Потери энергии при столкновениях релятивистских структурных тяжёлых ионов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ

На правах рукописи (ЛАТ/Г, ГлЛ

СИДОРОВ Дмитрий Борисович

003163125

Потери энергии при столкновениях релятивистских структурных тяжёлых ионов

01 04 04 — Физическая электроника

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 МАМ 2003

Архангельск — 2008

003169125

Работа выполнена на кафедре теоретической физики ГОУ ВПО «Поморский государственный университет имени М В Ломоносова»

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Матвеев Виктор Иванович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Котов Леонид Нафанаилович

кандидат физико-математических наук, доцент Томашевский Игорь Людвигович

Ведущая организация

Институт общей физики имени А М Прохорова Российской академии наук

Защита состоится «19» мая__2008 года в часов

на заседании совета по защите кандидатских диссертаций К 212 191 04 при Поморском государственном университете

имени М В Ломоносова по адресу 163002, г Архангельск, пр Ломоносова, д 4, ауд 37

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Поморского государственного университета имени М В Ломоносова

Автореферат разослан « апреля 2008 года

Ученый секретарь совета по защите кандидатских диссертаций К 212 191 04,. кандидат физико-математических наук

,_^ Е С Гусаревич

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Частично ободранные ионы высоких зарядов и энергий используются во многих экспериментах, проводимых на ускорителях тяжелых ионов Такие ионы состоят из ядра и некоторого количества связанных электронов, частично компенсирующих заряд ядра и образующих электронную «шубу» иона Известно, что неупругие процессы, сопровождающие столкновения релятивистских ионов достаточно больших зарядов с атомами не могут быть описаны [1, 2] в рамках теории возмущений даже при сколь угодно больших энергиях столкновения Строго говоря, столкновения таких структурных ионов с атомами следует рассматривать как столкновения двух сложных систем, при которых происходит одновременное возбуждение электронных оболочек обеих сталкивающихся систем Везде ниже мы будем называть движущийся структурный ион снарядом, а покоящийся атом — мишенью В настоящее время активизировался интерес к процессам многократных возбуждений электронных оболочек снаряда при столкновениях тяжелых ионов с нейтральными атомами Например, в работах [3],[4] проведены измерения сечений многократной ионизации (потеря до 15 электронов) быстрых ионов урана при столкновениях с многоэлектронными нейтральными атомами Измерения показали, что при увеличении степени ионизации на единицу соответствующее сечение убывало менее чем в два раза, и была отмечена необходимость рассчитывать подобные процессы непертурбативными (не предполагающими малости возмущения) методами Аналогичный вывод справедлив и для процессов ионизационных потерь энергии Существенный вклад в эффективное торможение дает произведение энергии ионизации на сечение ионизации На двукратную ионизацию приходится примерно в два раза большая энергия, чем на однократную, и если сечение двукратной ионизации в два раза меньше, чем сечение однократной ионизации, то произведение энергии на соответствующее сечение не меняется, аналогично и для ионизации более высокой кратности Другими словами, вклад многоэлектронных переходов в эффективное торможение следует ожидать

сравнимым по порядку величины с вкладом одноэлектронных возбуждений и ионизации Ясно, что подобные процессы не описываются в рамках первого борновского приближения, используемого в известных расчетах [5]-[7] по теории возмущений потерь энергии при столкновениях быстрых структурных ионов с атомами, поэтому, соответствующее непертурбатив-ное рассмотрение представляет значительный интерес

Цель работы заключается в дальнейшем развитии непертурбативной теории эффективного торможения релятивистских структурных ионов при столкновениях со сложными атомами с учетом всевозможных, в том числе, многократных возбуждений и ионизации, как снаряда, так и мишени Проведении на основе развитой теории расчетов и сравнение их с экспериментом

Научная новизна работы, прежде всего, определяется тем, что большинство предлагаемых расчетов было выполнено на основе оригинальных схем, разработанных научным руководителем профессором Матвеевым В И и автором диссертации для описания элементарных процессов, интенсивно исследуемых в настоящее время на ускорителях тяжелых ионов, а также тем, что ряд расчетов был выполнен впервые

1 На основе приближения внезапных возмущений и релятивистского обобщения приближения эйконала впервые развит непертурбативный метод описания и расчета потерь энергии с учетом одновременных многоэлектронных возбуждений и ионизации электронных оболочек снаряда и мишени.

2 На основе развитой теории впервые получены общие формулы для эффективного торможения при столкновениях структурных ионов высоких зарядов со сложными нейтральными атомами, описываемых в модели Дирака-Хартри-ФокагСлейтера

3 Проведен непертурбативный расчет потерь энергии структурных ионов урана ич+ зарядов (10 < < 80) при столкновении с атомами аргона, и торможение тех же партнеров по столкновению, но с учетом влияния среды

4 С целью сравнения с непертурбативными результатами, проведен расчет по теории возмущений эффективного торможения релятивистских структурных ионов урана ич+ зарядов (10 < д < 80) при столкновении с атомами аргона, с учетом влияния среды

5 Проведены непертурбативные расчеты потерь энергии структурных ионов В1, свинца РЬ и золота Аи при столкновениях с атомами Аи,Та,РЬ - соответственно, и торможение тех же партнеров по столкновению, но с учетом влияния среды

Достоверность и научная обоснованность полученных результатов и выводов обеспечивается надежностью применяемых методов расчета, тщательным тестированием применяемых алгоритмов и программ, а также сравнением с результатами расчетов других авторов и экспериментами

Научная и практическая ценность работы. Проведено распространение новых непертурбативных методов теории атомных столкновений, специализированных для описания неупругих процессов при взаимодействии релятивистских и ультрарелятивистских структурных ионов с простейшими атомами, на случаи столкновений со сложными атомами Основой такого распространения явилась единая методика расчетов, использующая релятивистские обобщения широко известных приближений внезапных возмущений и приближения эйконала, позволяющих получить для амплитуд неупругих процессов выражения, имеющее стандартный нерелятивистский предел, а в ультрарелятивистском случае переходящие в известное точное решение Развита непертурбативная теория потерь энергии и торможения быстрых тяжелых структурных ионов при столкновениях с нейтральными сложными атомами Разработаны новые непертурбативные расчетные методы теории атомных столкновений для расчетов процессов

потерь энергии при столкновениях быстрых и релятивистских структурных ионов со сложными атомами, с учетом всевозможных, в том числе многоэлектронных, одновременных процессов возбуждений и ионизации, как снаряда, так и мишени Проведены расчеты эффективного торможения для ряда наиболее распространенных экспериментальных ситуаций Области возможного практического применения результатов ускорители тяжелых ионов, радиационные повреждения, ядерные реакторы Кроме того, результаты этих исследований представляют интерес для многих конкретных областей ядерной и атомной физики, физической электроники Основные положения, выносимые на защиту.

1 Дальнейшее развитие непертурбативного метода описания и расчета потерь энергии с учетом одновременного изменения состояний снаряда и мишени, на основе ранее развитого метода описания столкновений бесструктурных ионов, описываемых как протяженные заряды

2 Общие формулы для эффективного торможения при столкновениях структурных ионов высоких зарядов со сложными нейтральными атомами, описываемыми в модели Дирака-Хартри-Фока-Слейтера

3 Результаты непертурбативного расчета потерь энергии структурных ионов урана ич+ зарядов (10 < <7 < 80) при столкновении с атомами аргона, и торможение тех же партнеров по столкновению, но с учетом влияния среды

4 Расчет эффективного торможения по теории возмущений релятивистских структурных ионов урана Х1ч+ зарядов (10 < д < 80) при столкновении с атомами аргона, с учетом влияния среды

5 Непертурбативный расчет потерь энергии структурных ионов висмута Вг, свинца РЬ и золота Аи при столкновениях с атомами Аи,Та,РЬ -соответственно, и торможение тех же партнеров по столкновению, но с учетом влияния среды

Апробация работы и публикации.

По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ из них 3 работы в рецензируемых журналах из списка ВАК Результаты, вошедшие в диссертационную работу, докладывались на семинаре теоретического сектора отдела мощных лазеров Института общей физики имени А М Прохорова РАН, семинарах лаборатории теоретической физики Поморского государственного университета (г Архангельск), а также на Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ) и международной конференции «Ломоносов-2006» г Москва Список публикаций по материалам диссертации:

1 Матвеев, В И Эффективное торможение быстрых тяжелых высокозарядных структурных ионов при столкновениях со сложными атомами/В И Матвеев, Д Б Сидоров //Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики — 2006 —Т 84 № 5 — С 299

2 Матвеев, В И Потери энергии быстрыми тяжелыми высокозарядными структурными ионами при столкновениях со сложными атомами / В И Матвеев, Д Б Сидоров //Журнал технической физики — 2007 -Т 77 № 7 - С 18-23

3 Матвеев, В И Эффективное торможение быстрых тяжелых структурных ионов при столкновениях со сложными атомами / В И Матвеев, Д Б Сидоров //Вестник Поморского университета Серия <?Естественные и точные науки» — 2006 — № 2(10) — С 107-115

4 Матвеев, ВЕК теории торможения быстрых тяжелых высокозарядных структурных ионов при столкновениях со сложными атомами / В И Матвеев, Д Б Сидоров //Журнал экспериментальной и теоретической физики — 2007 — Т 132, №3 -С 569

5 Сидоров, Д Б Потери энергии релятивистских структурных ионов при столкновениях с атомами /ДБ Сидоров // 12-я Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых

(ВНКСФ-12) Сборник тезисов - г Новосибирск 23-29 марта 2006 -С 69-70

6 Сидоров, Д В Потери энергии релятивистских структурных ионов при столкновениях с атомами /ДБ Сидоров // 13-я Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам — <$Ломоносов» Секция «Физика» Сборник тезисов — Т 2 — г Москва 12-15 апреля 2006

7 Матвеев, В И К теории торможения быстрых тяжелых высокозарядных ионов при столкновениях со сложными атомами и при движении в среде / В И Матвеев, Д Б Сидоров //Материалы 18-й Международной конференции «Взаимодействие ионов с поверхностью (ВИП-2007)» — Т 2 — г Звенигород, Московская обл 24-28 августа 2007 г - С 5861

Личный вклад автора На основе непертурбативного метода описания столкновений структурных ионов с атомами, разработанного научным руководителем, Сидоров Д Б получил выражения для расчетов эффективного торможения структурных ионов при столкновениях со сложными атомами Автор выполнил численный расчет торможения структурных ионов ич+ (10 < ц < 80) урана на атомах аргона, а также потерь энергии ионов РЬ, В1 и Аи на нескольких твердотельных мишенях с учетом одновременных переходов в электронных оболочках снаряда и мишени Для сравнения с непертурбативными результатами, автором был проведен расчет эффективного торможения по теории возмущений релятивистских структурных ионов урана ич+ зарядов (10 < ц < 80) при столкновении с атомами аргона, с учетом влияния среды

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и содержит 119 страниц, 9 рисунков Список литературы включает 96 наименований

Краткое содержание работы

В первой главе представлен обзор различных методов расчета торможения голых ионов при столкновении с атомами, в нерелятивистском и релятивистском случаях Глава состоит из шести разделов, в которых рассматриваются в разделе 11 — расчет потери энергии голых ионов при нерелятивистских скоростях, в разделе 12 — вычисление поправки Блоха к торможению голого иона, в разделе 1 3 — релятивистское обобщение поправки Блоха и поправка Мотта В разделе 1 4 приводится релятивистская теория торможения ядра конечных размеров В разделе 1 5 рассматривается приближение эйконала, показана его связь с приближением внезапных возмущений В разделе 1 6 описано применение приближения внезапных возмущений для расчета вероятностей переходов при неупругих столкновениях

Во второй главе представлены методы расчета и проведены расчеты эффективного торможения структурных ионов по теории возмущений, с учетом одновременной ионизации как иона-снаряда, так и атома-мишени Глава состоит из семи разделов В разделе 2 1 представлен метод расчета торможения в первом борновском приближении В разделе 2 2 рассматривается приближение Бете для расчета сечений переходов неупругих столкновений с учетом возбуждений электронных оболочек обеих сталкивающихся систем В разделе 2 3 приводится вывод формулы числа связанных электронов снаряда с использованием адиабатического критерия Бора для равновесного состояния электронов Раздел 2 4 содержит вывод формулы эффективного торможения с учетом процессов захвата и потерь электронов В разделе 2 5 приведен расчет потерь энергии гелиеподобных и берил-лиеподобных частиц по теории Бете В разделе 2 6 изложен метод расчета потерь энергии ионов, содержащих менее пяти электронов, при столкновениях с нейтральными атомами В разделе 2 7 выполнен расчет эффективного торможения по теории возмущений с использованием формул [8], учитывающих процессы установления равновесного заряда снаряда при потерях и захватах электронов

В третьей главе развита непертурбативная теория потерь энергии быстрыми тяжелыми структурными ионами при столкновениях с нейтральными сложными атомами с учетом всевозможных, в том числе, многократных возбуждений и ионизации, как снаряда, так и мишени Глава состоит из двух разделов В разделе 3 1 рассмотрено торможение структурного иона при столкновении с нейтральным атомом, описываемом в модели Дирака-Хартри-Фока-Слейтера Существенного упрощения задачи удалось достигнуть путем использования лишь многоэлектронных мишеней и ограничением рассмотрения высокозарядными структурными ионами, заряд которых много больше единицы, когда характерный размер электронной шубы иона-снаряда много меньше характерного размера нейтрального атома-мишени Приведены оценки погрешностей используемых приближений и вычислений неупругих сечений В результате получены формулы для эффективного торможения, аналогичные известным формулам Бете-Блоха Для иллюстрации вклада многоэлектронных возбуждений шубы иона в эффективное торможение проведено сравнение с результатами расчетов по теории возмущений Проведены расчеты потерь энергии ионов урана ич+ (10 < д < 80) при столкновениях с атомами аргона и потерь энергии ионов РЬ, В1 и Аи на нескольких мишенях Проведено сравнение с экспериментом

Легко видеть, что потери энергии с учетом всевозможных возбуждений, как снаряда, так и мишени можно представить в виде

к = к® + к®, (1)

где - потери энергии на возбуждение и ионизацию электронов структурного иона при произвольной судьбе электронов атома-мишени,к® - потери энергии на возбуждение и ионизацию электронов атома-мишени при произвольной судьбе электронов структурного иона Далее мы воспользовались приближением внезапных возмущений и показали, что для достаточно больших скоростей иона V » 1 и многоэлектронной мишени Иа 1

справедлива следующая интерпретация - потери энергии на возбуждение и ионизацию электронов структурного иона атомом-мишенью, описываемым как протяженный заряд, к^ - потери энергии на возбуждение и ионизацию электронов атома-мишени структурным ионом, описываемым как протяженный заряд Для описания электронной плотности атома-мишени мы использовали модель Дирака-Хартри-Фока-Слейтера [9]

3 3

АМ-З^Е^е-М, = (2)

' ' 1—1 1—1

где А, ии,- постоянные, табулированные для всех < 92 в [9]

В результате нами получена общая формула для торможения структурного иона-снаряда, с учетом возбуждений электронных оболочек иона

1П271,-\р2 + У/А211п-}-г +

А , 4 а) 1па,-а?1па,

+ Л'А> -1 _ .а +

, , » а, — а.

+ + ^Мои

(3)

где - заряд ядра мишени, ДЬщж!1 и Д- поправки Блоха и Мотта в поле заряда Za, рассеивающего принадлежащие иону электроны

Рассмотрим теперь к® - потери энергии на возбуждение и ионизацию электронов атома-мишени структурным ионом, описываемым как протяженный заряд Поскольку мы рассматриваем высокозарядные структурные ионы, видимый заряд 1, в этом случае ион можем считать точечной частицей заряда и сразу написать стандартное выражение [10]

для эффективного торможения

= tUpL (inj^ - Р + ДL%ooh + ДLbM) , (4)

где I - средняя [11] атомная энергия мишени, ДLZ£loch и ДL^ott - поправки Блоха и Мотта в поле заряда Zp1 рассеивающего принадлежащие атому электроны Полные потери энергии есть сумма потерь энергии структурного иона-снаряда и атома-мишени, которая получена в виде

где Nm = Na + Np- полное число электронов сталкивающихся систем и введены эффективные величины

- эффективный заряд сталкивающихся систем, средняя атомная энергия Iefj сталкивающихся систем, такая что

lnleff - QzXln(Q2/2) + ZpNa In I^j ,

здесь а определяется из

-l-fy^ t

«=1 v ! 3

эффективная поправка Блоха

ДLBloch ~ Z2ffNtot + ZPNa^LBloch) '

эффективная поправка Могга

Д-^Мой = gl N + ZlNa^ZMott)

В разделе 3 2 выполнен расчет эффективного торможения для различных сочетаний снаряд - мишень, проведено сравнение с результатами расчетов других авторов и имеющимися экспериментальными данными Для иллюстрации вклада в полное эффективное торможение потерь энергии на возбуждение и ионизацию электронных оболочек снаряда мы рассчитали величину

имеющую смысл относительного вклада неупругих переходов электронов снаряда в полное эффективное торможение Расчеты проведены нами для частично ободранных ионов урана 11д+ (10 < <? < 80) при столкновениях с атомами аргона При проведении расчетов мы, как и в [12] для среднего заряда иона Z* в среде использовали эмпирическую формулу

где Zo - заряд полностью ободранного иона, тогда среднее число связанных с ионом электронов Ы* — При движении структурного иона в среде

мы рассчитали величену т?" аналогичную т]

Как следует из рис 1, потери энергии на возбуждение и ионизации электронов снаряда растут с ростом числа электронов на электронных оболочках урана и оказываются существенными для многоэлектронных структурных ионов, тогда как для ионов с малым числом связанных электронов относительные поправки не велики На рис 2 приведено сравнение результатов наших расчетов с экспериментом [12] для малоэлектронных снарядов поправки за счет вклада неупругих переходов электронов снаряда в полное эффективное торможение, хотя и относительно не велики (порядка нескольких процентов), но позволяют принципиально объяснить не объясненную в работе [12] разницу между теорией Линхарда-Соренсена [10] и экспериментом [12], когда теория Линхарда-Соренсена, построенная только для голых ядер, дает результаты, хотя и близкие к экспериментальным,

кУ> к'

•Ср)

Г) =

к(р) + «М к

(6)

0.8

0.2

10 50 100 500 1000 500010000

Е (МеУ/А)

Рис 1 Относительный вклад (6) возбуждений и ионизации электронных оболочек снаряда в полное эффективное торможение ионов урана иг'+ на нейтральных атомах Аг в зависимости от энергии иона (в МэВ/нуклон)

но систематически лежащие несколько ниже экспериментальных

1 06 1.05 1.04 1.03 3 1.02 > 1.01 1

0.99 0.98 0 97

200 300 400 500 600 700 800 900 1000 E (MeV/A)

Рис 2 Экспериментальные [12] и расчетные значения к - эффективного торможения снарядов ШРЪ и 209Вг на различных мишенях, нормированные на соответствующие величины ms теории Лиихарда-Соренсена [10] В теории Линхарда-Соренсена соответствующий заряд голого ядра заменен на - эффективный заряд (7)

На рис 3 относительный вклад rf представлен пунктирной линией Как видно из рис 3 в приведенном диапазоне энергий 5 < Е < 10000 МэВ/нуклон лишь эффективные заряды Z* > 45 вносят заметный вклад неупругих переходов электронов снаряда в полное эффективное торможение Причем, лишь для энергий Е < 200 МэВ/нуклон относительные вклады в эффективное торможение rf за счет электронных возбуждений и ионизации снаряда составляют более одного процента и достигают при Е — Ъ МэВ/нуклон пятидесяти процентов Энергии Е < 200 МэВ/нуклон, по сути дела, соответствуют нерелятивистским столкновениям, поэтому мы, для выделения и иллюстрации вклада более чем одноэлектронных ионизации и возбуждений снаряда, провели расчеты относительной поправки по теории возмущений с использованием формул (2 28) и (2 29), полученных в известной работе [8] и представляющих по смыслу теории возмущений вклады одноэлектронных ионизации и возбуждений снаряда

Е (МеУ/А)

Рис 3 Относительный вклад (6) возбуждений и ионизации электронных оболочек снаряда в полное эффективное торможение ионов урана на нейтральных атомах Ат в зависимости от энергии иона (в МэВ/нуклон),пунктирная линия г)* - та же самая величина при движении в среде, расчитанная по формуле (6) путем замены Z■¡, на (7) и ЛГр на Щ = - Z* Мелкая пунктирная линия гр - расчет по теории возмущений [8]

и мишени, соответственно Причем, (2 28) и (2 29) из [8] содержат зависимость числа электронов снаряда от скорости снаряда Рассчитанный таким образом вклад мы обозначили 770 и привели его на рис 3 Как видно из рис 3, т]о заметно меньше г)*, что, как и следовало ожидать, иллюстрирует существенный вклад многоэлектронных ионизации и возбуждений снаряда в процессы потерь энергии многоэлектронными снарядами

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертации и выносимые автором на защиту

Список литературы

[1] Etchler, J Relativistic atomic collisions/J Eichler and W E Meyrhof //New York Academic Press Inc - 1995 - 413 pp

[2] Eichler, J Theory of relativistic ion-atom collisions / J Eichler //Physics Reports 1990 Vol 193 Pp 165 277

[3] DuBois, R D Electron loss from 1 4-MeV/u i/(^,io+) ions colliding with JVe, iV2, and Ar targets /R D DuBois, А С F Santos, Th Stohlker et al ,//Physical Review A ,-2004,-70,-032712

[4] Projectile electron loss and capture in MeV/u collisions of U2%+ with Яг, N2 and Ar/R E Olson, R L Watson, V Horvat et al // Journal of Physics В Atomic, Molecular and Optical Physics-2004 -Vol -37 P-4539

[5] Кгт, УК Stopping power for partially stripped lons/Y К Kim and К Cheng,//Physical Review A -1980 Vol 22 -61

[6] Kaneko, T Stopping power for hydrogenlike and heliumhke particles Bethe theory /Т Kaneko, //Physical Review A -1991 Vol 43 -4780

[7] McGuire, E J Bethe stopping-power formula for structured projectiles/E J McGuire//Physical Review A -1998 Vol 57 -2758

[8] Cabrera-Trujillo, R Bethe theory of stopping incorporating electronic excitations of partially stripped projectiles/R Cabrera-Trujillo, S A. Cruz, Jens Oddershede, and John R Sabm//Physical Review A-1997 Vol 552864

[9] Analytical Dirac-Hartree-Fock-Slater screening function for atoms (Z=l-92)/ F Salvat, J D Martinez, R Mayol, and J Parellada //Physical Review A - 1987 -Vol 36 - P 467

[10] Lmdhard, J Relativistic theory of stopping for heavy ions/Lindhard J , Sorensen A // Physical Review A - 1996 - 53 - 2443

[11] Ландау, ЛД Квантовая механика (нерелятивистская теория)/JIД Ландау,Е М Лифщиц// (М Наука, 1989)

[12] Weick, Н Slowing down of relativistic few-electron heavy ions/H Weick, H Geissel, С Scheidenberger //Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section В Beam Interactions with Materials and Atoms -2000 -164/165,-168

Подписано в печать 14 04 2008 Бумага писчая Формат 60 х 84 1/16 Тираж 100 экз Объем 1,0 п л Заказ №79

Отпечатано в издательском центре ПГУ 163002, г Архангельск, пр Ломоносова, 6

Введение

1 Методы расчета эффективного торможения голых ионов

1.1 Потери энергии при нерелятивистских столкновениях

1.2 Поправка Блоха

1.3 Релятивистское обобщение поправки Блоха и поправка Мотта

1.4 Релятивистская теория торможения ядра конечных размеров

1.5 Приближения эйконала и его модификации.

1.6 Приближение внезапных возмущений.

2 Расчёты эффективного торможения структурного иона по теории возмущений

2.1 Теория торможения в первом борновском приближении

2.2 Приближение Бёте.

2.3 Адиабатическое приближение равновесного состояния электронов

2.4 Эффективное торможение с учетом процессов захвата и потерь электронов

2.4.1 Нижний предел интегрирования по q

2.5 Потеря энергии гелиеподобных и водородоподобных частиц: теория Бёте.

2.5.1 Расчет потерь энергии при торможении.

2.6 Потеря энергии быстрых снарядов с числом электронов п ^

2.6.1 Постановка задачи.

2.6.2 Описание связанных электронов.

2.6.3 Формула торможения.

2.6.4 Эффективный заряд.

2.7 Результаты.

3 Непертурбативная теория торможения. Результаты и расчеты

3.1 Эффективное торможение релятивистских структурных ионов при столкновениях со сложными атомами.

3.1.1 Общая часть

3.1.2 Расчет эффективного торможения.

3.2 Результаты и расчеты.

3.2.1 Движение в среде.

Актуальность темы исследования. Частично ободранные ионы высоких зарядов и энергий используются во многих экспериментах, проводимых на ускорителях тяжёлых ионов. Такие ионы состоят из ядра и некоторого количества связанных электронов, частично компенсирующих заряд ядра и образующих электронную «шубу» иона. Известно, что неупругие процессы, сопровождающие столкновения релятивистских ионов достаточно больших зарядов с атомами не могут быть описаны [1, 2] в рамках теории возмущений даже при сколь угодно больших энергиях столкновения. Строго говоря, столкновения таких структурных ионов с атомами следует рассматривать как столкновения двух сложных систем, при которых происходит одновременное возбуждение электронных оболочек обеих сталкивающихся систем. Везде ниже мы будем называть движущийся структурный ион снарядом, а покоящийся атом — мишенью. В настоящее время активизировался интерес к процессам многократных возбуждений электронных оболочек снаряда при столкновениях тяжелых ионов с нейтральными атомами. Например, в работах [3],[4] проведены измерения сечений многократной ионизации (потеря до 15 электронов) быстрых ионов урана при столкновениях с многоэлектронными нейтральными атомами. Измерения показали, что при увеличении степени ионизации на единицу соответствующее сечение убывало менее чем в два раза, и была отмечена необходимость рассчитывать подобные процессы непертурбативными (не предполагающими малости возмущения) методами. Аналогичный вывод справедлив и для процессов ионизационных потерь энергии. Большой вклад в эффективное торможение дает произведение энергии ионизации на сечение ионизации. На двукратную ионизацию приходится примерно в два раза большая энергия, чем на однократную, и если сечение двукратной ионизации в два раза меньше, чем сечение однократной ионизации, то произведение энергии на соответствующее сечение не меняется, аналогично и для ионизации более высокой кратности. Другими словами, вклад многоэлектронных переходов в эффективное торможение следует ожидать сравнимым по порядку величины с вкладом одноэлектронных возбуждений и ионизации. Ясно, что подобные процессы не описываются в рамках первого борновского приближения, используемого в известных расчетах [5]-[8] по теории возмущений потерь энергии при столкновениях быстрых структурных ионов с атомами, поэтому, соответствующее непертурбативное рассмотрение представляет значительный интерес.

Цель работы заключается в дальнейшем развитии непертурбативной теории эффективного торможения релятивистских структурных ионов при столкновениях со сложными атомами с учетом всевозможных, в том числе, многократных возбуждений и ионизации, как снаряда, так и мишени. Проведении на основе развитой теории расчётов и сравнение их с экспериментом.

Научная новизна работы, прежде всего, определяется тем, что большинство предлагаемых расчётов было выполнено на основе оригинальных схем, разработанных научным руководителем профессором Матвеевым В. И. и автором диссертации для описания элементарных процессов, интенсивно исследуемых в настоящее время на ускорителях тяжёлых ионов, а также тем, что ряд расчётов был выполнен впервые:

1. На основе приближения внезапных возмущений и релятивистского обобщения приближения эйконала впервые развит непертурбативный метод описания и расчета потерь энергии с учётом одновременных многоэлектронных возбуждений и ионизации электронных оболочек снаряда и мишени.

2. На основе развитой теории впервые получены общие формулы для эффективного торможения при столкновениях структурных ионов высоких зарядов со сложными нейтральными атомами, описываемых в модели Дирака-Хартри-Фока-Слейтера.

3. Проведен непертурбативный расчет потерь энергии структурных ионов урана Uq+ зарядов (10 < q < 80) при столкновении с атомами аргона, и торможение тех же партнеров по столкновению, но с учетом влияния, среды.

4. С целью сравнения с непертурбативными результатами, проведен расчёт по теории возмущений эффективного торможения релятивистских структурных ионов урана Uq+ зарядов (10 < q < 80) при столкновении с атомами аргона, с учетом влияния среды.

5. Проведены непертурбативные расчеты потерь энергии структурных ионов Bi, свинца РЬ и золота Аи при столкновениях с атомами Аи,Та,РЬ - соответственно, и торможение тех же партнеров по столкновению, но с учетом влияния среды.

Достоверность и научная обоснованность полученных результатов и выводов обеспечивается надёжностью применяемых методов расчёта, тщательным тестированием применяемых алгоритмов и программ, а также сравнением с результатами расчётов других авторов и экспериментами.

Научная и практическая ценность работы. Проведено распространение новых непертурбативных методов теории атомных столкновений, специализированных для описания неупругих процессов при взаимодействии релятивистских и ультрарелятивистских структурных ионов с простейшими атомами, на случаи столкновений со сложными атомами. Основой такого распространения явилась единая методика расчётов, использующая релятивистские обобщения широко известных приближений внезапных возмущений и приближения эйконала, позволяющих получить для амплитуд неупругих процессов выражения, имеющее стандартный нерелятивистский предел, а в ультрарелятивистском случае переходящие в известное точное решение. Развита непертурбативная теория потерь энергии и торможения быстрых тяжёлых структурных ионов при столкновениях с нейтральными сложными атомами. Разработаны новые непертурбативные расчетные методы теории атомных столкновений для расчетов процессов потерь энергии при столкновениях быстрых и релятивистских структурных ионов со сложными атомами, с учетом всевозможных, в том числе многоэлектронных, одновременных процессов возбуждений и ионизации, как снаряда, так и мишени. Проведены расчеты эффективного торможения для ряда наиболее распространенных экспериментальных ситуаций. Области возможного практического применения результатов: ускорители тяжелых ионов, радиационные повреждения, ядерные реакторы. Кроме того, результаты этих исследований представляют интерес для многих конкретных областей ядерной и атомной физики, физической электроники.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Дальнейшее развитие непертурбативного метода описания и расчета потерь энергии с учётом одновременного изменения состояний снаряда и мишени, на основе ранее развитого метода описания столкновений бесструктурных ионов, описываемых как протяженные заряды.

2. Общие формулы для эффективного торможения при столкновениях структурных ионов высоких зарядов со сложными нейтральными атомами, описываемыми в модели Дирака-Хартри-Фока-Слейтера.

3. Результаты непертурбативного расчета потерь энергии структурных ионов урана Uq+ зарядов (10 < q < 80) при столкновении с атомами аргона, и торможение тех же партнеров по столкновению, но с учетом влияния среды.

4. Расчет эффективного торможения по теории возмущений релятивистских структурных ионов урана Uq+ зарядов (10 < q < 80) при столкновении с атомами аргона, с учетом влияния среды.

5. Непертурбативный расчет потерь энергии структурных ионов висмута Вг, свинца Р6, золота Аи при столкновениях с атомами Аи, Та,РЪ -соответственно, и торможение тех же партнеров по столкновению, но с учетом влияния среды.

Апробация работы и публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ из них 3 работы в рецензируемых журналах из списка ВАК [9, 10, 11].

Результаты, вошедшие в диссертационную работу, докладывались на семинаре теоретического сектора отдела мощных лазеров Института общей физики имени А. М. Прохорова РАН, семинарах лаборатории теоретической физики Поморского государственного университета (г. Архангельск), а также на Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных (ВНКСФ) [12] и международной конференции «Ломоносов-2006» г.Москва. [13] и на XVIII Международной конференции "Взаимодействие ионов с поверхностью - 2007"(ВИП-2007). Список публикаций по материалам диссертации:

1. Матвеев, В. И. Потери энергии быстрыми тяжёлыми высокозарядными структурными ионами при столкновениях со сложными атомами / В. И. Матвеев, Д. Б. Сидоров //Журнал технической физики. — 2007. -Т. 77. № 7.- С. 18-23.

2. Матвеев, В. И. К теории торможения быстрых тяжёлых высокозарядных структурных ионов при столкновениях со сложными атомами / В. И. Матвеев, Д. Б. Сидоров //Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2007. — Т. 132, №3,—С. 569

3. Матвеев, В. И. Эффективное торможение быстрых тяжелых структурных ионов при столкновениях со сложными атомами / В. И. Матвеев, Д. Б. Сидоров 11Вестник Поморского университета. Серия «Естественные и точные науки». — 2006. — № 2(10).— С. 107-115.

4. Матвеев, В. И. Эффективное торможение быстрых тяжёлых высокозарядных структурных ионов при столкновениях со сложными атомами / В. И. Матвеев, Д. Б. Сидоров //Письма в Журнал теоретической и экспериментальной физики. — 2006. —Т. 84. № 5. — С. 299.

5. Сидоров, Д. Б. Потери энергии релятивистских структурных ионов при столкновениях с атомами / Д. Б. Сидоров // 12-я Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых учёных (ВНКСФ-12). Сборник тезисов. — г. Новосибирск: 23-29 марта 2006. - С. 69-70.

6. Сидоров, Д. Б. Потери энергии релятивистских структурных ионов при столкновениях с атомами / Д. Б. Сидоров // 13-я Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным наукам — «Ломоносов». Секция «Физика». Сборник тезисов. — Т. 2. — г. Москва: 12-15 апреля 2006.

7. Матвеев, В. И. К теории торможения быстрых тяжелых высокозарядных ионов при столкновениях со сложными атомами и при движении в среде / В. И. Матвеев, Д. Б. Сидоров //Материалы 18-й Международной конференции «Взаимодействие ионов с поверхностью (ВИП-2007)». — Т. 2. — г. Звенигород, Московская обл.: 24-28 августа 2007 г. - С. 5861.

Личный вклад автора. На основе непертурбативного метода описания столкновений структурных ионов с атомами, разработанного научным руководителем, Сидоров Д. Б. получил выражения для расчётов эффективного торможения структурных ионов при столкновениях со сложными атомами. Автор выполнил численный расчёт торможения структурных ионов Uq+ (10 < q < 80) урана на атомах аргона, а также потерь энергии ионов РЬ, Вг и Аи на нескольких твердотельных мишенях с учётом одновременных переходов в электронных оболочках снаряда и мишени. Для сравнения с непертурбативными результатами, автором был проведен расчет эффективного торможения по теории возмущений релятивистских структурных ионов урана Uq+ зарядов (10 < q < 80) при столкновении с атомами аргона, с учетом влияния среды.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и содержит 119 страниц, 9 рисунков. Список литературы включает 96 наименований.

Заключение

В заключениии кратко сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Дополнена непертурбативная теория торможения. На основе приближения внезапных возмущения и релятивистского обобщения приближения эйконала развит метод расчета эффективного торможения с учётом одновременных возбуждений электронных оболочек снаряда и мишени.

2. Получены общие формулы для расчета потерь энергии при столкновениях структурных ионов высоких зарядов со сложными нейтральными атомами, описываемых в модели Дирака-Хартри-Фока-Слетера.

3. На основе этого метода выполнен численный расчёт торможения структурного иона Uq+ (10 < q < 80) урана на атомах аргона с учётом одновременных переходов в электронных оболочках снаряда и атома-мишени.

4. Проведен численный расчет эффективного торможения по теории возмущений релятивистских структурных ионов урана Uq+ зарядов (10 < q < 80) при столкновении с атомами аргона, с учетом влияния среды.

5. Проведены непертурбативные расчеты потерь энергии структурных ионов висмута Bi, свинца РЬ и золота Аи при столкновениях с атомами Au,Ta,Pb - соответственно, с учетом возбуждений обеих сталкивающихся систем.

1. Eichler, J. Relativistic atomic collisions/J. Eichler and W.E. Meyrhof //New York.: Academic Press 1.c.- 1995 - 413 pp.

2. Eichler, J. Theory of relativistic ion-atom collisions / J. Eichler //Physics Reports.— 1990.- Vol. 193,- Pp. 165-277.

3. DuBois, R. D. Electron loss from 1.4-MeV/u t/(4>6'10+) ions colliding with Ne, N2, and Ar targets /R. D. DuBois, A. C. F. Santos, Th. Stohlker et al.,//Physical Review A.,-2004,-70,-032712.

4. Projectile electron loss and capture in MeV/u collisions of U28+ with #2, N2 and Ar/R. E. Olson, R. L. Watson, V. Horvat et al.// Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics-2004.-Vol. -37.P-4539.

5. Kim, Y.K. Stopping power for partially stripped ions/Y. K. Kim and K. Cheng,//Physical Review A-1980. Vol 22.-61.

6. Kaneko, T. Stopping power for hydrogenlike and heliumlike particles: Bethe theory /Т. Kaneko, //Physical Review Л.-1991. Vol 43.-4780.

7. Cabrera-Trujillo, R. Bethe theory of stopping incorporating electronic excitations of partially stripped projectiles/R. Cabrera-Trujillo, S. A. Cruz, Jens Oddershede, and John R. Sabin//Physical Review A. -1997.Vol 55. -2864.

8. McGuire, E. J. Bethe stopping-power formula for structured projectiles/E. J. McGuire//Physical Review A. -1998.Vol 57. -2758.

9. Матвеев, В. И. Эффективное торможение быстрых тяжёлых высокозарядных структурных ионов при столкновениях со сложными атомами / В. И. Матвеев, Д. Б. Сидоров jIПисьма в Журнал теоретической и экспериментальной физики. — 2006. Том 84. - 5.- С. 299.

10. Матвеев, В. И. Потери энергии быстрыми тяжёлыми высокозарядными структурными ионами при столкновениях со сложными атомами / В. И. Матвеев, Д. Б. Сидоров //Журнал технической физики. 2007. - Т. 77. № 7. - С. 18-23.

11. Матвеев, В. И. К теории торможения быстрых тяжёлых высокозарядных структурных ионов при столкновениях со сложными атомами / В. И. Матвеев, Д. Б. Сидоров //Журнал-экспериментальной и теоретической физики. — 2007. — Т. 130,7.

12. Берестецкий, В. Б. Квантовая электродинамика / В. Б. Берестец-кий, Е. М. Лифшиц, JT. П. Питаевский. М.: Наука, 1989.

13. Ahlen, S.P. Theoretical and experimental aspects of the energy loss of relativistic heavily ionizing particles*/S.P. Ahlen//Reviews of Modern Physics. 1980. Vol. 52. - 121.

14. Scheidenberger, C. Direct observation of systematic deviations from the Bethe stopping theory for relativistic heavy ions/Scheidenberger C., Geissel H., Mikelsen H. H. et al// Physical Review Letters. 1994. Vol. 73. - 50.

15. Ландау, Л.Д. Квантовая механика (нерелятивистская тео-рия)/Л. Д. Ландау,Е. М. Лифщиц// (М.:Наука, 1989).

16. Block F. Stopping power for fast charged particles and ions / Bloch F. //Ann. der Phys. 1933. - Vol. 16. - P. 285.

17. Lindhard, J. Relativistic theory of stopping for heavy ions/Lindhard J., Sorensen A.// Physical Review A 1996.- 53 - 2443.

18. Anderson, V.E. Relativistic corrections to stopping powers/Anderson V. E., Ritchie R. H., Sung С. C., Eby P. В .//Physical Review A. 1985. Vol. 31- 2244.

19. Абрамовиц, M. Справочник по специальным функциям (Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган) (М.: Наука. 1979).

20. Бор, Н. Избранные труды/Н. Бор.//(м!: Наука, 1970, Т. 1).

21. Mott N.F. Relativistic theory of stopping / Mott N. F. // Proc. Roy. Soc. 1929. - Vol. A124. - R 425.

22. Doggett, J.A. Elastic Scattering of Electrons and Positrons by Point Nuclei/Doggett J. A. and Spenser L. V.//Physical Review. 1956. -Vol. 103. -1597.

23. Матвеев, В. И. Торможение релятивистских многозарядных ионов в электронном газе / В. И. Матвеев, С. Г. Толманов //Журнал технической физики. 1998. - Т. 68, № 2. - С. 9-12.

24. Ферми, Э. Научные труды / Э. Ферми // (М.: Наука, 1972, Т.2).

25. Bohr, A. Mottelson В. Nuclear Structure/A. Bohr //(N.-Y.: Benjamin 1969, V. 1).

26. Franco, V. Diffraction Theory of Scattering by Hydrogen Atoms / V. Franco // Physical Review Letters. —1968.-Vol. 20, no. 14.-Pp. 709712.

27. Голъдбергер, M. Теория столкновений: Пер. с англ. / М. Гольдбергер, К. Ватсон. М.: Мир, 1967. 824 с.

28. Ландау, Л. Д. Механика / JI. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. М.: Наука,1975. 215 с.

29. Ахиезер, А. И. Квантовая электродинамика / А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий. 4, перераб. изд. М.: Наука,- 1981. 432 с.

30. Матвеев, В. И. Ионизационные потери релятивистских многозарядных ионов / В. И. Матвеев, С. Г. Толманов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1995. - Т. 107, №6. - С. 1780-1791.

31. McGuire, J. H. Ionization of atomic hydrogen by bare ions with charges 1 to 6 in the Glauber approximation / J. H. McGuire //Physical Review A. 1982. - Vol. 26. - Pp. 143-147.

32. McGuire, J. H. Double excitation of helium by fast particles of charge Z / J. H. McGuire, J. C. Straton // Physical Review A. 1990. - Vol. 43. - Pp. 5184-5187.

33. Golden, J. E. Integral representation for the Glauber scattering amplitude for direct Coulomb ionization by charged particles / J. E. Golden, J. H. Mcguire //Physical Review A. 1975. - Vol. 12. Pp. 80-84.

34. Golden, J. E. Cross sections for atomic K-shell ionization by ion impact in the single-particle Glauber approximation /J. E.- Golden, J. H. Mcguire //Physical Review A. 1977. - Vol. 15. Pp. 499-507.

35. Crothers, D. S. F. Ionisation of atoms by ion impact / D. S. F. Crothers, S. H. McCann // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1983. - Vol. 16. P. 3229.

36. Baltz, A. J. Exact dirac equation calculation of ionization and pair production induced by ultrarelativistic heavy ions / A. J. Baltz //Physical Review Letters— 1997 — Vol. 78, no. 7 — Pp. 1231-1234.

37. Baltz, A. J. Coulomb potential from a particle in uniform ultrarelativistic motion / A. J. Baltz //Physical Review A.— 1995,— Vol. 52, no. 6.-Pp. 4970-4971.

38. Magnus, W. On the exponential solution of differential equations for a linear operator / W. Magnus //Communications on pure and applied mathematics.— 1954 — Vol. 7.- P. 649.

39. Pechukas, P. On the Exponential Form of Time-Displacement Operators in Quantum Mechanics / P. Pechukas, J. C. Light // Journal of Chemical Physics 1966.- Vol. 44,- Pp. 3897-3912.

40. Alder, K. Magnus expansion in terms of sudden perturbation theory / K. Alder, A. Winther //Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Mat Fys. Medd.—1960.- Vol. 32.- P. 8.

41. Alder, K. Reactions between complex nuclei / K. Alder; Ed. by

42. A. Chiorso, R. M. Diamond, E. Conzett. — Berkley: University of California Press, 1963.— 253 pp.

43. Takayanagi, K.j K. Takayanagi //Progress of Theoretical Physics Supplement.—1963 — Vol. 25 — P. 43.

44. Takayanagi, K. Magnus approximation for atoms ionization by heavy ions / K. Takayanagi //Sci. Rep. Saitana Univ.— 1959.— Vol. Ill A.— P. 65.

45. Дыхне, A. M. "Встряхивание"квантовой системы и характер стимулированных им переходов/ А. М. Дыхне, Г. JI. Юдин // Успехи физических наук. 1978. - Том. 125. С. 377.

46. Дыхне, А. М. Вынужденые эффекты при "встряске"электрона во внешнем электромагнитном поле / А. М. Дыхне, Г. Л.Юдин //Успехи физических наук. 1977. - Том. 121. С. 157.

47. Персивалъ, И. С. // Атомы в астрофизике / Под ред. Ф. Г. Верка,

48. B. Б. Эйспера, Д. Г. Хаммера, И. С. Персиваля. М.: Мир, 1988. С. 87-113.

49. Eichler, J. Magnus approximation for K-shell ionization by heavy-ion impact / J. Eichler //Physical Review A. 1977. Vol. 15. Pp. 18561862.

50. Юдин, Г. Л. Кулоновское возбуждение атомов / Г. JI. Юдин // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1981. - Том. 80. С. 1026.

51. Toshima, N. Direct reactions in relativistic atomic collisions and the influence of Coulomb boundary conditions / N. Toshima, J. Eihler // Physical Review A. 1990. - Vol. 42. Pp. 3896-3900.

52. Ландау, Л. Д. Теория поля / JI. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. М.: Наука, 1973. 509 с.

53. Salop, A. Sudden approximation cross sections for ionisation of h atomsiby energetic C6+ and He2+ impact / A. Salop, J. H. Eichler // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1979. - Vol. 12. Pp. 257-264.

54. Матвеев В. И. Неупругие процессы при столкновениях релятивистских многозарядных ионов с атомами / В. И. Матвеев, М. М. Муса-ханов // Журнал экспериментальной и теоретической физики.1994. Т. 105. - С.280

55. Матвеев, В. И. Столкновения быстрых многозарядных ионов с атомами / В. И. Матвеев //Элементарные частицы и атомное ядро.1995. Т. 26, №3. - С. 780-820.

56. Voitkiv, А. В. On the projectile-electron loss in fast collisions with heavy atomic targets / A. B. Voitkiv, N. Grun, W. Scheid // Physical Review B. 2000. - Vol. 33. - Pp. 3431-3439.

57. U. Fano and A. R. P. Rau Atomic Collisions and Spectra Academic, New York, (1986).

58. F. Hubert, R. Bimbot and H. Gauvin. At./Range and stopping-power tables for 2.5-500 MeV/nucleon heavy ions in solids//Aformc Data and Nuclear Data Tables.-1990.--Vol-46.-Pp 1-213.

59. Bethe, Hans A. Annalen der Physik.-1930(Leipzig).-Vol-5,-P-325.

60. Kim, Y.K. Stopping power for partially stripped ions /Y.K. Kim and K. Cheng J/Physical Review A. 1980. - Vol. 22. P. 61.

61. Kaneko, T. Stopping power for hydrogenlike and heliumlike particles: Bethe theory/T. Kaneko.//Physical Review A. 1991- Vol. 43 - 4780.

62. Bohr, N. The Penetration of Atomic Particles through. Matter/N. Bohr//Mat. Fys. Medd Dan. Vidensk. Selsk. 18, No. 8 (1948).

63. Bethe, Hans A. Intermediate Quantum Mechanics /Bethe, Hans A., Roman W. Jackiw,(W.A. Benjamin, NY,)-1986).

64. D.R.Bates, Atomic and Molecular Processes, edited by D. R. Bates (Academic, New York, 1962), Chap. 14.

65. R. W. James, The Optical Principles of the Diffraction of X-Rays, edited by L. Bragg (Bell, London, 1967), p. 109.

66. Bohr, N. Scattering and Stopping of Fission Fragments /N. Bohr//Physical itemew.-1940.-58.-654. 59, 270 (1941).

67. Yarlagadda, Y.S. Effective-charge theory and the electronic stopping power of solids/Y. S. Yarlagadda, J.E.Robinson, and W. Brandt//Physical Review B. 1978.-17.-347.

68. L.H.Thomas, Proc. Cambridge Philos. Soc. 23, 542 (1927); E. Fermi, Mem. Accad. Lincei 6, 602 (1927).

69. Brandt, W. Effective stopping-power charges of swift ions in condensed matter / W. Brandt, M. Kitagawa //Physical Review В.— 1982.— Vol. 25, no. 9.- Pp. 5631-5637.

70. T.Tietz, J.Chem. Phys. 25, 789 (1956).

71. M. A. Kumakhov and F. F. Komarov, Energy Loss and Ion Ranges in Solids (Gordon and Breach, New York, 1981).

72. Abramowitz, M. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables / M. Abramowitz, I. A. Stegun. Applied Mathematics Series — 55.— 10 edition — Washington, DC: National Bureau of Standards, 1970.— 253 pp.

73. Barkas,W.H. Resolution of the —Mass Anomaly /W. H. Barkas, N. J. Dyer, and H. H. Heckman//Physical Review Letters-19Q3.-11.-2Q.

74. Walske, M.C. The Stopping Power of K-Electrons/M. C. Walske//Physical Review. 1952.-88.-1283. and Stopping Power of L-Electrons/M. C. Walske//Physical Review.-1956.-101.-940.

75. Ritchie, R.H. Interaction of Charged Particles with a Degenerate Fermi-Dirac Electron Gas /R. H. Ritchie//Physical Review.-1959.-114.-644.

76. Neufeld, J. Passage of Charged Particles through Plasma/J. Neufeld and R. H. Ritchie//Physical Review.-1955.--98.-1632.

77. Lindhard, J. Stopping power of electron gas and equipartition rule/J. Lindhard and A. Winther, K. Dan. //Vidensk. Selsk. Mat. Fys. Medd. 34, No. 4 (1964).

78. Ferrel, T.L. Energy losses by slow ions and atoms to electronic excitation in solids/T. L. Ferrel and R. H. Ritchie//Physical Review £.-1977.-16.-115.

79. Kaneko, T. Energy loss and straggling of low-velocity heavy atoms in matter/Toshiaki Kaneko//Physical Review A.-1990.-41.-4889.

80. Yarlagadda, B.Effective-charge theory and the electronic stopping power of solids/B. S. Yarlagadda, J. E. Robinson, and Werner Brandt Physical Review В.-1978.-17.-3437.

81. N. Bohr,К. Dan //Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Mat. Fys. Medd.-1948.-18.No 8.P-1.

82. Direct measurement of fixed-charge stopping power for 32-MeV 3He1+ in a charge-state nonequilibrium region H. Ogawa, I. Katayama, H. Ikegami, and et all//Physical Review В.-1991.-43,-13. P.p- 11370-11373.

83. Gillespie, G.H. Systematics of atom-atom collision strengths at high speeds/G. H. Gillespie and M. Inokuti//P%sica/ Review A.-1980.-22.-2430.

84. Crawford, O.H. Energy deposition by partially stripped ions in gases and condensed media/O. H. Crawford//Physical Review A.-1989.-39.-4432.

85. Матвеев, В. И. Столкновения быстрых многозарядных ионов с атомами./ В. И. Матвеев.//Элементарные частицы и'атомное ядро. -1995. -Т. 26. 780.

86. Матвеев, В. И. Приближение внезапных возмущений для уравнения Дирака / В. И. Матвеев //Теоретическая и математическая физика. 2005. - Т. 142. - № 1. - С. 57-62.

87. Baltz, A.J. Exact Dirac Equation Calculation of Ionization and Pair Production Induced by Ultrarelativistic Heavy Ions/A. J. Baltz J j Physical Review Letters. 1997. - Vol. 78. -P.1231.

88. Analytical Dirac-Hartree-Fock-Slater screening function for atoms (Z—1-92)/ F. Salvat, J. D. Martinez, R. Mayol, and J. Parellada j j Physical Review A. 1987. -Vol. 36. - P. 467.

89. Матвеев, В. И. Многократная потеря электронов структурными ионами при столкновениях со сложными атомами/В. И. Матвеев Д. У. Матрасулов, С. В. Рябченко jIПисьма в Журнал экспериментальной и теоретичекой Физики -2005. Vol. 82. - Р.455.

90. Прудников, А.П. Интегралы и ряды: специальные функции/А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. //Москва: Наука, 1983. 752 с.

91. Матвеев, В.И. Ионизационные потери релятивистских структурных тяжелых ионов при столкновениях с атомами. / В. И. Матвеев //Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2002. -Т.121. - С. 260.

92. Weick, Н. Slowing down of relativistic few-electron heavy ions/H. Weick, H. Geissel, C. Scheidenberger.//Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B: Beam Interactions with Materials and Atoms. -2000. -164/165,-168.