Построение теории движения Фобоса для навигационного обеспечения проекта Фобос-Грунт тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

□ □344

ШИШОВ ВЛАДИМИР АЛЕКСЕЕВИЧ

ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ФОБОСА ДЛЯ НАВИГАЦИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ПРОЕКТА ФОБОС-ГРУНТ

Специальность 01.02.01- теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 о СЕН 2008

Москва - 2008

003447355

Работа выполнена в Институте прикладной математики им.М.В .Келдыша РАН.

Научный руководитель: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Аким Эфраим Лазаревич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Голубев Юрий Филиппович, кафедра теоретической механики, механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова.

доктор физико-математических наук, Емельянов Николай Владимирович, отдел небесной механики ГАИШ МГУ им. М.В. Ломоносова.

Ведущая организация: Институт космических исследований РАН.

Защита диссертации состоится « ^ • » 2008 г. в час. на заседании диссертационного совета Д 002.024.01 при Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан сентября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

Т.А. Полилова

Общая характеристика работы

Актуальность темы

На 2009 год в России запланирован полет космического аппарата (КА) Фобос-Грунт с целью доставки на Землю образцов грунта спутника Марса Фобоса. Он будет проходить по следующей схеме' перелет КА от Земли к Марсу, выход на орбиту спутника Марса, движение вокруг Марса по орбитам наблюдения и квазисинхронной орбите, посадка на Фобос, забор грунта и старт по направлению к Земле Баллистико-навигационное обеспечение (БНО) этого проекта предусматривает совместное определение параметров орбиты КА и параметров орбиты Фобоса К точности определения параметров движения КА относительно Фобоса предъявляются высокие требования: ошибка относительного положения не должна превышать 3 км, а ошибка относительной скорости 1 м/сек Это необходимо для безопасной посадки спускаемого аппарата на выбранное место на Фобосе.

Такие точности относительного движения КА достигаются как путем использования радиотехнических траекгорных измерений КА, проводимых с наземных измерительных пунктов, так и наблюдениями поверхности Фобоса с борта КА К последним относятся телевизионные изображения Фобоса и измерения лазерного дальномера, проводящиеся с орбит наблюдения и квазисинхронной орбиты Вблизи Фобоса аппарат должен выполнить ряд сложных динамических операций, обеспечивающих переход на орбиту с заданными параметрами перед посадкой При этом КА будет находиться в сфере действия гравитационных полей Солнца, Марса и Фобоса. Из-за воздействия полей Марса и Фобоса его орбита значительно отличается от эллиптической, что создает большие трудности для БНО в плане применения аналитических методик Они могут быть преодолены только при использовании высокоточной численной модели движения КА При этом дифференциальные уравнения для Фобоса и КА должны быть совместимыми, интегрироваться одновременно и использовать одинаковые астрономические постоянные, поскольку уточнение параметров орбит КА и Фобоса должно происходить в рамках единой модели.

Учитывая сказанное, тема диссертации, посвященной построению численной теории движения Фобоса для навигационного обеспечения полета КА Фобос-Грунт, является актуальной Целью работы является

• Построение эфемериды Фобоса, предназначенной для использования, как в проектных расчетах, так и для навигационного обеспечения полета КА вблизи Фобоса

• Оценка точности полученной эфемериды

• Разработка методики построения и основных элементов программного

комплекса, предназначенного для совместного определения орбит КА и Фобоса

• Уточнение векового ускорения и массы Фобоса Научная новизна работы

• По измерениям, охватывающим протяжённый интервал 128 лет, разработана теория движения Фобоса на основе динамической модели, базирующейся на законах движения материального тела и не содержащей избыточного количества уточняемых параметров. Такой подход обеспечивает расчёт параметров движения КА и Фобоса в рамках единой высокоточной модели движения Эта модель опирается на использование наиболее достоверных астрономических постоянных Большая часть теорий разработанных ранее базируется на аналитическом расчете и содержит избыточное число взаимозависимых уточняемых параметров, что делает невозможным совмещение этих теорий с динамикой движения КА

• Предложен метод совместного уточнения параметров движения КА и Фобоса по данным наземных оптических измерений Фобоса и измерений, выполненных с борта космических аппаратов Метод разделяет задачу формирования системы нормальных уравнений на несколько подсистем, каждая из которых представляет собой задачу обработки определенного набора измерений на текущей итерации.

• Предложен метод обработки радиотехнических измерений КА, проводящихся вблизи Фобоса. Эти измерения наиболее чувствительны к изменению положения Фобоса из-за влияния его притяжения на орбиту КА. Учёт этого явления важен при построении теории движения Фобоса и для этой цели применяется впервые

• Впервые для уточнения орбиты использованы наблюдения прохождений Фобоса по диску Солнца с американских марсоходов, находящихся на поверхности Марса

Практическая значимость работы

Реализованная методика построения программного комплекса и его основные элементы будут использованы при навигационном обеспечении полета КА Фобос-Грунт Эфемерида Фобоса используется в настоящее время для проектных расчетов при моделировании движения КА на различных участках полета.

Результаты, выносимые на защиту

• Численная теория движения Фобоса, предназначенная для БНО полета КА Фобос-Грунт, основанная на динамической модели, не содержащей избыточного количества уточняемых параметров на мерном интервале 128 лет.

• Методика построения программного комплекса, предназначенного для совместного определения параметров орбит КА и Фобоса

t Разработанные методы и алгоритмы моделирования наземных оптических измерений Фобоса, телевизионных измерений, проведенных с борта КА, лазерных измерений, выполненных КА Mars Global Surveyor.

• Методика использования для уточнения теории движения Фобоса наблюдений прохождения Фобоса по диску Солнца с аппаратов, находящихся на поверхности Марса.

• Метод совместного уточнения параметров движения КА и Фобоса по данным наземных радиотехнических измерений, содержащих информацию о гравитационном влиянии Фобоса на движение КА Апробация работы

Результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих семинарах и конференциях

• Семинар ИПМ им М.В. Келдыша «Солнечная система и смежные проблемы физики и механики» под руководством академика РАН Марова M Я., член-корр. РАН проф Акима ЭЛ., проф. Колесниченко А В, дважды в 2006 и 2007 годах

• Семинар кафедры небесной механики ГАИШ, 2006 г

• 17-ый международный симпозиум по динамике космического полета, Россия, Москва, 2003 г

• 18-ый международный симпозиум по динамике космического полета, Германия, Мюнхен, 2004 г

• 20-ый международный симпозиум по динамике космического полета, США, Аннаполис, 2007 г

Публикации по теме диссертации приведены в списке работ в конце автореферата

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и библиографического списка из 115 наименований Работа изложена на 113 страницах машинописного текста, содержит 54 рисунка, 16 таблиц

Содержание работы

Во введении дан обзор работ выполненных ранее и посвященных теории движения Фобоса Указано, что разработанные теории можно разделить на два типа - динамической и кинематическои (в терминологии Синклера (Sinclair (1989)) Динамические модели предполагают использование наиболее достоверных астрономических постоянных, которые не входят в число уточняемых параметров, а также необходимых эфемерид тел, возмущающих

движение рассматриваемого объекта К таковым относятся эфемериды и гравитационные постоянные планет и Солнца, параметры гравитационных полей Марса и Фобоса, эфемерида и гравитационная постоянная Деймоса Все эти возмущающие факторы влияют на движение КА и Фобоса Для правильного учета возмущающего действия полей использованы формулы, рекомендованные Международным астрономическим союзом (MAC) Однако для Фобоса использование этого минимально необходимого набора констант оказывается недостаточным

Сущность кинематического подхода состоит в том, что в результате упрощения уравнений движения и введения множества параметров, необходимых при этом, получаются уравнения, которые можно решить аналитически последовательными приближениями, сохраняя в правых частях сначала вековые, потом периодические члены Сами уравнения записываются таким образом, чтобы угловые параметры орбиты Фобоса отсчитывались от специально выбранной плоскости - плоскости Лапласа, в которой большие периодические возмущения от сжатия Марса и от Солнца уничтожают друг друга Основными опорными плоскостями являются плоскость инерциальной системы координат (экватор эпохи) и плоскость Лапласа. В результате появляется необходимость отслеживания вращения этой плоскости. В итоге возникает избыточное количество уточняемых параметров, которые выступают как параметры согласования той или иной теории с измерениями

К таковым теориям относятся теории Синклера (Sinclair, 1972) или Якобсона (Jacobson, 1989). Во втором случае число уточняемых параметров составляет 14. Версию теории Синклера от 1989 года сам он называет динамической В целом с этим можно согласиться, поскольку 17 уточняемых параметров (для Фобоса) включают в себя некоторые физические параметры, относящиеся к полю Марса, его вращению, т е. параметры динамически увязаны с принятой моделью, их число, по словам Синклера, минимально, не динамический параметр - вековое ускорение. Автор признает, что часть параметров известна лучше из других источников, а их уточнение служит в качестве проверки и для оценки достоверности принятой модели

К подобной теории следует отнести и теорию движения, разработанной коллективом авторов из ГАШП - Емельянов, Вашковьяк, Насонова (Emelyanov et al, 1993) Была использована оригинальная аналитическая теория движения спутников планет Эта теория является динамической (исключение - вековое ускорение) В число уточняемых параметров включены 3 коэффициента разложения потенциала Марса по сферическим функциям, гравитационная постоянная Марса, координаты северного полюса и константы его прецессии, параметры, характеризующие ориентацию Солнечной системы относительно системы координат, связанной со звездами

Кинематический подход реализован в работах Шора (Shor, 1975, Шор, 1988), Морли (Morley, 1990), Шапрон-Тузе (Shapront-Touze, 1988,1990) В этом смысле последняя работа является наиболее продвинутой она учитывает

практически все возмущающие факторы вплоть до влияния гравитационного поля Фобоса на его поступательное движение. В ней прямоугольные координаты Фобоса представлены в виде рядов Фурье с коэффициентами в виде линейных комбинаций фундаментальных аргументов В результате уточняются не только 6 средних элементов, но и поправки к средним движениям перицентра и узла, вековое ускорение Фобоса, что характерно для кинематического подхода

Для описания векового изменения в долготе все авторы вводят дополнительный уточняемый параметр Явление замедления в движении Фобоса открыл Шарплесс в 1945 году (Уеуегка, 1980). Оно свидетельствует о потере энергии Фобоса вследствие приливного эффекта внутри Марса. Учет этого явления в данной работе осуществляется в рамках традиционного аналитического подхода изменением долготы Фобоса, а не путем включения в уравнения движения Фобоса наряду с другими возмущающими факторами, что дает вычислительную эффективность и возможность прямого сравнения с результатами ранее сделанных работ

Создание численной теории движения космического объекта с использованием разного типа измерений предполагает моделирование движения с учетом разнообразных возмущающих факторов, моделирование этих измерений с учетом их влияния на формирование орбиты, создание алгоритмов уточнения параметров движения, прогнозирование движения объекта и оценку точности орбиты в необходимом интервале времени. Все перечисленные этапы осуществляются в рамках принятых моделей времени и систем координат Поэтому в первой главе описаны используемые в работе шкалы времени и системы координат Разные типы возмущений удобно описывать и вычислять в разных системах координат Например, возмущения от гравитационного поля планеты вычисляются в системе координат, связанной с фигурой этой планеты, которая совершает вращательное движение Сами же уравнения движения описываются в инерциальной системе координат Значит, возмущающие ускорения необходимо переводить из одной системы в другую Сами измерения могут быть приписаны к разнообразным инерциальным системам, т е. необходимо при переходе от системы к системе выполнять редукционные вычисления и тд Необходимый материал по установлению связей между использованными системами координат содержится в главе 1.

Глава 2 посвящена описанию модели движения Фобоса. Модель учитывает возмущающие ускорения, вызванные нецентральностью поля тяготения Марса, гравитационное влияние Солнца, Деймоса, плане г, вековое ускорение Фобоса, возникающее из-за воздействия приливных сил, а также влияние гравитационного поля Фобоса на его поступательное движение вокруг Марса

Расчет кинематических параметров Фобоса осуществляется численным интегрированием уравнений его движения в элементах, чем достигается

увеличение скорости интегрирования по сравнению с интегрированием в прямоугольных координатах. Уравнения учитывают все упомянутые выше возмущения, за исключением воздействия приливных сил В настоящей работе вековое смещение Фобоса вдоль своей траектории производится изменением момента времени í'n прохождения ближайшего к текущему моменту времени t узла орбиты, на величину At = vz{t -t0)2 /2, где t0 начальный момент измерения времени (начальная эпоха) Такой подход полностью эквивалентен традиционному изменению долготы, но больше соответствует использующейся форме записи уравнений движения и набору орбитальных элементов. Коэффициент VT связан с вековым ускорением в долготе формулой vL = nvJ 2

Модифицированное представление возмущающей функции от поля Марса позволяет его использование в окрестности полюсов, что важно с вычислительной точки зрения для орбиты КА Кроме того, используются ненормализованные коэффициенты, что повышает скорость вычислений Для вычисления возмущений от Солнца и планет используются таблицы эфемерид DE405. Они были переписаны с сайта horizons@ssd ipl nasa gov на интервале 1800-2100 гг. в формате, который поставляет источник эфемерид и преобразованы в полиномы Чебышева для каждой планеты и Луны, для чего использовались специально написанные программы

Влияние измерений хро на процесс уточнения параметров движения д0 объекта осуществляется через производные от расчетных значений Рс(Х(Шо>0) измерений по уточняемым параметрам. Здесь X(q(qQ,tj)

вектор состояния X = •< _ f из вектора прямоугольных координат г и вектора

И

скорости V Получение уравнений в вариациях для элементов Г 8q Л

= G(t,q) трудная задача. Проще, исходя из уравнений движения в

d_ dt

V^o у

прямоугольных координатах —— = ^(Х), написать уравнения в вариациях в

Л

й

прямоугольных координатах —

ей

v^oy

dF 8Х

= — — и воспользоваться дХ дХ0

соотношением -= —=--=--Итак, для получения

¿Ш) 8Х(0 8Х0((0) с%(10)

производных от вычисленного вектора измерений на момент измерения по уточняемым параметрам необходимо интегрировать уравнения в вариациях в

Л д&сЮ

форме для прямоугольных координат, вычислять градиенты с и иметь

зх

на момент начальных условий матрицу производных —3. Эта матрица

дq

выписана в явном виде, градиенты выписаны для каждого типа измерений Поскольку к точности вычисления производных высокие требования не предъявляются (они применяются в итерационном сходящемся процессе), то и в правых частях уравнений в вариациях возмущения учитываются в упрощенном виде от Солнца и планет, от поля Марса используется возмущение только от сжатия.

По радиотехническим измерениям КА с Земли при условии, что КА близко подходит к Фобосу (гравитационные измерения), можно поставить

задачу уточнения ¡Лрк Для этого надо знать значения -- на момент

ЭМрь

измерения (Хцд вектор состояния К А), что также достигается интегрированием шести уравнений в вариациях

Л

/ — N -— — — f \

dJui

дЕ dF2 дХКА -'-+ _2 ,где F1 = ¡лп

\ ^H-Ph у

г~гкл г

И3у

dMph дХк4 дцРИ

a F2 представляет собой сумму возмущений от Марса, поля Марса,

Солнца, планет и Фобоса.

Для уточнения векового ускорения Фобоса v необходимо знать его влияние на текущее значение вектора tyc(t), соответствующее вектору

измерения ц/ (?), те производную —. Для ее вычисления необходимо

dv

после исправления времени прохождения узла tQ — tQ + V\t —10)2 il, где t0

дХ

начальная эпоха, определить матрицу —и сделать умножение

dq

d(j7c Ъ\рс дХ dq (dq Y

-= —=———, где —

дv дХ dq dv \dv J

В этой же главе приведены значения гравитационных постоянных планет и Солнца, полей Марса и Фобоса

Глава 3 посвящена описанию всех типов измерений и методикам их вычислений вместе с градиентами. При построении теории использованы оптические измерения на интервале времени 1877-1989 годы, телевизионные измерения Фобоса с борта КА Mariner-9 (1971-1972 годы), Vikmg (1976-1978 годы), Фобос-2 (1989 год), Mars Express (2005 год), измерения лазерного

= {одо,О,О,(;-/0)2/2}

дальномера (MOLA) с борта Mars Global Surveyor (MGS) (1998год), измерения углового расстояния между центром Фобоса и центром солнечного диска при наблюдениях с находящихся на поверхности Марса американских роверов Spirit и Opportunity (2004 год). Траекторные измерения КА, находящегося вблизи Фобоса, содержат важную информацию о его гравитационной постоянной. Такие измерения были использованы для КА Фобос-2 и MGS, поскольку они сближались с Фобосом и под воздействием его гравитации меняли траекторию. Виды измерений показаны на рис. 1 Здесь же пунктиром показано место будущего КА Фобос-Грунт и виды измерений, которые будут проводиться с его борта и со станций слежения на Земле.

Оптические измерения начали проводить в 19 веке и продолжались весь 20 век на нескольких обсерваториях В следующих таблицах 1-3 представлены сведения о типах измерений, мерных интервалах, количестве измерений, а также их качестве через значение среднеквадратической ошибки (СКО) рассогласований измеренных значений от расчетных, полученных после окончательной обработки всех измерений. Измерения состоят из пар (S,P), {dx,dy), (da,dd), образующих три типа, и являются дифференциальными,

Марс Американские марсоходы Spint и Opportunity

1

Прохождения Фобоса по диску Солнца

1

Фпбпс

Телевизионные наблюдения

Viking

Mariner-

Mars Express

Локация Фобоса

Гравитационные измерения

______1________

г Фобос- Грунт

Фобос-2

Астрометрия

Mars Global Surveyor

Земля

Станции слежения

Телескопы

Рис.1. Виды измерений Фобоса.

Сама экваториальная система, с которой соотнесены измерения, может быть привязана либо к дате измерения, либо фиксируется на одну из стандартных

эпох Возможны разнообразные комбинации, при этом для получения расчетного значения необходимо переходить из системы координат, в которой получаются прямоугольные координаты объекта и Марса (J2000) в эпоху измерений Такая же трансформация необходима для измерительного пункта на Земле. Вычисленные градиенты из эпохи измерений переводятся в эпоху J2000 Вектора определяются с учетом времени распространения света

Наблюдения Фобоса с космических аппаратов проводятся с 1971 года Впервые это сделал Mariner-9 Состав измерений представлен в Таблице 4 С американских аппаратов Mariner-9, Viking были получены изображения Фобоса на фоне звездного неба, они были преобразованы в координаты центра фигуры Фобоса - прямое восхождение и склонение a,S в инерциальной геоэкваториальной системе координат В1950. с центром в КА На телевизионных снимках с КА Фобос-2 не удалось получить изображения опорных звезд, и привязка к инерциальной системе осуществлялась с использованием данных системы ориентации КА, что приводит к ухудшению точности координат Фобоса Для европейского КА Mars Express координаты Фобоса a,S даются в той же системе координат, но эпохи J2000. Координаты КА хК4, уКА, zKA считаем известными в той же системе Поскольку пара углов a, S получается в результате обработки одного снимка, эти измерения не являются независимыми наблюдениями, они должны рассматриваться как векторное измерение и сопровождаться ковариационной матрицей ошибок. Для описания телевизионных измерений проводится следующее построение' угловые координаты et, S преобразуются в координата единичного вектора, направленного от КА к центру Фобоса Вычисляются координаты этого вектора-измерения в системе J2000 Вычисляется весовая матрица из предположения одинаковой точности по разным направлениям от линии визирования Формируется пакет измерений, в который входят также координаты КА В процессе интегрирования по достижении времени из пакета вычисляется тот же самый вектор и производные от его компонент по координатам и компонентам скорости Фобоса Эти производные и рассогласования компонентов векторов задействованы в процессе определения орбит (см главу 4) Для КА Mariner-9, Viking, Фобос-2, Mars Express координаты считаются известными, они определялись в ходе полетов этих КА В предстоящей миссии Фобос-Грунт координаты КА будут определяться в ходе совместного уточнения орбит как Фобоса, так и КА, в том числе и по угловым измерениям Фобоса Следовательно, необходимо знать производные по координатам и скоростям КА в эпохе J2000. Формулы приводятся

Результаты лазерной локации (MOLA) поверхности Фобоса взяты с сайта ftp//ltpftp gsfc nasa gov/proiects/tharsis/MOLA/PHOBOS/ Для

использования этих измерений необходимо знать вектор Марс-Фобос rMPh и вектор Марс-КА FKiKA Сайт информационной системы NAIF для получения

Таблица 1 Измерения углового расстояния Фобоса от Марса S и

позиционного угла Р (Тип 0)

Международный номер обсерватории, ее название, мерный интервал Угловое расстояние 5 Позиционный угол р

Количество СКО Количество СКО

измерений « измерений О

(001) Crowborough 1909 9 0.96 44 2.00

(084) Пулково 1886-1988 25 0 56 25 1 09

(503)Cambridge 1894 54 0 60 26 2.29

(522) Strasbourg 1896-1909 7 0 60 7 3.26

(662) Lick 1888-1924 607 0.31 335 1 03

(689) Flagstaff 1969-1986 5 0.15 5 0.17

(742) Drake 1877-1879 13 1 29 14 2.92

(786) TJSNO 1894-1988 133 0.59 145 0 97

(787) USNO 1877-1892 113 0 79 112 1.20

(802) Harvard 1877-1879 20 1 25 96 1 83

(950) LaPalma 1988 88 0 15 88 0.23

Таблица 2. Измерения положения Фобоса относительно центра Марса в прямоугольных координатах дх,йу (Тип 1)

Международный номер Координата Координата

обсерватории, её название, dx dy

мерный интервал Количество СКО Количество СКО

измерений tf измерений и

(084) Пулково 1956-1988 44 0.76 44 0.59

(085) Киев 1971-1988 113 1 15 114 0.83

(094)Крым Симеиз 1988 3 0.60 3 0 84

(114) Engelhardt 1988 6 0.44 6 0 63

(119)Abastumany 1971-1988 104 071 103 0 66

(129)Ordubad 1986-1988 334 0 67 335 0.70

(188)Shokin Majdanak 1988 179 0.88 183 0 48

(662)Lick 1924 4 0 75 4 0.28

(689)Flagstaff 1982-1986 71 0.42 71 0.45

(754)Yerkes 1909 7 0 27 7 0 31

(771)Boyeos Havana 1988 23 0 63 23 0.42

(786)USNO 1907-1988 149 0.32 154 0.36

(820)Tarija 1988 48 2 27 49 0.72

данных по КА MGS ftpV/naif jpl nasa.gov/pub/naif/MGS/ предоставляет средства генерации векторов MGS VUKA — {хМКА,уМКА,zMKA} на любой момент времени в

Таблица 3. Измерения положения Фобоса относительно центра Марса в прямоугольнвх координатах повернутой системы йа,3й (Тип 2).

Международный номер обсерватории, ее название, мерный интервал Координата da Координата dd

Количество измерений СКО it Количество измерений СКО it

(084) Пулково 1894-1896 44 0 25 33 0.19

(662) Lick 1909-1924 38 0 33 38 0 28

(786) USNO 1911-1929 46 0.34 49 0.29

Таблица 4 Наблюдения Фобоса с космических аппаратов.

Название КА Интервал наблюдений Количество измерений Примечание

Mariner-9 1971/11/27-1972/03/03 48 Астрометрия

Viking 1976/07/24-1980/07/06 164 Астрометрия

Фобос-2 1989/02/21-1989/03/25 37 Астрометрия

MGS 1998/09/12 (~ 1 минута) 628 Локация

Opportunity 2004/03/07 2004/03/10 2004/03/12 1 1 1 Затмение

Spint 2004/04/18 1 Затмение

МЕХ 2004/05/18-2004/12/30 22 Астрометрия

виде программ на языке Фортран Поскольку указываются координаты точки на поверхности Фобоса S, от которой отражается сигнал, в виде расстояния от центра масс ds, широты (р.,, долготы As, то в моделировании измерений можно учесть рельеф, что уменьшает методологическую ошибку Данные системы NAIF о координатах КА MGS использовались в качестве начального приближения и уточнялись в процессе определения орбит КА и Фобоса. Тот же процесс будет происходить в ходе оперативного уточнения орбит Фобоса и КА Фобос-Грунт Соответствующие формулы для градиентов получены

В 2004 году с поверхности Марса американскими марсоходами Spirit и Opportunity были проведены 4 наблюдения прохождения Фобоса по диску Солнца (Bell et al, 2005). Результаты этих наблюдений после обработки, которая проводилась с использованием американской эфемериды Фобоса, представлены в таблице 6. В первом столбце этой таблицы для каждой даты проведения сеанса измерения указано время прохождения минимального

расстояния ао между центром видимого диска Солнца и центром фигуры Фобоса Значение ссо приводится в третьем столбце таблицы Мы соотносим время прохождения минимального расстояния с серединой интервала наблюдений

После определения направлений из точки 5, где находится марсоход, на

Фобос еа,к = [е^Нх,е5Рку,е5И^ = — и на центр Солнца (с учетом

гт

распространения света от Солнца до Марса) ё3$ил = {е5311т,е53ищ„е35т2} = —

определяется угол ac = arccos(eSSurvceSPhx + eSSmyeSPhy + е^е^) и вычисляются компоненты градиента

*[е*я»((Урк ~У.чУ + (zPh ~ zsY) ■

da„ 1 г о ,

3XPh ^SPh^-^SSun^SPhf

еу$зш((урн ~>'s)(xPh - *s)) ~(zph - Zs)(XPh ~ xs)]

T = 3 / _ _ 2 \-eySSuni(XPh ~~ Xs) + (ZPh ~ ZS) ) ~

r SPW^CWspa) exssun((.xPh-xs)(yPh-ys))-ezssuÄzPh -%)(Уп-ys)l

T^ = -1 - - Ле^{Урн - ysf + (Xph - xs)2) -

e,ssu„((%, ~xs)(zPh ~zs))-eyssun(Урн ~Xs)(zpk ~zs)]

5v,ph dVyPh dVzPh

Под гравитационными измерениями будем понимать радиоизмерения за движением КА вблизи Фобоса, проводимые со станций слежения на Земле К ним относятся главным образом измерения радиальной скорости. Они наиболее чувствительны к изменению положения Фобоса вследствие влияния его притяжения на орбиту КА Эти измерения наряду с другими видами информации были использованы для построения теории движения Фобоса. Для этой цели разработаны две задачи совместного уточнения параметров движения КА и Фобоса.

• Фобос Eph, КА Фобос-2 £jC1c параметрами маневров, гравитационная постоянная Фобоса//, вековое ускорение Фобоса V,

• Фобос Ё°п, КА MGS ЩС2.

В качестве гравитационных измерений использованы измерения радиальной

скорости КА Фобос-2 и однопутевые доплеровские измерения частоты при излучении с борта КА MGS на Землю Первичная обработка измерений КА Фобос-2 была проведена в ходе полета аппарата в 1989 году Измерения представляют собой двухпутевой допплер, преобразованный в величину радиальной скорости. Моделирование таких измерений делается с учетом эффекта Шапиро

Навигация КА MGS на участке пролета Фобоса была обеспечена радиотехническими измерениями с шести станций слежения на Земле. К сожалению, вблизи даты пролета 1998/09/12 доступны только данные в так называемом «сыром» (raw) виде Это бинарные файлы телеметрической информации, из которой были сформированы измерения, содержащие небесно-механические параметры По известным описаниям этих бинарных файлов был выбран файл, покрывающий интервал 1998/09/11-1998/09/13, из которого были получены моменты измерений и радиотехнические параметры однопутевого допплера в Х-диапазоне (7 GHz) несущей частоты в том виде как они были записаны аппаратурой станций дальней космической связи DSN.

В главе 4 дается методика определения параметров. Определение параметров теории Q методом максимального правдоподобия требует минимизации функционала (Аким, Энеев, 1963)

f(q)=1L^(о)р,ф\ где м, и г,

j=i

является I- м вектором-измерением с ковариационной матрицей априорных ошибок Kt и Pt = К~\ у/^ является вычисляемым значением вектора-измерения Любой из использованных при построении теории типов измерений зависит от своего набора уточняемых параметров q, который

является подмножеством, но не совпадает с полным набором Q Поэтому общая система линейных уравнений AaQ = В для получения всей

совокупности Q может быть разделена на несколько подсистем.

1. Подсистема Фобос, v;

2. Подсистема Фобос-2 (с уточнением маневров), Фобос, //,!';

3 Подсистема MGS, Фобос

Каждая г-я подсистема представляет собой задачу обработки определенного набора измерений на текущей итерации Она начинается подготовкой необходимых данных - измерений, начальных условий др и заканчивается формированием матрицы Д и правых частей В, нормальных уравнений для этой подсистемы Д Aqt = В,, которые войдут в общую систему AaQ = В в качестве составных частей Первая подсистема обеспечивает

обработку всех наземных оптических измерений Фобоса и прохождения Фобоса по диску Солнца Она производит расчёт параметров движения Фобоса на интервале более 100 лет и обновляет начальные условия для двух других подсистем перед началом каждой следующей итерации. Вторая подсистема проводит обработку траекторных измерений радиальной скорости КА Фобос-2 и бортовых телевизионных измерений Фобоса Область действия подсистемы распространяется на интервал от начала переходной орбиты, на которую КА вышел после проведения манёвра торможения и перехода на орбиту спутника Марса, и закачивается квазисинхронной орбитой (конец активного существования аппарата. Описание движения КА на всех участках сделано в рамках одной траектории, на которой есть участки пассивного движения и маневрирование Эту траекторию описывают элементы орбиты КА в начальный момент времени на переходной орбите и параметры манёвров, а также значение гравитационной постоянной Фобоса и его вековое ускорение. Каждый маневр описывается шестью параметрами, обеспечивающими расчёт приращений вектора состояния при завершении маневра. В обработку включены априорные значения параметров маневров с учетом ошибок их исполнения Эта априорная информация представлена в форме ковариационной матрицы Третья подсистема предназначена для обработки измерений MGS. Протяжённость интервала измерений взятого в обработку составляет несколько суток, модель движения описывается в рамках пассивного движения.

Схематически формирование общей системы представлено на рис 2. Каждый элемент общей системы получается суммированием соответствующих элементов подсистем, что показано одинаковым окрасом

Фобос-2 Фобос ; .;/)>/',j Фобос-Грунт Фобос ■ р.

1-1-

1 -

Фобос-2 Mars Global ' : , : Фобос-Грунт J Фобос

Фобос

Рис. 2 Формирование правых частей В общей системы нормальных уравнений

Аа(2 = В.

Mars Global

Фобос

Кроме того, на рисунке показано место будущей подсистемы КАЗ Фобос-Грунт и параметры для уточнения из этой подсистемы.

Глава 5 посвящена отражению результатов работы. После обработки измерений на интервале 1877-2005 годы получены уточненные значения элементов орбиты, векового ускорения и гравитационной постоянной Фобоса. В Таблице 5 содержатся уточнённые значения векового ускорения Фобоса и его гравитационной постоянной в сравнении с другими авторами

Согласование теории с наблюдениями характеризуется отклонениями измеренных значений от вычисленных В тексте диссертации представлены графики рассогласований В основном, отклонения не превышают фактической точности измерений В Таблице б отражены результаты сравнения измеренных и вычисленных значений параметров прохождений Фобоса по диску Солнца В таблице приведены результаты расчетов, выполненные на основе настоящей теории, теорий Якобсона (2006г) и Шапрон-Тузе Выполнено прямое сравнение координат Фобоса в эпохе ЛООО на интервале 1989-2016 годы с данными

Таблица 5. Вековое ускорение Фобоса v и его гравитационная постоянная ¡л в сравнении с другими авторами ___

Автор Год уь град/(сут)г -Ю"8 и (км)'/(сек)2 ■ 10"

ИПМ 2007 0 9443 ±0 004 7 158+0 005

Коноплив и др 2006 7 16 ±0 005

Лейни и др 2005 0 9422

Емельянов и др 1993 0 9666

Иванов и др 1990 0 9144

Шапрон-Тузе 1989 0.9303

Якобсон и др 1989 0.9306

Морли 1988 0 9527

Синклер 1989 0 9272

Синклер 1972 0 7195

Шор 1988 0 984

Шор 1975 1 01

этих теорий. На рис. 3-5 приведены расхождения эфемерид Якобсона и нашей для прямоугольных координат. Видно, что расхождения не превышают 15 км, расхождения с Шапрон-Тузе больше.

Выполнена оценка точности координат Фобоса в орбитальной системе координат. Оси этой системы направлены вдоль радиуса-вектора Фобоса, по ортогонали к плоскости орбиты и по направлению движения (что вследствие малости эксцентриситета орбиты почти совпадает с вектором скорости). Самый большой разброс ошибки в километрах по направлению движения (Зет) - на рис. 6.

В главе 6 даются сведения о насчитанной эфемериде Фобоса и приводятся вспомогательные алгоритмы. Результаты теории оформлены на интервале 1989/01/29-2015/11/04 в электронном виде и записаны в файл. С шагом 30 мин. записана юлианская дата эфемеридного времени и далее вектор состояния X в марсоцентрической системе координат эпохи

12000. Единицы координат км, единицы компонент скорости км/сек. Предлагаются программные средства для получения координат из этой эфемериды для проектных расчётов с точностью не хуже 50 метров.

2004/03/07 02:46:38.0

2004/03/10 07:36:46.5

2004/03/12 13:41:14.0

2004/04/18 21:06:18.0

Таблица 6. Результаты рассогласований наблюдений прохождения Фобоса по диску Солнца для трёх теорий

Дата, время (ЦТС)

Измерение углового расстояния на средний момент

Измерение (град)

Рассогласования

(град)

Якобсон

Шапрон -Тузе

-0.09

-0.05 ; -0.06

-0.02

Рис. 5. Рассогласования Якобсон-ИПМ по координате Z в км.

Рис. 4. Рассогласования Якобсон-ИПМ по координате Y в км.

-15

1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016

Рис. 3. Рассогласования Якобсон-ИПМ по координате X в км.

1988 1990 1992 1994 1996

2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016

I 10 5 О -5 -10 -15

1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016

1988 1992 1996 2ООО 2004 2008 2012 2016

Рис. 6. Разброс среднеквадратической ошибки положения по направлению движения Фобоса в км.

Выводы

1. Построена динамическая численная теория движения Фобоса для навигационного обеспечения предстоящего полёта КА по программе Фобос-Грунт. Модель движения основана на наиболее достоверных константах гравитационного поля Марса, на координатах и скоростях их изменений для полюса Марса, на других астрономических константах. Это обеспечивает совместимость модели движения Фобоса с моделью движения КА вблизи Марса и Фобоса. Интервал времени измерений составляет 128 лет. В состав измерительной базы включены оптические измерения Фобоса с Земли, оптические телевизионные и лазерные измерения с космических аппаратов, оптические измерения с поверхности Марса, радиотехнические измерения с Земли за движением космических аппаратов.

2. Проведено сравнение результатов теории с наблюдениями и с результатами других теорий, что показало довольно хорошее соответствие, в том числе в отношении векового ускорения Фобоса и его гравитационной постоянной.

3. Сделанная оценка точности показывает приемлемую точность эфемериды Фобоса для предстоящего полёта КА Фобос-Грунт.

4. Разработана методика построения программного комплекса и его основных элементов для совместного определения орбит КА и Фобоса по совокупности измерений с борта КА и радиотехнических измерений с наземного измерительного пункта.

Список публикации по теме диссертации

Публикация в журнале, входящем в список ВАК

Шишов В А. Определение параметров движения КА и Фобоса в проекте

«Фобос-Грунт». // Астрономический вестник. 2008 том 42 № 4 С 341-350

Прочие публикации по теме диссертации

1. Шишов В. А. Модель движения Фобоса и методика уточнения параметров в проете «Фобос-Грунт». // Препринт ИПМ им М В.Келдыша. Москва 2008. № 10

2 Akim E.L, Bolkin А V., Stepaniants VA, Shishov VA, Tuchin AG. Orbit selection, Navigation and Maneuvers before the Landing on the Phobos Surface for Phobos Sample Returne Project // The Proceedings of the 17th International Symposium on Soace Flight Dynamics, 16-20 June 2003 Moscow Russia V 1 P 291-304

3 AhmE L, Ruzskiy E G, Stepaniants VA , Shishov VA., Tuchin A.G. II Ballistics, navigation and motion control of the SC on stages of the Phobos surface approaching and landing // The proceedings of the 18th International Symposium on Space Flight Dynamics, 11-15 October 2004. Munich, Germany, P. 461-466

Цитируеая литература

1. Аким ЭЛ, Энеев ТМ. Определение параметров движения космического аппарата по данным траекторных измерений // Космические исследования 1963 1. Вып 1. с 5-50

2 Шор В А. Уточнение орбит Фобоса и Деймоса по наземным и космическим наблюдениям // Письма в Астрон жури 1988 14 12 с. 1123-1130

3 Bell J.F, Lemmon М. Т., Duxbury ТС. et al Solar eclipses of Phobos and Deimos observed from the surface of Mars // Nature 2005 436 Mars LETTERS P. 55-57

4. Chapront-Touze M. ESAPHO a semi-analytical theory for the orbital motion of Phobos//Astronomy and Astrophysics. 1988 200 P. 255-268

5. Chapront-Touze M Orbits of the Martian satellites from ESAPHO and ESADE theories//Astronomy and Astrophysics. 1990 240 P. 159-172

6. Emelyanov N V., Vashkovyak S N. and Nasonova L P. The dynamics of Martian satellites from observations // Astronomy and Astrophysics 1993. 267. P 634642

7 Jacobson RA, Synnolt SP. and Campbell J K. The orbits of the satellites of Mars from spacecraft and Earthbased observations // Astronomy and

Astrophysics. 1989 225 P. 548-554

8 Morley T.A An improved analytical model for the orbital motion of the Martian satellites // Astronomy and Astrophysics. 1990. 228 P. 260-274

9 Shor V.A The motion of Martian satellites // Celestial Mechanics 1975 12. P. 61-75

10. Sinclair A T The orbits of the satellites of Mars determined from Earth-based and spacecraft observations // Astronomy and Astrophysics. 1989. 220. P 321328

\\.Sinclair A.T. The motions of the satellites of Mars // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1972 155. P. 249-274

12 Sinclair A.T. The orbits of Tethys, Dione, Rhea, Titan and Lapetus // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1977. 180 P 447-459

13 Veverka J., Bums J A. The moons of Mars // Annual review of earth and planetary sciences 1980 8 P. 527-558

Подписано в печать 23.07.200S г. Печать трафаретная

Заказ № 605 Тираж 100 экз.

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ж, 36 (499) 788-78-56

Введение.

Глава 1. Время и системы координат.

1.1. Шкалы времени.

1.2. Системы координат.

Глава 2. Модель движения Фобоса.

2.1. Уравнения движения Фобоса.

2.2. Расчет возмущающих ускорений.

2.3. Уравнения в вариациях.

2.4. Значения астрономических постоянных.

Глава 3. Измерения.

3.1. Оптические наблюдения Фобоса с Земли.

3.2. Измерения с космических аппаратов.

3.3. Наблюдения прохождений Фобоса по диску Солнца с поверхности Марса.

3.4. Радиотехнические наблюдения за КА со станций слежения на Земле.

Глава 4. Техника определения параметров.

Глава 5. Результаты.

5.1. Рассогласования измерений от вычисленных значений.

5.2. Сравнение результатов разных теорий.

5.3. Оценка точности.

Глава 6. Электронное приложение.

6.1. Общее описание по использованию эфемериды Фобоса.

6.2. Вспомогательные алгоритмы.

В работе описана численная теория движения Фобоса, созданная в рамках запланированной на 2009 год федеральной программы «Фобос-Грунт» [2, 28-30]. Баллистико-навигационное обеспечение (БНО) этого проекта предполагает совместное определение параметров орбиты космического аппарата (КА) и параметров орбиты Фобоса. При этом к точности определения положения и скорости КА относительно Фобоса предъявляются высокие требования: не хуже 3 км по положению и 1 м/сек по скорости. Такие характеристики необходимы для безопасной посадки на выбранное место спускаемого аппарата на Фобос с целью забора грунта и последующего старта к Земле. Они достигаются как радиотехническими траекторными измерениями КА с наземных измерительных пунктов, так и наблюдениями Фобоса с борта КА посредством лазерного дальномера и получения изображений. Эти предварительные измерения проводятся с орбит наблюдения и квазисинхронной орбиты [20]. Другими словами, вблизи Фобоса КА предстоит выполнить ряд сложных динамических операций. При этом КА будет находиться в сфере действия гравитационных поле Солнца, Марса и самого Фобоса. Его орбита значительно отличается от эллиптической, что представляет собой значительные трудности для БНО в плане применения аналитических методик. Они могут быть преодолены только путём создания численной модели движения КА. Следовательно, и для Фобоса должна быть использована та же модель движения, поскольку уточнение параметров орбит КА и Фобоса должно происходить в рамках единой модели. Подобные модели могут быть построены только на основании численного интегрирования уравнений движения, которые включают в себя как молено более полный состав гравитационных влияний. Кроме того, алгоритм совместного уточнения параметров зависит от количества и качества измерений, используемых для уточнения. Для проектирования сценария движения КА по орбитам вокруг Марса, на начальных этапах БНО, когда ещё отсутствуют измерения Фобоса с борта КА, эфемерида Фобоса уже должна существовать, вместе со знанием о её точности. Такая априорная оценка точности будет использована для запуска процесса определения орбит по лазерным, оптическим измерениям Фобоса с борта КА и радиотехническим измерениям КА с наземного измерительного пункта. Подобная эфемерида может быть получена на основании прежних измерений Фобоса как исторических астрометрических так и новых, проведённых ранее летавшими КА.

К этим измерениям относятся проводимые с 1877 года с поверхности Земли оптические измерения положения Фобоса относительно Марса, которые включают в себя 6 типов измерений [81], телевизионные измерения Фобоса с борта КА «Маппег-9» в 1971-1972 годах [48], с борта КА Viking в 1976-1978 годах [49], с борта КА «Фобос-2» в 1989 году, с борта КА Mars Express в 2005 году [87], измерения лазерного дальномера (Mars Orbiter Laser Altimeter -MOLA) с борта Mars Global Surveyor (MGS) в 1998 году [31], измерения углового расстояния между центром Фобоса и центром солнечного диска при наблюдениях с находящихся на поверхности Марса американских марсоходов Spirit и Opportunity в 2004 году [34]. Кроме того, были использованы радиотехнические траекторные измерения некоторых КА, а именно «Фобос-2» и MGS. Дело в том, что эти аппараты близко подходили к Фобосу, испытывали на себе его гравитационное влияние, меняли свою траекторию, что фиксировалось измерениями с наземного измерительного пункта. Такие измерения можно называть гравитационными. Особое значение они приобретут в предстоящем полёте «Фобос-Грунт». Они использовались для определения гравитационной постоянной Фобоса.

Динамические модели движения КА и Фобоса предполагают использование известного ряда эфемерид и констант, которые не уточняются в ходе создания теории движения. К таковым относятся эфемериды и гравитационные константы планет и Солнца, параметры гравитационных полей Марса и Фобоса, эфемерида и гравитационная постоянная Деймоса. Все эти объекты возмущают движение КА и Фобоса. Для правильного учёта возмущающего действия полей использованы формулы, рекомендованные Международным астрономическим союзом (MAC) [101]. Однако для Фобоса использование этого минимально необходимого набора констант оказывается недостаточным.

Речь идёт о вековом ускорении Фобоса. Но прежде следует сказать о двух подходах в построении теории движения подобных Фобосу объектов. Следуя терминологии Синклера [103] рассмотрим два подхода в построении теории движения: кинематический и динамический.

Динамический подход описан выше. Кинематический подход с необходимостью появился первым. Сущность кинематического подхода состоит в том, что в результате упрощения уравнений движения и введения множества параметров, необходимых при этом, получаются уравнения, которые можно решить аналитически последовательными приближениями, сохраняя в правых частях сначала вековые, потом периодические члены. Сами уравнения записываются таким образом, чтобы угловые параметры орбиты Фобоса отсчитывались не от традиционных плоскостей - экватора эпохи или экватора Марса, но от специально выбранной плоскости - плоскости Лапласа, в которой большие периодические возмущения от сжатия Марса и от Солнца уничтожают друг друга. Основными опорными плоскостями являются экватор эпохи и плоскость Лапласа. В результате появляется необходимость отслеживания вращения этой плоскости. В итоге возникает избыточное количество взаимосвязанных параметров, которые выступают как параметры согласования той или иной теории с измерениями. К таковым теориям относятся теории Синклера (Sinclair) [104] или Якобсона (Jacobson) [66]. Во втором случае число уточняемых параметров составляет 14. Версию теории Синклера от 1989 года [103] сам он называет динамической. В целом с этим можно согласиться, поскольку 17 уточняемых параметров (для Фобоса) включают в себя некоторые физические параметры, относящиеся к полю Марса, его вращению, т.е. параметры динамически увязаны с принятой моделью, их число, по словам Синклера, минимально, не динамический параметр - вековое ускорение. При этом автор признаёт, что часть параметров известна лучше из других источников, их уточнение служит в качестве проверки и для оценки достоверности принятой модели.

К подобной теории следует отнести и теорию движения, разработанной коллективом авторов из ГАИШ - Емельянов, Вашковьяк, Насонова [50]. Была использована оригинальная аналитическая теория движения спутников планет. Эта теория является динамической (исключение - вековое ускорение). В число уточняемых параметров включены 3 коэффициента разложения потенциала Марса по сферическим функциям, гравитационная постоянная Марса, координаты северного полюса и константы его прецессии, параметры, характеризующие ориентацию Солнечной системы относительно системы координат, связанной со звёздами.

Кинематический подход реализован в работах Шора [102, 24,25], Морли (Morley) [81,82], Шапрон-Тузе (Chapront-Touze) [40,41]. В этом смысле последняя работа является наиболее продвинутой: она учитывает практически все возмущающие факторы вплоть до влияния гравитационного поля Фобоса на его поступательное движение. В ней прямоугольные координаты Фобоса представлены в виде рядов Фурье с коэффициентами в виде линейных комбинаций фундаментальных аргументов. В результате уточняются не только 6 средних элементов, но и поправки к средним движениям перицентра и узла, что является типично кинематическим подходом. И, конечно, вековое ускорение.

Итак, все авторы вводят дополнительный параметр для уточнения, который описывает вековое изменение в долготе Фобоса. Явление замедления в движении Фобоса открыл Шарплесс в 1945 году [111]. Оно свидетельствует о потере энергии Фобоса вследствие приливного эффекта внутри Марса. Учёт этого явления в нашей работе осуществляется в рамках традиционного аналитического подхода изменением долготы Фобоса, а не путём включения в уравнения движения. Это позволяет достичь вычислительной эффективности и обеспечивает прямое сравнение с результатами ранее сделанных работ.

В работе предлагается методика уточнения параметров, которая доведена до программной реализации и будет использоваться в оперативной работе при осуществлении предстоящего проекта. Этот метод совместного уточнения параметров движения КА и небесного тела, возмущающего движения КА, по данным измерений. Метод разделяет задачу формирования нормальных уравнений на несколько подсистем, каждая из которых представляет собой задачу обработки определённого набора измерений на текущей итерации. Одна из подсистем содержит обработку упомянутых выше гравитационных измерений КА, проводящихся вблизи Фобоса. Учёт этого явления важен для построения теории движения Фобоса.

Приводится оценка точности полученной эфемериды Фобоса на интервалах сближения КА с Марсом и полёта КА по орбитам наблюдения Фобоса.

Даётся описание программы для использования полученной эфемериды и приводятся прямые сравнения координат с эфемеридами Якобсона и Шапрон-Тузе.

Заключение

1. Построена динамическая численная теория движения Фобоса для навигационного обеспечения предстоящего полёта КА по программе Фобос-Грунт. Модель движения основана на наиболее достоверных константах гравитационного поля Марса, на координатах и скоростях их изменений для полюса Марса, на других астрономических константах. Это обеспечивает совместимость модели движения Фобоса с моделью движения КА вблизи Марса и Фобоса. Интервал времени измерений составляет 128 лет. В состав измерительной базы включены оптические измерения Фобоса с Земли, оптические телевизионные и лазерные измерения с космических аппаратов, оптические измерения с поверхности Марса, радиотехнические измерения с Земли за движением космических аппаратов.

2. Проведено сравнение результатов теории с наблюдениями и с результатами других теорий, что показало довольно хорошее соответствие, в том числе в отношении векового ускорения Фобоса и его гравитационной постоянной.

3. Сделанная оценка точности показывает приемлемую точность эфемериды Фобоса для предстоящего полёта КА Фобос-Грунт.

4. Разработана методика построения программного комплекса и его основных элементов для совместного определения орбит КА и Фобоса по совокупности измерений с борта КА и радиотехнических измерений с наземного измерительного пункта.

1. Абалакин В.К., Аксёнов Е.П., Гребенников ЕЛ., Дёмин В.Г., Рябов ЮЛ. «Справочное руководство по небесной механике и астродинамике». // Москва. «Наука». 1976. С. 40-41.

2. Аким Э.Л., Заславский Г.С., Морской И.М., Степанъянц В.А., Тучин А.Г. Баллистика, навигация и управление полётом космического аппарата в проекте «Фобос-Грунт» // Известия РАН ТиСУ. 2002. 5. С. 153-161.

3. Аким Э.Л., Энеев Т.М. Определение параметров движения космического аппарата по данным траекторных измерений // Космические исследования. 1963. 1. Выпуск 1. С. 5-50.

4. Дейч А.Н. Фотографические наблюдения спутников Марса в Пулковской обсерватории. // Главная Астрономическая Обсерватория, известия, Ленинград. 1970. 185. С. 103-109.

5. Иванов Н.М., Колюка Ю.Ф., Кудрявцев С.М и др. Новая теория движения спутников Марса. Использование данных космической программы «Фобос». 1990. 313. 2 305-308

6. Коваленко Н.Д., Макаренко И.Ф., Мандэ/сос А.В., Тельнюк-Адамчук В.В. Результаты позиционных наблюдений Марса и его спутников во время оппозиции 1973 года. //Вестник Киевского университета, астрономия. 1980. 22. С. 78-85.

7. Ю.Киселёва Т.П. Позиционные наблюдения спутников Марса в 1973 году. // Главная Астономическая Обсерватория, известия. 1976. 194. С. 127-129.

8. Киселёва Т.П., Чантурия С.М. Фотографические позиционные наблюдения Фобоса в Абастумани в 1986 году. // Абастуманская Астрофизическая Обсерватория, бюллетень. 1988. 63. С. 31-34.

9. Никонов О.В., Жилинский Е.Г., Бобылёв В.В., Никонова Е.С. Результаты позиционных фотографических наблюдений Фобоса сделанные на Кубе в октябре 1988 года. // Кинематика и физика небесных тел. 1990. 6. С. 21-23.

10. Никонов О.В., Жилинский Е.Г., Бобылёв В.В., Никонова Е.С. Позиционные фотографические наблюдения Фобоса на Кубе в октябре 1988 года. // Пулково, главная Астрономическая обсерватория, Известия. 1991. 207. С. 52-58.

11. Никонов О.В., Жилинский Е.Г., Бобылёв В.В., Никонова Е.С. Результаты позиционных фотографических наблюдений Фобоса сделанные на Кубе в октябре 1988 года. //Астрономический циркуляр. 1990. 1541. С. 33.

12. Степанъянц В.А., Львов Д.В. Эффективный алгоритм решения дифференциальных уравнений движения. // Математическоемоделирование. 2000. 12. 6. С. 9-14.

13. Телънюк-Адамчук В.В., Березовский О.А., Коваленко Н.Д. Фотографирование Марса и его спутников во время оппозиции 1971 года. // Вестник Киевского университета, астрономия. 1973. 15. С. 47-51.

14. Толбин С.В. Фотографические положения Марса и его спутников полученные на 26-сек рефракторе в Пулкове в 1982 году. // Пулково, Главная Асторономическая Обсерватория, известия. 1985. 203. С. 44-49.

15. Тучин А.Г. Квазисинхронные орбиты и их использование для сближения космического аппарата с Фобосом // Космические исследования 2007. 45. 2. С. 144- 149.

16. Хатисов А.Ш., Салуквадзе Г.Н. Результаты позиционных наблюдений марсианских спутников. // Абастуманская Астрофизическая Обсерватория, бюллетень. 1975. 46. С. 217-224.

17. Шишов В. А. Модель движения Фобоса и методика уточнения параметров в проете «Фобос-Грунт». // Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша. Москва. 2008. 10.23 .Шишов В Л. Определение параметров движения КА и Фобоса в проекте

18. Фобос-Грунт». // Астрономический вестник. 2008. т.42. 4. С. 341-350.24 .Шор В А. Движение спутников Марса с 1877 по 1973 годы и новая системаих орбитальных параметров. // Институт теоретической астрономии, Труды. 1976. 15. С. 91-113.

19. Шор В.А. Уточнение орбит Фобоса и Деймоса по наземным и космическим наблюдениям//Письма в Астрон. журн. 1988. 14. 12. С. 1123-1130.

20. Barnard E.E. (1897) Measures of the diameters of Mars and the positions of his satellites in 1894. //Astronomical journal. 1897. 17. 403. P. 145-147.

21. Biesbroeck G Van Measures of the satellites of Uranus and Mars. // Communications of Lunar and Planetary Laboratory. 1970. 8. P. 179-188.

22. Campbell W.W. Observations of Mars and its satellites. // Astronomical journal. 1892 12. 282. P. 137-139.

23. Campbell W.W. Micrometer-observations of the satellites of Mars. // Astronomical journal. 1895.15. 337. P. 1-4.

24. Christie W., Erck W., Pritchard C. English observations of the satellites of Mars, Monthly notices of the Royal astronomical society. // 1877. 38. 6. P. 361-366.

25. Colas F. Astrometric observations of Phobos and Deimos during the 1988 opposition of Mars. // Astronomy and Astrophysics Supplement Series. 1992. 96. 3. P. 485-495.

26. Common A. A. Note on the satellites of Mars and Saturn. // Monthly notices of the Royal astronomical society. 1878. 38. 3. P. 97-99.

27. Common A.A. Observations of the satellites of Mars. // Monthly notices of the Royal astronomical society. 1879. 40. 2. P. 95-99.

28. Common A.A. Beobachtung des ausseren Marssatelliten. // Astronomische Nachrichten. 1880. 96. 2283. P. 41-42.

29. Common A. A. Satellites of Mars 1881. //Astronomische Nachrichten. 1882. 103. 2463. P. 233-234.

30. Duxbury T.C., Callahan J.D. Phobos and Deimos astrometric observations from Mariner 9 // Astronomy and Astrophysics. 1989. 216. P. 284-293.

31. Duxbury T.C., Callahan J.D. Phobos and Deimos astrometric observations from Viking // Astronomy and Astrophysics. 1988. 201. P. 169-176.

32. Emelyanov N. V., Vashkovyak S.N. and Nasonova L.P. The dynamics of Martian satellites from observations // Astronomy and Astrophysics. 1993. 267. P. 634642.51 .Erck W. Satellite of Mars. // Astronomical register. 187. 715. 179. P. 293-294.

33. Fliegel Henry F. and Thomas C. Van Flandern. 1968. "A Machine Algorithm for Processing Calendar Dates." Communications of the ACM, 1968, vol. II, p. 657.

34. Morrison, L.V. 1979 , Geophys. J.R. astron. Soc. 58, 349

35. Hall A. Observations and Orbits of the Satellites of Mars, with data for Ephemerides in 1879. // U.S.Government Printing Office. Washington D.C. 1878. P. 1-46.

36. Hall A. Observations of the satellites of Mars, made with the 26-inch refractor of the U.S. Naval Observatory, Washington. // Astronomische Nachrichten. 1878. 91. 2161. P. 11-14.

37. Hall A. Observations of the satellites of Mars. // Monthly notices of the Royal astronomical society. 1880. 40. 5. P. 272-283.

38. Hall A. Observations of the satellites of Mars in the opposition of 1881. // Astronomische Nachrichten. 1882. 102. 2438. P. 217-220.

39. Hall A. Observations made at the U.S. Naval observatory, Washington. // Monthly notices of the Royal astronomical society. 1884. 44. 7. P. 358-361.

40. Hall A. Observations at U.S.N, observatory. // Monthly notices of the Royal astronomical society. 1886. 46. 8. P. 454-454.

41. Hall A. Observations on Mars. // Astronomical journal. 1888. 8. 181. P. 98-98.

42. Hall A. Observations of the satellites of Mars in 1890. // Astronomical journal. 1890. 10. 226. P. 74-75.

43. Hall A. Observations of Mars, 1892. // Astronomical journal. 1893. 12. 288. P. 185-188.вЪ.НаИ A. Observations of the satellites of Mars. // Astronomical journal. 1913. 27. 645. P. 163-169.

44. Hall A., Burton H.D. Corrections to the elements of the satellites of Mars. Astronomical journal. 1929. 39. 928. P. 151-154.

45. Jones D.P.H., Sinclair A.T., Williams I.P. Secular acceleration of Phobos confirmed from position obtained on La Palma. // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1989. V. 237. N. 1. P. 15-19.

46. Keeler J.E. Micrometer observations of the satellites of Mars. // Astronomical journal. 1888. 8. 178. P. 73-78.

47. Kostinsky S. Sur les photographies du satellite exterieur de Mars. // Bulletin de lAcademie Imperiale des sciences de St.-Petersbourg. 1897.V serie. 7. 4. P. 399.

48. Kostinsky S. Deux positions du satellite exterieur de Mars. // Astronomische Nachrichten. 1898. 145. 3469. P. 203-204.

49. A. Kostinsky S. Sur les photographies des satellites de Mars. // Astronomische Nachrichten. 1910. 183. 4369. P. 7-10.

50. Lamson E.A., Hall A., Bower E.С. Corrections to the elements of the satellites of Mars. //Astronomical journal. 1926. 37. 873. P. 69-74.

51. F. G. Lemoine, D. E. Smith, D.D. Rowlands, M.T. Zuber, G. A. Neumann, and D. S. Chinn. An improved solution of the gravity field of Mars (GMM-2B) from Mars Global Surveyor, Journal of Geophysics Research. 2001. 106(E10). 25. P. 2335923376.

52. Lindsay Lord. Observations of the outer satellite of Mars made at Dun Echt observatory. // Monthly notices of the Royal astronomical society. 1879 40. 2. P. 102-103.

53. Morley T.A. An improved analytical model for the orbital motion of the Martian satellites // Astronomy and Astrophysics. 1990. 228 P. 260-274.

54. Morrison, L.V. 1979 , Geophys. J.R. astron. Soc. 1979, 58, 349.

55. Maunder. Observation of the outer satellite of Mars, made at the Royal Observatory, Greenwich. // Monthly notices of the Royal astronomical society. 1880. 40. 3. P. 161-162.

56. Oberst J., Matz K. D., Roatsch Т., Giese В., Hoffmann H., Duxbury T. and Neukum G. Astrometric observations of Phobos and Deimos with the SRC on Mars Express. // Astronomy and Astrophysics. 2006. 447. P. 1147-1151.

57. Paul H., Prosper H. Observations faites a l'Observatoire de Paris (equatorial de 0.38 m; tour de l'Est). // Bulletin Astronomique, 1-е serie. 1884. 1. P. 15-15.

58. Paul H., Prosper H. Observations faites a l'Observatoire de Paris (equatorial de 0.38 m; tour de l'Est) (en fevrier). // Bulletin Astronomique, 1-е serie. 1884. 1. P. 89-89.

59. Paul H., Prosper H. Observations des satellites de Mars, Uranus et Neptun faites a l'Observatoire de Paris (equatorial de 0.38 m; tour de l'Est). // Bulletin Astronomique, 1-е serie. 1886. 3. P. 488-488.

60. Pickering E.C. Observations of the satellites of Mars, made at the Harvard College Observatory. //Astronomische Nachrichten. 1880. 97. 2312. P. 115-128.

61. Pickering E.C. Observations of the satellites of Mars, made at the Harvard College Observatory. (2). // Astronomische Nachrichten. 1880. 97. 2314. P. 145148.

62. Pritchett H.S. Observations of the satellites of Mars, made with the 12 1/4-inch-Equatorial of the Morrison Observatory. // Astronomische Nachrichten. 1878. 91. 2172. P. 185-188.

63. Pritchett C.W. Observations of Phobos and Deimos. // Astronomische

64. Nachrichten. 1880. 97. 2307. P. 45-48.

65. Rodgers J. Letter to the Hon. R. W. Thompson, Secretary of the Navy, announcing the discovery of satellites of Mars. // Astronomische Nachrichten. 1877.90. 2154. P. 273-276.

66. Rodgers J. Letter to the Hon. R. W. Thompson, Secretary of the Navy, announcing the discovery of satellites of Mars. // Monthly notices of the Royal astronomical society. 1877. 37. 9. P. 443-445.

67. Royal observatory, Greenwich . Micrometric Observations of the Satellites of Mars made with the 28-inch Refractor, 1894. Micrometric Measures of Planets and Satellites. 1894 and 1895. //Royal observatory, Greenwich. 1895. P. 155-155.

68. Schaeberle J.M. Observations of the satellites of Mars during the opposition of 1896. //Astronomicaljournal. 1897. 17. 399. P. 113-114.

69. Seidelmann P.K., Abalakin V. K., Bursa M. et al. Report of the IAU/IAG working group on cartographic coordinates and rotational elements of the planets and satellites:2000 11 Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2002. 82. P. 83-110.

70. Shor V.A. The motion of Martian satellites // Celestial Mechanics.!975. 12. P. 61-75.

71. Sinclair A.T. The orbits of the satellites of Mars determined from Earth-based and spacecraft observations // Astronomy and Astrophysics. 1989. 220. P. 321328.

72. Sinclair A.T. The motions of the satellites of Mars // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1972. 155. P. 249-274.

73. Sinclair A.T. The orbits of Tethys, Dione, Rhea, Titan and Lapetus // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1977. 180 P. 447-459.

74. Stone Ormond. Observations of the satellites of Mars. // Astronomical Journal. 1895. 14. 333. P. 164-164.

75. Struve H. Beobachtungen der Marstrabanten in Washington, Pulkowa und1.ck-observatory. // Memoires de L'Academie Imperiale des sciences de St.-Petersbourg. VIII serie. Classe Physico-mathematique. St.-Petersbourg. 1898. 8. 8.

76. USNO. Equatorial observations, 1893-1907. // Publications of U.S. Naval Observatory, 2nd Series. USNO. Washington D.С. 1911. 6. P. A3-A5.

77. USNO. Observations of Satellites: Satellites of Mars. // Publications of U.S. Naval Observatory, 2nd Series. USNO. Washington D.C. 1929. 12. P 81-89.

78. USNO . Observations of satellites made with the 26-inch equatorial of the U.S.Naval observatory. 1928-47. // Publications of the U.S.Naval Observatory, 2nd Series. USNO. Washington D.C. 1954. 17. 3. P. 125-126.

79. Veverka J., Burns J. A. The moons of Mars // Annual review of earth and planetary sciences 1980. 8. P. 527-558.

80. Waldo L. Observations of the satellites of Mars, made at the Observatory of Harvard College. // Astronomische Nachrichten. 1878. 92. 2190. P. 87-94.

81. Wirtz C. Trabantenbeobachtungen in den Jahren 1881-1896, im wesentlichen. ausgefuhrt von H.Kobold, bearbaitet von C.W.Wirtz. // Annalen der Kaiserlichen Universitats-Sternwarte in Strassburg. 1909. 3. P. 5-5.

82. Wirtz C. Beobachtungen von Satelliten. Annalen Kaiserlichen Universitats-Sternwarte Strassburg Karlsruhe. 1911. 4. P. 292-292.

83. Young C.A. Observations of the satellites of Mars at Pricenton. // U.S. The Observatory. 1880. 3. 33. P. 270-271.1. P. 1-73.