Приближение функций в Метрике Хаусдорфа

Петухов, Александр Павлович

Приближение функций в Метрике Хаусдорфа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Петухов, Александр Павлович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

1995 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Автореферат по математике на тему «Приближение функций в Метрике Хаусдорфа»

Автореферат диссертации на тему "Приближение функций в Метрике Хаусдорфа"

-—РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

На правах рукописи УДК 517.5

ПЕТУХОВ Александр Павлович

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В МЕТРИКЕ ХАУСДОРФА

(01.01.01 — математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова Российской Академии наук.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

B.C. Виденский

доктор физико-математических наук, профессор

C.В.Конягин

доктор физико-математических наук, профессор Н.А.Широков

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится

л'п

1995 г.

JL£

часов на

заседании специализированного совета Д 002.38.04 при Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова Российской Академии Наук (Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербл-ргского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан "JiL" 1995 г.

Ученый секретарь Специализированного сове' доктор физ.-матем. наук у \Aj

А. П. О сколков

Работа посвящена исследованию связи,различных,свойств - функций с их ал-

проксимационными свойствами. Аппроксимация функций в метрике Хаусдор-фа является сравнительно молодым перспективным направлением в теории функций. Однако понятие хаусдорфовой метрики возникло еще в начале века (Ф.Хаусдорф, 1914) в топологии для характеризации расстояния между подмножествами А и В метрического пространства (Х.р):

НР(А, В) =' | .4 с и„(е, В), В с и„(е, .4)},

где ■) — е-окрестность множества относительно метрики р. Заметим, что ранее (в 1905 году) Д.Помпейю ввел расстояние, эквивалентное пяггтп<шиш АлугпорФч мл»то»?у ютгда раеетояяке называют иетриьии Хаусдорфа —

Пимлсйю. Болите 1иго, некоторые частные задачи аппроксимации в "метрике Хаусдорфа" фактически рассматривались еще в прошлом веке. Так, например, Д.Гильберт (1897) показал, что границу любой односвязной области комплексной плоскости можно с произвольной относительно данного расстояния точностью приблизить лемнискатой.

Идея привлечения данного расстояния для задач аппроксимации функций принадлежит болгарскому математику Б. Сендову. Он предложил расстоянием между вещественнозначными функциями считать хаусдорфово расстояние между их дополненными графиками. Являясь в определенном смысле обобщением понятия равномерной метрики, хаусдорфова метрика позволяет в то же время говорить о близости не только непрерывных, но и разрывных функций. При этом, в отличии от интегральных расстояний, хаусдорфово расстояние сохраняет наглядность равномерной метрики. Грубо говоря, функции считаются близкими относительно метрики Хаусдорфа, если визуально близки (почти совпадают) их графики. В пользу того, что хаусдорфова метрика является ближайшей родственницей метрики равномерной, говорит тот факт, что на множестве непрерывных функций хаусдорфова и равномерная метрики порождают одну и ту же топологию, что в корне от.игчает ее от интегральных метрик.

О целесообразности рассмотрения хаусдорфова расстояния в случае приближения разрывных функции говорится, например, в работах А.Н.Колмогорова, Б.Сендова, Е.П.Дояженко и Е.А.Севастьянова. В 60-е годы данная тематика развивалась главным образом усилиями болгарских математиков: Б.Сендова, В.Попова, В.М.Веселинова и др., в 70-е годы появились статьи Б.Боянова, Г.Л.Илиева, П.Петрушева, С.Ташева а также работы советских математиков Е.П.Долженко, Е.А.Севастьянова, В.Т.Мартынюка. Состояние этой тематики на конец 70-х годов отражено в монографии Б.Сендова [1979].

Цель работы: изучение зависимости свойств функций и их графиков от скорости их аппроксимаций в метрике Хаусдорфа, нахождение критериев хаусдорфовой сходимости линейных методов аппроксимации классических пространств функций и распределений, а также изучение новых пространств, в определении которых участвует данная метрика.

Общая методика исследования: В работе используются методы линейного функционального анализа, теория мультипликаторов Фурье пространств функ-

ций и распределений. Часть утверждений глав I и II получаются в результате синтеза некоторых экстремальных свойств полиномов и методов геометрии фракталов и пористых множеств.

Научная новизна работы. В диссертации найдены неулучшаемые оценки зависимости хаусдорфовых мер и размерностей графиков функций и множеств их точек разрыва от скорости их аппроксимации в метрике Хаусдорфа и в равномерной метрике кусочно монотонными функциями. Показано, что многие из оценок не могут быть улучшены не только для кусочно монотонных, но и для рациональных, а иногда и для полиномиальных аппроксимаций.

Введено и изучено понятие коэффициента сг-равнопористости множества.1 В данных терминах изучена зависимость свойств множества точек разрыва функции от скорости ее полиномиальных хаусдорфовых аппроксимаций.

Для широкого класса квазибанаховых пространств периодических распределений найдено описание ограниченных операторов свертки, действующих из данного пространства в пространство существенно ограниченных функций. Данное описание позволило найти критерии хаусдорфовой сходимости последовательностей сверточных операторов на пространствах Лебега и Харди, пространствах регулярных борелевских мер, квазимер и некоторых других.

Исследованы некоторые свойства пространства почти-периодических функций, индуцированного хаусдорфовой метрикой.

Приложения. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в смежных областях теории функций и функционального анализа. В то же время, ввиду того что близость в смысле хаусдорфова расстояния согласуется с понятием визуальной близости объектов (например графиков функций), представляется целесообразным использовать результаты работы в решении прикладных задач, связанных прежде всего с кодированием и обработкой изображений.

Апробация. Результаты работы докладывались неоднократно (1981 - 1994) в МГУ на семинаре по теории аппроксимации и граничным свойствам функций (рук. проф. Е.П.Долженко и доц. Н.С.Вячеславов), в МГУ на семинаре по ортогональным рядам (рук. чл.-корр. РАН П.Л.Ульянов и проф. М.К.Потапов) — 1987, на семинаре по теории функций, (рук. чл.-корр. П.Л.Ульянов и проф. Б.С.Кашин) — 1994, многократно (1986 - 1994) на Городском (С.-Петербург) семинаре по констуктивной теории функций (рук. проф. Г.И.Натансон), на семинаре по обработке сигналов университета штата Сан-Пауло (Бразилия) — 1994; на конференциях молодых ученых в Ташкенте — 1985, Одессе — 1987, Киеве — 1988, на Всесоюзной конференции по теории функций в Баку — 1989, на посвященной 70-летию проф.В.С.Виденского конференции "'Конструктивная теория функций" в С.-Петербурге — 1992, на VI Саратовской зимней школе — 1992, на Воронежской зимней школе по теории функций — 1993. Кроме того, результаты работы были представлены на трех международных конференциях: на конференции Теория приближения и задачи вычислительной математики в

1 Независимо от автора к тому же определению для других целей пришли Л.Зайичек [1989] М'.Хежни [1993].

-г.Днепропетровске^посвящённой 75-летию Днепропетровского государственного университета — 1993, на 18-м Летнем международном симпозиуме по вещественному анализу в университете Вирджинии (США) — 1994, на Международном Конгрессе Математиков в Цюрихе (Швейцария) — 1994.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 23 работах. Все работы написаны без соавторов.

Структура диссертации. Работа состоит из введения и пяти глав. Библиография содержит 100 наименований. Общий объем диссертации 249 машинописных страниц.

Содержание работы.

Больптннстяо результатов диссертации связано с вопиоса.ми чяитт^готтт^т* гяуг-дорфовой аппроксимации функций полиномами (главы I и II) и кусочно монотонными (в частности рациональными) функциями (глава I), а также с линейными методами приближений в данной метрике (главы III и IV). Глава V посвящена изучению свойств пространства функций, почти-периодических относительно метрики Хаусдорфа, т.е. функций, которые могут быть алпроксимированы с заданной точностью в метрике Хаусдорфа тригонометрическими, вообще говоря, непериодическими полиномами.

Напомним некоторые определения и введем основные обозначения. В качестве упомянутого множества Л', подмножествами которого являются графики функций, мы будем рассматривать декартово произведение У" х R1. где в качестве У в зависимости от задачи будут фигурировать либо отрезок Л = [а, Ь]. либо единичная окружность Т, либо прямая R1. Расстоянием между точками множества X мы называем максимум расстояний между ними по каждой координате. Метрики же по каждой из координат зависят от конкретной задачи. В качестве метрики на У мы рассматриваем естественное расстояние на R1 или на Т (мы обозначим его через | 8i. в2 |), деленное на произвольное фиксированное число а > 0. В главах I, II и V, где рассматриваются лишь ограниченные функции, в качестве расстояния по оси значений берется естественное расстояние на прямой.

В главах III и IV мы вводим в рассмотрение неограниченные функции (в том числе и обобщенные). Для возможности приближения таких объектов мы должны предпринять определенные меры, заключающиеся в компактификации множества значений. Ввиду этого мы полагаем, что для любой пары вещественных чисел у1,у2

=1 l(yi) ~Ч(Уг) |,

где т](-) — произвольная ограниченная строго возрастающая непрерывная функция. В главах III и IV, где используется данная метрика, нас интересует лишь

факт сходимости, а не ее скорость. Поэтому конкретный выбор функции Т] (как впрочем и упомянутого числа а) для нас безразличен. Это обусловлено тем, что хаусдорфовы топологии, порожденные различными г/ и а. совпадают. По этой причине мы в главах III - V полагаем а = 1.

Определение 1. Дополненным графиком (вообще говоря, многозначной) функции / : X —» R1 называется наименьшее замкнутое и выпуклое относительно оси значений функции / множество F(f) С Z = Л' х R1, которое содержит ее обычный

график Г(/).

Напомним, что множество называется выпуклым относительно оси координат, если из принадлежности к нему двух точек с одинаковой данной координатой следует принадлежность к нему всего отрезка, соединяющего эти две точки.

В качестве хаусдорфова расстояния между' функциями понимается хаусдор-фово расстояние между их дополненными графиками: H(f,g) = H(F(f),F(g)). При этом чтобы подчеркнуть, что функции определены на отрезке Д, мы будем использовать обозначение Н{; Л), а для обозначения о-метрюси Хаусдорфа —

Определенное таким образом Б.Сендовым расстояние используется в главах I, II и V. Однако понятие дополненного графика оказывается малопригодным для изучения хаусдорфовых аппроксимаций на пространствах суммируемых функций. Проблема состоит в том, что изменение функции на множестве нулевой меры не переводит эту функцию в другой класс эквивалентности, но, вообще говоря, приводит к изменению дополненного графика. По этой причине при рассмотрении линейных методов хаусдорфовой аппроксимации на классических пространствах интегрируемых функций нами было введено понятие канонического грфика F"(f) функции /, инвариантное относительно ее изменения на множестве нулевой лебеговой меры.

Определение 2. Каноническим графиком F'(f) суммируемой функции / называется дополненный график сужения функции / на множество ее точек аппроксимативной непрерывности.

Ниже дается определение канонического графика произвольного периодического вещественнозначного распределения (обобщенной функции), эквивалентов для суммируемых функций Определению 2. В главах III и IV мы полагаем, что хаусдорфовым расстоянием между двумя суммируемыми функциями (или распределениями) является хаусдорфово расстояние между их каноническими графиками.

Глава I. ЗАВИСИМОСТЬ СВОЙСТВ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ОТ СКОРОСТИ ЕЕ РАЗЛИЧНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ

Глава I посвящена изучению зависимости свойств функций от скорости их аппроксимации кусочно монотонными функциями (в частности рациональными и полиномами) в равномерной и хаусдорфовой метриках, т.е. обратным теоремам теории приближений. К интересующим нас свойствам относятся хаусдорфовы размерность и мера множества точек разрыва и графика функций.

Классы ограниченных функций, графики которых являются дополненными, будем обозначать через F^ (функции определенные на отрезке Д) и F (2ж-периодические функции), а соответствующие классы непрерывных функций — через С(Д) и С.

Введем необходимые обозначения для, вообще говоря, многозначных функций: /"(х) = max{/(x)}, /'(х) = min{/(x),

______________________= {<т.у\ | Ix. y) e-F(f); 0 $ - - 2т}. ------------------------

Г2*(Л = {(Г, у) I (*,у) е Г(/),0 X ^ 2г},

щп = {* I НЛ - /'И > 0},

/) = sup {/"(i) - /'(у) I |i - yi <

Заметим, что в случае / G С или / 6 Сд, функция /) является обычным моду лем непрерывности функции /, так что данное обозначение здесь оправдано.

В качестве приближающего а.ппяпята »чмн будут !icr:n.ii,jûbaibui «ростран-гтт>?. полипомпв Т1,, ебралчсских) и 'Р„ Iтригонометрических). рациональные функций Rn (алгебраических) и 1Z„ (тригонометрических), кусочно монотонных функций М„ (определенных на отрезке Д) и М„ (27г-периодических) порядка не выше п.

Через Я„К„(/. Д) и А"п(/, Д) будем, как обычно, обозначать наименьшие уклонения функции /, определенной на отрезке Д, сответственно в а-метрике Хаус-дорфа и в равномерной метрике от полиномов (А" = £), рациональных (А* = R) и кусочно монотонных функций (К = Л/) порядка не выше п. Если аргумент в скобках отсутствует, то это означает, что речь идет о наименьших уклонениях 2~-периодической функции. Так, например, через HuE„{f) мы будем обозначать наименьшее уклонение 2--периодической функции / от тригонометрических полиномов порядка не выше гг. Кроме того, ниже будут использованы следующие обозначения:

ca(j.M,p) = Inn npHaM„(f).

п — ОС

ca(f,V.p) = Hm n"HaE„{f).

n —'ОС

Пусть £ — подмножество плоскости хОу, тогда через mesB£(ß ^ 0) будем обозначать хаусдорфову ;3-меру множества С, а. через dim£ — его хаусдорфову размерность. При определении /?-меры обычно рассматриваются покрытия множества Е шарами с диаметрами, не превышающими заданное число. Форма шаров зависит от метрики. Мы будем считать, что на плоскости хОу задана 1-метрика Минковского. Шарами в этой метрике являются квадраты со сторонами, параллельными осям координат.

Остановимся на истории вопроса. Изучение зависимости D(f) (множества точек разрыва) или множества "плохих" точек функции / от скорости ее аппроксимации различными приближающими аппаратами в различных метриках является традиционным. Приведем несколько утверждений, касающихся приближений функций в хаусдорфовой метрике.

К.Н.Лунгу [1972] доказал, что если H\Rn(f. Д) = о(1/пр), где р ^ 1, то mes 1/pD(f) = 0. Е.П.Лолженко и Е.Л.Севастьянов [1976] при р = 1 заметно усилили утверждение К.Н.Лунгу. Ими было доказано следующее неулучшаемое неравенство:

mes1 D(f) < 2 lim пЯ]М„(/, Д).

п—*оо

В §1.1 приведены аналогичные утверждения, обобщающие результаты К.Н.Лун-гу, Е.П.Долженко и Е.А.Севастьянова на случай произвольных р ^ 1 и а > О, как для непериодических, так и для 2тг-периодических функций. В §1.3 показана неулучшаемость результатов §1.1, а доказательство наиболее тонких результатов опирается на теорему об ужах, доказанную в §1.2. Эта же теорема будет являться основным инструментом построения контрпримеров главы II.

Поскольку Vn С Mn,Vn С Mïn^n С Min,T^n С Min. обратные теоремы для кусочно монотонных аппроксимаций применимы также для рациональных и полиномиальных аппроксимаций, причем полученные в качестве простых следствий оценки часто оказываются весьма содержательными и для таких приближений. Об этих вопросах идет речь также в §1.3.

В §§1.4 и 1.5 рассматривается задача оценки хаусдорфовой меры и размерности графика функции через скорость ее аппроксимации в равномерной метрике кусочно монотонными функциями (в частности рациональными и полиномами).

Что касается хаусдорфовых приближений, то никакая скорость аппроксимации кусочно монотонными или рациональными функциями не обеспечивает непрерывности функции во всех точках. Однако для полиномиальных хаусдорфовых приближений это не так. Е.П.Долженко и Е.А.Севастьянов [1978] и П-Петрушев и Сп.Ташев [1976] доказали следующую теорему.

ТЕОРЕМА 1.0.А. Пусть f 6 F, тогда:

а) если са(/,"Р.1) < тг/а, то f непрерывна почти всюду;

б) если ca(f,'P, 1) < гг/2а, то f непрерывна во всех точках.

Е.П.Долженко и Е.А.Севастьянов показали пункты а) и б) и неулучшаемость условия пункта а) данной теоремы, а П.Петрушев и Сп.Ташев показали пункт б) и его неулучшаемость.

Из теоремы 1.0.А следует, что любая оценку сверху величины dimD(f) через величину ca(f,M,p) при р > 1 будет заведомо бессодержательной для полиномиальных приближений.

Иначе обстоит дело с оценкой размерности графика. В этом случае будет показано, что оценку хаусдорфовой размерности графика / через величину cQ(/,Л4,р) (§1-1) нельзя улучшить, даже заменив е0(/,Л4,р) на величину Ca(f,V,p) (§1.3).

§1.1. О зависимости свойств графика функции от скорости ее хаусдорфовых приближении.

ТЕОРЕМА 1.1.1. Для любой функции f £ F и любых 1,а > 0 имеем mes}/rD2l,(f) < (2a 1ÍS ""HaMn(})fh.

n — ОС

- ТЕОРЕМА 1.1.2. Для любой функции Je", удо влетворяющеи при всех х неравенству Ju(x) — fl(x) ^ М (т.е. и>(0,/) ^ Л/), и любых р ^ Х.а >0 справедливо неравенство

mes $ Л/(2о lim

П — ОС

Из теоремы 1.1.2 получим три очевидных следствия.

Следствие 1. Для любой функции / (Е F, удовлетворяющей при всех х неравенству |/(х)| < М, и любых р ^ 1,а > 0 имеем

ягг1+1"г.„(г, £

Следствие 2. .Ял* любой непрерывной 27г-периодической функции /, удовлетворяющей неравенству ca(f,M,p) < оо, илеел<

mesI+1^T(/) = 0.

Утверждение следствия 2 мы получаем независимо от теоремы 1.1.2 и фактически будем опираемся на него при доказательстве теоремы 1.2.2. как на лемму.

Следствие 3. Пусть / € F и а > 0. Тогда

dimF(f) р =' sup{? I c„(f,M.g) < зс}.

Как показано в §1.3. утверждение следствия 3 является неулучшаемым не только для кусочно монотонных, но и для полиномиальных, а значит, и для рациональных приближений.

Приведенное ниже утверждение является следствием теоремы 1.1.2 и теоремы 1.1.А.

Следствие 4. Если для / 6 F при р > 1 и а > 0 имеем

lim nrHaE„(f) < ос.

п—-ОС

то mes1+1/pF(f) = 0.

Результаты, аналогичные теоремам 1.1.1 и 1.1.2, имеют место и для непериодического случая.

§1.2. О распределениии точек касания ужей.

Пусть /ид — 2т-периодические непрерывные функции, / < д. Тогда ужом п-го порядка для функций / и д называют полином и„ £ Р„ (если он существует), который удовлетворяет следующим условиям:

а) }(х) ^ ип(х) ^ д(х) при любом х;

б) существует по крайней мере одна система из 2п точек {x,(v „)}?"],0 ^ хi < Х2 < ... < х2п < 2тг. для которых выполнены либо условия

u„(i2.-i) = /(x2i-i), u„(x2¡) = g(x2i), г = 1,2,... , n,

либо

"r.(X2¡-l) = ), U«(l2¡) = /(l2í), ¿=1,2,...

Совокупность всех ужей тг-го порядка для функций / и д обозначим через Un(/, д). Введем обозначения:

dÁf,g) = inf min {| х2(и„) -x¡(un) 1,1 т3(и„)-т2(и„) , | 2тг + x^u«) - i2«(«n) I},

Dn{f,g) = supmax{| x2(u„)-xi(u„) |, | x3(u„)-x2(un) , | 2тг + х1(и„)-х2„(ип) |},

где inf и sup берутся no u„ 6 Un{f,g)-Имеет место следующая

ТЕОРЕМА 1.2.1. Пустt fug — 2ж-периодические непрерывные функции, f < g, тогда справедлива равенства

lim nd„(f,g) = lim nD„(f,g) - ж.

n-oo

Приведем еще несколько результатов относящихся к этой тематике.

ТЕОРЕМА 1.2.5. Пусть / всюду разрывная 2ж-периодическая функция, причем f и /' непрерывные функции, f > /'. Тогда существует предел

lim nHaE„(f) = ж/а.

п—+00

Теорема 1.2.5 при более жестких ограничениях на функции /" и /' была доказана А.И.Ермаковым [1980].

ТЕОРЕМА 1.2.6. Пусть тригонометрический полином Т„ порядка не вышеп удовлетворяет. неравенствам /(х) 4 Тп{х) ^ д(х). Тогда, справедлива оценка

\Т„(х)\ s: r(x)n (l + С(/,д)М^/п,Л + ш(1/п,д)) ,

где г = (д — /)/2, C(f ,д) — константа, зависящая только от fug.

Предыдущая теорема точна в следующем смысле ТЕОРЕМА 1.2.7. Для любого х имеет место равенство

lim sup{|rjx)|/nr(x) | / $ Т„ sí </} = 1.

n —»ОС J-

§1.3. Примеры, показывающие неулучшаемость утверждений из §1.1

ТЕОРЕМА 1.3.1. Для любых р ^ 1.а > О, Л/ > 0,со > О (если р = 1. то дополнительно с0 SC 7г/ог) существует функция /о £ F. для которой - fk(x) ^ М для всех х, и

lim nrHaMn(fB) = с». mes'^ZW/o) = (2qc0)1/p.

Я — ОО

mes1+I/T2„(/0) = .Vf(2acolI/r.

Как часто бывает в аналогичных случаях, теоремы 1.1.1 и 1.1.2 остаются содержательными при переходе от кусочно мпнптгашит тттм»«™.^»»^^« наттьнътм тт. более того, при переводе ох нижних пределов к вертким

ТЕОРЕМА 1.3.2. Для- любых р ^ 1,q > О,Л/ > 0,с0 > 0 (если р = I, то дополнительно со $ 2тг/а) существует функция /о € F. ¿л^ которой fg(x) — /¡¡(х) ^ М для всех х, и

ШЕ n"HaRn(fa) ^ с0, mes'^^l/o) = /2.

п-*оо

те81+1/Т2т(/0) = М(2ас0)1/р/2.

Что касается полиномиальных приближений, то теорема 1.1.2 остается весьма информативной для оценки размерности графика даже в случае приближении тригонометричекими полиномами. Точнее, оказывается неулучшаемым утверждение следствия 3, являющегося ослабленным вариантом теоремы 1.1.2.

ТЕОРЕМА 1.3.3. Для любого а > 0. и любой последовательность аП = 0[1/п) существует функция /о, для кото-рой

lim nrHaEn(fo )/я>| < 1 и dim F(f0)) = (р+ 1)/р.

П —ОО

где р = sup{^ ] lim nqa„ < ос) 1.

71—»OO

Пртпша того, что мы для полиномиальных приближений покажем неулучшаемость теоремы 1.1.2 лишь в смысле размерности, а не в том виде, как это сделано для рациональных приближений, имеет объективный характер. В самом деле, при р > 0 и ca(j,"P,p) < оо из теоремы 1.1.А следует непрерывность функции /, и согласно теореме 1.1.2 (1+1/р)-мера графика / не может быть положительной.

Отметим также, что при замене в формулировке следствия 1.1.5 величины ca(f.,\4.p) на величину lim {2n)rH„E„(fo) при р > 1 оценка размгрно-

п — ОС

сти остается верной, но бессодержательной. В самом деле, Е.П.Долженко и Е.А.Севастьяновым [1978] было получено неравенство

£„(/) < HaE„(f)exр(0(3 + 2\/3)<7в(/, а)),

где a„(f,a) = £)m=o HaEm(f). Следовательно, при p > 1 из условия HaE„(f) = 0(l/tip) имеем En(f) = 0{l/nr), что влечет непрерывную дифференцируемость функции /, а значит, равенство единице размерности множества Г(/).

§1.4. Зависимость свойств графика функции от скорости ее равномерных приближении.

ТЕОРЕМА 1.4.1. Дели / 6 С, р > 0 и

lim n'Mn(f) < оо,' (1)

п —*оо

то

dämr(/K(p + 2)/(p + l). (2)

Следствие. Пуст* f £ С,

p=fsup{}| lim п'Л/„(/) < оо}.

П—'ОО

Тогда dim Г(/) ^ (р + 2)/(р + 1).

Замечание. Из доказательства теоремы 1.4.1 следует, что на самом деле из условий теоремы вытекает более сильное утверждение: mes',,+2'^,,+I'r(/) = 0.

Оценку размерности (2) нельзя улучшить ни при каком р даже для полиномиальных приближений. Однако при замене условия (1) неравенством

HS nWn(f) < оо (3)

П —»00

оценка (2) хотя и остается, конечно, справедливой, но перестает быть точной. Заметим, что для хаусдорфовых приближений такой аффект отсутствует.

ТЕОРЕМА 1.4.2. Если / ёС, Oipil« выполнено неравенство (3), то

dimr(/) Ü 2 — р.

Следствие. Пусть f £ С, р ='sup{g I lim п'Л/„(/) < оо} $ 1.

п—*оо

Тогда dimT(/) ^ 2 - р.

ТЕОРЕМА 1.4.3. Для любой последовательности а„ \ О существует функция /о 6 С, для которой

lim En(fo)/a„ < 1 к сИтГ(/0) = (р + 1)/(р + 1),

п—»ОО

где р = sup{q | lim пчап < оо}.

n —»ОС

ТЕОРЕМА_ 1.4.4. Для любого р.-О ^ р существует функция /0 6 С. для

которой

Hm nTE„(f0) < оо, dim Г(/0) = 2 - р.

и —оо

Глава II. ЗАВИСИМОСТЬ СВОЙСТВ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК РАЗРЫВА ФУНКЦИИ ОТ СКОРОСТИ ЕЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ХАУСДОРФОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ Специфика данной главы заключается в том, что в рассматриваемом здесь случае для оценки массивности множества точек разрыва функции оказываются

неэффективными (и »-rv> ~ ^алшл хаусдоршоьий и

пасти множества. В связи с »тим мы г.г новое аишас коэффициента а-

равнопористости множества. В данной главе будем использовать сокращенное обозначение

ca{f) = ca(f,V,l)= lim nHuE„(f).

Л —.ОО

Теорема 1.0.А послужила отправной точкой исследованиям в области так называемого '"эффекта констант". Появление этого термина вызвано тем, что для хаусдофовых аппроксимаций в обратных теоремах для оценки качественных свойств функций иногда важен не только порядок скорости аппроксимации, но и константа перед этим порядком.

"Эффект констант" породил многочисленные новые проблемы. В частности, ставился вопрос: не существует ли последовательности S,, \ 0. что из выполнения при больших i неравенства H0Ent(J) < (it — 6П>)/2ап, для какой-нибудь последовательности п, / ос следовала бы непрерывность функции /? Отрицательный ответ на этот вопрос был дан в нашей работе [2].

В работах [1] и [3] изучался вопрос о поведении / вблизи точек разрыва при cQ{f) ^ тг/2а. В частности, было показано, что из выполнения неравенства сч(/) < 00 следует отсутствие у / устранимых разрывов. Эти результаты были перенесены А.И.Ермаковым [1985] на случай приближения функций алгебраическими полиномами. До недавнего времени оставался неисследованным, пожалуй. наиболее естественный в этой области вопрос о зависимости свойств D(f) — множества точек разрыва функции от величины c„(f), ~/2а ^ с„(/) < 7г/а.

Представлялось весьма вероятным, что величина ca(f) связана с хаусдор-фовой размерностью множества D{f). Однако оказалось, что такой связи не существует (см. теорему 2.1.1)

Тем не менее, удалось найти характеристику множества D(f), связанную с с„(/). Такой характеристикой оказалось несколько модифицированное понятие коэффициента пористости множества, названное коэффициентом равнопористо-сти (см. §2.3). Оценка снизу равнопористости множества D(f) через ca(f) дана в §2.4. Там же показана неулучшаемость данной оценки. Заметим, что само понятие пористости было введено Е.П.Долженко [1967] для характеризации граничных свойств функций и оказалось весьма плодотворным в различных областях анализа.

§2.1. Хаусдорфова размерность множества точек разрыва функции и скорость ее приближения полиномами.

ТЕОРЕМА 2.1.1. Для любого а > О существует функция f, удовлетворяющая равенству ca(f) = 7г/2а, хаусдорфова размерность множества точек разрыва которой равна единице.

Замечание. Отметим, что до сих пор был известен единственный пример разрывной функции /, для которой с0(/) = т/2q-, причем / в данном примере имееет на периоде единственную точку разрыва. Построенная же нами функция имеет континуум разрывов.

§2.2. Вспомогательные результаты.

Результаты этого параграфа касаются экстремальных свойств тригонометрических полиномов. В нем доказывается 4 чисто технические леммы, формулировки которых мы здесь приводить не будем.

§2.3. Равнопористость множества и ее свойства.

Пусть Е — множество в метрическом пространстве (X, р), х G X. Через г(е, х, Е) будем обозначать точную верхнюю грань радиусов шаров, принадлежащих f-окрестности точки х и непересекающихся с множеством Е. Е.П.Долженко предложил называть величину

r(*,jE)d= Îmlr(£, х,Е)/е

е—»0

пористостью множества Е в точке х, а

г(Е)^ Ы г(х,Е)-

коэффициентом пористости множества Е. Если г(Е) > 0, то множество Е называют равномерно пористым, а множество, представимое в виде счетного объединения равномерно пористых множеств, — (Г-пористым.

Нам понадобятся понятия, являющиеся модификацией понятия пористости. Величину

го(Е) =' îïm inf г(е,х,Е)/е е—»0 z€E

мы будем называть коэффициентом равнопористости множества Е, а множество Е о, для которого го (So) >0, — равнопористым. Если множество представимо в виде объединения счетного числа множеств {-Е;}^, для которых in{ro(E,) ^ а > О, то Е назовем сг-равнопористым, а величину

R{E)=S sup infr0(£,), UEiDE ■

где sup берется по всем не более чем счетным покрытиям множества Е, — коэффициентом ег-равнопористости множества Е.

Введенное нами определение коэффициента - равнопористости - отличается - от— определения коэффициента равномерной пористости перестановкой операций lim и inf. Очевидно, имеет место неравенство ro(E) ^ г(Е). Естественно, можно ввести понятие коэффициента (т-пористости множества, но. как показал Л.Зайичек [197G], такое понятие бессодержательно. Точнее, им было доказано, что для любого равномерно пористого множества Е и любого е > 0 существует представление Е в виде счетного объединения множеств {£■;}"]. что 1/2 - г < г!Е,) С

1/2,1 = 1,2.....Следовательно, коэффициент <т-пористости может принимать

лишь значения 0 и 1/2. Иначе обстоит дело с величиной R[E). Она может принимать любые значения из отрезка [0,1/2]. Это утверждение следует из теоремы 2.4.2. Таким образом <"■"»* »"ттрт-^р. Л' = Е С X, ¡и ¿^.¿¿¡-¡¿ша RiZt позволяет классифицировать множества первой категории. ;г.:г~тг.—по Kj jcbj ю :.icp> Лебега.

При построении множеств с заданным коэффициентом ст-равнопористости наиболее трудным является получение оценки сверху. Приведенная ниже лемма дает один способ получения такой оценки, который используется при доказательстве теоремы 2.4.2.

Пусть Е — множество в метрическом пространстве (X,р). Обозначим через Р{Е,а) множество точек

{т I х 6 Е,г{?,Е) 4 а) (Р(Е.а) = 0 при а < 0).

Лемма 2.3.1. Пусть Е — непустое замкнутое множество в полном метрическом пространстве (X, р). Тогда

R(E) ^ оц(Е) supja | Р(Е, а) — нигде не. плотна в Е).

Замечание. Неравенство в лемме 2.3.1 является неулучшаемым в том смысле, что для любого 0 ^ а ^ 1/2 существует множество Еа. для которого R(Ea) = ао(Еа) = а.

§2.4. Равнопористость множества точек разрыва функции и скорость ее приближения полиномами.

ТЕОРЕМА 2.4.1. Пусть f — ограниченная 2^-периодуческая (вообще говори, многозначная) функция, удовлетворяющая неравенству 7г/2а ^ ca(f) $ tt/q. Тогда

ЩЩ.П) >

з- - 2аса{])

Неулучшаемость приведенной оценки показывает

ТЕОРЕМА 2.4.2. Для любого а > 0 и любого с0. удовлетворяющего неравенству ~/2а ^ Со ^ ~/а, существует 2п-периодическая ограниченная функция /а, для которой

с„(/о) = со " Д(Д(/о)) = 2асо '

Глава III. ЛИНЕЙНЫЕ МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

У функциональных пространств с традиционной метрикой Хаусдорфа, когда расстояние между функциями определяется как расстояние между их дополненными графиками, есть один существенный недостаток — отсутствие линейности. В таких пространствах (если в них есть разрывные функции) принципиально невозможно ввести операции линейного пространства, непрерывные относительно метрики. Отсутствие линейной структуры не создает особых проблем при решении задач, связанных с наилучшими приближениями. Однако при таком подходе не всегда есть возможность использовать линейные методы приближений, по крайней мере для пространств, функции которых могут иметь достаточно массивные множества точек разрыва.

Предложенный нами подход заключается в .использовании линейной структуры классических пространств функций и распределений для задач линейных методов хаусдорфофой аппроксимации. Главной нашей задачей на протяжении этой и следующей глав является исследование сходимости в метрике Хаусдорфа последовательностей значений операторов свертки

W) = f*e „ (4)

на квазибанаховых пространствах периодических распределений.

Проблеме разумного (и совпадающего с определением 2 на суммируемых функциях) определения понятия графика распределения посвящен §3.1.

Хорошо известно, что при исследовании равномерной сходимости на классе операторов вида (4) первостепенную роль играет их ограниченность как отображений данного класса в L00. Это же свойство представляет интерес, и даже значительно больший, при исследовании хаусдорфовой сходимости. В §3.2 вводится класс квазибанаховых пространств распределений для которых полностью решается задача описания операторов, ограниченных на них в указанном смысле.

§3.3 и §3.4 посвящены общим результатам, связанным с хаусдорфовой сходимостью и обобщенным явлением Гиббса для последовательностей операторов свертки. В частности, показано, что практически во всех важных случаях для сходимости последовательности необходимо и достаточно отсутствие явления Гиббса.

В дальнейшем мы рассматриваем лишь вещественнозначные функциональные пространства (пространства распределений). Через €°° = С00(Т) иО обозначим пространство соответственно бесконечно дифференцируемых функций и обобщенных функций на Т, а через !>[/] — обобщенную производную распределения

/>ЩЛ = S гп/(п)е,П1. Неопределенный интеграл распределения снова является ngz

распределением лишь тогда, когда /(0) = 0. Через 5[/] обозначим первообразную такого распределения,

nSZ njiO

Пусть Pr{x) =' rl"'clnI (0 $ г < 1) — ядро Пуассона, тогда обозначение Р1

nÇZ

естественно зарезервировать за ¿-функцией (мерой Дирака).

Через {х«};>0 обозначим и зафиксируем произвольное семейство неотрицательных фуНКЦН» ¿lu w « Д-IJi ¿twiOpiMÀ il Л с il оо — — * ¡i*,v/i N О; д м i? i — О при |9,01 > If

§3.1. Канонические графики распределений.

Пусть / 6D, F(i) = F(rM) = }*Pr(9)- Напомним, что предельным множеством функции F в точке в 6 Т называется множество C(F, S). состоящее из тех точек а 6 РЛ для которых найдется последовательность комплексных чисел :„ (| :„ |< 1), г„ -+ г0 (I г0 |= 1, arg20 = 0) и lim2„_20 F(r„) = а.

Определение 3. Каноническим графиком F*(f) распределения / называется график (вообще говоря, многозначной) функции C(F, в).

На классе L1 определения 2 и 3 эквивалентны. Через /„ -^-t / мы будем сокращенно обозначать тот факт, что lim„—oc Н"(/„■/) = 0.

Значениями функции C(F, х) являются отрезки расширенной прямой R1. Через ess sup/(x) обозначим максимальное значение C(F.x) в точке х £ Т. В частности, это значение может быть равно -foc или —ос. Аналогичным образом вводится величина ess inf f(x). При этом удобно для £СТи / £ D ввести также определения

ess sup/(i) = sup ess sup f(x), z£E r£E

ess inf /(x) =' inf ess inf f(x). xeE i£E

которые для существенно ограниченных функций, когда Е является открытой дугой, совпадают с классическими определениями существенной верхней и нижней грани.

ТЕОРЕМА 3.1.1. Для любого f £ D имеем f * Рг / при г -> 1.

§3.2. Ограниченные операторы и линейные функционалы.

В данном параграфе вводится один класс квазибанаховых пространств, для которого возможен общий подход в исследовании сходимости операторов вида (4) в метрике Хаусдорфа. Главной чертой этих пространств является простота описания в них ограниченных операторов свертки (и мультипликаторов Фурье), действующих в пространство L00 (см. ниже лемму 3.2.2.), что, как будет видно из дальнейшего, оказывается полезным для наших задач.

Пусть X — квазибанахово пространство, Л" С О, тогда для его квазинормы мы будем использовать обозначение ||- | Л"||, за исключением норм пространств С, (1 ^ р ^ оо) и М (пространство конечных борелевских мер). Значок С, используемый с квазибанаховыми пространствами, если не оговорено противное, будет обозначать топологически непрерывные вложения.

Определение 4. Через "Н обозначим совокупность квазибанаховых пространств X, для которых (по крайней мере после эквивалентной перенормировки) выполнены четыре условия:

а) С°° С А- С О;

б) для любого распределения / 6 X

||/|Л'||=вир||/.Рг|*||;

г<1

в) пространство X инвариантно относительно сдвига аргумента и для любого

/ел* 1№)|Л'|| = !!/(-<) 1*11;

г) найдутся такие к > 0 и С > 0, что для любого распределения / 6 X

М*тпт\Х\\^Спк\1/\Х%

Заметим, что класс "К включает в себя подавляющее большинство классических квазибанаховых вегцественнозначных пространств периодических функций и распределений. Так, например, в него входят пространства Бесова ■— Лизор-кина — Трибеля ? и , (в частности, пространства Лебега V (1 < р ^ оо) и Харди ИеН'' (0 < р ^ 1)), ВМО, ВУ (функции ограниченной вариации), М, вещественные части аналитических классов Бергмана и Блоха, классы распределений, чьи коэффициенты Фурье принадлежат пространствам 1Р (0 < р ^ оо) и т. д.

Пусть X 6 Н, тогда через X (или Л"0) будем обозначать пополнение пространства С00 по квазинорме пространства X;

х ='{/еО|5иР||/*рг | д-ц<оо}.

Г<1

о . □

Очевидно, справедливы вложения С°° С X С X С X СИ- Пространство X се-

о о

парабельно тогда и только тогда, когда X = X, кроме того, если / £ X, то II/ - / * Д- I А'|| —> 0 при г -+ 1.

о □

Пусть X 6 И, тогда через [X] или \Х,Х] будем обозначать совокупность всех

о _ □

пространств 1' 6 "Н таких, что Л' С 1' С Л".

Лемма 3,2.1. Операция [•] разбивает. Л на классы эквивалентности.

В дальнейшем, если не оговорено противное, будем рассматривать только пространства из Н.

----Через М(Х~ И,°°) обозначим множество ограниченных операторов свертки------

(мультипликаторных операторов), действующих из квазибанахова пространства Л' С В в Ь00. а через Л" обозначим пространство непрерывных линейных функционалов на X.

Основным утвеждением этого параграфа является

Лемма 3.2.2. = (Л')\

о о

Лемма 3.2.3. Пусть / 6 X = X, ц 6 (А )*, тогда / * /I € С. Лемма 3.2.4. аЛА. е п.

Банаховы пространства X = Л' 6 Н оболадают одним замечательным свойством, близким по сути к рефлексивности. Сформулируем это свойство.

Лемма 3.2.5. Пусть Л' 6 'Н. и X — банахово пространство. Тогда М(М{Х,Ь°°),ЪХ) = М(М(Х ,Ь00).1Г) = X""" = X.

Замечание. Очевидно, если X является лишь квазибанаховым пространством, то утверждение леммы 3.2.5. утрачивает силу. Это следует из того, что пространство А'°*°' — банахоцо.

И еще одно свойство пространств из К.

Лемма 3.2.6. Пусть .V, 6 Н. Тогда Л'/")}' (Л'ГРТ = Л'Г)>'-

Кроме этих утверждений в данном параграфе доказывается еще несколько технических лемм, являющихся усиленными модификациями теоремы Банаха — Штейнгауза.

§3.3. Сходимость на классах распределений, включающих ¿-меру Дирака.

Будем говорить, что последовательность операторов вида (4) сходится

а) на д е О, если 1„(д) д\

б) на двух распределениях, если она сходится на единице и на Р] (мере Дирака);

в) на множестве Л" С О, если она сходится для любого / £ А'.

ТЕОРЕМА 3.3.1. Последовательность операторов (4) сходится на классе Л' =

Л' С С (или X — С-) тогда, и только тогда, когда последовательность цп сходится к Р\ в топологии пространства X'.

ТЕОРЕМА 3.3.2. Последовательность операторов (4) сходится на классе М тогда и только тогда, когда она сходится на двух распределениях.

ТЕОРЕМА 3.3.3. Для сходимости последовательности (4) на пространстве распределений X, Р\ G X, необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих двух условий: