Ковровые и обобщенные ковровые подгруппы двумерных линейных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

Яковлев Евгений Владимирович

КОВРОВЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ КОВРОВЫЕ ПОДГРУППЫ ДВУМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

на правах рукописи УДК 519.41

Екатеринбург 1996

Диссертация выполнена на кафедре адгеглч и математической •кл ики Новосибирского гс-суларстЕешюго университета.

Научный руководи гель: доктор физико-математических

профессор Ю. И. Мерзляков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В. М. Левчук

кандидат физико-математических наук, доцент В. В. Кабанов

Ведущая организация: Новосибирский государственный

педагогический университет

Защита состоится « Э » НОЯ ВРЯ 1996 г. в « » часов на заседании специализированного совета К.002.07.02. по защите диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук в Институте математики и механики УрО РАН по адресу:

620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан «

30 » а-^-НТА/ВРЛ 1996 года.

Учёный секретарь специализированного совета .

д. ф.-м. н., профессор уСлтхл^У А. С. Кондратьев

Система идеалов 21 = У 6 2} коммутивного кольца й с

единицей называется ковром идеалов, если 21^21^ С 21^- для всех г, У, к О. Ж, ([2], с. 145). Легко проверить, что множества

С(21) ={?6 С?£„(Я) | = % тос! 21,и 5(21) = (7(31) Л 5£П(Я)

являются подгруппами общей линейной группы СЬп{К)\ они называются соответственно обшей и специальной конгруэнц-подгруппами по модулю ковра 21 или ковровыми подгруппами (здесь <5,; = 1 при г = У и б^ = 0 при г ф У). Если все идеалы ковра 21 совпадают, то мы получаем главные конгруэнц-подгруппьг.

Ковровые подгруппы почти всегда возникают при описании промежуточных подгрупп в линейных группах. Наиболее известные результаты здесь принадлежат 3. И. Боревичу [3]-[5], Н. А. Вавилову [б], В. М. Левчуку [9], Н. С. Романовскому [15].

С другой стороны, ковровые подгруппы дают целые серии обобщённо-разрешимых и обобшённо-нильпотентных групп. Причём эти группы хорошо поддаются изучению, что позволило решить ряд вопросов из известного обзора А. Г. Куроша, С. Н. Черникова [8]. Так примеры, построенные в работах Ю. И. Мерзлякова [11], [12], Ф. Холла [17], Г. А. Носкова [13], Д. Вилсона [19] позволили разграничить некоторые классы обобщённо-разрешимых групп и исследовать их замкнутость относительно перехода к подгруппам и фактор-группам. Отсюда естественный интерес к коммутаторному строению этих групп.

В работе 1964 года Ю. И. Мерзляков [12] исследовал коммутаторное строение подгрупп, соответствующих ковру, у которого для любого г (Е диагональные идеалы 21,, квазирегулярны, то есть все элементы из 1 + 21;,- обратимы. В частности, была доказана формула [5(21), 5(Ф)] = 5(<£), где С— ковёр идеалов, получаемый определённым образом из ковров 21 и за исключением случая, когда п = 2 и элемент 2 кольца Я необратим. Это позволило единообразно исследовать коммутаторное строение различных конгруэнц-подгрупп и, в частнист-м. снловских р—подгрупп группы а,п(%рт). Аналог этой теоремы для симплектических групп установил Ю. В. Соснов-скнй [16], а для остальных групп Шевалле — В. М. Левчук [10]. X. Ролофф [14] изучал эти вопросы, опираясь на введённое 3. И. Бо-ревичем [4] понятие сетевой подгруппы.

Позднее были получены некоторые результаты и для оставшегося исключительного случая. Так Ю. Е. Вапнэ [7] исследовал главные конгруэнц-подгруппы двумерных линейных групп над кольцом вычетов по чётному модулю, а Т. Зауэр [18] вычислил нижний центральный ряд и ряд коммутантов для некоторых ковровых подгрупп над кольцом целых 2-адических чисел.

Основная цель диссертации — исследовать коммутаторное строение ковровых подгрупп двумерных линейных групп над локальным кольцом с максимальным идеалом 211. В этой ситуации взаимный коммутант двух ковровых подгрупп не обязан быть ковровой подгруппой. В диссертации вводится новый более широкий класс обобщённых ковровых подгрупп, то есть подгрупп, определяемых системой сравнений по модулю некоторого ковра идеалов. С их помощью описывается коммутаторное строение ковровых подгрупп. В случае Я/'2Я ~ 1?2 при незначительных ограничениях взаимный коммутант двух обобщённых ковровых подгрупп также будет обобщённой ковровой подгруппой.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на 10 параграфов. приложения и библиографии ('25 наименований). Текст занимает 61 страницу, содержит 6 таблиц и 2 рисунка. Нумерация утверждений (теорем, лемм) имеет вид 10.к, где 1 — номер главы, j — номер параграфа, к — номер утверждения. Все основные результаты являются новыми и получены автором самостоятельно. Они опубликованы в работах ["20]—[25], докладывались на семинаре «Эва-рист Галуа» в Новосибирском государственном университете (19931995), алгебраическом семинаре Института математики и механики УрО РАН (1996), на .33-й Международной научной студенческой конференции (Новосибирск. 1995), Втором Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной математике (Новосибирск, 1996) и международной конференции «Маломерная топология и комбинаторная теория групп» (Челябинск, 1996).

Перейдём к изложению основного содержания диссертации.

Всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, Н, будет обозначать локальное кольцо с максимальным идеалом 2 л I! полем вычетов Р. Элементы кольца /? будем записывать греческими буквами, возможно, с индексами (о, (3\ и так далее), а матрицы из ¿/¿^(Д) — латинскими.

Первая глава диссертации посвящена описанию ковровых подгрупп в и 11 изучению их взаимных коммутантов. Рассмотрим множества

где к, I, т, п — целые неотрицательные числа. Всюду в дальнейшем для сокращения записи будем писать С(к, /, т) вместо С(к, I, т, к) и 3(к,1,т) вместо £(к, ¡,т, к).

Тройку ц = (к, I, т) целых неотрицательных чисел назовём допустимой, если I + тп > к, невырожденной, если / + т > к > О и вырожденной, если 1 + т = к. Если // = (к,\,т), то положим

И + 1 = (к + 1,1 + 1,т + 1), С(ц) = С(к, I, т), Б(ц) = Б{к,1.т).

Множество допустимых троек обозначим через Т.

В § 1 доказывается

Теорема 1.1.4. Пусть Я — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом 2Я. Тогда множество ковровых подгрупп СЬп{Я) и равно \С(к.1.т.п), | 1+т > та х{к,п},(1 £ Т} и

| [I € Т) соответственно.

Кроме того, рассматриваются некоторые свойства ковровых подгрупп, которые широко используются в дальнейшем.

§2 носит вспомогательный характер. В нём вводятся обобщённые ковровые подгруппы и функции < , >;: Т х Т —>■ Н и {0}, г 6 {1,2}, [, ] : ТхТ —► Т, которые используются при описании коммутаторного строения ковровых подгрупп.

В §3 доказывается первая теорема о взаимном коммутанте ковровых подгрупп. Дадим точные формулировки.

Пусть ц .= (к,1,т) —допустимая тройка. Множеством представлений элемента д из назовём

Б(к, I, т, п) — С{к, I, т, п) П 512(Я),

Рц{д) - {(а, /?, 7, 6) е Я х Я. х Я х Я | д =

Очевидно, для целостного кольца R любой элемент д имеет единственное представление указаного вида, то есть |Р^(<7)| = 1.

Пусть L = L{x\ 1. Xi2, x2i, Х22) — некоторая система многочленов от четырёх переменных 1ц , х\2-. Z21, £22 с коэффициентами из кольца R. Запись L(a.,e,~j.S) = 0 mod'2 R для элементов а, (3,у, 6 кольца R будет означать, что для любого многочлена /(хц, £12, ^2Ъ £22) "3 системы L значение f(a,6,y,S) лежит в идеале '2R. Если хотя бы один такой набор существует, то будем говорить, что система L совместна.

Пусть ц = (к, Urn) — допустимая тройка, L = Ь(хц, г 12, Х21,222) — совместная система функций. Определим обобщённую ковровую подгруппу равенством

S(fi-,L) = гр (i/еЭД |3(Q,/?,7,i)GPM(ff) : ¿(a,/?,7,i) = 0mod2fl).

Далее, пусть /j = (k. I, т) и /./ — (к'. /', т') — произвольные допустимые тройки и

Положим [ii./i7] = ц" - (к",1",т"), где

к" = тт{к[\ С}, /" = minfC С}, т" = min{m',', ш',',}.

Отметим, что тройка /<" либо нулевая, либо невырожденная и к" ф О (лемма 1.2.1).

Назовём следом ¿-той компоненты значения функции = /'"

набор

к': = min{/' + m/ + Jt + \'> (к.. Р), / + m + Jt' 4- ф (F, Р)},

= min{/' + к + и> (к, Р), / + к' + о Р)}, m'l = min{?i)' + к + с (к, Р), т + к' + t (к', Р)},

k'J, = min{/' + т, 1 + т'}, /'„', = min{2/' 4- т. 21+т'}, т". = min{2m + /', 2m' + /},

где

tr^i/')1' = (Лi,i-i,5i), ¿=1,2,3

о,

из нулей и единиц, где

A i=x(*" = *:'), = x(fc" = f' + m), \2 = Х(1" = !>:), е,=х(1" = 21' +гп), Аз = Х(т" = т'„'), г3 = X (т" = 2т + /'),

= х(*" = /+т'), 52=*(/" = 2/ + т'), i3 = x(m" = 2m' + 0,

1. если А истинно, 0. если А ложно.

Х(А) =

Для любых допустимых троек ц, р' определим функции

< Ц, )i >i-

1, если trC//")1 Ф tr(A/')2 = tr(/i")3 и Д2 = 0

2, если trf/x")1 = tr^")3 ф tr(fi")2 и A3 = 0,

з, если tr (м")1 = tr {},"У- фи(р")3 и А-, = 0,

4, если tr^")1 Ф tr(^")2 #tr(/i")3 ф ir{fi")1

и а2 = A3 = 0 ИЛИ //' : = (0,0,0),

5, если tr(//")1 = tr(/i")2 = tr(/i")3,A2 = 0

И ц" #(0,0,0),

0 иначе.

6, если 1г(//')2 = 1г(/х")3,Д2

и ^ (0,0.0), 0 иначе.

< >2=

Зафиксируем следующие системы многочленов:

¿о = 0; ¿1 = {«12+ «21}; Lo = {хц +х2\}] Ь3 = {«п + х12}; La = {«п + «12 + «21}; ¿5 = {in + «12; «21, «п + «22};

¿6 = {«12+ «21} •

Введём ещё подгруппу Т(р) = гр " S^fi + 1). Здесь

2' \ 1 + 2*0 ) '

где

s(/.i) = s(k, I, т) = _ f (2'+т-*-l)(l + 2fc}-'

1 + 2*

-ли кф 0

' : / = т = 0.

В главе II будет доказано. ттто Т(ц) не является обобщённой ковровой подгруппой (следствие леммы 2.1.1).

0

Пусть Р — и /(. ц' — допустимые тройки, ц" — [ц, ц'\ и //' = = (к",1",т"). Назовём пару ц, ¡л1 особой, если к" = 0 или к" = 1, цфу.', /л, ц' ф (0, 0, 0).

Теорема 1.3.1. Пусть Я — локальное кольцо с максимальным идеалом 2К и полем вычетов Р. Тогда для любых допустимых троек/л, ¡л' справедливо равенство

( //']), если Р = и

[С(/х), = = < — особая пара,

1 ¿"([/^ /]; Ьп) иначе,

где

(<ц,ц'>\, еслиР — ¥2, если Р — ¥4, 0 если |Р| > 4.

Следствие. Пусть Я — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом 2Я и полем вычетов Р. Множество ковровых подгрупп 5(//) замкнуто относительно коммутирования тогда и только тогда, когда |Р| > 4.

В §4 приводится без доказательства более общая формулировка этой теоремы.

Теорема 1.4.1. Пусть Я — локальное кольцо с максимальным идеалом 2Я и полем вычетов Р. Тогда для любых четвёрок V — (к,1,т,п), и' = [к' А' ,т' ,п') целых неотрицательных чисел с условием 1 + т > та\{к.п},1' + т' > тах{^',тг'} справедливо равенство

( Т([1/,1/]°), если Р = и [С(^), С(г/')] = [5(г^), = < v,v' — особая пара,

I 5([!А 1'']°;ХГ) -иначе.

где

если Р = Жг, г = { <'//,!/'>§, ее,гС Р = Е,,

Г=1

О, если \Р | > 4.

Таким образом, теоремы 1.3.1 н 1.4.1 дают полное описание взаимных коммутантов ковровых подгрупп.

Основные результаты первой главы изложены в работах [20]. [22], [24].

В связи с полученными результатами возникает вопрос: будет ли множество обобщённых ковровых подгрупп замкнуто относительно коммутирования? Ответу на него, а также изучению основных свойств этих подгрупп посвящена вторая глава.

В §1 получены следующие результаты.

Теорема 2.1.4. Пусть R — локальное кольцо с максимальным идеалом 2R и конечным полем вычетов. Тогда подгруппа Н < SLбудет обобщённой ковровой подгруппой тогда и только тогда, когда существует допустимая тройка ц, такая что

S(fi + 1) < Я < S(fi).

Теорема 2.1.5. Пусть R — локальное кольцо с максимальным идеалом '2R и конечным полем вычетов Р. Тогда существуют конечные наборы £2, £з-£4 систем многочленов из R [гц, ДГ21, i'22] такие, что

1) любая обобщённая ковровая подгрупп а имеет вид S(fi: L) для некоторой допустимой тройки р и сисше.иы L из £1 U £2 U £;iU £4;

2) справедливо равенство

Si/t; L) = {ge S(fi) | 3(q. 3, 7) e Рм{д) : Ца, (3, 7) = 0 mod 2Я}.

если выполнено одно из условий:

а) = (0,0,0) и L € £1;

б) ц — вырожденная ненулевая тройка и L £ Сп\

в) р — невырожденная тройка и L € £з">

г) (2 = (0, /, т), 1 + т > 0 и L Е £4,"

3) многочлены, входящие в системы из £3 не имеют смешанных произведений и свободных членов.

Для каждого поля Р минимальный л-.; числу элементов набор систем £(Р) = £i(P) U С2(Р) U £з(Р) - со свойствами 1)-3) назовём базисным, а коврсзпе подгрупп!? 5(/j),/i 6 Т, соответствующие системам из этого набора, — базисными для заданного ковра идеалов.

Теорема 2.1.6. Пусть Я — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом 2Я и конечным полем вычетов Р. Тогда множество обобщённых ковровых подгрупп группы БЬ2(Я) совпадает с множеством {5(/х; Ь) \ р. 6 Т, Ь £ С(Р)}.

В §2 более подробно рассматривается случай поля вычетов $2- В частности, доказывается

Теорема 2.2.4. Пусть Я — локальное кольцо с максимальным идеалом 2Я и полем вычетов Гг. Тогда набор систем £(Гг) = = Ь\,..., Ьъ) будет базисным. Более точно,

£1(¥7) = £4(¥2) = {10..ь4,ь5}, £2(3?2) = {¿о, ы. £з№) = £(г2).

В §3 доказывается основной результат второй главы:

Теорема 2.3.2. Пусть Я — локальное кольцо с максимальным идеалом 2П и полем вычетов £.), — наименьшие

представления двух обобщённых ковровых подгрупп. ц" = и к" > 1. Тогда взаимный коммутант [¿"(/л; £), £')] будет

обобщённой ковровой подгруппой.

Далее строятся примеры, показывающие существенность ограничений теоремы.

Результаты второй главы изложены в работах [21], [23]—[25].

Третья глава посвящена построению нижних центральных рядов и рядов коммутантов ковровых подгрупп. В §1, §2 эти ряды строятся для произвольной обобщённой ковровой подгруппы в случае Я/2 Я ~ ?2- В §3 вычислены нижний центральный ряд и ряд коммутантов для произвольной ковровой подгруппы и произвольного поля Я/2Я. Результаты этой главы оформлены в виде таблиц и опубликованы в [21], [24].

Литература.

1. Бурбаки Н. Еоммутативц-я ••• ■ "^г". Ч.: Мир., 1971.

2. Каргаполов М. И.. Мерзляков Ю. й. Основы теории групп. 3-е изд., М.: Наука, 1952

3. Боревич 3. И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащей группу диагональных матриц // Зап. научн. сем. ЛОМИ АН СССР. 1976. Т. 64. С. 12-29.

4. Боревич 3. И. О параболических подгруппах в линейных группах над полулокальным кольцом // Вестник ЛГУ. 1976. Т. 13, № 3. С. 16-24.

5. Боревич 3. И. О параболических подгруппах в специальной линейной группе над полулокальным кольцом // Вестник ЛГУ. 1976. Т. 19, N2 4. С. 29-34.

6. Вавилов Н. А. О параболических конгруэнц-подгруппах в линейных группах // Зап. научн. сем. ЛОМИ АН СССР. 1976. Т. 64. С. 55-63.

7. Вапнэ Ю. Е. Центральные ряды и ряды коммутантов некоторых матричных групп // Сиб. мат. журн. 1971. Т. 12, № 3. С. 497-504.

8. Курош А. Г.. Черников С.Н. Разрешимые и нильпотентные группы // УМН. Т. 2, Д= 3. С. 18-59.

9. Левчук В. М. Параболические подгруппы некоторых АВА-групп // Мат. заметки, 1982. Т. 31. Лё 4. Т. 509-529.

10. Левчук В. М. Центральные ряды и ряды коммутантов некоторых матричных групп // Докл. АН СССР. 1990. Т. 313, № 4. С. 799-802.

11. Мерзляков Ю. И. К теории обобщённых разрешимых и обобщённых ннльпотентных групп // Алгебра и логика. 1963. Т. 2, № 5. С. 29-36.

12. Мерзляков Ю. И. Центральные ряды и ряды коммутантов матричных групп // Алгебра и логика. 1964. Т. 3, № 4. С. 49-59.

13. Носков Г. А. Субнормальное строение конгруэнц-группы Мерзлякова // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14, № 3. С. 680-683.

14. Ролофф X. Нижние центральные ряды и ряды коммутантов сетевых подгрупп полной линейной группы // Зап. научн. сем. ЛОМИ АН СССР, 114, 1982, 180-186.

15. Романовский Н. С. О подгруппах общей и специальной линей-групп над кольцом // Мат. заметки. 1971. I ¿¡, 6. С. 699-708.

15. Сосновский Ю. В. Коммутаторное строение симплектических групп // Мат. заметки. 1978. Т. 24. Д'э 5. С. 641-648.

17. Hall Ph. A note on SI // J. London Math. Soc. 1964. V. 39. P. 338-344.

18. Sauer Т. Die unteren Zentralreihen und kommutatorreihen spezieller kongruenzuntergruppen in SL(2,Z2) // Beiträge zur Algebra und Geometrie. Halle-Wittenberg. 1991. № 32^S. 41-46.

19. Wilson J. S. On normal subgrups of SI groups // Arch. Math. 1974. V. 25, NÍ 4. P. 574-577.

Работы автора по теме диссертации:

20. О взаимных коммутантах ковровых подгрупп двумерных линейных групп // Анализ и дискретная математика. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1995. С. 130-139.

21. О коммутаторном строении обобщённых ковровых подгрупп двумерных линейных групп // Групповые и метрические свойства отображений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1995. С. 75-96.

22. Нижние центральные ряды и ряды коммутантов обобщённых ковровых подгрупп двумерных линейных групп // 33-я Международная научная студенческая конференция. Тез. докл. Новосибирск, 1995. С. 46.

23. Коммутирование на множестве обобщённых ковровых подгрупп // Вестник Челябинского государственного педагогического университета. Сер. 4. Естественные науки. 1996. J\= 1. С. 104-110.

24. Ковровые и обобщённые ковровые подгруппы двумерных линейных групп // Челяб. гос. ун-т. 1996. Деп. в ВИНИТИ, 25.03.96, № 937-В96. 16 с.

25. Коммутирование обобщённых ковровых подгрупп // Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной математике (ИНПРИМ - 96). Тез. докл. Новосибирск, 1996. С. 197.