Приближение непрерывных периодических функций линейными средними их рядов Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Академия наук Украины Ордена Трудового Красного Знамени Институт математики

На правах рукописи

НОВИКОВ Олег Александрович

ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ П2РИ0ДИЧШМХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНЫМИ СРЗДШ1Ш ИХ РЯДОВ ФУРЬЗ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киэв - 1991

Работа выполнена в отделе теории функций Института математики АН Украины.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор

СТЕПАНЕЦ А.И..

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

ЛИГУН А.А.,

кавдидат физико-математических наук, доцент

Рукасов В.И.

Ведущая организация - Одесский университет .

Защита диссертации состоится в часов на заседании специализированного совета Д 016,50.01 при Институте математики АН Украины по адресу: 252601 Киев 4 , ГСП, ул. Репина, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета

ГУСАН Д.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Важное место в теории приближения функций занимает задача приближения заданного класса функций^? при помощи некоторого линейного метода, определяемого- бесконечной треугольной матрицей чисел ( ... , Л'х'О при к. ). Эта задача заключается в исследовании величины

ШММ* 'ш>\Нх)-ил(Ш) Цх , (I )

где Un(ftX,A) - полиномы, пороглаемне некоторым линейным методом ¿^01/, X - нормированное пространство, Л? с X - заданный класс функций.

Истоки исследования поведения величины (I) прил-»** берут своё начало в работе А.Н.Колмогорова ( zur Sropnenordnung des Restliedes Fourieschen Reihen differeiizierbaren Functionen. -dnn. Math., 1935- - 36. - P. 521-526) , где установлено, что при/j-» — имеет место равенство

где 5n(f;x) - суммы Фурье, W * - класс -периодических функций f(x) , (г- / )-э производные которых абсолютно непрерывны и Я^ \с i , te. УГ . В.Т.Пинкевич в работе ( 0 поряч,-ке остаточного члена ряда 1урье функций, диЭДхзренцируемих в смысле Вейля // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1940. - А, !Р 5. 3. 521-523 ) показал, что равенство (2) остаётся взрнчм и для любых ч>о , если под выражением f<x\x) понимать производную в смысле Вейля.

Следующий существенный шаг в развитии этой теории прим-.т,-пежчт С.М.Никольскому, обобщивмму упомянутые результаты на классы Wi//tö и решившему аналогичную задачу для сумм Фейера.

Указанные результаты А.Н.Колмогорова и С.il.Никольского клочили начало новому направлению п теории прибли^чнил <[унк-дий. Их результаты распространялись на более общио классы

функций, а в качзстве приближающих агрчгчточ рассмчтрирглксь

тригонометрические полиномы Ип (¿,х,Л), порождаемые различными линейными методами суммирования рядов Фурье. Задача об отыскании асимптотических равенств для величин (5) стала одной из наиболее важных в теориях приближения функций и суммирования рядов Фурье. Её мн, следуя А.И.Степанцу ( Равномерный прибли -жения тригонометрическими полиномами. - Киев: Наук, думка, 1981. - 339 е.), называем задачей Колмогорова - Никольского и если в явном вида найдена такая функция <р(/1)'1р(п.,Я, 71п) , что при /г-»—

то будем говорить, что решена задача Колмогорова - Никольского ( в дальнейшем задача К-Н ) для класса функций Л? и для метода Ып (Л) .

Целью настоящей работы является получение асимптотических равенств для величин ; 1/п) ,.где Ср,- - классы непрерыв-

ных периодических функций, введенные А.И.Степанцом ( см., например, Классы периодических функций и приближение их элементов суммами Фурье. - Киев, 1983. - 57 с. - ( Препр./АН УССР. Ин-т математики; 83.10), Ип(Г1Х,А) - тригонометрические полиномы , порождаемые некоторыми специальными линейными методами, о которых будет сказано ниже, и нахождение с помощью этих равенств решений задачи К-Н на классах С а,*. для сумм Фавара при произвольных натуральных г

■ Методика исследований. Основным методом исследования является изучение интегральных представлений уклонений функций из классов от линейных средних их рядов Фурье, получен-

ных А.И.Степанцом. При этом использована методика исследования указанных интегральных представлений, предложенная и развитая в работах В.Надя, С.А.Теляковского, Л.И.Степанца, В.Н.Рукасова , Д .II. Бужева.

. Новизна результатов и' их научная ценность. В настоящей работе рассмотрен следующий метод гриближения.

Определение 1. Будем говорить,.что последовательность функций %(х) принадлежит множеству ^ , если при всех п=У;г,... выполнены следующие условия:

1) все функции ^Сх) непрерывны при х*о , а функции <£(х) прерывны при ос у о ;

2) все функции не убывают при ос* о ;

3) <В1(х)>о при любом X

Определение 2. Будем говорить, что последовательность нкциЯ £(х) принадлежит множеству Н , если при всех полнены следующие условия:

1) все Функции непрерывны вместе с производили второ-порядка при х&о ;

2) \ X е [0;1] , где константы ч Кг зависят от п ;

3С.,„ФО,

Через Ц** будем обозначать любой линейный метоп, эадавае-й бесконечной треугольной матрицей Л '{А™} , элементы которой овлетворяют условию Л'^-Л^ (%) , где

•лп (Х)=1- — £(х)

Методами вица V*' являются некоторые известные методы : гмунда, Рогозгнекого, Стеклова, <1аварл и др.

В настоящей работе получены асимптотические равенства для личин , которые в ряде важных случаев поставляют

пение задачи К-Н. В качестве следствий из равенств ллл мето-в Ун ' получены асимптотические равенства для методов Фава-при произвольных натуральных к . Эти равенства являются выми.

Объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух ав, списка цитированной литературы, насчитывающего 58 названий, занимает 132 страницы машинописного текста.

Содержание работы

Во введении приводится краткий обзор результатов по теме йоты, определяются классы , метолы приближения Ы*' , речисляютсл основные результаты, полученные п диссертации.

Будем пользоваться следующими определениями и обоячаче -

нияни, которые введены А.И.Степанцом ( см., например, Классиф! кация и приближение периодических функций. - Киев: Наук, думкг 1987. - 2В6 е.).

Пусть /е L и

S[f]-jh +TlciKCCAKX*-&K-iin кх — (4)

её ряд 'фурье.

Пусть, далее, <р(к) - произвольная фиксированная функция натурального аргумента и уз - фиксированное действительное число. Предположим, что ряд

Г! ¿00 * < ™г(«х * ^

является рядом Фурье некоторой суммируемой функции. Эту функц! обозначим через , а множество функций ~f(x) , удовлвтве

рящих таким условиям будем обозначать через С/ • Если fe i и,кроме того, емшр\-Р/(£)\ , то будем говорить, что

Будем полагать, что функция р(к) , входящая в определе ние класса , такова, что функция yfvj, непрерывна, bi

пукла вниз и удовлетворяет условию $my(u)™o • Обозначим мн< жество таких функций через № . 1г"*

Множество весьма неоднородно по скорости убывания £

элементов к нулю при стремлении аргумента к бесконечности. С i мощью понятия модуля полураспада ju(<f!,t)-, q(t)=if)~'[i-P(t разобьём множество 7/2 на подмножества • ^ mi

жеству М?с отнесём все функции foe 2ft , для которых найдут« положительные числа и 7Сг такие, что o<X,iX~t< < о- ; к множеству - функции ре 7П , для которых величинаограничена сверху и не ограничена снизу никак! положительным числом; к множеству - все функции у>с 7ft

для которых /¿(<р,{) при { монотонно возрастает и на orpai

чена сверху. Будем полагать Ш'0 . Через F0 будем об( начать множество функций pcflt ,.для которых выполнено услсда

г х

В первой главе диссертации изучается асимптотическое поведение при п-- величин

В § 1.1 сформулированы некоторые определения и результаты, которые используются в дальнейшем.

ПустьА'{Л™)~ бесконечная треугольная матрица чисел. Функции {(х), имеющей ряд Фурье (4)3поставим в соответствие последсъ-вательность полиномов

24 (М) = т° сткх+6к*л кх).

Положим, чтоЯп(х) - последовательность непрерывных на промежутке ГО;/7 функций, для которых . Пусть функция

ТпЮ* / (5)

на промежутке/о;определена произвольно, лишь бы она была непрерывной при всех Хьо .

В § 1.1 получено следующее утверждение. Лемма б. Пусть (ре. £ , функция задана соотношением

(5) , абсолютно непрерывна на отрезке £0;/7 и интегралы

Мп^ЬШ.[¿с

гУ х м ш , где * РС*х) *

сходятся. Тогда,"если функцию в тех точках, где она не существует, можно доопределить так, что сходятся интегралы

< то при«-»— имеет место равенство

О в

Л . »

*э о »

где I Тп(х)Ип-%| < \9(*)Лп(1-х)\

Утверждение этой леммы при р(к)-=К 1 иуз = г было получено Б.Надем, при произвольном действительном ¿в - С.А.Теляковским, при ос - В.И.Рукасовым.,

В § 1.2 исследуется поведение прия-»~ величин &(0Я1^;апу при | ¿¡=4{~. В частности, получено следующее утверждение.

Теорема 1.1. Пусть <Р,£еН и при всехп*/,г,...

функции (х) « £(х)-£(о) не изменяют знак на промежутке Со,1], Цусть, кроме того, функции дп(х)=р(х)<яг(х) не убывают и выпуклы вверх или вниз. Тогда при л-»— имеет место равенство

/ к*,

причём, ЩЦ<.Л{<р(пУ—Щ(РС)-у.

В § 1.3 доказано следующее утверждение. Теорема 1.3. Цусть уеЦ, <рае(Р,%еН и при всех функции д^(х)=р(х)%(х) при монотонны и выпуклы вверх или

вниз. Тогда при «-»— имеет место равенство

) - —у——¿т - 0(■]—***>*

* а

+ + (б)

В § 1.4 изучается асимптотическое поведение величины

в случае, когда . Здесь указаны условия,

при которых равенство (б) доставляет решение задачи К-Н для классов Са, при

В § 1.5 найдены условия,при которых равенство (6) доставляет решение задачи К-Н для классов при и указаны . некоторые примеры удовлетворяющих этим условиям функций*«и В 5 1.6 указаны случаи, когда равенство (6) доставляет решение задачи К-Н для классов при р.

В § 1.7 получены асимптотические равенства для величин

некоторых случаях, когда равенство (6) не доставляет решения задачи К-Н. Получено следущее утверждение.

Теорема 1.7. Пусть р е £, %е Ф, £еН и при всех функции £(х) при не убывают и выпуклы вверх или вниз. Тогда при справедливо равенство

ггс ¡ип-т+овР-*

где функции г„сс) заданы следующими соотношениями

((>»Х *-о), Тп(А- +0) *о, ,

' (гпх-пгх*)тп(к+о), г^к+о) =о\ о<.х<%,

1 9к(п) " ' * (7)

рСпх), у<х, К '' п

Если^з ,\, и, кроме того, выполнены условия

при

{ 1 , \ /о/" ччп)<р:(п)п\

(<р„сп)) ——<**) = 0(т - 7, , или при р е

/ А

то справедливо соотношение

Л 1

В § 1.8 получены равенства доставляющие решение задачи 1С-Н для классов и методов V*" при выполнении условия

(8)

Во второй главе изучается поведение при /г-»— величин

$(С/-;2/п) , когда 21 „ (Л) - некоторые известные линейные методы.

В $ 2.1 изучаются вопросы приближения классов суммами

МЛ*).

В 1937 Г. Х.Фавар В работе ( Sur les meilleurs procédés d'approximation de certaines classes de fonctions par des poly-nornes trigonometriques // Bull. Sei. Math. - 1937. - ¿J. -ï. 209-224, 243-256. ) ввел линейный метод суммирования рядов Фурье, который может быть задан при помощи бесконечной треугольной матрицы , элементы которой определяются следущи -ми соотношениями

-к)* * (1)п , г-2т,

Одним из важнейших свойств этого метода при фиксированном нату -ральном г является то, что он реализует верхнюю грань наилуч -ших приближений тригонометрическими полиномами Та порядка л-/ на классах И/? .При 2-/ 'ТЯ^г^) метод Фавара наи-

более хорошо изучен. Н.П.Корнейчук нашёл соотношение для величины о?]. С.Б.Стечкин получил соотношение для величины /¿.х) в случаях, когда А ^ А.И.Степанец нашёл соотношения для уклонений сумм Фавара от функций из классов , указал точные оценки уклонений сумм Фавара на классах У* и изучил тонкие свойства ядра Фавара.

В 5 2.1 показано, что суммы Фавара <#,,»при любых натуральных г являются суммами вида . В качестве следст -вий из теорем первой главы получены равенства,доставляющие решение задачи К-Н для классов и методов Фавара. В частности, получены следующие утверждения.

Теорема 2.4. Пусть .функция

д/$=р(г)х **' монотонна и выпукла вверх или вниз.

Тогда при я-""- справедливо равенство

= /^«г, .

Теорема 2.5. Пусть функция <ре7Лс такова, что при неко-. торой положительной константе УС , при всех аг^/ будет выполнено соотношение р'(х)хг* Жр(х) . Кроме того, пусть выполнено условие (Я) , функция **2}-/у )>=/,2,~. не возрастает и выпукла вниз, а функция </>0:)х"'> не убывает и выпукла вверх или вниз.

Тогда при п->— имеет место равенство

2 Ъ п.

Теорема 2.8. Пусть г=г), функция дсо^-ур)**

не убывает и выпукла вверх.

Тогда при л-»»» имеет место равенство

Если выполнено условие

п.

У»£с;г !~'ах (Х</цп) 1

» то справедлива оценка

Теорема 2.9. Пусть ре7Ке, функция даф^роох*-

монотонна и выпукла вверх или вниз.

Тогда при справедливо равенство

В § 2.2 показано, что методы Зигмунда, Рогозинского, Стек-лова являются методами вида и что в качестве следствий из теорем первой главы могут быть получены равенства,доставляющие решение задачи К-Н для классов и этих методов. Ранее эти

равенства были получены в работах Д.Н.Бушева.И.Р.Ковальчука.

В заключении получены условия,при которых метод, введённый В.В.Рогозинским в работе ( Ряды Фурье. - М.: Физматгиз, 1959. -156 с.) на с. 122, является методом вида II*'* '

■ Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Новиков O.A. Приближение классов непрерывных периодических функций сушами Фавара // Исследования по теории приближения функций. - Киев: Ин-т математики АН Украины, 1991. -С. 45-56.

2. Новиков O.A. Приближение классов непрерывных периодических функций суммами Фавара. - Киев, 1991. - 35 с. - (Препр./ АН У крал ш. Ин-т математики;. 91.21).

3. Новиков O.A. Приближение классов непрерывных периодических функций линейными методами. - Киев, 1991. - 38 с. -(Препр./ АН Украины. Ин-т математики; 91.50).

Подл.в печ. II.12.91 . Формат 60x84/16. Бумага тип. Офс. печать. Усл.печ.л. о,7 • кр.-отт. .0,7. ■ Уч.-изд.л. о,6. Тираж 100 экз. Зак- . Бесплатно.

Подготовлено и отпечатано в Институте математики АН Украины. 252601 Киев 4, ГСП, ул.Репина, 3