Полиэдральные аппроксимации в задачах гарантированного управления и оценивания тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

КОСТОУСОВА Елена Кирилловна

ПОЛИЭДРАЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ В ЗАДАЧАХ ГАРАНТИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ И ОЦЕНИВАНИЯ

01.01.02 — дифференциальные уравнения 01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

Екатеринбург — 2005

Работа выполнена в отделе оптимального управления Института математики и механики Уральского отделения Российской Академии наук.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ф.П.Васильев;

академик РАН Н.Н.Красовсий;

доктор физико-математических наук А.В.Лотов.

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН.

У У оа

Защита состоится 16 февраля 2005 г. в 4 ** на заседании диссертационного совета Д 004.006.01 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора физико-математических наук при Институте математики и механики Уральского отделения РАН по адресу: 620219, г.Екатеринбург, ул.С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики Уральского отделения РАН.

Автореферат разослан " 30" д^Ка^р* 200Чг.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, с.н.с.

А.А.Успенский

IftОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена разработке методов построения полиэдральных аппроксимаций для трубок траекторий динамических систем и применению этих методов для решения задач гарантированного управления и оценивания.

Проблему построения трубок траекторий (многозначных функций описывающих, например, динамику множеств достижимости, разрешимости, информационных областей) можно назвать одной из фундаментальных задач математической теории управления. К необходимости изучения трубок траекторий (в частности, трубок выживающих траекторий, трубок разрешимости) приводят многие задачи теории управления и оценивания, теории дифференциальных игр, связанные с исследованием сложных реальных систем различной природы (механических, технологических. экономических, экологических, био-медицинских и др.), в описании которых присутствует неопределенность. К неопределенности могут приводить, например, неполнота информации о начальном состоянии системы, неконтролируемые возмущающие силы, помехи при измерении данных и т.д. При гарантированном подходе, принятом в настоящей работе, предполагается, что описание неопределенностей имеет вид включений, ограничивающих возможные значения неизвестных величин принадлежностью заданным множествам. При этом решение многих задач управления и оценивания может быть получено, если построено некоторое многозначное отображение (трубка траекторий). Гарантированный подход в задачах управления и оценивания был инициирован исследованиями Н.Н.Красовского1'2,3 и далее систематически развит А.Б.Куржанским, Ю.С.Осиповым, А.И.Субботиным, их сотрудниками и учениками. В работах А.Б.Куржанского4'5 была заложена и развита те-

'Красовский Н.Н К теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем //

Прикл. математика и механика. 1964. Т 28. Выл 1 С 3-14.

3Красовски8 H.H. Теория управления движением. М ■ Наука, 1968.

'Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений М.: Наука, 1970

4Куржанский А Б. Дифференциальные игры наблюдения // Докл АН СССР 1972 Т207. N 3 С.527-530.

РОС. • V ~~ ГиП

! • .V

ш'Ск.

ория апостериорного гарантированного оценивания Понятия и методы этой теории широко используются в настоящей диссертации Принципиальные результаты в области гарантированного управления, оценивания и идентификации, математического программирования в условиях неполной информации для различных классов систем были получены в работах Б.И.Ананьева, А.Е.Барабанова. Ф.П.Васильева, Р.Габасова, М.И.Гусева, И.Я.Каца, Ф.М.Кирилловой, Н.Ф.Кириченко, А.И.Корот-кого, А.С.Кощеева, А.В.Кряжимского, В.И.Максимова, А.А.Меликяна,

A.Г.Наконечного, О.И.Никонова, Д.А.Овсянникова, В.С.Пацко, В.Г.По-котило. Б.Н.Пшеничного. И.Ф.Сивергиной, Н.Н.Субботиной, В.Н.Ушакова, Т.Ф.Филипповой, А.Ю.Хапалова, Ф.Л Черноусько, J.-P.Aubm'a,

B.R.Barmish'a, D.PBertsekas'a, G.Leitman'a, F.C.Schweppe, H.S.Witsen-hausen'a и др.

Для нахождения упомянутых многозначных отображений выведены различные динамические уравнения, форма которых соответствует выбранной форме описания множеств X С И". При этом использовались следующие формы описания: поточечная (заключающаяся в прямом перечислении точек, которые содержит X); с помощью неравенства типа X = {х\В(х) < 0}, задающего множество уровня некоторой функции (например, подходящей функции цены, функции Минковского); с помощью опорных функций (опорных отображений в невыпуклом случае), с помощью параметрического описания границы. Для систем с геометрическими ограничениями первой форме соответствует эволюционное уравнение, представляющее собой для многошаговых систем рекуррентные соотношения для пересчета множеств от предыдущего момента к следующему, а для дифференциальных систем — так называемое уравнение интегральной воронки. Последнее есть предельное соотношение, связывающее (в терминах расстояния или полурасстояния Хаусдорфа) близкие по времени значения множеств, и является аналогом обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ). Решением уравнения интеграль-

6Куржанский А Б Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М Наука, 1977

ной воронки служит многозначный интеграл, сводящийся в разных задачах к интегралу Аумана, альтернированному интегралу Понтрягина, конволюционному интегралу6 или еще одному обобщеному интегралу7. При втором способе описания множества уравнение выписывается в пространстве состояний в терминах функции В(х). В частности, функция цены в дифференциальных системах, имеющая смысл оптимального расстояния до цели, описывается уравнением Гамильтона-Якоби-Беллмана в частных производных. Для опорного отображения получаются уравнения в частных производных в сопряженном пространстве. Известно несколько типов уравнений для параметрического описания границы. Выводу и изучению упомянутых уравнений посвящено большое число теоретических исследований, из которых отметим работы В.И.Благо-датских, А.Г.Бутковского, В.И.Гурмана, В.А.Комарова, Г Н.Константинова, А.Б.Куржанского, М.С.Никольского, О.И.Никонова, А.И.Панасю-ка, В.И.Панасюка, А.И.Субботина, Н.Н.Субботиной, А.А.Толстоногова, В.Н.Ушакова, А.Ф.Филиппова, Т.Ф.Филипповой, M.G.Crandall'a, P.L.Li-ons'a.

Однако точное решение названных уравнений может оказаться достаточно затруднительным. Поэтому возникает необходимость в разработке численных методов построения трубок траекторий, их аппроксимации. В частности, значение разработки методов решения эволюционных уравнений для теории управления по своей важности можно сравнить, например, с разработкой численных алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений, систем ОДУ или уравнений с частными производными.

Существует много подходов к созданию упомянутых численных методов. Рассматривая их с точки зрения геометрического представления аппроксимирующих множеств, условно можно выделить следующие боль-

"Куржанский А Б., Филиппова Т.Ф. Об описании множества выживающих траекторий управляемой системы // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. N 8. С.1303-1315

7Куржанский А Б., Никонов О И. К задаче синтеза стратегий управления Эволюционные уравнения и многозначное интегрирование // Докл. АН СССР. 1990. Т.311. N 4. С.788-793.

шие группы методов. В первую отнесем методы, которые основываются на аппроксимации множеств многогранниками (часто внешними и/или внутренними, а иногда и не обладающими указанными свойствами) с большим числом вершин и граней. Для систем высокой размерности эти методы могут потребовать весьма большого объема вычислений. Для невыпуклого случая разрабатываются методы, основанные на аппроксимации множеств либо невыпуклыми многогранниками, либо конечным набором сечений в виде выпуклых многогранников. В другую группу можно отнести методы, основанные на аппроксимации множеств объединением конечного числа точек. Они применимы и для невыпуклого случая, но тоже могут потребовать большого объема вычислений и памяти. Существует и явление "расширяющейся сетки" (чем больше множество, тем больше точек необходимо для его аппроксимации). Разработке алгоритмов из этих двух групп методов посвящены многие работы В М.Кунцевича, А.В.Лотова, В.С.Пацко, А.Н.Сесекина, В.Н.Ушакова, В.И.Ширяева, их учеников, коллег и других авторов.

Еще одну группу составляют методы, основанные на аппроксимации множеств более простыми областями некоторой фиксированной формы (например, эллипсоидами, параллелепипедами). В настоящее время достаточно хорошо развит метод эллипсоидов, позволяющий строить внешние и внутренние оценки выпуклых множеств, в том числе оптимальные и локально-оптимальные в некотором смысле. Его разработке посвящены работы Г.М.Бакана, А.Б.Куржанского, А.И.Овсеевича, В.'Г.Поля-ка, Ф.Л.Черноусько, О.Р.Вег^эсказ'а, Е ^еГя, У.Е.Ниаг^'а, \У.КаЬап'а, ХМогЬоп'а, Р.С.ЗсЬшерре, Е.\¥аИ;ег'а, 1.Уй1уь Н.Э^^бепЬаизеп'а и др.

А.Б.Куржанский внес принципиальные изменения в схему аппроксимаций такого рода. Им предложено аппроксимировать искомую трубку целыми семействами внешних и внутренних трубок, образованных областями фиксированной формы (эллипсоидами, параллелепипедами). Семейства вводятся таким образом, чтобы, с одной стороны, обеспечить, по возможности, точные представления решений (путем пересечения внеш-

них или объединения внутренних оценок), а с другой стороны, чтобы каждая конкретная трубка находилась с помощью эволюционных уравнений независимо от остальных (что открывает возможности для параллельных вычислений). Первоначально этот подход был развит для эллипсоидального оценивания (сначала для трубок траекторий в системах с эллипсоидальными ограничениями8, а затем — и с параллелепипедо-значными9'10). В настоящей диссертации этот подход развивается для полиэдрального (параллелепипеде»- и параллелотопозначного) оценивания. При этом общая схема аналогична описанной, но требует развития совершенно другой техники.

Вопросы оценивания искомых множеств с помощью параллелепипедов рассматривались также в работах Н.С.Васильева, С.И.Дудова, L.Chisci, A.Garulli, Y.F.Huang'a, K.J.Keesman'a, M.Milanese, V.M.Veli-ov'a, A.Vicino, G.Zappa и некоторых других. Здесь значительные усилия уделены нахождению внешних и внутренних оценок, являющихся оптимальными (в статической постановке) или "последовательно"-оптимальными (в динамической постановке) в каком-либо смысле, например, в смысле объема или радиуса. Ряд работ посвящен построению внешних оценок в виде ортогональных параллелепипедов, преимущественно с гранями, параллельными координатным плоскостям ("боксов"). При этом решение задачи часто предлагается не в аналитическом виде, а в виде решения одной или 2п статических оптимизационных задач. В некоторых случаях (например, для нахождения внешней оптимальной по объему оценки пересечения невырожденного параллелепипеда с гиперполосой и суммы невырожденного параллелепипеда с отрезком) решение было найдено в явном виде11. Строились также внешние оценки в виде зонотопов

'Kurzhanski А.В , Välyi I Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control Boston: Birkhausen 1997.

9Kirilin M.N., Kurzhanski A B. Ellipsoidal techniques for reachability problems under nonellipsoidal constraints // 5th IFAC Symposium "Nonlinear Control Systems", St -Petersburg, Russia, July 4-6, 2001 NOLCOS'Ol Preprints. P.768-773.

I0Kurihanski A.B , Varaiya P On ellipsoidal techniques for reachability analysis Part T External ap-

proximations. Part II: Internal approximations. Box-valued constraints // Optimiz. Methods & Software I. 2002. V.17. N 2. P.177-206. II. 2002. V.17. N 2. P.207-237.

uChisci L., Garulli A, Zappa G. Recursive state bounding by parallelotopes // Automatica. 1996

— политопов, представляющих собой сумму конечного числа отрезков.

Покоординатные оценки ("боксы", в русскоязычной литературе называемые также брусами или интервальными векторами) получают также с помощью интервальных операций, используемых в интервальном анализе12,13. Ряд авторов использовал методы интервального анализа для решения задач управления, оценивания и идентификации (Р.С.Ивлев, Е.К.Корноушенко, Е.М.Смагина, Н.А.Хлебалин, С.П.Шарый, Ю.И.Шо-кин, L.Jaulin, M.Kieffer, S.M.Markov, E.Walter и др.).

Следует однако отметить, что в динамических задачах оценивания трубок траекторий оценки, построенные с помощью интервальных вычислений, могут оказаться слишком грубыми в силу известного в интервальном анализе эффекта обертывания (wrapping effect) и такие оценки наиболее полезны для систем, обладающих сильными свойствами устойчивости14. Другое применение интервального анализа состоит в построении для искомых множеств внешних и внутренних оценок в виде подпокрытий (дословно, subpavings) — объединений неперекрывающихся "боксов". При этом для достижения заданной точности аппроксимации для систем большой размерности может потребоваться очень много вычислений и памяти. Поэтому, как признают сами авторы15, такие методы подходят больше для систем невысокой размерности.

Обращаясь к теме диссертации, подчеркнем, что рассматриваемые в ней трубки траекторий обладают полугрупповым свойством, входящим в определение обобщенной динамической системы в смысле Е.А.Барбашина и E.Roxin'a. Поэтому естественно требовать выполнения аналогичного свойства для оценок. Таким образом, постановка зада-

V.32. N 7. Р.1049-1055.

"Moore R.E. Interval Analysis. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1966.

"Калмыков C.A , Шокин Ю И , Юлдашев 3 X Методы интервального анализа. Новосибирск' Наука, 1986.

14Корноушенко Е К. Интервальные покоординатные оценки для множества достижимых состояний линейной стационарной системы. I - IV // Автоматика и телемеханика I 1980 N 5 С 12-22, П. 1980. N 12. С.10-17; Ш. 1982. У 10. С.47-52; IV. 1983. N 2. С.81-87.

18Jaulin L , Kieffer М , Dldrit О., Walter Е Applied Interval Analysis With Examples in Parameter and State Estimation, Robust Control and Robotics. London: Springer-Verlag, 2001

чи исключает использование стандартных процедур оптимизации ввиду требований динамики и многозначности. Упомянутая постановка является решающей при рассмотрении задач оценивания и синтеза управлений в условиях неопределенности5,8.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка, обоснование и доведение до программной реализации методов построения внешних и внутренних полиэдральных (параллелепипеде- и паралле-лотопозначных) аппроксимаций для трубок траекторий различных классов линейных динамических систем- многошаговых, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнениями с распределенными параметрами.

Методы исследования. В основе работы лежат методы теории управления и наблюдения в условиях неопределенности; используются результаты выпуклого анализа, теории экстремальных задач, теории дифференциальных включений; привлекаются аппарат математической физики и теории разностных схем.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. При этом получены следующие основные результаты. Развиты элементы "полиэдрального исчисления" -- аппарата для работы с множествами в рамках выбранного класса областей — параллелепипедов (и иногда более широкого класса — параллелотопов). Изучены операции над параллелепипедами и параллелотопами (геометрические сумма и разность, пересечение с полосой, выпуклая оболочка объединения) и способы построения, а также свойства полиэдральных (параллелепипедо- и параллелото-позначных) оценок результирующих множеств. Разработаны алгоритмы построения внешних и внутренних аппроксимаций множеств достижимости линейных динамических систем (многошаговых и описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями — с геометрическими ограничениями на управление, включая системы с фазовыми ограничениями в дискретные моменты времени) при помощи семейств параллелепипедов и параллелотопов. Доказано, что введенные семейства обес-

печивают точные представления искомых множеств через операции пересечения и объединения оценок. Изучены свойства оценок, касающиеся неулучшаемости по включению, касания, невырожденности и пр. Для задачи целевого синтеза управлений (в случаях как без неопределенности, так и с неопределенностью) введены семейства внешних и внутренних *

полиэдральных оценок трубки разрешимости; разработан алгоритм синтеза допустимой стратегии управления, основанный на использовании V, внутренних оценок. Для задачи гарантированного оценивания состояния параболической системы при "геометрических" ограничениях доказана сходимость к искомой информационной области множеств, получаемых с помощью решений аппроксимирующих задач оценивания в конечномерных системах, и исследованы возможности использования внешних и внутренних полиэдральных оценок. Для линейных многошаговых систем с интегральными неквадратичными ограничениями на управление, включая системы с фазовыми ограничениями, введены семейства внешних и внутренних оценок множеств достижимости, обеспечивающие точные представления последних; для множеств достижимости в расширенном фазовом пространстве введены семейства внешних оценок в виде политопов специального вида; с использованием этих оценок найдены па-раллелепипедозначные оценки множеств достижимости в исходном пространстве, новые для систем с фазовыми ограничениями. Во всех упомянутых случаях для оценок выведены эволюционные (рекуррентные либо обыкновенные дифференциальные) уравнения, независимое интегрирование которых позволяет организовать распараллеливание вычислений. Разработан пакет программ полиэдрального оценивания BOXES в виде набора процедур для системы MATLAB.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе теоретические результаты развивают теорию управления и наблюдения в условиях неопределенности в плане создания и обоснования конструктивных алгоритмов решения рассматриваемых в ней задач. При этом предпочтение отдано подходу, позволяющему получать приближенные

решения относительно простыми средствами (часто по явным формулам). Иллюстрацией возможности простой и эффективной численной реализации разрабатываемых методов служит пакет программ BOXES.

Апробация работы. Разработка методов, описанных в диссертации, была поддержана грантами РФФИ 94-01-00803, 96-01-00050, 97-01-01003, 00-01-00369, 03-01-00528 и грантом Н.Ш.1889.2003.1. Результаты диссертации были представлены в докладах (указано в хронологическом порядке) на V Конференции "Транспьютерные системы и их применение", Домодедово, 1995; II - III International Workshops "Beam Dynamics & Optimization" (BDO-95, BDO-96), С.-Петербург, 1995, 1996; IMACS Multiconference "Computational Engineering in Systems Applications" (CESA'96), Лилль, Франция, 1996; 11 - 12 Международных совещаниях по интервальной математике, Новосибирск, 1996, Красноярск, 1997; 13th International Symposium on the Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS-98), Падуя, Италия, 1998; Международной конференции "Распределенные системы: Оптимизация и приложения в экономике и науках об окружающей среде" (DSO'2000), Екатеринбург, 2000; Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели", Челябинск, 2002; юбилейной конференции, посвященной 10-летию РФФИ, Москва, 2002; 4th International Conference "Tools for Mathematical Modelling" (MathTolls'2003), С.-Петербург, 2003, и докладывались на совместных заседаниях семинаров кафедры системного анализа факультета ВМК МГУ им.Ломоносова (руководитель — академик РАН А.Б.Куржанский) и Института вычислительной математики РАН (руководитель - академик РАН Г.И.Марчук), семинарах Института математики и механики УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-20].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, разбитых на 22 параграфа, заключения, трех приложений и списка литературы из 235 наименований. Общий объем дис-

сертации составляет 263 страницы, 25 из них занимают рисунки.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дан краткий обзор литературы, относящейся к расматриваемым в работе вопросам, и изложены основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена "полиэдральному исчислению". Этим термином мы называем аппарат для работы с множествами в рамках выбранного класса областей — параллелепипедов (и иногда более широкого класса — параллелотопов). "Упомянутый аппарат разрабатывается с целью последующего использования для построения полиэдральных аппроксимаций трубок траекторий в задачах гарантированного управления и оценивания и в этом смысле в некоторой степени подобен эллипсоидальному исчислению, развитому в монографии8 (чем и объясняется выбранный термин). Разрабатываемое "полиэдральное исчисление" может рассматриваться и как некоторое развитие интервального анализа, при котором базовыми множествами служат не интервальные векторы, а произвольные параллелепипеды. Представляется, что оно может оказаться полезным для решения более широкого круга задач, чем рассмо трены в последующих главах.

Для пояснения мотивации вводимых конструкций в главу I включен § 1, где на примере многошаговых систем

даны постановки некоторых задач управления и оценивания, решения которых связаны с построением трубок траекторий. Здесь х[к] € К" — вектор фазовых координат системы; А[к] € Нпхп — извесгные пхп-матрицы; неизвестные заранее начальное состояние ж[0] £ К" и входные воздействия ыЩ е И" стеснены ограничениями (2), где Щк] £

х{к\ = А[к}х[к-1} + 'ш[к}, к = 1,...,ЛГ; х[0]еХо) ю[к}£П[к], к = 1,...,Ы;

(1) (2) (3)

convlR" — заданные множества, convIR" — множество всех выпуклых компактных подмножеств 1R". Фазовые ограничения (ФО) (3) где УЦ1 -выпуклые замкнутые множества, могут, в частности, порождаться уравнением измерений с неизвестной, но ограниченной помехой:

y[k]=G[k]x[k] + V[k]-, #]6 0[Ä]cEm, k = l,...,N, (4)

где G[k] — заданные т X n-матрицы ранга тп, 0[fc] е convlRm — известные множества, у[к] — данные измерений. При отсутствии ФО считаем [УМ = К"- Множеством (областью) достижимости (МД) Х\j] — X(j, 0, Ло) системы (1) - (3) называется множество всех тех точек х е R", для каждой из которых существует такая пара {х[0]. «[■]}, удовлетворяющая (2), что порождаемое ею в силу (1) решение х[-} удовлетворяет условию x\j] = х и (3) для к — 1Многозначная функция X\j], j — 1,..., N, известна как трубка траекторий Х[-] или трубка достижимости, а при наличии ограничений (3) — как трубка выживающих траекторий. Для задач гарантированного оценивания состояния такое многозначное отображение возникает естественным образом. Оно описывает динамику информационных областей5,16 - множеств состояний, совместимых с данными измерений и априорными ограничениями Известно, что МД обладают полугрупповым свойством

Х(к, 0, Xq) = Х(к, j, X(j, 0, Xq)), 0 < j < к < N, (5)

и находятся из некоторых рекуррентных соотношений17'18; известны методы19, реализующие эту процедуру в виде алгоритмов.

Далее предполагается, что Х0, Щк] являются параллелепипедами

_Хр ~ Р(ро, Рр, ^о), Щк] = V(r[k], R[k], #]), (6)

'"Кощеев А С , Куржанский А Б. Адаптивное оценивание эволюции многошаговых систем в уело виях неопределенности // Изв АН СССР Техн кибернетика. 1983 N 2. С 72-93

17Кац И.Я , Куржанский A.B. Минимаксная многошаговая фильтрация в статистически неопределенных ситуациях // Автоматика и телемеханика. 1978 N 11 С 79-87.

"Черноусько Ф Л Оценивание фазового состояния динамических систем Метод эллипсоидов M : Наука, 1988.

19Лотов А В. Численный метод построения множеств достижимости для чинейпых управляемых систем с фазовыми ограничениями // Журн вычисл математики и мат физики 1975 T 15 N 1 С.67-78.

а множества У[к] — параллелепипедами или полосами. Параллелепипедом V(p, P,iг) в К" называем множество

V = V(p,P,TT)^{x\x = p + £pt7rlZt, i = l,...,n},

1=1

где р € В"; Р — неособая матрица со столбцами рг единичной длины20; 7r€Rn, тг>0 (векторные и матричные неравенства понимаем покомпонентно). Можно сказать, что р задает центр параллелепипеда, Р — ма- ^ трицу ориентации, pi — направления, 7г,- — величины его "полуосей". Полосой S—S{c, S, а, т) называем пересечение m (1 <т<п) гиперполос S1: т

S = S(c,S,<T,m) = flЕ', £' = £(с,,5>0 = {х| \(x,sl) ~а\ < <п}, i=i

где с € IRm; S б Rnxm — матрица ранга m со столбцами s* единичной длины20 (векторы ±s8 определяют нормали к гиперплоскостям, ограничивающим гиперполосу £*); а £ Rm, а > 0.

Ставится задача о нахождении внешних "P+[-j и внутренних V~[-} параллелепипедозначных оценок для Х[-\. V~[k\ С Х[к] С V+[k], V^k] = V{р±[к], Р*1 [fc], тг* [fc]), обладающих обобщенным полугрупповым8 и эволюционным18 свойствами (являющимися аналогами полугруппового свойства для МД)21, и, более того, о введении некоторых семейств таких трубок, обеспечивающих точные представления

= (7)

X[k] = \jr~[k] (8)

посредством пересечения внешних и объединения внутренних оценок. При этом требуется, чтобы каждая конкретная трубка находилась с помощью эволюционных уравнений независимо от остальных.

^Условие нормировки несущественно и может быть опущено (с целью упрощения формул)

21Как оказывается, оценки 'Р±[к] могут быть найдены из рекуррентных уравнений с начальными условиями 75±[0], так что по аналогии с множествами достижимости можно ввести обозначения где символами P±(k,i,Pf) обозначаем значения решений упомянутых уравнений в момент к с начальными условиями P^[i] = Pf. Говорят, что оценки Р^Щ = Р+(к,0, Р+[0])ИР-[А] = Р~~(к,0,Р~[0}) обладают "верхним" и "нижним"полугрупповым свойством, если Т>±(к,0,'Р±[0]) = P^fc.j.P^j.O,?*[()])), о < j < к < N; Хо С Р+Щ и 7>-[0] С Говорят, что оценки и Р~[к] обладают эволюционным свойством, если -t(fc, fc-l,T>+[fc-l]) С 'P+[fc], к =

1,.. ,N; Х0 С Р+Щ. а в аналогичных соотношениях для Р~[к] включения заменены на обратные

Иногда внутренние оценки удобнее искать в виде параллелотопов Параллелотопом Т\р, Р] называем множество

Г = Г\р,Р} = {х\х=р+£р$и <1, г = 1,..., г},

где р € 11", г < п, а матрица Р = {р1} е Е,"хг может быть особой. Таким образом, р определяет центр параллелотопа, а матрица Р — его * форму. Называем параллелотоп V невырожденным, если Р € где

М(,хп = {А 6 ЕГХП| с1е1;А ф 0} — множество всех неособых пхтг-матриц. Заметим, что любой невырожденный параллелотоп (так же, как и полоса <?(с, 5, а, т) при т = п) есть параллелепипед.

Оценки желательно строить так. чтобы они были "как можно ближе" к множествам достижимости, например, были тугими10, касающимися или неулучшаемыми по включению8. Внешнюю (внутреннюю) оценку V множества Q £ сопуЖ" называем тугой (в направлении I), если р(±1[Р) — р(±1\0), где р(1[0) = аир{(х,/)| х б 0} — опорная функция О,. Внешнюю оценку называем касающейся, если она является тугой в направлении п векторов, биортогональных к столбцам ее матрицы ориентации. Параллелепипед V называем минимальной по включению внешней оценкой для Q, если условие О. С V С V для некоюрого параллелепипеда V влечет V = V. К оценкам могут предъявляться и другие требования, например, ортогональность (когда матрица ориентации ортогональна, то есть РТР = 7, где I — единичная матрица). Если число элементов в семействах оценок оказывается довольно большим или даже бесконечным, то, ограничиваясь каким-либо конечным подмножеством элементов, можно получить внешние и внутренние аппроксимации искомых множеств. Задавшись каким-либо критерием оптимальности, можно искать оптимальную оценку искомого множества. 1 Как следует из упомянутых рекуррентных формул17,18, построение

оценок для введенных трубок основывается на выполнении элементар-! ных операций над параллелепипедами: афинного преобразования, гео-

метрической суммы (суммы Минковского, определяемой для двух мно-

жеств Хк С Нп соотношением X1 + X2 = {аг| х = х1 + х2, хк £ Хк}), пересечения Результат такой операции может не быть параллелепипедом и в этом случае аппроксимируется параллелепипедами снаружи и изнутри. Остальные пять параграфов главы I посвящены разработке техники аппроксимации множеств (в частности, полученных в результате использования упомянутых и некоторых других операций) с помощью областей выбранного класса. Далее, как правило, под оценками будем понимать параллелепипедозначные оценки. Все предлагаемые оценки зависят от некоторых параметров и могут быть легко вычислены по явным формулам (за исключением специально оговариваемых случаев).

В §2 рассмотрены способы построения и некоторые свойства оценок для выпуклых компактных множеств 2 е сопуКп. Для произвольного О, 6 сопуИ" (выпуклого политопа О) введены семейства внешних (внутренних) оценок Vь (Р~), обеспечивающие представления

а = Г№+, е = (9)

Внешние оценки Т+ — Рр+(0) однозначно определяются матрицами ориентации Р+, строятся в явном виде с использованием значений опорной функции О. и являются касающимися. Для внутренних оценок такой однозначности нет, и каждому выбранному центру и матрице ориентации соответствует множество допустимых величин полуосей, определяемое системой линейных неравенств. Найдены достаточные условия, гарантирующие неулучшаемость по включению внешних и внутренних оценок. В частности, для выпуклого политопа Q с непустой внутренностью оценка 7>+ = Рр+{0) минимальна по включению, если все векторы, биорто-гональные к столбцам Р+, определяют некоторые крайние опоры22 для О,, а оценка Т>~ максимальна по включению, если каждая вершина является крайней точкой20 для й- При заданных центре р~ и матрице ориентации Р~ указан простой способ нахождения величин полуосей внутренних оценок в аналитическом виде; соответствующие оценки обо-

22Пшеничный Б.Н Выпуклый анализ и экстремальные задачи М.: Наука, 1980.

значаются через Р~ tp-(Q)- Обсуждаются некоторые функционалы, которые можно использовать для сравнения параллелепипедов и, значит в качестве критерия оптимальности оценок.

§3 посвящен аппроксимации множества Q, являющегося суммой N параллелепипедов: Q = Г{к) = V{p(k\P{k),n{k)). Введено

несколько семейств внешних и внутренних оценок, обеспечивающих (9) При этом касающиеся внешние оценки Pp+(Q) находятся в явном виде' p++(Q) = p(Z?=1pw, Р+, Ef=1 Abs ((P+)-1pW)7г»)), где Abs В обозначает матрицу абсолютных величин элементов матрицы В. А в качестве внутренней оценки для суммы Q = 77'1' + V^ двух параллелотопов -p(fc) = -р[р(*),р(4)], р№ g Rnxr\ можно, в частности, взять параллелотоп V- = Р?(1)>г,2)(Р(1)+Р(2)) - V\pV+pW,PWrW+PWrW], где Г'1', Г-2^ — произвольные матрицы, у которых сумма абсолютных величин элементов каждой строки не больше единицы: Г® € gw* А {Г={7ц}е JRr*xn| ^ах Рассмотрена задача о нахождении

для суммы двух параллелепипедов внешней оценки наименьшего объема В случае, когда один из слагаемых параллелепипедов невырожден, а другой "мая", ее решение найдено в явном виде.

В §4 строятся оценки для множеств, полученных в результате использования операции — геометрической разности (разности Минковского, определяемой соотношением Xх—X2 = {х G R"\х + X2 С А"1}). Отмечено, что геометрическая разность параллелепипеда и произвольного множества У £ conv R" есть либо параллелепипед, либо пустое множество. Введены семейства внешних и внутренних оценок для множества Q = + V{2))-V^\ где V{k) — параллелепипеды, и приведен пример, показывающий, что представление Q=\J~P~ при этом, вообще говоря, не гарантировано. Для случая, когда V^ невырожден, а Т® и Т1^ "малы", в явном виде найдена внешняя оценка, имеющая наименьший объем.

§5 посвящен построению оценок для пересечения Q — V^ П S^ параллелепипеда и полосы. Для случая, когда есть параллелепипед, рассмотрены два способа построения семейств внешних оценок, обеспе-

чивающих (9). Первый основывается на сведении (путем введения матричных параметров6'16) операции пересечения к изученной ранее операции сложения параллелепипедов, второй - на том факте, что пересечение параллелепипедов с одинаковыми матрицами ориентации снова есть параллелепипед: Vm П V{2) С V+ = Pp+{VW) П [V(2)), VP+ : det 0. Далее рассмотрен случай, когда S{ 2)

— гиперполоса Отмечается, что внешняя касающаяся оценка с произвольной матрицей ориента- \ ции может быть несложно найдена с помощью алгоритма; в явном виде найдено несколько касающихся оценок, соответствующих специально выбранным матрицам ориентации; указаны оценки, имеющие наименьший объем. Последние два утверждения обобщают результаты23 на случай int Q — 0. Описаны способы нахождения в аналитическом виде точки, принадлежащей Q. что позволяет строить внутренние оценки Pp~ p (Q) введенные в §2. в явном виде.

В §6 строятся "элементарные" оценки для множеств, возникающих в гл. VI. Сначала рассматриваются аппроксимации выпуклой оболочки объединения двух параллелотопов и вводятся семейства оценок, обеспечивающие (9). Затем рассматриваются множества Z точек 2 = (хт,ц)т = {х, fi} £ Rn+1, заданные своими сечениями А"(/л)24 по последней координате ц: Z = U {Х(ц),^}, где 0 < ft < ft, Х{ц) С ]Rn. Введены четыре операции с такими множеством Первые три: AQZ, 2фа и ZQiУ (умножение на матрицу А £ lRnx", сложение с вектором а £ И", пересечение с множеством У С В,п) действуют независимо на каждое сечение, а последняя — Z 1±1£ К, где TZ С R™, 0 < ¿t < Д. — комбинирует операции суммы Минковского и объединения по сечениям: 2 Щ 11 = 2 = U {Х{р),ц}, где ft = ¡л, ft = min{ft,ß}, fib<ß<ßl

X{ft) = U (x{0 + (С _ ft№) При // = 0, p = +oo обозначаем

max{ßb,fi}<(<nl

= Z^Ti. Для построения внешних оценок множеств 2 в ]Rn+1 вво-

23Vicino А , Zappa G. Sequential approximation of feasible parameter sets for identification with set membership uncertainty // ШЕЕ Trans Automat. Contr 1996 V AC-41 N 6 P. 774-785

г4Которые, в частности, могут быть пусты- Х{р) = 0 при некоторых ß

дится следующий класс политопов П = n({Pb,/ib}, {V1,^*}) (см. рис. 1). Если ць, д1 - числа, 0 < / < ц\ а Ть = V(pb, Ръ, тгь), V1 = V{p\ Р1, тг') — параллелепипеды с одинаковыми матрицами РЪ=РЬ—Р, то политоп П определяется в виде25 (где со X обозначает выпуклую оболочку X):

П = П({7>V}, {PV}) = со (Zb U &), Zl = {V\vt}, i = "b", "f. Таким образом, П определяется своими "нижним" и "верхним" сечениями; при этом промежуточные сечения П — тоже параллелепипеды.

Построены семейства внешних оценок П+ для множеств вида Z = П V, где V — параллелотоп, и Z = TLQS, где S — параллелепипед либо гиперполоса в Ж". Оценки строятся за один или два шага. Сначала при фиксированной матрице Р+£М^у'п находится оценка Z = U {Т{у). 2 -2, где параллелепипеды V{\i) 2 Х(ц), V/i £ [/Дм1] (в

частности, если Р(ц) = то обо- Рис- L Частный слУчай поли"

<7 Г7+ (<7\\ -о 5 топа П в 1R3

значаем Z = Zp+{Z)). Ьсли Z - множество

типа политопа П, то П+ — Z. Иначе, пользуясь тем, что в упомянутых случаях Z имеет специфический вид, искомая оценка находится по некоторому правилу П+ = где д^'Кд^ е Нп — векторы,

компоненты которых определяют боковые грани П+. Параметрами оценок выступают матрицы ориентации Р+ сечений и векторы .

Во второй главе разрабатываются методы построения внешних и внутренних оценок М Д линейных динамических систем с геометрическими ограничениями на входные воздействия и без ФО. Если не сказано другое, введенные семейства оценок обеспечивают соотношения (7), (8).

§7 посвящен многошаговым системам. Сначала вводятся трубки Т+[-}, удовлетворяющие следующим эволюционным уравнениям:

= Р+Р+[к](А[к) V+[k-1] + Щк}), к=1, — ЛГ; 7>+[0] = Р+Р+Р](Хо)-__(Ю)

^Индексы "Ь" и "t" идут от слов bottom (дно) и top (верхушка)

В теореме 7 1 доказано, что ~Р+[к] являются внешними оценками для МД Х[к] системы (1), (2), (6) при любой последовательности матриц Р+[к] 6 Мохп, к = О,...,N. и указано три способа построения множеств 1/у матриц Р+[0] и правил нахождения остальных матриц Р+[к], которые обеспечивают три конечных семейства трубок таких что

Х[Щ = П{7'+[ЛГ]| Р+[0] € У^}, 7 = 1,2,3. Эти трубки образованы тугими оценками в виде ортогональных или неортогональных параллелепипедов: оценки из последнего семейства оказываются касающимися, а при к = N — минимальными по включению. Таким образом, отказ от фиксированных единичных матриц ориентации позволяет ослабить эффект обертывания из интервального анализа. В теореме 7.2 для более общего случая ограничивающих множеств Хц £ сопуЖ", 7Z[k] € сопуИ" доказано, что внешние оценки для МД Х[к] также могут быть построены по формулам (10), и, при условии <1е1;.А[А:] ф 0, если Р+[0] = Р € Мохп - произвольная матрица, а Р+[к] = А[к]Р^[к — 1], к = 1,...,^, то Т+[к] оказываются касающимися оценками для Х[к] и Х[к] = П{Р+№][ Р € V0}, к = 1,..., N. Здесь через V0 обозначено произвольное множество матриц Р € М"хп, обладающее тем свойством, что для каждого вектора I £ И", |]£|| = 1, в этом множестве найдется такая матрица Р, что I коллинеарен какому-либо из столбцов Р~1.

Далее в теоремах 7.3 - 7.5 введено несколько конечных семейств внутренних оценок. Доказано, что оценки одного из семейств — тугие, а при к = N — и максимальные по включению. Однако в системах, полученных дискретизацией систем с непрерывным временем, множества, являющиеся оценками такого типа, могут оказаться длинными и узкими. Поэтому в теореме 7.6 для МД Х[к] системы (1), (2), (6) введено также более широкое семейство внутренних параллелотопозначных оценок

= Г + ВД, * = 1,.... Л;

Т'[О] = Р1(Х0),

параметры которых удовлетворяют условиям Л, Г'2'[А;] £ <7ПХП, и

доказано, что Х[к] = l){V~[k}\ А = /.Г^ДО = е =

l,...,fc}. В следствии 7.1 указано, как для любого l0 е R" выбрать параметры Г® [■], чтобы при Л = = I оценки Т~[к] были тугими

для Х[к] в направлении 1[к), где к= 1, ...,N, /[0]=Zo

В §8 изучены оценки МД X(t) для систем с непрерывным BpeMeHev

x = A(t)x + w(t), í<ST=[O,0]; (12)

х0еГ(ро,Ро,тго), w(t) GV(r(t),R{t),p(t)) прип.в. teT, (13)

где w(t) — входное воздействие (измеримая по Лебегу функция), функции г, R, р непрерывны по t. Сначала при заданной динамике матриц ориентации строятся внешние оценки.

Теорема 8.1. Пусть X{t) — МД системы (12), (13). И пусть задана произвольная непрерывно-дифференцируемая матричная функция P(t) £ ]R"X", det P(t) ф 0, t £ Т. Если параметры параллелепипедов V+{t) = V(p+(t), P(t), 7r(í)) при t £ T определяются уравнениями

p+ = A(t)p+ + r(t), teT; í>+(0)=p0; (14)

TT = Ab (P(t)~1(A(t)P(t) - P(t)))TT + Abs (P(t)-'R(t))p(ty,

тг(0) = АЬ8(Р(0)-гРоЬ, mo V+(t) обладают обобщенным полугрупповылР и эволюционным18 свойствами и являются внешними оценками для X(t). Здесь символом Abi? обозначена операция замены всех элементов матрицы В, за исключением диагональных, соответствующими абсолютными величинами

В частном случае (P(t) = /, ограничивающие множества - "боксы" с центром в начале координат) указанные оценки превращаются в известные26. В теореме 8.2 установлено, что если матрицы ориентации удовлетворяют однородной системе ОДУ с матрицей из исходной системы: Р = A{t)P, teT, где Р(0) = Р0+ € -Mqx" — произвольная матрица, то соответствующие оценки V+(t) оказываются касающимися для X(t) KX(t) = f){r+(t)\P0+ ev0}, Vi е Т.

2eTsai W.K , Parios A.G , Verghese G.C. Bounding the states of systems with unknown-but-bounded disturbances // Int J. Control 1990. V.52. N 4. P 881-915.

Далее, в теореме 8.3, приводятся ОДУ, описывающие динамику тугих внутренних оценок V~{t) для X(t)] при этом X(t) (в случае mtX(t) -ф- 0) представимо в виде замыкания объединения оценок V~ (t), взятого по матричному параметру, определяющему начальные условия V~{0). Введено также (теорема 8.4) семейство внутренних параллелотопозначных оценок для X(t), параметризованное матричной функцией Г(-), которая входит в правую часть ОДУ, описывающих динамику параметров V~{-) (см. подобные уравнения (24) в главе IV). Среди множества оценок выделены тугие, и предложены способы построения кусочно-постоянных функций Г(-), обеспечивающих невырожденность оценок. Рассмотрена задача оптимального управления (роль управления играет Г(-)) о нахождении во введенном семействе трубки V'{-) с наибольшим в смысле объема сечением в конечный момент в, и для нее выписано необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина.

§9 посвящен вопросам численного построения оценок МД. Вначале предлагаемые численные алгоритмы рассматриваются с точки зрения их эффективности. В частности, приведены оценки числа операций для точного нахождения Х[N] в виде (7) с помощью теоремы 7.1 при j = 1,2 и показано, что при больших N предложенные алгоритмы могут быть более эффективны по числу операций, чем известный алгоритм19, где МД ищется в виде системы линейных неравенств. Этот выигрыш обусловлен специальным видом ограничивающих множеств (это параллелепипеды, а не произвольные выпуклые политопы, как в19). Ряд алгоритмов реализован в пакете программ (ToolBox'e) BOXES в системе MATLAB 5 (краткие сведения о нем приведены в Приложении В), а ряд в виде программы на языке С для многопроцессорного вычислительного комплекса МВС-100. Дается ее краткое описание и обсуждаются вопросы эффективности распараллеливания. Приводятся результаты расчетов для модельных примеров, аналогичных рассмотренным в8,18. Для примера, рис. 2 иллюстрируют построение аппроксимаций МД для колебательной системы в двумерном пространстве (пример 9.2). Справа изображены

Рис. 2- Пример оценок МД, случай без ФО (п = 2)

начальное множество (штриховой линией) и несколько касающхся внешних (тонкие линии) и тугих внутренних (толстые линии) оценок для МД в конечный момент времени Слева показаны по одной из реализаций внешних (вверху) и внутренних (внизу) трубок.

В третьей главе рассмотрены оценки МД линейных динамических систем с ФО в дискретные моменты времени. Разработанные алгоритмы применимы для аппроксимации информационных областей в задачах гарантированного оценивания при неточных дискретных измерениях. Вводимые семейства оценок опять обеспечивают (7), (8).

§10 посвящен многошаговым системам При построении первого (бесконечного) семейства внешних трубок Т+[-\ для трубки достижимое! и Х\] системы (1) - (3), (6) с ФО в виде параллелепипедов используется

подход6'16, основывающийся на снятии ФО (путем введения матричных параметров Т[к] £ И"*", к — 1,..., ЛГ) и последующем использовании конструкций из теоремы 7.1 (подобные построения будут также использованы и более подробно описаны в гл VI). При построении двух других семейств внешних оценок (когда ФО имеют вид параллелепипедов и полос) используются оценки из §5 для пересечения двух параллелепипедов (оценки вида Гт П 7>(2) С Р+Р+(Р{1)) П Рр+{Т>[2))) и параллелепипеда с гиперполосой (оценки РПТ, С Рр+(ТПЕ) при некоторых специально выбранных матрицах ориентации Р+) соответственно. К примеру, вторая из двух соответствующих теорем формулируется следующим образом.

Теорема 10.3. Пусть Х[к] к ~ 0,..., N. — МД системы (1) -(3), (6), где ЗОД - ПЙ?^], ~ гиперполосы. Если

-Р(0]+Щ = Р+ртщШ + * = 1, • • •, ЛГ; ?Ы+[к] = Р+Р1Щк](?{1-1)+М Л * = 1, ■ • •,т[к], (16) 7>+[*] = рНЧНОД, к = 1,...,Щ Р+[0] = Р+РтщШ,

то включения Х\к] С Р+[к] верны при любых матрицах Р®4"^] £ М0"х"; к = О,..., N. Р®+[к] £ М0ПХП, г = 1 ,...,т[к], к = 1, Справедливы представления (7), где пересечение берется по некоторому конечному множеству последовательностей Р(')+[-].

В доказательстве уточняется, какие последовательности матриц достаточно перебирать (их число конечно, но очень велико); при этом оказывается, что все оценки в (16) могут быть найдены в явном виде.

В замечании 10.1 указано, как в случае и^А^ЛГ] = 0 можно выбирать матрицы ориентации, чтобы иметь возможность получать внешние оценки в виде вырожденных параллелепипедов.

Далее рассмотрены внутренние оценки для МД при ФО в виде полос с У [к] — пЙ? £'[&]. Они, в частности, могут быть построены по формулам

Р-[к] = Г^)-[к}> к = 1,..., ЛГ; Г-[0] = Р1(Х0), (17)

где

7><°>-[А] - РящрящЩк] Г~[к-1] + ВД; (18)

■р{г)-[к] = если С 2Ы[к],

в противном случае, (19)

0,Ь)-[к] = П г = 1,..., шИ,

причем в приведенных выше формулах либо т[к] — 1, 2^[к] — У[к), либо т[к] = т[к], = 2?[к]. Здесь все матрицы £ 6ПХП, матрицы Р^"[к] е М"Хп, &р®~[к] — произвольные векторы, принадлежащие Q^~[k} 27. Теорема 10.4 гарантирует, что если в процессе построения оказывается, что все О^'Щ Ф 0, то параллелотопы Т>~[к] являются внутренними оценками для Х[к\, к — 0,..., N и, кроме того, справедливы точные представления (8), где объединения взяты при Л = I, = I и какой-либо фиксированной последовательности матриц по всевозможным значениям Т^[к] € 0п*п, р^~[к] е Оценки в соотношениях (17)—(19) конкретизируются с помощью формул из §§2,3. Можно заметить, однако, что при неудачном выборе параметров не исключается и случай, когда, начиная с некоторого шага, оценки могут получиться пустыми, а брать для обеспечения (8) объединение по всевозможным центрам не очень конструктивно.

В §11 вводятся семейства оценок Т±(-) для трубок достижимости ■%"(•) систем (12), (13) с непрерывным временем и ФО в известные дискретные моменты времени

фк)еУ(Ь), к=1,...,Ыс-, О = «о<«1<---<Ч<Ч+1 = 0- (ЯО

При Ь £ (¿А,4+1] параметры Т±{£) удовлетворяют ОДУ, описанным в гл. II, §8, а при £ = 1к для учета фазовых ограничений используются оценки, аналогичные используемым в предыдущем §10.

В §12 описаны примеры численного построения оценок МД. Для иллюстрации здесь на рис. 3 показаны оценки МД для той же системы, что и в примере 9.2, но дополненной ФО на £2 (пример 12.3; см. также [4.5]). Справа изображены несколько внешних (тонкие линии) и внутренних

27Способы построения некоторых описаны в §2 и §5 диссертации

Рис. 3: Пример оценок МД при ФО на хг (п = 2)

(толстые линии) оценок для МД в конечный момент времени; слева — но одной из реализаций внешних (вверху) и внутренних (внизу) трубок. Сравнение с рис. 2 показывает, что оценки получаются меньше, чем для случая без ФО, то есть предлагаемые алгоритмы позволяют учитывать ФО Рис. 4 иллюстрирует внешнее оценивание информационных областей для колебательной системы в К4 (из примера 12.4; см. также [4]) по результатам неточного измерения координат Х2 и Х4 в десять моментов времени. Показана динамика двумерных проекций четырехмерных параллелепипедов.

В четвертой главе рассматривается задача нелинейного синтеза управлений в системах с исходной линейной структурой и геометрическими ограничениями на управление и(<) и возмущение и с данным

5

5

Рис. 4: Динамика проекций внешних оценок информационных областей (п = 4) целевым ("терминальным") множеством М.'.

«(¿) £ %{£), е Q(t) при п.в. £ 6 Г;

КЮ = 7>(гЮ,ДМ,рЮ) = 1>[г®,Я№ (21)

б(<) = ?(*№.<?(*).«(*)) = ШО.ОМ];

где Л, г, В,, р, д, к непрерывные матричные и векторные функции. В §13 дается постановка задачи Задача целевого синтеза управлений ) при неопределенности состоит в нахождении множества разрешимости

И>(т, в, Л4) и такой многозначной позиционной стратегии управления 3 и = £/(•,•) £ 11 к, чтобы все решения х($) дифференциального

" включения х € А(Ь)х+14(1,, х) + (2(£), Ь выпущенные из любой пози-

ции {т, хт}, хт = х(т) £ W(r, в, М), т £ [0, в), достигали терминального множества М в момент в: х[в) £ М. Здесь множество U^ состоит из многозначных отображений U(t,x), измеримых по t. полунепрерывных сверху по х, значения которых представляют собой выпуклые компактные множества U(t, х) С 1i(t), t £ Т. Многозначную функцию W(t) принято называть трубкой разрешимости. Известно7, что искомая трубка W(-) представляет собой единственное максимальное по включению решение уравнения интегральной воронки

Шпа^Н+Щг -а) + oQ{t), (I - aA{t))Z{t) - aH{t)) = О,

(22)

2(6) С М,

где символ h+ обозначает хаусдорфово полурасстояние28.

Будем различать две задачи: задачу синтеза управлений для случая без неопределенности, когда v(t) — известная функция (т е в (21) имеем re(f) = 0 и Q(t) = 0), и задачу в условиях неопределенности Для первой задачи W(t) сводится к интегралу Аумана. Вторую задачу будем рассматривать в предположении, что W(i) ф 0, t £ Т, и, более того, что трубка разрешимости W(t) невырождена, то есть существуют абсолютно непрерывные функции x*(t) и 0(t) > 0 такие, что x*(t) + ß(t)B(Q, 1) С W(t), t £ Т. Для второй задачи W(t) сводится к альтернированному интегралу Понтрягина. Точное нахождение W(-) представляет собой нетривиальную задачу. Известно, что если построена вся трубка W(-), либо какая-либо другая трубка, удовлетворяющая (22), то решение задачи синтеза для позиций из этой трубки может быть найдено с помощью экстремальных стратегий Н.Н.Красовского. Известна8 схема "эллипсоидального" синтеза управлений. В данной главе разрабатываются конструктивные схемы решения задачи синтеза, при которых вместо трубки W(-) используются семейства параллелепипедозначных оценок.

В §14 введены семейства внешних параллелепипедозначных оценок Р+(-) = V{p+{t),P+(t),ir+(t)) для W(-), то есть таких, что W(i) С

28Хаусдорфово полурасстояние между множествами X, У в R" и в линейном нормированном пространстве определяется как h+(X,y) — min{7 > 0|С у + уВ(0,1)}, В(0,1) — единичный шар

V+(t), Vi £ T (они дают внешние оценки множеств тех позиций, для которых задача синтеза управлений разрешима). Пусть

p+ = Ap+ + r + q, р+(в)=рв; р = APj P{ô) = р..

я" = —Abs (P~lR)p + Abs (P~1Q)k, тг(0) = Abs ((Р^Рв) щ-, 4 P+(i) = PWdiagill^WII}-1; n+(t) = diag {||рг (i) ||} tt(î) ,

где Рв' £ M"*n — матричный параметр, который можно варьировать и который определяет целое семейство трубок Р ь(-); diag{aj (а ниже и diag о) — диагональная матрица с диагональными элементами, равными компонентам вектора о € И".

Теорема 14.1. Для обеих задач при каждом Pe+ £ M(jxn система (23) имеет на отрезке Т единственное решение, и соответствующая трубка Р+(-) есть внешняя оценка для трубки разрешимости W(-). Если A(t) = 0, то P+{t) = Р/, Vi £ Т, и щр(±(Р+)~1Те1\7>+(t)) = K±(P+)-lTe'|ß(i)) - p(±(P+)-lTe'| - K(t)) < ^p(±(P+)-lTeMW(t)), i = 1,..., n, где ê — (0,..., 0,1,0,..., 0)т — г-е единичные орты в И".

Следующая теорема (теорема 14.2) гарантирует, что для случая без неопределенности такие оценки Р+(г) оказываются касающимися для W(i) и справедливо представление W(f) = 0{P+(t) \ Pg £ V0}, Vi e T.

В §15 введены семейства внутренних параллелотопозначных оценок Р~(.) = Р\р~{■), Р~{■)}> то есть, по определению, параллелотопозначных решений для уравнения интегральной воронки (22). Пусть

р- = A(t) р~ + r(t) + q(t), р-{в) = рв;

Р- = A(i)P-+ÄWr(i)+P-diag(Abs((P-)-1Q(t))e), (24)

Р~{в) = Рв Ав.

Здесь е = (1,1,..., 1)т £ В."; А# и Г(-) — параметры (пхтг-матрица и измеримая пхтг-матричная функция), стесненные ограничениями

A0eçnxn, Г(-) £ G = {Г(-)| Г(£) £ Çnx" при п.в. t £ Т}. (25)

Теорема 15.1. В случае без неопределенности при любых значениях параметров (25) на всем промежуткеТ определено единственное решение системы (24) и соответствующая трубка V~{-) = {.')■> Р~(')] удовлетворяет (22) при t £ Т, являясь внутренней оценкой для трубки разрешимости W(-). Б случае с неопределенностью, если det Р~(в) ф О, сказанное справедливо, по крайней мере, для некоторого промежутка Тг = [h,в], где 0 < h < 9.

Здесь Ti может зависеть от А$ и Г(-). Теорема 15.2 гарантирует, что в случае без неопределенности (для которого Т\ = Т) справедливы точные представления W{t) = U{P~(i)|Ae = /,Г(-) £ G}, Vi £ T.

Отмечается, что невырожденные оценки V~(t) позволяют находить допустимые стратегии управления U-p-(t,x) в аналитическом виде на основе решения специфической задачи квадратичного программирования (минимизации квадратичной функции на единичном кубе). Рассматриваются достаточные условия, обеспечивающие невырожденность оценок. В частности, вводится нелинейное дифференциальное включение

Р- £ A(t)P~ + R(t)T(tt Р~) + Р-diag (Abs ({P~)^Q{t)) e),

(26)

р-(в) = РвАв,

где множество матриц Г(£,Р~) задается явными формулами. В теореме 15.3 устанавливается, что если intAi Ф 0 и Ад £ Q такова, что detP~(0) > 0, то в случае без неопределенности существует решение включения (26), определенное на интервале Tj = Т, и все решения системы (26) вместе с р~(-) из (24) определяют трубки V~(-), которые оказываются внутренними невырожденными параллелепипедозначными оценками для W(-) на Т. А в противном случае сказанное справедливо, по крайней мере, для некоторого промежутка Т\ = [ii, 0], где 0 < ti < в.

В §16 обсуждаются результаты расчетов для модельных примеров. Для иллюстрации здесь на рис. 5 для двумерной системы с неопределенностью (пример 16.1; см также [16]) показаны (справа) несколько внешних оценок для множества разрешимости в начальный момент вре-

Рис. 5: Оценки множеств разрешимости и полиэдральный синтез в условиях неопределенности (п = 2)

мени и одна внутренняя оценка. Слева внизу показана вся соответствующая внутренняя трубка. Управляемая траектория, соответствующая выбранной начальной позиции и некоторому возмущению, оставаясь в окрестности этой трубки, достигает целевого множества (оно показано штриховой линией). Слева вверху — одна из внешних трубок.

В пятой главе рассматривается задача гарантированного оценивания состояния параболической системы при "геометрических" ограничениях на неопределенные входные параметры. §17 начинается с постановки задачи. Состояние системы описывается начально-краевой задачей

щ(х^) = а?ихх(х^)+сЦх11), /€/*((?), д = Ях(О,0);

и{х,Г)\х€дв = 0; и{х,^о = ио{х)еЬ2(П), 0=(0,1)сЕ1,

где константа с — О или с — 1. Решение этой задачи понимаем как обобщенное из энергетического класса29. Пусть

ио(-) е Щ - {"о(-)е-М-Е>)| |u0(a;) - й0(а;)| < cjj(x), п.в. xeD},

/(■, •) £ Т = {/(-, -)£L2(Q)I | f(x, t) - f(x, i)| < w2{x, t), п.в. x,teQ},

(28)

где щ. cji € L2(D), f, ll>2 £ ^(Q) — известные функции Соответствующим образом определяется множество достижимости Ыа — Ыа(0) системы (27), (28) в момент 9. Пусть теперь о решении u(x,t) доставляется информация в силу уравнения измерений

y{t) = G{t)u(;t) + t(t), teT= [5,в], где S > 0. (29)

Здесь y(t)£IR1; G(t) — линейный оператор наблюдения ("сенсор"), доставляющий либо точечные наблюдения: G(t) u(-,t) = u(X(t), t), где X(t) — измеримая функция, X(t)eD=[0,l] при п.в. t£T, либо пространственно-усредненные, когда G(t)u(-,t) = fg(x,t)u(x,t)dx, 0 < ||g(-,i)||i2(B) < С < оо30 при п.в. t £ Т. При наших предположениях идеальный сигнал z(t) = G(t) и(t) определен при п.в. t £Т и z(-) £ Y = Ь^Т). Считаем, что неопределенная помеха £ стесненна ограничением

£(■) еН = {е(-) б Y\ \№ - m < ws(i), п.в. t е Т}, (30)

где шз 6 Y — известные функции.

Задача гарантированного оценивания состояния в конечный момент времени в заключается в нахождении информационной области U — и{в\ у{-)) — множества всех состояний и(-, в) системы (27). совместимых с данными наблюдений у(-) из (29) и с ограничениями (28), (30).

Глава посвящена приближенному построению введенных множеств и нахождению внешних и внутренних оценок для них Во второй части §17 для аппроксимации информационной области вводятся, путем

29 Ладыженская О А Краевые задами математической физики М. Наука, 1973

30Символом С здесь и далее в этой главе обозначаются константы, зависящие только от известных параметров системы (коэффициентов в уравнении, промежутка и оператора наблюдения, параметров oi раничений) и не зависящие от начальных условий и возмущений в системе, а также от вводимых ниже шагов дискретизации.

х г м

дифференциально-разностных или конечно-разностных аппроксимаций (метод прямых и метод сеток, соответственно), последовательности задач гарантированного оценивания состояния конечномерных систем. Так, во втором случае на обоих множествах D и Т вводятся сетки -множества точек (узлов) xmi = ihm, г = 0, ...,m+l, hm - l(m+1)_1, и tnj = j тп, j = 0,..., га, тп = 9n~\ и вводятся многошаговые системы типа (1) - (4), параметры которых определяются парой индексов Д = (m, п) и некоторыми правилами, формализующими переход от функций непрерывных аргументов к сеточным функциям. В частности, сигнал 2/д[-] в (4) находится по тому у{-), который реализовался в (29), а соответствующие ФО (3) — это гиперполосы, ширина которых определяется функцией шз и "добавкой" 5д, о которой будет сказано ниже. Обозначим через U^[n\ и £/Л[п; j/A[-]j соответственно МД и информационные области для полученных многошаговых систем, а через U™(в) и Um(6; ут(-)) — аналогичные множества для конечномерных систем с непрерывным временем, полученных по методу прямых. Для аппроксимации Ыа и U используем множества, состояшие из кусочно-постоянных восполнений элементов введенных множеств. U™=1lmU™{6), и&=ПтиА[щул[-}}, Ыт=Птит{в-ут{-)).

§18 посвящен исследованию вопросов сходимости в терминах хаусдор-фова полурасстояния /ц в ^(-С).

Теорема 18.1. Пусть выполнены сделанные предположения и при использовании конечно-разностных аппроксимаций функции X(t), g(x,t) — кусочно-гладкие по t. Тогда найдутся такие константы С, что при выборе добавок 6т ибд в фазовых ограничениях аппроксимирующих систем в виде &т — C(hm + ch¿д = C(hm + тп + с(h* + где А = 1/4 в случае точечных наблюдений и А = 1/2 в случае пространственно-усредненных, информационные области Um и [/д в аппроксимирующих задачах непусты. При этом имеют место оценки

h+{U,Um) < £«, K{UaMa) < «m, К(Ы,ЫА) < 6Д, К{Ыа,Ыа) <

где ет = C(hm + сЪЦ2), еА = C(hm + тп+е{кЦ2 + т^2)).

Сходимость к нулю второго полурасстояния доказана при дополнительных предположениях, первое из которых связано с гладкостью функций, задающих ограничения, а второе (накладываемое при аппроксимации информационной области) — с корректностью задачи.

Теорема 18.2. Пусть выполнены предположения теоремы 18.1 и, кроме того, функции щ, /, ui2, а при конечно-разностных аппроксимациях и функции W3 и у — кусочно-гладкие. Тогда

h+{Um,U) <£m + h+{U^\U), K(U™Ma) < Em, h+{UA,U) < £Д + h+(U^\U), h+{U£Ma) < ед, где 5m, <$д, em, ед имеют такую же форму, как в теореме 18.1, а символ Ы^ обозначает информационную область в задаче гарантированного оценивания u(-, в) в системе (27),(29) при ограничениях (28) и

£(.) 6 sM = {£(•) G Y\\Ç(t) - Ш < uj3(t) + а, п.в. t е Г}, где а > 0.

В замечаниях 18.1 - 18.3 напоминаются некоторые достаточные условия для того, чтобы lim = 0, и приводятся соответствующие оценки сверху для h+(U<a\U). Сходимость к нулю здесь имеет место, например, либо в случае сильной наблюдаемости системы31 при отсутствии возмущений в правой части уравнения теплопроводности (что эквивалентно32 так называемой непрерывной наблюдаемости в конечный момент времени в33), либо при предположении о регулярности сигнала31 (когда шз(i) такова, что minw3(t) = шЩ > О, и найдутся число ß, cJÜ>ß>0, и хотя бы одна тройка функций {йо,с/, £}, порождающих этот сигнал в силу (27)—(29), такая, что |£{t) - Ç{t)\ < w3(í) - ß, п.в. ÍGT).

В §19 обсуждаются возможности использования внешних и внутренних параллелепипедозначных оценок решений аппроксимирующих за-

31Kurzhanski А В., Khapalov A.Yu. An observation theory for distnbuted-parameter systems // J Math. Sys. Estimât, k Control. 1991. V.l. N 4. P.389-440.

32Сивергина И.Ф. Обратимость и наблюдаемость эволюционных систем // Докл. АН 1996 Т351. N 3. С.304-308

33Е1 Jai А , Pntchard A J Sensors and actuators in distributed systems // Int J Control 1987 V 46 N 4. P.1139-1153

дач для нахождения оценок искомого множества. Если построены параллелепипеды "Рд~[А;]сг7д[£]С7>д+[й], A:=0,...,n, то имеем TZmVá [п] С и+ёьВ[0,1), и С К^Ж едй(0,1), где ед и ед - ед + А+(г/НМ)

— величины из теорем 18.1,18.2. Отмечается, что формулы для построения семейства внешних касающихся оценок МД многошаговых систем из теоремы 7.2 приводят в данном случае к неустойчивой разностной схеме Предлагаются способы построения двух внешних оценок и одной внутренней. Эти способы, ввиду их простоты, позволяют находить паралле-лепипедозначные оценки решений аппроксимирующих задач достаточно высокой размерности (в модельном примере п = 199, N — 5(п+1)).

Шестая глава посвящена аппроксимации МД линейных многошаговых систем с интегральными неквадратичными ограничениями на управление «[•] и неопределенностью в начальных условиях:

x[j}=A\j}x[j-l] + B\j}u[j} + v\j), j = 1,..., JV; (31) *[0] 6 Хо; (32)

ElNí]||oo<W>; (33)

«ЫеОД j = i,...,JV. (34)

Здесь A[j] G Махп и B\j] е Rnxr - известные матрицы; v\j] € R"

— известные входные воздействия; ||ы||оо = тах \иа\ — норма вектора и € Rr; fio > 0 — известное число; JC{j] С Rr — заданные выпуклые замкнутые конусы. На состояние системы могут быть наложены ФО (3).

В §20 вводятся множества достижимости Х[к] С R" таких систем. Затем система рассматривается в "расширенном" пространстве точек z = (хТ,ц)Т = € Rn+1, включающем координату, которая со-

ответствует текущему запасу управления:

= А»[?'-1] - Wlllco, j = l,...,N; (35)

Z[0] = {x[0],M[0]}€20. (36)

При этом интегралыгос ограничение (33) эквивалентно ФО

/Ф"]>0, j = 0,...,N. (37)

Вводятся множества достижимости 2[к] системы (31), (34) - (37), (3). Отмечается, что МД 2[к] в расширенном фазовом пространстве (в отличие от Х[к]) обладают полугрупповым свойством.

Далее предполагается, что множество Хд — параллелепипед, как и в "'<

(6), а в ограничениях (3) (при УУ] ф Ш") — параллелепипеды или полосы. Предполагается также, что конусы /С[?] таковы, что параллелепипедами являются множества 7?.[?]34 (где С — единичный куб):

пу] = С ПКЩ С = ТХ0,1,е)сШг. (38)

Ставится задача о построении семейств внешних параллелепипедознач-ных Т+[к] и внутренних параллелотопозначных Т~[к] оценок для Х[к]. обеспечивающих представления (7), (8), и о нахождении семейств внешних для 2[к] оценок (обладающих обобщенным полугрупповым и эволюционным свойствами) в виде политопов П+[Аф

2[к] С П+И = П({V1 'ъ{к], {7>+*[к], ^М». (39)

Они также позволят найти параллелепипедозначные оценки для Х[к].

Далее приведены точные описания МД и, в частности, системы рекуррентных соотношений для нахождения Х[к] (в случае отсутствия ФО, теорема 20.1) и 2[к] (в том числе при наличии ФО, теорема 20.4). Множества 2[к] при этом ищутся в виде объединения сечений: 2[к] = и {Х(ц, к), ц}, а в рекуррентных формулах для 2[к] фигурируют операции, введенные в §6. Найдены достаточные условия, гарантирующие для множеств 2[к] невозрастание сечений35 и выпуклость.

34Столь специальное по форме ограничение позволяет охватить, например, ситуацию, когда К[]'\ — положительный ортант или полупространство, ограниченное координатной плоскостью 35Говорим, что сечения множества В = и {Х(ц),1л} С 11п+1 не возрастают, если Х{цг) 2

Х{ц?), V д1, д2 : 11ь < /л1 < цг < «

Описание МД Х[к] систем с ФО, где >'[}'] е сопуИ", сводится (с помощью подхода6,16) к построению семейств МД вспомогательных систем без ФО, но с матричными параметрами Т\у] Е Мц*", det(^-Г[^])7^0:

= + (/ - П/]КЬ1 + тьш, 3 = 1- • • •, Л;

$[0] е Лю; СЫеЖ

= + твуш, 3 = 1. • ■ •,

*[0] = 0; ¿1ИЛ11«<«>; ч\1]еКЩ. (41)

В теореме 20.2 доказано, что если Х(к\Т[-]) и Х{к] Т[-]) — МД систем (40) и (41), то при любых Т[-] справедливы соотношения Х[к] С Х(к\Т[]) = Х{к-,Т[]) + Х{к] Т[-]) и Х[к] = ПТ[.}Х(к-,Т[-]), где в пересечении достаточно перебрать последовательности Т[-] диагональных матриц

Описание Х[к] можно свести также к построению семейства МД вспомогательных систем с геометрическими ограничениями, задаваемого набором Ь[-] скалярных параметров, удовлетворяющих условиям

3 = 1 ЕМ?]</Ю. (42)

Теорема 20.3 гарантирует, что если Х{к\ Ь,[-]) — МД системы (31), (32), (3) с ограничениями на управление вида иЦ] 6 ЬЦ] з — 1,..., N, где — множества (38), то при к = 1,..., N имеем Х(к\ Л[-]) С Х[к] и Х[к] = и{Х{к-, Л[.])| /»[■] подчинены (42)}.

В §21 для множеств Х[к\ введены семейства внешних и внутренних параллелепипедо-(иногда параллелотопо-)значных оценок Т^Щ.

Теорема 21.1. Пусть Х[к] - МД системы (31)-(34) (без ФО) Если

Г*+[к] = Р$Пк](А{к}Гй+{к-1} + «[к]), *= 1,.... Л;

Т+[к] = Р^АЩТ^к-1) и 1М>В[к}Т1{к}), к = 1,..., Л;

Р0+М = Р+Р+[щ(Х0), РЩ = Р+р+[0]т),

то Х[к] С 9+[к] - Т0+[к] + Р+[к], к = 0,..., ЛГ, каковы бы ни были матрицы ориентации Р+[к} € МЪ™, & = 0,..., N. Если Р Е М™п -

произвольная матрица и Р+[к] = А[к]Р+[к-1], к = 1,..., Лг, Р4 [0] = Р, то Т+[к] являются внешними касающимися оценками для Х[к] и Х[к) = П{Р+М| Р € V0}, к = 1,..., N.

В теореме 21.2 для систем с ФО в виде параллелепипедов введено семейство внешних оценок для Х[к], обеспечивающее (7). Это сделано на основе теоремы 20.2 с использованием оценок (типа описанных в теоремах 7.2, 21.1) для МД вспомогательных систем (40) и (41) с геометрическими и интегральными ограничениями на управления, но без ФО.

Построение внутренних оценок сводится с помощью теоремы 20.3 к использованию оценок типа введенных в §§7,10 для МД систем с геометрическими ограничениями на управление. При этом теоремы 21.3, 21.4 гарантируют представление (8) (соответственно, для систем без ФО и с ФО в виде полос), если к варьированию параметров из теорем 7.6, 10.4 добавить варьирование по Л[-], удовлетворяющим условиям (42). Для случая без ФО во введенном семействе выделены тугие оценки.

В §22 для МД 2[к], отвечающих, соответственно, исходным системам без ФО, с ФО в виде параллелепипедов и с ФО в виде полос введены три семейства внешних оценок в виде политопов П+[&]. Для систем (31), (34) - (37) без ФО на х в теореме 22.1 указаны рекуррентные соотношения, описывающие динамику П+[&]. А в теореме 22.2 доказано, что если при этом начальное множество имеет вид 20 = Х0 х [0, (ло] или 2о = {Хо, цо], то параллелепипеды ("нижние сечения" политопов П+[А;]) ока-

зываются внешними оценками для МД Х[к] исходной системы, и если матрицы ориентации, используемые при нахождении П+[й], вычисляются так же, как указано во второй части теоремы 21.1, то оказываются касающимися оценками36 и Х[к] — П{Р+'Ь[А:]| РеУ0}. 2[к] — П{П+[й]| РеУ0}, к—1,..., N. Из двух теорем, в которых описаны оценки для МД систем с ФО на х, приведем для примера вторую.

Теорема 22.4. Пусть 2[к] - МД системы (81), (34) - (37) с фа-

т[к] .

эовыми ограничениями (3), где = П £*[£] — полосы, и пусть все _ 1=1

збИ, значит, семейство Рь+[ ] совпадает с семейством оценок, введенных для Х[ \ в теореме 21.1.

2[к] ф 0. Если политопы П ■ [к] находятся по формулам

2®+[к] = г+рт+1щ((А[к}0и+[к-1}®у[к}) Ы В[кЩк]),

ПМ+И = Пя+(0( )[кЫ,{+щ{2^Щ)> г=1,...,т[к};

П+[А] = П<тМ) <[£], к=1,...,Я,

то 2[к] С П+[&]; к—каковы бы ни были матрицы Р(°'+[/г] £ МТП, к=1,. . ., N. Р®+[к] € П ЕЩ, г=1,..., т[к], к=1,

... допустимые векторы

г=0,... ,т[к], к=1,..., Ы, и политоп П+[0] 3 20. При этом сечения ГГ+[&] не возрастают.

Здесь фигурируют оценки и операции, введенные в §6, а множества матриц V4 (состоящие из не более, чем п+1 элементов) введены в §5 диссертации. Как следствие, в случаях, когда 2§ = Л?0 х [0, ¡щ] либо ¿0 = {<*Ь, Мо}> Опять имеем Х[к) С Т+'ъ[к]

Конструкции, описанные в §§ 21 и 22, проиллюстрированы на модельных примерах.

Публикации по теме диссертации

Из совместных работ [2, 6, 10, 13] в диссертацию включены только результаты, полученные лично автором. Из [6] для иллюстрации взяты также результаты численного моделирования, проведенного совместно с соавтором.

1. Костоусова, Е.К. О полиэдральном оценивании областей достижимости линейных многошаговых систем / Е.К. Костоусова // Автоматика и телемеханика.— 1997.— № 3.— С.57-68.

2. Костоусова, Е.К. Гарантированные оценки точности вычислений в задачах управления и оценивания / Е.К Костоусова, А.Б. Куржан-ский // Вычисл. технологии - 1997. - Т.2, № 1- С.19-27.

3. Костоусова, Е.К. Внешнее и внутреннее оценивание областей достижимости при помощи параллелотопов / Е.К. Костоусова // Вычисл. технологии.- 1998.- Т.З, № 2.- С.11-20.

4. Костоусова, Е.К. Параллельные вычисления при оценивании областей достижимости и информационных множеств линейных систем / Е.К. Костоусова // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений: сб.науч.тр.— Екатеринбург: УрО РАН, 1999,— Вып.З,- С.107-126.

5. Костоусова, Е.К. О внутренних полиэдральных оценках множеств достижимости линейных систем с фазовыми ограничениями / Е.К Костоусова // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений: сб.науч.тр,— Екатеринбург- УрО РАН, 2001.— Вып.5.— С.167-187.

6. Костоусова, Е.К. Об аппроксимациях решения одной задачи гарантированного оценивания состояния параболической системы / Е.К. Костоусова, Л.В. Сташкова // Вычисл. технологии.— 2001.— Т.6, № 5.- С.60-72.

7. Костоусова, Е.К. О внешних полиэдральных оценках для множеств достижимости систем с билинейной неопределенностью / Е.К. Костоусова // Прикл. математика и механика.— 2002.— Т.66, вып.4.— С.559-571.

8. Костоусова, Е.К. О полиэдральных оценках множеств достижимости линейных многошаговых систем с интегральными ограничениями на управление / Е.К. Костоусова // Вычисл. технологии.-2003,- Т.8, № 4,- С.55-74.

9. Костоусова, Е.К. О внешнем полиэдральном оценивании множеств достижимости в "расширенном" пространстве для линейных многошаговых систем с интегральными ограничениями на управление / Е.К. Костоусова // Вычисл. технологии—2004.-Т.9, № 5—С.54-72.

10. Филиппова, Т Ф. Задачи описания эволюции многозначных состояний дифференциальных систем / Т.Ф. Филиппова, Е.К. Костоусова // Математика. Механика. Информатика. Труды юбилейной конф. 10 лет РФФИ, Москва, 2002,- М. Физматлит, 2004 - С.283-303.

11. Kostousova, Е.К On the approximation of trajectory tubes through polyhedral techniques / E.K. Kostousova // Second Intern. Workshop "Beam Dynamics & Optimization", St.-Petersburg, Russia. 1995 proc. St.-Petersburg, 1995 - P.93-102.

12. Kostousova, E.K. On polyhedral approximations of trajectory tubes / E K. Kostousova // Third Intern. Workshop "Beam Dynamics & Optimization", St.-Petersburg, Russia, July 1-5, 1996: proc— St.-Petersburg, 1997.- P. 194-203.

13 Kostousova, E.K. Theoretical framework and approximation techniques for parallel computation in set-membership state estimation / E K. Kostousova, A.B. Kurzhanski // CESA'96 IMACS Multiconference. Computational Engineering in Systems Applications, Lille, Prance, July 912, 1996. Symp. on Modelling, Analysis and Simulation: proc.— Vol.2.-P.849-854.

14. Kostousova, E.K State estimation for dynamic systems via paialíelo-topes: optimization and parallel computations / E.K Kostousova // Optimization Methods & Software - 1998,- Vol.9, N 4,- P 269-306.

15. Kostousova, E.K. On polyhedral techniques for some problems of the control theory / E.K. Kostousova // Mathematical Theory of Networks and Systems. Proc. of the MTNS-98 Symposium held in Padova, Italy, July, 1998 - Padova: И Poligrafo, 1998.- P.265-268.

16. Kostousova, E.K Control synthesis via parallelotopes: optimization and parallel computations / E.K. Kostousova // Optimization Methods & Software.— 2001.- Vol.14, N 4,- P.267-310.

17. Kostousova, E.K. Polyhedral estimates of reachable sets to linear discrete systems with integral bounds on controls / E.K. Kostousova // Proc. of the Fourth Intern. Conf. "Tools for Mathematical Modelling", St .-Petersburg, June 23-28, 2003 - St.-Petersburg: St .-Petersburg State Technical Univ., 2003 - P.308-314. (Math. Research; vol.9).

18. Костоусова, E.K. О некоторых параллельных алгоритмах построения областей достижимости линейных многошаговых систем / Е.К. Костоусова // V конференция "Транспьютерные системы и их применение", Домодедово, 1995: тез. докл.— Домодедово, 1995.

19. Костоусова, Е.К. О внутренних полиэдральных оценках множеств достижимости линейных динамических систем / Е.К. Костоусова // Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели: Тез. докл. Междунар. науч. конф., Челябинск, 4-8 февраля 2002 г.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002 - С.57.

20. Kostousova, Е.К. On approximating the guaranteed state estimation problem for a parabolic system / E K. Kostousova // "Распределенные системы оптимизация и приложения в экономике и науках об окружающей среде (DSO'2000). Сб. докл. к Международной конф.— Екатеринбург: УрО РАН, 2000 - С.91-92.

Автор выражает глубокую признательность академику РАН Александру Борисовичу Куржанскому, инициировавшему данные исследования, за постоянное внимание к работе, ценные советы и поддержку.

Отпечатано в типографии ООО «Издательство УМЦ У ПИ» 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 17, С-134. Заказ тТ^Р . Тираж экз.

о/, о/ - р/, 0$

РНБ Русский фонд

2005-4 41847

Г/ДР Гл \

N5 г /

Обозначения и сокращения

Введение

I "Полиэдральное исчисление"

1 Мотивация: постановка некоторых задач управления и оценивания и полиэдральные аппроксимации трубок траекторий для многошаговых систем.

2 Основные понятия: параллелепипеды, параллелотопы и полосы; операции с множествами. Полиэдральные оценки для выпуклых множеств.

3 Аппроксимации геометрической суммы параллелепипедов

4 Геометрическая разность параллелепипедов. Оценки для (7?(i) +7>(2))J7?(3)

5 Аппроксимации пересечения параллелепипеда и полосы

6 Оценки для со("Р^ U VОценки множеств в ]Rn+1 с помощью политопов П.

II Полиэдральные аппроксимации множеств достижимости при геометрических ограничениях на управление

7 Многошаговые системы.

8 Системы с непрерывным временем

9 Численные алгоритмы и программная реализация. Численное моделирование.

Ill Полиэдральные оценки множеств достижимости систем с фазовыми ограничениями и информационных областей

10 Многошаговые системы

11 Системы с непрерывным временем

12 Численное моделирование.

IV Полиэдральные оценки в задаче целевого синтеза стратегий управления без неопределенности и в условиях неопределенности

13 Постановка задачи синтеза.

14 Внешние оценки трубки разрешимости.

15 Внутренние оценки трубки разрешимости. Построение стратегий управления.

16 Численное моделирование

V Задача гарантированного оценивания состояния параболической системы при "геометрических" ограничениях

17 Постановка задачи. Конечномерные аппроксимирующие задачи.

18 Сходимость при аппроксимации множеств достижимости и информационных областей.

19 Полиэдральные оценки. Результаты численного моделирования

VI Полиэдральные оценки множеств достижимости многошаговых систем при интегральных ограничениях на управление

20 Постановка задачи. Точное описание множеств достижимости Х[к] и Z[k\ в исходном и "расширенном" пространстве

21 Внешние и внутренние оценки для Х[к]

22 Внешние оценки для Z[k] и соответствующие оценки для Х[к].

Работа посвящена разработке методов построения полиэдральных аппроксимаций для трубок траекторий динамических систем и применению этих методов для решения задач гарантированного управления и оценивания.

Проблему построения трубок траекторий (многозначных функций, описывающих, например, динамику множеств достижимости, разрешимости, информационных областей) можно назвать одной из фундаментальных задач математической теории управления. К необходимости изучения трубок траекторий (в частности, трубок выживающих траекторий, трубок разрешимости) приводят многие задачи теории управления и оценивания, теории дифференциальных игр, связанные с исследованием сложных реальных систем различной природы (механических, технологических, экономических, экологических, био-медицинских и др.), в которых присутствует недоопределенность в их описании. К недоопределенности могут приводить, например, неполнота информации о начальном состоянии системы, неконтролируемые возмущающие силы, помехи при измерении данных, неточности в задании параметров модели (коэффициентов уравнений) и т.д. При гарантированном подходе, принятом в настоящей работе, предполагается, что описание недоопределенностей имеет вид включений, ограничивающих возможные значения неизвестных величин принадлежностью заданным множествам. При этом решение многих задач управления и оценивания может быть получено, если построено некоторое многозначное отображение (трубка траекторий). Гарантированный подход был инициирован исследованиями Н.Н.Красовского [76-78] и далее систематически развит А.Б.Куржанским [86-93,196,201], Ю.С.Осиповым [81,117,218], А.И.Субботиным [80,140], их сотрудниками и учениками. Принципиальные результаты в области гарантированного управления, оценивания и идентификации, математического программирования в условиях неполной информации для различных классов систем были получены авторами работ [2-5,7,17,24,26-29,33-35,38,51,58,75,82,83,96,97,106,110,115, 120,130,135,136,142,145,148,157,164,167-169,176,180,197,198, 208, 210, 212,224,226,235] и др.

Для нахождения упомянутых многозначных отображений выведены различные динамические уравнения, форма которых соответствует выбранной форме описания множеств X С IRn. При этом использовались следующие формы описания: поточечная (заключающаяся в прямом перечислении точек, которые содержит Х)\ с помощью неравенства типа X — {х\В{х) < 0}, задающего множество уровня некоторой функции (например, подходящей функции цены, функции Минковского); с помощью опорных функций (рпорных отображений в невыпуклом случае); с помощью параметрического описания границы. Для систем с геометрическими ограничениями первой форме соответствует эволюционное уравнение, представляющее собой для многошаговых систем рекуррентные соотношения для пересчета множеств от предыдущего момента к следующему, а для дифференциальных систем — так называемое уравнение интегральной воронки. Последнее есть предельное соотношение, связывающее (в терминах расстояния или "полурасстояния" Хаусдорфа) близкие по времени значения множеств, и является аналогом обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ). Решением уравнения интегральной воронки служит многозначный интеграл, сводящийся в разных задачах к интегралу Аумана [165], альтернированному интегралу Пон-трягина [124,125], конволюционному интегралу [98] или обобщеному интегралу из [95]. При втором описании множества уравнение выписывается в пространстве состояний в терминах функции В(х). В частности, функция цены в дифференциальных системах, имеющая смысл оптимального расстояния до цели, описывается уравнением Гамильтона-Якоби-Беллмана-Айзекса с частными производными. Для опорного отображения получаются уравнения в частных производных в сопряженном пространстве. Известно несколько типов уравнений для параметрического описания границы. Выводу и изучению упомянутых уравнений посвящено большое число теоретических исследований, из которых отметим работы [14,19,32,38,55,79,95,98,108,111,118,123,139,142,144,173,220].

Однако точное решение указанных уравнений может оказаться достаточно затруднительным. Поэтому возникает необходимость в разработке численных методов построения трубок траекторий, их аппроксимации. В частности, значение разработки методов решения эволюционных уравнений для теории управления по своей важности можно сравнить, например, с разработкой численных алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений, систем ОДУ или уравнений с частными производными.

Существует много подходов к созданию упомянутых численных методов. Рассматривая их с точки зрения геометрического представления аппроксимирующих множеств, условно можно выделить следующие большие группы методов. В первую отнесем методы, которые основываются на аппроксимации множеств многогранниками (часто внешними и/или внутренними, а иногда и не обладающими указанными свойствами) с большим числом вершин и граней [15,16,18,20,31,44,45,47,50,56,85,103, 109,116,141,143,146,155,158,160,162,170,178,212,231]. Для систем высокой размерности эти методы могут потребовать весьма большого объема вычислений. Для невыпуклого случая разрабатываются методы, основанные на аппроксимации множеств невыпуклыми многогранниками [217], на представлении множеств в виде конечного набора своих выпуклых сечений и аппроксимации последних выпуклыми многогранниками [83,84].

В другую группу можно отнести методы, основанные на аппроксимации множеств объединением точек ("пикселов") [37,107,119,223,227]. Они применимы и для невыпуклого случая, но тоже могут потребовать большого объема вычислений и памяти. Существует и явление "расширяющейся сетки" (чем больше множество, тем больше точек необходимо для его аппроксимации).

Еще один подход состоит в аппроксимации множеств классом более простых областей некоторой фиксированной формы (например, эллипсоидами, параллелепипедами). В настоящее время достаточно хорошо развит метод эллипсоидов, позволяющий строить внешние и внутренние оценки выпуклых множеств, в том числе оптимальные и локально-оптимальные в некотором смысле. Его разработке посвящены работы [6,9,21,43, 52-54,112-114,121,133,153,155,156,161,169,175,177,184,206, 215,216,219,221,224,226,228,229,232,234,235] и др.

А.Б.Куржанский внес принципиальные изменения в схему эллипсоидальных аппроксимаций. Им предложено аппроксимировать искомую трубку целыми семействами внешних и внутренних трубок, образованных областями фиксированной формы (эллипсоидами, параллелепипедами). Семейства вводятся таким образом, чтобы, с одной стороны, обеспечить, по возможности, точные представления решений (путем пересечения внешних или объединения внутренних оценок), а с другой стороны, чтобы каждая конкретная трубка находилась с помощью эволюционных уравнений независимо от остальных (что открывает возможности для параллельных вычислений). Первоначально этот подход был развит для эллипсоидального оценивания [199-203]. В настоящей диссертации делается попытка его развития (с использованием другой техники) для полиэдрального (параллелепипедо- и параллелотопозначного) оценивания.

Вопросы оценивания искомых множеств с помощью параллелепипедов рассматривались также в работах [22, 42, 88, 91,166,171,172,174,

185,209,211,212,230-233] и некоторых других. Здесь значительные усилия уделены нахождению внешних и внутренних оценок, являющихся оптимальными (в статической постановке) или "последовательно" -оптимальными (в динамической постановке) в каком-либо смысле, например, в смысле объема или радиуса [22,42,166,171,172,185,212,232, 233], а также построению внешних оценок в виде ортогональных параллелепипедов, преимущественно с гранями, параллельными координатным плоскостям ("боксов") [88,91,166,174,209,211,212,230,231]. При этом решение задачи часто предлагается не в аналитическом виде, а в виде решения одной или 2п статических оптимизационных задач. В некоторых случаях (например, для нахождения внешней оптимальной по объему оценки пересечения невырожденного параллелепипеда с гиперполосой и суммы невырожденного параллелепипеда с отрезком) решение было найдено в явном виде [172,233]. Строились также [194,195] внешние оценки в виде зонотопов [225] — политопов, представляющих собой сумму q (q > п) отрезков.

Покоординатные оценки ("боксы", в русскоязычной литературе называемые также брусами или интервальными векторами) получают также с помощью интервальных операций, используемых в интервальном анализе. Интервальный анализ [1,49] — это самостоятельно развивающаяся область математики, имеющая в настоящее время очень обширную библиографию, а первой монографией на эту тему была книга R.E.Moore [213], вышедшая в 1966 г. Ряд авторов использовал методы интервального анализа для решения задач управления, оценивания и идентификации [36,41,46,48,57,152,159,183,204,207].

Следует однако отметить, что в динамических задачах оценивания трубок траекторий оценки, построенные с помощью интервальных вычислений, могут оказаться слишком грубыми в силу известного в интервальном анализе "эффекта обертывания" (wrapping effect) (см., например, [179], [49, с.177], [214]), и такие оценки наиболее полезны для систем, обладающих сильными свойствами устойчивости [57]. Другое применение интервального анализа состоит в построении для искомых множеств внешних и внутренних оценок в виде подпокрытий ("замощений", дословно, "subpavings") — объединений неперекрывающихся "боксов". При этом для достижения заданной точности аппроксимации для систем большой размерности может потребоваться очень много вычислений и памяти. Поэтому, как признают сами авторы [183], такие методы подходят больше для систем невысокой размерности.

Обращаясь к теме диссертации, подчеркнем, что рассматриваемые в ней трубки траекторий обладают полу групповым свойством, входящим в определение обобщенной динамической системы в смысле Е.А.Барбашина и E.Roxin [8,222]. Поэтому естественно требовать выполнения аналогичного свойства для оценок. Таким образом, постановка задачи исключает использование стандартных процедур оптимизации ввиду требований динамики и многозначности. Упомянутая постановка является решающей при рассмотрении задач оценивания и синтеза управлений в условиях неопределенности [88,201].

Перейдем к изложению содержания работы. Она состоит из введения, шести глав, разбитых на 22 раздела (параграфа), заключения, трех приложений и списка литературы.

Первая глава посвящена "полиэдральному исчислению". Этим термином мы называем аппарат для работы с множествами в рамках выбранного класса областей — параллелепипедов (и иногда более широкого класса — параллелотопов). Упомянутый аппарат разрабатывается с целью последующего использования для построения полиэдральных аппроксимаций трубок траекторий в задачах гарантированного управления и оценивания и в этом смысле в некоторой степени подобен развитому в [201] эллипсоидальному исчислению (чем и объясняется выбранный термин). Разрабатываемое "полиэдральное исчисление" может рассматриваться и как некоторое развитие интервального анализа, при котором базовыми множествами служат не интервальные векторы, а произвольные параллелепипеды. Представляется, что оно может оказаться полезным для решения более широкого круга задач, чем те, которые рассмотрены в последующих главах (в частности, в областях, относящихся к оптимизации, аппроксимации, идентификации и др.).

Для пояснения мотивации вводимых конструкций в главу I включен § 1, где на примере многошаговых систем даны постановки некоторых задач управления и оценивания, решения которых связаны с построением трубок траекторий. Здесь приведены определения некоторых многозначных функций %[■]. Так, трубка траекторий или трубка достижимости описывает эволюцию во времени множеств достижимости (МД) Х[к] множеств тех состояний системы, которые могут быть достигнуты в момент к 6 {1,., N} из заданного начального множества с помощью входных воздействий (управлений или возмущений), подчиненных заданным ограничениям. Если на траектории системы наложено дополнительное ограничение на координаты — фазовое ограничение (ФО), то то трубка достижимости известна также как трубка выживающих траекторий (траекторий, не нарушающих ФО). Для задач гарантированного оценивания состояния такое многозначное отображение возникает естественным образом. Оно описывает динамику информационных областей множеств состояний, совместимых с данными измерений и априорными ограничениями [88].

Далее предполагается, что множество начальных состояний и множества входных воздействий в каждый момент времени (геометрические "жесткие" ограничения на управления/возмущения) являются параллелепипедами, а ФО в каждый момент времени представляют собой параллелепипеды или полосы. Параллелепипедом V(p, Р, тг) в Л" с центром р 6 IRn, неособой матрицей ориентации Р = {р1 • • •рп} 6 Rnxn и величинами "полуосей" щ > 0 называем множество V = V(p, Р, 7г) = {х\х =

ТЬ р + Ёрг7г< 1, г—1,., тг}. Полосой S называем пересечение m т < п) гиперполос с линейно независимыми нормалями (при т, — п полоса превращается в параллелепипед). Ставится задача о нахождении внешних V+[-] и внутренних V~[-] параллелепипедозначных оценок для Х[-]: V~[k] С Х[к] С Т+[к], обладающих обобщенным полугрупповым [201] и эволюционным [155] свойствами (являющимися аналогами полугруппового свойства для МД), и, более того, о введении некоторых семейств таких трубок, обеспечивающих точные представления посредством пересечения внешних и объединения внутренних оценок. Иногда внутренние оценки удобнее искать в виде параллелотопов — зоно-топов с числом слагаемых отрезков q = п. Для формализации естественного желания строить оценки так, чтобы они были "как можно ближе" к искомым множествам, вводятся понятия тугих [202,203], касающихся и неулучшаемых по включению [201] оценок. В частности, внешнюю (внутреннюю) оценку V множества Q Е conv 1R" называем тугой (в направлении I), если значения опорной функции множеств V и Q на векторах ±Z совпадают. Внешнюю оценку называем касающейся, если она является тугой в направлении п векторов, биортогональных к {рг}"=1. Если число элементов в семействах оценок оказывается довольно большим или даже бесконечным, то, ограничиваясь каким-либо конечным подмножеством элементов, можно получить внешние и внутренние аппроксимации искомых множеств. Задавшись каким-либо критерием оптимальности, можно искать оптимальную оценку искомого множества.

Как следует из известных рекуррентных формул [51], построение оценок для введенных трубок основывается на выполнении элементарных операций над параллелепипедами: афинного преобразования, геометрической суммы, пересечения. Результат такой операции может не быть параллелепипедом и в этом случае аппроксимируется параллелепипедами снаружи и изнутри. Остальные пять параграфов главы I посвящены х[к} = П-Р+Щ

Xlk] = \JV~lk]

0.1) (0.2) разработке техники аппроксимации множеств (в частности, полученных в результате использования упомянутых и некоторых других операций) с помощью областей выбранного класса. Далее, если не оговорено противное, под оценками будем понимать параллелепипедозначные оценки. Все предлагаемые ниже оценки зависят от некоторых параметров и могут быть легко вычислены по явным формулам (за исключением специально оговариваемых случаев).

В §2 рассмотрены способы построения и некоторые свойства оценок для выпуклых компактных множеств Q Е conv]Rn. Для произвольного Q Е convIR" (выпуклого политопа Q) введены семейства внешних (внутренних) оценок V+ (V~), обеспечивающие представления

Внешние оценки однозначно определяются матрицами ориентации, строятся в явном виде с использованием значений опорной функции Q и являются касающимися. Для внутренних оценок такой однозначности нет, и каждому выбранному центру и матрице ориентации соответствует множество допустимых величин полуосей, определяемое системой линейных неравенств. Найдены достаточные условия, гарантирующие неулучшаемость по включению внешних и внутренних оценок. При заданных центре и матрице ориентации указан простой способ нахождения величин полуосей внутренних оценок в аналитическом виде. Обсуждаются некоторые функционалы, которые можно использовать для сравнения параллелепипедов и, значит, в качестве критерия оптимальности оценок.

§3 посвящен аппроксимации множества Q, являющегося суммой нескольких параллелепипедов. Введено несколько семейств внешних и внутренних оценок, обеспечивающих (0.3), (0.4). Рассмотрена задача о нахождении для суммы двух параллелепипедов внешней оценки наименьшего объема. В случае, когда один из слагаемых параллелепипедов невырожден, а другой мал, ее решение найдено в явном виде.

Q = f]'P+, Q = \JV~.

0.3) (0.4)

В §4 строятся оценки для множеств, полученных в результате использования операции — геометрической разности. Отмечено, что геометрическая разность параллелепипеда и произвольного множества У 6 convHn есть либо параллелепипед, либо пустое множество. Введены семейства внешних и внутренних оценок для множества ("pM-fpC2)) — где V^ ~ параллелепипеды, и приведен пример, показывающий, что представление (0.4) при этом, вообще говоря, не гарантировано. Для случая, когда V^ невырожден, a V^ и V^ "малы", в явном виде найдена внешняя оценка, имеющая наименьший объем.

§5 посвящен построению оценок для пересечения параллелепипеда и полосы. Для случая, когда S^ есть параллелепипед, рассмотрены два способа построения семейств внешних оценок, обеспечивающих (0.3). Первый основывается на сведении (путем введения матричных параметров [75,201]) операции пересечения к изученной ранее операции сложения параллелепипедов, второй — на том факте, что пересечение параллелепипедов с одинаковыми матрицами ориентации снова есть параллелепипед. Далее рассмотрен случай, когда S^ — гиперполоса. Отмечается, что внешняя оценка с произвольной матрицей ориентации может быть несложно найдена с помощью алгоритма; в явном виде найдено несколько касающихся оценок, соответствующих специально выбранным матрицам ориентации; указаны оценки, имеющие наименьший объем. Последние два утверждения обобщают результаты [233] на случай int Q = 0. Описаны способы нахождения в аналитическом виде точки, принадлежащей Q, что позволяет строить внутренние оценки, введенные в § 5, в явном виде.

В §6 строятся "элементарные" оценки для множеств, возникающих в гл. VI. Сначала рассматриваются аппроксимации выпуклой оболочки объединения двух параллелотопов и вводятся семейства оценок, обеспечивающие (0.3), (0.4). Затем рассматриваются множества Z в пространстве Rn+1, заданные своими сечениями по последней координате. Введены четыре операции с такими множеством. Первые три: AQZ, Z@a и Z®y (умножение на матрицу A G Нпхп, сложение с вектором а € Нп, пересечение с множеством У С ]Rn) действуют независимо на каждое сечение, а последняя — Z 1±1 71, 71 С Жп, — комбинирует операции суммы Минковского и объединения по сечениям. В качестве внешних оценок множеств в IRn+1 берутся политопы П, определяемые своими "нижним" и "верхним" сечениями посредством операции выпуклой оболочки, причем сечения эти — параллелепипеды с одинаковыми матрицами ориентации. При этом "промежуточные" сечения П тоже оказываются параллелепипедами. Построены семейства внешних оценок для множеств вида П ЫР, где V — параллелотоп, и ПО<5, где S — параллелепипед либо гиперполоса в lRn. Параметрами оценок выступают матрицы ориентации сечений и 2п векторов, определяющих "боковые грани".

Во второй главе разрабатываются методы двусторонней аппроксимации МД линейных динамических систем с геометрическими ограничениями на входные воздействия и без ФО. Если не сказано другое, введенные семейства оценок обеспечивают соотношения (0.1), (0.2).

§7 посвящен многошаговым системам. Введены три конечных семейства тугих внешних оценок в виде ортогональных или неортогональных параллелепипедов; оценки из последнего семейства оказываются касающимися, а при k=N — минимальными по включению. Трубки V+[•] из введенных семейств удовлетворяют эволюционным уравнениям, включающим на каждом шаге изученную ранее операцию вычисления внешней оценки для суммы двух параллелепипедов, и отличаются друг от друга способом построения матриц ориентации. Таким образом, отказ от фиксированных единичных матриц ориентации позволяет ослабить эффект "обертывания" из интервального анализа. Построены касающиеся оценки, применимые и в случае более общих ограничивающих множеств. Далее введено несколько конечных семейств внутренних оценок. Доказано, что оценки одного из семейств являются тугими, а при к = N — и максимальными по включению. Однако в системах, получающихся дискретизацией систем с непрерывным временем, оценки такого типа могут получиться "длинными узкими". Поэтому введено также более широкое семейство внутренних параллелотопозначных оценок; в нем выделены тугие.

В §8 изучены аппроксимации МД X(t) для систем с непрерывным временем. При заданной динамике матриц ориентации выведены ОДУ для центров и величин полуосей параллелепипедов V+(t), являющихся внешними оценками для X(t). В частном случае (матрицы ориентации — единичные, ограничивающие множества — "боксы" с центром в начале координат) оценки превращаются в приведенные в [230]. Показано, что если матрицы ориентации удовлетворяют однородной системе ОДУ с матрицей из исходной системы, то соответствующие оценки оказываются касающимися для X{t) и (0.1) достигается варьированием (бесконечного числа) начальных условий для матриц ориентации. Приводятся ОДУ, описывающие динамику тугих внутренних оценок V~(t) для X(t)\ при этом X(t) (в случае mtX{t) ф 0) представимо в виде замыкания объединения оценок V~(t), взятого по матричному параметру, определяющему начальные условия V~(0). Введено также семейство внутренних параллелотопозначных оценок для A'(t), параметризованное матричной функцией Г(-), которая входит в правую часть ОДУ, описывающих динамику параметров V~(-). Среди множества оценок выделены тугие, и предложены способы построения кусочно-постоянных функций Г(-), обеспечивающих невырожденность оценок. Рассмотрена задача оптимального управления (роль управления играет Г(-)) о нахождении во введенном семействе трубки V~(-) с наибольшим в смысле объема сечением в конечный момент времени, и для нее выписано необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина [126].

§9 посвящен вопросам численного построения оценок МД. Вначале предлагаемые численные алгоритмы рассматриваются с точки зрения их эффективности. В частности, приведены оценки числа операций для точного нахождения X\N] в виде (0.1) и показано, что при больших N предложенные алгоритмы могут быть более эффективны по числу операций, чем известный алгоритм [103], где МД ищется в виде системы линейных неравенств. Этот выигрыш обусловлен специальным видом ограничивающих множеств (это параллелепипеды, а не произвольные выпуклые политопы, как в [103]). Ряд алгоритмов реализован в виде пакета программ (ToolBox'a) BOXES в системе MATLAB 5 (краткие сведения о нем приведены в Приложении В), а ряд — в виде программы на языке С для многопроцессорного вычислительного комплекса МВС-100. Дается ее краткое описание и обсуждаются вопросы эффективности распараллеливания. Приводятся результаты расчетов для модельных примеров, аналогичных рассмотренным в [155,201].

В третьей главе рассмотрены оценки МД линейных динамических систем с ФО в дискретные моменты времени. Разработанные алгоритмы применимы для аппроксимации информационных областей в задачах гарантированного оценивания при неточных дискретных измерениях. Вводимые семейства оценок опять обеспечивают (0.1), (0.2).

§10 посвящен многошаговым системам. При построении первого (бесконечного) семейства внешних трубок V+[-\ используется подход [75, 201], основывающийся на снятии ФО (путем введения параметров) и последующем использовании конструкций из §7. При построении двух других семейств внешних оценок (когда ФО имеют вид параллелепипедов и полос) используются оценки из §5 для пересечения двух параллелепипедов и параллелепипеда с гиперполосой соответственно. При этом пересечение в (0.1) достаточно брать по конечному (но очень большому) множеству последовательностей матриц ориентации. Указано, как в случае int X[N] = 0 можно выбирать матрицы ориентации, чтобы иметь возможность получать оценки в виде вырожденных параллелепипедов. Далее введены семейства внутренних трубок V~[-]. Можно заметить, однако, что при неудачном выборе параметров не исключается и случай, когда, начиная с некоторого шага, оценки могут получиться пустыми, а брать для обеспечения (0.2) объединение по всевозможным центрам не очень конструктивно. В §11 вводятся семейства оценок Т>±{-) для трубок достижимости Л'(-) систем с непрерывным временем и ФО в моменты tk, к — 0,., iVc. При t Е параметры V±(t) удовлетворяют ОДУ, описанным в гл. II, §8, а при t = Ц используются оценки, введенные в гл. I, §5. В §12 описаны примеры численного построения оценок МД.

В четвертой главе рассматриваются две задачи нелинейного синтеза управлений в системах с исходной линейной структурой и геометрическими ограничениями: нахождение трубки разрешимости УУ(-) и многозначной позиционной стратегии управления, гарантирующей попадание в конечный момент времени на целевое множество всех траекторий соответствующего дифференциального включения, начинающихся в любой позиции из упомянутой трубки, и та же задача, но для систем, функционирующих в условиях неопределенности. Пути решения данного класса задач указаны в монографиях [80,88]. В [95,111] показано, что искомая трубка W(-) представляет собой единственное максимальное по включению решение некоторого эволюционного уравнения. Решение этого уравнения дается интегралом Аумана (если нет неопределенности в задании правых частей системы) или альтернированным интегралом Понтряги-на. Точное нахождение W(-) представляет собой нетривиальную задачу. Известно, что если построена вся трубка W(-), либо какая-либо другая трубка, удовлетворяющая эволюционному уравнению, то решение задачи синтеза для позиций из этой трубки может быть найдено с помощью экстремальных стратегий Н.Н. Красовского. В [93,94,201] разработана схема "эллипсоидального синтеза". В данной главе разрабатываются конструктивные схемы решения задачи синтеза, при которых вместо трубки W(-) используются семейства параллелепипедозначных оценок. В §13 дается постановка задачи синтеза. В §14 введены семейства внешних оценок для трубки разрешимости, дающих внешние оценки множеств тех позиций, для которых задача синтеза разрешима. В §15 введены семейства внутренних параллелотопозначных оценок — оценок, удовлетворяющих упомянутому уравнению интегральной воронки. Эволюция внешних и внутренних оценок описывается системами ОДУ, где начальные условия или правая часть зависят от параметров (матрица или матричная функция), определяющих семейство. Внутренние оценки, являющиеся парал-лелепипедозначными трубками разрешимости, позволяют находить допустимые синтезирующие стратегии в аналитическом виде на основе решения специфической задачи квадратичного программирования (минимизации квадратичной функции на единичном кубе). Для первой задачи оба семейства обеспечивают точные представления трубки разрешимости (через операции пересечения или объединения оценок), а внешние оценки являются касающимися. Выведено нелинейное дифференциальное включение, все решения которого определяют невырожденные па-раллелепипедозначные внутренние оценки. В §16 обсуждаются результаты расчетов для модельных примеров, аналогичных рассмотренным в [201].

В пятой главе рассматривается задача гарантированного оценивания состояния параболической системы при "геометрических" ограничениях на неопределенные входные параметры. Задачам оценивания в системах с распределенными параметрами посвящен обширный поток публикаций. Наиболее близким вопросам, связанным с вычислением множеств достижимости и информационных областей параболических систем при "геометрических" ограничениях, посвящены, например, работы [92,105,198]. В §17 дается постановка задачи и для аппроксимации информационной области, являющейся решением задачи, вводятся (путем дифференциально-разностных или конечно-разностных аппроксимаций) последовательности задач гарантированного оценивания состояния конечномерных систем. В §18 показано, что при сгущении сетки имеет место сходимость к нулю хаусдорфова полурасстояния между искомым множеством и множеством кусочно-постоянных восполнений решений аппроксимирующих задач. Сходимость к нулю второго полурасстояния доказана при двух дополнительных предположениях. Первое связано с гладкостью функций, задающих ограничения. Второе связано с корректностью задачи. Оно выполняется, например, либо в случае сильной наблюдаемости системы [198] при отсутствии возмущений в правой части уравнения теплопроводности (что эквивалентно [136] так называемой непрерывной наблюдаемости [181]), либо при предположении о регулярности сигнала [198]. Установлена скорость сходимости. Аналогичные результаты справедливы для множества достижимости. В §19 обсуждаются возможности использования параллелепипедозначных оценок решений аппроксимирующих задач для нахождения внешних и внутренних оценок искомого множества. Отмечается, что формулы для построения семейства внешних касающихся оценок МД многошаговых систем из §7 приводят в данном случае к неустойчивой разностной схеме. Предлагаются способы построения двух внешних оценок и одной внутренней. Эти способы, ввиду их простоты, позволяют находить параллелепипедо-значные оценки решений аппроксимирующих задач достаточно высокой размерности (в модельном примере п = 199, N = 5(п+1)).

Шестая глава посвящена аппроксимации МД линейных многошаговых систем с интегральными неквадратичными ограничениями на управление и неопределенностью в начальных условиях, включая системы с фазовыми ограничениями. В §20 дается постановка задачи и вводятся множества достижимости Х[к\ и Z[k] в исходном и в "расширенном" фазовом пространстве, включающем координату, которая соответствует текущему запасу управления. Отмечается, что множества Z[k] (в отличие от Х[к\) обладают полугрупповым свойством. Приведены точные описания МД и, в частности, системы рекуррентных соотношений для нахождения Х[к] (в случае отсутствия ФО) и Z[&]. Статическое описание Х[к\ из начала координат для автономных многошаговых систем (без ФО) со скалярным управлением известно из [138]. Найдены достаточные условия, гарантирующие для множеств Я[к] невозрастание сечений и выпуклость. В §21 для множеств Х[к] введены семейства внешних и внутренних параллелепипедо-(иногда параллелотопо-)значных оценок V^k), обеспечивающие точные представления (0.1),(0.2). Для случая без ФО во введенных семействах выделены тугие и касающиеся оценки. Построение внешних (внутренних) оценок при наличии ФО в виде параллелепипедов (соответственно, полос) сводится путем введения параметров к построению оценок МД для вспомогательных систем без ФО (соответственно, с геометрическими ограничениями на управление). В §22 для МД 2[к], отвечающих, соответственно, исходным системам без ФО, с ФО в виде параллелепипедов и с ФО в виде полос введены три семейства внешних оценок в виде политопов П; выведены рекуррентные соотношения, описывающие динамику этих оценок. В случае отсутствия ФО в исходной системе доказано точное представление 2[к] в виде пересечения внешних оценок. С использованием оценок такого типа найдены параллелепипедозначные оценки множеств Х[к] и установлено, что при отсутствии ФО получаемое при этом семейство совпадает с введенным в §21 семейством касающихся оценок. Конструкции, описанные в §§ 21 и 22, проиллюстрированы на модельных примерах.

В Приложении А приведены некоторые вспомогательные леммы из области линейной алгебры, теории матриц и выпуклого анализа, а также некоторые известные факты, которые используются при доказательстве основных утверждений. В Приложении В приводится список основных функций пакета программ BOXES для системы MATLAB. В Приложении С собраны все рисунки.

Формулы, леммы, теоремы и т.д. имеют в работе двойную нумерацию — параграф и номер внутри параграфа. Такая же нумерация принята для рисунков (где первый номер обозначает параграф, к которому рисунок относится), хотя сами они вынесены в Приложение С.

Разработка методов, описанных в диссертации, была поддержана грантами РФФИ 94-01-00803, 96-01-00050, 97-01-01003, 97-01-00672, 0001-00369 и 03-01-00528. Результаты диссертации были представлены в докладах (указано в хронологическом порядке) на V Конференции "Транспьютерные системы и их применение", Домодедово, 1995; II - III International Workshops "Beam Dynamics & Optimization" (BDO-95, BDO-96), С.-Петербург, 1995, 1996; IMACS Multiconference "Computational Engineering in Systems Applications" (CESA'96), Лилль, Франция, 1996; 11 - 12 Международных совещаниях по интервальной математике, Новосибирск, 1996, Красноярск, 1997; 13th International Symposium on the Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS-98), Падуя, Италия, 1998; Международной конференции "Распределенные системы: Оптимизация и приложения в экономике и науках об окружающей среде" (DSO'2000), Екатеринбург, 2000; Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели", Челябинск, 2002; юбилейной конференции, посвященной 10-летию РФФИ, Москва, 2002; 4th International Conference "Tools for Mathematical Modelling" (MathTolls'2003), С.-Петербург, 2003, и докладывались на совместных семинарах "Системный анализ и сопряженные уравнения" кафедры системного анализа факультета ВМК МГУ им.Ломоносова и Института вычислительной математики РАН (руководители семинара — академик РАН А.Б.Куржанский и академик РАН Г.И.Марчук), семинарах Института математики и механики УрО РАН. Основные результаты диссертации опубликованы в 20 работах [64-74,149,186-193]. Статьи [61-63] примыкают к вопросам, затронутым в диссертации, но не вошли в нее.

Автор выражает глубокую признательность академику РАН Александру Борисовичу Куржанскому за привлечение ее внимания к теме диссертации, постоянное внимание к работе, ценные советы и поддержку.

Заключение

Работа посвящена разработке методов аппроксимации трубок траекторий линейных динамических систем в задачах гарантированного управления и оценивания при помощи параллелепипедов и параллелотопов. Получены следующие основные результаты.

1. Развиты элементы "полиэдрального исчисления" — аппарата работы с множествами в рамках выбранного класса областей — параллелепипедов (и иногда более широкого класса — параллелотопов). Изучены способы построения и свойства внешних и внутренних полиэдральных (параллелепипедо- и параллелотопозначных) оценок для выпуклых компактных множеств. Изучены операции над параллелепипедами и параллелотопами (геометрические сумма и разность, пересечение с полосой, выпуклая оболочка объединения) и способы построения, а также свойства оценок результирующих множеств.

2. Разработаны алгоритмы построения внешних и внутренних аппроксимаций множеств достижимости линейных динамических систем (многошаговых и описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, с геометрическими ограничениями на управление) при помощи семейств параллелотопов. Для оценок выведены эволюционные уравнения, независимое интегрирование которых позволяет организовать распараллеливание вычислений. Доказано, что введенные семейства обеспечивают точные представления искомых множеств через операции пересечения и объединения оценок. Изучены свойства оценок, касающиеся неулучшаемости по включению, касания, невырожденности и пр.

3. Введены семейства внешних и внутренних оценок множеств достижимости для тех же классов систем, но стесненных фазовыми ограничениями в дискретные моменты времени. Описана динамика оценок; установлена возможность сколь угодно точной аппроксимации искомых множеств за счет перебора параметров, определяющих семейства.

4. Для задачи о приведении объекта на целевое множество (в том числе в условиях неопределенности) введены семейства внешних и внутренних полиэдральных оценок трубки разрешимости; выведены обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие динамику оценок; разработан алгоритм синтеза допустимой стратегии управления, основанный на использовании внутренних оценок.

5. Для задачи гарантированного оценивания состояния параболической системы при "геометрических" ограничениях доказана сходимость к искомой информационной области множеств, получаемых с помощью решений аппроксимирующих задач оценивания в конечномерных системах, и исследованы возможности использования внешних и внутренних полиэдральных оценок.

6. Для линейных многошаговых систем с интегральными неквадратичными ограничениями на управление, включая системы с фазовыми ограничениями, введены семейства внешних и внутренних оценок множеств достижимости, обеспечивающие точные представления последних. Для множеств достижимости в расширенном фазовом пространстве введены семейства внешних оценок в виде политопов специального вида; выведены рекуррентные уравнения, описывающие динамику этих оценок. С использованием этих оценок найдены параллелепипедозначные оценки множеств достижимости в исходном пространстве, новые для систем с фазовыми ограничениями.

7. Разработан пакет программ полиэдрального оценивания BOXES в виде набора процедур для системы MATLAB.

1. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.

2. Альбрехт Э.Г. Примеры информационных множеств нелинейных систем // Оценивание в условиях неопределенности. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. С.5-9.

3. Ананьев Б.И. Минимаксные среднеквадратичные оценки в статистически неопределенных системах // Дифференц. уравнения. 1984. Т.20. N 8. С.1291-1297.

4. Ананьев Б.И., Ширяев В.И. Определение наихудших сигналов в задачах гарантированного оценивания // Автоматика и телемеханика. 1987. N 3. С.49-58.

5. Аникин С.А., Гусев М.И. Оценивание возмущающих сил по измерениям параметров движения // Гарантированное оценивание и задачи управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. С.19-30.

6. Бакан Г.М., Куссуль Н.Н. Параметрическая идентификация нестационарных систем с использованием метода размытых эллипсио-дальных множеств // Автоматика. 1993. N 3. С. 10-15.

7. Барабанов А.Е. Синтез минимаксных регуляторов. СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1996.

8. Барбашин Е.А. К теории обобщенных динамических систем // Учен, записки Моск. ун-та. Сер. матем. 1948. Вып. 135. Т.2. С. 110— 133.

9. Васин М.В. Эллипсоидальная фильтрация состояния бесконечномерной системы. II. Фильтрация по дискретно-непрерывным наблюдениям с векторной мерой // Автоматика и телемеханика. 1997. N 8. С. 102-109.

10. Бахвалов Н.С, Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

11. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, I960.

12. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.

13. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. М.г Физмат-гиз, 1962.

14. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 1985. Т.169. С.194-252.

15. Боткин Н.Д, Зарх М.А., Кейн В.М., Пацко B.C., Турова В.Л. Дифференциальные игры и задачи управления самолетом при ветровых помехах // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1993. N 1. С.68-76.

16. Боткин Н.Д, Рязанцева Е.А. Алгоритм построения множества разрешимости в линейной дифференциальной игре высокой размерности // Тр. ИММ УрО РАН. 1992. Т.2. С.128-134.

17. Бублик Б.Н., Кириченко Н.Ф., Наконечный А.Г. Регуляторы и минимаксные фильтры для систем с распределенными параметрами. Киев, 1978. (Препринт / ИК АН УССР, N 78-30).

18. Бурмистрова JI.В. Экспериментальный анализ нового адаптивного метода полиэдральной аппроксимации многомерных выпуклых тел // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2003. Т. 43. N 3. С. 328-346.

19. Бутковский А.Г. Дифференциально-геометрический метод конструктивного решения задач управляемости и финитного управления // Автоматика и телемеханика. 1982. N 1. С.5-18.

20. Бушенков В.А. Итерационный метод построения ортогональных проекций выпуклых многогранных множеств // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1985. Т. 25. N 9. С. 1285-1292.

21. Важенцев А.Ю. О внутренних эллипсоидальных аппроксимациях для задач синтеза управления при ограниченных координатах // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. N 3. С.70-77.

22. Васильев Н.С. О численном решении экстремальных задач построения эллипсоидов и параллелепипедов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1987. Т.27. N 3. С.340-348.

23. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

24. Васильев Ф.П. Регуляризация некоторых методов минимизации высокого порядка при неточных исходных данных // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1985. Т.25. N 4. С.492-499.

25. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: Факториал, 1998.

26. Васильев Ф.П., Куржанский М.А. О методе квазирешений для неустойчивых задач минимизации с неточно заданными исходными данными // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. 1989. N 4. С.13-18.

27. Ватолин А.А. О задачах линейного программирования с интервальными коэффициентами // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1984. Т.24. N 11. С.1629-1637.

28. Векслер Г.А. К задаче минимизации выпуклых функций в условиях неопределенности // Оценивание динамики управляемых движений. Свердловск: УрО АН СССР, 1988. С.29-39.

29. Габасов Р., Кириллова Ф.М. О конструктивной теории оптимального наблюдения за динамическими системами // Докл. РАН. 1995. Т.345. N 3. С.316-319.

30. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

31. Гурман В.И., Константинов Г.Н. Описание и оценка множеств достижимости управляемых систем // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. N 3. С.416-423.

32. Гусев М.И. Об оптимизации измерений в задаче оценивания состояния динамической системы при геометрических ограничениях на помехи // Дифференц. уравнения. 1988. Т.24. N 11. С.1862-1870.

33. Гусев М.И. Оптимальность линейных алгоритмов в задачах гарантированного оценивания // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. N 3. С.87-95.

34. Гусев М.И., Куржанский А.Б. Обратные задачи динамики управляемых систем // Механика и научно-технический прогресс. Т.1. Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1987. С. 187-195.

35. Гусев Ю.М., Ефанов В.Н., Крымский В.Г., Рутковский В.Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы). I, II // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1991. I. N 1. С.3-23; II. N 2. С.3-30.

36. Гусейнов Х.Г., Незнахин А.А., Ушаков В.Н. Приближенное построение множеств достижимости с интегральными ограничениями на управление // Прикл. математика и механика. 1999. Т.63. Вып.4. С.580-590.

37. Гусейнов Х.Г., Ушаков В.Н. Об инфинитезимальных конструкциях в теории обобщенных динамических систем. I, II // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. I. N 2. С.157-165; II. N 4. С.457-464.

38. Дарьин А.Н., Куржанский А.Б. Нелинейный синтез при двойных ограничениях // Дифференц. уравнения. 2001. Т.37. N 11. С.1476-1484.

39. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

40. Дугарова И.В., Смагина Е.М. Обеспечение устойчивости системы с неопределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1990. N И. С.176—181.

41. Дудов С.И. Внутренняя оценка выпуклого множества телом нормы // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1996. Т.36. N 5. С.153-159.

42. Жуков А.А., Фурасов В.Д. Эллипсоидальная аппроксимация и оценивание состояний дискретных систем // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1990. N 2. С.121-129.

43. Зарх М.А., Иванов А.Г. Построение функции цены в линейной дифференциальной игре с фиксированным моментом окончания // Тр. ИММ УрО РАН. 1992. Т.2. С.140-155.

44. Зарх М.А., Пацко B.C. Численное решение дифференциальной игры наведения третьего порядка // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1987. N 6. С. 162-169.

45. Захаров А.В., Шокин Ю.И. Синтез систем управления при интервальной неопределенности параметров их математических моделей // Докл. АН СССР. 1988. Т.299. N 2. С.292-295.

46. Иванов В.А., Тарасьев A.M., Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. Задача тореадора // Прикл. математика и механика. 1993. Т.57. Вып.З. С.15-22.

47. Ивлев Р.С., Соколова С.П. Построение векторного управления многомерным интервально заданным объектом // Вычисл. технологии. 1999. Т.4. N 4. С.3-13.

48. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

49. Каменев Г.К. Алгоритм сближающихся многогранников // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1996. Т. 36. N 4. С. 134-147.

50. Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксная многошаговая фильтрация в статистически неопределенных ситуациях // Автоматика и телемеханика. 1978. N 11. С.79-87.

51. Каюмов Р.И. Гарантированные оценки состояния одного класса систем с неопределенными коэффициентами // Оценивание динамики управляемых движений. Свердловск: УрО АН СССР, 1988. С.57-64.

52. Киселев О.Н., Поляк Б.Т. Эллипсоидальное оценивание по отношению к обобщенному критерию // Автоматика и телемеханика. 1991. N 9. С. 133-145.

53. Комаров В.А. Локально-оптимальные оценки множеств достижимости нелинейных систем // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1985. N 3. С.153-160.

54. Комаров В. А. Уравнение множеств достижимости дифференциальных включений в задаче с фазовыми ограничениями // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 1988. Т.185. С.116-125.

55. Кондратьев Д.Л., Лотов А.В. О внешних оценках и построении множеств достижимости для нелинейных управляемых систем // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1990. Т. 30. N 4. С. 483490.

56. Корноушенко Е.К. Интервальные покоординатные оценки для множества достижимых состояний линейной стационарной системы. I IV // Автоматика и телемеханика. I. 1980. N 5. С. 12-22; II. 1980. N 12. С.10-17; III. 1982. N 10. С.47-52; IV. 1983. N 2. С.81-87.

57. Короткий А.И. Динамическое восстановление управлений в условиях неопределенности // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. N 1. С.21-24.

58. Костоусов В.Б. Реализация алгоритмов высокоточной навигации по геофизическим полям на параллельных вычислительных системах // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений. Екатеринбург: УрО РАН, 1995. С.86-100.

59. Костоусова Е.К. Приближенные методы решения задач оценивания для систем с распределенными параметрами: Дис. . канд. физ.-мат. наук / Институт математики и механики УрО АН СССР. Свердловск, 1991.

60. Костоусова Е.К. О свойстве слабой наблюдаемости для одномерного волнового уравнения при точечном нестационарном операторе наблюдения // Дифференц. уравнения. 1991. Т.27. N 8. С.1318-1325.

61. Костоусова Е.К. О слабой наблюдаемости для одномерного волнового уравнения при точечном динамическом наблюдении // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. N 4. С. 198-203.

62. Костоусова Е.К. О параллельном алгоритме решения задачи наблюдения для одномерного волнового уравнения // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений. Екатеринбург: УрО РАН, 1995. С.101-114.

63. Костоусова Е.К. О некоторых параллельных алгоритмах построения областей достижимости линейных многошаговых систем // V конференция "Транспьютерные системы и их применение", Домодедово, 1995: Тез. докл. Домодедово, 1995.

64. Костоусова Е.К. О полиэдральном оценивании областей достижимости линейных многошаговых систем // Автоматика и телемеханика. 1997. N 3. С.57-68.

65. Костоусова Е.К. Внешнее и внутреннее оценивание областей достижимости при помощи параллелотопов // Вычисл. технологии. 1998. Т.З. N 2. С.11-20.

66. Костоусова Е.К. Параллельные вычисления при оценивании областей достижимости и информационных множеств линейных систем // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. Вып.З. С.107-126.

67. Костоусова Е.К. О внутренних полиэдральных оценках множеств достижимости линейных систем с фазовыми ограничениями // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. Вып.5. С.167-187.

68. Костоусова Е.К. О внешних полиэдральных оценках для множеств достижимости систем с билинейной неопределенностью // Прикл. математика и механика. 2002. Т.66. Вып.4. С.559-571.

69. Костоусова Е.К. О полиэдральных оценках множеств достижимости линейных многошаговых систем с интегральными ограничениями на управление // Вычисл. технологии. 2003. Т.8. N 4. С.55-74.

70. Костоусова Е.К. О внешнем полиэдральном оценивании множеств достижимости в "расширенном" пространстве для линейных многошаговых систем с интегральными ограничениями на управление // Вычисл. технологии. 2004. Т.9. N 5. С.54-72.

71. Костоусова Е.К., Куржанский А.Б. Гарантированные оценки точности вычислений в задачах управления и оценивания // Вычисл. технологии. 1997. Т.2. N 1. С. 19-27.

72. Костоусова Е.К., Сташкова JI.B. Об аппроксимациях решения одной задачи гарантированного оценивания состояния параболической системы // Вычисл. технологии. 2001. Т.6. N 5. С.60-72.

73. Кощеев А.С., Куржанский А.Б. Адаптивное оценивание эволюции многошаговых систем в условиях неопределенности // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. N 2. С. 72-93.

74. Красовский Н.Н. К теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем // Прикл. математика и механика. 1964. Т.28. Вып.1. С.3-14.

75. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

76. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.

77. Красовский Н.Н., Лукоянов Н.Ю. Уравнения типа Гамильтона-Якоби в наследственных системах: минимаксные решения // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург: УрО РАН, 2000. Т.6. N 1-2. С.110-130.

78. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

79. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. N 2. С.51-60.

80. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. Устойчивые решения обратных задач динамики управляемых систем // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 1988. Т.185. С.126-146.

81. Кумков С.И., Пацко B.C. Управление в задаче на основе построения множеств возможных фазовых состояний // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996. N 1. С.65-71.

82. Кумков С.И., Пацко B.C., Пятко С.Г., Решетов В.М., Федотов А.А. Информационные множества в задаче наблюдения за движением самолета в горизонтальной плоскости // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. N 4. С.51-61.

83. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез оптимальных и адаптивных систем управления. Игровой подход. Киев: Наук, думка, 1985.

84. Куржанский А.Б. О двойственности задач оптимального управления и наблюдения // Прикл. математика и механика. 1970. Т.34. Вып.З. С.429-439.

85. Куржанский А.Б. К теории позиционного наблюдения. Общие соотношения // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. N 5. С.20-31.

86. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

87. Куржанский А.Б. Об информационных множествах управляемой системы // Докл. АН СССР. 1978. Т.240. N 1. С.14-17.

88. Куржанский А.Б. Об аналитическом описании множества выживающих траекторий дифференциальной системы // Успехи мат. наук. 1985. Т.40. Вып.4. С.183-194.

89. Куржанский А.Б. Задача идентификации — теория гарантированных оценок // Автоматика и телемеханика. 1991. N 4. С.3-26.

90. Куржанский А.Б. Гарантированное оценивание распределенных процессов по результатам наблюдений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. 1995. N 1. С.33-40.

91. Куржанский А.Б. Альтернированный интеграл Понтрягина в теории синтеза управлений // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 1999. Т.224. С.234-248.

92. Куржанский А.Б., Мельников Н.Б. О задаче синтеза управлений: альтернированный интеграл Понтрягина и уравнение Гамильтона-Якоби // Мат. сб. 2000. Т.191. N 6. С.69-100.

93. Куржанский А.Б., Никонов О.И. К задаче синтеза стратегий управления. Эволюционные уравнения и многозначное интегрирование // Докл. АН СССР. 1990. Т.311. N 4. С.788-793.

94. Куржанский А.Б., Пищулина И.Я. Минимаксная фильтрация при квадратичных ограничениях. I III // Дифференц. уравнения. 1976. Т.12.1. N 8. С. 1434-1446; II. N 9. С.1568-1579; III. N 12. С.2149-2158.

95. Куржанский А.Б., Сивергина И.Ф. Метод гарантированных оценок и задачи регуляризации для эволюционных систем // Журн. вы-числ. математики и мат. физики. 1992. Т.32. N И. С.1720-1733.

96. Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. Об описании множества выживающих траекторий управляемой системы // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. N 8. С.1303-1315.

97. Кушниренко А.Г., Лебедев Г.В. Программирование для математиков. М.: Наука, 1988.

98. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

99. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978.

100. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

101. Лотов А.В. Численный метод построения множеств достижимости для линейных управляемых систем с фазовыми ограничениями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1975. Т.15. N 1. С.67-78.

102. Лотов А.В. О сходимости методов численной аппроксимации множеств достижимости для линейных дифференциальных систем с выпуклымми фазовыми ограничениями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1979. Т. 19. N 1. С. 44-55.

103. Лотов А.В. О понятии и построении обобщенных множеств достижимости для линейных управляемых систем в частных производных // Докл. АН СССР. 1981. Т.261. N 2. С.297-300.

104. Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатенинбург: УрО РАН, 2000.

105. Незнахин А.А., Ушаков В.Н. Сеточный метод приближенного построения ядра выживаемости для дифференциального включения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2001. Т.41. N 6. С. 895-908.

106. Никольский М.С. Об аппроксимации множества достижимости для управляемого процесса // Мат. заметки. 1987. Т. 41. N 1. С. 71-76.

107. Никольский М.С. О приближенном вычислении геометрической разности множеств // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. 2003. N 1. С.49-54.

108. Никонов О.И. О некоторых экстремальных свойствах наблюдаемых систем // Дифференц. уравнения. 1985. Т.21. N 2. С. 236-240.

109. Никонов О.И. К теории эволюционных уравнений с многозначными решениями // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. N 3. С. 144-151.

110. Овсеевич А.И., Решетняк Ю.Н. Аппроксимация пересечения эллипсоидов в задачах гарантированного оценивания // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1988. N 4. С. 182-189.

111. Овсеевич А.И., Решетняк Ю.Н. Асимптотическое поведение эллипсоидальных оценок областей достижимости. I // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1992. N 1. С. 90-100.

112. Овсеевич А.И., Шматков A.M. К вопросу о сопоставлении вероятностного и гарантированного подходов к прогнозу фазового состояния динамических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. N 4. С. 11-16.

113. Овсянников Д.А. Математические методы управления пучками. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980.

114. Огнивцев С.Б. Метод построения множеств достижимости для линейных управляемых систем с фазовыми ограничениями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1977. Т.17. N 5. С. 1311-1315.

115. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами // Докл. АН СССР. 1975. Т.223. N 6. С.1314-1317.

116. Панасюк А.И., Панасюк В.И. Об одном уравнении, порождаемом дифференциальным включением // Мат. заметки. 1980. Т.27. N 3. С.429-437.

117. Панасюк А.И., Панасюк В.И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. Минск: Наука и техника, 1986.

118. Покотило В.Г. К изучению минимаксных оценок параметров нелинейных систем // Прикл. математика и механика. 1984. Т.48. Вып. 4. С.615-621.

119. Покотило В.Г. К проблеме аппроксимации пересечения эллипсоидов // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1990. N 3. С. 38-43.

120. Пономарев А.П., Розов Н.Х. Устойчивость и сходимость альтернированных сумм Понтрягина // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. 1978. N 1. С.82-90.

121. Пономарев А.П., Розов Н.Х. О дифференцируемости опорной функции альтернированного интеграла Понтрягина // Мат. заметки. 1981. Т.ЗО. Вып. 6. С.865-870.

122. Понтрягин JI.C. О линейных дифференциальных играх. I, II // Докл. АН СССР. 1967. I. Т. 174. N 6. С.1278-1280; II. Т.175. N 4. С.764-766.

123. Понтрягин J1.C. Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сб. 1980. Т.112. N 3. С.307-330.

124. Понтрягин JI.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

125. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x: В 2-х т. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999.

126. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. М.: Мир, 1989.

127. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

128. Пшеничный Б.Н., Покотило В.Г. О задачах наблюдения в дискретных системах // Прикл. математика и механика. 1981. Т.45. Вып.1. С.3-10.

129. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966.

130. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

131. Рокитянский Д.Я. Оптимальные эллипсоидальные оценки множества достижимости линейных систем с неопределенной матрицей// Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. N4. С. 17-20.

132. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

133. Сивергина И.Ф. Об информационных областях линейных систем с неопределенными параметрами // Оценивание динамики управляемых движений. Свердловск: УрО АН СССР, 1988. С.96-100.

134. Сивергина И.Ф. Обратимость и наблюдаемость эволюционных систем // Докл. АН. 1996. Т.351. N 3. С.304-308.

135. Сидоров А.Ф., Гасилов В.Л., Кукушкин А.П. Разработка высокопроизводительных алгоритмических и программных средств на базе параллельных технологий // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений. Екатеринбург: УрО РАН, 1995. С.3-20.

136. Сиротин А.Н., Формальский A.M. Области достижимости и управляемости линейных дискретных систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2002. N 4. С.5-16.

137. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

138. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

139. Субботин А.И., Шагалова Л.Г. Кусочно-линейное решение задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби // Докл. РАН. 1992. Т.325. N 5. С.932-936.

140. Субботина Н.Н. Метод характеристик в теории уравнений Гамиль-тона-Якоби и его приложения в теории управления. Автореферат дис. . д-ра физ.-мат. наук / Институт математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2003.

141. Толстоногов А.А. Об уравнении интегральной воронки дифференциального включения // Мат. заметки. 1982. Т.32. Вып. 6. С.841-852.

142. Устюжанин A.M. Задача оценивания матричного параметра // Дифференц. уравнения. 1985. Т.21. N 3. С. 410-416.

143. Ушаков В.Н., Хрипунов Ф.П. О приближенном построении интегральных воронок дифференциальных включений j j Журн. вы-числ. математики и мат. физики. 1994. Т.34. N 7. С. 965-977.

144. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

145. Филиппова Т.Ф. Задачи о выживаемости для дифференциальных включений: Дис. . .д-ра физ.-мат. наук / Институт математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 1992.

146. Филиппова Т.Ф., Костоусова Е.К. Задачи описания эволюции многозначных состояний дифференциальных систем // Математика. Механика. Информатика. Труды юбилейной конф. 10 лет РФФИ, Москва, 2002. М.: Физматлит, 2004. С.283-303.

147. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2,3. М.: Наука, 1969.

148. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974.

149. Хлебалин Н.А., Шокин Ю.И. Интервальный вариант метода модального управления // Докл. АН СССР. 1991. Т.316. N 4. С.846-850.

150. Хонин В.А. Гарантированные оценки состояния линейных систем с помощью эллипсоидов // Эволюционные системы в задачах оценивания. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. С.104-123.

151. Черников С.Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968.

152. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.

153. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальная аппроксимация множеств достижимости линейной системы с неопределенной матрицей // Прикл. математика и механика. 1996. Т.60. Вып. 6. С.940-950.

154. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1976.

155. Черных О.Л. Построение выпуклой оболочки множества точек в виде системы линейных неравенств // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1992. Т. 32. N 8. С. 1213-1228.

156. Шарый С.П. Линейные статические системы с интервальной неопределенностью: эффективные алгоритмы для решения задач управления и стабилизации // Вычислительные технологии. Т.4, N 13. Новосибирск: ИВТ СО РАН, 1995. С.64-80.

157. Ширяев В.И. Синтез управления линейными системами при неполной информации // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. N 3. С. 229237.

158. Шматков A.M. Об управлении ансамблем траекторий при наличии ограничений на помехи // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1995. N4. С.82-87.

159. Шориков А.Ф. Минимаксное оценивание и управление в дискретных динамических системах. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 1997.

160. Athans М. The matrix minimum principle // Information and Control. 1968. 11. P.592-606.

161. Aubin J.-P., Frankovska H. Observability of systems under uncertainty // SIAM J. Control Optimiz. 1989. V.27. N 5. P.949-975.

162. Aumann R.J. Integrals of set-valued functions // J. Math. Anal. Appl. 1965. V.12. N 1. P. 1-12.

163. Bai E.W., Huang Y.F. Convergence of optimal sequential outer bounding sets in bounded error parameter estimation // Mathematics and Computers in Simulation. 1999. V.49. P.307-317.

164. Barmish B.R., Corless M., Leitman G. A new class of stabilizing controllers for uncertain systems // SIAM J. Control Optimiz. 1983. V.21. N 2. P.246-255.

165. Barmish B.R., Sankaran J. The propagation of parametric uncertainty via polytopes // IEEE Trans. Automat. Contr. 1979. V.AC-24. N 2. P.346-349.

166. Bertsekas D.P., Rhodes J.B. Recursive state estimation for a set-membership description of uncertainty // IEEE Trans. Automat. Contr. 1971. V.AC-16, N 2. P.117-128.

167. Bushenkov V., Chernykh 0., Kamenev G., Lotov A. Multi-dimensional images given by mappings: construction and visualization // Pattern Recognition and Image Analysis. 1995. V.5. N 1. P.35-56.

168. Chisci L., Garulli A., Vicino A., Zappa G. Block recursive parallelotopic bounding in set membership identification // Automatica. 1998. V.34. N 1. P.15-22.

169. Chisci L., Garulli A., Zappa G. Recursive state bounding by parallelo-topes // Automatica. 1996. V.32. N 7. P.1049-1055.

170. Crandall M.G., Lions P.L. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. V.277. P.l-42.

171. Ferreres G., M'Saad M. Estimation of output error models in the presence of unknown but bounded disturbances // Int. J. Adapt. Contr. Sign. Proc. 1997. V.ll. P.115-140.

172. Filippov A.F. Ellipsoidal estimates for a solution of a system of differential equations // Interval Computations. 1992. N 2(4). P. 6-17.

173. Filippova T.F., Lisin D.V. On the estimation of trajectory tubes of differential inclusions // Proc. of the Steklov Institute of Mathematics. 2000. Suppl.2. P. S28-S37.

174. Fogel E., Huang Y.F. On the value of information in system identification bounded noise case // Automatica. 1982. V.18. P.140-142.

175. Gorban A.N., Shokin Yu.I., Verbitskii V.I. Simultaneously dissipative operators and the infinitesimal wrapping effect in interval spaces // Вычисл. технологии. 1997. T.2. N 4. C.16-48.

176. Gusev M.I. Error bounds for reachable sets under discrete approximation of state constraints // Nonlinear Control Systems (NOL-COS'2001), Preprints of the 5th IFAC Symposium, S.Petersburg, Russia, July 4-6, 2001. P. 1355-1360.

177. El Jai A., Pritchard A.J. Sensors and actuators in distributed systems // Int. J. Control. 1987. V.46. N 4. P.1139-1153.

178. Hestenes M.R. Conjugate Direction Methods in Optimization. New York Inc: Springer-Verlag, 1980.

179. Jaulin L., Kieffer M., Didrit O., Walter E. Applied Interval Analysis With Examples in Parameter and State Estimation, Robust Control and Robotics. London: Springer-Verlag, 2001.

180. Kahan W. Circumscribing an ellipsoid about the intersection of two ellipsoids // Canad. Math. Bull. 1968. V.ll. N 3. P.437-441.

181. Keesman K.J. Weighted least squares set estimation from ^-norm bounded noise data // IEEE Trans. Automat. Contr. 1997. V.AC-42. N 10. P.1456-1459.

182. Kostousova E.K. On the approximation of trajectory tubes through polyhedral techniques // Second International Workshop "Beam Dynamics & Optimization", St.-Petersburg, Russia, 1995: Proc. P.93-102.

183. Kostousova E.K. On polyhedral approximations of trajectory tubes // Third International Workshop "Beam Dynamics & Optimization", July 1-5, 1996, St.-Petersburg, Russia: Proc. St.-Petersburg, 1997. P. 194203.

184. Kostousova E.K. State estimation for dynamic systems via parallelo-topes: optimization and parallel computations // Optimiz. Methods & Software. 1998. V.9. N 4. P.269-306.

185. Kostousova E.K. On polyhedral techniques for some problems of the control theory // Mathematical Theory of Networks and Systems. Proceedings of the MTNS-98 Symposium held in Padova, Italy, July, 1998. Padova: II Poligrafo, 1998. P.265-268.

186. Kostousova Е.К. Control synthesis via parallelotopes: optimization and parallel computations // Optimiz. Methods & Software. 2001. V.14. N 4. P.267-310.

187. Kostousova E.K. Polyhedral estimates of reachable sets to linear discrete systems with integral bounds on controls // Tools for Mathematical Modelling. Proc. of the The Fourth Intern. Conf., June 23-28, 2003,

188. St.-Petersburg. St-Petersburg: St.-Petersburg State Technical Univ., 2003. P.308-314. (Mathematical Research, V.9).

189. Kiihn W. Rigorously computed orbits of dynamical systems without the wrapping effect // Computing. 1998. V.61. P.47-67.

190. Kiihn W. http://www.decatur.de/wolfgang/zono/index.html.

191. Kurzhanskii A.B. Dynamic control system estimation under uncertainty conditions. I, II // Probl. Contr. and Inform. Theory. I. 1980. V.9. N 6. P.395-406; II. 1981. V.10. N 1. P.33-42.

192. Kurzhanski A.B., Filippova T.F. On the theory of trajectory tubes — a mathematical formalism for uncertain dynamics, viability and control // Advances in Nonlinear Dynamics and Control: A Report from Russia. Boston etc.: Birkhauser, 1993. P.122-188.

193. Kurzhanski A.B., Khapalov A.Yu. An observation theory for distribu-ted-parameter systems // J. Math. Sys. Estimat. & Control. 1991. V.l. N 4. P.389-440.

194. Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal techniques for dynamic systems: the problems of control synthesis // Dynamics and Control. 1991. N 1. P. 357-378.

195. Kurzhanski А.В., Valyi I. Ellipsoidal techniques for dynamic systems: control synthesis for uncertain systems // Dynamics and Control. 1992. N 2. P. 87-111.

196. Kurzhanski А.В., Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Boston: Birkhauser, 1997.

197. Kurzhanski А.В., Varaiya P. On ellipsoidal techniques for reachability analysis. Part I: External approximations // Optimiz. Methods & Software. 2002. V.17. N 2. P.177-206.

198. Kurzhanski А.В., Varaiya P. On ellipsoidal techniques for reachability analysis. Part II: Internal approximations. Box-valued constraints // Optimiz. Methods & Software. 2002. V.17. N 2. P.207-237.

199. Lin S.H., Yuang Y.T., Fong I.K., Hsu C.F., Kuo T.S. Dynamic interval system analysis and design // Int. J. Control. 1988. V.48. N 5. P. 18071818.

200. Lotov A.V. An estimate of solution set perturbations for a system of linear inequalities // Optimiz. Methods & Software. 1995. V.6. N 1. P. 1-24.

201. Markov S.M., Popova E.D. Linear interpolation and estimation using interval analysis // Bounding Approaches to System Identification. New York and London: Plenum Press, 1996. P. 139-157.

202. Merkuryev Y.A. Identification of linear objects with bounded disturbances in both input and output channels // Bounding Approaches to System Identification. New York and London: Plenum Press, 1996. P.307-316.

203. Milanese M., Belforte G. Estimation theory and uncertainty intervals evaluation in presence of unknown but bounded errors. Linear familiesof models and estimators // IEEE Trans. Automat. Contr. 1982. V.AC-27. N 2. P.408-414.

204. Milanese M., Norton J., Piet-Lahanier H., and Walter E., eds. Bounding Approaches to System Identification. New York and London: Plenum Press, 1996.

205. Milanese M., Tempo R. Optimal algorithms theory for robust estimation and prediction // IEEE Trans. Automat. Contr. 1985. V.AC-30. P.730-738.

206. Milanese M., Vicino A. Optimal estimation theory for dynamic systems with setmembership uncertainty: an overview // Automatica. 1991. V.27. N 6. P.997-1009.

207. Moore R.E. Interval Analysis. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1966.

208. Nickel K.L.E. Using interval methods for the numerical solution of ODE's // Z. angew. Math. Mech. 1986. V.66. N 11. P.513-523.

209. Norton J.P. Identification and application of bounded-parameter models // Automatica. 1987. V.23. P.497-507.

210. Norton J.P. Recursive computation of inner bounds for the parameters of linear models // Int. J. Control. 1989. V.50. P.2623-2630.

211. Ohta Y. Nonconvex polygon interval arithmetic as a tool for the analysis and desidn of robust control systems // Reliable Computing. 2000. V.6. N 3. P.247-279.

212. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse Problems of Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. Gordon and Breach, 1995.

213. Ovseevich A. On equations of ellipsoids approximating attainable sets // J. Optimiz. Theory Appl. 1997. V.95. N 3. P.659-676.

214. Panasyuk A.I. Equations of attainable set dynamics. Part 1: Integral funnel equations // J. Optimiz. Theory Appl. 1990. V.64. N 2. P.349-366. Part 2: Partial differential equations // Ibid. P.367-377.

215. Pronzato L., Walter E. Volume-optimal inner and outer ellipsoids // Bounding Approaches to System Identification. New York and London: Plenum Press, 1996. P.119-138.

216. Roxin E. On the generalized dynamical systems defined by contigent equations // J. of Differential Equations. 1965. V.l. N 2. P.188-205.

217. Saint-Pierre P. Approximation of the viability kernel // Applied Mathematics & Optimization. 1994. V.29. N 2. P. 187-209.

218. Schlaepfer F.M., Schweppe F.C. Continuous-time state estimation under disturbances bounded by convex sets // IEEE Trans. Automat. Contr. 1972. V.AC-17. N 2. P.197-206.

219. Schneider R.G. Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993.

220. Schweppe F.C. Recursive state estimation: unknown but bounded errors and system inputs // IEEE Trans. Automat. Contr. 1968. V.AC-13. N 2. P.22-28.

221. Shor N.Z., Berezovski O.A. New algorithms for constructing optimal circumscribed and inscribed ellipsoids // Optimiz. Methods h Software. 1992. V.l. N 4. P.283-299.

222. Sonnevend G., Stoer J. Global ellipsoidal approximations and homo-topy methods for solving convex analytic programs // Applied Mathematics & Optimization. 1990. V.21. N 2. P.139-165.

223. Tsai W.K., Parlos A.G., Verghese G.C. Bounding the states of systems with unknown-but-bounded disturbances // Int. J. Control. 1990. V.52. N 4. P.881-915.

224. Veliov V.M. Computation of integrals of uncertain vector functions // Interval Computations. 1993. N 4. P. 143-153.

225. Vicino A., Milanese M. Optimal inner bounds of feasible parameter set in linear estimation with bounded noise // IEEE Trans. Automat. Contr. 1991. V.AC-36. N 6. P. 759-763.

226. Vicino A,, Zappa G. Sequential approximation of feasible parameter sets for identification with set membership uncertainty // IEEE Trans. Automat. Contr. 1996. V.AC-41. N 6. P. 774-785.

227. Witsenhausen H.S. Set of possible states of linear systems given perturbed observations // IEEE Trans. Automat. Contr. 1968. V.AC-13. N 5. P.556-558.