Аппроксимативные свойства интегралов прямых методов в линейных дифференциальных играх преследования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМ.И Я НАУК УЗБЕКСКОЙ ССГ

ИНСТИТУТ МАТВШЖИ имени В.И.РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи

ИСКАНАДЮЕВ Икрар.^ан Мадашавич

- УДК 517.9

АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ В ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЙЩИАЛЬНЫХ ИГРАХ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ

01.01.02 ~ дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степшщ кандидата физико-агатематачееках наук

Ташкент - 1990

Работа выполнена в отделе дифференциальных уравнений Института математики имени В.И.Романовского АН УзССР.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А.А.АЗАМОВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А.З.АРУТЮНОВ, кандидат физико-математических наук М.Ш.МАМАТОВ.

Ведущая организация - Математический институт имени В.А.Стеклова АН СССР

Защита диссертации состоится " JQ O^TPé^pJ^ ~

1990 г. a _ часов на заседании специализированного совета К 015.17,01 в Институте математика имени В.И.Роыа- . новского АК УзССР по адресу: 700143, г.Ташкент. 143, ул. ■З.Ходааева, 2Í.

С диссертацией искио ознакомиться в библиотека Ннстлтуто матачатшеи таевд В.И.Романовского АН УзССР.

" Автореферат разослан ^ « 1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета наклада» физ.-ыат.наук

А.Н.СТАРЦЕ8

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению задач о взаимосвя-ч прямых методов Л.С.Понтрягина в теории линейных дифференциальных игр преследования.

Понятие дифференциальной игры является математической моделью таких процессов как преследование одного управляемого объекта другим, приведение управляемого объекта в заданное состояние при неизвестных заранее возмущапцих силах, задачи выки-вания в условиях конфликта и др.

Развитие теории дифференциальных игр потребовало выяснения таких понятий математической кибернетики, как информированность, допустимая стратегия и др. Шло обнаружено, что решение даже простейших примеров дифференциальных игр не является тривиальным, что фазовое пространство дифференциальных игр имеет разнообразные особенности, что их исследсванио требует развитие новых методов, разработку новых подходов.

Основы теории дифференциальных игр были заложены в фундаментальных исследованиях Р.Айзекса, Л.С.Понтрягина, Н.Н.Красов-ского, Е.Ф.Мищенко. Оно подучило глубокое развитие в трудах Ю.С.Осипова, Р.В.Гамкрелидзе, А.Б.Кураансксго, Ф.Л.Черноусько, Б.Н.Пшеничного, Н.Ю.Сатимова, М.С.Никольского, Л.А.Петросяна, А.Н.Субботина, Л.Борковица, У.Флеминге, А.Фридоана и др.

Известно, что постановка задач о дифференциальных играх я методы их исследования во многом существенно зависят от уточнения самого понятия дифференциальной игры, более конкретно,от определения класоов допустимых стратегий и траекторий.В настоящее время предложены несколько подходов в этом направления. Одним из наиболее разработанных подходов принадлежат Л.С.Пон-

трягину. Настоящая диссертация в основной следует этому подходу, 3 его основе лежат два метода решения задачи преследования, называемые прямыми методами Понтрягина. Эти методы были развиты и обобщены М.С.Никольским, Б.Н.Пшеничным, Н.Ю.Сатимо-выы, П.Б.Гусятниковым, Н.Л.Григореико, А.А.Азамовда, Е.С.Паао-еинкеным, Ю.С.Ледяевым и другиш.

Первый прямой ыетод Понтрягина опирается на интеграл от многозначных отображений определяемый формулой вида

Т Г

(Г) = М + \ е р ,

1 о

а второй метод - на понятии альтернированного интеграла Интегралы и ¡Л^, строятся по исходным данным дифференциальной цгры.

В 1973 году Н.Сат'кмоЕым было предсоконо усиление первого прямого метода Понтрягина, Дальнойшую дгадифякацйю 1-лштода, основанную на интеграле (см. кижо), предложили М.С.

Никольский, А.А.Азамов я Б.Саматоз.

На основе этой моди$и"ации Н.Сетимовым разработан новый метод решения задач преследования, сочетающий элементы первого и второго прямых методов. Метод Н.Сатимова основывается на интеграле (см.нике). Между упомянута интеграл шли име-

ет место связь

В настоящее время многие свойства интегралов Тл/^ и научены достаточно подробно. Однако вопрос о взаимосвязи указанных интегралов, в особенности аппроксимация алыернирован-

иого интеграла Понтрягина внтэгралата и . I, практи-

ческа не бклл рассмотрены.

Цель работы. I) Изучеш!э а ппр окскма тле них свойств я разработка упрощенных схем построения интегралов

X и ;

2) Установление сатан между альтернированным интегралом

и интегралом с приложением к задаче преследова-

г. Ч

ния в линейных дифференциальных играх.

Методика псслод вани я. При обосновании рез"тьтатоз диссертации использованы метода и факты теории дифференциальных игр, выпуклого анализа, теории многозначных отображений, метод "надеванг шапок" ?,!.С.Никольского.

Научная новизна. Описаны точные и пр~'1ли-женныв фор?тулы для вычисления интегралов , , ]\7у

и изучены их аппроксимативные свойства. Получены верхние и нижние оценка для альтернированного интеграла посредством интеграла ^ , доказано,.что при условна равномерной телесности частичных альтернированных суш внутренности интегралов и совпадают. При этом же условии для начальных точек 2 , таких, что прзнаддекит внутренности альтернированного интеграла, предложен новый метод построения кусочно-стробоскопической стратегии преследования.

Практическая ценность р а й о т ы. Полученные в диссертации результаты могут быть применены при разработке вычислительных алгоритмов, построения конкретных стратегий преследователя, прд исследовании проблач, связанных с альтернированным интегралом Нонтрягииа и синтезам управления в линейных системах«

Апробация работ н. По результатам диссеруо- , цен сделаны сообщения во Всесоюзной школе "Оптимальное управление, геометрия о анализ" (г. Кемерово, 1988 г.), на семинарах МГУ им. м.В.Ломоносова (руководители Н.Л.Грлгоренко, М.С.Никольский), ТашГУ им.В.И.Ленина (руководитель Н.Ю.Сатя-мов), отделоз дифференциальных уравнений и некяассаческях уравнений математической физики Ш ям.В.И.Романовского АН УзССР.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы з работах [I - 5] . 3 работе £I^предложение I, а в работе

теорема 2 принадлежат Абдуганиеву A.A.

Структура и объем работ и. Диссер-тавдя состоит из введения, трех глав, прадоЕвния и списка литературу (130 названий). Работа содержит 130 страниц машинописного текста.

2. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введения приведен щ. ..гквЯ обзор работ по тематике дио-оертациокной работы и дано сзсатое изложение основных ее ре~ зультатов.

Глава I посвящена изучению свойства интегралаТ\[[А(* J/tJ t

Для удобства сснлск в § I.I включены несколько известных определений и фактов теории дифференциальных игр.

Пусть движение управляемой системы описывается линейным дифференциальным уравнением

i ati-a-ИГ, . (I)

где х еГ, d-(cJxd) - матрица, Ц. - параметр

управления преследователя, 1Г - параметр управления убегающего, значения которых удовлетворяют условиям ЦсР ,. соответственно,области управлений Р к О. поедполагаются выпуклыми когдаактныии подмножествами пространства & В пространстве ь-делено. выпуклое замкнутое подмножест-

во Л , называемое терминальным множеством дифференциальной игры.

Пусть Д ~ ^ 0-, ^ I — отрезок: числовой; оси. Измеримую

функцию Ц. (,*) : Д Р* (соответственно! ЦЧ" Д 0 ) назовем допустимым управлением преследователя (убагрющего).. Совокупность всех допустимых управлений преследователя' (убегающего) обозначим через

( соответственно

Пусть и*Ци),и | - совокупность всех пар (СО(X/)

таких, что Ы | ¿^С^.. разбпе-

чше отрезка Д и I/ - отображение, ставящее каждой точке разбиения и вектору функцию Ц (*

£ ЦД'сР) .где Д. .

Начальная точка Ха , стратегия преследователя И/ ~

из класса (Ц^. и упраачение убегающего 1Г (•) С €1 1ч(Д, пороядают абсолютно-непрерывную траекторию

И , £ 0,1Г , 1Г), определяемую следующим образом:

на отрезке Д1~[0, является решением за-

дачи Ксшл

где Ц.о 11) ~ 1Г (.0, Хе)(Л) .

Пусть 2 (t) определена на отрезке [ 0, t н-il • Тогда функция Kt) на отрезке Д [t^, t.^ является решением задачи Коти

á^-Ui^liHim), = Z^,

где U.h-iU^U(tH.tf .

Пусть U обозначает семейство всех

интегрируемых на отрезке , { однозначных сечений многозначного отображения А С' ) • °» i 1 ^ ■ Интегралом многозначного отображения A ti) по отрезку о > ^ i. 1 называется множество

i.

i AU)c&-{ (cnt)dt/0Lit)е U tic, tA; А (•)] i.

"U to

В основе второго метода Понтрягина лежит понятие альтернированного интеграла. Пусть Ь^г. | 0 ~ 10 ^ t ^ < — - \ - произвольное разбиение отрезка

положим ULS:| , V¡. 0(Л)с!г,

где iXpCtC)^ в инте-

грирование производится по отрезку Д ¡, ~ ^ ^« t i. 3 .

Ынояества Sc -X, -[ Si-д + \Tt J ± V¿ ,

называются частичными альтернированными суммами. Заклоти» тедьная альтернированная cyie^a S ^ называется влыврнвре-ванной сушсй Понтрягина. (Здесь обозначается S i, Ui, 1!) ).

Множество

ц[ю* П:

ю

называется адьтерниров' Чйым интегралом Поитрогина.

Пусть (соответственно ) обозначает

семейство всех измеримых компактнозначных (замкнутоэначных) отобрааензй

А(-) : Д -гс.о/УпрсЯ )

(соответственно А(-)*. Д-* ** С Я. ) к удовлетворяющих условию

{ Асм^ сД .

По каждому отображению АС') ® ^ ЯР построй* интеграл

д

В работах ^1,2 ^ предложена кодификация 1-метода, основанная на рассмотрении объединения

Пусть < Ь !г.1< 5 -

произвольное разбиение отрезка Д . Полоша?

80 «А,

&1 , где

4 **

1. Никольский А! «С» Об одит Прямом методе решения линейных дифференциальных игр п преследования-убегекия.// Матам, заметки. 1983. Т.ЗЗ. Вып.6. С.685-981.

2. Азамов Саматов Б. О модифицированием третьем цзтодо а задаче преследования.// В кн.: "Неклассическде задача тематической физика". Ташкент, Фан. 1984. С.174-183.

объединение производится по всем измеримым зашснутозаачшм отображениям

АиЛ')- А-,-» е1(Г) ) удовлетворяицим

условию

Пусть &Си>,<С) . "Мч СС)-и В рабо-

те ^ описан метод решения задач преслодоваяия, основанный на каохествэ .

Б § 1.2 настоящей диссертации построоны различные црабли-вешше суммы, аппрокезшрухадв интеграл \\Г [А (•), Т сверху ц доказана устойчивость этого интеграла при односторонних возмущения* исходных данных.

Приведем одна из результатов этого параграфа.

пусть ^Цо-ЪоС-Ь^ ••• < "Ьи-1<

•» произвольное разбиение отрозка 2 отображение

АV) Д —> Со^и (Я.0)

- непрерывно на отрез-кз Д . Полоним А^Аф) , (%),

ГС&П^ОЧЧ^^Ь где

фиксированная точка из отрезка Д - 3 , а

®Ц')> ^ С'- модула непрерывности отображений

3, Саткмоз Н., Каребаев Э. Об одном иетоде рзшекзя задача преследсвания.// Докл. 'АН УзССР. 1905. » 3. С.7-9.

» Pd) > OU**-) соответственно.

Пусть

L'ai'

Теорема 1.7. Справедливо рзвенотво

WLah.T]

10

Следствие 1.3. Для любого

найдется такое , что при любом разбиения Lô отрезка

Д , удовлетворяющем условию |ю| < 5 (L) , выполняется неравенство

В Ç 1.3 построены различные прябяижзнше суммы, аштрок-оямирущие интеграл W [Ai* Vt} снлзу.

Глава П посвгщена изучению аппроксимативна* свойств интегралов и ^[xj .

В § 2.1 описаны упрошенные схемк построения интегралов и Wy , основанное на аппроксимация заккнутозначных отображений посредством ког.шактноэнячвях куссчяа-ггостаянных отображений.

Пусть

(соответственно

cl*,

) обозначает семейство всех измеримых отображений А(')-Д ), удозлотвсрлкцих условию

Um^cM+î-K (2)

à â

Семейство всех измеримых кусочно-постоянных отображений

А

Ач') Д ~£ ЬОЖр ( & ) , удовлетворяющих условию (2), обозначим СР" (соответственно Я?^ ).

Теорема 2.1. Имеют место включения

П Ли .Мас-),^"^). о)

Средний член в саотношеняи (2) имеет следующую игровую интерпретацию: если

принадлежит среднему члену

включения (3), то в игре (I) из точки можно завершить преследование в любой - окрестности множества Л за время ^ в кдассе стратегий "Ц^ .

Т е о р в и а -2.2. Если >1 £ йОЛМГ ^ЦЛ^) и

И 4- 0 , то . '

; Ь > 0 А1.)е4 1 >0 Я^бСотр^

. В § 2,2 класс всех измеримых замкнутозьачных отображений, участвующих э определениях интегралов (Т) и (£} } сужается до класса всех многозначных отсбрааениЯ ,

значениями которых являются многогранники с рациональными .вершинами (т.е. вершины имеют рациональные координаты ). В § 2.3 ЯЕтеграла (Д } и аппроксимируются

объединениями непрерывных отображений.

Глава Ш посвящена изучению связи иезду альтернированным

интегралом и интегралом "М .

* ■ • , ■ *

В § 3.1 альтернированный интеграл оценивается

сверху при помощи интеграла ЭД^ (Т) .

Пусть

~ произвольное разбиение отрезка Д и ), £ (•)" м0~

дули непрерывности отображений Р . 0^1.) соотвэтст-л

вонно. Полоним ^ ^.М. ,

О

где

Г^^хоЦ&^ + цВсЬ Бс-Кг^-ч!-

Пусть и (Ю.-ХГ) ~ С ^ , П С (ЮД) .

Теорема 3.1. Справедливо равенство

(4)

Из соотношения (4) вытекает, что если

то в игре (I) из точка 20 можно завершить преследование в любой окрестности множества .№ за время Т в классе стратегий . .

Пусть хД , Р. ^ У ЗДА^^НРЛ^ОЛ)^,,

I..., в. п , где обьедиие-

яле производится по всем отобразенкяи А^-Д,')' Ь

^довлетворянцгм условию

Теорема 3.2. Имеет место равенство

Г) £(Ч>Д).

»л

- Теорема 3.3. Пусть Я с «УИ.1Г

Тогда ддк любого > О найдется такое >0 «что

при любом разбиении 1А отрезка Д , удовлетворяющем условию |Ц}| < • выполняется неравенство

Ш^Т), С Цй.-с)] < 1.

Аналогичные утверждения верны и для интеграла £(Ц)Д) . В § 3.2 устанавливаются оценки расстояния между альтер- . дарованным интегралом и интегралами м (Ц)»^).»

при выполнении условия равномерной телесности для частичных альтернированных суш.

В § 3.3 выводятся нижние оценки для интеграла - ори помовд альтернированного интзграла.

Пусть" существуют положительные числа "С. и функция

<!■(•)• Д —> Д^ . имеющая ограниченную вариацию на отрезке Д , такие, что дня каядсго разбиения 1л) 0 - <

^ ^ ^^ \ частичные альтернированные суммы ^^ (М ГЫН,*) удовлетворяют условия

^КсIXГ\¿К,г), и!,!,..', к• (Б)

Пусть ЬйЦО^о^^--^ ЪимЛ^

- произвольное раабвеняо отрезка Д . Яоло-лш

В Ци>Д) Цц.

Т е о р в и а ЗЛО. Если имеет место условие (5), то

( С.2. - оператор ззмыкания ).

Следствие 3.7. Если выполнено условие (5), то

I

Последнее равенство имеет следующую игровую интерпретацию: если выполнено условие (5) а

то в игро (I) из точка 2 о моано завершить преследование за время в классе стратегий .

Пусть — ^

- произвольное разбиение отрезка Д . Положим

где объединение производится по всем измеримым отображениям А?.Л*Г» Ас—> аКГ),

удовлет-

ворчгздм условию

Ц^иИ-г-сВ^.

I

' Пусть

1А)

Теорема З.П» Если С.<хрСсС)?0 е ]\ГС (ОТ),

«о в игре (I) из точки можно завершить преследование за время 'С в классе стратегий .

В Приложении приводятся явные формулы для вычисления

интеграла'многозначного отображения

где 2 ~ ограниченный многоугольник в ,

£ -(Д

МЗТрИЦВ •

Основные результаты диссертация

1. Получены аппроксимативные формулы для вычисления интеграла первого прямого метода Яоктшгина для задача преследования.

2. Установлены упрощенные формулы для построения интегралов модифицированного первого прямого метода Понтрягига в задаче среследования, доказана их устойчивость по отноше-

' ни» к односторонним возмущениям исходных данных линейной дийереидкальиой игры.

3. Получены верхние и никяие оценки для альтернированного интеграла Понтрягина посредством интеграла 1/\Гц СО • доказано совпадение внутренности интегралов и

при условии равномерной телесности, частичных альтернированных сумм,.

4. Показано, чте при условии равномерно! телесности час- -гачных альтернированных суш, для точек £0 , удовлетворяющие условию

, существует

кусочнс-стробоскопаческэя стратегия, гарантирующая завершение преследования.

В заключение ьвтор выражает искреннюю признательность руководителю семинара по оптималькоа^г управлению л дифференциальным играм з ТашГУ ин.В.И.Ленляа члену-корресяснденту АН УзССР, доктору физико-математических паук, профессору

H.Ю.Саткмову, зо постановку п внимание к работе и своему научному руководителю доктору ^иэико-матемэтнчеоких наук, профессору А.А.Азамозу за постоянную помощь 2 полезные советы.

Публикации основных результатов.

I. АОдуганиев А., И с к а в а д * н е в K.M.

О задаче вычисления альтернированного интеграла Поя-трягина.// Докл. АН УзССР. 1985. й 7. С.5-6,

2. Иска надяиев И.М. Укрощенные формулы и непре-

рывность интеграла в прямых методах преследования.// Ред. кур. "Изв.АН УзССР". Сер. физ.-мат.наук. - Ташкент. 1986. 14 с. (Доп. в ВИНИТИ 01.04.86,- 222Й-В86).

3. И с к а над s и е в И.М., А б д у г а н и е в А. Прило-

жение многозначных отображений к линейным дифференциальным играм.// Тезисы докладов Всесоюзной школы "Оптимальное управление. Геометрия и анализ". Кемерово. 1Э86. С.24.

4. Искана даиев И.М. Об обобщенном первом методе

Л.С.Понтрягвна в задаче преследования.// Рад. жур. : "Изв. АН УзССР". Сер. физ.-мат.нау;^ - Ташкент. 1987. 22 с (Дел. в ВИНИТИ 29.01.87. Ii 687 - В87).

5. Иокенаджиев И.М. Связь между альтернированным интегралом и модифицированным третьем интегралом.// Тезисы докладов Всесоюзной школы "Олимальноз управление. Геометрия и анализ". Кемерово. 1Э88. С.74.

$00643 Подписано в печать, 3.0 */. /990г К ! Закая 3& « Тйрая /00 «ка. ; '.

■■ Отнейатано на ротапринте ' в-ВЦ-НПО "Кибернетика" АН УвССР

1 700^, г ,Тшар®нт-125 ,уя.Ходеева,