Правоупорядочиваемые группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

JLto.04.3Q 0А44/О5

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КАРЕЛЬСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР ОТДЕЛ МАТЕМАТИКИ И АНАЛИЗА ДАННЫХ

9 <30

На правах рукописи

МЛТбМАПДЧб-СкИУ

УДК 512.54

ТАРАРИН Валерий Михайлович ПРАВОУПОРЯДОЧИВАЕМЫЕ ГРУППЫ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Петрозаводск - 1998

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

Глава 1. Упорядочиваемые представления групп 15 §1.1. Основные понятия и свойства правоупорядоченных

групп......................................................15

§ 1.2. Локальные конусы упорядоченного представления

группы....................................................19

>§ 1.3. Условия упорядочиваемости представлений..........26

Глава 2. Правоотносительно выпуклые подгруппы 37 §2.1. Свойства правоотносительно выпуклых подгрупп . 37 §2.2. Правоотносительная выпуклость некоторых нормальных полных подгрупп..............................45

§ 2.3. Правоупорядочиваемые группы, допускающие конечное число правых порядков..........................54

Глава 3. Группы, допускающие конрадов правый порядок 64 § 3.1. Радикальные правоупорядочиваемые группы .... 64 § 3.2. Пример правоупорядочиваемой не локально индика-

бельной группы..........................................ТО

3.3. Группы, имеющие конечное число неэквивалентных транзитивных представлений порядковыми автоморфизмами линейно упорядоченных множеств . 73

Литература

81

ВВЕДЕНИЕ

Роль связей между алгебраическими операциями и отношением порядка трудно переоценить - частично упорядоченные алгебраические системы играют существенную роль в алгебраи-зации математики [1]-[4]. Одной из наиболее важных и разработанных частей теории частично упорядоченных алгебраических систем является теория упорядоченных групп [4]-[8]: реше-точно упорядоченных, линейно упорядоченных, правоупорядочен-ных групп, групп автоморфизмов линейно упорядоченных множеств и др., возникшая в начале века в связи с вопросами обоснования математики . Проблематика теории упорядоченных групп привлекла внимание большого числа математиков, в том числе Р.Дедекинда, О.Гёльдера, Д.Гильберта, Дж. Неймана, Г.Биркгофа, Ф.Холла. Значительный вклад в развитие теории упорядоченных групп внесла сибирская школа алгебры и логики: основатель этой школы А.И.Мальцев, а также М.И.Каргополов, А.И.Кокорин, Д.М.Смирнов, В.М.Копытов и др. Интерес к упорядоченным группам объясняется тем, что возможность введения порядка на группе обуславливает ее специфическое групповое строение и, в тоже время, многие объекты анализа, в частности, функциональные пространства, допускают естественный порядок.

В диссертации рассматриваются правоупорядочиваемые груп-

пы, т.е. группы, допускающие правое упорядочивание. Исследование строения правоупорядочиваемых групп является одной из основных задач теории правоупорядоченных групп. Интенсивное развитие теории правоупорядоченных групп началось с середины 60-х годов после доказательства теоремы о совпадении класса правоупорядочиваемых групп с классом групп изоморфно вло-жимых в группы автоморфизмов подходящих линейно упорядоченных множеств (П.Кон [9],М.И.Зайцева [10] и П.Конрад [11]) и доказательства Ч.Холландом [12] теоремы о том, что всякая ре-шеточно упорядоченная группа имеет точное представление автоморфизмами подходящего линейно упорядоченного множества и, следовательно, правоупорядочиваема. Тем самым была установлена тесная связь теории правоупорядоченных групп с теориями групп автоморфизмов линейно упорядоченных множеств и реше-точно упорядоченных групп. К настоящему времени теория правоупорядоченных групп приобрела все черты разработанных теорий с широким кругом задач и разработанными методами исследований и нашедшая достаточно полное отражение в монографической литературе [5],[6],[8].

Актуальность исследования строения правоупорядочиваемых групп можно объяснить следующими причинами.

Исследование правоупорядочиваемых групп - это исследование широкого класса групп без кручения. Введение правого порядка позволяет изучать строение простых групп без кручения и близких к ним групп, а также изучать группы с заданными системами подгрупп, например, с разрешимыми системами подгрупп. Класс правоупорядочиваемых групп совпадает с классом групп, изоморфно вложимых в подходящие решеточно упорядоченные группы [6]. Изучение строения правоупорядочиваемых групп дает важную

информацию о строении решеточно упорядоченных групп.

Актуальность изучения строения правоупорядочиваемых групп связана также с теорией групп автоморфизмов линейно упорядоченных множеств, которая дает эффективные методы как для теории частично упорядоченных алгебраических систем, так и для общей теории групп [1]-[8]. Теория групп автоморфизмов линейно упорядоченных множеств, созданная, в основном, работами американских алгебраистов: Ч.Холланда, С.Макклири, А.Гласса и др., создавалась и излагалась на языке решеточно упорядоченных групп. Изучение же, например, подгрупп решеточно упорядоченных групп порядковых автоморфизмов нередко сталкивается с определенными трудностями. Теория правоупорядоченных групп дает метод исследования таких групп.

Существует глубокая связь между правоупорядоченными группами и теорией моделей, установленная А.Мостовским, А.Эренфой-хтом [15] и М.Рабиным [16]. Важное свойство класса правоупорядочиваемых групп связано с понятием универсальности: группа называется универсальной, если она имеет точное представление автоморфизмами некоторой модели М любого аксиоматизируемого класса моделей М, имеющего бесконечную модель. Класс универсальных групп совпадает с классом правоупорядочиваемых групп [16].

Исследованию строения правоупорядочиваемых групп посвящено значительное число работ. Полугрупповые необходимые и достаточные условия правоупорядочиваемости группы указал П.Конрад [11], групповые достаточные условия получены М.И.Зайцевой [10], Р.Бернсом и В.Хейлом [17]. Условия правоупорядочиваемости групп, представленных в виде фактор - групп свободных групп, найдены Д.М.Смирновым [18]. Правоупорядочиваемость

свободных произведений групп изучалась А.А.Виноградовым [19], Дж.Бергманом [20]. Квазимногообразия правоупорядочиваемых групп рассматривались А.И. Будкиным [21, 22], Н.Я.Медведевым [23]. Класс правоупорядочиваемых групп, допускающих конрадов правый порядок, изучался П.Конрадом [11], С.Д.Бродским [24], А.Ремтуллой [25], Н.Я.Медведевым [26]. Дж.Бергманом [27]. Пра-воупорядочиваемые группы, удовлетворяющие некоторым условиям, рассматривались в работах [28, 29, 30, 31, 32].

Диссертация посвящена исследованию строения правоупорядочиваемых групп: изучению решеток правоотносительно выпуклых подгрупп, описанию групп с конечным числом правых упорядочиваний, доказательству локальной индикабельности некоторых правоупорядочиваемых расширений групп и построению примера правоупорядочиваемой не локально индикабельной группы.

Существенную роль в диссертации играют введенные автором упорядочиваемые представления ((7, группы (т перестановками множества О. Основанием для рассмотрения упорядочиваемых представлений групп служит вложимость правоупорядочиваемых групп в группы автоморфизмов линейно упорядоченных множеств. Введение понятия а— положительного конуса упорядоченного представления ((7,0) и его характеризация позволила автору сформулировать и доказать ряд необходимых и достаточных условий упорядочиваемости представления группы, которые, в частности, дают условия правоупорядочиваемости группы, представленной перестановками. Упорядочиваемые представления групп оказались удобным инструментом исследования правоупорядочиваемых групп. Так, связь между упорядочиваемос-тью представления ((7, С1) и правоотносительной выпуклостью стабилизаторов Оа точек а € О,, позволила автору привлечь груп-

пы автоморфизмов линейно упорядоченных множеств к изучению правоотносительно выпуклых подгрупп. Применение упорядочиваемых представлений групп является одним из основных методов, используемых в диссертации.

Исследование строения правоупорядочиваемых групп выявило важность изучения систем правоотносительно выпуклых подгрупп правоупорядочиваемых групп в определенной степени, определяющей строение групп. Роль правоотносительно выпуклых подгрупп в теории правоупорядоченных групп заключается в их тесной связи с условиями правоупорядочиваемости, продолжением правых порядков, описанием правых порядков, гомоморфизмами групп, в частности, представлениями групп автоморфизмами линейно упорядоченных множеств. В диссертации получен ряд общих свойств правоотносительно выпуклых подгрупп, важнейшее из которых - система всех правоотносительно выпуклых подгрупп правоупорядочиваемой группы является решеткой. Следовательно, можно говорить о правоотносительно выпуклой подгруппе гс(А) группы (3, порожденной подмножеством А группы (3. Большое значение в работе при исследовании строения правоупорядочиваемых групп имеют, полученные автором, условия при которых гс(А) ф (3. Важной проблемой изучения решеток правоотносительно выпуклых подгрупп является нахождение условий, при которых подгруппа группы является правоотносительно выпуклой, т.е. условий, когда гс(Н) = Н, где Н - подгруппа группы (7. Полугрупповые необходимые и достаточные условия правоотно-сительной выпуклости подгруппы указаны С.Тодориновым [29]. В диссертации установлена правоотносительная выпуклость некоторых полных нормальных подгрупп правоупорядочиваемых групп, в частности, полных центральных подгрупп.

При исследовании алгебраических упорядоченных систем важ-

«_» и чч чч

нои задачей является изучение систем с условиями конечного типа, связанными с отношением порядка. Так, упорядочиваемые группы с конечным числом линейных порядков рассматривались в [33]—[35], с конечным числом относительно выпуклых подгрупп - в [36],[37]. В диссертации дается описание правоупорядочивае-мых групп с конечным числом правых порядков и групп с конечным числом правоотносительно выпуклых подгрупп, что является обобщением результата С.А.Тодоринова и Н.Л.Петровой [28] о группах, правоупорядочиваемых единственым с точностью до противоположного способом. Доказано, что если число правых порядков группы конечно, то оно равно 2п. для некоторого пбМ, и тем самым показана справедливость гипотезы Б.Неймана (вопрос 18(а) в [4]) для класса правоупорядочиваемых групп, не имеющей места для класса упорядочиваемых групп, например, [35]. Также получено описание локально индикабельных групп, обладающих свойством, что всякая их подгруппа (правоотносительно выпуклая подгруппа) имеет конечное число неэквивалентных транзитивных представлений автоморфизмами линейно упорядоченных множеств.

Система выпуклых подгрупп правоупорядоченной группы может не быть разрешимой (Д.М.Смирнов [18]). Довольно близкими к линейно упорядоченным группам являются правоупорядочен-ные группы, называемые конрадовыми, система выпуклых подгрупп которых разрешима и обладает факторами без кручения, введенные П.Конрадом [11], М.И.Зайцевой [38] и Д.М.Смирновым [18]. С.Д.Бродским [24] показано, что класс групп, допускающих конрадовы правые порядки, совпадает с классом локально индикабельных групп. Класс локально индикабельных групп, являю-

щийся квазимногообразием - один из важнейших классов право-упорядочиваемых групп, например, ввиду его совпадения с классом всех групп, изоморфно вложимых как подгруппы в реше-точно упорядоченные группы из ¿-многообразия групп с субнормальными скачками [6], являющимся наибольшим собственным I-подмногообразием ¿-многообразия всех решеточно упорядоченных групп (Ч.Холланд [39]). Более сорока лет было неизвестно, является ли каждая правоупорядочиваемая группа локально индикабельной. Впервые пример, дающий отрицательное решение этой проблемы, а также проблемы Д.М.Смирнова (в разных вариантах обсуждавшейся в литературе, например, вопрос 2.71 в [40]), связанной с классами Куроша-Черникова [41], возникающими в рамках теории "обобщенно разрешимых" групп: всякая ли правоупорядочиваемая группа обладает разрешимой субнормальной системой подгрупп, т.е. является ЯМ - группой, был построен геометрическими методами Дж.Бергманом [27]. Пример Дж.Бергмана - не локально ин-дикабельная правоупорядочиваемая группа, являющаяся подгруппой универсальной накрывающей группы матриц ЗЬ(2,Ж). В диссертации построен чисто алгебраический пример (принципиально отличающийся от примера Дж.Бергмана) не локально индикабельной правоупорядочиваемой группы периодических автоморфизмов рациональной прямой

Значительный интерес для теории правоупорядоченных групп представляет вопрос о том, для каких классов "обобщенно разрешимых групп" существование правого порядка на группе влечет ее локальную индикабельность. Локальную индикабельность правоупорядочиваемых полициклических и разрешимых конечного ранга групп установили А.Ремтулла [25] и Н.Я.Медведев [26], соответственно. В диссертации доказана локальная индикабельность

правоупорядочиваемых расширений радикальных групп при помощи периодических групп, откуда вытекает, в частности, локальная индикабельность правоупорядочиваемых групп, обладающих разрешимой нормальной системой подгрупп, вполне упорядоченной по возрастанию (т.е. Ш*-групп). Полученный результат обобщает результаты А.Ремтуллы, Н.Я.Медведева и дает положительный ответ на вопрос А.Ремтуллы [25] и вопрос 12 в [42]: является ли правоупорядочиваемая разрешимая группа локально индикабель-ной группой.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Построена теория упорядочиваемых представлений групп с целью ее применения к исследованию строения правоупорядочиваемых групп, и также представляющая самостоятельный интерес.

2. Исследованы решетки правоотносительно выпуклых подгрупп правоупорядочиваемых групп. Установлена правоотноси-тельная выпуклость некоторых полных нормальных подгрупп правоупорядочиваемых групп.

3. Получено описание правоупорядочиваемых групп с конечным числом правых порядков и групп с конечным числом правоотносительно выпуклых подгрупп. Доказано, что если число правых порядков группы конечно, то оно равно 2п для некоторого натурального числа п, и для любого натурального числа п существует группа, число правых порядков которой равно 2П.

4. Установлена локальная индикабельность правоупорядочиваемых расширений радикальных групп при помощи периодических групп. Тем самым, в частности, дан положительный ответ на вопрос А.Ремтуллы [25] и вопрос 12 в [42].

5. Построен чисто алгебраический пример не локально индика-бельной правоупорядочиваемой группы, принципиально отличаю-

щейся от примера Дж.Бергмана [27], построенного геометрическими методами.

В работе широко применяются методы теории правоупорядо-ченных групп, групп автоморфизмов линейно упорядоченных множеств, методы абстрактной теории групп, а также упорядочиваемые представления групп, теория которых построена в диссертации.

Все результаты диссертации являются новыми. В качестве следствий получены также некоторые результаты, принадлежащие другим авторам. Работа носит теоретический характер и ее результаты могут найти применение в исследованиях по теории правоупорядоченных групп, в теории решеточно упорядоченных групп и в теории групп автоморфизмов линейно упорядоченных множеств, а также при чтении алгебраических специальных курсов.

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе построена теория упорядочиваемых представлений групп с целью ее использования для изучения строения пра-воупорядочиваемых групп. §1.1 имеет вспомогательный характер, в нем содержатся основные понятия и свойства правоупорядоченных групп. Используемая в диссертации терминология по право-упорядоченным группам соответствует терминологии монографии [8], по абстрактной теории групп - монографиям [13, 14]. В §1.2 определяются понятия частично ( линейно) упорядоченного, упорядочиваемого представления (0,0) группы (7 перестановками множества 17, а—положительного конуса и локального а—конуса частично упорядоченного представления группы. Дается харак-теризация о;—положительных конусов и локальных а— конусов, однозначно определяющих порядок транзитивного представления.

В §1.3 с использованием результатов §1.2 получены необходимые и достаточные условия упорядочиваемости представлений групп. Полученные результаты применяются к правоупорядочиваемым группам, в частности, к нахождению критерия правоупорядочи-ваемости группы. Устанавливается важная для дальнейшего связь между упорядочиваемостью представления ((7, О) и правоотноси-тельной выпуклостью стабилизаторов Оа точек а 6 Пв группе О. Результаты §1.3 дают подход к решению задач, поставленных в диссертации.

Во второй главе