Подгруппы групп Баумслага-Солитера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

004607750

Дудкин Федор Анатольевич

ПОДГРУППЫ ГРУПП БАУМСЛАГА-СОЛИТЕРА

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 1 СЕН 2010

Новосибирск — 2010

004607750

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Чуркин Валерий Авдеевич.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Тимошенко Евгений Иосифович, кандидат физико-математических наук, Храмцов Дмитрий Геннадьевич.

Ведущая организация:

Омский государственный университет.

Защита состоится 17 сентября 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.02 при Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: пр. Академика Коптюга 4, г. Новосибирск, 630090.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Автореферат разослан "13" августа 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук^^Г}

А. Н. Ряскин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Группа называется хопфовой, если всякий её гомоморфизм на себя имеет тривиальное ядро, т. е. является автоморфизмом. Это свойство было отмечено X. Хопфом (Н. Hopf) в связи с исследованием проблемы, связаны ли отображения степени 1 между замкнутыми мнохообразиями гомотопической эквивалентностью.

Очевидно, любая конечная группа хопфова, а свободная группа счетного ранга нехопфова. Мальцев [3] доказал, что любая конечно порожденная финитно аппроксимируемая группа хопфова, в частности, это верно для конечно порожденных линейных групп. Первые примеры [21] конечно порожденных нехонфовых групп были достаточно сложны. В 1962 году Г. Баумслаг и Д. Солитер [G] нашли серию нехонфовых групп с одним соотношением простого вида в классе групп

BS(p,q) = (а, t || rVt = ai).

Здесь p,q - пара ненулевых целых чисел (параметры).

Отметим сразу, что группы BS(p,q), BS(q,p) и BS{—p,—q) изоморфны. Поэтому можно считать, что р > 0,р ^ \q\. Если р = \q\ = 1, то BS(p,q) - абелева или почти абелева (фундаментальная группа тора или бутылки Клейна). Если р = 1, то BS(p, q) - линейная группа, порожденная целочисленными матрицами

а=(о l)'i=(o I)'

Можно так же считать, что BS(l,q) — расширение аддитивной группы кольца g-адических рациональных чисел Z[1 /q\ с помощью автоморфизма

х Н-+ qx, х € Z[1 /q].

В частности, это метабелева группа при q ^ 1, каждый её элемент единственным образом представим в форме слова где г, j ^ 0 и, если i,j > 0, то к не делится на q.

\ (

3 \ "

Если р > 1 и > 1, то группа BS(p,q) — ЯЛГЛГ-расширение с базисной бесконечной циклической группой (а) и сопрягаемыми подгруппами (ар) и (а9). Её элементы представимы единственным способом в виде левой (или правой) нормальной формы. Произвольное редуцированное слово w = w(t,a) свободной группы F(t, а), представляющее единичный элемент группы BS(p,q), либо имеет подслово trlakt, где р J к, либо имеет подслово takt~x, где q | к (лемма Бриттона, см., например, [2], гл. 4, §2). Отсюда коммутатор [t~lat,a\ не равен единице в BS(p,q) при р > 1, а его образ при гомоморфизме tp: а к-> ар, t н-> t равен [i_1apt, аР] = [aq, аР] = 1. Если р и g взаимно просты (обозначение: р 1 д), то образ <р содержит элементы ap, t, aq = t~lapt и, следовательно, элемент а, то есть Im (р = BS(p, q). Это доказывает нехопфовость неразрешимых групп BS(p,q) при р ± q.

Мескин [20] доказал, что группа BS(p,q) финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда p\q или q\p. Группа BS(p, q) хопфова (см. [6]) тогда и только тогда, когда она финитно аппроксимируема или р и q имеют одинаковые множества простых делителей. В частности, простейшая нехопфова группа — это BS{2,3).

Коллинз [10] описал группу автоморфизмов BS(p,q) при взаимно простых р и q. Коллинз и Левин [11] заметили, что группа BS(2,4), или, более общо, BS(p,q), где \p\,\q\ ^ 1 и одно из чисел р, q делит другое, имеет бесконечно порожденную хрупну автоморфизмов.

В [17] доказано, что конечно порожденные (не циклические) разрешимые подгруппы групп с одним соотношением в точности — метабелевы группы Баумслага-Солитера.

Соотношения Б ау м с л ага- Со л ит ер а активно исследовалось для фундаментальных групп многообразий и комплексов (см., например, монографии [7], гл. Ш.Г, §7 и [16], гл. 1, §10). Известно, что фундаментальные группы компактных 2-мнох ообразий всех'да хопфовы. Фундаментальные хрухшы компактных 4-мнш,ообразий могут быть любыми конечно представленными группами. Доказано, что группа BS(p,q) при \р\ ф \q\ не может быть хход-грушюй фундаментальной группы связного ориентируемого 3-мнох'ообразия (см. [25] и [15]). Зела [23] доказал, что гиперболическая группа без кручения хопфова, если она не разлагается в нетривиальное свободное произведение. В частности, фундаментальные

группы замкнутых многообразий отрицательной кривизны хоифо-вы.

Никакая группа Баумслага-Солитера не может быть подгруппой гиперболической группы (см., например, [7], стр. 462). Группа ВЯ(р, д) обладает автоматной структурой тогда и только тогда, когда |р| = |д|. Ослабленному условию автоматности, известному как "асинхронная автоматность удовлетворяют все группы Баумслага-Солитера (см. [12], §7.4).

Предположим, что для любого слова длины ^ п, представляющего единицу группы, существует не более, чем /(п) вставок и сокращений нетривиальных определяющих соотношений, необходимых для установления равенства слова единице. Класс эквивалентности функции / не зависит от выбора конечного коиредстав-ления группы. Говорят, что в этом случае группа удовлетворяет изоперимегрическому неравенству класса /. Неравенство линейно тогда и только тогда, когда группа гиперболическая (см., например, [22], гл. 2, §8 или [1], §2). Для автоматных групп неравенство квадратичное (см. [12], §2.3). Изонериметрическое неравенство для групп экспоненциально при |р| ф 1, |д| ф 1, см. [14].

Одна из классических задач теории групп состоит в описании подгрупп данной группы. Нильсен и Шрайер доказали, что подгруппы свободной группы сами свободны. Курош получил описание подгрупп свободного произведения групп. В дальнейшем исследовались подгруппы свободных произведений с объединенной подгруппой и НИМ-расширений. Эти исследования завершились известной теорией Басса-Серра, где описание подгрупп задавалось в виде "фундаментальной группы подходящего графа групп". При этом оставалось неясным, какие "фундаментальные группы графов групп" задают подгруппы данной группы. Указанный недостаток позднее исправил Басс [5], однако предложенные им условия были трудно проверяемы даже в конкретной ситуации групп Баумслага-Солитера.

Цель работы. Описание всех подгрупп групп Баумслага-Солитера в виде фундаментальных групп графов групп, решение проблемы изоморфизма для подгрупп конечного индекса, поиск рекурсивной формулы числа подгрупп данного конечного индекса.

Методика исследований. В диссертации используются методы работы с группами, действующими на деревьях, в частности, теория Басса-Серра и теория погружений Басса; так же используются методы работы с коиредставлениями групп — преобразования Тице и переписывающий процесс Радемайстера-Шрайера.

Новизна и научная значимость. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Получена информация о классе групп Баумслага-Солитера, который играет1 активную тестовую роль в теории групп и топологии.

Апробация работы. Результаты работы прошли апробацию на следующих международных конференциях: на XLVI-XLVIII международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2008-2010); на VII Международной школе-конференции, посвященной 60-летию A.C. Кондратьева (Челябинск, 2008); на международных конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2008, 2009); на восьмой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения 2009м (Казань, 2009). Результаты диссертации отмечены стипендией Сибирского Математического Журнала для аспирантов в 2010 году. Автор неоднократно докладывал результаты диссертации на семинарах Института математики СО РАН и НГУ "Теория групп"и "Алгебра и логика".

Основные результаты диссертации.

1. При различных простых параметрах р и q в терминах графов групп описаны все подгруппы группы BS(p,q). А именно, найдены простые необходимые и достаточные условия на граф групп, при которых его фундаментальная группа изоморфно вкладывается в группу BS(p,q).

2. При взаимно простых параметрах р и q описаны все подгруппы конечного индекса группы BS(p,q).

2.1. Доказано, что всякая подгруппа конечного индекса группы BS{p, q) порождена двумя элементами.

2.2. Найдено простое конредставление для произвольной подгруппы конечного индекса группы BS(p,q).

2.3. Решена проблема изоморфизма для подгрупп конечного индекса группы В3(р,</).

2.4. Найдена формула числа классов сопряженных подгрупп данного конечного индекса в группе В3(р,д).

3. Найдена рекурсивная формула для числа подгрупп данного конечного индекса в группе ВБ(р, д) при произвольных ненулевых параметрах рад.

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [26-34], из них [26-28] входят в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы (36 наименований). Объем диссертации 62 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обоснование актуальности темы диссертации, кратко описана история возникновения и исследования групп Баумслага-Солитера, приведены определения, необходимые для формулировки результатов диссертации и сформулированы сами результаты.

В первой главе с помощью теории Басса-Серра групп действующих на деревьях и теории накрытий Басса получено описание (в терминах графов групп) всех подгрупп групп ВБ(р, д) с различными простыми параметрами р ид. Для формулировки результатов потребуется несколько определений.

Граф А задается множеством "вершин" У(А), множеством "ребер" Е(А), двумя отображениями до - "начало" ребра и д\ - "конец" ребра из множества ребер в множество вершин и инверсией ребер ~: Е(А) —> Е(А) такой, что <9,ё = ¿^-¿е, I = е, ё ф е.

Пара А = (Л, ,с/) называется графом групп, если А - связный граф, .к/ - такое семейство групп и гомоморфизмов, что всякой

вершине а графа А сопоставлена группа всякому ребру е графа А сопоставлена группа = и, если а = дце, то задано изоморфное вложение ае: sáe —» sfa.

Пусть Т — максимальное поддерево графа А. Фундаментальная группа ir i (А) графа групп А задается коиредставлением, где порождающие - это

1) порождающие вершинных групп s/v,v G V(-A),

2) новые символы te,e

а определяющие соотношения -

1) определяющие соотношения s>/v, v G V(A),

2) o¡e(g) = a¿(g), для всех g G e G T.

3) t~lae(g)te = oie{g), для всех g e ¿/e, e $ относительно поддерева Т.

Это определение не зависит от выбора максимального поддерева Т (см., например, [24] или [5]).

вершинная и реберные группы бесконечные циклические: = (ао) = я/^ = = (ео) = Ъ. Если считать, что оба вложения сохраняют ориентацию, то индексы вложения : а'е0^10\ = р и : = д, , где р ид- целые ненулевые числа, полностью

задают а'ео и При этом ^(А') = ВБ(р, </).

Обобщенной группой Баумслага-Солитера называется всякая группа, действующая на дереве с бесконечными циклическими стабилизаторами вершин и ребер. По теореме Басса-Серра (см., например, [24] или [4]) всякая обобщенная группа Баумслага-Солитера является фундаментальной группой графа групп с бесконечными циклическими вершинными и реберными группами. Свойства этих групп исследовались в работах [9, 18]. Всякой обобщенной хрунпе Баумслага-Солитера можно сопоставить граф с метками, например, как на рисунке 1. Метка А(е) Е 2\{0}, написанная на ребре е с началом в вершине V, определяет вложение

Рис. 1: Петля групп А',

PV^y

Все группы Баумслага-Солитера являются фундаментальными группами графов групп. Обозначим через А' - петлю групп как на рисунке 1: граф А' имеет одну вершину ао и два ребра ео, ёо;

ае: е —► ь^ циклической реберной группы (е) в циклическую вершинную группу (у) . В диссертации вершинные и реберные группы всех рассматриваемых графов групп бесконечные циклические.

В первой главе диссертации будут описаны все подгруппы групп Вв{р, д) при различных простых параметрах р ид. Группы Баумслага-Солитера действуют на дереве Басса-Серра так, что стабилизаторы вершин и ребер - бесконечные циклические группы. Их подгруппы действуют на том же дереве и, по теореме Басса-Серра (см., например, [24] или [4]), иредставимы в виде фундаментальной группы некоторого графа групп, вершинные и реберные хруп-11ы которого бесконечные циклические или единичные. Это значит, что всякая подгруппа является либо обобщенной группой Баумслага-Солитера, либо соответственно свободной группой не более, чем

счетного ранга. Так как группа д) содержит свободные х'руп-пы, то проблема вложимости в качестве подгрупп остаётся только для обобщенных групп Баумслага-Солитера. Какие условия нужно наложить на граф групп, чтобы его фундаментальная группа вкладывалась в В8{р,ц)1

В [5] Х.Басс показал, что если группа С изоморфна фундаментальной группе некоторого графа групп А, то группа II является подгруппой группы С? тогда и только тогда, когда существует граф групп Ах, погружаемый в А, фундаментальная группа которого изоморфна Н. Однако при заданном графе групп А описание всех таких Ах — трудная задача.

Мы хюкажем, что всякая подгруппа из Вв(р,д) может быть

М.

Рис. 2: вверху петля групп, внизу луч групп.

представлена в виде фундаментальной группы графа групп с метками на ребрах 1,р или q.

Пусть е\, ег,..., еп - реберный путь в графе с метками. Обозначим

ег,..., е„) — ТТ тт~1-

Лемма 1.9 Пусть А - петля групп (см. рис. 2), вершинные и реберные группы которой бесконечные циклические, £ {1,р,д}, г = 1,2,...,к. Тогда фундаментальная группа графа групп А вкладывается изоморфно в группу Вв{р, q), если и только

(\ т

,тпеЪ.

Лемма 1.10 Пусть А - луч групп (см. рис. 2), вершинные и реберные группы которого бесконечные циклические, щ, /Зг- индексы вложения реберных групп в вершинные равны 1 ,р или q. Обозначим А„(А) - число индексов оц — 1 при г ^ п, /лп(А) - число индексов (Зг = 1 при г ^ п, Ап(А) = А„(А) — р,п(А). Тогда фундаментальная группа графа групп А вкладывается изоморфно в группу если и только если Д„(А) ограничена сверху как

функция от п.

Будем рассматривать далее только связные графы. Основной результат первой главы диссертации -

Теорема 1.12 Пусть р uq - различные простые числа. Пусть А - счетный граф групп с бесконечными циклическими вершинными и реберными группами, реберные группы которого вкладываются в вершинные как подгруппы индекса 1 ,р или q. Тогда фундаментальная группа графа групп А вкладывается изоморфно в группу ВБ(ресли и только если все базисные петли графа групп А удовлетворяют Лемме 1.9 и всякий луч групп из А удовлетворяет Лемме 1.10. Если фундаментальная группа графа групп А вкладывается изоморфно в группу В8(р, д), то изоморфное вложение можно найти алгоритмически.

Пусть аге(С!) — число подгрупп индекса п в группе (7, а — число нормальных подгрупп индекса п в х'рунне (7. Гелман [13]

доказал, что если р и q взаимно просты, то

an(BS(p,q)) = J2l

1\п IXpq

Баттон [8] при тех же условиях доказал формулу

a«(BS(p,q))= £ НОД(1,р-д).

а,

•п

(2)

п=1т

l\pm-qm

Во второй главе дается явное описание всех подгрупп индекса п в группе ВБ(р, д) при взаимно простых параметрах р и q . При этом используется только формула (1). Формула (2) получается как следствие.

теорема 2.3 Множество подгрупп индекса п в группе В3(р,д), при р ± д, совпадает с множеством подгрупп II„ т, порожденных двумя элементами а1 и £тоав, где п = 1т, 1,ш е I, I ± рд, я = 0,1,...,/ — 1. Все подгруппы Н£т различны.

В петле групп на рисунке 2 положим к = т, метки аг- = р, г = 1,..., т, метки Д = д, г = 1,..., т. Полученный граф групп обозначим через Вто. Обозначим через Нт — фундаментальную группу графа групп Вт. В следующей теореме найдено копредстав-ление для произвольной подгруппы конечного индекса в группе

Теорема 2.6 Пусть п,1,т — натуральные числа, Im = п и 1 -L pq. Тогда для любых s — 0,1,..., /—1 подгруппа т изоморфна группе Нт. Группы Нт попарно неизоморфны.

Обозначим через Nc{n) - число классов сопряженных подгрупп индекса п. А. Д. Медных получил [19] формулу для Afc(n) для произвольной группы G и числа п, однако для применения этой формулы необходимо хорошее описание подгрупп конечного индекса группы G. С помощью теоремы 2.6 и следствия из нее доказана следующая теорема.

теорема 2.9 Пусть р и q взаимно просты. Тогда

BS(p,q).

NBS(p,q){n)

1

£ ß(k) • ld • НОД((1,ргп — qm).

,т

П

dklm=n, l±.pq

В третьей главе найдено обобщение формулы Гелмана (1) для произвольных целых ненулевых параметров к и I.

Обозначим через т(Ь) — число делителей натурального числа Ь, а через 61, ¿2,..., 6т(ь) — все различные делители этого числа.

Теорема 3.7 Пусть <1 - любое натуральное число, а числа р и д взаимно просты. Тогда число ап (ВБ((1р, йд)) подгрупп индекса п в группе ВБ{йр, ¿д) равно:

^ ^ пГ3~кТ(г-У(Ь,8))

, ь (ММ.....кт{ь)) к\\... кт{ь)\ Ъ^к

Здесь все числа - неотрицательные целые, 7Г(г) - множество простых делителей г, К = к\ + Н-----1- /гт(ь), У(Ь, в) - вектор

(<►1 ку кг \

61,61..., Ьь 62, &2 • • • А, ■ • • А А • • • А .

а Т( и ) — число подстановок у из 5П, для которых подгруппа (ж, у) группы £>„ транзитивна (х - фиксированная подстановка, последовательность длин независимых циклов которой совпадает с вектором V). Теорема 3.1 главы 3, которую мы не приводим ввиду большого количества необходимых определений, дает рекурсивную формулу подсчета Т ( V ) для произвольного вектора

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Валерию Авдеевичу Чуркину за постановку интересных задач и поддержку на пути их решения.

Литература

1. Громов М. Гиперболические группы: Пер. с англ. — Ижевск: Институт коми, исследований, 2002. — 160 с.

2. Линдон Р., Шухш П. Комбинаторная теория групп: Пер. с англ. — М.: Мир, 1980.

3. Мальцев А. И. Об изоморфных матричных представлениях бесконечных групп // Матем. сб. — 1940. - Т. 8, № 3. — С. 405-422.

4. Чуркин В. А. К теории групп действующих на деревьях // Алгебра и логика. - 1983. - Т. 22, № 2. - С. 218-225.

5. Bass Н. Covering theory for graphs of groups j/ Journal of Pure and Applied Algebra. - 1993. - V. 89, № 1. - P. 3-47.

6- Baumslag G., Solitar D. Some two-generator one-relator non-hopfian groups // Bull. Amer. Math. Soc. — 1962. — V. 68, № 3. — P. 199-201.

7. Bridson M. R., Haefliger A. Metric spaces of non-positive curvature. — Berlin/Heidelberg/New York: Springer-Verlag, 1999. (Grundlehren der mathematishen Wissenschaften, V. 319).

8. Button J. 0. A formula for the normal subgroup growth of Baumslag-Solitar groups //J. Group Theory. — 2008. — V. 11, № 6. - P. 879-884.

9. Clay M., Forester M. On the isomorphism problem for generalized Baumslag-Solitar groups // Alg. aixd Geom. topol. — 2008. — V. 8. — P. 2289-2322.

10. Collins D. J. The automorphism towers of some one-relator groups // J. London Math. Soc. - 1978. - V. 36, № 3. - P. 480-493.

11. Colliixs D. J., Levin F. Automorphisms and Hopficity of certain Baumslag-Solitar groups // Archiv Math. — 1983. — V. 40. — P. 385400.

12. Epstein D. B. A. with Cannon J. W., Holt D. F., Levy S. V. F., Paterson M. S., Thurston W. P. Word processing in groups. — Boston/London: Jones and Bartlett Publishers, 1992. — 330 p.

13. Gelman E. Subgroup growth of Baumslag-Solitar groups // J. Group Theory. - 2005. - V. 8, № 6. - P. 801-806.

14. Gersten S. M. Dehn functions and h-norms of finite presentations — G. Baumslag (ed.), C.F. Miller, III (ed.), Algorithms and Classification in Combinatorial Group Theory. Springer, 1992.

15. Jaco W. H., Shalen P. B. Seijert fibered spaces in 3-manifolds // Mem. Amer. Math. Soc. - 1979. - V. 21, № 220. - P. 192-200.

16. Kapovich M. Hyperbolic manifolds and discrete groups. — Boston/Basel/Berlin: Birkhauser, 2000. (Progress in Math. V. 183).

17. Karrass A., Solitar D. Subgroups of HNN-groups and one-relator groups // Canad. Math. J. - 1971. - V. 23. - P. 627-643.

18. Levitt G. On the automorphism group of generalized Baurnslag-Solitar groups // Geometry and Topology. — 2007. — V. 11. — P. 473-515.

19. Mednykh A. Counting conjugacy classes of subgroups in a finitely generated group // Journal of Algebra. — 2008. — V. 320. — P. 2209-2217.

20. Meskin S. Non-residually finite one-relator groups // Trans. Amer. Math. Soc. - 1972. - V. 64. - P. 105-114.

21. Neumann B. H. A two generator group isomorphic to a proper factor group // J. London Math. Soc. - 1950. - V. 25. - P. 465-479.

22. Ohshika K. Discrete groups. — Translations of mathematical monographs. — V. 207. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 2002.

23. Sela Z. Endomorphisms of hyperbolic groups I: The Hopf property // Topology. - 1999. - V. 38. - P. 301-322.

24. Serre J.-P. Trees. Berlin/Heidelberg/New York: Springer, 1980.

25. Shalen P. Three-manifolds and Baumslag-Solitar groups // Topology Appl. - 2001. - V. 110. - P. 113-118.

Работы автора по теме диссертации

26. Дудкин Ф. А. Подгруппы групп Баумслага-Солитера // Алгебра и Логика. - 2009. - Т. 48, № 1. - С. 3-30.

27. Дудкин Ф. А. Подгруппы конечного индекса в группах Баумслага-Солитера // Алгебра и логика. — 2010. — Т. 49, № 3. — С. 310-325.

28. Дудкин Ф. А., Чуркин В. А. Число подгрупп данного конечного индекса в группах Баумслага-Солитера // Вестник НГУ, Серия: Математика, механика, информатика. — 2010. — Т. 10, № 2. - С. 54-60.

29. Дудкин Ф. А. Подгруппы групп Баумслага-Солитера // Тезисы сообщений VII Международной школы-конференции, посвященной 60-летию A.C. Кондратьева. Челябинск, изд-во ЮУрГУ. — 2008. - С. 48-49.

30. Дудкин Ф. А. Подгруппы групп Баумслага-Солитера // Материалы XLVI международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск. — 2008. — С. 10.

31. Дудкин Ф. А. Подгруппы конечного индекса в группах Баумслага-Солитера // Материалы XLVII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск. — 2009.

- С. 70-71.

32. Дудкин Ф. А. Подгруппы конечного индекса в группах Баумслага-Солитера // Тезисы докладов международной конференции "Мальцевские чтения посвященной 100-летию со дня рождения Анатолия Ивановича Мальцева, Новосибирск: ИМ СО РАН. - 2009. - С. 53. (http: / / www.math.nsc.ru/conference/malmeet / 09/Abstracts/abstracts-09.pdf)

33. Дудкин Ф. А. Подгруппы конечного индекса в группах Баумслага-Солитера // Материалы Восьмой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения 2009"; Казан, матем. об-во. - 2009. - Т. 39. - С. 198-199.

34. Дудкин Ф. А. Подгруппы конечного индекса в группах Баумслага-Солитера // Материалы XLVIII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск. — 2010.

- С. 9-10.

Дудкин Федор Анатольевич

Подгруппы групп Баумелага-Солитера

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать . .2010. Формат 60x84 1/16. Уч.-изд. л. 1.25. Тираж 100 экз. Заказ N173

Редакционно-издательский центр НГУ. 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

Введение

1 Подгруппы групп Баумслага—Солитера

1.1 Необходимые определения.

1.2 Свойства погружаемых графов групп.

1.3 Упрощение проверки погружаемости.

1.4 Некоторые свойства BS(p, q).

1.5 Критерии вложимости.

2 Подгруппы конечного индекса

2.1 Двуиорожденность.

2.2 Копредставления.

2.3 Число классов сопряженных подгрупп индекса п.

3 Число подгрупп данного конечного индекса в группах Баумслага-Солитера

3.1 Двупорожденные транзитивные подгруппы симметрической группы.

3.2' Число подгрупп индекса п в группе BS(dp,dq).

Группа называется хопфовой, если всякий её гомоморфизм на себя имеет тривиальное ядро, т. е. является автоморфизмом. Это свойство было отмечено X. Хопфом (Н. Hopf) в связи с исследованием проблемы, связаны ли отображения степени 1 между замкнутыми многообразиями гомотопической эквивалентностью.

Очевидно, любая конечная группа хопфова, а свободная группа счетного ранга нехопфова. А. И. Мальцев [5] доказал, что любая конечно порожденная финитно аппроксимируемая группа хопфова, в частности, это верно для конечно порожденных линейных групп. Первые примеры [23] конечно порожденных нехопфовых групп были достаточно сложны. В 1962 году Г. Баумслаг и Д. Солитер [8] нашли серию нехопфовых групп с одним соотношением простого вида в классе групп

BS(p,q) = (a, t || rVt = a").

Здесь p,q - пара ненулевых целых чисел (параметры).

Оказалось, что если р и q взаимно просты (обозначение: р L q) и по модулю не равны 1, то BS(p, q) нехопфова: её эпиморфизм ip: t i—» t,a ap отображает нетривиальный элемент [t~lat, а] в единицу группы.

Впоследствии группы BS(p, q) стали называть группами Баумслага-Солитера, а соотношение t~lapt = aq - соотношением Баумслага-Солитера. Уже видно, что с одной стороны группы Баумслага Солитера обладают нетривиальными свойствами, с другой - относительно просто заданы. Кроме того, соотношение сопряженности Баумслага-Солитера часто встречается в теории групп и её приложениях. Приведем небольшой обзор результатов о группах Баумслага-Солитера.

Отметим сразу, что группы BS(p, q), BS(q,p) и BS(—p, —q) изоморфны. Поэтому можно считать, что р > 0,р < \q\. Если р = \q\ = 1, то BS(p, g) - абслева или почти абелева (фундаментальная группа тора или бутылки Клейна). Если р = 1, то BS(p,q) - линейная группа, порожденная целочисленными матрицами

Можно так же считать, что BS(l,q) — расширение аддитивной группы кольца д-адических рациональных чисел h[l/q] с помощью автоморфизма

В частности, это метабелева группа при q ^ 1, каждый её элемент единственным образом представим в форме слова tlakt~i, где г, j > 0 и, если г, j > 0, то к не делится на q.

Если \р\ > 1 и \q\ > 1, то группы BS(p,q) более близки к свободным неабелевым группам. Если обозначить щ = t~lat\ г Е Z, то подгруппа N, порожденная элементами а^, где г Е Z, нормальна и представима в виде итерированного нетривиального свободного произведения с объединением бесконечных циклических групп

Иначе говоря, BS(p, q) — ЯА^А^-расширение с базисной бесконечной циклической группой (о) и сопрягаемыми подгруппами (аР) и (а4}. Её элементы представимы единственным способом в виде левой (или правой) нормальной формы. Произвольное редуцированное слово w — w(t,a) свободной группы F(t,a), представляющее единичный элемент группы BS(p,q), либо имеет подслово t~lakt, где р | к, либо имеет подслово takt~l, где q | к (ввиду леммы Бриттона, см., например, [4|, гл. 4, §2). Отсюда коммутатор \t~lat,a\ не равен единице в BS(p,q) х t-> qx,х Е Z[1 /q}. при р > 1, а его образ при гомоморфизме а ap,t > t равен \t~lapt, ар] = [aq,ap] = 1. Если pig, то образ ip содержит элементы аР, t, aq — t~]apt и, следовательно, элемент а, то есть Im ip = BS(p, g).

Мескин [22] доказал, что группа BS(p, q) финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда p\q или q\p. Группа BS(p, g) хопфова (см. [8]) тогда и только тогда, когда она финитно аппроксимируема или р и q имеют одинаковые множества простых делителей. В частности, простейшая нехопфова группа — это BS(2, 3).

Коллинз [12] описал группу автоморфизмов BS(p, q) при взаимно простых р и q. Коллинз и Левин [13] заметили, что группа BS{2,4), или, более общо, BS(p,q), где \р\, \q\ ^ 1 и одно из чисел р, q делит другое, имеет бесконечно порожденную группу автоморфизмов.

В [19] доказано, что конечно порожденные (не циклические) разрешимые подгруппы групп с одним соотношением в точности — метабелевы группы Баумслага-Солитера.

Соотношения Баумслага-Солитера активно исследовалось для фундаментальных групп многообразий и комплексов (см., например, монографии [9], гл. III.Г, §7 и [18], гл. 1, §10). Известно, что фундаментальные группы компактных 2-многообразий всегда хопфовы. Фундаментальные группы компактных 4-многообразий могут быть любыми конечно представленными группами. Доказано, что группа BS(p, q) при |р| ф не может быть подгруппой фундаментальной группы связного ориентируемого 3-многообразия (см. [27] и [17]). Зела [25] доказал, что гиперболическая группа без кручения хопфова, если она не разлагается в нетривиальное свободное произведение. В частности, фундаментальные группы замкнутых многообразий отрицательной кривизны хопфовы.

Никакая группа Баумслага-Солитера не может быть подгруппой гиперболической группы (см., например, [9], стр. 462). Группа BS(p, q) обладает автоматной структурой тогда и только тогда, когда |р| = |д|. Ослабленному условию автоматности, известному как "асинхронная ав-томатность удовлетворяют все группы Баумслага-Солитера (см. [14], §7.4).

Предположим, что для любого слова длины ^ п, представляющего единицу группы, существует не более, чем /(п) вставок и сокращений нетривиальных определяющих соотношений, необходимых для установления равенства слова единице. Класс эквивалентности функции / не зависит от выбора конечного копредставления группы. Говорят, что в этом случае группа удовлетворяет изопериметрическому неравенству класса /. Неравенство линейно тогда и только тогда, когда группа гиперболическая (см., например, [24], гл. 2, §8 или [2], §2). Для автоматных групп неравенство квадратичное (см. [14], §2.3). Изопериметрическое неравенство для групп BS(p,q) экспоненциально при |р| ^ 1, |<?| ^ 1, см. [16].

Одна из классических задач теории групп состоит в описании подгрупп данной группы. Нильсен и Шрайер доказали, что подгруппы свободной группы сами свободны. Курош получил описание подгрупп свободного произведения групп. В дальнейшем исследовались подгруппы свободных произведений с объединенной подгруппой и HNN-расширений. Эти исследования завершились известной теорией Басса-Серра, где описание подгрупп задавалось в виде "фундаментальной группы графа групп". При этом оставалось неясным, какие "фундаментальные группы графов групп" задают подгруппы данной группы. Указанный недостаток позднее исправил Басс [7], однако предложенные им условия были трудно проверяемы даже в конкретной ситуации групп Баумслага-Солитера. В данной диссертации найдено прозрачное описание всех подгрупп групп Баумслага-Солитера при различных простых параметрах (глава 1). Найдены простые копредставления для подгрупп конечного индекса групп Баумслага-Солитера при взаимно простых параметрах (глава 2). Найдена также формула для числа подгрупп данного конечного индекса при произвольных параметрах (глава 3). Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации.

Граф А задается множеством "вершин" V(A), множеством "ребер" Е(А), двумя отображениями до - "начало" ребра и д\ - "конец" ребра из множества ребер в множество вершин и инверсией ребер ~: Е(А) —> Е{А) такой, что die = c?iz-e, е = е, ё Ф е.

Пара А = (А, я?) называется графом групп, если А - связный граф, «й/ - такое семейство групп и гомоморфизмов, что всякой вершине а графа А сопоставлена группа всякому ребру е графа А сопоставлена группа g/j; и, если а = д^е, то задано изоморфное вложение ае: &/Р —+£/а.

Пусть Т — максимальное поддерево графа А. Фундаментальная группа, 7Ti (А) графа групп А задается копредставлением, где порождающие -это

1) порождающие вершинных групп &/v,v G V{A),

2) новые символы te, е ^ Т, а определяющие соотношения

1) определяющие соотношения &/v,v €Е У {Л),

2) ае(д) = Оё(д), для всех д б е 6 Т,

3) t-^eCg)^ = для всех д е (£Т.

Это определение не зависит от выбора максимального поддерева Т (см., например, [26] или [7]).

Все группы Баумслага-Солитера явля- п — ются фундаментальными группами графов ^ ^ групп. Далее в диссертации А' - петля р\ / групп как на рисунке 1: граф А' имеет одну вершину ао и два ребра ео,ёо; вершинная Г*110- 1: Петля группА'. и реберные группы бесконечные циклические: &//1о = (ао) = Z, srf' = = (ео) = Z. Если считать, что оба вложения сохраняют ориентацию, то индексы вложения |,<о: о/^я/Ц = Р |,<п: I = <7, , i-де р и q - целые ненулевые числа, полностью задают а'еа и aig . При этом тп(А r) = BS(p,q).

Обобщенной группой Баумслага-Солитера называется всякая группа, действующая на дереве с бесконечными циклическими стабилизаторами вершин и ребер. По теореме Басса-Серра (см., например, [26] или [6]) всякая обобщенная группа Баумслага- Солитера является фундаментальной группой графа групп с бесконечными циклическими вершинными и реберными группами. Свойства этих групп исследовались в работах [11, 20]. Всякой обобщенной группе Баумслага-Солитера можно сопоставить граф с метками, например, как на рисунке 1. Метка А(е) £ Z\{0}, написанная на ребре е с началом в вершине v, определяет вложение ае: е —> циклической реберной группы (е) в циклическую вершинную группу (v). В диссертации вершинные и реберные группы всех рассматриваемых графов групп бесконечные циклические.

В первой главе диссертации будут описаны все подгруппы групп BS(p, q) при различных простых параметрах р и q. Группы Баумслага-Солитера действуют на дереве Басса-Ссрра так, что стабилизаторы вершин и ребер - бесконечные циклические группы. Их подгруппы тоже действуют на этом дереве и, по теореме Басса-Серра (см., например, [26] или [6]), представимы в виде фундаментальной группы некоторого графа групп, вершинные и реберные группы которого бесконечные циклические или единичные. Это значит, что всякая подгруппа является либо обобщенной группой Баумслага-Солитера, либо соответственно свободной группой не более, чем счетного ранга. Так как группа BS(p, q) содержит свободные группы, то проблема вложимости в качестве подгрупп остаётся только для обобщенных групп Баумслага-Солитера. Какие условия нужно наложить на граф групп, чтобы его фундаментальная группа вкладывалась в BS(p,q)?

В [7] Х.Басс показал, что если группа G «„., } изоморфна фундаментальной группе неко- а, ак.Г\ торого графа групп А, то группа Н явля- / а" ^Ч ется подгруппой группы G тогда и только / е< . \ тогда, когда существует граф групп Ai, по- |\ / " \ гружаемый в А, фундаментальная группа tt(t - ) которого изоморфна Н. Однако при задан- \ е, / ном графе групп А описание всех таких Ai \ аз а, /' трудная задача. ' е> х р.,

Мы покажем, что всякая подгруппа из BS(p, q) может быть представлена в виде фундаментальной группы графа групп ^ ——— —- • • • с метками на ребрах 1 ,р или q.

Пусть ei,e2, .,еп - реберный путь в графе с метками. Обозначим Рис- 2: ввеРхУ петля ГРУПП' внизу луч групп. q(e 1,е2,.,еп) = ti ХМ

ЛЕММА 1.9 Пусть А - петля групп (см. рис. 2), вершинные и реберные группы которой бесконечные циклические, щ, Д €Е {1,р, д}, г = 1,2,.,/:. Тогда фундаментальная группа графа групп А вкладывается изоморфно в группу BS(p, q), если и только если q(e 1, в2,., ей) = (f)"'m6Z

ЛЕММА 1.10 Пусть А - луч групп (см,, рис. 2), вершинные и реберные группы которого бесконечные циклические, индексы on,j3i влоэюения реберных групп в вершинные равны 1 ,р или q. Обозначим А„(А) - число индексов ctj = 1 при г ^ п, fJ.n(A) - число индексов Д = 1 при г ^ п, ДП(А) = An(A) — /in(А). Тогда фундаментальная группа графа групп А вкладывается изоморфно в группу BS(p,q), если и только если ДП(А) ограничена сверху как функция от п.

Будем рассматривать далее только связные графы. Основной результат первой главы диссертации

ТЕОРЕМА 1.12 Пусть р и q - различные простые числа. Пусть А - счетный граф групп с бесконечными циклическими вершинными и реберными группами, реберные группы которого вкладываются, в вершинные как подгруппы индекса 1 ,р или q. Тогда фундаментальная группа графа групп А вкладывается изоморфно в группу BS(p, q), если и только если все (достаточно - базисные) петли графа групп А удовлетворяют Лемме 1.9, а всякий луч групп из А удовлетворяет Лемме 1.10. Если фундаментальная группа графа групп А вкладывается изоморфно в группу BS(p,q), то изоморфное вложение можно найти алгоритмически.

Перейдем к результатам второй главы диссертации. Пусть an(G) — число подгрупп индекса п в группе G, a ~~ число нормальных подгрупп индекса п в группе G. Гелман [15] доказал, что если р и q взаимно просты, то an(BS(p,q)) = Y;L С1) l\n l±.pq

Баттон [10] при тех же условиях доказал формулу a«(BS(p,q))= J2 НОД(/,р-<7). (2) ri=lm l\pm-qm

Во второй главе дается явное описание всех подгрупп индекса п в группе BS(p, q) при взаимно простых параметрах р и q. При этом используется только формула (1). Формула (2) получается как следствие.

ТЕОРЕМА 2.3 Множество подгрупп индекса п в группе BS(p, q), при р L q, совпадает с множеством подгрупп Н^ , порожденных двумя элементами а1 и tmas, где п = 1т, I, т Е N, / L pq, s = 0,1,., / — 1. Все подгруппы Н?г т различны.

Пусть Вт — граф-цикл с вершинами с0, сь ., cmi и ребрами е0, еъ ., етг. Поставим в соответствие вершинам и ребрам графа Вт бесконечные циклические группы Cb,Ci,.,Cmi и Е0,Еъ.,Ет^ соответственно. Пусть aei: bi —> cj и а^: Ь^ —» с?+1 — вложения реберной группы Ef = (&,-) в вершинные группы Сг;+1 = (cj+i) и Q = (а) вершин ci+i и Q, инцидентных ребру е^. Эти вложения обозначены на рисунке 3 метками р и q на началах и концах ребер е*. Таким образом построена петля групп Вт. Обозначим через Нт фундаментальную группу 7Ti(Bm) петли групп Вш.

ТЕОРЕМА 2.6 Пусть п,1,т — натуральные числа, 1т = п и I L pq. Тогда для любых s — 0,1,. ,1 — 1 подгруппа т изоморфна группе Нт. Группы Нт при различных т попарно неизоморфны.

Обозначим через Ng{ti) - число классов сопряженных подгрупп индекса п из группы G.

ТЕОРЕМА 2.9 Пусть р и q взаимно просты. Тогда 1 Kk)-ld-HOA{d,pm~qm). dklm=n, l±pq

В третьей главе диссертации будет получено обобщение формулы Гел-мана (1) для произвольных целых ненулевых параметров к и I. Обозначим через т(Ь) — число делителей натурального числа 6, а через b\,b2,., bT(fy — все различные делители этого числа.

ТЕОРЕМА 3.7 Пусть d - любое натуральное число, а числа р и q взаимно просты. Тогда верна следующая формула для числа подгрупп q с, V' р/ е' q ' е° \ ч

Р\ е /

Ч Ч е„2

Рис. 3: Петля групп индекса п в группе BS(dp,dq): an(BS(dp,dq))= ]Г п lr*~KT (г - V(b,s)) n=lrs l±pq,d~rb

7г(г)Стг(/),Ш k\ \. kT{i)\ b\l . 6'

I h n^ hkl Ькт{ь)гк

Здесь все числа - неотрицательные целые, 7г(г) - множество простых делителей r,K—k\ + k2 + --- + fcr(b), V{b, s) - вектор а Т ( v ) — число подстановок у из Sn, для которых подгруппа (х, у) группы Sn транзитивна [х - фиксированная подстановка, последовательность длин независимых циклов которой совпадает с вектором V). Теорема 3.1 главы 3, которую мы не приводим ввиду большого количества необходимых определений, дает рекурсивную формулу подсчета Т (~v) для произвольного вектора 1?.

1. Богопольский О. В. Введение в теорию групп. — Институт компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2002.

2. Громов М. Гиперболические группы: Пер. с англ. — Ижевск: Институт комп. исследований, 2002. — 160 с.

3. Ландо С. К. Лекции о производящих функциях. — М.: МЦНМО, 2002. 144 с.

4. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп: Пер. с англ. — М.: Мир, 1980.

5. Мальцев А. И. Об изоморфных матричных представлениях бесконечных групп // Матем. сб. 1940. - Т. 8, № 3. - С. 405-422.

6. Чуркин В. А. К теории групп действующих на деревьях // Алгебра и логика. 1983. - Т. 22, № 2. - С. 218-225.

7. Bass Н. Covering theory for graphs of groups // Journal of Pure and Applied Algebra. 1993. - V. 89, № 1. - P. 3-47.

8. Baumslag G., Solitar D. Some two-generator one-relator non-hopfian groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. - V. 68, № 3. - P. 199-201.

9. Bridson M. R., Haefliger A. Metric spaces of non-positive curvature. Berlin/Heidelberg/New York: Springer-Verlag, 1999. (Grundlehren der mathematishen Wissenschaften, V. 319).

10. Button J. O. A formula for the normal subgroup growth of Baumslag-Solitar groups // J. Group Theory. 2008. - V. 11, № 6. - P. 879-884.

11. Clay M., Forester M. On the isomorphism problem for generalized Baumslag-Solitar groups // Alg. and Geom. topol. — 2008. — V. 8. — P. 2289-2322.

12. Collins D. J. The automorphism towers of some one-relator groups // J. London Math. Soc. 1978. V. 36, № 3. P. 480-493.

13. Collins D. J., Levin F. Automorphisms and Hopficity of certain Baumslag-Solitar groups j j Archiv Math. 1983. — V. 40. - P. 385-400.

14. Epstein D. В. A. with Cannon J. W., Holt D. F., Levy S. V. F., Paterson M. S., Thurston W. P. Word processing in groups. — Boston/London: Jones and Bartlett Publishers, 1992. 330 p.

15. Gelman E. Subgroup growth of Baumslag-Solitar groups // J. Group Theory. 2005. V. 8, № 6. - P. 801-806.

16. Gersten S. M. Dehn functions and li-norms of finite presentations — G. Baumslag (ed.), C.F. Miller, III (ed.), Algorithms and Classification in Combinatorial Group Theory. Springer, 1992.

17. Jaco W. H., Shalen P. B. Seifert fibered spaces in 3-manifolds // Merri. Amer. Math. Soc. 1979. - V. 21, № 220. - P. 192-200.

18. Kapovich M. Hyperbolic manifolds and discrete groups. — Boston/Basel/Berlin: Birkhauser, 2000. (Progress in Math. V. 183).

19. Karrass A., Solitar D. Subgroups of HNN-groups and one-relator groups // Canad. Math. J. 1971. - V. 23. - P. 627-643.

20. Levitt G. On the automorphism group of generalized Baumslag-Solitar groups // Geometry and Topology. 2007. - V. 11. - P. 473-515.

21. Mednykh A. Counting conjugacy classes of subgroups in a finitely generated group // Journal of Algebra. 2008. V. 320. - P. 2209-2217.

22. Meskin S. Non-residually finite one-relator groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. - V. 64. - P. 105-114.

23. Neumann В. H. A two generator group isomorphic to a proper factor group //J. London Math. Soc. 1950. - V. 25. - P. 465-479.

24. Ohshika K. Discrete groups. — Translations of mathematical monographs. — V. 207. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 2002.

25. Sela Z. Endomorphisms of hyperbolic groups I: The Hopf property // Topology. 1999. - V. 38. - P. 301-322.

26. Serre J.-P. Trees. Berlin/Heidelberg/New York: Springer, 1980.

27. Shalen P. Three-manifolds and Baumslag-Solitar groups // Topology Appl. 2001. - V. 110. - P. 113-118.Работы автора по теме диссертации

28. Дудкин Ф. А. Подгруппы групп Баумслага-Солитера // Алгебра и Логика. 2009. - Т. 48, № 1. - С. 3-30.

29. Дудкин Ф. А. Подгруппы конечного индекса в группах Баумслага-Солитера // Алгебра и логика. — 2010. Т. 49, № 3. - С. 310-325.

30. Дудкин Ф. А., Чуркин В. А. Число подгрупп данного конечного индекса в группах Баумслага-Солитера // Вестник НГУ, Серия: Математика, механика, информатика. — 2010. — Т. 10, № 2. — С. 54-60.

31. Дудкин Ф. А. Подгруппы групп Баумслага-Солитера // Тезисы сообщений VII Международной школы-конференции, посвященной 60-летию А.С. Кондратьева. Челябинск, изд-во ЮУрГУ. — 2008. — С. 48-49.

32. Дудкин Ф. А. Подгруппы групп Баумслага-Солитера // Материалы XLVI международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск. 2008. — С. 10.

33. Дудкин Ф. А. Подгруппы конечного индекса в группах Баумслага-Солитера // Материалы XLVII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск. — 2009. — С. 70-71.

34. Дудкин Ф. А. Подгруппы конечного индекса в группах Баумслага-Солитера / / Материалы Восьмой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения 2009"; Казан. матем. об-во. — 2009. Т. 39. - С. 198-199.

35. Дудкин Ф. А. Подгруппы конечного индекса в группах Баумслага-Солитера II Материалы XLVIII международной научной студенческойконференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика / Новоеиб. гос. ун-т. Новосибирск. — 2010. — С. 9-10.