Поведение механизмов с особенностями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

Михалев Алексей Александрович

Поведение механизмов с особенностями.

Специальность: 01.02.01 - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

□□3451271

003451271

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Самсонов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор,

академик РАН В.Ф.Журавлев

кандидат физико-математических наук, доцент В.В.Филиппов

Ведущая организация: Институт машиноведения им. А.А.Благонравова

Российской академии наук

Защита состоится 14 ноября 2008 года в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.22 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, Главное Здание МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан 14 октября 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доцент

В.А.Прошкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Существование механизмов с особыми положениями, в которых конфигурационное многообразие обладает самопересечением при некоторых - критических - значениях параметров связей, известно со времен ГТЛ.Чебышева. Проблема «особых положений» периодически затрагивается в работах по исследованию кинематики роботов, манипуляторов и машин, в области синтеза машин и механизмов, проектирования и построения механизмов с переменной структурой. Наибольшую актуальность она приобрела в последние десятилетия в связи с развитием ЭВМ и разработкой программ по параметрическому синтезу механизмов.

Аналитический подход к исследованию критических и близких к ним — околокритических — механизмов, основанный на понятиях и методах теоретической механики, проиллюстрировал В.А.Самсонов1. Настоящая диссертация продолжает начатые им исследования, расширяет полученные результаты и область их применения.

Цель работы. Диссертация посвящена описанию механизмов с особенностями связей, зависящих от параметров. Для околокритических механизмов исследованы три основные задачи:

1. перестройка конфигурационного многообразия;

2. наличие положений равновесия в окрестности особого положения и их бифуркация;

3. оценка реакций связей в окрестности особого положения.

' Самсонов В.А. Перестройка конфигурационного многообразия и критические системы. // М. ПММ, т.63. Вып.5, 1999, с770-774.

Также рассмотрены особенности задачи равновесия плоской кинематической цепи.

Научная новизна. Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми, ранее неизвестными. Впервые описана типичная перестройка конфигурационного многообразия и бифуркация положений равновесия околокритических механизмов с двумя и более степенями свободы, проведена оценка реакций связей в окрестности особого положения.

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы строго обоснованны, они базируются на утверждениях теоретической механики.

Используемые методы. В работе используются методы аналитической механики, математического анализа, теории особенностей гладких функций, которые прилагаются к рассматриваемым механизмам.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, полученные в ней результаты могут быть применены для параметрического синтеза и анализа механизмов, проектирования роботов, манипуляторов, механизмов с переменной структурой.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

- Научная конференция Ломоносовские чтения МГУ им. М.ВЛомоносова, 2008 г.

- Совещание-семинар заведующих кафедрами теоретической механики Южного федерального округа, 2008 г.

- Заседание Президиума Научно-методического совета по теоретической механике Министерства образования РФ 22.05.2008.

- Научная конференция, посвященная 70-летию Института машиноведения им. A.A. Благонравова «Проблемы машиноведения», 2008г.

- Семинар по динамике относительного движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством чл.-корр. РАН В.В.Белецкого, проф. Ю.Ф.Голубева, доц. К.Е.Якимовой, доц. Е.В.Мелкумовой, 2008 г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в четырех печатных работах, одна из которых опубликована в журнале, входящем в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 64 наименований. Общий объем диссертации - 111 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описана предметная область и цель настоящей диссертации, дан краткий обзор работ, связанных с исследованием и построением механизмов с особенностями связей, также приведено краткое содержание диссертации.

В первой главе дается постановка задачи. Рассматривается механическая система с наложенными на нее голономными стационарными идеальными связями, зависящими от параметров. Вводятся понятия особенностей первого и второго типов.

Под механизмами с особенностью первого типа понимаются механизмы, ранг матрицы Якоби системы связей которых уменьшается на единицу в одной или нескольких изолированных точках конфигурационного многообразия при определенном - критическом - значении одного из параметров связей. Осуществляется переход к «избыточным» обобщенным координатам в которых совокупность связей становится эквивалентной одному уравнению. С помощью леммы Морса и нормирования параметра / уравнение связи в обобщенных координатах приводится в некоторой окрестности особой точки к каноническому виду:

9(4,1) = ц] +... + чгт- - - / = О Показано, что перестройка конфигурационного многообразия механизма в окрестности особой точки пространства обобщенных координат при прохождении параметром критического значения, представляющая с точки зрения теории машин и механизмов «переход» с одной сборки механизма на другую, топологически описывается перестройками Морса.

В связи с неопределенностью движения критической системы из состояния покоя в особом положении, проводится исследование возмущенных - околокритических - систем на наличие и характер положений равновесия. Показано, что особая точка является «притягивающей» положения равновесия околокритических систем. Утверждение: Для консервативных околокритических механизмов с потенциальной энергией вида

п+1 . .

(=1

верно следующее: пусть А = а\ +... + а2т -а2т^х...-а2пН, I - нормированный параметр связи, тогда:

а) В случае А1 > 0 в окрестности особой точки механизм имеет два симметричных положения равновесия, стягивающихся к особой точке при / 0.

б) В случае А1 < 0 в окрестности особой точки положений равновесия не существует.

Для дальнейшей оценки реакций связей и величины активных сил из уравнений Лагранжа первого рода и уравнений связей выводятся уравнения движения, не содержащие неопределенные множители Лагранжа.

Под механизмами с особенностью второго типа понимаются механизмы, множество виртуальных перемещений одной или нескольких точек которых является пустым. Описаны классы механизмов, удовлетворяющие данному определению. Показано, что механизмы с особенностью второго типа обладают «мертвыми» положениями - положениями равновесия, не зависящими от на-

правления действия силы, приложенной к одной из точек механизма.

Вторая глава посвящена описанию кинематики критических и околокритических механизмов в «избыточных» обобщенных координатах. В первом разделе исследованы механизмы с одной степенью свободы. Показано, что конфигурационное многообразие критического механизма в окрестности особой точки либо является совокупностью двух пересекающихся прямых, либо представляет собой одну особую точку. Описана «катастрофическая» перестройка конфигурационного многообразия околокритических механизмов. Показано, что все представители семейства плоских четырехзвенных кривошипных механизмов: кривошипно-кулисные, кривошипно-ползунные и шарнирно-четырехзвенные кривошипные механизмы - обладают критическими значениями параметров связей. Описана перестройка конфигурационного многообразия в плоской задаче Брашмана. Для каждого из примеров проанализированы индивидуальные особенности перестройки множества положений.

Во втором разделе исследованы критические механизмы с двумя степенями свободы. Показано, что конфигурационное многообразие критического механизма в окрестности особой точки либо является круглым конусом, либо представляет из себя одну особую точку. В первом случае конфигурационные многообразия околокритических механизмов являются либо однополостными, либо двуполостными гиперболоидами. В качестве примера рассмотрен плоский пятизвенный кривошипно-ползунный механизм.

Третья глава посвящена исследованию механизмов с особенностями на наличие положений равновесия. В первом разделе, следуя В.А.Самсонову1, описана типичная бифуркация положений равновесия околокритических механизмов с одной степенью свободы. Применяя подход В.А.Самсонова, рассмотрены особенности бифуркации в случае вырождения потенциальной энергии (А = 0). Показано существование механизмов, допускающих колебательные движения возле положения, не являющего, вообще говоря, положением равновесия. Описана бифуркация положений равновесия кривошипно-кулисного механизма и в плоской задаче Брашмана.

Во втором разделе описана типичная бифуркация положений равновесия околокритических механизмов с двумя степенями свободы. Показано, что в зависимости от направления градиента потенциальной энергии бифуркация носит качественно разный характер. В первом случае бифуркация аналогична случаю с одной степенью свободы: симметричные положения равновесия -устойчивое и неустойчивое, принадлежащие локально несвязным подмножествам конфигурационного многообразия механизма, сливаясь, «исчезают» при прохождении параметром критического значения. Во втором случае оба существующих положения равновесия неустойчивы, принадлежат одному механизму, сливаясь, «исчезают» при прохождении параметром критического значения. Оба типа бифуркации проиллюстрированы на примере пятизвенного плоского кривошипно-ползунного механизма.

В третьем разделе описана типичная бифуркация положений равновесия околокритических механизмов с тремя и более степе-

нями свободы. Показаны ее варианты в зависимости от индекса р критической точки (р = п-т + 1) и направления градиента потенциальной энергии.

В четвертом разделе рассмотрена задача определения «мертвых» положений кинематических цепей в случае, когда единственная активная сила приложена к одной из точек механизма. Показано, что существует конфигурация системы, которая является равновесной при любом направлении силы. При этом шарниры цепи образуют треугольник, в вершине которого находится точка приложения силы. Рассмотрена задача о нахождении положений равновесия волнового ветродвигателя С.Д.Стрекалова2.

Четвертая глава посвящена реакциям связей околокритических механизмов. Вводится непрерывная функция, зависящая от параметра, характеризующая близость механизма к особому положению. С помощью уравнений, полученных в первой главе, получены выражения для оценки множителей Лагранжа и реакций связей относительно этой функции. Для упрощения процедуры оценка выполняется в случае полного вырождения одной связи и распространяется на произвольный случай с помощью перехода к эквивалентной совокупности связей. Для дальнейшей геометрической интерпретации полученной оценки осуществлен переход к обобщенным координатам. Реакции связей в «узловых» точках Р1 механизма разделены на две составляющие Д =Я' + Я", где Я' - реакции в отсутствии активных сил. Пока-

2 Стрекалов С.Д. Волновая техника в сельском хозяйстве // Монография. Издатель-

ско-полиграфический комплекс ВГСХА Нива, Волгоград. 2007. 128 с.

зано, что первая из этих составляющих линейно зависит от нормальной кривизны конфигурационного многообразия вдоль траектории системы, квадратично - от обобщенной скорости, а вторая является линейной комбинацией активных сил. Получена оценка, из которой следует, что если обобщенная скорость постоянна, а нормальная кривизна конфигурационного многообразия вдоль траектории не равна нулю, то реакции связей неограниченно возрастают при приближении параметра к критическому значению, по крайней мере, в одном из узлов ^ механизма. Дан критерий для определения «узловых» точек механизма, удовлетворяющих полученной оценке. Описаны особенности перераспределения скоростей звеньев механизма.

Рассмотрена задача о поддержании стационарного режима работы плоского кривошипного механизма с одной степенью свободы. Показано, что в окрестности особой точки величина активной силы неограниченно возрастает (за исключением вырожденных случаев). Все полученные результаты проиллюстрированы на примерах кривошипных механизмов.

В заключении коротко сформулированы основные результаты работы:

1. Показано, что любой представитель семейства плоских четы-рехзвенных кривошипных механизмов обладает критическими значениями параметров связей, при которых его конфигурационное многообразие обладает самопересечением.

2. Показано, что конфигурационное многообразие околокритических механизмов с двумя и более степенями свободы в ок-

рестности особого положения является связным хотя бы в одной из полуокрестностей критического значения параметра в отличие от механизмов с одной степенью свободы.

3. Описана типичная бифуркация положений равновесия околокритических механизмов с двумя и более степенями свободы и ее особенности в механизмах с одной степенью свободы. Установлена связь типа бифуркации с индексом критической точки и с локальными свойствами потенциальной энергии.

4. Показано, что в случае, когда обобщенная скорость постоянна, а нормальная кривизна конфигурационного многообразия по направлению траектории не равна нулю, реакции связей неограниченно возрастают при приближении параметра к критическому значению как минимум в одном из узлов механизма. Показана возникающая в связи с этим сложность реализации определенных режимов работы околокритических механизмов.

5. Рассмотрена задача о «мертвых» положениях плоских кинематических цепей, в случае, когда единственная активная сила приложена к одной из точек механизма. Показано, что существует конфигурация системы, которая является равновесной при любом направлении силы.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Самсонов В.А., Михалев A.A. Перестройка пространства положений механической системы // Проблемы машиностроения и надежности машин. №4,2005 с. 13-17. (Samsonov V.A., Mikhalev A.A. Restructuring the position space of a mechanical system // Allerton Press. Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2005 №4 pp. 10-13)

2. Михалев A.A., Самсонов В.А. Особенности бифуркаций положений равновесия околокритических механизмов // Сборник докладов совещания-семинара заведующих кафедрами теоретической механики южного федерального округа. Новочеркасск, 22-25 апреля 2008г. с. 63-66.

3. Михалев A.A., Самсонов В.А. Особенности бифуркации положений равновесия околокритических систем // Тезисы докладов конференции Ломоносовские чтения. Секция механики. М: Изд-во Московского университета, 2008 с.130

4. Михалев A.A., Селюцкий Ю.Д. Особенности задачи равновесия плоских кинематических цепей. И Тезисы докладов конференции Ломоносовские чтения. Секция механики. М: Изд-во Московского университета, 2008 с. 130

Подписано в печать 13.10.2008 Формат 60x88 1/16. Объем 1 п.л. Тираж 75 экз. Заказ № 752 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение.

Глава 1. Вводная.

1.1. Особенности связей.

1.1.1. Особенность первого типа.

1.1.2. Особенность второго типа.

1.2. Положения равновесия.

1.2.1. Равновесия околокритических механизмов.

1.2.2. «Мертвые» положения равновесия.

1.3. Реакции связей.

1.3.1. Постановка задачи.

1.3.2. Уравнения общего вида.

Глава 2. Перестройка множества положений.

2.1. Механизмы с одной степенью свободы.

2.1.1. Описание перестройки.

2.1.2. Кривошипно-кулисный механизм.

2.1.3. Кривошипно-ползунный дезаксиальный механизм.

2.1.4. Шарнирные четырехзвенные кривошипные механизмы.

2.1.5. Задача Брашмана (конфигурационное пространство).

2.2. Механизмы с двумя степенями свободы.

2.2.1. Описание перестройки.

2.2.2. Кривошипно-ползунный механизм.

Глава 3. Положения равновесия.

3.1. Механизмы с одной степенью свободы.

3.1.1. Типичная бифуркация.

3.1.2. Особенности бифуркации в вырожденных случаях.

3.1.3. Кривошипно-кулисный механизм.

3.1.4. Задача Брашмана (положения равновесия).

3.2. Механизмы с двумя степенями свободы.

3.2.1. Типичная бифуркация.

3.2.2. Кривошипно-ползунный механизм.

3.3. Механизмы с тремя и более степенями свободы.

3.4. Особенности задачи равновесия кинематической цепи.

3.4.1. Описание системы.

3.4.2. Равновесия системы.

3.4.3. Волновой ветродвигатель С.Д. Стрекалова.

Глава 4.Реакции связей околокритических механизмов.

4.1. Реакции связей.

4.1.1. Оценка в частном случае.

4.1.2. Оценка в общем случае.

4.2. Обобщенные реакции.

4.2.1. Оценка обобщенных реакций.

4.2.2. Связь с кривизной траектории.

4.3. Задача об активной силе.

4.3.1. Подержание стационарного режима кривошипного механизма.

4.4. Механизмы с одной степенью свободы.

4.4.1. Кривошипно-ползунный механизм.

4.4.2. Кривошипно-кулисный механизм.

4.5. Механизмы с двумя степенями свободы.

4.5.1. Кривошипно-ползунный механизм.

Синтез механизмов - важнейший раздел прикладной ветви теоретической механики - теории машин и механизмов. Синтез является частью проектирования механизмов, которая относится к выбору схемы и нахождению параметров этой схемы, обеспечивающих выполнение требуемых движений.

Основы синтеза механизмов в его аналитической форме были заложены в 19 веке в работах русского математика и механика П. Л.Чебышева [24,32,42]. Современное развитие теории синтеза механизмов получила благодаря работам И.И.Артоболевского [10], Н.И.Левитского [23], С.Н.Кожевникова [18,19], Э.Е.Пейсаха [34] и др. ученых. Появление ЭВМ и разработка программ вычислений дало возможность эффективно и быстро определять оптимальные сочетания параметров механизма и даже решать такие задачи синтеза, которые ранее не могли быть решены из-за сложности и трудоёмкости вычислений.

Одной из проблем синтеза механизмов (в частности, параметрического синтеза на ЭВМ) является проблема «особых положений», в которых конфигурационное многообразие механизма обладает самопересечением при некоторых - критических - значениях параметров связей [12,21,22,40,41,52]. Такие механизмы принято называть критическими, вырожденными, обладающими неопределенностью движений звеньев. Изменяя во время синтеза параметры механизма, независимо от размера шага, можно «проскочить» особые положения и получить механизм, область движения которого и, как следствие, его свойства и динамика меняются кардинальным образом (данный факт отмечен, например, в [12]). Наличие особых положений может быть выявлено при анализе уравнений связей и не всегда очевидно, особенно, когда нет реальной физической модели механизма, а механизм представлен в виде его структурного графа.

Механизмы с положениями, в которых наблюдается неопределенность движений звеньев, достаточно часто встречаются на практике, например, различные типы кривошипно-ползунного механизма с указанными свойствами упоминаются в справочнике [11] под редакцией И.И.Артоболевского. Широко известный механизм параллелограмма (использующийся, например, в качестве спарника колес тепловоза и входящий в состав пантографов) в особом положении способен перейти в «другую сборку» - антипараллелограмм.

Проблема «разных сборок», тесно связанная с наличием критических значений параметров, наиболее широко затронута в работах Э.Е.Пейсаха [33,34], в которых также приводятся методы устранения «дефекта ветвления» — нежелательного эффекта при синтезе механизмов, при котором заданная функция-критерий аппроксимируется на отрезке функциями положений разных сборок механизма.

С вырожденными механизмами связано появление понятия «мгновенное число степеней свободы» («transitory mobility», «instantaneous mobility») - размерность касательного пространства к конфигурационному пространству механизма, встречающегося как в англоязычной литературе по кинематической геометрии [50,51,56], так и в работе российского математика М.Д.Ковалева [17]. Интересные примеры шарнирных плоских механизмов с непостоянным числом степеней свободы приведены в [17,63,64].

Проблема особенностей в кинематике роботов, манипуляторов и машин («singularities in robot kinematics») периодически затрагивается в работах зарубежных ученых (например, [48,49,53-56]), большинство из которых посвящено обнаружению особенностей, их анализу и устранению.

Алгебраические методы «регуляризации» вырожденных связей и алгоритмы, расщепляющие» системы уравнений, описывающие связи с особенностями, на совокупность систем, каждая из которых определяет регулярную совокупность связей, приведены в работах (T.Arponen и др.) [48,49]. В 4 работе [56] J.Lerbet и M.Fayet проиллюстрировали влияние «расшатанности» критического механизма на его динамику, особенности «эффекта зазоров» и его связь со свойствами управляемости машин-роботов.

В математической основе вырождения совокупности связей механизмов при определенных значениях параметров лежат критические точки семейств гладких функций, зависящих от параметров - предмет широкого исследования теории бифуркаций и теории особенностей. Работы

A.Пуанкаре [59,60], А.А.Андронова [7], теория Морса [57,58], теория особенностей гладких отображений Уитни [62], ставшие основополагающими в этой области, в 60-80 годах 20 века были дополнены и систематизированы в единую теорию благодаря работам Р.Тома [61],

B.И.Арнольда [8,9] и др. математиков.

Практическое использование механизмов с особыми положениями началось в 70-80 гг. 20 века с создания на их основе определенного класса механизмов с переменной структурой (МПС). Основоположниками создания МПС с четырьмя подвижными звеньями являются новосибирские ученые во главе проф. П.М.Алабужевым и его учениками А.К.Зуевым, В.Б.Ханом,

B.А.Яруновым и др., которые впервые в машинах применили взаимное замыкание звеньев - ползуна и коромысла - по их относительному положению. Благодаря уникальным кинематическим свойствам элементы критических механизмов были заложены в основу бурильных установок, ударных, штамповочных машин и прессов. Большую работу по внедрению МПС в космической технике выполнила киргизские ученые в главе с академиком О.Д.Алимовым и его учениками А.В.Фроловым, В.К.Манжосовым,

C.Абдраимовым и другими [4]. Киргизскими учеными О.Д.Алимовым,

В.К.Манжосовым, С.Абдраимовым, М.С.Джуматаевым, Т.О.Невенчанной и другими были разработаны конструкции прессов с МПС, которые внедрены в производство [2,3,5,6]. В настоящее время академиком ИА KP С.Абдраимовым и его учениками выполняются работы по созданию и внедрению в производство ручных механических молотов и перфораторов с МПС [1,15]. Все 5 исследования в рамках создания МПС проводятся известными методами теории машин и механизмов, при этом в работах [1,15] отмечен факт существенного возрастания реакций связей, возникающих в шарнирах, в окрестности особого положения.

Аналитический подход к исследованию критических и близких к ним механизмов, основанный на понятиях и методах теоретической механики, проиллюстрировал В.А.Самсонов. Перестройка конфигурационного многообразия механизмов с одной степенью свободы при переходе параметра критического значения описана в его работах [36-38]. В [36, 38] показана невозможность введения лагранжевых координат в окрестности особой точки, корректного определения траекторий критического механизма с помощью предельного перехода по параметру, описана типичная бифуркация положений равновесия в окрестности особой точки и показано ее отличие от классической бифуркации по Пуанкаре-Четаеву [60,46,47].

Настоящая работа продолжает начатые В.А.Самсоновым исследования. Для механизмов с одной, двумя и более степенями свободы исследованы три основные задачи:

1. перестройка конфигурационного многообразия;

2. наличие положений равновесия в окрестности особого положения и их бифуркация;

3. оценка реакций связей в окрестности особого положения.

Также рассмотрены особенности задачи равновесия плоской кинематической цепи.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение

Показано, что любой представитель семейства плоских четырехзвенных кривошипных механизмов обладает критическими значениями параметров связей, при которых его конфигурационное многообразие обладает самопересечением.

Показано, что конфигурационное многообразие околокритических механизмов с двумя и более степенями свободы в окрестности особого положения является связным хотя бы в одной из полуокрестностей критического значения параметра в отличие от механизмов с одной степенью свободы.

Описана типичная бифуркация положений равновесия околокритических механизмов с двумя и более степенями свободы и ее особенности в механизмах с одной степенью свободы. Установлена связь типа бифуркации с индексом критической точки и с локальными свойствами потенциальной энергии.

Показано, что в случае, когда обобщенная скорость постоянна, а нормальная кривизна конфигурационного многообразия по направлению траектории не равна нулю, реакции связей неограниченно возрастают при приближении параметра к критическому значению как минимум в одном из узлов механизма. Показана возникающая в связи с этим сложность реализации определенных режимов работы околокритических механизмов.

Рассмотрена задача о «мертвых» положениях плоских кинематических цепей, в случае, когда единственная активная сила приложена к одной из точек механизма. Показано, что существует конфигурация системы, которая является равновесной при любом направлении силы.

1.С. Анализ и синтез механизмов переменной структуры для ударных машин // Автореферат диссертации доктора технических наук - Бишкек 2002, 34с.

2. Абдраимов С., Невенчанная Т.О. Построение механизмов переменной структуры и исследование их динамики // Илим (г.Фрунзе), 1990 г.

3. Алимов О.Д., Манжосов В.К., Филипповский В.П. Механические импульсные генераторы с шарнирно-рычажным захватывающим устройством //Илим (г. Фрунзе) , 1975 г.-150с.

4. Алимов О.Д., Абдраимов С. Основы теории прессов с механизмами переменной структуры. // Илим (г. Фрунзе) , 1988 г.

5. Алимов О.Д., Абдраимов С. Теории механизмов с переменной структурой и новые области их применения // известия АН Киргизской ССР физ.-техн. и матем. науки 1987 №2 с.29-33

6. Андронов А.А. Математические проблемы теории автоколебаний. // Первая Всесоюзная конференция по колебаниям. М.: Гостехтеориздат, 1933, т.1, стр. 32-71.

7. Арнольд В. И. , Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек, группы В ей ля Ак, Бк, Ек и лагранжевы особенности // Функциональный анализ и его приложения, 1972, 6:4, 3-25

8. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. // М.: Наука, 1981

9. Артоболевский И.И. Теория машин и механизмов // М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1988, 640 с.

10. Артоболевский И.И. Механизмы в современной технике. Том 2. Кулисно-рычажные и кривошипно-ползунные механизмы // М.: Наука, 1979, 560 с.

11. Билъ Т. Анализ одноконтурных механизмов на основании общей модели // Теория Механизмов и Машин. 2008. №1. Том 6. , с.55-63

12. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. // Наука, 1966г.

13. Голдстейн Г.Н. Классическая механика // Гостехиздат, 1957г., 413 с.

14. Зиялиев К.Ж. Кинематический и динамический анализ шарнирно-четырехзвенных механизмов с особыми положениями // Автореф. дис. канд. тех. наук Бишкек 2000, 18 с.

15. Зорич В.А. Математический анализ. Т. 1-2. // М.: Наука, 1981.

16. Ковалев М.Д. Геометрическая теория шарнирных устройств // Известия РАН Серия математическая. 1994. Т. 58, N 1. С.45-70.

17. Кожевников С.Н. Основания структурного синтеза механизмов. // Киев.: Наукова думка, 1979.

18. Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин // М.: Машиностроение, 1973. — 592с.

19. Коловский М.З. Особые положения многоподвижных рычажных механизмов. // Машиноведение. Сб.научных трудов. СПб.: СПбГТУ, 1997.

20. Лебедев В.И., Турланов A.M. Синтез механизмов с пассивными связями // Теория механизмов и машин, 2003 №2. с.28-1

21. Левитский Н.И., Левитская О.Н. Курс ТММ. // Уч.пособие для механ.спец. вузов. 2-е изд., перераб. и доп.-М.:Наука, 1990.

22. Ляпунов А. М. Пафнутий Львович Чебышев, в кн.: Чебышев П. Л., Избранные математические труды // М.-Л., Изд. АН СССР 1946

23. Малышев А.П. Анализ и синтез механизмов с точки зрения их структуры. // Известия Томского техн. Института том 44. выпуск 2. 1923 г. Томск 1923г. 77с

24. Маркеев А.П. Теоретическая механика. // М.: Наука 1999 г.

25. Михалев A.A. Особенности бифуркации положений равновесия околокритических механизмов. // Проблемы машиностроения и надежности машин. №6,2008г., с. 10-13.

26. Михалев A.A., Селюцкий Ю.Д. Особенности задачи равновесия кинематической цепи. // Сборник научно-методических статей «Теоретическая механика». Издательство Московского университета 2008 г. №27, в печати.

27. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии // Издательство Московского университета, 1980.

28. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс // Издательство «Мир», под редакцией Д.В.Аносова, Москва, 1972.

29. Научное наследие П. Л. Чебышева, в. 1-2 // M.-JL, Изд. АН СССР 1945;

30. Пейсах Э.Е. Структура и кинематика пространственных рычажных механизмов // СПб.: СПГУТД, 2004. 212 с.

31. Пейсах Э.Е., Нестеров В.А. Система проектирования плоских рычажных механизмов. // М.: Машиностроение, 1988. 232 с.

32. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах // Москва. Наука. 1988. 304 с.

33. Самсонов В.А. Перестройка конфигурационного многообразия и критические системы. // М. ПММ, т.63. Вып.5, 1999, с770-774.

34. Самсонов В.А. О перестройке пространства положений одной механической системы. // Сб.научно-методических статей «Теоретическая механика». М.Изд. Моск. ун-та. 2000 г. с. 203-206.

35. Самсонов B.A., Татаринов Я.В. Бифуркационные диаграммы в модельных задачах. Учебное пособие к спецкурсам. // М: Издательство МГУ, 2007 56с.

36. Семенов Ю.А., Семенова Н.С. Структурный анализ механизма // Теория механизмов и машин. 2003. №2. с. 3-14.

37. Семенов Ю.А., Семенова Н.С. Геометрический анализ плоских рычажных механизмов // Теория механизмов и машин. 2004. №1. Том 2. с.26-41.

38. Стеклов В.А. Теория и практика в исследованиях Чебышева. // П., Изд. АН СССР 1921

39. Стрекалов С.Д. Волновая техника в сельском хозяйстве // Монография. Издательско-полиграфический комплекс ВГСХА Нива, Волгоград. 2007. 128 с.

40. Уиттекер А. Т. Аналитическая динамика. // ОНТИ, 1937.

41. Фролов КВ., Попов С.А., Мусатов А.К. и др. Теория механизмов и машин. Под ред. К.В.Фролова. //М.: Высшая школа, 1987.

42. ЧетаевН. Г. Устойчивость движения. // М.: Гостехиздат, 1946.

43. Четаев Н.Г. Работы по аналитической механике. // М. Изд-во АН СССР, 1962, 535с.

44. Arponen Т. Regularization of Constraint Singularities in Multibody Systems // Multibody System Dynamics 6: 355-375, 2001.

45. Arponen Т., Piipponen S., Tuomela J. Kinematic analysis of bricard's mechanism // Helsinki University of Technology, Institute of Mathematics, Research Reports, Espoo 2007, A537

46. Dijksman E.A. Motion Geometry of Mechanisms // Cambridge, 1976.

47. Hunt K.H. Kinematic geometry of mechanisms. I I N.Y.: Clarendon Press, 1978.

48. Kolovsky M.Z., Evgrafov A.N., Semenov Yu.A., Slousch A.V. Advanced Theory of Mechanisms and Machines. Springer // Verlag Berlin Heidelberg New York, 2000, 394 p.

49. Kuznetsov, E.N. Systems with infinitesimal mobility: Parts I—II Matrix analysis and first-order infinitesimal mobility // Appl.Mechanics, June 1991, 58, 513-519 and 520-526.

50. Lerbet, J. Analytic Geometry and Singularities of Mechanisms // Z. Aug. Math. Mech., 78 (1998), 687-694

51. Lerbet J. Decomposition of the space of parameters of a kinematical chain by its singularities //Mech. Res. Comm., 25 (1998), 637-642,

52. Lerbet J., Fayet M. Singularities of mechanisms and the degree of mobility // ProcIMechE J. Multi-body Dyn., 217 (2003), 111-119,

53. Milnor J. Morse Theory // Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1963

54. Morse M. The critical points of a function of n variables // Trans. Amer. Math. Soc.,33 (1931), 71-91

55. Poincaré H. Sur les propriétés des fonctions définies par les équations différences partielles // Thesé. Paris.: Gautier-Villars, 1879, 93 p.

56. Poincaré H. Les methodes nouvelles de la mécanique céleste // Paris.: Gautier-Villars, 1892, 385 p.

57. Thom R. Les singularités des applications différentiables // Ann. Inst. Fourier, 6 (1955-56), 43-87.

58. Whitney H. On singularities of mappings in Euclidean spaces I, Mappings of the plane into the plane // Ann. of Math. 62 (1955), 374-410.

59. Wunderlich W. Ein merkwürdiges Zwölfstabgetriebe // Ouml; sterreichisches Ingenieurarchiv, Band 8, Heft 2/3. 1954. Pp. 224-228.

60. Wohlhart K. Kinematotropic Linkages II Recent Advances in Robot Kinematics. Kluwer Academic Publishers, 1996.I