 Задача о течении тонкого слоя сыпучего материала в динамической постановке.

3.3 Упрощенная модель.

3.4 Кинетика процесса смешения сыпучего материала во вращающейся емкости.

Глава 4. Сравнение расчетных данных с лабораторными экспериментами.

4.1 Движение сыпучего материала во вращающемся барабане.

4.2 Движение сыпучего материала по конической насыпи и прямолинейному желобу.

4.3 Численное моделирование.

В ряде отраслей промышленности используются технологические процессы, которые сводятся к деформированию и разрушению сыпучих материалов во вращающихся цилиндрических емкостях. К ним относятся шаровые мельницы, мельницы самоизмельчения, смесители барабанного типа, устройства для сушки сыпучих материалов, цементные печи. Для расчета и оптимизации таких процессов необходимо исследование упруго-пластического деформирования сыпучего материала в данных емкостях. Большая часть работ в этой области выполнена в рамках инженерных схем расчетов. Представляет интерес исследование процессов деформирования строгими методами механики деформируемого твердого тела с использованием современных математических моделей и методов численного решения краевых задач.

Целью данной работы является исследование процесса деформирования сыпучего материала во вращающейся цилиндрической емкости в рамках строгих математических моделей механики деформируемого твердого тела и анализ кинетики смешения материала.

Идея работы состоит в том, чтобы исходную достаточно сложную задачу разбить на две: динамическую задачу о течении материала в тонком поверхностном слое и квазистатическую задачу об упруго-пластическом деформировании материала вне данного слоя и затем полученное решение использовать для исследования кинетики перемешивания материала без привлечения дополнительных гипотез.

В работе использовался метод конечных элементов для численного решения краевых задач, а также метод клеточных автоматов, аналитический и численный методы для исследования динамического течения материала в тонких слоях. Для обработки лабораторных и численных результатов использовались статистические методы.

В результате численного решения квазистатической задачи о деформировании области с плоской свободной границей, угол наклона к горизонту которой постепенно увеличивается, определены поля перемещений и напряжений, области активного нагружения и упругой разгрузки, участки на границе контакта, где трение развито полностью либо выполняются условия прилипания (трение развито не полностью).

Решение указывает на возможность двух принципиально различных режимов деформирования материала. При первом режиме условие полностью развитого трения достигается по всей границе контакта с емкостью, что вызывает смещение материала как жесткого целого без перемешивания.

При втором режиме трение развито не полностью (есть участок прилипания) и в предельное состояние переходит материал, примыкающий к свободной поверхности, что вызывает течение в поверхностном слое.

Для исследования течения в поверхностном слое строится динамическая модель. Ее численная реализация позволила исследовать роль параметров материала и начальной конфигурации профиля свободной поверхности материала. Решение указывает на возможность либо непрерывного течения, либо течения, которое сводится к сходу отдельных лавин. Показано, что с увеличением времени начальная конфигурация профиля свободной поверхности материала «забывается» и устанавливается стационарный процесс.

Численно без привлечения дополнительных гипотез показано, что многократная реализация процесса схода лавин приводит к диффузии ключевого компонента и перемешиванию материала во всей области.

В упрощенном варианте задача сводится к исследованию динамики одномерных отображений. Показана возможность существования циклов с удвоением периода, режимов типа шумящих циклов и хаотических режимов.

Теоретическая и практическая ценность работы состоит в том, что в строгой постановке определены поля перемещений, напряжений и деформаций во всей деформируемой области. Из решения определены диапазоны параметров, при которых материал либо смещается вниз как жесткое целое без перемешивания, либо в предельное состояние переходит поверхностный слой, что приводит к течению с перемешиванием. Эти обстоятельства являются принципиально важными с технологической точки зрения.

Сравнение численных решений с результатами лабораторных экспериментов показывает удовлетворительное качественное совпадение.

Автор выражает благодарность А. П. Бобрякову, А. Ф. Ревуженко за руководство работой и О. П. Бушмановой, совместно с которой проводился ряд численных расчетов.

Основные результаты диссертации:

1. Для исследования задачи о деформировании области с плоской свободной границей, угол наклона к горизонту которой постепенно увеличивается, использовалась математическая модель, учитывающая допредельное пластическое деформирование, упругую разгрузку, постепенное накопление пластических деформаций и переход среды в предельное состояние, а также такие основные свойства сыпучей среды, как внутреннее трение и дилатансия. Задача решалась методом конечных элементов. Построены поля перемещений и напряжений, определены области активного нагружения и упругой разгрузки. Найдено напряженное состояние материала во всей области и область, в которой состояние материала близко к предельному. Показано, что в предельное состояние переходит не весь поверхностный слой, а только его верхняя часть; на нижней части происходит упругая разгрузка.

2. Исследовано влияние коэффициента заполнения емкости, угла внешнего трения и упруго-пластических характеристик материала на режим его деформирования. Показано, что возможно два режима деформирования: либо в предельное состояние переходит материал, примыкающий к свободной поверхности, и начинается течение в тонком слое, которое приводит к перемешиванию, либо происходит срыв материала по всей границе контакта, что приводит к его смещению как жесткого целого без перемешивания.

3. Исследовалась задача о течении в тонком слое. Из решения следует, что при медленной скорости вращения барабана возможно два режима пересыпания материала: непрерывный и порционный. Порционный режим характеризуется движением отдельных лавин. Показано, что при увеличении угловой скорости вращения временные промежутки между сходами лавин уменьшаются и пересыпание переходит в непрерывный режим.

Исследовано влияние начальной конфигурации профиля свободной поверхности на характер движения материала. Показано, что начальная форма профиля «забывается». Построены гистограммы последовательностей объемов сошедших лавин.

5. В упрощенном варианте задача сведена к исследованию динамики одномерных отображений. Показано, что возможны циклические режимы с удвоением периода, режимы типа шумящих циклов и хаотические режимы.

6. На основе полей скоростей, полученных в решении, исследован процесс смешения материала. Анализ указывает на диффузию ключевого компонента и перемешивание материала во всей области.

7. Эксперименты, проведенные в лабораторных условиях, показали, что на режим пересыпания сыпучего материала в барабане влияет скорость его вращения. При достаточно большой скорости вращения (но когда еще нет отрыва частиц от поверхности ската) материал стекает непрерывно. Если скорость вращения плавно уменьшать, то течение переходит в прерывистый режим. Аналогичные результаты получены в экспериментах по течению материала по склону конической насыпи и в длинном желобе. Сопоставление показывает удовлетворительное качественное совпадение экспериментальных данных и численных расчетов.

116

Заключение

1. Григорян С. С., Иоселевич В. А. Механика грунтов. - В кн.: Механика в СССР за 50 лет, т.З-М.: Наука, 1972, С.203-226.

2. Клейн Г. К. Давление и сопротивление сыпучей среды. Расчет подпорных стен и подземных сооружений.- В сб. Строительн. механ. в СССР, 1917-1957. М., Стройиздат., 1957. С. 280-300.

3. Клейн Г. К. Давление и сопротивление сыпучей среды. Расчет сооружений, взаимодействующих с сыпучей средой. —В сб. Строительн. механ. в СССР. М., Стройиздат., 1969, С. 364-390.

4. Николаевский В. Н. Механические свойства грунтов и теория пластичности. — Итоги науки и техники, серия «Механика деформируемых твердых тел», т.6.,М, 1972, 86 С.

5. Николаевский В. Н. Механика геоматериалов. Усложненные модели//Итоги науки и техники. Сер. мех. Деформируемого твердого тела. М.:ВИНИТИ.-1987.-Т.19.- С.148-182.

6. Роско К. Значение деформаций в механике грунтов.-Механика, период, сб. перев. иностр. статей, 1971, № 3, С. 91-145.

7. Шемякин Е. И. Две задачи механики горных пород, связанные с освоением глубоких месторождений руды и угля // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых.-1975.-№ 6, С. 29-45.

8. Шемякин Е. И. О хрупком разрушении твердых тел // Изв. АН СССР.МТТ. -1977.-№ 2.-С. 145-150.

9. Шемякин Е. И. Очерки геомеханики (горное давление и основы механики горных пород) // Научные сообщения ИГД им. А. А. Скочинского. 1999. — вып. 313.-С. 7-38.

10. Шемякин Е. И. Синтетическая теория прочности. 4.1 //Физическая мезомеханика. 1999. - Т. 2. № 6. - С. 63-69.

11. Ревуженко А. Ф., Стажевский С. Б., Шемякин Е. И. О структурно-дилатансионной прочности горных пород.// Докл. АН СССР, -1989.-t.305,-№5, С.1077-1080.

12. Ревуженко А. Ф. Механика сыпучей среды. — Новосибирск, Офсет, 2003, 373 С.

13. Кондауров В. И., Никитин JI. В. Теоретические основы реологии геоматериалов. М.:Наука, 1990. - 207 С.

14. Кондауров В. И., Мухамедиев Ш. А., Никитин JI. В., Рыжак Е. И.

15. Механика разрушения горных пород. — М., 1987.-217 С.

16. Никитин JI. В., Рыжак Е. И. Закономерности разрушения горной породы с внутренним трением и дилатансией. -Изв. АН СССР, Физика Земли, 1977, № 5, С. 22-37.

17. Никитин JL В., Рыжак Е. И. Закономерности разрушения горной породы с внутренним трением и дилатансией. Докл. АН СССР, 1976, 230, №5, С. 12031206.

18. Николаевский В. Н. К формулировке определяющих уравнений для плоского течения кулоновой сплошной среды// ПММ.—1968.-Т.32№ 5.-С. 939— 941.

19. Николаевский В. Н. Об одном обобщении предельного условия Кулона для идеально сыпучих тел//ПММ.-1969.-Т. 5 № 5.-С. 124-127.

20. Николаевский В. Н. Дилатансия и законы необратимого деформирования грунтов/Юснования, фундаменты и механика грунтов—1979.-№5.-С.29-31.

21. Николаевский В. Н. Определяющие уравнения пластического деформирования сыпучих сред.//ПММ.—1971.-Т.З5.№6.-С. 1070-1082.

22. Николаевский В. Н. Сырников Н. М. О плоском предельном течении дилатирующей среды//Изв. АН СССР.МТТ.-1970.-№ 2.-С. 159-166.

23. Николаевский В. Н., Сырников Н. М., Шефтер Г. М. Динамика упруго-пластических дилатирующих сред//Успехи механики деформируемых сред.—М.: Наука, 1975.-С. 397-413.

24. Ивлев Д. Д. Механика пластических сред: В 2 т. Т. 1. Теория идеальной пластичности. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 448 С.

25. Ивлев Д. Д., Мартынова Т. Н. Об основных соотношениях теории анизотропной сыпучей среды // ПМТФ. 1961. -№2.-С. 116-121.

26. В. В. Адушкин, Т. А. Орленко. Прочностные характеристики и разуплотнение песчаного грунта при сдвиге // Изв. АН СССР.МТТ.-1970-№2.-С. 167-171.

27. Анциферов В. Н., Пещеренко С. Н. Геометрия поровой структуры порошковых материалов. Физическая мезомеханика т.2 №4,1999, С. 55-59.

28. М. В. Малышев. Об определении угла внутреннего трения и сцепления предельно-напряженной сыпучей среды. Известия АН СССР, ОТН, 1954 №7.

29. Райе Дж. Неупругие определяющие уравнения для твердых тел: теория с внутренними переменными и ее применение к теории пластичности металлов. — Механика, период, сб. перев. иностр. статей, 1973, №2, С. 110-135.

30. Панин В. Е., Гриняев Ю. В., Елсукова Т. Ф., Иванчин А. Г. Структурные уровни деформации твердых тел. Изв. вузов. Физ., 1982,25, №6, С.5-27.

31. Панин В. Е. Современные проблемы пластичности и прочности твердых тел//Известия вузов.-1998.-№1 .-С.7-34.

32. Гриняев Ю. В., Лихачев В. А., Панин В. Е. Структурные уровни деформации твердых тел. Новосибирск: Наука, 1985.-229 С.

33. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов. В 2-ч т. Под ред. Панина В. Е.-Новосибирск: Наука, 1995. т.1- 298 С.

34. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов. В 2-ч т. Под ред. Панина В. Е.-Новосибирск: Наука, 1995. т.2-320 С.

35. Ишлинский А. Ю. О плоском движении песка.-Укр. матем.ж., 1954,6, №4, С. 430-441.

36. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел.-т.2.-М.:Мир, 1969, 863С.

37. Фомин В. М., Гулидов А. И., Сапожников Г. А., Шабалин И. И., Бабаков В. А., Куропатенко В. Ф., Киселев А. Б., Тришин Ю. А., Садырин А. И.,

38. Киселев С. П., Головнев И. Ф. Высокоскоростное взаимодействие тел. -Новосибирск: Издательство СО РАН, 1999,- 600 С.

39. Компанеец А. С. Ударные волны в пластически уплотняющейся среде.-Докл. АН СССР, 1956,109, №1, С. 49-52.

40. Родионов В. Н., Ромашев А. Н., Сухотин А. П. Взрыв в уплотняющейся неограниченной среде. Докл. АН СССР. 1958, 123, №4. С. 627-630.

41. Рахматуллин X. А., Сагоммонян А. Я., Алексеев Н. А. Вопросы динамики грунтов .-М. :Изд. Моск. ун-та, 1964,239 С.

42. Ишлинский А. Ю., Зволинский Н. В., Степаненко И. 3. К динамике грунтовых масс. Докл. АН СССР, 1954, 95, №4, С. 729-731.

43. Григорян С. С. Об осесимметричных движениях сыпучей среды. -ПММ. 1957,21 №2, С. 221-230.

44. Медведева Н. С., Шемякин Е. И. Волны нагрузки при подземном взрыве в горных породах. ПМТФ, 1961 № 6, С. 78-87.

45. Гениев Г. А. Некоторые вопросы распространения волн сжатия в грунтах.-В сб. исслед. по вопр. теории пластичности и прочности строят, конст., М., Стройиздат, 1958, С. 72-122.

46. Кандауров И. И. Механика зернистых сред и ее применение в строительстве. М.: Стройиздат, 1966, 319 С.

47. Mroz Zenon. On proper selection of identification and vertification test//Constitutive Equat/ Granular Non-Cohesive Soils: Proc. Int. Workshop, Clevend, 22-24 July, 1987.-Rotterdam; Brookfield,1989.-P.721-722.

48. Сибиряков E. Б., Куликов В. А., Егоров Г. В. Распространение сейсмических волн в песчаных отложениях. Физическая мезомеханика т. 3, №1, 2003, С. 13-22.

49. Ревуженко А. Ф. О деформировании сыпучей среды, ч. 1. Плоская модель// ФТРПИ.-1980. №3.-C.3-16.

50. Ревуженко А. Ф. О деформировании сыпучей среды, ч.2 Исследование плоской модели// Физ.-тех. проблемы разработки полезных ископаемых-1981.-№5.-C.3-13.

51. Ревуженко А. Ф. О деформировании сыпучей среды, ч.З. Условия на границе// Физ.-тех. проблемы разработки полезных ископаемых.-1982.№4.-С.13-21.

52. Ревуженко А. Ф. О деформировании сыпучей среды, ч.4. Микровращения// Физ.-тех. проблемы разработки полезных ископаемых.-1983.-№6.-С.8-17.

53. С. Г. Псахье, С. Ю. Коростелев, А. Ю. Смолин, А. И. Дмитриев, Е.В.Шилько, Д.Д. Моисеенко, Е.М. Татаринцев, С.В.Алексеев. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент физической мезомеханики материалов. Физическая мезомеханика, 1, 1998, С. 95-108.

54. Псахье С. Г., Остермаейр Г. П., Дмитриев А. И. и др. Метод подвижных клеточных автоматов как новое направление дискретной вычислительной механики. Физическая мезомеханика, 3 №2,2000, С.5-13.

55. С.Г. Псахье, М. А. Чертов, Е.В. Шилько. Интерпретация параметров метода подвижных клеточных автоматов на основе перехода к континуальному описанию. Физическая мезомеханика, 3,2000 г., С. 93-96.

56. Псахье С. Г., Смолин А.Ю., Шилько Е. В., Коростелев С. Ю., Дмитриев А. И., Алексеев С. В. Об особенностях установления стационарного режима деформирования твердых тел. Журнал технической физики, 1997, т.61, №9, С.34-37.

57. Быте в Д. О. Исследование и разработка аппаратов с тонкими и разреженными слоями сыпучих материалов. Автореф. дис. канд. техн. наук, М., 1976,16 С.

58. Оси нов В. А. Модель дискретной стохастической среды в задачах деформирования и течения сыпучих материалов. Физ.-тех. проблемы разработки полезных ископаемых, №5,1992, С. 44—53.

59. Секулович М. Метод конечных элементов /М. Секулович; Пер. с серб. Ю.Н. Зуева; Под ред. В.Ш. Барбакадзе. М.: Стройиздат, 1993.- 664 С.: ил.

60. Цвик Л.Б. Применение метода конечных элементов в статике деформирования. Л.Б. Цвик. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1995.- 126 С.

61. Леонтьев В.Л. Метод конечных элементов в теории упругости: Ульяновск: СВНЦ, 1998.- 166 С.

62. Голованов А.И. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел / Каз. гос. ун-т. Казань: ДАС, 2001.- 300 С.: ил.

63. Серяков В. М. Расчет напряженного состояния горных пород с учетом последовательности возведения закладочного массива.// Физ.-тех. проблемы разработки полезных ископаемых,№ 5, 2001. С.24-29.

64. Серяков В. М. Об одном подходе к расчету напряженно-деформированного состояния массива горных пород в окрестности выработанного пространства.// Физ.-тех. проблемы разработки полезных ископаемых, №2,1997. С.14-21.

65. М. О. Баймбетов, В. М. Серяков. Влияние порядка ведения очистных и закладочных работ на напряженно-деформированное состояние месторождений. / Физ.-тех. проблемы разработки полезных ископаемых, №4, 1984. С. 17-23.

66. Бушманова О. П. Упруго-пластическое деформирование геоматериалов и математическое моделирование локализации сдвигов. Дисс. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук, Барнаул, 2003,223 С.

67. Бушманова О.П. Применение метода конечных элементов для моделирования линий разрыва в упругопластических задачах // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. — Новосибирск, 1999.- С.46-50.

68. Бушманова О. П. Численное моделирование локализации сдвигов // Вычислительные технологии, Т. 6, спец. вып., Ч. 2,2001.- С. 154-158.

69. Дж. М. Т. Томпсон. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. Москва, «Мир», 1985, 254 С.

70. Г. Г. Малинецкий, Н. А. Митин. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. Нелинейная динамика в проблеме безопасности. М.: Наука, 1996. С. 191-215.

71. Principles of self-organizatiion/ Transaction of the university of Illinois Symposium on the self-organization 8-9 June, 1961 Под редакицей А. Лернера, «Мир», Москва, 1966., 616 С.

72. П. Берже, И. Помо, К. Видаль. Порядок в хаосе. О детерминистком подходе к турбулентности. Перевод с французского Ю. А. Данилова. Москва, «Мир», 1991, 368 С.

73. А. Ю. Лоскутов, А. С. Михайлов. Введение в синергетику. Учебное руководство М.: Наука, 1990.-272 С.

74. Сыса А. Б. Теория и технология процессов рудоподготовки. — Владикавказ, 1997.-119 С.

75. Н. Д. Воробьев. Горный журнал, 2004, №5. Моделирование процесса измельчения в шаровых мельницах. С. 65-69.

76. Дэвис Э. В. Тонкое дробление в шаровых мельницах, с сб. «Теория и практика дробления и тонкого измельчения», 1932, Гос. научно-техническое горное издательство, С. 153-169.

77. Свердлик Г. И., Григорьев Г. Г. О структуре сечения материала, пересыпающегося во вращающемся барабане// Изв. ВУЗОВ. Черная металлургия-1977 № 8.-С. 169-172.

78. Свердлик Г. И., Григорьев Г. Г. Экспериментальное исследование процессов движения материала в барабанных смесителях// Изв. ВУЗОВ. Черная металлургия-1983 № 8.-С. 129-132.

79. Свердлик Г. И. Закономерности движения тела во вращающемся барабане. Известия вузов: Горный Журнал, 2002, №1, С. 126-131.

80. Музеймнек Ю. А. О повышении эффективности барабанных мельниц. Цветная металлургия, 2002, №1, С. 23-25.

81. Трофимов А. В. «Исследование движения сыпучих материалов в машинах барабанного типа без внутренних устройств», автореф. на соиск. ст. канд. техн. наук (05.04.09), Моск. инст. химического машиностроения, Москва, 1973,16 С.

82. Коротич В. И. Теоретические основы окомковывания железнорудных материалов. М. Металлургия, 1966 г., 151 С.

83. Сланевский А. В. Основы механики сыпучей среды во вращающихся печах и мельницах, авт. док. дис., 1988 г., С.-Петербург, 39 С.

84. Новиков А. А. Кинематика рабочей среды барабанных смесителей с водопадным процессом. ВНИИ, строй дор. маш. Труды, 1977. вып 77. /Исследование и разработка дробильно-обогатительного оборудования, под ред. проф. В. А. Баумана, С. 58-64.

85. Патрин В. А. Исследование возможности совмещения технологических операций очистки и сушке зерна в барабанной зерносушилке. Автореферат дисс. на соиск. уч. ст. канд. техн. наук (05.410), Омск, Омский сель.хоз. инст. им. С. М. Кирова, 1970, 25 С.

86. Марюта А. Н. Теория механики барабанных мельниц. -Днепропетровск, 1980. 68 С. -Деп. во ВНИИТЭиЧМ, № 944.

87. Перевалов В. С., Перевалов С. В. К определению угла естественного откоса шаровой загрузки барабанной мельницы. Московский гос. Горный университет, 2002, №1, С.202-203.

88. Хеталургов В. Н., Гегелашвили М. В., Каменецкий Б. С. и др.

89. Производство минеральных порошков с применением центробежной мельницы вертикального типа. Горный журнал, 2004, №2, С. 57-61.

90. Шаталов А. В. Помольный комплекс для измельчения кремнеземистых материалов. Автореферат канд. техн. наук. (05.12.13), Белгород, Белгородская гос. техн. акад. строит, мат., 2002, 21 С.

91. Степанов А. Л., Шинкоренко С. Ф., Фролов А. В., Кочетков П. А. Квопросу об избирательном измельчении бикомпонентных минеральных смесителей// Физ.-тех. проблемы разработки полезных ископаемых. — № 3. — 1991, С. 35-41.

92. В. Н. Долгунин, А. А. Уколов, В. Я Борщев, В. В. Четвертков.

93. Исследование механизма сегрегации частиц при сдвиговом течении. Межвузовский сб. научных трудов / Процессы в зернистых средах / Иван, хим.-технол. инст. отв. ред.: В. Н. Блиничев-Иваново, 1983, С. 87-90.

94. Лапшин А.А.Теоретическне посылки усовершенствования промышленного процесса образования смесей,- Автореф. дис. канд. наук, Л., 1949, 19 С.

95. Макаров Ю. И. Аппараты для смешения сыпучих материалов. — М.: Машиностроение, 1973,215 С.

96. Стреж Ф. Перемешивание и аппараты с мешалками. — Л.: Химия, 1975.

97. Першин В. Ф., Свиридов М.М. Методика оценки качества смеси сыпучих материалов //Химическое и нефтегазовое машиностроение, №3,2001, С.9-11.

98. Першин В. Ф., Селиванов Ю. Т., Орлов А. В. Экспериментальное исследование характера движения сыпучего материала вдоль оси барабанного смесителя. //Вестник ТГТУ. -2002. Т. 8. № 2, С. 265-271.

99. Першин В. Ф., Селиванов Ю. Т. Расчет барабанного смесителя с упорядоченной загрузкой компонентов. //Химическое и нефтегазовое машиностроение, 2002, № 2, С. 12-14.

100. Селиванов Ю. Т., Першин В. Ф. К вопросу повышения эффективной работы барабанных смесителей сыпучих материалов. // Химическая промышленность, Москва, 2002, № 7, С. 52-54.

101. Орлов А.В., Селиванов Ю. Т. Некоторые аспекты моделирования процесса смешивания в барабанном смесителе непрерывного действия. // Труды ТГТУ: Сб. науч. статей молодых ученых и студентов. Вып 8., Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та., 2001. С. 114-117.

102. Хвальков А. М. Исследование работы смесителя центробежного движения для сыпучих тел.-Автореф. дис. канд. техн. наук, М., 1959.

103. Демин О. В. Математическое описание процесса смешения в одновальном лопастном смесителе. // Труды ТГТУ: Сб. науч. статей молодых ученых и студентов. Вып. 13. Тамбов: Тамб. гос. техн. ун-та, 2003. С.42-45.

104. Демин О.В. Экспериментальное исследование перемещения частиц сыпучего материала в лопастном смесителе: Информ. листок №70-036-01, Тамб. центр науч.-техн. информации. Тамбов, 2001.-2 С.

105. Демин О.В. Изучение механизма движения частиц при смешении сыпучих материалов в лопастном смесителе: Информ. листок №70-038-01 /Тамб. центр науч.-техн. информации. — Тамбов, 2001— 4 С.

106. Демин О.В. Анализ работы различных видов смесителей сыпучих материалов периодического действия. // Труды ТГТУ: Сб. науч. статей молодых ученых и студентов. Вып.8. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та., 2001.-С. 109-114.

107. Диомидовский Д. А. Металлургические печи цветной металлургии, М. Металлургия, изд. 2, доп. и перераб., 1970, 702 С.

108. Гинзбург Д.Б., Деликишкин С.Н., Ходоров Е.И., Чижский А.Ф. Печи и сушилки силикатной промышленности, изд. 3, перераб. Под ред. академика АН УССР П. П. Будника. М.: Госстройиздат, 1963, 343 С.

109. Ходоров Е. И. Печи цементной промышленности, 2 изд., доп. и перераб., Л., Стройиздат., 1968,456 С.

110. Бодров В.И., Ражев В.М., Фролов С.В. Математическое моделирование процессов обжига во вращающейся печи//ТОХТ. 1996. Т.30, №5. С. 516-524.

111. Печные агрегаты цементной промышленности / С.Г. Силенок, Ю.С. Гризак, В.Н. Лямин и др. М.Машиностроение, 1984, 168 С.

112. Сафонов А.О. Тепломассоперенос и динамика сушки дисперсных материалов в барабанных сушилках / Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 2002,- 239 С.

113. Хабарова Е. В. Моделирование процесса и структуры потоков в барабанном грануляторе-сушилке: Автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук : 05.17.08 / Тамб. гос. техн. ун-т. Тамбов, 1997. - 16 С.

114. Ревуженко О. А. (Микенина О. А.). Численное моделирование течения сыпучей среды в тонких слоях // Численные методы решения задач теориичупругости и пластичности. Труды 18 Межреспубликанской конференции — Кемерово, 2003. С. 166 - 172.

115. Ревуженко А. Ф., Ревуженко О. А. Метод клеточных автоматов в задаче о течении сыпучей среды // Проблемы нелинейной механики. Сборник статей к восьмидесятилетию проф. JI. А. Толоконникова. — Тула: ТулГУ, 2003.-348С.

116. Ревуженко О. А. Динамика течения тонких слоев сыпучей среды // Физ.-тех. проблемы разработки полезных ископаемых, 2004, №2.- С. 38-48.

117. Ревуженко О. А. О перемешивании сыпучих материалов в тонких слоях // Физическая мезомеханика, т.7, ч. 2, 2004. С. 277 281.

118. Бушманова О. П., Ревуженко О. А. Допредельное пластическое деформирование сыпучей среды во вращающемся барабане // Физ.-тех. проблемы разработки полезных ископаемых №6, 2004. С. 58 - 68.

119. Ревуженко О. А. О динамике движения лавин // Тезисы докладов Второй Сибирской международной конференции молодых ученых по наукам о Земле, 2004.-С. 144-146.

120. Бобряков А. П., Ревуженко О. А. Течение зернистого материала по склону конической насыпи // Физ.-тех. проблемы разработки полезных ископаемых №2,2005. С. 16 - 25.

121. Хайкин С. Э. Физические основы механики. М., Физматгиз, 1962, 772 С.