Поляризационные состояния бифотонов в протоколах квантовой связи

Шурупов, Александр Павлович

Поляризационные состояния бифотонов в протоколах квантовой связи тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

Шурупов, Александр Павлович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.21 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Поляризационные состояния бифотонов в протоколах квантовой связи»

Автореферат диссертации на тему "Поляризационные состояния бифотонов в протоколах квантовой связи"

На правах рукописи

ШУРУПОВ АЛЕКСАНДР ПАВЛОВИЧ

ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ состояния БИФОТОНОВ В ПРОТОКОЛАХ КВАНТОВОЙ

СВЯЗИ

Специальность 01.04.21 — лазерная физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2010

004601738

Работа выполнена на кафедре квантовой электроники физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кулик Сергей Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Федоров Михаил Владимирович, Учреждение Российской академии наук Институт общей физики им. А. М. Прохорова РАН, г. Москва

доктор физико-математических наук, профессор Молотков Сергей Николаевич, Учреждение Российской академии наук Институт физики твердого тела РАН, г. Черноголовка

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Физико-технологический институт РАН, г. Москва

Защита состоится « 20 » МАЯ 2010 г. в 16 ч. 00 мин, на заседании диссертационного совета Д 501.001.31 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, улица Академика Хохлова, д. 1, стр. 62, корпус нелинейной оптики, аудитория имени С. А. Ахманова.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат р

Ученый секрет; диссертационно кандидат физ.-ма

2010 г.

Ильинова Т. М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена экспериментальному приготовлению и исследованию свойств оптических четырехуровневых квантовых систем, получаемых за счет эффекта интерференции однопучковых бифотон-ных полей с целью их использования в конкретных протоколах квантовой связи.

Актуальность темы диссертации

Квантовая информация и квантовые вычисления являются на сегодняшний день одними из самых прогрессирующих областей современной науки. В основе квантовых вычислений лежит понятие кубита — двухуровневой квантовой системы.1 Среди множества физических реализаций куби-тов особое место занимает использование свойств квантованного электромагнитного излучения (фотонов). Фотоны слабо взаимодействуют с окружением, сводя к минимуму эффекты декогерентизации, легко преобразуются с помощью оптических элементов.

И с фундаментальной, и с прикладной точек зрения интересен вопрос о расширении гильбертова пространства на случай многоуровневых систем и о тех новых возможностях, которые предоставляют нам многоуровневые системы в квантовой информации. В литературе такие системы получили названия кудитов ^-сМб), где с1 — размерность гильбертова пространства. Вектор состояния кудита можно записать в следующем виде:

= С1 |1) + с212) + ... + Сд\(1)

Оказалось, что в ряде случаев использование квантовых многоуровневых систем как носителей информации имеет некоторые преимущества по сравнению с кубитами. Во-первых, использование кудитов в протоколе квантового распределения ключа повышает помехостойкость канала в случае определенного класса атак подслушивателя. Во-вторых, на основе многоуровневых систем уже предложены некоторые алгоритмы квантовых вычислений, которые невозможно выполнить с использованием кубитов. В-третьих, перепутанные многоуровневые системы показывают большее отклонение квантовой теории от классической при проверке неравенств Белла. Данное свойство является фундаментальным свойством многоуровне-

1 Злее:, речь идет ис об энергетических уровнях, а о базисных состояниях. Однако и настоящее прем я эта терминология общепринята, п мы будем ее придерживаться.

вых систем, а также может быть использовано в протоколах квантового распределения ключа. И. наконец, вопрос о генерации, преобразовании и измерении таких состоянии представляет значительный интерес с экспериментальной точки зрения.

С операциональной точки зрения эксплуатация любых протоколов квантовой информации и квантовой связи предполагает возможность полного или частичного контроля за используемым квантовым состоянием. Эту цель преследуют процедуры полной и редуцированной томографии. И в первом, и во втором случае встает вопрос о проведении данных протоколов оптимальным образом. В данной работе рассматриваются две процедуры оптимизации протоколов оценки свойств квантовых систем — величины перепутывания и полной томографии квантового состояния.

Бифотонными полями называются поля, состоящие из пар коррелированных фотонов. Наиболее простым способом получения таких полей является использование эффекта спонтанного параметрического рассеяния (СПР) света. При этом эффекте, имеющем место в средах без центра инверсии, происходит распад фотонов лазерной накачки на пары коррелированных фотонов, волновые вектора и частоты которых удовлетворяют условиям пространственного и частотного синхронизма. Пары фотонов, рождающиеся в процессе СПР, могут образовывать так называемое перепутанное состояние. По определению, двухчастичное состояние называется перепутанным, если его волновая функция не может быть факторизована на волновые функции каждой из подсистем Ф12 ф Ф1 х Фг- Свойства перепутанных состояний лежат в основе многих протоколов квантовых вычислений и квантовой связи. В данной работе исследуется вопрос об оптимальной экспериментальной оценке количественного значения величины перепутывания. Предложен протокол, позволяющий оценить данный параметр с минимальной дисперсией.

2бсз учета перестановки фотонов

модам, то размерность гильбертова пространства такого состояния равняется четырём. Такие системы получили название кутритов и куквартов соответственно (<1 = 3.4). Выбор поляризации как параметра, в котором кодируется информация, является удобным с точки зрения эксперимента, так как преобразования над данным параметром можно осуществлять с помощью линейных оптических элементов (фазовые пластинки, поляризаторы и т.д.).

Для успешной реализации того пли иного кваптово-информациопного вычислительного алгоритма требуется иметь полный контроль над используемыми квантовыми состояниями. Под полным контролем здесь понимается а) возможность приготовить квантовую систему в произвольном состоянии, б) возможность проведения заданных преобразований в процессе передачи по каналу связи и в) возможность восстановления состояния системы по некоторому набору измерений (томография квантовых состояний). В настоящей работе рассмотрено три протокола линейного томографического восстановления поляризационного состояния кукварта. К полученным экспериментальным результатам применяются статистические алгоритмы восстановления состояния,3 что позволяет учесть влияние статистических и аппаратных ошибок, возникающих в эксперименте. По результатам численного моделирования верифицирован критерий эффективности процедуры томографии поляризационного состояния и произведено его экспериментальное подтверждение.

Из всего вышесказанного следует актуальность работы, обусловленная фундаментальным интересом к проблемам, связанным с экспериментальным контролем над свойствами многоуровневых систем, исследованию их свойств и возможным применением данных систем в квантовых информационных протоколах.

Целью диссертационной работы являлось:

1. Исследование вопроса оптимальной оценки величины нерепутывания двух кубитов, допустимой законами квантовой механики.

2. Экспериментальная верификация предложенного ранее критерия эффективности процедуры томографии квантового состояния.

Богданов Ю. И. Основные понятия классической и квантовой статистики: корневой подход // Опт. и спектр. - 2004. - Т. 96, № 5. - С. 735-746.

3. Исследование различных алгоритмов некогерентной атаки на протокол квантового распределения ключа, основанного на куквартах.

4. Исследование вопроса о возможности применения поляризационных куквартов в практической реализации протокола квантового распределения ключа на данных системах.

Новизна диссертационной работы заключается в следующих положениях:

1. Произведен теоретический анализ и предложена процедура оптимальной оценки величины перспутывания двухкубитного состояния. Экспериментальные результаты полностью подтверждают теоретический лимит точности.

2. Экспериментально верифицирован предложенный ранее критерий эффективности протоколов томографии квантового состояния. Результаты численного моделирования и эксперимента полностью подтверждают верность предложенного критерия.

3. Предложен протокол квантового распределения ключа на бифотонах-куквартах. В качестве состояний для передачи информации используются факторизуемые состояния, легко доступные для экспериментального приготовления и измерения. Для оценки вносимых в процесс передачи информации возмущений и оценки секретности протокола используются максимально перепутанные белловские состояния.

4. Экспериментально реализована схема детерминистического протокола квантового распределения ключа на поляризационных куквартах. Высокое качество приготовления и трансформации используемых состояний позволяет говорить о возможности реализации подобной схемы в прототипе криптосистемы.

Научная и практическая значимость диссертации состоит в возможном использовании полученных результатов в квантовой оптике и квантовой информации:

• при реализации протоколов квантового распределения ключа на многоуровневых системах,

- с; -

• при реализации протоколов квантовых вычислений с использованием многоуровневых систем.

Положения, выносимые на защиту

1. Предложен и экспериментально реализован протокол, позволяющий производить оптимальную оценку величины перепутыванпя чистых и смешанных состояний четырехуровневых квантовых систем.

3. Предложен протокол распределения ключа на бифотонах-куквартах с использованием как факторизованных, так и чистых перепутанных состояний. Проанализированы три основные схемы некогерентных атак на протокол квантового распределения ключа на куквартах.

4. Разработана и реализована схема детерминистического протокола квантового распределения ключа на бифотонах-куквартах. Предложенная схема детерминистической регистрации позволяет измерять необходимый набор базисных состояний и обладает низким уровнем потерь.

Обоснованность и достоверность результатов

Результаты, представленные в диссертации, получены на основе многократно повторенных экспериментов, проведенных на современном научном оборудовании с использованием современных методов обработки экспериментальных данных. Экспериментальные данные подтверждены теоретическими расчетами, основанными на адекватно выбранных физических моделях анализируемых процессов. Результаты экспериментальных и теоретических исследований неоднократно обсуждались на семинарах и докладывались на специализированных конференциях по проблемам, связанным с тематикой диссертационной работы. Большая часть результатов опубликована в международных и российских научных журналах. Большинство представленных результатов являются новыми и получены впервые.

Апробация работы

Результаты работы прошли апробацию на следующих международных и российских конференциях:

Международная конференция «Quantum Communication and Security», Гданьск, Польша. 2006 г., X Международные Чтения по Квантовой Оптике, Самара, Россия, 2007 г., XI международная молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия», Казань, Россия, 2007 г., международная конференция «17th International Laser Physics Workshop». Тронхейм, Норвегия, 2009 г., международная конференция «XII International Conférence on Quantum Optics and Quantum Information» (ICQO'08), Вильнюс, Литва, 2008 г., конференция «Поляризационная оптика», Москва, Россия, 2008 г., международная конференция «18th International Laser Physics Workshop», Барселона, Испания, 2009 г., международная конференция «Single Photon Workshop», Денвер, США, 2009 г.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 11 научных работ, включая 6 работ в рецензируемых журналах из списка ВАК России, список которых приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора

Все результаты, предетавлегшые в диссертационной работе, получены автором лично либо при его непосредственном участии.

Структура и объем диссертационной работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 100 наименований, изложена на 134 страницах и содержит 30 рисунков и 4 таблицы. В параграфах §1.4, §2.5 и §3.4 сформулированы заключения к соответствующим главам диссертационной работы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1. Оптические четырехуровневые системы.

Первая глава посвящена свойствам оптических четырёхуровневых систем — куквартов. реализованных на основе поляризационных состояний невырожденного по частоте бнфотонного поля. Для исчерпывающего описания состояния кукварта используется формализм матрицы когерентности чет- 8 -

вертого порядка по полю. Предлагается процедура математической оценки одного из наиболее интересных свойств кукварта — перепутывания — с предельно доступной точностью. Предлагается процедура измерения поляризационного состояния одномодовых бифотонов — томографии куквартов. Представлено три протокола квантовой томографии и обсуждаются особенности их экспериментальной реализации.

Первый параграф посвящен изложению общих свойств оптических квантовых четырёхуровневых систем. По литературе разобраны основные способы приготовления подобных систем и введен простой критерий перепутанности для чистых состояний, принадлежащих четырёхмерному гиль-бертовому пространству.

Во втором параграфе диссертационной работы рассмотрены основные понятия классической и квантовой теории оценок и рассмотрен вопрос об оптимальной оценке величины перепутывания в семействе двухкубитных состояний

\Уф)=соз{ф)\ПП)+5т{ф)\УУ) (1)

Любое количественное измерение перепутывания соответствует нелинейной функции оператора матрицы плотности и тем самым не может быть связано с квантовомеханической наблюдаемой величиной. Вследствие этого любая процедура, направленная на измерение величины перепутывания, есть в конечном счете задача параметрической оценки, когда величина перепутывания неявно определяется по результатам измерения одной или нескольких наблюдаемых. В качестве количественной меры перепутывания предложено использовать известную величину negativity,4 т.к. именно эта мера остаётся монотонной функцией перепутывания как для чистых, так и для смешанных квантовых состояний. В эксперименте семейство состоянии (1) может быть легко приготовлено на установке, представленной на рис. 1 при использовании двух нелинейных кристаллов с синхронизмом 1-го типа.

Для оценки величины перепутывания. которая для рассматриваемого семейства состояний оказывается равной е = sin(2ф), предлагается использовать стандартную схему Брауна-Твисса, в каждом канале которой установлена полуволновая пластинка и вертикально ориентированный по-

4 Vidal С., \Ve.rnt:r Я. F. Computable measure of entanglement /'/ Phy.•>. Rev. Л. — 2002. — Vol. G5, no. 3. - P. 032311.

Рис. 1. Схема экспериментальной установки для приготовления поляризационных состояний бифотонов с различной степенью перепутывания и оценки её значения с предельной точностью, допустимой квантовой механикой.

ляризатор, и схему парных совпадений. В целом измерительная схема описывается проецированием бифотонного поля на факторизованное линейно поляризованное двухфотонное состояние

П4(а, /3) = \а + (а + 5|| ® \/3 + (/? + (2)

где £ = {з + 2я'}, я, в' = 0,1. Экспериментально установка проектора на угол а(Р) + осуществляется путем поворота полуволновой пластинки в соответствующем канале интерферометра на угол |(|) + При этом вероятность зарегистрировать совпадение фотоотсчетов пары детекторов определяется по формуле а, /3) = П^а. ¡3) |Ф<^) для £ = 0..3.

Произведенный анализ преложенного метода оценки позволил установить оптимальные значения углов а = = для которых величина перепутывания определяется по формуле

¿ = Р0-Р1~Р2+Р2; (3)

а её дисперсия минимальна и определяется по теореме Рао-Крамера. На рис. 2 представлена зависимость оцененного значения перепутывания в семействе чистых состояний (1) для семи значений ф. Разработанный метод может быть обобщен на случай смешанных состояний, определяемых как сумма рассмотренного чистого состояния и некогерентного неполярнзован-ного излучения.

Третий параграф посвящен вопросам оптимизации процедуры статистического восстановления (или томографии) квантового состояния. Под

<е>

Рис. 2. Оценка перепутывания в квантовом пределе. На графике изображены оценочные значения величины перепутывания (I) как функция её точной величины е,. Погрешность величины (с) определяется величиной \/Уаг(г_) х (К), т.е. квадратным корнем из экспериментальной дисперсии, умноженной на общее число совпадений {К). Серая область соответствует значениям в пределах обратной величины квантовой информации Фишера е( ± Н((

квантовой томографией понимается процедура, в результате которой матрица плотности квантового состояния восстанавливается по результатам серии измерений, производимых над набором идентичных копий этого состояния. В общем случае весь протокол квантовой томографии можно записать в матричном виде:

Вр = К (4)

где В — матрица измерений томографического протокола, которая определяется набором состояний, на которые производятся проекционные измерения входного квантового состояния, К — столбец с экспериментальными данными, р — матрица плотности входного состояния, записанная в виде столбца.

Анализ системы (4) приводит к выражению для числа обусловленности матрицы В, определяемого как отношение максимального сингулярного значения матрицы В к минимальному:

При уменьшении минимального сингулярного значения матрицы В система (4) теряет полноту. При этом решение этой системы теряет устойчивость. Наиболее устойчивый протокол должен иметь число обусловленности К. порядка единицы.

о-""

Рис. 3. Схематическое представление состояний, на которые производятся проекционные измерения в протоколе Л6 (слева) и в протоколе Н16 (справа).

В работе произведен анализ трех протоколов томографии четырёхуровневых квантовых состояний. Первый протокол (Л6) предполагает проекционные измерения состояний каждого из кубитов на состояния векторов Стокса. Второй протокол (Б 10) предполагает проекционные измерения состояний каждого из кубитов на состояния, симметрично расположенные на сфере Пуанкаре. Схематическое представление используемых состояний изображено на рис. 3. Третий рассмотренный протокол (В144) преобразует состояние кукварта как целое, и состояния кубитов проецируются на состояния, принадлежащие некоторой траектории на сфере Пуанкаре.

Для смешанных состояний для оценки степени согласия между неизвестным квантовым состоянием и реконструкцией его матрицы плотности следует пользоваться формулой Ульмана:

где ир — теоретическая и восстановленная матрица плотности состояния. Для чистого состояния [¿>2 = р, (р(°))2 = выражение (5) сводится кформуле F = \{фъ\-ф)\2, где \фо) и |ч/>) —теоретический и восстановленный векторы состояния.

Для рассмотренных протоколов Ш6. Л6 и В144 числа обусловленности примерно равны 3, 10 и 60 соответственно. Результаты численного моделирования реконструкции заранее известных состояний (рис. 4) подтверждают предположение, что протокол с меньшим числом обусловленности К, обладает большей точностью восстановления (5) квантового состояния.

1.000

0.996

0.992

. 0.988 л и.

V 0.984 0.980 0.976 0.972

Рис. 4• Зависимость среднего качества восстановления (Г) состояния |Ф~) тремя рассматриваемыми протоколами квантовой томографии как функции числа зарегистрированных событий.

Практическая ценность разработанного подхода состоит в том, что экспериментатор имеет возможность выбрать оптимальным образом параметры установки, исходя из имеющихся технических средств, ещё до начала реконструкции квантового состояния. По результатам восстановления квантового состояния можно оценить, какой из двух факторов — статистические флуктуации или инструментальные погрешности — преобладает в процессе томографии, и сделать заключение о том, может ли увеличение общего числа зарегистрированных событий, а следовательно, времени измерения уменьшить потери точности при реконструкции квантовых состояний.

Глава 2. Квантовая криптография.

Квантовая криптография, или более точно — квантовое распределение ключа, позволяет реализовать абсолютно стойкую систему шифрования с одноразовыми ключами. Безусловно-секретное распространение ключа между пространственно з'даленнымн легитимными пользователями гарантируется фундаментальными законами природы, а не ограниченными вычислительными или техническими возможностями подслушивателя.

Первые два параграфа второй главы содержат информацию о классической симметричной криптографии и обзор наиболее известных и широко применяемых на практике протоколов квантового распределения ключа.

Измерение Состояние

проверочные состояния

ТФ

тт

"Г

]ФТ

Базис

№> |Я2> |Я2>

1^1) т

№\А2)

шт

И1) \А2)

III

|Й1> № № \ь2) |Ь1> |Дг> 1^1) \Ьг)

Таблица 1. Результат проецирования проверочных состояний в факторизован-ные, принадлежащие трем взаимно-несмещенным Базисам.

В третьем параграфе рассмотрены различные схемы подслушивания, которые могут использоваться злоумышленником. Проанализированы вносимые ошибки для некоторых протоколов, используемых при распределении ключа. В основном акцент сделан на сравнение стандартного протокола ВВ84 и расширенного протокола ВВ84, построенного на куквартах.

Показано, что протокол на куквартах. даже при использовании неполного числа взаимно несмещенных базисов, обладает большей секретностью по сравнению со стандартным протоколом на кубитах. Для трех стратегий подслушивания ('прием/пересылка', 'подслушивание в промежуточном базисе' и 'оптимальная атака') произведен расчет скорости распределения ключа в зависимости от интенсивности действий злоумышленника. Выполнена оценка критической величины возмущения в линии связи, при которой протоколы теряют секретность.

В параграфе 4 предложен новый (модифицированный) протокол квантового распределения ключа, в котором наравне с факторизуемыми четырехуровневыми квантовыми состояниями, используемыми для передачи информации, используются четыре максимально перепутанных состояния в качестве проверочных. Вероятности проекционных измерений этих состояний на базисные представлены в таблице 1.

С практической точки зрения при проектировании системы кванто-

дел КП2 ПОД Д2

Рис. 5. Детерминистическая схема измерения состояния бифотонов-куквартов. ДСД — дихроичный светоделитель, па котором происходит разделение входного состояния на пространственные моды с различными длинами волн. Поляризационные преобразователи КП1 и КП2, состоящие из четвертьволновой и полуволновой пластинок, служат для выбора базиса измерения. ПСД — поляризационные светоделители. Схема совпадений с идентификацией входов служит для селекции событий.

вого распределения ключа предпочтение следует отдавать протоколу на факторизованпых состояниях бифотонов-куквартов, принадлежащих трем базисам. Такие состояния легко приготовить, и качество их приготовления — в силу простоты и доступности всех требуемых поляризационных элементов — оказывается весьма велико: вплоть до 99.9%. Простая измерительная схема, представленная на рис. 5, позволяет выполнять детерминистические измерения всех 12 состояний. Использование полного набора из пяти взаимно-несмещенных базисов, включающего восемь перепутанных состояний, нецелесообразно, поскольку, прежде всего, требует построения сложной проекционной схемы. Обсуждаемое в данной работе компромиссное решение — вовлечение четырех (или менее) максимально перепутанных состояний в качестве проверочных, при сохранении 12 факторизованпых состояний в качестве информационных — позволяет обойтись простой измерительной схемой и лишь слегка усложняет приготовительную часть системы КРК. При этом растет скорость генерации ключа при сохранении уровня секретности — результат, неожиданный для схем, использующих состояния высокой размерности, когда платой за рост скорости генерации ключа служит уменьшение секретности.

Глава 3. Использование бифотоиов в квантовой криптографии.

В первом параграфе исследуется вопрос об экспериментальном приготовлении поляризационных состояний бифотонного поля, получаемых в результате спонтанного параметрического рассеяния. Исследуется возможность простой с технической точки зрения реализации задачи о приготовлении произвольного заданного состояния бифотона-кукварта. Первая схема использует 4 нелинейно-оптических кристалла, установленных в плечах интерферометра Маха-Цандера, для приготовления каждого из четырёх базисных состояний. Хотя такая схема и является прямым воплощением в эксперименте математической формы, она содержит большой недостаток, а именно от неё требуется высокая фазовая стабильность интерферометра Маха-Цандера во времени. Встаёт вопрос, можно ли предложить более простую экспериментальную схему? Ответ на этот вопрос оказывается положительным как минимум для семейства чистых состояний куквартов.

В силу того, что бифотон-кукварт на самом деле сформирован из двух поляризационных кубитов, можно показать, что существует набор ортогональных базисов двух подсистем (двух кубитов) |Лг). |В,), г = 1,2, такой, что чистое состояние бнфотона может быть записано в виде разложения Шмидта:

\Ф) = у/хМ\В1) + у/Б\М)\В2)

Если состояние бифотона-кукварта можно выразить через разложение Шмидта (коэффициенты и базисные элементы Шмидта будут меняться для различных состояний), то, значит, можно «собрать» произвольный кукварт, если имеется экспериментальная возможность контролировать этот базис Шмидта.

Экспериментальная установка, представленная на рис. 6, реализует описанные выше принципы. Ультрафиолетовая накачка, поляризация которой контролируется поворотом полуволновой фазовой пластинки ВПО, проходит через два нелинейных кристалла с синхронизмом типа-1, вырезанных для частотно невырожденного неколлинеарного фазового синхронизма. Относительная фаза между ортогональными компонентами накачки изменяется наклоном кварцевых пластинок КП. Исходное состояние бифо-

Рис. 6. Схема установки для приготовления произвольного состояния куквар-та. Схема отражает процесс генерации состояния, описываемого уравнениями (6,8). Величина перепутывания выходного состояния определяется углом поворота полуволновой пластинки ВП в накачке. Выбор базиса Шмидта — положением четверть- и полуволновых фазовых пластинок в каждом канале.

тонного поля на выходе кристаллов имеет вид:

|Ф) = \/хГ|Ял1)|//Л2) + ^[^1)|^> (6)

Для данного состояния бифотона матрица плотности его подсистем (куби-тов) описывается выражением

Рг = Х1\Н№)+Х2\У№ (7)

для обеих подсистем г = 1,2.

На данном этапе приготовлено состояние с заданными значениями коэффициентов Шмидта (т.е. с фиксированным перепутыванием). но в горизонтально-вертикальном базисе. Используя четверть- и полуволновые фазовые пластинки в каждом пучке, можно произвести локальные унитарные преобразования поляризационного состояния каждого из фотонов независимо. В силу того, что унитарное преобразование сохраняет ортогональность входных состояний, для любого наперед заданного квантового состояния в двухмерном гильбертовом пространстве всегда существует ему ортогональное состояние. Другими словами, для уравнения (7) если |#;) -Л |Лг), то всегда Щ) -А |В^) причем (Л;|В;) = 0. В результате этого состояние из уравнения (6) трансформируется в

|Ф)£^ч/^ГИ1}|Л2} + ^|/?1)|В2) (8)

где СД, например, обозначает унитарное преобразование фотона па длине

волны Ль Выражение (8) представляет собой общий вид чистого состояния поляризационного бифотона-кукварта.

Данная схема (рис. 6) является достаточно стабильной в силу того факта, что пары фотонов из обоих нелинейных кристаллов проходят одинаковый оптический путь.

Во втором параграфе третьей главы рассмотрены преимущества использования бифотонов-куквартов по отношению к кубитам в задачах квантовой криптографии на примере расширенного протокола ВВ84 квантового распределения ключа.

В настоящий момент не существует источника достоверно однофотон-ных состояний. В основном для получения таких состояний используются сильно ослабленные лазерные импульсы со средним числом фотонов в импульсе /х <?; 1. Поэтому, когда появляется необходимость в использовании пар фотонов в квантово-информационных задачах, применение двух таких источников является крайне неэффективным в силу того, что вероятность обнаружить пару фотонов в одном импульсе исчезающе мала. В силу того, что в процессе СПР фотоны рождаются парами, данный источник является гораздо более эффективным для указанного класса задач. Регулируя мощность лазера накачки, можно управлять средним числом пар фотонов в импульсе.

Далее показано, что применение схемы парных совпадений для постселекции фотоотсчетов позволяет значительно увеличить соотношение сигнал-шум при использовании реальных однофотонных детекторов с конечной квантовой эффективностью и ненулевой вероятностью темнового фотоотсчета. Так, при квантовой эффективности однофотонных детекторов порядка 60% и ц & 0.1 отношение сигнал-шум для двухфотонной схемы превышает соответствующее отношение для однофотонной схемы более чем в 20 раз.

В последней части диссертационной работы описывается экспериментальная демонстрация принципов работы детерминистического протокола КРК, основанного на поляризационных бифотонах-куквартах, рассмотренного в первой главе.

Поляризационные состояния двухмодовых бифотонов оказываются естественным объектом для реализации детерминистического протокола квантового распределения ключа, использующего полный набор 6 состо-

яний из трех взаимно несмещенных базисов. Поскольку все необходимые состояния факторизованные, для их приготовления достаточно использовать упрощенный вариант схемы, изображенной на рис. 6. ограничиваясь одним нелинейным кристаллом.

Первый пользователь (назовем его Бобом) готовит пары фотонов в состояниях, принадлежащих различным несмещенным базисам, причем фотоны в паре принадлежат разным базисам. Например, можно выбрать следующие 6 состояний:

т, Г>2>, ь2), |А, ц>, |Ои Ь2), IЬи У2), IЬи А>» . (9)

Приготовленное Бобом состояние посылается второму пользователю — условно, Алисе, который осуществляет одно из четырех возможных поляризационных преобразований:

Л ®/2, Х1®х2, гГ,®гГ2, г1®г2, (10)

где I — единичная матрица, а — операторы Паули, действую-

щие в соответствующей моде. В результате состояние либо не изменяется, либо переходит в ортогональное, что позволяет Бобу при проведении проекционного измерения над преобразованным состоянием в том же базисе, в котором он его приготовил, получать детерминированный результат. С экспериментальной точки зрения весь набор преобразований может быть осуществлен с помощью соответствующим образом подобранных кварцевых пластинок.

Одной из целей данной работы была экспериментальная демонстрация возможности приготовления необходимых состояний и осуществления требуемых унитарных преобразований. Схема экспериментальной установки приведена на рис. 7.

В ней можно выделить три основные части: «установка Боба», на которой осуществляется приготовление состояний, «установка Алнсы», реализующая преобразования, и схема поляризационной томографии, позволяющая восстанавливать приготовленный вектор состояния и контролировать правильность выполнения преобразований.

Было проведено две серии экспериментов. В первой из них были приготовлены все шесть состояний и проведена их полная томография, затем каждое из состояний подвергалось преобразованиям вида (10), и для преобразованных состояний также выполнялась томография. Таким образом,

Боб

!: Алиса!

Рис. 7. Схема экспериментальной установки, демонстрирующей принцип работы детерминистического протокола КРК. На «станции Боба* происходит приготовление одного из шести используемых в протоколе факторизованных состояний кукварта. На «станции Алисы» приготовленное состояние преобразуется без изменения базиса. Для контроля процесса приготовления и преобразования оптических состояний используется неселективный томографический протокол.

протокол квантовой томографии использовался дважды — для проверки качества приготовления состояний и для проверки качества выполнения унитарных преобразований (10).

В целом достаточно высокие значения точности приготовления, достигнутые в эксперименте, могут служить подтверждением высокого качества приготовления и преобразования поляризационных состояний. Более высокие значения точности приготовления состояний для первой серии экспериментов позволяют предположить, что основным источником погрешностей является «установка Алисы», а именно неточности в изготовлении кварцевых пластинок, которые могут привести к значительным погрешностям в преобразовании, поскольку используются пластинки принципиально высокого порядка.

Проведенные серии экспериментов не позволяют, разумеется, говорить о практической реализации системы квантового распределения ключа, однако они убедительно свидетельствуют о принципиальной возможности использования поляризационных состояний бифотонов в протоколах рассматриваемого типа.

- 2(1 -

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Предложен и экспериментально реализован протокол, позволяющий производить оптимальную оценку величины переиутывания чистых и смешанных состояний четырехуровневых квантовых оптических систем. По результатам всего четырех проекционных измерений оценивается количественная мера величины нерепутывания с минимально доступной по теореме Рао-Крамера дисперсией.

2. Верифицирован операциональный критерий эффективности протоколов томографии квантового состояния. Произведена томография заданных факторизованных и чистых перепутанных состояний бифотонов-куквартов, получаемых в процессе спонтанного параметрического рассеяния света, тремя типичными протоколами при разных параметрах измерения. Предложенный критерий эффективности полностью согласуется с экспериментальными данными и результатами численного моделирования.

3. Предложен протокол распределения ключа на бифотонах-куквартах с использованием как факторизованных, так и чистых перепутанных состояний. Факторизованные состояния используются для передачи информации, в то время как максимально перепутанные состояния позволяют определять степень возмущения в оптическом канале связи. Проанализированы три основные схемы некогерентных атак на протокол квантового распределения ключа на куквартах.

4. Разработана и реализована схема детерминистического протокола квантового распределения ключа на бифотонах-куквартах. Простая схема приготовления необходимых оптических квантовых состояний состоит из одного нелинейного кристалла и линейных оптических элементов. Предложенная схема детерминистической регистрации позволяет измерять необходимый набор базисных состояний и обладает низким уровнем потерь.

ПУБЛИКАЦИИ

В реферируемых журналах:

[1] Кулик С. П., Шурупов А. П. К вопросу об использовании куквартовдля квантового распределения ключа // ЖЭТФ,— 2007.— Т. 131, № 5.— С. 842-850.

[2j Shurupov А. P., Kulik S. P. Security of Quantum Key Distribution Protocol Based on Ququarts // Quantum Communication and Security / Ed. by M. Zukowski, S. Kilin, J. Kowalik.- IOS Press (NATO Science Series), 2007.-Vol. 11.-Pp. 123-132.

[3] Шурупов А. П., Кулик С. П. Квантовое распределение ключа на бифотоиах-ку квартах с проверочными состояниями // Письма в ЖЭТФ. - 2008. - Т. 88, № 9. - С. 729-733.

[41 S.-Y. Baek, S. S. Straupe, А. P. Shurupov, S. P. Kulik., Y.-H. Kim. Preparation and characterization of arbitrary states of four-dimensional qudits based on biphotons // Phys. Rev. A. — 2008.— Vol. 78, no. 4.— P. 042321.

¡5] A. P. Shurupov, S. S. Straupe, S. P. Kulik, M. Gharib, M. R. B. Wahiddin. Quantum state engineering with ququarts: Application for deterministic QKD protocol 11 Europhys. Lett. - 2009. - Vol. 87, no. 1. - P. 10008.

[6] G. Brida, I. P. Degiovanni, A. Florio, M. Genovese, P. Giorda, A. Meda, M. G. A. Paris, A. Shurupov. Experimental estimation of entanglement at the quantum limit // Phys. Rev. Lett. — 2010,- Vol. 104, no. 10,-P. 100501.

В трудах конференций:

(1] A. P. Shurupov, S. S. Straupe, M. R. B. Wahiddin, S. P. Kulik. Experimental demonstration of QKD deterministic protocol based on polarized biphotons // Proceedings of 17th International Laser Physics Workshop (LPHYS;08). — Trondheim. 2007,- P. 4G4.

[2] Шурупов А. П., Страупе С. С., Кулик С. П., Вахиддин М. Р. Детерминистический протокол квантовой криптографии на основе пар поляризованных фотонов // Тезисы докладов международной конференции «Поляризационная оптика». — Москва, 2008. — С. 106.

[3] А. P. Shurupov, S. S. Straupe, М. R. В. Wahiddin, S. P. Kulik. Experimental demonstration of QKD deterministic protocol based on polarized biphotons // Proceedings of XII International Conference on Quantum Optics and Quantum Information (ICQO'08). — Vilnius, 2008. — P. 67.

[4] A. P. Shurupov, G. Brida, I. Degiovanni, M. Genovese, A. Florio, A. Meda, P. Giorda, M. Paris. Optimal evaluation of entanglement in two qubit system 11 Proceedings of 18th International Laser Physics Workshop (LPHYS'09). - Barcelona, 2009. - P. 568.

[5] I. Degiovanni, G. Brida, A. Florio, M. Genovese, A. Meda, A. Shurupov. Experimental estimation of entanglement at the quantum limit 11 Proceedings of Single Photon Workshop. — Denver, 2009. — P. 105.

Подписано в печать 07.04.10 Формат 60x88 1/16. Объем 1 п.л. Тираж 110 экз. Заказ № 933 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Шурупов, Александр Павлович

Введение

Глава 1 Оптические четырехуровневые системы

§ 1.1 Общие свойства п. 1.1.1 Бифотоны как четырехуровневые системы. Критерий перепутанности для двух кубитов п.1.1.2 Методы приготовления

§ 1.2 Оптимальная оценка величины перепутывания п.1.2.1 Квантовая теория оценок (по литературе) п. 1.2.2 Система двух кубитов п.1.2.3 Оценка величины перепутывания (эксперимент)

§ 1.3 Статистическое восстановление состояний бифотонов-кукварп. 1.3.1 Объект исследования. п. 1.3.2 Томография квантовых состояний. п.1.3.3 Анализ протокола томографии. п.1.3.4 Экспериментальная проверка

Введение диссертация по физике, на тему "Поляризационные состояния бифотонов в протоколах квантовой связи"

Квантовая информация и квантовые вычисления являются на сегодняшний день одними из самых прогрессирующих областей современной науки. В основе квантовых вычислений лежит понятие кубита (от слов "quantum bit", "q-bit"). Кубит — это мера квантовой информации (по аналогии с классическим битом). Физически кубит представляет собой когерентную суперпозицию двух базисных состояний:

Ф> = Со|0> + С1|1> (0.1)

Здесь коэффициенты С{ — комплексные амплитуды, определяющие вероятность нахождения системы в одном из базисных состояний и удовлетворяющие условию нормировки. Физической реализацией кубита может служить чистое состояние любой двухуровневой системы. Возможность кубита находиться в континууме состояний, задаваемых а, в отличие от классического бита, является основным свойством, которое и используется в квантовых алгоритмах. Конечно, следует отметить, что при проведении процедуры измерения над системой (0.1) в выбранном базисе возможно получить только состояние |0) с вероятностью |со|2 или состояние |1) с вероятностью |ci|2. Можно заключить, что до проведения измерения количество информации, «сокрытое» в кубите, бесконечно, однако нам доступен из нее всего лишь один классический бит. Из свойства суперпозиции также вытекает возможность большей плотности записи информации. Так, регистр, состоящий из 500, кубитов способен хранить 2500 комплексных чисел, т.е. больше, чем число атомов в доступной нам Вселенной. На настоящий момент известно множество способов физической реализации кубитов и также большое число квантовых информационных протоколов, использующих кубиты в качестве носителей информации [1, 2].

Среди множества физических реализаций кубитов особое место занимает использование свойств квантованного электромагнитного излучения (фотонов). Фотоны слабо взаимодействуют с окружением, сводя к минимуму эффекты декогерентизации, легко преобразуются с помощью оптических элементов. Именно на основе фотонов были реализованы протоколы квантового распределения ключа [3, 4, 5, 6], квантовой телепортации [7, 8, 9] и плотной кодировки [10, 11].

И с фундаментальной, и с прикладной точек зрения интересен вопрос о расширении гильбертова пространства на случай многоуровневых систем и о тех новых возможностях, которые предоставляют нам многоуровневые системы в квантовой информации. В литературе такие системы получили названия кудитов (q-dits), где d — размерность гильбертова пространства. Вектор состояния кудита можно записать в следующем виде:

Ф> = Ci |1> + С2 |2> + . -н Cd |rf>

Оказалось, что в ряде случаев использование квантовых многоуровневых систем как носителей информации имеет некоторые преимущества по сравнению с кубитами. Во-первых, использование кудитов в протоколе квантового распределения ключа повышает помехостойкость канала в случае определенного класса атак подслушивателя [12, 13, 14, 15, 16]. Во-вторых, на основе многоуровневых систем уже предложены некоторые алгоритмы квантовых вычислений, которые невозможно выполнить с использованием кубитов [17, 18]. В-третьих, перепутанные многоуровневые системы показывают большее отклонение квантовой теории от классической при проверке неравенств Белла [19, 20]. Данное свойство является фундаментальным свойством многоуровневых систем, а также может быть использовано в протоколах квантового распределения ключа. И, наконец, вопрос о генерации, преобразовании и измерении таких состояний представляет значительный интерес с экспериментальной точки зрения.

С операциональной точки зрения эксплуатация любых протоколов квантовой информации и квантовой связи предполагает возможность полного или частичного контроля над параметрами квантового состояния, участвующего в протоколе. Эту цель преследуют процедуры полной и редуцированной томографии. И в первом, и во втором случае встает вопрос о проведении данных протоколов оптимальным образом с точки зрения затраченных экспериментальных ресурсов и времени. В данной работе рассматриваются две процедуры оптимизации протоколов оценки свойств квантовых систем — величины перепутывания и полной томографии квантового состояния.

Бифотонными полями называются поля, состоящие из пар коррелированных фотонов. Наиболее простым способом получения таких полей является использование эффекта спонтанного параметрического рассеяния (СПР) света [21, 22]. При этом эффекте, имеющем место в средах без центра инверсии, происходит распад фотонов лазерной накачки на пары коррелированных фотонов, волновые вектора и частоты которых удовлетворяют условиям пространственного и частотного синхронизма. Пары фотонов, рождающиеся в процессе СПР, могут образовывать так называемое перепутанное (entangled) состояние. По определению, двухчастичное состояние называется перепутанным, если его волновая функция не может быть фак-торизована на волновые функции каждой из подсистем Ф12 -ф Ф1 х Ф2 [23]. Свойства перепутанных состояний лежат в основе многих протоколов квантовых вычислений и квантовой связи. В данной работе исследуется вопрос об оптимальной экспериментальной оценке количественного значения величины перепутывания. Предложен протокол, позволяющий оценить данный параметр с минимальной дисперсией.

Большой интерес представляют бифотонные поля, в которых пара родившихся в процессе СПР фотонов принадлежит одной пространственной моде. Если оба фотона принадлежат также и одной, частотной моде, то произвольное поляризационное состояние такого поля может быть разложено по трем базисным состояниям, то есть представляет собой трехуровневую систему. Если же фотоны принадлежат различным частотным модам, то размерность гильбертова пространства такого состояния равняется четырём. Такие системы получили название кутритов и куквартов соответственно (d = 3,4). Выбор поляризации как параметра, в котором кодируется информация, является удобным с точки зрения эксперимента, так как преобразования над данным параметром можно осуществлять с помощью линейных оптических элементов (фазовые пластинки, поляризаторы и т.д.).

Для успешной реализации того или иного квантово-информационного вычислительного алгоритма требуется иметь полный контроль над используемыми квантовыми состояниями. Под полным контролем здесь понимается а) возможность приготовить квантовую систему в произвольном состоянии, б) возможность проведения заданных преобразований в процессе передачи по каналу связи и в) возможность восстановления состояния системы по некоторому набору измерений (томография квантовых состояний). В настоящей работе рассмотрено три протокола линейного томографического восстановления поляризационного состояния кукварта. Один из них основан на измерении проекций исследуемого состояния в различных поляризационных базисах, образованных векторами Стокса, посредством проведения линейных поляризационных преобразований в плечах интерферометра интенсивностей Брауна-Твисса после пространственного разделения бифотона. Второй протокол аналогичен первому, однако измерения выполняются путем проекции входного состояния на заданный набор состояний, симметрично расположенных на сфере Пуанкаре. Во третьем протоколе поляризационные преобразования осуществляются над бифото-ном как над цельным объектом. К полученным экспериментальным результатам применяются статистические алгоритмы восстановления состояния, что позволяет учесть влияние статистических и аппаратных ошибок, возникающих в эксперименте.

Таким образом, подводя итог вышесказанному, можно сформулировать задачи диссертационной работы:

1. Исследование вопроса оптимальной оценки величины перепутывания двух кубитов, допустимой законами квантовой механики.

Новизна диссертационной работы заключается в следующих положениях:

1. Произведен теоретический анализ и предложена процедура оптимальной оценки величины перепутывания двухкубитного состояния. Экспериментальные результаты полностью подтверждают теоретический лимит точности.

• при реализации протоколов квантового распределения ключа на многоуровневых системах,

• . при реализации протоколов квантовых вычислений с использованием многоуровневых систем.

Результаты работы прошли апробацию на следующих международных и российских конференциях:

Международная конференция «Quantum Communication and Security», Гданьск, Польша, 2006 г., X Международные Чтения по, Квантовой Оптике, Самара, Россия, 2007 г., XI международная молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия», Казань, Россия, 2007 г., международная конференция «17th International Laser Physics Workshop», Тронхейм, Норвегия, 2009 г., международная конференция «XII International Conference on Quantum Optics and Quantum Information» (ICQO'08), Вильнюс, Литва, 2008 г., конференция «Поляризационная оптика», Москва, Россия, 2008 г., международная конференция «18th International Laser Physics Workshop», Барселона, Испания, 2009 г., международная конференция «Single Photon Workshop», Денвер, США, 2009 г.

Диссертационная работа состоит из трех глав, введения и заключения

Первая глава посвящена свойствам оптических четырёхуровневых систем — куквартов, реализованных на основе поляризационных состояний невырожденного по частоте бифотонного поля. Для исчерпывающего описания состояния кукварта используется формализм матрицы когерентности четвертого порядка по полю. Предлагается процедура математической оценки одного из наиболее интересных свойств кукварта — перепутывания — с предельно доступной точностью. Предлагается процедура измерения поляризационного состояния одномодовых бифотонов — томографии куквартов. Представлено три протокола квантовой томографии и обсуждаются особенности их экспериментальной реализации.

Вторая глава содержит обзор наиболее известных и широко применяемых на практике протоколов квантовой криптографии. Далее в ней произведен анализ секретности квантового распределения ключа для трех протоколов. Также в ней предложен новый (модифицированный) протокол квантового распределения ключа, в котором наравне с факторизуе-мыми четырехуровневыми квантовыми состояниями, используемыми для передачи информации, используются четыре максимально перепутанных состояния в качестве проверочных.

Третья глава посвящена использованию поляризационных бифото-нов-куквартов в задачах квантового распределения ключа. Разобраны способы простого приготовления факторизованных состояний куквартов, предложены схемы для создания произвольного состояния кукварта. Описана практическая демонстрация детерминистического протокола КРК.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты диссертационной работы, представляющие собой суть выносимых на защиту положений.

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах*:

Р1. Кулик С. П., Шурупов А. П. К вопросу об использовании куквартов для квантового распределения ключа // ЖЭТФ.— 2007.— Т. 131, № 5.-С. 842-850.

Р2. Shurupov А. P., Kulik S. P. Security of Quantum Key Distribution Pro- -tocol Based on Ququarts // Quantum Communication and Security / Ed. by M. Zukowski, S. Kilin, J. Kowalik. — IOS Press (NATO Science Series), 2007.-Vol. 11.-Pp. 123-132.

РЗ. Шурупов А, П., Кулик С. П. Квантовое распределение ключа на бифотонах-куквартах с проверочными состояниями // Письма в ЖЭТФ. - 2008. - Т. 88, № 9. - С. 729-733.

Р4. Preparation and characterization of arbitrary states of four-dimensional qudits based on biphotons / S.-Y. Baek, S. S. Straupe, A. P. Shurupov et al. // Phys. Rev. A. - 2008. - Vol. 78, no. 4. - P. 042321.

P5. Quantum state engineering with ququarts: Application for deterministic QKD protocol / A. P. Shurupov, S. S. Straupe, S. P. Kulik et al. // Euro-phys. Lett. - 2009. - Vol. 87, no. 1. - P. 10008.

P6. Experimental estimation of entanglement at the quantum limit / G. Brida, I. P. Degiovanni, A. Florio et al. // Phys. Rev. Lett. — 2010.— Vol. 104, no. 10, — P. 100501.

B дальнейшем будут использоваться именно эти обозначения

Заключение диссертации по теме "Лазерная физика"

Заключение

В заключении сформулированы основные результаты данной работы.

1. Предложен и экспериментально реализован протокол, позволяющий производить оптимальную оценку величины перепутывания чистых и смешанных состояний четырехуровневых квантовых систем. По результатам всего четырех проекционных измерений оценивается количественная мера величины перепутывания с минимально доступной по теореме Рао-Крамера дисперсией.

2. Верифицирован операциональный критерий эффективности протоколов томографии квантового состояния. Произведена томография заданных факторизованных и чистых перепутанных состояний би-фотонов-куквартов тремя типичными протоколами при разных параметрах измерения. Предложенный критерий эффективности полностью согласуется с экспериментальными данными и результатами численного моделирования.

3. Предложен протокол распределения ключа на бифотонах-куквартах с использованием как факторизованных, так и чистых перепутанных состояний. Факторизованные состояния используются для передачи информации, в то время как максимально перепутанные состояния позволяют определять степень возмущения в канале связи. Проанализированы три основные схемы некогерентных атак на протокол квантового распределения ключа на куквартах.

4. Разработана и реализована схема детерминистического протокола квантового распределения ключа на бифотонах-куквартах. Простая схема приготовления необходимых квантовых состояний состоит из одного нелинейного кристалла и линейных оптических элементов. Предложенная схема детерминистической регистрации позволяет измерять необходимый набор базисных состояний и обладает низким уровнем потерь.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Шурупов, Александр Павлович, Москва

1. Nielsen М. A., Chuang 1. L. Quantum Computation and Quantum Information. — Cambridge University Press, 2000. — P. 676.

2. Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика Квантовой Информации. — М.: Постмаркет, 2002. — С. 376.

3. Bennett С. Н., Brassard G. Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing // Int. Conf. on Computers, Systems and Signal Processing. (Bangalore, India). — Los Alamitos, С A, USA: IEEE Computer Society, 1984. — Pp. 175-179.

4. Experimental quantum cryptography / С. H. Bennett, F. Bessette, G. Brassard et al. //J. Cryptology. — 1992. — Vol. 5. P. 3.

5. Ekert A. K. Quantum cryptography based on bell's theorem // Phys. Rev. Lett. 1991. — Vol. 67, no. 6. - Pp. 661-663.

6. Practical quantum cryptography based on two-photon interferometry / A. K. Ekert, J. G. Rarity, P. R. Tapster, G. Massimo Palma // Phys. Rev. Lett. 1992. — Vol. 69, no. 9. — Pp. 1293-1295.

7. Teleporting an unknown quantum state via dual classical and einstein-podolsky-rosen channels / С. H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau et al. // Phys. Rev. Lett. — 1993. — Vol. 70, no. 13. — Pp. 1895-1899.

8. Experimental quantum teleportation / D. Bouwmeester, J.-W. Pan, K. Mattle et al. // Nature.— 1997,- Vol. 390, no. 6660,— Pp. 575579.

9. Kim Y.-H., Kulik S. P., Shih Y. Quantum teleportation of a polarization state with a complete bell state measurement // Phys. Rev. Lett. — 2001. Vol. 86, no. 7. - Pp. 1370-1373.

10. Bennett С. H., Wiesner S. J. Communication via one- and two-particle operators on einstein-podolsky-rosen states // Phys. Rev. Lett. — 1992. — Vol. 69, no. 20. Pp. 2881-2884.

11. Dense coding in experimental quantum communication / K. Mattle, H. Weinfurter, P. G. Kwiat, A. Zeilinger // Phys. Rev. Lett. — 1996,— Vol. 76, no. 25. Pp. 4656-4659.

12. Bechmann-Pasquinucci H., Peres A. Quantum cryptography with 3-state systems // Phys. Rev. Lett. — 2000. — Vol. 85, no. 15. —Pp. 3313-3316.

13. Bechmann-Pasquinucci H., Tittel W. Quantum cryptography using larger alphabets // Phys. Rev. A. 2000. - Vol. 61, no. 6. — P. 062308.

14. Security of quantum key distribution using <i-level systems / N. J. Cerf, M. Bourennane, A. Karlsson, N. Gisin // Phys. Rev. Lett.— 2002.— Vol. 88, no. 12. P. 127902.

15. Bruj] D., Macchiavello C. Optimal eavesdropping in cryptography with three-dimensional quantum states // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88, no. 12.-P. 127901.

16. Security of quantum key distribution with entangled qutrits / T. Durt, N. J. Cerf, N. Gisin, M. Zukowski // Phys. Rev. A. — 2003.- Vol. 67, no. 1. — P. 012311.

17. Spekkens R. W., R.udolph T. Degrees of concealment and bindingness in quantum bit commitment protocols If Phys. Rev. A. — 2001.— Vol. 65, no. 1, — P. 012310.

18. Measuring entangled qutrits and their use for quantum bit commitment / N. K. Langford, R. B. Dalton, M. D. Harvey et al. // Phys. Rev. Lett. — 2004, —Vol. 93, no. 5. — P. 053601.

19. Bell inequalities for arbitrarily high-dimensional systems / D. Collins, N. Gisin, N. Linden et al. // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88, no. 4. — P. 040404.

20. Experimental realization of entangled qutrits for quantum communication / R. T. Thew, A. Acin, H. Zbinden, N. Gisin // Quant. Inf. Proc. — 2003. Vol. 4, no. 2. - Pp. 093-101.

21. Клышко Д. H. Когерентный распад фотонов в нелинейной среде // Письма в ЖЭТФ. 1967. - Т. 6. - С. 490-492.

22. Клышко Д. Н. Фотоны и нелинейная оптика. — М.: Наука, 1980,— С. 266.

23. Schrodinger Е. Die gegenwartige situation in der quantenmechanik // Naturwissenschaften. — 1935. — Vol. 23, no. 48. — Pp. 807-812.

24. Богданов Ю. И., Кривицкий Л. АКулик С. П. Статистическое восстановление квантовых состояний оптических трехуровневых систем. // Письма в ЖЭТФ. 2003. - Т. 78, № 6. - С. 804-809.

25. Бифотоны как трехуровневые системы, преобразование и измерение / J1. А. Кривицкий, С. П. Кулик, А. Н. Пенин, М. В. Чехова // ЖЭТФ. 2003. - Т. 124, № 4. - С. 943-955.

26. Statistical reconstruction of qutrits / Y. I. Bogdanov, M. V. Chekho-va, L. A. Krivitsky et al. // Phys. Rev. A. — 2004.— Vol. 70, no. 4.— P. 042303.

27. Hybrid quantum repeater using bright coherent light / P. van Loock, T. D. Ladd, K. Sanaka et al. // Phys. Rev. Lett — 2006,— Vol. 96, no. 24.-P. 240501.

28. Multiparticle state tomography: Hidden differences / P. B. A. Adamson, L. K. Shalm, M. W. Mitchell, A. M. Steinberg // Phys. Rev. Lett.— 2007. Vol. 98, no. 4. - P. 043601.

29. Experimental entanglement of four particles / C. A. Sackett, D. Kielpin-ski, В. E. King et al. // Nature. 2000. - Vol. 404, no. 6775. - Pp. 256259.

30. Measurement of qubits / D. F. V. James, P. G. Kwiat, W. J. Munro, A. G. White // Phys. Rev. A. 2001. - Vol. 64, no. 5. - P. 052312.

31. Orthogonality of biphoton polarization states / M. V. Chekhova, L. A. Krivitsky, S. P. Kulik, G. A. Maslennikov // Phys. Rev. A. — 2004. — Vol. 70, no. 5. P. 053801.

32. Бурлаков А. В., Чехова M. В. Поляризационная оптика бифотонов // Письма в ЖЭТФ. 2002. - Т. 75, № 8. - С. 505-512.

33. Tailoring photonic entanglement in high-dimensional hilbert spaces / H. de Riedmatten, I. Marcikic, V. Scarani et al. // Phys. Rev. A.—2004. — Vol. 69, no. 5. P. 050304.

34. Stucki D., Zbinden H., Gisin N. A Fabry-Perot-like two-photon interferometer for high-dimensional time-bin entanglement j j J. Mod. Opt. —2005. Vol. 52, no. 18. - Pp. 2637-2648.

35. Vaziri A., Weihs G., Zeilinger A. Experimental two-photon, three-dimensional entanglement for quantum communication // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 89, no. 24. - P. 240401.

36. Concentration of higher dimensional entanglement: Qutrits of photon orbital angular momentum / A. Vaziri, J.-W. Pan, T. Jennewein et al. // Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 91, no. 22, — P. 227902.

37. Molina-Terriza G., Torres J. P., Tomer L, Management of the angular momentum of light: Preparation of photons in multidimensional vector states of angular momentum // Phys. Rev. Lett. — 2001. — Vol. 88, no. 1. — P. 013601.

38. Generation of entangled states of qudits using twin photons / L. Neves, G. Lima, J. G. Aguirre Gomez et al. // Phys. Bev. Lett. — 2005. — Vol. 94, no. 10. — P. 100501.

39. Pixel entanglement: Experimental realization of optically entangled d — 3 and d = 6 qudits / M. N. O'Sullivan-Hale, I. Ali Khan, R. W. Boyd, J. C. Howell // Phys. Rev. Lett. 2005. - Vol. 94, no. 22. - P. 220501.

40. Anisotropically and high entanglement of biphoton states generated in spontaneous parametric down-conversion / M. V. Fedorov, M. A. Efremov, P. A. Volkov et al. // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 99, no. 6. — P. 063901.

41. Qutrit state engineering with biphotons / Y. I. Bogdanov, M. V. Chekho-va, S. P. Kulik et al. // Phys. R.ev. Lett. — 2004,- Vol. 93, no. 23,— P. 230503.

42. D'Ariano G. M., Mataloni P., Sacchi M. F. Generating qudits with d = 3,4 encoded on two-photon states // Phys. R.ev. A. — 2005.— Vol. 71, no. 6. — P. 062337.

43. Experimental realization of polarization qutrits from nonmaximally entangled states / G. Vallone, E. Pomarico, F. De Martini et al. // Phys. Rev. A. 2007. - Vol. 76, no. 1. - P. 012319.

44. Realization of four-level qudits using biphotons / G. A. Maslennikov, S. P. Kulik, E. V. Moreva, S. S. Straupe // Phys. Rev. Lett. — 2006,— Vol. 97, no. 2. P. 023602.

45. Polarization states of four-dimensional systems based on biphotons / Y. I. Bogdanov, R. F. Galeyev, G. A. Maslennikov, E. V. Moreva // Phys. Rev. A. — 2006. — Vol. 73, no. 6. — P. 063810.

46. Cramer H. Mathematical Methods of Statistics. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1946. — P. 575.

47. Braunstein S. L., Caves С. M. Statistical distance and the geometry of quantum states // Phys. Rev. Lett. — 1994. — Vol. 72, no. 22. — Pp. 34393443.

48. Braunstein S. L., Caves С. M., Milburn G. J. Generalized uncertainty relations: Theory, examples, and Lorentz invariance // Ann. Phys. — 1996,-Vol. 247, no. l.-Pp. 135-173.

49. Fujiwara A., Imai H. Quantum parameter estimation of a generalized Pauli channel // J. Phys. A: Math. Gen. — 2003,- Vol. 36, no. 29,— Pp. 8093-8103.

50. Genoni M. G., Giorda P., Paris M. G. A. Optimal estimation of entanglement // Phys. Rev. A. — 2008. Vol. 78, no. 3. — P. 032303.

51. Vidal G., Werner R. F. Computable measure of entanglement // Phys. Rev. A. 2002. - Vol. 65, no. 3. - P. 032314.

52. Paris M. G. A. Quantum estimation for quantum technology // Int. J. Q. Inf. 2009. - Vol. 7. - Pp. 125-137.

53. Jaeger G., Home M. A., Shimony A. Complementarity of one-particle and two-particle interference // Phys. Rev. A. — 1993. — Vol. 48, no. 2. — Pp. 1023-1027.

54. Клышко Д. H. Поляризация света: эффекты 4-го порядка // ЖЭТФ. 1997. - Т. 111, № 6. - С. 1955.

55. Karassiov V. P. Polarization structure of quantum light fields: a new insight, general outlook // J. Phys. A. — 1993,— Vol. 26, no. 17.— Pp. 4345-4354.

56. Карасев В. П., Кулик С. П. Поляризационные преобразования много-модовых световых полей // ЖЭТФ. 2007. - Т. 131, № 1. - С. 37-53.

57. Twiss R,. Q.f Little A. G., Brown R. H. Correlation between photons, in coherent beams of light, detected by a coincidence counting technique // Nature. 1957. - Vol. 180. - Pp. 324-326.

58. Богданов Ю. И. Основные понятия классической и квантовой статистики: корневой подход // Опт. и спектр. — 2004.— Т. 96, № 5.— С. 735-746.

59. Jozsa R. Fidelity for mixed quantum states //J. Mod. Opt. — 1994. — Vol. 41, no. 12.-Pp. 2315-2323.

60. Kress R. Numerical Analysis. — Springer-Verlag New York, Inc., 1998. — P. 344.

61. Penrose R. A generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Phil. Soc. Vol. 51. - 1955. - Pp. 406-413.

62. Богданов Ю. И. Унифицированный метод статистического восстановления квантовых состояний, основанный на процедуре очищения // ЖЭТФ. 2009. - Т. 135, № 6. - С. 1068-1078.

63. Choice of measurement sets in qubit tomography / M. D. de Burgh, N. K. Langford, A. C. Doherty, A. Gilchrist // Phys. Rev. A.— 2008.— Vol. 78, no. 5. P. 052122.

64. R.ehacek J.} Englert B.-G., Kaszlikowski D. Minimal qubit tomography // Phys. R.ev. A. 2004. - Vol. 70, no. 5. - P. 052321.

65. Experimental polarization state tomography using optimal polarimeters / A. Ling, K. P. Soh, A. Lamas-Linares, C. Kurtsiefer // Phys. R.ev. A.— 2006. Vol. 74, no. 2. - P. 022309.

66. Математическое моделирование характеристик точности в задачах прецизионной квантовой томографии двухфотонных состояний / Ю. И. Богданов, Р. Ф. Галеев, С. П. Кулик, Е. В. Морева // Опт. и спектр. 2007. - Т. 103, № 1. - С. 112-120.

67. Wiesner S. Conjugate coding // SIGACT News.- 1983,- Vol. 15, no. 1,- Pp. 78-88.

68. Shannon С. E. Communication theory of secrecy systems // Bell System Technical Journal. — 1949. Vol. 28, no. 4. — Pp. 656-715.

69. Shor P. W. Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring // SFCS '94: Proceedings of the 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science. — Washington, DC, USA: IEEE Computer Society, 1994. — Pp. 124-134.

70. Wootters W. K., Zurek W. H. A single quantum cannot be cloned // Nature. — 1982. — Vol. 299. — Pp. 802-803.

71. Quantum cryptography / N. Gisin, G. Ribordy, W. Tittel, H. Zbinden // Rev. Mod. Phys. — 2002. — Vol. 74, no. 1. — Pp. 145-195.

72. Single-photon interference experiment over 100 km for quantum cryptography system using a balanced gated-mode photon detector / H. Kosaka,

73. A. Tomita, Y. Nambu et al. // Electronics Letters. — 2003. Vol. 39,— P. 1199.

74. Quantum key distribution over 67 km with a plug&play system / D. Stuc-ki, N. Gisin, O. Guinnard et al. // New J. Phys. — 2002. Vol. 4. — P. 41.

75. Narrowband polarization-entangled photon pairs distributed over a WDM link for qubit networks / S. Sauge, M. Swillo, S. Albert-Seifried et al. // Opt. Express.— 2007. —Vol. 15, no. 11. —Pp. 6926-6933.

76. High-fidelity transmission of polarization encoded qubits from an entangled source over 100 km of fiber / H. Hiibel, M. R. Vanner, T. Lederer et al. // Opt. Express. — 2007. — Vol. 15, no. 12, — Pp. 7853-7862.

77. Elliott C., Pearson D., Troxel G. Quantum cryptography in practice // SIGCOMM '03: Proceedings of the 2003 conference on Applications, technologies, architectures, and protocols for computer communications.— New York, NY, USA: ACM, 2003.- Pp. 227-238.

78. The SECOQC quantum key distribution network in Vienna / M. Peev, C. Pacher, R. Alleaume et al. // New J. Phys. — 2009. — Vol. 11, no. 7. — P. 075001.

79. Entanglement-based quantum communication over 144 km / R. Ursin, F. Tiefenbacher, T. Schmitt-Manderbach et al. // Nat. Phys. — 2007.— Vol. 3, no. 7. — Pp. 481-486.

80. High-fidelity transmission of entanglement over a high-loss free-space channel / A. Fedrizzi, R. Ursin, T. Iierbst et al. // Nat. Phys. — 2009. — Vol. 5, no. 6,- Pp. 389-392.

81. Experimental verification of the feasibility of a quantum channel between space and Earth / P. Villoresi, T. Jennewein, F. Tamburini et al. // New J. Phys. 2008. - Vol. 10, no. 3. - P. 033038.

82. Wootters W. K., Fields B. D. Optimal state-determination by mutually unbiased measurements // Ann. of Phys. — 1989. — Vol. 191.—P. 363.

83. Sych D. V., Grishanin B. A., Zadkov V. N. Quantum cryptography with continuous alphabet // Laser Physics. — 2004. — Vol. 14, no. 10. — Pp. 1314-1321.

84. Lucamarini M., Mancini S. Secure deterministic communication without entanglement // Phys. Rev. Lett. — 2005. — Vol. 94, no. 14. — P. 140501.

85. Shaari J. S., Lucamarini M., Wahiddin M. R,. B. Deterministic six states protocol for quantum communication // Phys. Lett. A. — 2006.— Vol. 358. Pp. 85-90.

86. Молотков С. H. Экспериментальная схема квантовой криптографии на неортогональных состояниях с временным сдвигом и минимальным числом оптических компонент // Письма в ЖЭТФ.— 2003.— Т. 78, № 10,- С. 1156-1161.

87. Bennett С. Н. Quantum cryptography using any two nonorthogonal states // Phys. Rev. Lett. — 1992. — Vol. 68, no. 21. —Pp. 3121-3124.

88. Asplund R,., Bjork G., Bourenanne M. An expectation value expansion of hermitian operators in a discrete hilbert space // J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. — 2001. Vol. 3. — Pp. 163-170.

89. Bourennane M., Karlsson A., Bjork G. Quantum key distribution using multilevel encoding // Phys. Rev. A. — 2001.— Vol. 64, no. 1.— P. 012306.

90. Caruso F., Bechmann-Pasquinucci H., Macchiavello C. Robustness of a quantum key distribution with two and three mutually unbiased bases // Phys. Rev. A. — 2005. — Vol. 72, no. 3,- P. 032340.

91. Buzek V., Hillery M. Universal optimal cloning of arbitrary quantum states: From qubits to quantum registers // Phys. Rev. Lett. — 1998. — Vol. 81, no. 22,- Pp. 5003-5006.

92. Sych D. V., Grishanin B. A., Zadkov V. N. Critical error rate of quantum-key-distribution protocols versus the size and dimensionalityof the quantum alphabet // Phys. Rev. A. — 2004.— Vol. 70, no. 5.— P. 052331.

93. Vaidman L., Yoran N. Methods for reliable teleportation // Phys. R.ev. A. 1999. - Vol. 59, no. 1. - Pp. 116-125.

94. Liitkenhaus N.} Calsamiglia J., Suominen K.-A. Bell measurements for teleportation // Phys. R.ev. A. 1999. - Vol. 59, no. 5. — Pp. 3295-3300.

95. Кулик С. П., Масленников Г. А., Морева Е. В. К вопросу о практической квантовой криптографии на многоуровневых системах // ЖЭТФ. 2006. - Т. 129, № 5. - С. 814-829.

96. Shih Y. Н., Alley С. О. New type of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm experiment using pairs of light quanta produced by optical parametric down conversion // Phys. Rev. Lett. — 1988. — Vol. 61, no. 26. — Pp. 2921-2924.

97. Manipulating biphotonic qutrits / B. P. Lanyon, T. J. Weinhold, N. K. Langford et al. // Phys. Rev. Lett. — 2008.— Vol. 100, no. 6.— P. 060504.

98. Experimental realization of polarization qutrits from nonmaximally entangled states / G. Vallone, E. Pomarico, F. D. Martini et al. // Phys. Rev. A. — 2007. — Vol. 76, no. 1. — P. 012319.

99. Kim Y.-H., Kulik S. P., Shih Y. Bell-state preparation using pulsed non-degenerate two-photon entanglement // Phys. Rev. A. — 2001. — Vol. 63, no. 6. — P. 060301.

100. Cmpayne С. С., Кулик С. П. К вопросу о приготовлении перепутанных пар поляризационных кубитов в частотно-невырожденном режиме // ЖЭТФ. 2010. - Т. 137, № 2. - С. 211-219.

101. Gisin N., Popescu S. Spin flips and quantum information for antiparallel spins j j Phys. Rev. Lett — 1999, —Vol. 83, no. 2, — Pp. 432-435.1. Благодарности

102. В заключение, пользуясь предоставленной возможностью, мне хотелось бы выразить чувство глубокой признательности своему научному руководителю профессору Сергею Павловичу Кулику за неоценимую помощь в создании диссертации.