Предельные состояния в процессе пластического формоизмерения листовых металлов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

II

тям ставится так: первая поверхность текущей массы и внутреннее движение относительно нее первого тела инструмента известны; второе тело инструмента отсутствует, т.е. вторая поверхность текущей массы является свободной поверхностью. Необходимо определить напряжения, скорости и толщину деформируемой пластической массы пластического слоя в функции пространственных координат и временного параметра, а также найти давление на инструмент.

Как и в первой задаче, на контуре, ограничивающем область течения пластической массы, должны быть заданы граничные условия в напряжениях, скоростях или в смешанном виде.

Третья основная задача теории течения на поверхностях состоит в определении напряженного и кинематического состояний элементов пластической массы в виде тонкостенной оболочки, деформируемой в пространстве за счет сил, приложенных по ее краю, положение которого является известным. В этом случае в области течения отсутствуют оба рабочих тела инструмента.

Решение первой основной задачи на примере сжатия пластической массы между двумя жесткими поверхностями приведено в [15] . Методы решения этой задачи в той или иной постановке обстоятельно рассмотрены в [5,10,16,17,18] и др. применительно к осадке сравнительно тонкого пластического слоя, волочению и прессованию в условиях плоской деформации, прокатке листов и др.технологическим процессам.

Решения второй и третьей основных задач в конкретной постановке в [15] не приводятся. А именно с этими задачами приходится часто сталкиваться при определении параметров пластического течения тонколистового металла при его формоизменении в условиях пластического плоского напряженного состояния.

14

ется научное направление, которое ставит своей задачей получить приближенные решения по определению параметров процессов деформирования в виде аналитических функций, отражающих влияние наиболее существенных факторов (упрочнения, изменения толщины заготовки в процессе ее деформирования, изгиба заготовки) на распределение и величину напряжений в пластической области.

Это же направление, которое по существу является решением одномерных задач, развивается в [4,5,9] и др.

Другое направление в решениях задач плоского напряженного состояния состоит в математическом моделировании преимущественно осесимметричных процессов формоизменения листовых заготовок на основании теории течения, что позволяет учесть нестационарность этих процессов и истории нагружения элементов этих заготовок. Для расчетов напряженного и кинематического состояний используются численные методы.

Можно выделить два подхода к численному моделированию таких задач. В первом задача формулируется в виде сопряжения краевых задач для свободных зон и зон контактного взаимодействия с инструментом [27-31] . Во втором подходе задача течения листового металла формулируется как несвободная вариационная задача с ограничениями на перемещения в зонах контакта [32,33] .

В качестве численных методов решения двумерных задач широкое применение получили метод конечных разностей и метод конеч-

15

описания и вычислительного алгоритма.

Использование метода конечных разностей к решению проблем

формоизменения листового металла можно найти в работах [27-33] ,

эе)

а также в статьях .

Возможности применения к широкому классу задач со сложной геометрией и нетривиальными, граничными условиями сделала популярным метод конечных элементов.

Применительно к решению проблем пластического течения листового металла этот метод получил распространение в последние 15 лет. Его детальное описание для этих проблем дано в работах**?

Сложность математического моделирования процессов пластического формообразования оболочки из листового металла обусловлена необходимостью описания больших деформаций заготовки, нестационарностью пластического течения этого металла, неравномерным утонением стенки этой оболочки, контактным трением, влиянием анизотропии и упрочнения листового металла и т.д.

В общем случае листовая заготовка становится в процессе пластического деформирования оболочкой сложной формы, элементы которой дефоршруютея ж совершают пространственное движение. Процесс деформирования сопровождается изменением линейных разме-

Koftanogly В., and Tekkaya А.Е. Complete Numerical Solution of the Axisymmetric Deep Drawing Problem // Trans.ASME, J.Eng. Math.Tech. - 1983. - v.103. - p.326-332.

ßavriushin 3., and Zienkiewioz 0.0. A Simple Algorithm for the Analysis of Axisymmetric Thin Sheel Metal Potming // Int. J.Nuro.Meth.Engng. - 1936. - v.23. - p.II79-II94. Tseng A.A. A generalised Finite Difference Scheme for Convection - Dominated Metalforming Problems // Int.J.Nura.Meth. Engng. - 1984. - v.20. - p.1885-1900.

ГЛАВА П

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ЛИСТОВОГО МАТЕРИАЛА В УСЛОВИЯХ ПЛАСТИЧЕСКОГО ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

2.1. Математическое описание нестационарного течения жесткопластического материала.

ТТп 71ТЛ7ЛЫМ» мг^плнигу пипгрои \mC3UVOUljrti

уравнения равновесия [11,15]

41

дифференциальное уравнение с частными производными, связывающее толщину А с тремя независимыми переменными ^ » * . Его решение сводится к интегрированию следующего уравнения

д£.

1

дИ,

Л ~ 1 Н1 дх1 + н2 дь' дх1' д*л

Г,г

Отметим, что часто используемое предположение к = СО/26^ такгке соответствует переходу от уравнений (2.8), (2.9) к уравнениям (2.18), (2.19). Однако это предположение справедливо только для линейного условия пластичности — / .В случае

других условий пластичности оно реализуется лишь для частных напрягкенных состояний, определяемых из условия О .

Исследуем систему уравнений (2.18), (2.19), (2.11), (2.12) на предмет наличия у ней характеристических свойств.

Согласно общей теории характеристик С62] найдем, что указанная система уравнений имеет следующие уравнения характеристик

с =

(2.20)

Дифференциальные соотношения на характеристиках имеют вид С 64]:

л г д4 дИ

н

и

[2нгбас11г (2.21)

11 1

РОССИЙСКАЯ

ОСУДАРСТ8ЕННА5 БИБЛИОТЕКА

44

нениях характеристик (2.20) координаты ^ ; ^ - б? ; / ; А? г £ ; ; ^ -б£ ; ; характеристические соот-

ношения (2.21), (2.22) принимают вид

д/ хГ,

д(>ге

дя, г

Если £>£0*0, (¿Ц>а,-0 . то

^=-Л -44

(2.28)

(2.29)

(2.30)

02.31)

Рассмотрим также деформирование осесимметричной оболочки., образованной вращением произвольной гладкой образующей вокруг оси . За криволинейные координаты ^ и ^ при-

мем длину дуги меридиана и долготу соответственно. В этом случае для линейного элемента поверхности вращения имеем

с1ё г с1х ч-2с(х*

(2.32)

где £ - радиус сечения этой поверхности в плоскости, перпендикулярной оси Х^ ,

Из уравнения (2.32) следует, что //,-/, . Урав-

нения характеристик (2.23) и характеристические соотношения принимают вид:

45

С =

ТГ

(2.33)

(2.34)

сЬг

а*, г

(2.35)

Рассмотрим уравнения характеристик (2.20) и характеристические соотношения (2.21), (2.22) применительно к различным условиям пластичности.

I). Изотропный материал, подчиняющийся условию пластичности Мизеса,

12

где безразмерные компоненты тензора напряжений ^ , ,

равны соответствующим размерным, отнесенным к пределу текучести материала . ___

В плоскости размерных главных напряжений ^ ^ функция р представляет собой эллипс, изображенный на рис.2.За. Для функции и ее производных имеем

к"

23.

/г

в<

(2.36)

где

б22{

1 •

• 1

1------ б$

Рис.2.3

Геометрическое представление квадратичного (а) и линейного (6) условий пластичности для плоского напряженного состояния

49

Этому случаю соответствуют сплошные линии сп на,

рис.2.36, т.е. только напряженное состояние "растяжение - сжатие" и только для него система уравнений (2.18), (2.19) относится к гиперболическому типу. В остальных случаях эта система является параб оличе ской.

Нетрудно показать [10] , что условие (2.42) для () $ можно записать так

где , б^ » ^12 ~ безразмерные напряжения, равные соответствующим размерным, отнесенным к пластической постоянной

Из этого уравнения для функции £ и ее производных можно найти следующие соотношения:

дб„ -+

26»

УмГ

(2.43)

С помощью соотношений (2.20) и (2.43) найдем, что уравнения характеристик имеют вид [ 65] :

I " И 4

1-012

1+б>4

12.

(2.44)

//

с'--С'--

Чг Ч

1+&12

12

(2.45)

Из уравнений (2.44) следует, что характеристики С^ и Сг взаимно ортогональны. Аналогичный вывод следует для ха-

195

ростей течения в заготовке в функции пространственных координат и временного параметра.

Разработаны алгоритм и программа вычисления напряженного и кинематического состояний, возникающих при деформировании плоского фланца. Проведены численные расчеты этих состояний для заготовки. с двумя осями симметрии. Получены распределения напряжений, скоростей течения и толщины деформируемого фланца при. формообразовании: детали коробчатой формы.

Показано, что разработанный алгоритм, несмотря на ограниченность его применения только для напряженного состояния в периферийной части заготовки (во фланце) (0 3 6п 3 1, $ О ) позволяет определить на стадии проектирования технологических процессов форму и размеры листовой заготовки, выяснить закономерности изменения полей напряжений и скоростей, возникающих при ее деформировании, а также изменения толщины заготовки в функции временного параметра. Знание этих закономерностей облегчает проектирование процессов формообразования оболочек сложной формы.

3. Проведено исследование общего случая нестационарного течения листового материала, описываемое исходными системами уравнений. Определены характеристические поверхностные элементы, параллельные пространственным осям координат и получены условия совместности на этих алементах, справедливые для всего диапазона изменения напряженного состояния.

Найденные характеристические свойства исходных систем уравнений использованы для разработки методов их решения.

4. Рассмотрено стационарное пластическое течение листового материала. Показано, что в общем случае исходная система уравнений не относится к гиперболическому типу. В случае ее параболич-ности она имеет два семейства действительных характеристик, на

201

ное определение использовалось в исходной и бифуркационной формах 1фитерш Эйлера. В своей бифуркационной форме этот критерий гласит: состояние упругой системы неустойчиво, если возможен равновесный переход из исходного состояния в некоторое другое - бифуркацию равновесия - при неизменных внешних силах [ 77] . Бифуркационный критерий является тем критерием, который выделяет состояния, аналогичные состоянию шарика на выпуклой поверхности. Он был положен в основу определения критических сил, возникающих в упругопластических конструкциях под действием сжимающих нагрузок. Основной вклад в развитие этого направления внесли, работы А.А.Ильюшина [78] .

Возможность перенесения бифуркационной формы упругого критерия Эйлера в упругопластическую область следует из того факта, что для упругопластических систем, также как и для упругих, существуют состояния, которые включены в непрерывную последовательность равновесных состояний с фиксированными внешними силами.

Р.Хиллом было сделано заключение о возможности бифуркации равновесных состояний при изменяющейся нагрузке [79-81] .

Таким образом, бифуркационный критерий вполне приемлем как критерий устойчивости состояния равновесия.

Для дальнейшего уточнения необходимых понятий рассмотрим процесс пластического деформирования тела, на который действуют поверхностные силы ^ , а также задаваемые перемещения его границ и^ . Величины Р{ и U¿ являются внешними параметрами по отношению к процессу деформирования. Они медленно изменяются во времени и в любой момент могут быть зафиксированы. Процессу изменения внешних параметров соответствуют процессы нагружения и деформирования элементов тела - внутренние процессы, которые характеризуются изменениями во времени компонент тензоров

203

значения: этих параметров, а именно те, которые отвечают неединственности решения для приращений. Наглядное представление об изложенном можно получить, если, обратиться к каким-либо образом выделенному равновесному процессу, представленному на рис.3.1. траекторией ов п. В^ В0 . Точка В0 этой траектории, соответствующая бифуркации состояния, является особой точкой; в соответствующий момент развития внешнего процесса наряду с состоянием В0 возможно другое близкое равновесное состояние А0 . Однако, как показано в [77] , точки типа В0 не исчерпывают всего множества, особых точек процесса. Существуют точки типа Ву , в которых само состояние единственно, но неоднозначно продолжение процесса деформирования. Такая ситуация называется бифуркацией процесса деформирования. Если точка. Ва отвечает неединственности самих внутренних параметров и называется бифуркацией нулевого порядка., то точки Вг .. . Вп

- бифуркациями первого, второго.....И -го порядка, когда при

однозначности самих внутренних параметров могут быть неединственными первые приращения (бифуркация первого порядка), при однозначности самих внутренних параметров и их приращений становятся неединственными вторые приращения (бифуркация второго порядка.) и т.д.

Подчеркнем еще раз, что бифуркация нулевого порядка в определенных условиях служит признаком неустойчивости состояния равновесия, а бифуркация процесса - признаком неустойчивости процесса деформирования, понимаемого как медленное движение континуальной среды.

В настоящей работе определяются характерные (критические) параметры, соответствующие бифуркации нулевого порядка для пластически деформируемых элементов, находящихся под действием рас-

•Рис.3.1

■Траектория равновесного процесса деформирования характерного элемента тела в плоскости изменения внутренних параметров ^, ^ или , . Точка В0 отвечает бифуркации, состояния. В точках В¿' { I - 1,2,... /2. ) состояние единственно, но неоднозначно продолжение процесса

205

тягивающих нагрузок, т.е. параметры, отвечающие устойчивости в малом.

В этом смысле надо понимать термин локальная устойчивость состояния равновесия.

При определении бифуркационных состояний будем придерживаться следующей логической схемы. Поскольку на теле или на его элемент действуют растягивающие нагрузки, то объектом исследования является явление локального утонения тонколистового материала. Причина утонения - неустойчивость состояния равновесия, критерий неустойчивости - бифуркация состояния равновесия, расчетная схема бифуркации - сравнение близких равновесных состояний.

Поскольку на результаты расчета критических параметров существенно влияет принятый закон пластичности, в заключение этого раздела приведем необходимые соотношения теории течения анизотропного (ортотропного) материала Мизеса-Хилла, изложенные в [ 82] .

В основной координатной системе ортотропного материала 1,2, 3 (главных осях анизотропии) для плоского напряженного состояния эти соотношения выражают:

а) связь между приращениями пластических деформаций ^ёу и напряжениями бру

^у^ М>м=1>*),(зл)

б) условие несжимаемости

¿¿и -О (¿---/,2,3) (3.2)

в) связь между эквивалентным напряжением и накопленной деформацией

б'-б(У') (з.з)

206

Здесь: ^цр^ ~ компоненты тензора, анизотропии, симметричного как по парам индексов ( ¿у , рЦ ), так и по индексам внутри пары ( ), ( Р)^ ). Эквивалентное напряжение б

и приращение эквивалентной деформации равны

(3.4)

7

2(ауру с/¿у ¿еру)

(3.5)

В уравнении (3.5) компоненты образуют матрицу,

обратную

Величина А является инвариантом, равным

Д = Д + /} - О Л

П11Н "2222 * 1122

(3.6)

Для компонент тензора анизотропии ^^¿jpcj, в повернутой системе координат 1,2 в соответствии с законом преобразования тензора четвертого ранга имеем

Дцр^ ~ в^т @рг вух Япт

(3.7)

где втк - направляющие косинусы углов между осями координат основной и повернутой систем.

В развернутой записи компоненты » отнесенные к

компоненте

А

1122

, имеют вид:

207

a^Jcos2oC}sin2oi>

ñni2 z la90 a0 l[#o 4<?о/{ /

am) -2]cos2u}¿<¿ri2oc

r

где; oC - угол между осями I основной и I повернутой систем координат, отсчитываемый против часовой стрелки; U0 , ,

&д0 - коэффициенты анизотропии, определяемые как отношения поперечных деформаций при испытаниях на одноосное растяжение образцов, вырезанных под углами ОС =0°, ¿X = 45°, СС - 90° к направлению оси I.

Для листового металла ось I совпадает с направлением прокатки. Коэффициенты &0 , üyg , &д0 являются параметрами, необходимыми и достаточными для расчета плоского напряженного состояния.

208

3.2. Устойчивость одноосного растяжения плоского образца

Рассмотрим процесс одноосного растяжения образца, вырезанного из листового материала под углом оС к направлению главной оси анизотропии I (рис.3.2). Предположим, что в данный момент времени в образце реализуется однородное напряженное и деформированное состояние с ненулевыми компонентами тензоров напряжений и деформаций и 8^ , , ¿^ .

В основном процессе имеется особая точка - точка бифуркации нулевого порядка, отвечающая неединственности в малом для параметров , • , ¡ъ • Для выяснения этой точки пола-

гаем, что наряду с основным состоянием однородного растяжения с равномерным изменением толщины (утонением) возможно как угодно близкое не�