Правила сумм КХД и эффективная теория тяжелого кварка тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

л л <Г\

Г: л/'/Пк

У -^Уб ¿/¿г*

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

Институт ядерной физики им. Г. И. Будкера

п Ге0 _ ^ ^ ^ на правах рукописи

Грозин Андрей Геннадьевич

Правила сумм КХД

и эффективная теория тяжелого кварка

01.04.02 — теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1998

Содержание

Введение 3

Обозначения 7

Глава 1. Высшие степенные поправки в правилах сумм КХД 11

1.1. Калибровка фиксированной точки 12

Ъ2. Классификация вакуумных конденсатов 17

1.3. Нелокальные конденсаты 25

1.4. Тяжелые кварки 35

1.5. Легкие кварки 39

1.6. Ограничения на параметры КХД из е+е~ —>■ адроны/_х 49

Глава 2. Эффективная теория тяжелого кварка

2.1. Лагранжиан НС^ЕТ в главном порядке

2.2. 1 /т поправки к лагранжиану

2.3. Влияние тс на хромомагнитное взаимодействие Ь кварка

2.4. Высшие поправки к хромомагнитному взаимодействию

2.5. Тяжел о-легкие токи

2.6. Отношения мезонных матричных элементов

2.7. Высшие поправки к тяжело-легким токам

2.8. Тяжел о-легкие операторы размерности 5

Глава 3. Правила сумм в эффективной теории тяжелого кварка 150

3.1. Мезоны 151

3.2. Мезонные формфакторы 159

3.3. Барионы 190

3.4. Барионные формфакторы 200

56 58 67 81 97 109 123 130 133

3.5. Константы связи тяжелых адронов с мягкими пионами 207

Глава 4. Асимптотика формфакторов тяжелых мезонов 220

4.1. Введение 220

4.2. Кварк-антикварковые волновые функции 224

4.3. Уравнения эволюции 229

4.4. Правила сумм 234

4.5. Асимптотика формфакторов 240

4.6. Приложения 248

Глава 5. Правила сумм для инклюзивных распадов тяжелых мезонов 251

5.1. Правила сумм в пределе малых скоростей 252

5.2. Переходы тяжелого кварка в тяжелый 262

5.3. Переходы тяжелого кварка в легкий 274

Заключение 282

Библиография 286

Введение

Диссертация посвящена разработке и применению пертурбативных и непертурбатив-ных методов решения задач квантовой хромодинамики, особенно в области физики тяжелых кварков, и основана на работах [1]-[29].

Физика тяжелых кварков является одной из наиболее актуальных и быстро развивающихся областей физики высоких энергий. Понимание эффектов сильных взаимодействий в слабых распадах адронов, содержащих тяжелый кварк, необходимо для извлечения фундаментальных электрослабых параметров (таких, как элементы матрицы смешивания Кобаяши-Маскава) из экспериментальных данных о таких распадах. Кроме того, исследование свойств В мезона — простейшего нетривиального адрона, атома водорода квантовой хромодинамики — интересно само по себе. В настоящее время полным ходом идет подготовка к экспериментам на установках нового поколения: ß-фабриках в КЕК и SLAC, детекторе HERA-B в DES Y и других. Целью этих экспериментов является наблюдение несохранения CP четности в распадах В мезонов. В них распады В мезонов будут исследованы с большой статистикой и низкими систематическими ошибками. Поэтому становится необходимым более детальное и точное теоретическое понимание этих распадов.

Эффективная теория тяжелого кварка (HQET) — это эффективная теория поля, которая строится таким образом, чтобы воспроизводить результаты КХД для задач с тяжелым кварком, разложенные до некоторого порядка (Л/ш)п, где А<т — характерный масштаб импульсов в рассматриваемой задаче. В ведущем порядке по 1/m, HQET имеет свойства симметрии, которые не очевидны в исходном лагранжиане КХД. Они позволяют связывать друг с другом различные формфакторы. В ряде случаев, поправки первого порядка по нарушению симметрии обращаются в нуль (теорема Люка). HQET позволяет также

производить моделирование процессов с тяжелым кварком на решетке, не требуя, чтобы шаг решетки был мал по сравнению с комптоновской длиной волны тяжелого кварка (что в настоящее время недостижимо). На протяжении последних нескольких лет (начиная примерно с 1990 года) был достигнут значительный прогресс во многих задачах теории адронов с тяжелым кварком, главным образом благодаря использованию HQET. Один из первых обзоров по HQET [8] до сих пор можно рекомендовать для первоначального знакомства, поскольку в нем основные результаты HQET выводятся простым и единым методом, основанным на свойствах корреляторов; разумеется, в нем не отражены многие более новые приложения. Недавний прогресс в области вычисления коэффициентов в лагранжиане HQET рассмотрен в обзоре [15].

Лагранжиан HQET представляет собой ряд по 1/т. В него включаются все возможные члены, совместимые с необходимыми симметриями, с неопределенными коэффициентами. Коэффициенты находятся путем приравнивания нужного количества амплитуд рассеяния в полной КХД и HQET с желаемой точностью по 1/т (сшивка). После того, как коэффициенты найдены, все остальные физические величины можно вычислять в рамках эффективной теории, не обращаясь к КХД. Аналогично, операторы КХД представляют собой ряды по 1/т со всеми возможными HQET операторами, имеющими нужные квантовые числа. Их коэффициенты находятся путем сшивки матричных элементов. Репараметриза-ционная инвариантность HQET, представляющая собой след от Лоренц-инвариантности полной КХД, связывает коэффициенты при разных степенях 1/т в этих разложениях.

В главе 2 произведена перенормировка HQET в ведущем порядке по 1/т в двух петлях. Разработан систематический метод вычисления двухпетлевых пропагаторных диаграмм, основанный на рекуррентных соотношениях интегрирования по частям. Далее обсуждаются 1/т члены в лагранжиане: кинетическая энергия и хромомагнитное взаимодействие. Коэффициент при операторе кинетической энергии равен 1 вследствие репараметризаци-онной инвариантности. Единственный коэффициент в лагранжиане с точностью до 1/т членов, который не известен точно — это коэффициент при операторе хромомагнитно-го взаимодействия. Он вычисляется с двухпетлевой точностью; находится двухпетлевая аномальная размерность этого оператора в HQET. Она нужна, например, для получения as поправки к отношению расщеплений масс В-В* и D-D*. Исследуются свойства

суммируемости ряда теории возмущений для этого коэффициента — ренормалонные особенности. Затем рассматриваются билинейные тяжело-легкие кварковые токи. Вычислена их двухпетлевая аномальная размерность в НС^ЕТ. Она нужна, например, для получения аа поправки к отношению /в//о- Коэффициенты сшивки КХД токов с НС^ЕТ токами в ведущем порядке по 1/т вычислены с двухпетлевой точностью. Из них получается, в частности, о? поправка к отношению }в*/ 1в- Исследуются ренормалонные особенности в этих коэффициентах. Рассмотрена также однопетлевая перенормировка и сшивка пингвинных операторов размерности 5.

Хотя Н(ЗЕТ проще полной КХД, далеко не всякая задача в ней может быть решена исходя из свойств симметрии и пертурбативных вычислений. Для исследования свойств адронов на больших расстояниях требуются непертурбативные методы. Одним из таких методов является моделирование на решетке. В настоящее время, оно не может дать результатов с высокой точностью. Другой метод, который успешно применялся для решения многих непертурбативных проблем — это правила сумм КХД. Для повышения точности правил сумм и установления их областей применимости необходимо вычисление высших пертурбативных и непертурбативных (степенных) поправок. Методы вычисления степенных поправок обсуждаются в главе 1. В ней рассматриваются все кварковые и глюонные конденсаты вплоть до размерности 8. Вычислен их вклад в правило сумм для р-мезонного канала. Получены ограничения на кварковый и глюонный конденсаты, следующие из экспериментальных данных о е+е~ аннигиляции в адроны с изоспином I = 1.

Приложения КХД правил сумм в эффективной теории тяжелого кварка рассматриваются в главе 3. Получено правило сумм для тяжелого мезона; большая величина двухпетлевой пертурбативной поправки не дает возможности надежно извлечь из него /в• Выведены правила сумм для формфактора полулептонного распада В И при конечных массах кварков; прослежено, как эти КХД правила сумм воспроизводят структуру форм-факторов, требуемую НС^ЕТ, включая теорему Люка. Получены и проанализированы правила сумм для барионов с тяжелым кварком и их формфакторов. Получены и исследованы НС^ЕТ правила сумм во внешнем аксиальном поле для констант связи тяжелых мезонов и барионов с мягкими пионами, включая пертурбативную поправку в случае мезонов.

Большой интерес представляет асимптотическое поведение формфакторов тяжелых мезонов при \v-v'\ 1. Оно исследовано в главе 4 при помощи методов, развитых для жестких эксклюзивных процессов в КХД. Изучены волновые функции ведущего и следующего твистов тяжелого мезона. Для них выведены уравнения эволюции типа Бродского-Лепажа. Проанализированы правила сумм для моментов и для самих волновых функций. Оказывается, что формфактор продольно поляризованного В* имеет точный нуль в канале рассеяния при v ■ v' ~ т,ъ/А; формфактор В мезона имеет приближенный нуль во вре-мениподобной области при v ■ v' ~ —ть/А. Таким образом, сечения е+е~ ВВ и DD обращаются в нуль по параболе в физической области.

В последнее время достигнут большой теоретический прогресс в понимании инклюзивных распадов тяжелых мезонов (и барионов). Они описываются структурными функциями, аналогичными случаю глубоко неупругого рассеяния. Как и в этом последнем случае, имеются очень полезные правила сумм для нескольких первых моментов структурных функций. В главе 5 предложено правило сумм, связывающее второй момент структурной функции со средним квадратом импульса тяжелого кварка в мезоне. Из него получено ограничение снизу для этого квадрата импульса, близкое по величине к имеющимся оценкам из правил сумм КХД. Исследована эволюция структурных функций инклюзивных распадов тяжелого мезона с рождением тяжелого и легкого кварка. В первом случае она перенормируется мультипликативно; во втором — удовлетворяет уравнению типа Грибова-Липатова, ядро которого найдено в двухпетлевом приближении. Получены обобщения правил сумм для структурных функций с мягким экспоненциальным обрезанием. Исследованы ренормалонные особенности структурных функций.

Многие вычисления, результаты которых представлены в диссертации, производились с использованием систем компьютерной алгебры. Наиболее широко применялась система REDUCE, описанная, например, в учебнике [30]. В некоторых вычислениях из главы 1 применялась также специализированная система DIRAC [31]. Многие интересные задачи никогда не могли бы быть решены вручную из-за огромного объема вычислений. В других случаях системы компьютерной алгебры использовались для повышения надежности результатов. Многие методы решения задач КХД и HQET, предложенные и использованные в диссертации, реализованы в виде пакетов на языке REDUCE.

О влиянии работы на последующее развитие исследований в соответствующей области можно судить по числу ссылок на эту работу. Не следует абсолютизировать этот критерий; тем не менее, существует сильная корреляция между влиянием работы на научное сообщество и числом ссылок. Несколько наиболее цитируемых работ из числа вошедших в диссертацию, по результатам из базы данных ЭЬАС, таковы:

[7] — 73 ссылки;

[21] — 52 ссылки; [9] — 47 ссылок; [27] — 30 ссылок;

[22] — 22 ссылки; [19] — 21 ссылка;

[23] — 19 ссылок; [25] — 16 ссылок.

Эти числа не являются абсолютно точными (так, я знаю несколько ссылок, не отраженных в базе данных ЭЬАС), но относительные ошибки невелики.

Так, систематический метод вычисления двухпетлевых пропагаторных интегралов в НС^ЕТ, предложенный в [7], вошел в стандартный арсенал исследователей в этой области, и применялся для решения большого числа задач. Свежий пример — недавнее вычисление NN1 поправки к потенциалу взаимодействия тяжелых кварков, которая оказалась очень большой. В работе [9] введено понятие "наивной неабелианизации", которое теперь активно применяется многими исследователями.

Обозначения

Приведем здесь некоторые обозначения, которые используются во всей диссертации, чтобы не нужно было каждый раз объяснять их в тексте. Общая информация о КХД и электрослабой теории, включая простые методы вычисления пертурбативных поправок, изложена, например, в учебнике [30].

Для 7 матриц используются стандартные обозначения, причем

^ = (0-1)

Для любого вектора V =

Все КХД формулы записываются для цветовой группы Тр = операторы

Казимира

При N = 3 цветах, Ср = §. Результаты для абелевой калибровочной теории (группа ¿7(1)) можно получить, положив Тр = 1, СР = 1, Сд = 0. При вычислениях с барионами возникает величина

Разумеется, писать N в формулах, основанных на том, что в барионе 3 кварка — чистая формальность.

Ковариантная производная в фундаментальном представлении определена как =

- %Ац, = в присоединенном представлении (1а)Ьс = г$асЬ, поэтому =

дц8аЬ + А= д/асЪА°й. Тензор напряженности глюонного поля равен = =

г[Г>й, Д,], а дуальный к нему — = Кварковый ток равен 3^ = д3^а,

7® = — д^цЯ.'У^Я,- Если величина преобразуется по присоединенному пред-

ставлению, то {ВцА) = = А], где А = Член, фиксирующий калибров-

ку в лагранжиане КХД, записывается в виде —^{д^А^)2 и дает глюонный пропагатор Вци(р) — \9tiv — (1 — а)ЩрГ-) • В правилах сумм используются вакуумные конденсаты

Мы везде используем размерную регуляризацию в с1 = 4 — 2е мерном пространстве и МБ перенормировку. Перенормированные величины связаны с неперенормированными как

(0.2)

<дд> , г = т20 <дд> , <С?2> = .

(0.4)

м'

(0.5)

где факторы перенормировки имеют минимальную структуру

(0.6)

Здесь as = (где /I2 = 7 — константа Эйлера) удовлетворяет уравнению

ренормгруппы

d\ogas as / as\2

(X / СК \ '

= -2e-2(3(as), p(as) = Д^ + A (¿J

+

¿log /i

Д> = у ^ - f^n, > А = уРл - 4CFTFn; - , (0.7)

где ¡л — точка нормировки, откуда

= 1 + + - С-8»

(п/ — число кварковых флейворов). Если константа перенормировки Z калибровочно-инвариантна, то соответствующая аномальная размерность

dlogZ a, /а,\2 __

получается дифференцированием logZ с учетом (0.8), откуда — —570, ^22 = |7о(7о + 2/?0), ^21 = — \h- Если же линейно зависит от а, то в Z22 появляется дополнительный член от //-зависимости а (0.5), содержащий аномальную размерность глюонного поля

2 =

cby

ъЬо + 2/?о) + - 27x6

(£)' + (0.Ю)

Таким образом, константы перенормировки однозначно восстанавливаются по аномальным размерностям, которые удобнее приводить ввиду их большей компактности:

7д = 2аС^ + СР Ц(а2 + 8а + 25)СА - ЗСР - АТрП^ {^У + • • • (0-11) 7л - [(а - £) + §ТРщ] ^ (0.12)

+ Ц(2а2 + 11а - 59)С\ + 2(4С? + бС^Т^П/] + ■ • •

Л-к)

Для вычисления амплитуд рассеяния применяется схема перенормировки на массовой поверхности. В ней полюсная масса кварка ш связана с тп0 как т0 = Константа

перенормировки волновой функции кварка в этой схеме

(о.«)

В однопетлевом приближении (но не далее) = Z°q. Мы не выписываем здесь двухпе-тлевые выражения, которые довольно громоздки.

Поле тяжелого кварка в НС^ЕТ обозначается или <2 в системе покоя. Константы перенормировки и аномальные размерности в Н<ЗЕТ, отличающиеся от КХД, также содержат тильду. Остаточные энергии в НС^ЕТ обозначаются е с различными индексами, в частности, е0 — энергия мезона в основном состоянии. Для этой величины в литературе устоялось обозначение Л, представляющееся довольно нелогичным.

При вычислении многих интегралов возникает дилогарифм

При вычитании вклада континуума в правилах сумм со степенной спектральной плотностью возникают функции

х

(0.14)

(0.15)

ГЛАВА 1

Высшие степенные поправки в правилах сумм КХД

Эта глава посвящена методам вычисления высших степенных поправок в правилах сумм КХД и их применению к правилу сумм для /сммезонного канала, а также извлечению ограничений на вакуумные конденсаты из экспериментальных данных о е+е~ аннигиляции в адроны с изоспином I — 1, и основана на работах [1]-[6].

Правила сумм КХД [32] широко применяются для оценки характеристик адронов, которые не могут быть вычислены в теории возмущений. Для повышения точности правил сумм и установления их областей применимости необходимо вычислять высшие пертурба-тивные поправки (высшие члены разложения коэффициентных функций по а8) и высшие непертурбативные (степенные) поправки. Методы вычисления высших степенных поправок обсуждаются в §1.1-1.5 по работе [6]. В §1.2 обсуждается систематическая классификация кварковых и глюонных конденсатов и алгоритм сведения произвольного конденсата к выбранному базису; подробно рассмотрены конденсаты вплоть до размерности 8 [2, 6]. В этой размерности впервые возникает интересное явление — аномальный кварковый конденсат, который равен комбинации глюонных [2]. При вычислении корреляторов естественным образом возникают нелокальные конденсаты. Простейшая их разновидность — билокальные конденсаты. В трехточечных правилах сумм для формфакторов, а также в правилах сумм для волновых функций, возникают неколлинеарные конденсаты. В некоторых приложениях, например, правилах сумм для моментов волновых функций, полезно разлагать их по одной разности координат; коэффициенты таких разложений — билокальные конденсаты. Все эти вопрос