Представления циклических р-групп над кольцом классов вычетов по модулю ps и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГо ОД

КИЕВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Т.Г. ШЕВЧЕНКО

На правах рукописи

ХАНАНО АБДЕЛЬ-ЛАТИФ

удк 512.547 -

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ р-ГРУПП НАД КОЛЬЦОМ КЛАССОВ ВЫЧЕТОВ ПО МОДУЛЮ рБ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.06. - алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание научной степени кандидата физико-математических наук

Киев - 1995

'Диссертацией является рукопись.

Работа выполнена на кафедре алгебры Ужгородского университета.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Дроботенко Вячеслав Сергеевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Сысак Ярослав Прокопович, кандидат физико-математических наук Цильке Андрей Альфредович.

Ведущая организация: Львовский государственный университет им. Ивана Франко.

Защита диссертации состоится «УХ _" июня 1995 г. В на заседании специализированного ученого совета*-Д 01.01.01 при Киевском университете им. Т.Г. Шевченко по адрессу: 252127, Киев-127, проспект акад.Глушкова, 6, Киевский университет, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета.

Автореферат разослан ". // ." мая 1995 г.

Ученый секретарь специализированного ученого совета

Овсиенко С.А.

• 3 -

Общая характеристика работы Актуальность работы. Диссертация посвящена изучению представ-ний циклических р-групп над кольцом Zps классов вычетов по модулю ps приложению этих представлений к описанию расширений абелевых упп типа (ps, ..., ps) с помощью циклических р-групп (р * 2, s > 4).

B.C. Дроботенко, А.И. Лихтман показали, что если порядок конеч-й группы G делится на простое число р, то группа G обладает бесконеч-IM числом неразложимых ZpS-представлений (s > 1). Вопросы, связанные конечностью числа неразложимых представлений конечной группы G по-дка п над кольцом Zm полностью были решены в работе П.М. Гудивка, С. Дроботенко, А.И. Лихтмана.

Циклическая группа простого порядка р имеет бесконечное число разложимых Zps-представлений (s > 1). Несмотря на это, их удалось 'Лностью описать. В.М. Бондаренко показал, что задача описания всех разложимых Zps-представлений циклической группы порядка рг при г > 2 ляется дикой задачей, т.е. включает в себя классическую нерешенную дачу об одновременном подобии пар матриц. Поэтому для циклических упп порядка рг (г > 2) есть смысл ставить задачу описания некоторых ассов неразложимых Zpj-представлений. В диссертации изучаются такие ,5-представления циклической группы порядка рг, которые неразложимы >сле приведения по mod р (одноэтажные представления) и приводимые ухэтажные представления. з.

Изучение представлений- конечных групп над кольцом Zps дало^воз-)ЖНость . продвинуться в описаниии. расширений некоторых классов >елевых групп. B.C. Дроботенко получил описание с точностью до юморфизма расширений абелевых групп типа (ps, ..., ps) с помощью шлической группы порядка p. JI.A. Назарова, A.B. Ройтер, В.В. Сергей-'к, В.М. Бондаренко дали классификацию всех конечных р-групп, держащих абелеву подгруппу индекса р. С другой стороны, В.М. Бонда-

ренко, В.В. Сергейчук, И.В. Шапочка показали, что задача описания с точностью до изоморфизма всех расширений конечной абелевой группы типа (р5, ..., р5) (5 > 1) с помощью циклической группы порядка рг при г > 2 является дикой.

В диссертации описаны с точностью до изоморфизма все расширения конечной абелевой группы типа (р3,..., р5) с помощью циклической группы А порядка р2, которые соответствуют одноэтажным и двухэтажным 2р$-представлениям группы А (р ф 2, в'4). *

Научная -новизна работы.* В работе получены следующие новые результаты:

1. Получено описание с точностью до эквивалентности всех тех 2р$-пред-ставлений циклической группы А = <а> порядка р2 (р Ф 2, э > 4), которые неразложимы после приведения по модулю р (одноэтажные 2рв-прец-ставления).

2. Получено описание с точностью до эквивалентности двухэтажных приводимых 2р5-представлений циклической группы А порядка р2 (р * 2, 5 > 4).

3. Получено описание с точностью до изоморфизма всех расширений абелевой группы М типа (/г5, ..., р51) с помощью циклической группы А порядка р2, которые соответствуют упомянутым выше 2р5-представлениям группы А (р Ф 2, б > 4).

Научная и практическая ценность результатов. Полученные в диссертации результаты являются дальнейшим продвижением в изучениии 2/35-представлений конечных р-'групп и их приложениям к описанию расширений абелевых р-групп.

Апробация темы. Результаты диссертационной работы докладывались на международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию со дня рождения профессора С.Д. Бермана в Ужгороде (1992 г.), на международной конференции, посвященной памяти академика М.П. Кравчука в

Киеве (1992 г.), на итоговых научных конференциях Ужгородского государственного университета (1993-1995 гг.), на семинарах по алгебре в Сирии (1994 г.), на семинарах по алгебре в Ужгородском государственном университете.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано три

работы.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Содержит 139 страниц рукописного текста, 4 таблицы и список литературы из 20 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Диссертация состоит из введения и трех глав.

Во введении изложен обзор результатов по теме диссертации и показана актуальность тематики диссертации.

В первой главе диссертации изучаются 2^-представления циклических р-групп, которые неразложимы после приведения по модулю р (одноэтажные представления). Показано, что описание неразложимых по модулю р 1р5-представлений циклической группы й порядка рг {р 2)

/ 1

тесно связано с нахождением унитарных делителеи многочлена х - 1 в кольце 1рз[х]. Приведен алгоритм для нахождения всех унитарных

целителей многочлена хр - 1 в кольце Zp.sU! (р # 2, 5 > г). Найден

2

явный вид унитарных делителей многочлена хр -1 в кольце 2р${х] (р * 2, 5 > 2). Они имеют следующий вид: 1. (\(х) = х - в, 9= I + р;'2а, а е

1. /р.((х) = хРл +вхР'2 + ... +вР'2х +■ вРА +рзЛ(а0 + а\х + ... +ар.2хР'2), ап е 2

5. [р(х) = х? - И-р^Ч/Эо + Дх + ... +/?„.!X?-1), рп е

1р(р-о(х) = *р(р:° + ^р(р"2) + - +*р + 1 -

+ РхХ + ... +ррАхР-1){х - 1)Р'Р"2»;

5. fp(p. 1)+1M = (xP(P-!> + 4- ... +xP + l)Oc - в) -

-pS-Hao * aa + ... +CCp.2XP-2)(X - 1 )p(p-2)+2 = = (д^Р-О + %p(p-2) + ... + l)(x - 1) --ps"2U + + ... Sn e Zps-

6. ¡р2л{х) = xp2'1 + ^P2"2 + ... + вр2~гх +

7. [p2(x) = Xp2 - 1. V

Нами показано, что любое неразложимое по модулю р ZpS-пред-

ставление циклической группы G = <а I ар = 1 > (s > 2г) имеет вид

—> где - клетка Фробениуса, соответствующая унитарному '

делителю /¿(х) многочлена хр - 1 в кольце 2ps\x\.

В частности, при г = 2 группа G имеет семь типов неразложимых по модулю р ZpS-представлений -» F^ {k = 1, р - 1, р, р(р - 1), р(р -1) +1, р2 ~ 1, р2), которые соответствуют выписанным унитарным

делителям многочлена хр -1 в кольце Zps[x] (s > 4).

Вторая глава диссертации посвящена изучению приводимых

двухэтажных Zps-представлений группы G = <а I ар = 1 >, т.е. таких представлений, которые после приведения по модулю ps'r распадаются в сумму двух одноэтажных представлений. Такие представления имеют вид

Г: а ->

'Г, Х^ vO Г2У

(1)

где Гь Гг одноэтажные Zp.s-пpeдcтaвлeния группы С, соответствующие

унитарным делителям /¡(х) и /¿(х) многочлена хр -1 в кольце 1р$[х] (степень ¡\{х) равна к\, степень ¡2(х) равна &2> < а X такая матрица над кольцом Ър$, что X н 0(шос1 р*~т).

Сначала мы доказываем (лемма 2.3), что представление вида (1) «валентно представлению вида

Г: а ->

% <у(х)>^ О Г2 ,

(2)

: <}{х)> матрица, все столбцы которой, кроме последнего, нулевые, а в :леднем столбце находятся коэффициенты многочлена }{х) (степень огочлена у{х) меньше степени многочлена f\(x)). Вычислены все много-;ны х), задающие двухэтажные ZpS-представления циклической группы порядка р2 (р Ф 2, s > 4).

В теореме 2.5 показано, что преобразование сильной эквивалент-:ти позволяет в матрице <}{х)> приводить многочлен }(х) по модулю гала I кольца Zps\x\, порожденного многочленами fi(x) и f%{x). Если означить через г{х) остаток от деления feix) на f\{x), то идеал 1 порож-;тся ¡¡(л) и г(х). В таблице 2 (параграфа §2.3) приведены многочлены ;) для всех пар fi(x), fi{x). Преобразования эквивалентности представле-й (2) с помощью матриц вида

О

зываются автоморфизмами на первом и втором этажах. В леммах 2.8, 2.9 казано, что действие автоморфизмов на этажах сводится к умножению гогочлёна у{х) на многочлен 6(х), ¡^который обратим в кольце = 2рз[х}/ [¿(х)2рз[х] (г = 1, 2)> Найдены все обратимые элементы кольца

(лемма 2.7). 'В результате сочетания преобразований сильной

>

с

вивалентности, автоморфизмов на первом и втором этажах и ^образования общего ёкда получено описание всех двухэтажных 2р$-

2

»едставлений (з £ 4) группы й = <а | ар = 1>.

Теорема 2.11. Любое двухэтажное приводимое 2р5-представление ) эквивалентно представлению

(Л (Е 0"

и

Е, чО С2)

Г: а

/V л

Г; < Y >

О г; ,

(3)

где Г,, Г;- одноэтажные представления группы G (г < /); для следующих семи пар индексов (/, /): (1, р)\ (1, р(р-1)+1); (/7-1, р); (р-1, р2-1); (р(р-1), р(р-1)+1); (р(р-1), р2-1); (р(р-1)+1, р2-1) у— 0 либо v= р-1. Для остальных пар индексов (г, /) / = О.

В третьей главе диссертации рассматриваются циклические расширения абелевых групп типа (ps,..., рs).

Пусть М абелева группа типа (р3,..., р8), Л = <а> циклическая группа порядка р\ G расширение группы М с помощью группы А. Хорошо известно, что расширение G определяется Zpo-представлением Г группы А и элементом Лц s М инвариантным относительно Г. Группа G состоит из элементов вида хт (х е .4, т е М) со следующей операцией умножения

х.т.уут.2 = ху(х, i/)m1i/m2 (х* У е ^ mi> т2 е AdT>, где {(л, ¿/) е Л/} система факторов, которая определяется следующим образом

(а'.аоЛ1

[ Щ П ри i + I > р . Группу G мы обозначаем через G(M, А, Г, то). Если мы группу М запишем аддитивно, то она превращается в свободный модуль М ранга k над кольцом Zps (k = dim Г). Пусть ..., е^ фиксированный базис Zpj-модуля .VI. Тогда группа G порождается элементами <?[, ..., е^, а с определяющими

соотношениями pse-t = 0, а"'е;а = Г(е;) (г = 1, ..., А); а'° = где элемент то удобно представлять в виде ^-мерного вектора, компоненты которого из кольца Zps.

Нами описаны с точностью до изоморфизма все расширения G(M, A, fi, trik) группы /VI с помощью циклической группы А порядка р2, которые соответствуют "одноэтажным. Zp-s-представлениям группы А (р - 2.

> 4), найденым в первой и второй главах диссертации. Для каждого даоэтажного Zps-представления группы А вычислена группа расширений >уппы М с помощью группы А (вторая группа гомологий). Это дает >зможность дать описание расширений G(M, А, Гц, тс точностью до ;вивалентности расширений.

. Теорема 3.7. Все неэквивалентные расширения G(M, А, Г^., rrik) >уппы М с помощью циклической группы А порядка р2, которые ютветствуют одноэтажным Zps-представлениям группы А (р Ф 2, s S 4) :черпываются следующими группами: G(M, А, Г], mi), где т\ = /л\ = О, I, .... р2- 1 при а = 0(mod р2);

1 = /u[t Ц\ = 0, 1, ..., р - 1 при а= 0(mod р), аФ 0(mod р2);

V ■ • /

1 = 0 при а Ф 0(mod р).

. G(M, А, Гр.ь трЛ), где трЛ = р"лиР-М, 2, .... р - I), мР-\ = 0, 1, .... р - 1 ри а = 0(mod р); тр.\ = (0, 0, ..., 0) при а Ф 0(mod р). . G(M, А, Гр.|, трЛ), где тр = уь Гр-l). Ир = 1. •••. Р - 1 при ! + Д + ... + РрЛ = 0(mod р);

пр = (0, 0, ..., 0) при Д + Д + ... + Д,., * 0(mod р), де й = 1 + р5"'(Д+Д+ ... + Д) (t = 0, 1, ..., р- 1). . G(Af, А, Гр(р.1), тр{р.А)),

тр(р.i)= ps-Vp(p-l)U.-.l. 2,..„2, ..., р - 1 ,...,р - 1), цР(Р-\)= 1. Р~ 1 ри Д + /?!+...+ ррЛ = 0(mod р); Ь(р-О = (°> °> при Д + 1+ ... + ррЛ * 0(mod р).

. G(M, А, Гр(р'.1)+1, тр(р..1)+1),

1е ОТр(р.1)+1= Ар(р.,)+1(1Д..Д 1.0...., О, ..., 1Д...Д 1) +

f Ps'[Mp(p-l)+i (Л). П. Гр(р-1)). ^р(р-1)+1 = 0, 1, ..., р- I ри + S\ + ... + 5р(рЛ) = 0(mod р); гр(р-П +i= (°> ПРИ 4 + ¿1 + ••• + <5р(р. 1) * 0(mod р),

не П = ёо + <5\ + + с5"/ •(/ = 0, 1, ..., р(р - 1)).

6. G(M, А, Гр2.i, тр2л), где тр2Л = ps'2up2.{(\, 2, р2 - 1), Jjp2-i = 0, 1, ..., р2 -1 при а = O(mod р2);

тр2л - ps'ljuP2-i(l. 2, ..., р2 - I), цр2.\ = О, 1, ..., р - 1 при а ~ O(mod р), а * O(mod р2); тр2.\ = (О, 0.....0) при а * O(mod р).

7. G(M, А, Гр2, тр2), где тр2 = (О, 0.....0) .

При описании расширений G(M, А, Г, щ) с точностью до изоморфизма существенную роль играет наличие либо отсутствие в группе G(M, А, Г, то) абелевого нормального делителя М[ изоморфного М и отличного от М. Этот вопрос полностью решен в леммах 3.3, 3.4, 3.5, 3.6. Мы показали, что если одноэтажное представление Г группы 2

А = <а I ар =1> отлично от тривиального а —> 1, то в расширении G(M, А, Г, /tiq) группы М типа (ps, ..., р-5) с помощью группы А существует единственный абелев нормальный делитель индекса р2 и типа (ps, ..., ps). Это позволяет применить разработанную B.C. Дроботенко технику для решения вопроса об изоморфизме построенных расширений.

Теорема 3.8. Все неизоморфные расширения группы М с помощью циклической группы А порядка р2, соответствующие неразложимым по модулю р Zps-nредставлениям (р * 2, s > 4) Г& группы А исчерпываются следующими группами:

1. G(M, Л, Г[, mi), где ту = 0, 1, р при а = 0(mod р2); mi = 0, 1 при а = 0(mod р), а * Q(mod р2);

«1 = 0 при а * 0(mod р).

2. G(M, А, Гр. 1, трЛ), где трЛ = ps"41, 2, ..., р - 1) либо трЛ = .(0, 0, ..., 0) при а = 0(mod р); тр.\ = (0, 0, ..., 0) при аФ 0(mod р).

3. G(M, А, Гр, тр), где тр = Уи .... Гр-[) либ° тр = °> — ПРИ Д) + А + ... + ^ = 0(mod р); тр = (0, 0, ..., 0) при Д + А + ... + ррЛ * ф- 0(mod р); где у, = 1 + p^Kfr+fli +■•■ + Рд (t = 0, 1, .... р - 1).

. G(M, А, Гp(p.i), mp(p..i)),

a.e mp[p.l) = (0, 0, ..., 0) либо тр(рЛ) = ps_I(l.....1, 2,...,2, ..., p - 1.....p - I)

ри jh++ ... + Pp.\ ~ 0(mod p);

V(p-i) = (0- 0) при A 4-Д +... + ¡5рЛ #0(mod p). . G(M, А, Гр(р4)+1, mp(p..d+i), где mp(p.i> +1 = (0, 0, ..., 0) либо

mjAp.dm= (1Д-Д 1Д-- 0, .... 1Д...Д 1) +ри(ж П. Гр(р-1)).

ри Sa + Si +... + 5p(p.i) = 0(mod p);

tp(p-i) +i= (о. о.-. при <s> + + - + * °(mod p).

це ^ = 4 + +... + $ (f = 0, 1, ..., p{p - 1)).

.. G(M, A, rp2.h mp2.i), где тр2л = (0, 0, ..., 0), тр2л = ps"2(l, 2, ..., р2 - 1), ибо тр2.1 = ps"'(l, 2, ..., р2 - 1) при а = O(mod р2);

1р2.[ = (О, 0, ..., 0) либо тр2.[ = ps''(l, 2.....р2 - 1) при а = O(mod р),

г O(mod р2); тр2л = (О, О,..., 0) при а ф O(mod р). '. G(M, А, Гр2, тр2), где тр2 = (О, О,..., 0) .

В пятом параграфе третьей главы изучаются расширения абелевой руппы М типа (ps, ..., ps) с помощью циклической группы А порядка р2, :оторые соответствуют двухэтажным приводимым Zps-представлениям руппы А, описанным во второй главе диссертации. Эти представления 1меют вид

де А], Д2 одноэтажные 2 ¿^-представления группы А степени к\ и :оответственно (к{ < къ). Среди них имеются 21 серия разложимых 1редставлений (у- 0) и 7 серий неразложимых представлений (у= р3'1). Цля каждого такого 2р$-представления вычислена группа расширений ■руппы М с помощью группы А. Это дает возможность описать все

(4)

расширения й{М, А, Д, т) с точностью до эквивалентности расширений (теорема 3.13).

В расширении <2(Л1, А, Д, т) группы М с помощью группы А при заданном двухэтажном представлении Д вида (4) подгруппа М будет единственным абелевым номальным делителем индекса р2 и типа (р$, ..., р5). Это дает возможность решить вопрос об изоморфизме расширений. Все группы расширений А(Д)/ЖД) состоят из векторов т = (т\, тг) зависящих от параметров ц\ и £ Условимся записывать параметры вектора т - {т\, тв виде ¡Ат) = №2)- В следующих теоремах приведен список всех неизоморфных расширений й(М, А, Д, т) группы М с помощью группы А, которые соответствуют двухэтажным приводимым 2 ¿^-представлениям группы А (р * 2, я > 4).

Теорема 3.14. Все неизоморфные расширения й(М, А, А, т) группы М с помощью группы А при заданном разложимом двухэтажном представлении Д вида

Д :а

описывается набором параметров ¡л\, приведенным в таблице 1.

Таблица 1

Степени представлений Г,-и Г/ Значения параметров (//[, Ограничения на параметры представлений Число неизоморфных расширений

» = 1. / = Р - 1 (0,0); (1,0); (ОД); (р,о);*(рЛ); а 1 = 0(р2), «2 = 0(р) 5

(0,0); (1,0); (р,0) а1=0(р2), а2*0(р) 3

(0,0); (1,0); (0,1) «!=0(р), а^0(р2), а2=0(р) 3

(0,0); (1,0) йг,=0(р), a¡*0(p2), а2 *0(р) 2

(0,0); (0,1) а\*0(р), а2=0(р) 2

(0,0) a¡*0(p), а2*0(р) 1

i = 1, / = p (0,0); (1,0); (0,1); (р.О) а,=0(р2), ßo+ßx+...+ßp.^Oip) 4

(0,0); (1,0); (р,0) ai=0(p2), ßQ+ßx+...+ßp.x*0(p) 3

(0,0); (1,0); (0,1) «!=0(р), «^0(р2), Д)+А+-+£р-1=0(р) 3

(0,0); (1,0) «!=0(р), öi^0(p2), ßo+ßi+...+ßP.^0 (P) 2

(0,0); (0,1) а^О(р), 2

(0,0) ^*0(р), /^-f-A+.-.+^.^Oip) 1

i=l, --p{p- о (0,0); (1,0); (0,1); (р,0); (р, 1); ai=o(p2), Аз+А+ -+/?р-1=0(р) 5

(0,0); (1,0); (р,0); «i=o(p2), A+A+.-.+^-^íp) 3

(0,0); (1,0); (0,1) ai=0(p), а^О(р2), Â)+A+-.-+/?p-i=0(p) 3

(0,0); (1,0) а!=0(р), а;*0(р2), Д,+/Л+...+/?р.^О(р) 2

. (0,0); (0,1) - c^OÍp), A)+/?i+---+/?p-i=0(p) 2

(0,0) 1

i=í, =р(р-1)+ (0,0); (1,0); (0,1); Ср.о) «i=0(p2), <ü+¿i+...+¿p(p.D=0(p) ■ 4

+1 (0,0); (1,0); (р,0); ai=0(p2), 3

(0,0); (1,0); (0,1) ai=0(p), а^0(р2), <5b+¿1+...+^p(p.1)=0(p) 3

(0,0); (1,0) щ=0(р), а^0(р2), 2

(0,0); (0,1) а^О(р), 4+^+...+<5р(р.1)=0(р) 2

(0,0) 1

1=1, ГР2-1 (0,0); (1,0); (0,1); (р,0); (0,р) «1=0(р2), а2=0(р2) 5

(0,0); (1,0); (0,1); (р,0) а[=0(р2), а2=0(р). 4

(0,0); (1,0); (р,0) а1=0(р2), а2*0(р) 3

(0,0); (1,0); (0,1); (0 ,р) а{=0(р), а{*0(р2), а2=0(р2) 4

(0,0); (1,0); (0,1) «1=0(р), а^0(р2), а2=0(р), а2*0(р2) 3

(0,0); (1,0) аГ1=0(р), а1?Ю(р2), а2*0(р) 2

(0,0); (ОД); (0,р) а!^0(р), а^0(р2), 3

(0,0); (0,1) а^О(р), аг=0(р), а2*0(р2), 2

(0,0) «1^0(р), а2*0(р) 1

1=1, ГР2 (0,0); (1,0); (р,0) а{=0(р2) 3

(0,0); (1,0) сц=0(р), ОГ1?Ю(р2) 2

(0,0) 1

1=р-1, у-р (0,0); (1,0); (ОД) а!=0(р), Д^+А+...+^.1=0(р) 3

(0,0); (1,0) аг1-0(р), 2

(0,0); (ОД) а15Ю(р), /5Ь+А+-+^-1=0(р) 2

(0,0) аг^О(р), Ро+/31+...+РрЛ*Ъ{р) 1

1=р-1, (0,0); (1,0); (0,1); а!=0(р), Д)+Л+-+#м=0(р) 4

=р(р-1) (1,1)

(0,0); (1,0) а1=0(р), Д)+А+...+/?Р.1*°(р) 2

(0,0); (0,1) а^О(р). Д)+/?1+...+0м=О(р) 2

(0,0) аг,*0(р), Д}Щ+...Щ.1*0(р) 1

:=р-1, (0,0); (1,0); (0,1) а{=0(р), ^+^+...+^(р.и=0(р) 3

=р(р-У)+ (0,0); (1,0) а1=0(р), $)+£1+...+£р(р.1)#0(р) 2

+1 (0,0); (0,1) а^О(р), 2

(0,0) а^р), ^ч-д^+.-.+^о^р) 1

1=р-1, (0,0); (1,0); (0,1); щ=0(р), ^2=0(р2) 4

(0;р)

(0,0); (1,0); (0,1) аг1=0(р), а2=0(р), а2*0(р2) 3

(0,0); (1,0) аг1=0(р), а2*0(р) 2

(0,0); (0,1); (0,р) а1^0(р), а2=0(р2) 3

(0,0); (0,1) сс{*0(р), а2=0(р), а2*0(р2) 2

(0,0) а{*0(р), а2*0(р) 1

¿=р-1, (0,0); (1,0) «1=0(р) 2

1=р2 (0,0) а{*0(р), 1 ,

1=р, (0,0); (1,0); (0,1) 3

=р(р-1)

(0,0); (1,0) 2

(0,0); (0,1) Д,+А+...+Дм*0(р), =0 (р) 2

(0,0) (р), 1

1=р. /=р(р-1)+ (0,0); (1,0); (0,1) Д)+А+...+Д.1=о(Р), -ёо+5х+...+др{рЛ)=0 (р) 3

+1 .А (0,0); (1,0) д)+А+...+д.1=о(р)„ ^о(р) 2

(0,0); (0,1) 2

(0,0) (5Ь+^1+...+(5р(р.1) т^О(р) 1

1=р. ГР2-У (0,0); (1,0); (0,1); (0,р) 0(р), а2=0(р2) 4

(0,0); (1,0); (0,1) а2=0(р), а2*0(р2) 3

(0,0); (1,0) Д)+/?1 + ...+Д.1=0(р), а2*0(р) 2

(0,0); (0,1); (0,р) Д>+01+...+0р.1*О(р1 а2=0 (р2) 3

(0,0); (0,1) а2=0(р), а2*0(р2) 2

(0,0) А+А + .-+Д-1^0(р), а2*0(р) 1

(0,0); (1,0) А)+/?1+-+/?р.1=0(р) 2

.... ^ (0,0) 1

1=р(р-1), /=р(р-2)+ (0,0); (1,0); (0,1) А)+А+-+/?р(р-0=0(р). 5ъ+6х+..Лбр{рЛ]=0(Р) 3

+1 (0,0); (1,0) р0+р1+...+рр(р.1)=о(р), 50+5,+...+5р(р.,) *0(р) 2

(0,0); (0,1) ¿0+д1+...+Зр{р.1)=0 (р) 2

(0,0) 1

¿=р(р-1), !=Р2-1 (0,0); (1,0); (0,1); (0 ,р) (р), а2=0(р2) 4

(0,0); (1,0); (0,1) а2=0(р), а2*0(р2) 3

(0.0); (1.0) у6Ь+А+->^-1=0(р), я2*0(р) 2

(0,0); СОЛ); (О.р) /%>+#+...+/?„.,*0(р), а2=0(р2) 3

(0,0); (0,1) а2=0(р), я2*0(р2) 2

(0,0) 1

1=р(Р- 1), (0,0); (1,0) 2

ГР2 (0,0) Д3+01+...+0р.1*О1р), 1

1=р(р-1)+ + 1, (0,0); (1,0); (0,1); (0,р) +..>^ом)=0(р), а2=0(р2) 4

/=Р2-1 (0,0); (1,0); (0,1) а2=0(р), а2*0(р2) 3

(0,0); (1,0) £%+<>!+...+^(р.и=0(р), а2*0(р) 2

(0,0); (0,1); (0,р) <зЬ+5,1+...+<^(р.1)?Ю(р), а2=0(р2) 3

(0,0); (0,1) а2=0(р), а2^0(р2) 2

(0,0) 1

i-p(p-l)+ +1 (0,0); (1,0) 2

ГР2 (0,0) 1

i-p2-\ (0,0); (1,0); (р,0) ai=0(p2) 3

3=Р2 (0,0); (1,0) а,=0(p), a,Mp2) 2

(0,0) a^0(p) 1

Теорема 3.15. Все неизоморфные расширения С(.М, А, А, т) группы М с помощью группы А при' заданном неразложимом двухэтажном представлении Д вида

А :а

Г, <Р

S-1

о

Г; J

описывается набором параметров приведенным в таблице 2.

Таблица 2.

Степени представлений Г; ИГ; Значения параметров (fi\, р.^) Ограничение на параметры представлений ' • 'К Число неизоморфных расширений

i = 1. / = P. (0,0); (1,0); (р,0) «1=о(р2), д,+А+...+>бр.Г=о(р) 3

(0,0); (1,0); (р,0) «1=0(р2), ръ+рх+...Щл*в(р) 3

(0,0); (1,0); (0,1); (р.О); (1Л) «5Ь=1,2,:.., р-1 «1=0(р), «1^0(р2), д)+д+...+^.1=о(р) р+3 ч

(0,0)/ (1,0) а{=0(р), «1^0(р2), 2

(0,0); (0,1); (1,<5Ь) ¿0=1,2,..., р-1 а^0(р), /%+А+...+/9р.1=0(р) р+2

(0,0) а^О(р), А)+А+-+/?р-1*0 (р) 1

1=1, =р(р-1)+ (0,0); (1,0);(р,0) «1=0(р2), ¿Ь+^+...+^(Р-1)=0(р) 3

(0,0); (1,0); (р,0); а!=0(р2), ¿Ь+(?1+...+<5р(р.и^0(р) 3 '

(0,0); (1,0); (0,1); (Р,0); (1Л) ^=1,2,..., р-1 «1=0(р), а,*0(р2), р+3

(0,0); (1,0) а\=0(р), «!*0(р2), дм+.-.+^и^Ср) 2

(0,0); (0,1); (1,<%) ¿0=0,1,2,..., р-1 а^О(р), с5Ь+^+...+4,(р-1)=0(р) р+2

(0,0) а^О(р), ..+^р(р.1)^0(р) 1

¿=/3-1, ГР (0,0); (1,0); (0,1); (р,0); (р,<%) ¿о=1,2,..., р-1 «!=0(р), /Ъ+А + ...+/?р-1=0(р) р+3

(0,0); (1,0) «1=0(р), /5Ь+А+...+/?,.1*0(р) 2

(0,0); (0,1); (1,0) а^О(р), /%+/?1+...+/?р.1=0(р) 3

(0,0) йг^О(р), 1

г=р-1, ГР2-1 (0,0); (1,0); (0,1); (0;р) а,=0(р), а2=0(р2) 4

(0,0); (1,0); (0,1) «1=0(р), йг2=0(р), а2^0(р2) 3

(0,0); (1,0) <21=0(р), а2^0(р) 2

(0,0); (0,1); (0,р) а^О(р), а2=0(р2) 3

(0,0); (ОД) «¡^(р), а2=0(р), а2*0(р2) 2

(0,0) а^О(р), а2*0(р) 1

г'-''

1=р(р-1), /=р(р-1)+ + 1. (0,0); (1,0); (р,0); (РЛ) <%= 1,2.....р-1 р+3

(0,0); (1,0) 2

(0,0); (0,1); (1,0) <%+51+...+<5р(р.и=0(р) 3

(0,0) ..4-5р(рЛ) *0(р) 1

1=р(р-1), ГР2-1 (0,0); (1.0); (0.1); (О.р) 4

(0,0); (1.0); (0,1) д)+Л+...+/?р.1=о(Р), а2=0(р), аг*0{р2) о

(0,0); (1,0) Д)+А+...+^р.1=0(р), ог^О(р) 2

(0,0); (0,1); (О.р) Ра+р[+...+ррЛ*Ъ(р), О2=0(р2) 3

(0,0); (0,1) а2=0(р), аг#0(р2) 2

(0,0) 1

¿=р(р-1)+ + 1, (0,0); (1,0); (0,1); (0,р) ¿Ь+г1+...+<5р(р.1)=0(р), О2=0(р2) 4

/*рМ (0,0); (1,0); (0,1) О2=0(р), аг#0(р2) 3

(0,0); (1,0) 2

(0,0); (0,1); (0,р) ¿Ь+^+.-.+г^р-о^р). О2=0(р2) 3

(0,0); (0,1) а2=0(р). ^0(р2) 2

(0,0) <5Ь+<У1 + ... + йр(р.1)^0(р), О2?:0(р) 1

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих ¡ботах:

г

Дроботенко B.C., Ханано А.Л. Унитарные делители многочлена хр -1 кольце Zps[x\ //Межд. конф. памяти акад. M.JI. Кравчука.-Киев, 1992.71.

Дроботенко B.C., Ханано А.Л. Зображення цикл1чноУ групи порядку р2 цгильцем клаав лиишв за модулем ps та ix застосування // ГПдсумко%а ¡ук. Конф. Проф.-викл. складу матем. ф-ту УжДУ.-Ужгород, 1995.-С.7-8. Ханано A.JI. Розширення абелевих груп типу (ps, ..., ps) за допомогою 5Кл1чно1 групи А порядку 4, що В1'дпов]дають деяким класам 22$-зображень >упи А // Шдсумкова наук. Конф. Проф.-викл. складу матем. ф-ту жДУ.-Ужгород, 1995.-С.9-10.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному /ководителю доценту B.C. Дроботенко за помощь в работе над 1ссертацией и заведующему кафедрой алгебры УжГУ проф. П.М. Гудивку з полезные (.цветы.

Hanano A.L. "Representations of cyclic p-group over the ring of :sidue classes mod ps and their applications". Thesis for a Candidate of hisicai and Mathemetical degree, specialization 01.01.06 aigebra and number leory, T.G. Shevchenko Kiev University, Kiev, 1995.

The indecomposable mod p representations of cyclic group A of order ' over the ring Zps of residue classes mod ps (p 2, s > 2r) has been escribed up to equivalence. The reducible twofloor Zpj-representations of a yclic group of order p2 (p ^ 2, s > 4) has been found. The extensions of an ibelian group of type (ps, ..., ps) by a cyclic group A of order p2, which are esponsible to one- and two- floor Z^s-representations of group A, has been escribed up to isomorphism.

Ханано А.Л. "Зображення цикл1чниХ| р-груп над юльцем класш лшюв за модулем р5 та Ух застосування". Дисертащя на здобуття наукового ступеня кандитата ф^зико-математичшх наук (у вигляд1 рукопису) за спещальшстю 01.01.06 алгебра 1 теор1я чисел, КиУвський ушверситет ¡м. Т.Г. Щевченка, КиТв, 1995.

Описаш з точшстю до екв1валентност1 вс1 т1 зображення цикл1чно1 групи А порядку рг над юлыдем 1рв клас1В лишюв за модулем р5 (р & 2, 5 > 2г), ЯК1 нерозкладш за модулем р (одноповерхов1 2 ^-зображення). Знайдеш звщш двоповерхов1 2р5-зображення цикл1чноТ групи порядку р2 (р * 2, я >: 4). Описаш з точшстю до ¡зоморф1зму розширення абелевих груп типу (р$, ..., р5) за допомогою цикл1чно1 групи А порядку р2, ЯК1 вщповщають одноповерховим та двоповерховим 2р5-зображенням группи А.

Ключов1 слова: цикл1чна р-група, зображення, розширення абелевих груп, кольце клаЫв лишшв, зображення над кшьцем клаав

ЛИШК1В.