Полулипшицевость и другие свойства альтернированного интеграла Л.С. Понтрягина тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

АБДУГАНИЕВ АБДУВАЛИ АБДУЛХАЙЕВИЧ

ПОЛУЛИПШИЦЕБОСТЬ И ДРУГИЕ СВОЙСТЗА АЛЬТЕРНИРОВАННОГО ИНТЕГРАЛА Л.С.ПОНТРЯГИНА

01.01. 02 - дифференциальные уравнения^

А В I 0-Р,Е Ф Е Р А. I

диссертации на соискания ученой степени кандидата физико-математических наук

РГО од

На правах рукописи

ТАШКЕНТ - 1953

Работа выполнена е Ташкентском государственном университете и в Институте математики имени В.И.Романовского Академии "Наук Республики Узбекистан.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А.АЗАНОВ.

Официальные оппоненты- член-корреспондент АН РУз, доктор

физико-математических наук, профессор В.Е.САТШОВ

- кащпдат сжзико-математаческих наук, А.Т.Рахманов

Ведущая организация - Уоскоескиё государственный университет.

Защита диссертации состоится ** "" ОФ&ЯЛ^/А.д 1993 г. в часов на заседании специализированного совета

Д 067.02.21 при Ташкентском государственном университете по адресу: 700095, г.Ташкент - 95, математический факультет, ауд. А-205

•С диссертацией можно ознакомиться г научной библиотеке Ташкентского государственного университета (Вузгородок)

Автореферат разослан СМИ У) А 1993 г.

Ученый секретарь

специализированного совета

доцент С.Р.УУАРОВ

Ф

ОБЩАЯ 1АРА1ПЗРЛСТЖА РАБОТЫ.

АКТУАЛЬНО С. Т Б ТЕ У Ы.Мнопте теоретические ¡г" прикладные задача техники, экономики и других областей является объектами изучения теории дн£?еренпиальннх игр. Основополагающие результаты теории дилере или атаки' игр ' получены А.Айзексом, Л.С.Понтрягинкм, И.Н.Красовским, З.ЗЛитценнз, Ю.С.Осиновым, Л.Д.Бер::онипэм, В.Е.Злемингом, А.Зрадмаяом я многими другими.

В настоящее время теория- дифференциальных игр стала развитой математической теорией со специфическим проблемами, своеобразными средствами исследования, благодаря работал А.Б.Хряжимского, А.Б.Куртанского, А.А.Меликяна, М.".Никольского, Л.А.Иэтрпсяна, Н.Н.Петрова, Ё.С.Половиккина, Б.П.Пше-ничного, ГГ.Г.Сатамова, А.Я.Субботана, З.Л.Третьякова, ЗДЛерноусько, А.А.Чякрия а других.

3 развитии теории линейных ди^эрекпиальных игр преследования фундаментальное место занижает прямые методы Л.С.Пон-трягияа. В настоящее гремя первый прямой мзтод хоропо изучен, прехдояены несколько модз'икапий. Более широкой областью применения отхччгется альтернированный интеграл -Т.С.Поптря-гяпа (так называемый второй прямой метод). 3 последнее

время появились ряд работ, посвященных как изучении свойств и дальнейшим моди^пкапплм альтернированного интеграла, тал я численным методам вычисления, обусловленные езоьезнвми трудностями точного вычисления альтернированного интеграла. 3 работе^]!.!.С.Еикольсннм прэдло~ена новая

Матем. сб. 1?сС. т И2. Г сто. ЗС-С2С. 2. Матем. сб. 19РГ, ? ПС, 5 I. стр.

схема построения альтернированного интеграла, отллчаз^и: тем, что эта схема не использует операцию интегрирования многозначных отобраяений. При этом терминальное множеств (I в альтернированных суммах приходится несколько огрубить. В работах [3] и [4] результаты работ [I] и [2] обобщены для квазилинейных задач дифференциальных игр преследования.

При численном вычислении важными станонктся вопросы устойчивости операций геометрической разности, пересечения, альтернированных интегралов, а такзе сходимости альтернированных сумм к альтернированному интегралу. Этим вопросам росвященн работы Л.С.Понтрягина, М.СЛикольскогоД.Азамоза, А.ГГ.Поноыарева, Н.Х.Розона, 2.И.Балабан. Рассматриваемые в диссертации вопросы таете связаны с вычислением и устойчивостью -альтернированных интегралов.

Цель работы. I) Исследование устойчивости операций геометрической разности и пересечения; 2) Исследование устойчивости альтернированных сумм и интегралов Л.С.Понтрягика; 3) "Упрочение схемы построения альтернированных интегралов.

Научная новизна. Получены достаточные (необходимое и достаточное) условия полуЛипшицееости операций геометрической.разности, пересечения, а также достаточные условия полуляпЕНцеЕости и равенства мезду собой

3. ^1и1пенко Е.Ф., Сатямов Е.Ю. Диф.уран., 1974, т 10, И 12, стр. 2173-2178

4. Азаыов А. ДЖ СССР, 1988, т 299, 2, стр. 265-268.

альтернированного интеграла Л.С.Понтрягине с упрощенного альтернированного интеграла I.!.С.Никольского в линейном л квазилинейном, случаях.

П р и л о я е н и е. Результаты работы могут найти пряло~еняя е дальнейших исследованиях по теории альтеряг- ' рованккх интегралов, а такг.е при построении численных методов вкчяслеяия альтернированных интегралов.

Публикация и апробация работы, "о теме диссертации опубликовано четкое статьи, в которых отражено основное содержание диссертации.

Основные результаты работы докладывались на коятерен-:у;ях молод их ученых института математики им. 3.1!.Романовского АН 7зССР (1Э35-1987гг.); научно-методических конференциях преподавателей ТашИ! им. Беруни (1938-1969гг.); на всесоюзном семинаре "Оптимальное управление. Геометрия и анализ" (Кемерово, 1256г.), на городской семинаре по оптимальному управлении) и дп;^еренш:альюл.! играм (Факультет 1Г.И, ТашГТ); а так~е обсуждались на семинаре ка?едрн оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики ?.С7.

Структура л объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глре содержапдох 9 гараграТов и библяэгра Тяй. гумерацкя определений, примеров,, предложен?*, лемм, теорем, следствий и формул ДЕоРная. Первое число озн^чрет порядковый номер гарагре?® (параграфы пронумерованы от I до 9). Сбгрй объем работы - 53 страниц .•.•?глр?оп.чсного текста. "кблкогргЛя - €2 наименований.

СЭДЕРЖАШЕ РАБОТЫ

В главе I, состояшей из §§1-5, изучаются опорные свойстве операции геометрической разности. На основе этих свойств получено необходимое и достаточное условие полулипшицевости геометрической разности, из которой, в сеою очередь, получено достаточное условие полулипшицевости и другие свойства альтернированного интеграла Понтрягина.

Б §1 приведены необходимне для глаЕк I понятия и свойстве Как отмечалось выше, операция геометрической разности, в отличие от операций алгебраического сложения, не является полулипшцеЕой. Более того, в обдем случае не имеет место равенство и> еозмокно, с этик связаны

трудности, возникающие при звучен:!!; свойств альтернированного интеграла Понтрягина. Вместе с тем, имеет место г^векство

кроме того, если каждое из множеств является полу-

пространством, то для любого

5 «Ей (О.

- совокупность всех непустых выпуклых компактов кз ) имеет место А ~ Ё)+Ё)=А"5спользуя эти ¡гаят^, а также выделяя

* * А

такие опорные плоскости множества тл , которые остаются опорными плоскостями и для разности А ~ Ь . получены условия полулипшицеЕости геометрической разности. Пусть 3* В)обозначает совокупность единичных внешних нормалей выделенных вьчле опорных плоскостей для заданных множеств

А,Ье£2 , т.е. ,

Б ГА, В)={2 еЭ 51Н (А - В=Н (А "Н (

где Н (Х,^)- опорная функция множества X > ~~5 & эдиничная сфера.

Вводится еще одна операция - операция огрубления Еыпук-

ткх компактов. Огрублением множества относительно

зовокупности единичных векторов называется

множество г __¿1 . » » , ч

Л(Х^) = П 6Я*(^¿ЩХ^)

г

£ 2 посвящен изучении свойств операции огрубления. Здесь заказанычто операция огрубления линейна и однородна по первому аргументу, монотонно возрастает (убывает) по'включению по перЕОиу (второму) аргументу (предложение 2.2), непрерывна по обеим аргументам (следствие 2.2). Получено необходимое и достаточное условие ограниченности огрубления (предложение 2.1). Основным результатом с точка зрения приложения является оценка повторного огрубления:

Георема 2.1. Пусть даны замкнутые подмножества а

в,, единичной с*еры 8 . Предположим, что для некоторого &>0 и- , -

ограничены (Б - единичный шар). Тогда для любого

имеет место волочение

А (Л (X, $,*) к: л (х + т ъ.*)

где -с - диаметр множества • Л (, )

3 53 изучается свойства множества При

построении множества 3 (-А Ь^) для конкретных множеств. А-, £ мохет оказаться полезным равенство

= ,-А — Е> (предложение 3.1), вв?Д7 того. '

что _Д —й ~*"Ь)=0 . а построение -кожестза £(А}в)'

~ s -

проще для А , В С ^ . удонлетЕоряших Услоеию А " В ~ О Множество S!(А , - замкнуто (предложение 3.2). В общем случае, из включения А ^ не следует

S (Л В) S (Az В) • Тем не менее имеет место свойство

В) wAiA^beQ

(предложение 3.4). В предложении 3.5 показывается, как получить множество S(CA 1 СВ>) из множества S (Я, В)} где О - невырожденная CdxcL) - матрица.

Предложение 3.6- устанавливает полунепрерывность сверху S (7i; по первому, аргументу, т.е. • ¿¿¿г.

гае . В предложении 3.7 показано, что че-

—со л ж

рез любую граничную точку множества Л — О проходят хотя б к

одна опорная гиперплоскость, внешяя единичная нормаль которой принадлежит множеству S(А 9 В) . Отсюда, в частности, следует, что S (А7Ъ) пусто тогда и только тогда, к огда разность А ~ В пусто. В предложении 3.8 установлено, . что для любых множеств

-В Ф0 ) можно

подобрать многогранники А ^ ^ ... , сходящиеся

к А таким образом, что имеет место равенство

¿¿»LSfAl Ъ) = $(АУВ).

Изученные е ^62-3 свойства операции огрубления и множества 564, В) в£54 применяются к полулитзицевости геометрической разности. Оказывается, что при удачном Еыборе множества индексов Se операция огрубления А (А , Sc) ^ , огрубляет множество

не так грубо, и в результате будет

иметь место равенство

Б лемме 4.1 это равенство доказывается для случая, когда Л - многогранник. А~Ъ*0

и Ъ)

В общем случае не имеет место раЕенстЕо

но, если Х=А(А,5,\Ъ'£А(5,5,\У=Ъ:>

где £>0 , то равенство (0.1) имеет место (лемма 4.2). Из этих двух лемм непосредственно следует полулитаицеЕость геометрической разности 3 , когда А - многогран-

ник , о

и А — (теорема 4.1). Из теоремы

4.1 и свойства 3.8 имеем основной результат этого параграфа.

Т Е О Р 2 И А 4.2. Пусть А , Ъ и

¿л ^ 5 (А ^ Ъ)) - ограниченное множество. Тогда существует число такое, что для любого числа и для любых множеств , 3 , удовлетворявших вклю-ченгш А В ^А "'"В + £ ^ имеем место •

(0.2)

Это оценка яиляется неулучпаемой в том смысле, что для любого суцэствулт число ОС и множества

А , &^^ , удовлетворявших условиям теоремы 4.2, что включение (0.2) не имеет место. Это утверждение следует ;?з опенки геометрической разности снизу: если А В ^ & 2 а>с , то (теорема 4.3).

Из теоремы 4.3 следует известный результат | :

если А * Е> - тело, то геометрическая разность полуляппшпеш,

- Ю - "

с улучшенной оценкой (следствие 4.1). Из теоремы 4.3 следует тайке, что ограниченность огрубления А $ (1А ,1В) не только достаточно, но и необходимо для полулиппгацевости геометрической разности (следствие 4.2).

Б/5 полулипшицевость теометрическоП разности применяется 3 изучению второго альтернированного интеграла Понтрягина. Пусть

¿XЧт |

да Х<=И , оёХ . т=па

где Л <0~Ь 2 — замкнуто, С — невырожденная, Е" -единичная - матрицы (предложение 5.1).

Если X -то

5 (V, ,4)-((*хрС\ I - \ С')Т)° . Тогда

(предложение 5.2). Отсща имеем, если е упрощенном альтернированном интеграле множества управления ^ л 0_ таковы, что огрубление А О)") ~ ограничено, то

сущэстгует чнсло > С такое, что длк любого ррзбиения 43 отрезка

и для любого числа

имеет место включения (лемма 5.1) и (следствие 5.1).

Осноеным результатом § 5 является Т е о -р е м а 5.1. Пусть множества управления таковк, "что огрубление А Б, & О.) ограничено. Тогда Имеет место равенство

т.е. альтернированный интеграл Понтрягина и упрощенны? альтернированный интеграл М.С.Никольского совпал авт.

Следствие 5.2. Альтернированный интеграл полулзппипево М'

Глава Л состоит из §§Б-9 и посвящена изучениэ по-лулппджцевостп операции пересечения и альтернированного интеграла Понтрягина в квазилинейном случае. Б §6 приведены необходимые для главы II понятия и сведения. Б §7 изучаются опорные свойства операции пересечения. Пусть дано семейство непустых выпуклых компактов -А^ яз К. . Положим

5 Ш ={5 е "Э Б | Н (Г\ Аг, 5) - ¿м^Н (А^, 5)}.

Множество является замкнутым (предложение 7.1).

Пусть » - 3 обцеи случае, из включе-

ний А^С. . оС не следует включение ^(Л) ^ $(■!&).

Если Щ^-Р^Л-В ,оС&Т для некоторого В ,

то имеет место включение

(предложение 7.2). Если ЪоС—СА^ . оС В 1 . С - невырожденная ((1хсЬ матрица, то £ ДО - (С «У (сОУ° (предложение 7.3).

Если последовательность ' ■>

при 1-+оо стремится к равномерно по оСв I

и. ... .тогйп.

*

в интегральных суммах множество М. ' не огрубляется

т.е. множество полунепрерывно сЕерху но Л.

(предложение 7.4). Из любой граничной точки пересечения .

ЛДг проходит хотя бы одна/опорная гиперплоскость, сС

единичная внешняя нормаль, которой принадлежит множеству S(предложение 7.5). Отсвда, е частности, следует, что S(Л) густо тогда и только тогда, когда

ПА,

«с

пусто (следствие 7.1).

Пусть A^ßQ .О¿Gl , . где

Si в'Э S , ¿-7, ¿5 ... — конечные множества, такие, что s ? (sc- /? S'(Jt)) - ^(d)

оо ' С -г сто

¿(s.s^nsm

— ограничено, положим

(А* •> SAodei , А1- [л^] , ...

Тогда -¿¿т. S = g(предложение 7.6).

В §8 приведены несколько достаточных услови!: полуляппи-девости пересечения, причем одно из них является необходимым. Пусть Л7 ^ оС в I - многогранники,

О А,*

0 и

т> ^ с *

существует конечное множество rL^oo такое, что совокупность внешних единичных нормалей опорных- полупространств, пересечением которых является многогранник , при

лю00ы

/ei

содержится в множестве Jt . Тогда (лемма 8.1).

Пусть для A^SQ . oC&Z - Тогда для

любого €>t> имеет место равенство (лемме Е.2)

-{¿М (А^, + ел (<?,

Из этих ДЕух лемм непосредственно следует теорема 8.1: в условиях леммы 8.1 существует число -£>1 такое, что для любого числа £>О и для лйбых А^-Я^ » удовлетворяющих включениям Д >сСб1 имэат место

оС

включение

ОС я,

ОснАеннм результатом данного параграфа является Теорема 8.2^ Пусть А. ' я.

огрубление ¿1 ("5, Б" ограничено.. Тогда существует

число

такое, что для любого £>й и для любых

множеств , удовлетворяющих включениям

оС =СЛ.

I , имеет место включение

ос ее а. ос. « I

Лз этой теоремы, в частности, следует, что если /^/Л^ -тело, та операция пересечения пэлулипдицзЕО (следствие 8.1).

Б теореме 8.3 пересечение множеств оценено снизу: пусть 3 • ^е 1 •1толо7ям £ ^

оСе Т ■ тогдз д (¿^ $') о (5\ $ (Я)).

'Лз тэтами 5.3 имеем, что ограниченность огрубления Д (Ч, $(-4)) яе только достаточно, ко необходимо для полулегшие эоста пересечения (следствие ¿.Л).

3 9 7слоеяя полулег::::"ие гости зиео-зи^и! пересечения прясняяэтся к яльтернизавзята ::: тегг-с-лау. для кзаэядянеЗяогэ случая*: пусть в ци'.'^еренгглально" игре облгст;; управления Р

см. [3].

a GL таковы, что огрубление Д (Sy Sföf) ограниченное множество. Тоща существует число такое, что для

любого разбиения ¿J отрезка [<?/Tj я для любого числа t>0 имеет место включения ^¡^(fll -г (полулиппшцевость упрощенных альтернированных сумм (лемма 9.1)) и W (M+i&'Z-W (Mj+Ltiiполулипшицевость •упрощенного албтернироЕанного интеграла (слецствие 9.1)). В условиях леммы 9.1 альтернированный интеграл и упрощенный альтернированный интеграл совпадают мехду собой т.е. = теорема 9.1). Отсюда вытекает полулипшицевость

альтёрнлрованного интеграла (следствие 9.2).'

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах соискателя:

1. Абдуганиев A.A., Исканджиев И.М.

О задаче вычисления альтернированного интеграла Понтрягина. ДАН УЗССР, 1985, Ш7. стр.5-6.

2. Искаяджиев И.М., Абдуганиев A.A. Приложение многозначных отображений к линейным дифференциальным играм. Тезисы докладов Всесоюзной школы "Оптимальное управление. Геометрия а анализ", Кемерово, I9S6, стр. 14.

3. Абдуганиев A.A. Об упрощенной схеме построения альтернированного интеграла Понтрягина. ДАН УзССР, 1987, И 10, стр. 3-4.

4. Абдуганиев A.A. ПолулипшицеЕость геометрической разности и альтернированного интеграла Л.С.Понтрягина. Деп. ЗШГЛ, £ 5333-88 , 34 стр./ 1988" г."

Аннотация

А.А.Абдугакиевкинг диссертация ишида геометрик айирма, ке-сишма лмаллари ва Л.С.Пэнтрягиннинг Альтернирланган иитегралл-нинг тур^унлиги масаласи куриб чи^илган. Шу ма^садда к; а б ар и^ тупламларнинг геометрик айирмаси ва кесишмалари геометрияси ба-тафсил урганиб чикилган. Хусусан, компакт тупламларни "йугон-лаштириш" ва гесметрик айирма ва кесишма унун "»^атган" индекс— лар туплами тушуиналари киритилган, >^амда 5у тушунчаларнинг асзсий хоссалари келтирилган.

Ана а:у хоссалар асосида геометрии айирманинг ю^оридан ло— кал ярим липагицлигининг ^атор е тар ли шартлари топил гам. .Часа— лан, кулек А учун булса, у »¡элда геометрик айир—

на ярим липи:иц булиб, элинган ба^они яхшилаб булмайди < шу би— лан бирга бои:^а етарли шартларда ^ам). Геометрик айирма амали >>уйидан >$ам ба^оланган ва унинг натихаси сифатида геометрик айирма ярим липиачцлмгининг е тар ли ггартларидан бири эдрурий $ам зканлиги исбзтланган.

Олинган натихалар Л.С.Поитрягиннинг альтермирланган инте ■ гралими текаиригзга »^улланялган. Улар орасида »^уйкдагини х^айд хр^лиш мумкин: агар бозп^ариз со^алари Р ва ф геометрии: айирма ярим липшицлигинннг эарурий ва е тар ли шарти>-»1 ^амоатлантир— са, у >рлда Л. С. Понтряг;*ннинг альтернирланган иитеграли М.С.Ни-кольскийминг терминаль туплам атрофига утмасдан »^урилган аль— териирланган йигиндилари лимитига тенгдир. Бундам таз^ари, Л-С.Понтрягин альтернирланган интегралинимг ю^эридан ярим лип-агицлигининг е? тар ли хартларм эл»«-<ган~ Бу натккалар альтернирлан— ган интегрални топишнинг сонли усулларида фойдалм булиши мумкин.

Шунга ухааш натижалар ^абарик; коми акт л ар кесишмаси амали ва бси^ариа параметрлари тенгламага чиэи^лимае булиб кирган >$ол учун х^урилган альтернирланган интеграл учун ^ам олинган.

SUMMARY

It is considered the stability problems of Minkowski's difference, intersection operations and Pontryagin's alternated integral. Kith this aim it is investigated the geometry of Minkowski's difference and intersection operations for convex con-pact sets. In particular, it is introduced concept of "roughing" of the convex sets, set of "hard" indeces and also established main properties of these concepts.

On the basis of these properties it is obtained soir.e sufficient conditions for the local sorr.ilipschitsian above. For example, if far polyhedra f\ , then Minkowski's

difference is semilipschitzian and an estimate is sharp for all considered cases. Mnikowski's difference operation is also estimated from below. As consequance of this estimate it is proved that one of the sufficient condition for semilipschitsian of the Minkowski's difference is also necessary.

Obtained results are applied to the research of Pontryagin's alternated integral. Note the following result: if the control sets P and Q are satisfied the necessary and sufficient .condition of SEitnilipschitzian, then Pontryagin's alte:— nated integral is equal to the limit of * Nikolsky's alternated sumes, which is built without passing to the neighbourhood of terminal set. Moveover it is obtained semilipschitzian above sufficient condition for Pontryagin's alternated integral. These results can be useful in the numerical methods of alternated Integral calculation.

Similar results are obtained for the intersection operation of convex compacts and for the alternated integral in case, when control parameters enter into equation nonlinearly.