Приближение функций многих переменных на нерегулярных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АкздеШя нарт Укра!ни Ордана Трудового Червоного Прапора Пшгигуг математика

На правах рунолиоу

СШЕНЮК Володпмдр Богданович

ШШИЕННЯ ФУККЦ1Й БАГАТЬОХ Ш1ННИХ ЕА. НЕРЕГКШРШК ОБЛАСТЯХ

01.01.01 - иаге/.'лгачнпй анал!з

А в г о р а ф в р а г

дисартацН на здобуггя вченого отупзня капдвда1а #1зяко-магемагдчшк паук

Кп1в - 1992

Робота виконана у В!дд{л1 творИ фуакцЩ Гнотлгуху матзмлгп-рп АН Укра!ни.

Науковий квр{в!шк 0ф1ц1йн1 опонентя:

доктор $1зик6-магама1дчшк'наук КОНОВАЛОВ В.М.

доктор ф! зико-ыатемагячнях наук профааор БАББКК0 В.®.

кандидат ф!зико-ма т а мат яч ¡шх шук доцент СМИРНОВ Г.С.

Пров!дна орган!зац1я - Одеоький дараавняй ун1взроит8Т

Затпот диоертацН в!дбудегься " ^ " <ре4р&лК 19эЛ р.

. годшнгла зао!даля1 опвц1ал1зовшю1 ради Д 016.50.01 при 1иоштуг1 математики АН УкраЬш за адреоою:

,252601 Ки1в 4, МОП, вул. Твретояк1воька, 3

3 дяооргяц(ею можна оэнаЯомвгиав в (НсЫогац! (потятуту.

Вчений оакратар стец1ал1зовано! ради

ГУСАК Д.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Акгуалыпоть теми. Од!иею з основних задач reopii наблшлен-ня в задача про наблнжепня imaoiB функций конкратшш я1дпроогора-ми, як! /лають в1диооио прооту конотрукц|ю: алгвбра1Ч/шш га три-гонометричиими пол'шомамд, ц!лит фудюцямп екадонзтиального типу, полiном!алышми оплайнагед,

Починаючд а 50-х poKia bqq (Нлща увати прид|ляетьоя набли-кбннв функцШ багатьох д1йояих алЦндих. Можна В1дзяа.чнги, що задача про наблидення функц!й багатьох змш/шх, як: задан! на областях запального виду, о Jqiqiho б!льи окладною у пор!внянн1 з задачей про наблияадня функц}й од/uei змишо!,'

Вяпадок, коли фуцкцП шаначан! на капошчних областях (куйi, ротону npooxopi або ropf), доолдавно дооить детально. &пд iu;i-зиачити,. що, коли з облаат( вязначешш функций заданий Функц!опаданий клао можла продовжити !з зборежанилм основних влаатлвоотой jia куб (або веоь лроот!р), який охоплюе дану область, то цай вина-док, очевидно, из викликае ¡стотнях трудиощ1в, Б1льш окладною с аитуац!я, коли гаке продовжанля цодотшша,

В дан fa po6ori розглядаягьоя ¡зотроши клаои Соболева i -й р л», функцЫ, що задан! на областях ja зовншшмя п/кани атаяаневого виду. Як в!домо, налриклад, fa роб J х БЛ.Буранкова для таких облаотай при boix 1 ^ (' < с» ¿емояливо продовял-тя Hi клаои 3i зберсксниям гладкоеrf на куб, що охоплюс дану об-Так! облаот! в робот! назшзаюгьая ¡«регуляршш. В.М.Коноваловим була поставлена задача про наблиганля прсото-р|в Соболава алгабра!чшши многочлена/.-ш i даякими гладкими сплайна/,щ на перагулярних областях ¡з зовншшш шками з матоп розреб-Ш1 штод!в набликзшш, я/а приводить до оцшок набликёння, а,чало-ri^nnx тпм, ко були одеркан! для клао/в Соболава, задания на кубах або на ваьому простор!, Kpi/л того, для облаотай is зовл}шн!мл niKa/.ш вивчаетадя питания про наблияаная ол1д1в клао1в Соболева па парамшах облаатой з яреоюрш! меяао! Bmdpaooit. Шдзиачвмо, що задача про наблияашш сл!д!в iwaoln ди£зрэ1щ1йовншс фушопн . ол!дамя функц! Я вкопоиопц|ального типу в союняз двоятир1ччя 1н-мяоявяо довл1дкуеться C.M.Hi кольоькг.«.

{z • z = (xi, x* ), I.t(l< г» TTn^i,

o<xn<°~},

дв A -- Си С ¡PLn ( 0 6 //V , n > Xt •>

9 . , г- - i s M > ¿i

~ ~ ^^ Фу1!кц11 fi%) на MHOKIlHl ;

~ tR.*": - {х- X = Со,..., О , -X*-X«) , - -s < 0Li с О" , Ч - n-m.rl 1 ,

В сфорнульованих михче результатах оп1вв1дношашш ,

< £СМ, >УО озпачае, що !внуе С > С , що не залеклть

Bi;t /А , аде заладить в!д делко! мнокшш napamipiB Til гаке , то а(М, Сп{вв1дношання и. кк.Ш) опннчае, що при во!х- fA виконуютьоя так! оп(пв1днои8Ш1я: ¿(м.УЛ) « J УЛ) 1 JW.).-

В' порыому роздтл! диоергацН розглядавтьоя mi талая набляхен-:ш фушщШ {зотропних класпв Соболева многочлонаш I пол!ноы1аль- • h-imh ашайн-$ункц!яш. -

В ' § АЛ даитьоя означешш аалрАНрункцШ, ши зд1йанвюгь

/>п&ггшяня.

Роз!б"емо (R- на ч -вшд1рн1 куба, що не перемналть-мя,з транши, паралялышш координатшил хчперпловушам. Будамо 1х ''сзлячати Падай '

fisltl<i-, V (f-v.= J

| С , Itl Я ,

it

S Vo (ax 4 pL(t) ,tio;

t

i- ^Votax-Odxsr^CO., i >£>,

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АкгуалыПоть теми. Одн!еш з основних задач теори наблиаеи-ня в задача про наближеиня класнв функЩй конкрагнш.ш а1дпростора-Ш1, як! дагагь в!даооно проату конструкц|ю: алгебра¡чвдми та гри-гономатричними пол!номами, Ц1лш,ш фудкц!яма вкодонвнц!ального типу, лол1ном1алы1иш1 оплайиам,

Починаючи з 50-х рох!в вое б}льше увагл прад!ляетьоя набли-кашш функц!й багатьох д'цйашж ам1нцих, Можиа В1дзначиги, що задача, про цаблияення функц1й багатьох змшних, як! задан! 11а областях загадьного виду, е ¡стогно б!лып окладною у пор!вняни! з задача» про яаближання функций однге! змншо!.'

Ейпадок, коли функцП визначан1 на капон!чних областях (ку<51, едьому лрооцор! або тор!), доолдаано дооить детально. йгпд ыд,-значити, що, коли з облаат| визначения функций заданий функщола-дшШ клас можпа продовжити !з збарежаншш основних влаотивоатэй ла куб (або эеоь проот!р), який охоплюр дану облаоть, то цей випа-док, очевидно, на викликае ¡стотних. трудионйв, Бгльи а кладя ою с оигуац!я, коли гака продовкешш иодожлива«

В дан(й робот! розглядаэтьоя !зотроп1п клаои Соболева ир I « р с», фуикцЫ, цо задал! на облаатях ¡з зовн1ши1ми л!качд ателеневого виду. Як в}домо, налршдад, 1 а роб}г В. КБуранкова для таких областей при во1х I р < лемоклшзо продовгл-

уя ц! клааи з! збероженням гладкоет! па куб, що оходлюс дану облаоть. Так! облает! в'робот! називавтьоя нерегулярлиш.

В.М.Коповаловям була поставлена задача про набдиетняя прсото-р!в Соболева алгебра!чшша многочленами I деякима гладкими сплайнами на пзрагулярних облаотях ¡з зовншнмп пиками з мзтою розреб-Ш1 метод!в яаблпжэння, як1 приводить до оцгнок ¡щбликёння, анало-г1чиих тшл, 150 були одержан! для клаогв Соболева, задаяих на кубах або на ваьому проотор!. Кр!м того, да областей ¡з зови!ипь?л П1КШ.Ш вивчаецоя инталия про паблияення сл!д!в кпао1В Соболева на аараишах областей з прооторакн шда! вш1рдоот{. В!дэначи.ю, що задача про наблияашш ол!д!в клаа!п дяфорзпцШовних фунгацй . ол!дамп фуккц!й екапоиешцгального типу п оаганнэ дяоятиргччя )я-гиноивно доел !дг'устьоя С.Н.Шксшаькп1.!.

. Из та роботи, Розробити метода наближення фуякц!й (зотропнях клао!в Соболева на багатовим1ряих областях !з зовн!тн1мя д1ками.

0 грима ти оц!яки зварху в метриках ¡_ ^ для в!дхш;ення онлайн-. фулкцШ I многочлен!в в!д функцШ ¡з илао!в , як1 иа-ближують. • _

Доол!дитн питания про наближенял ол1д!в функц!й !зотрошшх 1'лао1и Соболева сл!дами деяких оплайн-^ункцН!.

Матоди доол!ддеяь. В-робот! при. побудов! наблияуючих агрзга-т!в внкориотовуптьоя могоди розбнття одшшц! на многочленп 1 оплатит, розроблен! в роботах В.К.Дзядика 'та В.М.Коновалова.

Новизна результата та !х наукова ц1нн}сть.

0оновн1 результат дисертащ I е новимл ! становлять теоретич-шШ пперео. 1х з(.нот полягае в насгупному:

- занропонован! конотрукцп иабликаючшс оплайн-функц!й ! шого-члел!в I огримая! оцижя зварху в метриках для в(дхллзн-нл оплаГш-функшП ! ).шогочлвн!в в!д функцШ. (зотропншс класИв Со-болова на норегулярнпх областях з п!кама отапенввого виду. Ц! сц1-лкп за порядком ошвладають в дсякях вяладках з в1домиш порддко-я!1ШГоц1ш:ами яопаречнигЛв ?а Колмогорова;

- побудоваш спланн-фулкц! I, ол!дя якнх иаблизавть ол!дя ¡зотро-яиях £-ункц!й клао!в Соболева, I отрямая!" оц!шш звэрху при на-.1л:1;;;онн! в метриках ¡-с^ -

Стрщлан! результата манть, в основному, таоратнчну цИнПси.

1 мокуть бути викориаган1 в подальппх досл!дазнкях, як!.ма»ть в!д-поавлня до наближоння функцШ на областях 1з зовн!шн1ми п!каин птйпонового вэду.

Апробац!я роботи. Результат дноертаЦ1йно1 робота допов!дались I обговорювалиоь на оем!нар! в.1дд!лу теорП функцп! ¡нсгиту-. ту математики АН Укра!ни (п!д кер!вництвом 0.1.Стапанцд), на м1-оько.'-'у оем1.нар1- з гвор!I функц!й (п!д хер!вяиц1вом В.К.Дзядика), . л а и1кнародн1й математичн1й конференцП, ярисвячен!й пал"ят! .'Л.И.Кравчука.

Публ!кацП. Ооиовя} разультатя даоертацП в трьох лаве данях л 1:1 яц! автореферату роботах.

Структура I об"ем роботи. . Диоартац1я обоягом И? отор!нок маппнолиау. Складаетьоя !з вотупу, двох роздШв I ояпоку цпто-па:ю1 л!терагурв , що Шстить в орб1 82 найменуваняя.

3MICT РОБОТИ

При розкритт! зиготу роботя будемо коривгуватиая такими по-значаннями:

a -BiiHipua Mi pa мнояшш CS ;

- dioAw Ct? - д!аметр множили Gt? ;

- dim. Xy - BiiMfp простору X/V î

_ (// (Я") - npooTip алгебра5чних многочлен 1в Рд/ (^)виду

os| y«//

да не WU Ы , fU iliv. »O e , -

+ ) O.M. e xf1.... xtn o'-i-,

- Sf^, P $ °° ~ ¡эотрошшй npooîip Соболева функцЫ f (, визначених на CS ¡з окпненнсю нап!внормою

ix I

д

Дэ п « fi

(в<1 е , р

- В1дкрита мнонгша в iR.'j

- f - Hoaiïi функц! ï Ч> ; ,

- (l^ ÇA*! X) - // -поперечник за Колмогоров!!«:

t'if- ^ ¿«f- ax-px s nvcx ■ xîiv

до X - вакторний лiнiiîiiml нормованлй npooîip, д/ - шд-npoaiip X , dùn Уд/ f= Л/, • vY/ - ф1коована множила, WC X ;

- odnaol'i i3 зовн!ши!ш niKRMi так!, що Q^Ol)-- {х- CC = С 011 y- -,'DC«) , I .ïf К-^',

i. ~ ГД1! , о < Я« < , k >o} -f

{x • X =■ (Xi Ufl^r, г» 4.П-1,.

0<Xn<°-},

да Л -- (Xj. j.с IR.* , 0 6 //V , -И , Xi >

[ M > Ii '

- ~ ол1д фуикцН на множив! ^ ;

_ iR."*: (xr x - (с,..., О } Jn-mi-j^n) , ~ «-C < 3Ci < , -L - n-.n,ii } , 4 s «ч<и ;

В сформульованих iiimo результатах оп1вв!дношзшш CL (h\ , У&)« fCM, }У>_) означав, що 1онуе С > О , що на залеилть

в!д tА , ало залаять в!д деяко! мнояшш параметр!в Jtf} гаке , що а(м, fti)*b c^[h\,Tfl). Сп!вв!дношання а (Л1.М)" £(М,"М) опнячае, що при во!х- N\ виконуютьоя так! оп!пв1дноиаш1я:

« , w.) s W« o.(N\,

3'парному роздал! диоергац!! розглядаятьоя питания найлижен-:ш фушод!!! !зотрошшх клао!в Соболева многочленами 1 пол!ном1аль-

оплайн-$ункц!ями. -

В § iA дамтьоя означення опл?.йн-функц!й, язи здЫаняоть наблтазння.

Роз!б"емо iR. на п. -вим!рн1 куби, що не перетлнапть-чя,;з гранями, параяольшши координатном ппэрплощииам. Будамо !х исшя.чати Qtr.t. Ипхай !

fi^itKt; У (fV.i' " О , Itl >i ,

t

S Vo UXH 1>лх»-. Pitt) , t ic;

v„ UV.-. ; ;

1 - ^VoCSX-t )iix::%iCt)jt>c>,

Vc(0:= {

I j * ips(t), ts«;

—. f-O

t

i - a = fcstt>, o«,

Vs W.* П CXt) , SG s > i .

t: 1

Тод| V s с i G A', « > = Д0 T

куба й г .

Будемо говорит, що é 5 , якцо

- цвнгр

«л 'e¡í¿v ■ДО fit.ite-.&f/rfG ^ОГУ

Нохай ¡R.+ = I* = Ulj—J^H) -, Хл>р}} (Iе?

- {х.\х- _cx¿,...j Х1Д), < xik>l, .r.rV- 1С»1 i

tKÏ СЮ , ¿O i íO

aLC)B {x: x€ Of, Cj¿- i)

•J

< j¿ h¿ + о, » ) L = i, n-i , J= С Ji ) •■■ j

7H , <*> rm1

z , h ¿ g m +..

Будемо ввааатЕ, цо CK)

CK)

VS(K С**) is

44.«, j¿ ta:.) CCh¿^5" Cxt - СЧj¿ + o,sí), ¿--<^-1,

flO ri-1

(X i Cj ) ; = VS>K со п Vv к -,. (XL> } к £ ¡Ы, •

I г Л ' * .

j *(ji> . Vi) G "г*:-

r <*)

зизначшад тают чином, щой

к = 1 lu 'Д;

h™« vi« (Vf-гА/

'4 « ^ '< , i,.... lu 1

hl*>* л'" , к = Ca/1" te*/ , i = r^Ti J

л

t-f 4 ?

ß *

\ p < : /

П

Ыл отрш.вди розбигтя 1R+. на паралалап/педи ûj Пе-рянуиерушо ларалелепшади в дзякому порядку Í введено зам!сгь jíckoíb X i j один ihäcko v : будем ыагл розбяпя

Для кожного в1длоп1дного ларолвлвпшащ будаио лвакагя, що vs(Xi G„)- (а> X с R?'

Будемо говорим, що оплайя-функЩя &V А/ G S £ ц >

. s ít*4 о*, ад vs ад,

V' ve in'

да ^.iCïiôv) С H-i CliT) , ifc*

В § -1.1 сформульован! гако» даягл допом!ан1 гворднадоя. 3 § í.Z наводягьоя лэш1 про набликошш функц i й i3 iwaoiB Соболева многочленами отепепя 'ï-t . Доводон! в цьому параграфа ла/.m викориотовуюгьоя для доведения «аатушшх разулыах1в, Л а м a -Í.2.1. ИехаЗ £ ( £¿ ^., hñ> е lßH, £¿>0,

L = .{"¡г > с > i » С € - (С £ i > -, С £ „ > -, П £ i Псг - коадовтричн! паралелап1поди з ребра/,ш

довкан £¿ ra. С . в5дпов1дно, a Ct) £ - з{рко-

ва в!днооно П £ облазгь гака, що Hg cQc Пес,

Тод! ДНЯ КОлНО! функцП |ё р (О > 'г С: /У/, I < р г- •>' , 1онув ^ (Л">1«1КЯЙ, 1Г.0

к (с^.п П£ ^ £ Г[ а > ^ р 'I ) >

да 1 ^ Р « « о» , с, т й £ /N<0 (с].

Л 0 (.1 а 1.2.3. Для кото! функцП £ С- (.к

Ъа ' М , 1 < р « Ъ- юнус |

е («ГЬакпД, вд

Р-Ч) р л,

« Ь Р 1 ,

Я20Ц0 1 ^ Р ^ « о- , ^- 5 - 1М ('р- ' К'Л0^

В § "Г.З розгляиуг! паганкя яаблйяеяпя фуихцМ {. £

. 1 "

({)) , I < Р ^ многочлен,ама. Отрлмалг туг результата гпдоумовукгьоя настушчон тесрамок.

Теорем а 1.3.1. Для котло! функцп С -^рУСич'^ ^

VI' )

<: (= /V 5 1 $ Р ^ при'козному ЛЛ->1,

,-V

¡онуюгь полита 1 £ чУ>/ (Й'^так!,

!Д0

В § 1.4 отршан! оц!нкя зверху при иаблиявшЦ фушяЦй 1зо гропних клао!В Соболева на необмежаних облаотях ¡з зовн!пт}и п1-ком оплайн-^ункцхями, означувашмя в 5 {.{. « ^ сн.

Т е о р е и а 1.4Л. Для гояяо! фунюШ ¡'¿¿Ор Ъе А/ } I ^ р ■е, <>=> пр?. дашоиу //с!оиують.оплзйдп:,>'•

'¿К'г так(. и0

' - £

Теорема 1.4,2. Для коано! ФункцП £ £ ^^С^лГ^ С 1 - Р ^ при кожному //£ /V ¡онуе оялайн-функ-

Ц1Я

, для яко! справедлива ошвв!дно-

^ ъ - 1М ( ✓р - >о , 1 ^ р ^ ^ <; оо .

В § 1.5 виэначен! деяк1 простора сплаШНв, аналог1чн1 до

Так, ш будамо говорит, що Б^ е

, якщо

МСч,//)

. с*) - £ Ь„,е ) ^ <2^, )

З^с^а^иЯ,^)* I]

За аяаюг^еи будем о такок вважатл» що Ъ й 1 &

сл^а) ^Р > а» е {е

]э отрамашк в §§ 1.3, 1.4 оц!нок 5 ЕIдомах ец1яац гая попвречник!в, що буяя огрвман! В.М.Тююмироиш, Б*0,&гщт>, е,д_.

Глуоя1пим I Е.С.МаЕороБШ, виплпвае, що сросхор« е^айя-фугшПй

проотгр .многочлвнгз В ДЕЯКЛХ

випадках е екатрзмалышмл за порядком.

Другой розд!л дпоертац!I приовячопий на-Злижонпю ол1д(в функ-ц1й 1зотропних клао1в Соболева ол1 да/ли деякпх оача;'н-<^ункц1й.

г\

В § 2.1 розглядасться розбигтя на пчрзлелопшадн,

яке в1др1знявгьвя в!д розбигтя, введоного в § 1.1, лише тлм, що ■ й + й

---■-Р-- , I < VI < п

Р Ъ

Р -V

Будемо вва-?лти, цо ^ ^ ^ е 2 ^ /у ,,, > шсл:о

£ * у .п с«) ■- I С«; а,) и, С*

чем >

Да 5ч.., • . а ^С*)^ ) визнача-

вться гак оамо, як С?^4) > 51,13 врахуванням нового

означення веллчани П, . В цьому х параграф даетьоя доведения деякнх допомшшс леи, як! е аначогамл лам ¡з § 2.2.

В § 2.2 дало доведения наагупного твердження.

Теорема 2.2.1. Для фу'нкцП ^ € ?*Г' ^ > ■?£/// } { < р <:е.? при кожному Ы€ ¿V 1онув оолайн-функц1я

ь. I — -

«Г*4 Р-. V ий^/^ь

Корпотуючись нагодою, вколовлюю ¡диру подяяу моему науковому кар!внпку доктору ф!зяко-ма?8»тичнвх наук Коновалову В1ктору Ми-колайовичу за постановку задач ! поот!йну ¿тагу ! птдтржку з робот!.

OoJioEiii полоаекня диаертацП опубликован! в наотупних роботах:

I-. Сема шок В.Б. Приблиааниа функций и их производных некоторыми сялаДнаш на областях о внеашш пиком // Иооледовалия по теории приближения функций. - Клав: Ин-г математики Ali УССР,1SSI. - С. 100-109.

2. Соменик в.Б, Приближение дифференцируемых функций многочленами на облаотях о внешними пшса/.ш // Укр, мат. жури. - 1992. - 44, Л 4, - С. 534-5>i0.

3. Сомопюк ■ В.Б* Приближение функций нескольких перемешшх на областях о в а штиля пиками степенного характера некоторими оплайн-Фуш:щжш // Теэл лйжяародно! колфереяцП, лриовячево! лймиЯ11 академика И,П.Кравчука (22-28 Bopaoiui 1992 року)." - Шйв-Дуцьк, '1992. - С. 192,

Шдп. до друку 10.1?,2. Формат 60x84/16. Цап!р друк. Сфо. друк. Ллов. друк. арк. 0,7. Умов. фарб.-*в1дб. 0,7", Обл.-вид. а'рк. 0,5, Тара» t©0 прим. Зам. 351. -Безкогпоща,

Щдурмвлеиа | вхдцруиовано в 1нстятут1 ¿ягещдасп Ali УкраШп йО&бй! KaiB 4, JJCfi, вул. Терещашйвська, 3