Приближение функций двух переменных суммами Фурье-Эрмита тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 од

.7!ЬВтокзе& срдена трудового красного знагзи

ГССУДАРСТЗЕШ^£1 ynKHSP'CITST ал. К.Г.ЧЕРНЫЗШСОГО

На правам пухошгсз

Шггсг Сс.'зиа-г -

ПРОШ2ШЕр 4УНКЩЙ ДВУХ ''ШРЕГЕКНЫГ СЖ»ШЛИ\ OI.OI.OI - категатачвскгй анализ ■

íiB::tQ P,E:4'E.F A T .

дасертацзп- на соясзангз 'упзной степекз: кандидата mjz

Сасатсн 1ВЭЗ ü

Работа выполнена на кафедре теорсг функций п функдаональ-ного анализа Дагестанского государственного. университета га.:. В.И. Ленина.

Научный, руководитель - кандидат. фЕзпко-г.атш.-.атпческЕХ

наук, доцент Абглов В.А.

Официальные оппоненты - доктор скзгг;о-:.:ате.мгт;:чссЕ;":

наук, профессор Долненко Е.П. - кандидат физЕхо-ыатеыатпческкх - тух., додект Скляров В Л.

Ведущая органкзацся - ;,1осковсккй ордена Трудового

" Красного Знамени физвко-технл-чеспгл; институт.

Защита дассертатш состоится Д7,".',йэня, 1923 г. б " V? " часов на заседашт Специализированного Совета К 063.74.04 прЕ 'Саратовское государственное университете к/..

Чернышевского по адресу: 410071, г. Саратов, ул. Астраханская, 63, СП', корпус 9,.

С диссертацией иогао озааксашться в Научной библиотеке Саратовского государственного ункверСЕгете.

Автореферат разослан " >3 " 1993 г.

Ученик секретарь Специализсрозанного СоЕета кандидат йизико-иатематйческих

наук, доцент 11.Ф. Кэдорезов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуаяъдрсть тел?. I. В 1835 г. К. Вейерштрасс доказал, что калдая■ непрерывная функция на отрезке ¡*а.,?>"] колет быть с любой степенью точности приближена алгебраяческила кшгочленачи-. Однако насколько велика дшгша бить степень гдюго члена, достаточно хорошо прпйлзнавдего функция,, зависит от свойств этой функция. Этот результат натолкнул на г.шсль дскать связи кезду свойствами фунхдаг. и скоростыз ' приближения .ее алгебраяческяиа кногочленаып. Установление связей »лезду. структурными снойствама функции я по-следозателъпстъз ее.приближений - одна лз .лазних' задач современной конструктивной теории, функция« Осне® полагающие работы в этом направлении бкля 'выполнены ;Д. 'Джексоне-С.Я. Бернштейном, я 12. Валле-Пуссено&.. Дальнейшее развитие, у. азанное направление получило в трудах А. Зт^нда,, А.Д. Колмогорова, СЛ. Никольского а'др. Основные прякые а -Обратккз теоремы теория ..приближений в ■ пространствах Банаха,. 'где- основной аппарат исслэдования - сыьно 'непрерывные полугруппы операторов а резольвентн операторов, по-роддакщях эти. полугруппы,, быдд получены в работах Н.П. Купцова. Эти общае теореын содержат как частные слушан многае из ныне. известных результатов колструтгтлвной теория ¿т^нкцзя.

2. В 1935 г. А.Н. Кожотороа установка.аспягготяческа точное равенство для верхней граня. уклонений частных сукл тригонометрического раза ¿урзо от класса - г-раз дпфрэрежшрусг'нх: гзг-периоди-

¿ункдпй.- В работе А.Н. Колмогорова ззерзиз зсследовалссъ уклонение к^чкрзткого яряйагкаи^го процесса по для одной какой-то функции, а для целого класса • ^уккцяй.. лЗЛЬнеЗиэй реализации этой ядея .1 установлении асЕШТотлчесна точных а порчдаовых

- к -

равенств для верхша граней уклонений тех глп шшх лрдбдгдавдш; процессов на раащрврд; когшактных -классах дуккдкй посвящен ряд работ. Наиболее полкно результата в это;,; кадравлендд получе-ш д работах С.«». Никольского т. А.В, Ефилова. Асхиягтотячасдг-з и сда-оь'З амаатоткческде равенства ьорхнас граней утлоиеягл часта суш н £х ардфкзягг^ркюс средоа рядов Оурьи-срията, Сурье-Якобп, §урьо-1схерра ка разшкакх классах сушшдЁ получены ь работах С.А. Агахгнова, Г.II. ■ Натансона, В.М. Бадкоза, Б.А. Юд-лова а др.

3. Б IS36 г.'подвилась,ese одва замечательная работа Л.й. Колмогорова, досвя^эннщ 1:ахоздек;~з п-лодерешп-са шс-дестда М б ллкойно,'. кори::ровакно:.: лространстно X . Эта работа А.К. Колмогорова '.пелодпда капало .певецу 'налразлзипа в теордд Ердоддде-ная. функции. ■■ Находдендю' асслгготдческд точннх оценок -подерсч-ееков разлкчркх UHOsecrs в различных пространствах яоеаядев ряд работ. ' '

Еасгояднд работа до харадтепт. лс^чзнекх ..результатов г. до методам ех дсследоваидя-дедосрс-дственно сш:заиа с msáTiacoS пи. 1,2, г. 3.

Цель работа. Исследозадда хзсфпдаоеяЕ z су:.£и:руе.;,;ост£ частичных cyia рядов Сурье-Эрадта-двуг цоре^ешшх, .'.долучедпе' соответствующих КОЛЕЧеСТБЗЕЕЫХ оценок.

.....SKS.tn-.TOCTb. В' длссертахшг

получены :

1. Асшятотичзске точная оценка верхней гране уклонения

прянотгольных частдчных cjisi двойного ряда £фрье-3рцкта ох цунк

„ \ Л*

цен класса w^t.

2. Даны необходимые а достаточные условия принадлежности

г

Грп-гдш: Цх.уЧ к классу (С = — оператоо

■ ' ^ .

г^езакЕого д2'1«1-вре1Щярозг«{на ) з терланах яаглучгхх арнйлгзе-

:лд, г тгаге осекав снизу а сгеоху п-попеаолалаа Кодмогорогл

'7 /г-Л | /г2

аласса ] з пространстве !_0 (^;

3. Еоряккозь'о' сщантл: узлспешпх пряг.юугсшяшх част:гпшх сумм -бс^ного рдда •1урьа-'ог:.!пта л же архфсбсяческзх средаях от фупх-

лла аласса И [из*] а пространстве ;

т. Опенка уклоконля •арп^.ызтаческях средних г.ря.:оуго.а,иыл

¿ст:г-акг

суж ллсакогс ряда <#р&е-С-р:.::*л\а от фупкаиа

ч-зроз 20 каь-учаге арабллаоная а прсстрапстзз

■

г^ ^ / к ,

Рзгультагк ллссэртахл::: ногу7 быть лсшыг»;-оза;а з даяьней-лх лослалсааналх ас гзозаа прлйлалеалл [уал.лп!, а такал з

Л.Л'^^.Т-ЩИИИ- '-слолаиз рзаульаазл длссорталлл алллалл аа лзазсааал лауллс-аз:;слахасх;лс --аллоааллалзс прсфес-:орС70-" ллллллауа-;лзсхоао аосаала' Дагеоталсхога лосулллсрслтата 3,;', .азллаа ^ - гг., }»

ааа:заааллл сбсусатаса аа заззллглз:: хаЛаааа: азорхх аунлилл : ааал' лаллааза.; ал.л: ала Лаагзаулалаазлт-^а л.',, аЛЛ, Лзлхпа л:"л>/;,; а., '• а аа з:лалалаасз алу ала-лослолсаа'гелъ-

.лл; -ллаалл аа::лар азолл: лазала: :: лза'Ллазахла, аатслатл^о-•лтза зазаллл';, а-.аааллааалзллл уггллсла.11 а залхллахол ^ааала--

л. л Л, ;ла!'.а'.а;ас..ал'" ( Л5 даааОал 1502 л,

.1а -гс:а: злоезртасл: зл ; атосга о лу Зла хапала: 4 ааботгл [1-4]. алеэзталлл саатолт ло лазлзлал л лзтлрал лараграЛои я оплела

датированной лятературы в 27 каззашй. ¿е с5ъсг.; - хОЭ нашсЕ.?-пкснкх страшщ.

• СОЕЕЕЗШЯЕ дасСЕМЛСШНОЙ РАБОТА

I. Пусть X ~ линейное пору.лроза;шое пространство. Насс:*-нш, что п-кернки соперечапком ( по Ксиазогороз? ) ■,:но>-есхва Л б пространстве X "называется величина

I

где внеиннй Ц- берется по всем подпространствам 1_п ([»гаоп-

п

рованпой. размерности пе Л\( Вэличпка

есть отклонение цнонества /'1 от подпростракетза в пространстве X.

Е.СЛВ

то подпространство |_п • называется экстремальны:«; для кногест-ва з пространстве X.

то подпространство ¡_п будег,; называть экстремальным по порядку для множества М в пространстве X. /2 ^

. 2. 1-2(1\; ехр (-зсг-цг)) - пространство суашрукаяс с т:зг-дратом функций двух переменных ^(х,^) с весозэИ с]ункцле1; его ^ на зссМ ПЛОСКОСТИ 1ч с. нормой

" ! 4 е 1

) ) e 'jííx^jdxdij. ,

'I-по -ос

exp(-^(x-¡r)j J - пространство непрерывных ¡ТункгщЯ НХ'М) на всей плоскости с нормой

U v--

( ¡1 =0,1,... ) - ОрТОЙОШ2рОВа!ШЙЯ слс-

rt.va многоплекоз Зрг.шта на R о аесо.м эхр(-хг ) и

со со

С (ПН^)Н;(ч)

= 4 L О

(I)

-со -co ' j 4 у

lEOiHiO

г ряд >рье-Зрг.-zTa фунхщя + (хд,)е L2(lR-exP^x-u2)^

-го прямоугольные "астггпше еушы,

' л гп

(с^ í'j^x.qV. -L- ТУ ^•(•t^.yi

ад ОмХчм) ыфр иГ "

арейзгетнчзекзв средние ( су-я-ш Ф-зйера ) прямоугольных частящих суш pasa (I),

s чшш^ьш

o<-¡[én " j

- гглерболическпе частные -суют ряда (I). Полошил

1 : ; « о (о^Ч < ¡V -

Хаэдой шункц^; ^(х.^е ио^еар^-^1)^ постаза: в соответствие ее 1 -усредкенле

со сз ' I ^

. = Не"

- со-с»

4. Пусть 6^(4) ( I =1,2,3,4 ) - заданные иодудп непрерывности, т.е.. футаэдЕ!:, заданнн£ на £0 ,.+оо ) в удовлетворяющие таи условиям

I) ' 00-{{) - 03,(0)=, О,

X —'»О 1 Кроме того, ш будет, предполагать," что

■ сН- ■< + оо (и1,2,5л).

0

Обозначив через Н[со].' класс функций яз пространства

г 2 а \ 2

С(1х; ехр(-|(х^2)удовлетворяла: на 1\ условие :

1) чб^Оч^л!);

2) ^ С^^-эсД.

Еслл 0(1) = |) ( I =1,2,3,4 ), то будем писать

' Будем ■ говорить, что функция - ез пространства

С^елгр^-^х^-у1)]] принадлежит классу , если она

по каждой из пзременных обладает тш свойством, что ее смешанные производные

'

М) Э . > х

срзлЕруемы во всей плоскости а, нроие • того, прз О,

О^К ¿1-1, 3-1 .являются локально абсолютно нецреркз-

1ПЛ-.Ш по каждой ез перез,тёшшх; производные почти

при всех с; является локально абсолютно непрерывными по Ц , а производные } почтп пря-всех • ^ - локально абсо-

лютно непрерывней по а; .

5,<Г'5) подкласс фупкпай класса }

у которнх пои каяки еяссиэованзи« х- сущестБтхт л является

. ЛоЛ

лс:;алыю абсолютна ■«еттрегквшмк вродзводпнвг ¡¡- по ^

до 5 -го порядка вклгзчктелъно и яра каздси- фпкоЕровалксы у существуют п ягяшэтса легально. госояэтво ксзрариггакя прогз-водшго X '' (а.,^-) по эс до г-т-ю' порода ишялтельзо, кроме того, .

1) «¿¡^ почта для всех

2) | ^ почти л"" г,

3) 1$ ' < К3 почти всюду ( з сгкгсле плоской

ыеш в

-р, /

пусть, далее, ¿)~ г—;— - оператор смешанного дпасерен-хщрованяя.

^ ' ' ^ е;;:е лва кл.

"Рассмотрим в пространстве ехр(-х-ц

„ *)

са функции : >

а и

'■и 1!

и J

(7=1,2,....),

(7=0,^....) ( здесь со("П - заданный модуль непрерывности ).

Л7

писать \tjjT)).

¿¡ели I (р^ 1 ) , то-выесто (Т>) будем

¿М-

-И

.7А-Л/ГТ I А-л\

| (^^^¿(^^¿(Д/ ) ш будем предполагать так.-е _

С ч > ? -V

\ а * = \ е \ /х.ц)а-и

-со

г. -

О. -ЮЛО.Т.КМ

">о •

.JéK

бя = fx i !j И) -

Здесь ¡"\ - некоторый класс

функций аз C(R.,

а } - фпдслрозанная точка шгоскостя IR .

Как обычно, черзз £^(4) (п,ш =0,1,2.....'). обозначил наилучшее дшбяпденЕе функция í (х.ц) яз пространства

•*■ > * J 4 • л> J

аятебрадческгаи многочиенама вида' л m

i-oj-o.

il III , I

»>'Ti i=n l=D »

(2)

а через Е^ '(f) С П =0,1,2,.... ) обозначим надлучисе . дри-бллзенке функции ^(х,^) из пространства L2(R. ехр(-;х-уг

алгебраЕЧоскккя многочленами вида

п

o^ljén

•Iх ïê

Как ужо откачано.зыго, дао соптация состоит аз четырех параграфов»

Б §1 доказано, что если х-о(П'1) )и=0(ги'') ,'то

- •• > +

О^К^

п,т " • л

'гул ' 'л /А ' ЗГ2- Ар

Д&Л/Ч I I 1 ^

лоно, что представляет интерескогда

кЬ'М „/%¥' £п п\ \ г

= о I —-г —— I 1^-гО);.

" ■ \ ,'/4 /А ,/

Это, задсдс.;о.. Судет а^р^.хр, когда

Тогда, о'--а с^сро;.:,-; да;:-т .по-аюо ре^енде пада--"

А.К, Кп.'т.-лгосоза з раесаатр1зае:лс;.: случае, В д^у.аспды следуй,:;;три теории:.;: Таосс:,:а X.

-LO

где константа, входкцио з Oil), зависят'ог-.-.х• 'П tj. , црхчьи. они paEHowspno ограничены на собой цряглоуголышке

В §4.доказано, что для любой функции о *

причем, константа, входящая в 0(1} абсолютная. Основные -результаты работы являйся новыми. Результаты диссертации опубликованы а работах :

1. Приближение даф|«рендаруемых функций двух переменных суыиагга Зурье-Зрыкта. Даг. гос. уа-Т.- Махачкала, 1992,- II с. Дед. в ВИНИТИ 26.10.52, 5 3076 - 392.

2. Оценки поперечника одного класса дифференцируемых Функций двух, переменных, в: просзракстве'^^(г^'^У)

Даг. гос.' ун-т.- Махачкала. 1392,- 19 е.- Деп. в. Б1Ж1И 26.1G.S2, 11- 30?о.- В32.

. 3. О ЕрпйЮЕЩшш. одного класса функций двух переменных -суммами фурье-Эрынта. Дат. гос. ун-т,- Махачкала, 1992.- 31 с. Деп. в БИШ1ТИ II.II.S2, & ЗГ'35 - ЕЭ2. ";

Прибляхешге ^упнцай двух переменных суашама ряда Фурье-Зруцта. Даг. гос.. ун-т.- Jtexa.4r.ajr,. .1822.- 30 с.- Деп. з аккти ri.II.92, 1* 3234 - Ь92»

Заказ подписано с печати L2.05.93 г.

Обьеи I печ.м'.ст. Блрэж 100 экз. Типография Изд-рз СГУ