Приближение усеченных степеней и классов функций и алгебраическими многочленами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ прикладно! математики та механіки

^ НІТ1ЄМА П’єр Клавіс

СЕН ^

УДК 517.5

Наближення ірпаииї степенів та класів функцій алгебраїчними многочленами

01.01.01- математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня' кандидата фізико-математичних наук

Донецьк-1998

Дисертацією е рукопис

Роботу виконано * Дніпропетровському державному університеті Міністерства освіти України '

Науковий керівник - докг.ор фізико-математичних наук, професор

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Тригуб Роальд Михайлович,

Донецький державший університет, завідувач кафедри математичного аналізу ' і теорії фукиій

кандидат фізико-математичних .наук, ст. науковий співробітник

Кузнецова Ольга Іванівна

ст. науковий співробітник відділу теоріі функій

Провідна установа: Інститут математики НАН України, М. Київ, відділ ' з теорії наближень

ади ДИ. 193.01 Інституту прикладної математики та механіки НАН України за адресою: 340114, Д онецьк, вул. Рсзи Люксембург, 74.

З дисертацією кожи ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики/ та механіки НАН України и адресою: 340114, Донецьк, вул. Рази Люксембург, 74.

Моторний Віталій Павлович, Дніпропетровський державний університет, завідувач кафедри теорії функцій

ШММНАНУ

1998 року о годині на

Вчений секретар '

спешалізоаанноі вченої Рада

Марковський АД.

з

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність тем». Нехай V/ - деякий клас функцій нормованого простору X, Хп -п -мірний підпростір простору X. Одна з найважливіших та цікавіших задач теорії апроксимації складається а оцінки ( якщо точно її обчислити не уявляється можливим ) величини

Еп^)х = п»р іпГ І! / - РП1ІХ (1)

/ЄШ РПЄХП

відомої як найкраще наближення класу \У елементами підпростору Еп . У випадку наближення класів періодичних функцій тригонометричними поліномами порядку и у просторі перші результати, які пов’язані з

оцінкою порядку величин (І), отримані у роботах А.Лебега та Д. Джексона.

Нехай $ р , г - будь-яке позитивне число, е клас 2я - періодичних функций / , заданих у вигляді

/(х) = JDr(x-i)4(t) dt, -я

де

Ecos( kt-ír )

—Р—■

k=l

ШЩ* та Ф(0 У середньому дорівнює нулю.

• Через -будемо позначати найкраще наближення

тригонометричними поліномами степеня не вище п-І функції /(х)

у просторі £ц, а через Еп<Ч>Я , відповідно з рівністю (і), • найкраще наближенії« тригонометричними поліномами. степеня не вище п-1 класу просторі Ц. . .

Приведемо розв'язок задачі про найкраще наближення, класів

тригонометричними поліномами у просторі Ьр , при р = 1 та р = ю.

Мас місце рівність

^р>р= "г - Р = І или 'р = ®, (2)

де для цілих г

«Т41 (-Нт<г+|)

К, = - у —1—1----------ггг -константи Фавара,

^ (2го + і/ *

_ т=0

а для дробових г

4 5т~2 ® ,

т~0

. со •

4 \ (2т+І>уг-у >

ІЦ. = 3 / -----------ГП-----|,якщог>І, (4)

/ ' <2ш+І)

т-0

де у, є[0,л) е розв’язок рівняння

У випадку р = со и г =1,2, . . . це перший результат у розв’язку задачі про точне значенні] найкращого наближення класів функцій тригонометричними поліномами , він належить Ж Фавару , Н . І . Ахіезеру та М . Г . Крейиу. У випадку р = 1 та г =1,2, . . . рівність (2) отримана С.М.Нікольським , а для дробових г>0 рівність (2) доведене В.К.Дзяднком та Сунь Юн-шеном , Було установлено , що розв’язох задачі про найкраще

наближення класів тригонометричними поліномами у просторі Ьр , при р=І та р = со , зводиться до знаходження найкращого наближення тригонометричними поліномами у просторі Ь| ядра Ог(1). При цьому

Кг -

~ = ^( Df)|. п

Позначимо через клас функцій , визначених на відрізку (-1,1),

таких,

що (г - І)-похідна абсолютно неперервна, a |/|r|(.v))S І майже скрізь, якщо р = од , и ||/Г^||р <, І , якщо р < со . Виявляється, що задача про найкраще наближення многочленами класу \V^ (г- натуральне) у

просторі Lj, також редукується до задачі про визначення поведінки

найкращих наближень алгебраїчними многочленами ядер , що

г 1 г -І

визначають клас Wp .тобто зрізаних степенів (х - а)+ у просторі

Lj . Так С.М.Нікольським була одержана рівність

En(Wi),=SUP ~ Еп( (5)

а Є 1-І, І) 17

та для натуральних г доведено таке твердження:

. Для будь-якого »?б(0,1> рівномірно відносно а е[-7л) виконується асимптотична рівність

І г -І КГ(Л/^ |пп

»1=-^— + 0(-Тй) <«)

' 7 п п

де Кг -константи Фавара.

Із співвідношень (5) и (6) , С.М. Нікольський одержав асимптотично точну оцінку для найкращих Ц - наближень класів , г-

натуральне , алгебраїчними многочленам».

г Кг • г ЕП(\У,},= —+ о(І/п),г=1,2,... (7)

п .

де К_г • Фааара * Використовуючи многочлени найкращого

наближення зрізаних степенів , С.М. Нікольський побудував

лінійний метод наближення класів , г =1,2,..., у просторі Ц ,

такий, що реалізує найкраще наблнжёкня цих класів . Відзначимо , що цей метод наближення змогли застосувати і для дробових г у роботах 11-3).

Окрім цього , величина найкращого наближення зрізаних степенів дозволяє знайти деякі властивості функцій з класу \УГН^о - класу

фуихцій / (х) Є "'¿/д , г -а похідна яхих ортогональна многочленам степеню ие вище п . Наприклад , для будь-якої точки о є (-1,1) и п£г-І

(г- натуральне) иас місце рівність:

sup 7(а) = Еп(щ (х - a)V‘), • («)

Тому виникла задача про уточнювання рівності (6). Ця задача була розв’язана у роботах О. В . Моторної , у яких для будь-якого натурального - числа г і а є(-1,1) була встановлена- асимптотична рівність:

Т мм '

* г +0^ . Г+І ^

(9)

де стала, яка визначає залишковий член, залежить лише від г.

Рівності (8-9) дозволили знайти асимптотично точні оцінки найкращих Ц - наближень " класів ЛУ* , І < р < оо , Вр , 1 < р < «>,

\У ГНа , 0 < а < 1 . Усюди у цих випадках г с натуральним числом.

Як виходить із приведених результатів , залишились нерозв’язанними задача про найкраще Ц - наближення алгебраїчними

многочленами класів - функцій, які с інтегралами дробового порядку , а також задача

про найкраще Ц - наближення алгебраїчними многочленами зрізаних

степенів з дробовим показником . Належить відзначити , що у періодичному випадку розв’язок аналогічних задач було пов’язано з подоланням значних труднощів .

Ось цим актуальним проблемам і присвячена ця дисертація ,

Мета роботи: Одержати асимптотично точну оцінку найкращих Ц -наближень алгебраїчними многочленами зрізаних степенів (х - адля дробних г Є (0,2) і асимтотнчно точну оцінку

найкращих Ц - наближень алгебраїчними многочленами класів

для цих же г . ,

Окрім того , уточнити залишковий член в асимптотичній різності (7) для цілих г.

Методи дослідження ■ У роботі використані сучасні методи теорії функцій , функціонального аналізу та теорії наближень , в окремості методи досліджування екстремальних задач теорії наближень , які були розроблені у роботах С. М . Нікольського , Н . П . Корнейчука , та В . П. Моторного.

ІҐовизна рстультатіп та Гх наукова »¡нкість. Основні ре-іугііІгЬМ дМьірІаШ є ноа-.імн. їх склад полягає в подальшо^:

- бдерікаїй їочна асимптотика величини найкращого Ц -наближення алгебраїчними многочленами зрізаних степенів

—^ (х - а)1,. * для дробових г є (0,2) та будь-яких а є (-1.1), те для г > 2 при умові , що а > 0;

- одержан« точна асимптотика величини найкращого Ц -наближення

алгебраїчними многочленами класів Wj для дробових г є (0,2); ’

- одержано уточнення залишкового члена в теоремі-С.М.Нікольського про асимптотичну поведінку величини

найкращого Ц - наближення алгебраїчними многочленами класів Wj для натуральних г;

- указано лінійний метод L| - наближення алгебраїчними

многочленами класів Wj , що здійСнюс найкраще наближення них класів для дробових г є (0,2).

Апробація роботи. Результати роботи доповідалися на “ Міжнародній конференції з теорії апроксимації “ (м. Калуга , Росія ,

1996р.), на конференції з теорії наближень у м. Ровно (Україна, 1996 р. ) на Другій школі “ Ряди ФурЧ ; Теорія та застосування “ м. Кам’янсиь-Подільський ( Україна , 1997 р. ), на Міжиородній конференції «Теорія апроксимацій та гармонійний аналіз», ( м. Тула. Росія, 1998 p.), на науковому семінарі відділу теорії функцій інституту прикладної

математики та механіки НАН України , керівник - доктор фізико-математичннх наук Рязанов В .1., а також на наукових семінарах

з теорії наближень Донецького державного університету ; керівник -доктор фізико-математичних наук, професор Тригуб P.M., та Дніпропетровського державного університету, керівники: проф.

Моторний В.П. та проф. Бабенко В.Ф. -

ПублікшЛ, Головні результати дисертації опубліковані у роботах [1-3]. Охріа иоьго , опубліковані тези докладів , поданих н5

■ “ Міжнародну конференцію по теорії наближень “ум. Калузі, на Другу школу “Ряди Фур’е: Теорія та застосування “ у м. Кам’янець-Подільський та Міжнародну конференцію «Теорія епроксимацій та гармонійний аналіз» у м. Тула, Росія, 1998 р.

Сліуктура та об’єм роботи. Дисертація обсягом 112 сторінок машинописного тексту. Складається із вступу , двух глав та списку використаних джерел літератури, який містить 46 найменувань.

Зміст роботи. У дисертації розглядається задача про асимптотичну поведінху найкращих Ь| - наближень алгебраїчними

Г г-І

многочленами зрізаних степенів (х - а)+ дня дробових г є (0,2) та

г *

класів V/) для цих же г, а також зрізаних степенів для дробових г>

І г -І '

2 і а >0. Зрізаний степінь р^(х-а)+ визначається наступним чином

ЙКЩ° х>а ‘ Г(г)(Х_а)* І=0, Я1СЩ0 хіа-

де Г(г) - гамма-функція Ейлера ( якщо г-ціле , то Г(г) = (г -І)! ). Далі будемо припускати , що а, х та г > 0 . Остання умова

забезпечує інтегрування зрізаного степеню.

Для функції /(х) , що інтегрована на відрізку [-1,1], позначемо через Еп( /)ц найкраще наближення алгебраїчними многочленами степеню

г

не вище п у просторі . Нехай Wp - клас функцій поданих у вигляді:

/(х) = щ /(х-0+‘* Ф(0 <к, хеІ-1,1], (10)

тобто /(х) -є інтеграл дробного порядку г від функції ф(і), де ||ф(і)|!р і І, якщо 1 і р й «о та 51 м ,с., якщо р = °о і нехай

ЕпЧ)чуир^Еп(/)ч • •

Розв’язок задачи про асимптотично точне значення найкращих наближень класів функцій \Ур алгебраїчними

многочленами у багатьох відомих нам випадках пов'язано з вивченням асимптотичної поведінки величин

Еп<?і)<*-а>гЛ-

У цій роботі ми досліджуєм асимптотичну поведінку найкращих Ц - наближень алгебраїчними многочленами зрізаних степені» для дробових г. Відзначимо, що у періодичному випадку гадяча про

найкраще Ц - наближення ядер Df (t) тригонометричними поліномами

для дробових г розв'язана В . К . Дзядиком ja Сунь Юн-шеием . У першій главі дисертації розглядається випадок 0 < г <1 , а у другій главі випадок І < т <2 і випадок г > 2 гфи умові , що о є(0,1). Основні результати роботи складаються у наступному : -

Теорема 1.Для будь-якого ге(0,1) має місце асимптотична рівність

■ ' ■ " Г рі—■ г~ І

І г-і І <Л/'-а2>

Еп(Щ(*’*К ), ^------+ 0(тіп( 2г’~^ ї+ї )>'

'' п п п

01)

де константа визначається рівністю (3) , а константа, шо визначає залишковий член в (II), не залежить від г та а.

Ідея доведення теореми І полягає у тому , щоб вихористатн відому величину найкращого наближення тригонометричними

поліномами у просторі L¡ ядер Dr (t). Для цього будемо розглядати різницю

áj.(t) - (cosí -с os©)* *eínt - [Df(0 -1) * B>r(8 +1)) sinr0,

де cose «а і похажемо , шо

.. . , «рґ

En( (x • a)+ *)| = Èii+|< r^j(cost -cosÔ^'sint) , S

S ( Дг ), +^(|Dr(O-t)-Dr(0 + t) îsînre),

Основна трудність полягає y доведенні рівності (12) та установленні того, що оцінку (ІЗ) не можливо поліпшити.

Із тереми 1 випливає, що величина

-ISaSl Еч(Г(г)<Х'а>+'1)і

асимптотичио поводить себе так саме, як найкраще наближення

триго-нометричними поліномами у просторі Lj ядер Dr (t) для тих

самих г. •

Зауважимо тахож , що оцінка (І І) симетрична відносно . параметра а , в тій час , як величини

' Eh (^<х-а)ГД,

на відміну від цілих г , не симетричні відносно а . Для а<0 залишковий член в (И) не може бути краще 0(п ) ,в тій час, як.

• 2 дія а 2:1 -1/п очевидно, що

цп< ?£)<*?>+• гГ(г)(1 *а> •

* х

Щодо дослідження величин En (Wj)| відзначимо , що окрім асимптотичних рівностеЯ (7), що одержані для цілих г С.М. Нікольским, у роботах В. А. Кофанова та В . Ф. Бабенхо точне значення величин

En (Wj) подано для усіх r à 1 за допомогою досконалих сплайнів Sn г у вигляді

. . ^>1 =ilSn,rlt«.

де п £ [г] -1 ([г]-ціла частина числа т, а

Проте поведінка при я -»« величин |) вп г Ц для дробових г залишалась невідомою. Тому знаходження асимптотики величин Еп (Ш|) також розв’язує задачу про асимптотичну поведінку величин

Ц Зп г II • Крім того відзначено , що у роботах В . А . Кофанова та В. Ф. Бабенко шляпок

О < г < і , запропонованими там методами , дослідженню не піддавався. '

Теорема 2. Для будь-якого дробного г є (0,1) мас місце асимптотична рівність

де константа, що визначає , залишковий член у (14) , залежить від г.

V *

У роботі також встановлена інша форма залишкового члена

у (14) , незалежна від г.

Теорема Э. Для будь-якого дробного ге (0,1) мас місце

асимптотична рівність

(15)

, »

де константа , що визначає залишковий член в (І б), не залежить від

г. .

Теорема 4. Для будь-якого дробного /■ €(0,1) існує лінійний

. г

метод наближення , що реалізує найкраще наближення класу | .

У другій главі дисертації розглядається випадок г є (1,2) та випадок-г>2при умові , що а є(0,1]. Хоч утсор.мах першої та другої глав досліджуються одні і тіж задачі, однак методи доведення ідрізняються у випадках 0 < г <1 та г > І.

- О

ІІри доведенні існування лінійного метода наближення класів також довелось виділити (див . теорему 4) випадок 0 < г < І , тому ”

що у цьому випадку алгебраїчні многочлени найкращого Ц -

гм1

1 г -1

наближення зрізаних степенів ггт (х - а)+ , на базі яких будується

лінійний метод наближення клесів , апріорі не є неперервними функціями параметра а.

Теорема 5. Для будь-якого дробного г є (ІД) мас місце асимптотична рівність

■ Г п * 1

І г-1 Кг(Л/,-3‘2> (V-2) ,

Еп<по(Х-а)+ >І = ~^-------------+°< нТ- + ^>'

1 '. П П II

(16)

де константа Кг визначається рівністю (4) , а константа , що

визначає залишковий член о (16) , не залежить лише від т та а.

Теорема 6. Для будь-якого г > 2 при умові , що а є[0,1}, мвє місце асимптотична рівність

г-1

учМ , і.

>+ )| “ Г г+1 п2г

Еп( Г(г) ‘ °^+ 'І г

к' • п п .

(17)

. , і

де константа Ку , визначаться* рівніста» (4) , а коиствнта, що визначає залишковий член в (!7) , залежить лише від г.

Теорема 7. Для будь-якого дробного гє(І,2) має місце

асимптотична рівність '

Е„<^)| =~ + °(“н)> <,8>

• П п

де константа, що визначає залишковий член в (18) , не залежить від і У випадку цілих г ■ ' ■; '

' Еп<гІ0<*-а>ГЛ =ЕП(г«(х+а)ГЛ.

Тому із теореми 6 випливає справедливість ‘ асимптотичної рівності (IS) для усіх натуральних чисел г та уточнення залишкового члена в асимптотичній рівності (?) для натуральних г.

Для будь-якого дробного г є (1,2) має місце теорема аналогічна теоремі 4 , доведення якої простіше , тому що у_ цьому випадку зрізаний степінь є неперервною функцією. ‘

Теорема8. Для будь-якого дробного ге(1,2) існує лінійний

& г

метод наближення , який реалізує найкраще наближення класу \V(.

Користуючись нагодою, висловлюю щиру вдячність моему , керівнику проф . Моторному Віталію Павловичу за постановку задач , постійну підтримку та допомогу у праці.

Основні результати дисертації : .

(.Теореми 1,5,6, у яких доведені асимптотично точні рівності для найкращихL| -наближень алгебраїчними многочленами зрізаних степенів з дробним показником степеню

. 2, Теореми 2 та 7, у яких доведені асимптотично точні

рівності дня найкращихLі -наближень алгебраїчними многочленами

класів W j , г Є (0,2).

Основні результати дисертації опубліковані у роботах :

. ' - ■ <

1. Motornyi V.P. and Nitiema P.C. On the best L-approximation by polynomials of the functions which are fractional integrals of summable functions// East Jour. Appr.-l 996.-2, № 4. - P.409-425;

2. іінтиема П.К. О наияучшем L| -приближении алгебраическими многочленами усеченных степенейD УМЖ.-І998. -№4. С. 593-598.

3. Моторная О.В., Моторный В.П., Нитиема /Т.К. О наилучшем Ц -

приближении многочленами функций, являющихся дробными интегралами от суммируемых функций//Доіл. НАЙ Украины.-1998.-№2 .-С.48-51.

а -

а також у тезах конференцій :

4. Моторная О.В., Моторный В.П., Нитиема П.К. О наилучшем приближении

многочленами в среднем функций, являющихся дробными интегралами от суммируемых функинйУ/Intemational conference on approximation theory.-Katuga, June,l996.-P. 148-149.

5. Моторная O.B., Моторный В.П., Нитиема П.К. О наилучшем Ц -

приближении алгебраическими многочленами усеченных степеней н классов функций//Вторая школа "Ряди‘Фурье: Теория и применения".-Каменец-Подольский, июль, 1997.-С. 84-85.

Нитиема П.К. Наближення зрізаних степенів та клагіз функцій алгебраїчними многочленами .-рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізнхо-математнчних наук за спеціальністю 01.01.01-математичний аналіз, Інститут прикладної математики та механіки НАН України, ■ Донецьк, 1998 .

Вивчається асимптотична поведінка найкращих Ц . -

наближень алгебраїчними многочленами ядер (х - а)^, 1 ,0 < г < 2, та класів \У| . .

Одержані асимптотично. . точні оцінки найкращих Ц -

наближень алгебраїчними ' многочленами Зрізаних степенів та класів1^ .

Результати опубліковані у 3-х наукових працях.

Юпочові слова: найкраще наближення, функція, інтеграл, алгебраїчний многочлен, зрізана степінь, ядро, функція Бернуллі. '

Нитиема П.К. Приближение уссченннх степеней и классов функций и алгебраическими многочленами. - Рукопись / ,

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физижо-

математических наух по специальности 01.01.01 - математический анализ, Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 1998. ’

Изучается асимптотическое поведение наилучших Ц -приближений

г -I г

алгебраическими многочленами ядер (х - а)+ , 0 < г < 2, и классов W j .

Получены асимптотически точные оценки иаилучшнх Ц - приближений

алгебраическими многочленами усеченных степеней и классов Wj.

Результаты опубликованы в З х научных работах.

Ключевые слова: наилучшее приближение, функция, интеграл, алгебраический многочлен, усеченна* степень, ядро, функция Бернулли.

Nitiema Р.С. The approximation of flic truncated power function and of classes of Auctions by algebraic polynomials. - Manuscript.

Thesis for candidate degree in Physics and Mathematics Speciality 01.01.01-matlxematical analysis. Institute of Applied Mathematics and Mechanics of Nat. Ac.

Sci. of Ukraine. Donetsk. 1998.

The asymptotic behavior of the best approximation of the kernel? (x - a)' * , 0 < r <2, and the classes by algebraic polynomials are studied.

The asymptotically exact estimation of the best Ц • approximation of the

truncated power function and of classes cf functions and the classes W| by

algebraic polynomials are obtained.

. The results are contained in 3 published papers.

Key words: best approximation, function, integral, algebraic polynomial, усеченная степень, kernel, Bemully’s function.

Нітієма П’єр Клавіс Наближення зрізаних стєпеніп та класів функцій алгебраТчкпмн много

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізихо-математнчннх наук

Підписано до друку ІІ.06.93. Ум. друк. арк. І. Тираж 100 прим. Замовлеї чя 1405. ''

Друкарня ДДУ, Казакова, 4='