Приложение аналогов теоремы Блихфельдта и доту метода к исследованию неоднородных задач геометрии чисел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

министерство высшего и среднего специального образования республики узбекистан (ташкентский государственный университет

»4

;; 7 /---" ,., .

1 I • На правах рукописи

УДК 511.9 НАРЗУЛЛАЕВ Хайрулла Нарзуллаевич

ПРИНОШЕНИЕ АНАЛОГОВ ТЕОРЕМЫ БЛИХФЕЛЬДТА

й ДОТУ МЕТОДА К ИООЛЕДОВЛНИЮ НЕОДНОРОДНЫХ ПМи> ГЕОМЕТРИЙ ЧИСЕЛ

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

САМАРКАНД—1994

Работа выполнена в Самаркандском государственном университете имени А. Навоя

Официальные оппоненты:

Член-корреспондент Академии Наук Республики Узбекистан, доктор физико-математических наук, профессор А. Ф. ЛАВРИК,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры топологии и геометрии Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, Ю. Г1. СОЛОВЬЕВ,

ведущий научный сотрудник Петербургского отделения Математического института Российской Академии Наук, доктор физико-математических наук, профессор А. А. СУСЛИН.

Ведущая организация — Институт Математики АН Республики Белорусь.

Защита диссертации состоится «ЪО» ЫЦ?^ 1994 г. в « У¿^ » часов на заседании специализированного совета Д 067.02.21 при Ташкентском государственном университете по адресу: 700095, — г. Ташкент 95, • математический факультет, ауд. Г—303.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ташкентского государственного университета (Вуз-городок).

Автореферат разослан «¿2<^Г>>

'1994 г.

Ученый секретарь

специализированного совета г\ доктор физико-математических наук^—СП*. УМ АРОВ.

ОЕДАЯ ОРАКТЕРИСТЗХ РАБОТЫ

Актуальность тем.-. Диссертация представляет систеьаткчзскоз доследование в областя геометрия чисел, йазирутаееся на теорема

Минковского Г Г5] о выпуклом теле и общей адзе гвомвтряа чаеел -

- * - Г

яршдшяе вляягелъдта [ ¿ л .

Основными проблемами здесь язляэтся гипотеза Минковского о

яроизведеназ ** линейных, неоднорсдянх форм от П. пзременЕКХ з

проблемы приближений вещественных чк зл ряцкош-яьяъми числами.

з р е и а Минковского о в ч з у к л о ы тал

Если точечное множество (х У1 -мерного евклидова дросгранства

сззшетрлчко относительно начала координат /т.е. вместе с течкой£

оно содержат а точку -2 /^выпукло /т.е. вместе с точка;..л з

содзитат весь отрезок / и гкеет объем

У > 2."" , то это шозгаство содержат салув точку отдичнус от

зачала коорданат. . _д

.7 г о р е м а Б л в х ф е л ь д г а... Пусть /¡. рехэтка гзл

л - точечное кгаг.астго объема V (С-) я,, пусть, у (£г)>с£й А •

Гсгда множество (г содерзсит дару различных точек я ^г , раз-

гость кстсрнх Zi~ Z¿ принадлежи решетке А

Гипотеза М инков с г о г с- с прокзведензи И

линейных неоднородных форм ог И. переменных.- Дяя любой репе-чсяЛ

я вектора =6 из "" шоаество / + сС /сдвинутая на вектор о^.

решетка/ содержи? точку С^,.--, такую, что

Сформулированные ¿ундакекталъные предложения геометрии чисел получали многочисленные развития'в работах Н.Г.Чзботареза [з*] , Б.Н.Делсне,. Л.1«орделла, Г.Дэзекпорта, З.Бсмбьери, Б.Ф.Скубенко, П.ГруСара, Р.Ремаяа, Е.Берча а- Г.Сушшертон-Дайера з др.

^ Н £еоте-£г1.е ап ZaLllien~leu¿'uгzfí&3&

А пзиГ Рппс:р£е. иг

о! киткг< иШк ыг.е / г<кп%. мшг

Л1а4к.оос., 15(1314). 22?-£25:

Чеботарев Н.Г. Яокззатзльйтвс тзорегкн йгясвсяогог а нееднсрси-ззд: .йяне&ах. Торгах- Сг&ьдмж. 1°4&г

г-/*-*

В настоящее время геометрия чисел представляет coöofi большой раздел математической гсорт /Дк.Касселс с собственными оригинальными задача»® г методами их реше^жк.,

Сель работы.

. 1. Дрк novосе новых приемов в форке аналогов теоремы Блшсфельдть провести исследования по неоднородные лроЗлеьгм,' в частности, по гипотезе ^.янковского и совместный лрволЕхенияы вещественных чисел региональным! числами.

2. Разработка г применения 20Т7-метода в проблеме, Минховсксго о срокаЕедекгЕ линейных неоднородных форм от И. переменных.

.Бгтчная ковюн-. Основже результат*: главы I /теоремы "2—УЩ/ к все результата глава П /теоремы Х-Д1/ является новыми.

1у-тодие£ последованк£. Используется анелогв теорем Ьяшсфелздк 2 Менкоеского, усоеераенстьоееннлй метод Чеботарева и дсту-üstqs.

^с-тчзп^ческа." е практическая значимость. Работа косит теоретический х^рс.г.тер, ее результаты представляв! новую нна-срм£шис г гео-кетрик чисел е могут быть использованы при дальнейших исследованиях ¡невского класса как однородные, так с неоднородных задач геометрии чисел.

Апро'аааия. Результаты диссертации докладывались на семинарах по Теории чисел: в HOW. АН СССР /1981,1987,1991/. в МГУ /1983/, в ТашГТ /1993/, е такхе

- Всесоюзном симпозиуме ло теории чисел, Алма-Ата, 1569 ;

- Все союзной конференции до те ори* чисел, Самарканд, 1272 ;

- Всесоюзной школе по теории чисел, ^шанбе, 1977 ;

- Всесоюзной конференции по трансцендентным функция»: £ приложс-нияк, Москва, 1933 ;

- всесоюзной конференции по теории чисел к ее првлозенинк, Тйилиси, . 1935 ;

- Республиканской научно-теоретической конференции по теории чисел ii ее приложения»:, Ташкент, 359? ;

- Республиканских конференциях математиков Узбекистана, Ташкент, 1э70; Зргегч, IS74; Самарканд, ЗЭ77.

Касселс Дь. Введение в геометрию чисел. ,V.. (

£«)' Lelchz'ke'tlceT С.&_&еогг.е4.ги с4 numÜezs.Amsietdm-' bneton, iS65yV-.m,s^°P-

Пу^гнкги.'гт. Ло та?..« ддссзртастя опуйдаяовлно окслз 50 работ. Ссиозкне результата дгссертасяи содержатся а 21 расстах, спзсогс яоторах приводятся з кокаэ автореферата.

Структура л об-ьвм тд^отч. Диссертация состоит аз введения, двух глаз и баблкогра^и. Во знедеали зрягедецы кратная- лсгор/_я вопроса и обзор ззеестсл: .ре-удьтатсз. Ео вгеданзи такгз азлагается содеряанге работы по гладам я дрюзодягся оснознк& результата. Егблисгра^йя сс^ер^кт 50 н&ткокозакий работ сгь~-;сг2=:1нкх з зарубежных автороз. Ос'шзй объем работа - 126 огранял мьдзнспасного текста..

се£с? ссларзаний ?а501!г А • Д Т"

''нсжестзо 11. ' м будем называть рештхс-2 объема.

Через Я" I А) будем обозначать зэдрн! набор ггредстазителей гз у-1яссог: пкляэстг л / Д /с кат^сго па одному/ з казягагь ¿унда-кентали«тсг рй:и-хз Д . &&акес?зо овладев* дзу-

'.'Л сзсйстгаи:

1. г,, г, €9(А) , Г0 .

2. Для лесой течкд ¿е.^"' зайдется течка 2'€ ^(Д } такая,

!а;етстзо ~Р{ А; магно заорать так, что оно оудат ;^Еадрируемо по йэрдаку. Например, иодуомрытай парггле леютед, затянутый на векторы уатр;гп-:сго базиса ,4 есть ^("Д}.

Езкх^ел^д? первьй сс.каэад, что оскорой злачятельной: часта геометрии чЕеел япляатсл его вышеуказанная тесрема. Из г тон тверезы зледует теорема ¿¡изкоьакого о вкпуклем теле.

В диссертанта при помощи теорем* Бляхфельдта гызэдатся аналог гтзсрс?.-ы Шаксвсксго, готоркй ^ермудлр^этея в видз следуадо? лгкмн.

Л е и м а. Пуста з $ задано сшгетрическое относительно :ачала координат, ип^ркмое шожестго бе объема \fiCt) > Д >0. [огда мкояестзо (у бг содержит по тайней л;ере, пару тсчех ■-тлггчкже от начала хсоодззнат/ лвбой тзесетха А дз с

¿йг Д - £ •

3 главе I при дсмоще. этой леьащ золучены как узз лзвзатЕке, гаь. г зог.кз результаты.

^.Эгкбьерк ¡,^"7 доказал, чте зря заддехаоем выбора к. аэ дсс- •

таточыо ооаагого ентеракла-/ п. --катаральное чи&во/ для произвольной увкмсдулярной решетки А к любой точку. = (с*,..., с,.-) ез найдется тгкгиг точке У из А , что величине.

г»

П ;

будет меньше наперед заданного чсгль.

Кроме зтсго, ¿.ЕшбьерЕ доказал, что:

a.'' rps люоо-.: l"'"'' > 9 >0 найдутся Ь' £ Л

' < h ■ —' ' ч i — к. — i / tasse, чт-с

' ■ J L

^ кается точп

itcrcpjfe ■ c-iл-ет ььакш-еяо. нерггенгте? . - * ^

I.'.Ipy.-tr : г"*- yjjчзал результат!.- L.bo^n.cpz.

ù.: дойЕзенс: «свг , тс

^ ь /. ' >- ¿L <• Г"

•! • -г такое .< г: • i _ с Г? , что -гудет залсднеьс н.--ра»енгт-ьо .11

j j - ¡г с - ! »9

' ' ;

• -Результаты, пйяу<геша;е гиссертйигом г гдьна- 7 cullî-îc. результатов H.Ppyoepi.. й,;екно, док^ь:» слсдуадк ут^-.еггл. I е с j с t I. 2ycXi,. .-'i. - прсвзй^длнгг

аетЕЕ, С = (ci,..., -О - EîjC-sïL.tbîC;:-. з€Кгор, t>- > С- . vj-• i /

дутся течка 3 с г целое чесло : é к ~

такие, что для точки Судет гшеднека с-гек:-;:.

fllfr+ilCilérë, <-=i i лргчеи, лрк некотором б1 < £0 будет H>v ,

bomÎiCtt E.MiozvazcC-ni tu} pzocioiL^ n

Unea'U zeûÙ non omo^nse. a»k. JUa-.n. .--;zu. ■

Jt / Ь P tfief P*«"^ Lnhorrojenn ^at

ioim.en. Jtc-ta

Т е о р а м а И. Если 0 < < 2 , то ¡найдутся такал точка У А г такое - л ^

~9~ I

что

•-1

Заметим, что неравенство

V-!

выполняется при меньшем з раза "разбеге" ¡1 , чем з теореме

Я.Грубера.

Зто улучпниа достигается за счет болез эффективного аидоль-зовангя теоремы Е&тсрельдта, которое состоит з том, что если З.Гру-1ер, З.Бокйьери, У.Слоя л другие авторы дрл реденнд задач /о дролз-зеденли линейных форм, задачи переноса л др./ дс:/елалт объекты ас-следовенгя з пространство разиернос.та больше, чем размерность с6ъ-знтоз, хо та рекаем задачи относительно отлх ебьентсв, з тс;; зе размерксстл, что л размерность осъзктсз.

Креме чего, указанная вьше лемма позволяет установить связь .¿еаду авезкэми з однородной а неоднородней задачах для заданной ре-зетдя Л г заданного множества Ьг .

Поданляюшее больпшкетво публикаций до геометрии чгсел досвя-деяы гипотезе \!кнковсг.сго о произведения линейных неоднородных форм от У1 переменные. .

На язика £унгамеятальной областл зтз гагготеза фсрмудгруется следующим осразсм: \ у

•Для каагзЗ укакодулярней ре-хеткя ¿1 ара произвольном векторе С = (с«.,.„, с„) яз аяохаство Л' П А " С не пусто, при /л,.. ^ , где

л'". £.....у,) i

3 настоящее время ота гипотеза доказана только для Л ~ 5. Для 'А. = 2 ее докапал сам ГЛ&иесзсхя.-*.. Сейчас известно мне г о деза-

■:.?.?ельс:в г:тг.отс-г;и для , - =21: ^ссс-зтеоотч ::•••■■

:~-гл2 С.«ачкзр'дгрхера ^ о"" ] , 47/. >>. - ее дехдзал г.рвуах. Сейчас оугестзуег /дреме доказательства г

t'? - 2. 6 — ¿j п — •

и

— <icj ¿и. -

п£ = У10 > Еи =

Пс = £ > -V. -

Ьпссь

модификаций/, только два доказательства для Ü = 3 . Одно Еринадле-set Б.Берчу и Г.-Суикнертон-йз£еру, второе диссертанту [.2] , [s] . Диш П — Ч проблему доказал и.Дайсон. и П.-^' пробле-

ма решена Б.Ф.Скуоеннс.

Б ооше»,- случае не рвы]: значительны!! результат был получен Б.Г. Чеботарев»: [csj . Ск показал, что . В дальнейшем этот

результат был улучшав '¿.¡¿орделлом, К.Д&Венпорток, Е.БомОьери, ПЛру-Сером е b.i-.Стуоекко.

Результата СЕедекн в таблицу; для

где И, =2 , i (Н.ГЛеОбтареЕ )

Я, =2, 3,,= i-nT-iJ* (Llßlciolein

Не = 2, = >Г ( .Ц'. Da Л?« со* i'j

Г:, = 2, ¿n = 2-ia-^Tjrt ( h.C.\\o*di)

- fLJ .MozMt)

{5-i-icT")(2i) (E.&otnii et■:)

z b(2£~i) ( P. ¿zu-iet')

-¿r_K- \t у

kfoi^n) 's. .В.й.Скубенко ].

>"<. = 2 - J и к — <£• w — .

И-» o«

Б диссертации получек новь-'4 результат, уточняшай-; последнюю оценку Б.с-.Скубенко. А именно, доказано, что при К £ ,

ч' » г _ £

г- тг . / '1 7

Г = С л1 ( /t; .

и О

Многие раооть" посвящены сценке сверху' константа в совместных приближениях ьэщественЕкг чисел региональными числами /Г.Ь'-инковский, Г.Ьлкхфельдт, П.МпллЕНДер, У.Спок к др./ и опенке снизу этой константе /Дк.Яасселс, Е.Ф.Скубекко и др./.

Обозначив символом //•// расстояние до олюьйс&го целого. Еустъ ,--о ei.« - произвольно взятые вешествСЕПНй числа. Сузес-твует бесконечно ккого натуральных чисел а таких, г:го будет выполнено неравенство:

>nax

ií 4 cí:,i¡ £{СЛ)~"- { '-}

Постоянная С* 2 неравенстве /1] уточнялась миогягяи авторами. Лучший результат /для П. >Z / в настоящее время дринадлеяа? . 7.Спсну, ¡-кете, он показал, что

И —сж>

Мк даем новый поглсд к -^оЕкег-иным ЕргСлгденлям, при яри псмссз одного яз вариантов гесреглх Еялхселъдта.

Т з о р е я i С. Пусть f(U) произвольная неотрицательная, ограниченная, иктегр1фуекгя по Ргжаяу вещественная ¿ункц;.',18 заданная на "зг.уенте [c,Ij . Ц/сть /1 Í - целее чзело л - лэОое число. удсЕлетвсряшео неравенству

lf*(U.)C¿U ■ и " , , гу

г г. г (иЛ - ---^-—-, О i i,

где точная дерхняя гракана берется по всем зесеетвендым значениям "Xt , 23 квадрата 0¿Mt£ í , С а иг ± . Тогда npz люскх вещественных ¿i, zresгея бесконечно иного натураль-

ных чисел <?, , для которых выполнено неравенство ( I) .

Не вдаваясь з подробности, можно сказать, что отыскание наилучшей константы при помощи функция сопряазно с бсльаптла трудностями из-за сложности знаменателя для 4ÍIL) , у которой V (U)>0-i именно, от также .рудлций мсано охлдать большего значения правой тасти шогмул:; ( з) . Тах, например, если полазить

рз f ^ £ i ,

• _ t С 5 * í и + t

® ^ - í 1 я ' "Г" ~ñT" • т0 с7Дем жеть следующее

[еравенство

.Jui4"""- ■ Л

I - п./ я-гиг-í - 7"

Отетда.при Я, т --♦со Е т~0(Гс) следует из Еестикк результат Г.Влихфедьдта:

сл(у) —е + ■• .

Далее б первой главе излагается доказательство тесреьсь; уп,:е-которой угвсрздается, что для любого натурального числа Я су-' • шествует п чисел u\¿,.. ■ ¿ таких, что неравенство (i) Су-

дет выполнено только при bu. не большей значения некоторой . функции от С0,2 .•■•, „.t . £д*сь f„ = Стыети.:, что ¿д.Кас-

селе [tx] доказал только существе Банке , но не'дал одекки

снизу.

В диссертации содержится доказательство существования чисел «¿i,«¿a...... »-г. , для которых эффективно вычисляется шейка снизу

для .

результат:;, полученные диссертантом по совхестнкк гркслЕЕе-нкяк у. по задачам теоремы переноса опубликованы в firj - [iSj .

Замети.-., что формула (2) , выведенная для куйь, справедлива для любого выпуклого и симметрического множества.

Ъс второй главе излагается новый метод для исследования проо-лекш Ыкнковсксго о произведении П. дккейпых неоднородных торк от, YL передйЕНых, назг.^емый ¿СТУ-методок. Этот' ¡ceros ошг предложен А.Ьакбетом [э* ] и диссертанток / [2] , [5]. , {?] , [l4¡ , (lej /_ Хотя этим методом удалось докгзать гипотезу ¡¿иккозского только для ¿ 3 , он. оказывается полезным .в вопросах:, касающихся изолированности решеток 1.1инксеского. Таким образок, удалось показать для широкого класса решеток Ь'лкковского, что ¿ни не Изолированы, а для решеток Ьжнковского, у которых существует треугольна! Са"ис, получена опенка снизу диаметра окрестности решеток 'лгкковскагс. ЮТУ-кетодом занимались А.Макбет, Н.Сафхари, Н.Ахмедов, H.Ipyoep, E.i-.Скубенко.

Брезде чек формулировать результаты, введен:, некоторые обозначения и дадим необходимые определения: /П

а/ Для любого вектора У из IR* через JV i. зу обозначит,:

Касселс Введение в теории диофантсвых при5лижеки1».ь'.,ISGI. JVúEcÉec¿x -£-¡4 'So.z-íozizaíioa el ma-í-zíecs urJ. йш^лК ' co^\ec.iU'¿&. ?гас. Gfesjow" ma-ik. ¿is. 5", íSÉÍ, f. bfi- Sb.

абсолютную величину произведения его косрджнат. Если А решетка из , а аС произвольный вектор аз , то через

обозначим величину п у <

а через МК(А) - вели** АЦЛ)* {¿Л + л),

сЬ/лС ¿вФСА)

где I (А / - ттолннй набор какнх-лабо представителей из классов

смежности /К /*Д

б/ Буквы , С , 1" , Т/ со штрихами идя индексами обозначают, соответственно, диагональную, ортогональную, зерхяе-трзугольнуз /седиш£пш,га на главкой дгагонали/ н унжодулярную целочисленные матрицы.

Ма^рщу Д будем называть Д0Т7-матридей, если сна представк-ма в виде произведения

в/ симеолом 1с(С) , где - матрша размерности ?х.3 ,

обозначим величину , „ .

гг(С) =тах\с1-11,

г/' Полное мнс&<готво ггятрнц (Д5} » для которых выполнено неравенство ^

будем называть ¡Ь -окрестностью матрицы А

д/ Пусть Д = - матрица размерности их<г , ¿п. -

ее столбцы. Через Г (г <,..обозначим определитель Грама:

з/ Символом будем обозначать

б"- ^ 5

• • •

а«.... ■ Л

Суммирование берется не веек »ешорам размерности "к" первых "к"

векторов, с фиксированной S^-ой строкой. __

ж/ Дяя любой .матрицы А ~ (z,,..., , где Z; ¿¿ = £,п) ее столбцы, символом Hih') обозначив матрицу

(Ы в!... в!

~ n n п Л л ^ / I А/

Отметим, что - '02 Оь, = Д при dSt Н - LX .

Теперь сформулируем полученные результаты.

Теореь-аХ. .Если А - решетка с базпеом Л "5D 0 Л ,

где Д - треугольная упжодуляркая матрица с диагональную: вдемен-

тами Et,-¿J,..., и ciei£j = oitiA = L .Тогда

\ к / >

• ■ V (Л\ * А

где ¿у: ..Л/ - неоднородный минимум решетки /i , т.е.

уеЛ jfi

Из этой тесрекк при Д =Т следует справедлюзость .'ипотеЕн ьйинхэвского.

I е о р е к a L Лэбая уникодулярная -катрипа размерности

два есть ДСТУ-катрика с условней

.oi^fHiOT))^!-^' [bZDTUj.

Теорема II. Любая штриха А третьего порядка яредста-вима в виде 5) QT 17 , причем сЫ ( Н( ОТ);^: С?.

Теорема ЗУ. Для любой реаетки Д размерности Я найдется матричный базис /с точностью до перестановки строх;/ вида

/ ott . А \ / ^ ----iitv

I о

а«.......a«-i с/л/

0 •'•••••u

I

с условиями: ¿¡^ 5 i<- = iJn)J ¡(¿¿¡¡£:dj.

Т е о р е к а Г. Пусть А - ушкодуляркая решетка с однородный-игашума : . Тогда существует ушжодулярная матрица f

матрицы Аи • а* » , такие, что

У Решетка 23 А будет иметь базис зада

причем

Л„ . ^ , 4 .л

23 А будет имет

Г -( К л«л

и и« А«;,

Постоянна!! К ■ зависит только от У1 , а I - ско.ть угодно у.ало.

2/ Шар радиуса 2. Тс содержит фукдилентальнуи область

решетки А . .

Теорема с разрешимости система, Пусть Д-(^.—.^ч) -уш-модулярная шаржа, "50 - ддагокальвая уяныодулярная матрица

с элементами ~ '(-- + 11 = <7и-)по диагонали, где УЛО.У. I1 £ 1, Тогда система -п

Г(Яг4)= 1 ГЧаг^,...,

разрешай относительно , ..... при

= 1+ ^

¡"(г,.....2„)=1 . , ^

если ^ ¿~Л[ г пкСИ'Х А))] .

Из этой теоремы следует • 1

Т е о р е м а 71. Если для матрицы А можно подобрать' матрицы Э а Ц" танке, что для матрицы 25Д'Ц"::^*,...,'О будет выполнено

я игйа^г^г -

то А есть ДОТУ-матрипа.

Теорема УЛ. Дибой матричный базис -ушл- :¿*дярной решетки размерности четыре, у которой однородней кпшжук достаточно кал, предстаЕпм в гиде §)0Т17 . . .. ,

Теорема!. Пусть А-ЭОЛ? и Ы.е£Н((7Т} ФО . Тогда существует £ > О такое, что любая катрииа С с ^ слов "ем

есть ДС1.>-катрядЕ. ,

Т е о р е к в П. Пусть ¿зтрнца л вдца ' -

А-/4/ "Л

где Дц £ I г г,. п.) - матрицы, располокенные на диагонали размерности П.; к не больше трех. Тогда А есть ДОТУ-катрида и достаточно малая ее окрестность есть ДОТУ-матрипа.

о р е I: 1 X. йзбая ¡латрина из окрестности {Т£| шеет вид:

, Зфн ^ - ХоопГг"''

Теорема 1Г. Луеть дана невырогдеппая -ма^ргца 6 порядка И, . Тогда существует -целочисленная ь-атрица 5 такая,-что матрица Ё> £> есть ДС1У-катрица, причем п\к~1)

Теорема ХП. У любой уникодулярной решетки А существует ей подобная укикодулярная решетка А такая, что иар радиуса

± X и. -2.

содержит фундаментальную область решетки А .

Очевидно, что рассматривая проблему Минковокого для заданной размеоЕостк, достаточно рассматривать только унимодулярные решетки:

А'-АгЛ .ЫА^Ы^АЫ. .

Ьсди для А -.ерно утверждение 1^ецкоескогс, тс решетку А принято называть решеткой менеобского, а дабсЁ ее иатркчный Оазис Д -матрпсеЁ миекоеского. Ясно, что если А - матрица Мпнковсксго, то

. и '¿Г1 А V" - матрица Минковского.

В диссертации доказано, что если , то п -

матрица Минковского /теорема I, стр.6/'. Из вышесказанного ясно, что тогда

1ГТ=зг4А I/ - матрица Ь'янковсхого, или что то ае

самое (ОТ) Г. - решетка ?.инковского.

А.Какбет Гs?£J доказал, что любая матрица размерности два есть ДОТУ-катрида. Стметлм, что любая рациональная матрица есть ДСТУ-.тат-ршха /сне лредстаЕкка как 55 ТI/ при ^=2" / и значит матрица Минковского. В етой лее работе А.какает доказывает, что достаточно малая окрестность рациональной.катрнпк есть ДСТУ-матрица /до А.Как-бета это было доказано только для единичной матрицы/. В диссертации установлены таюке следующие факты: I. Пусть Л решетка с га третным базисом 0~ , где \] рерхнетреугольная матрица с элементами ¿4, ,..по диагонали. Тогда шар радиуса ._:-:—._,

содержит фундаментальную область решетки А или множество . {(»,.....

содержит ^ (А) /теорема I/.

П. Лпбая матрица размерности не более трех есть ДОТУ-катрпла / [2] , [з] и теорема Щ/.

Ш. Любой базис унимодулярной решетки размерности четыре, у которой однородный минимум достаточно мал - есть ДСТУ-катрппа /теорема УП. стр.14/.

Л. Если у матрицы Ю О I и произвольной размерности

/теорема УШ, стр.14/, то достаточно малая окрестность этой матрицы есть ДОТУ-матрица. В частности, для любой треугольной матрицы Д /а не только рациональной/Н(А}:гО • По каждому из перечисленных выае четырех фактов, которые отражены в теоремах 1,Ш,У1,УП,УШ дадим краткое разъяснение. Сначала А.Ахмедов, а затем П.Грубер показ?ли, что для достаточно больших размерностей существуют матрицы не представите в виде Х>0 / V ; Ь.Ф.С'кубеЕКО дате указал размерность / У1 = 2£50/ и вшгкеал катрнцу,

которая не есть ДОТУ-матрипа. Таким образом, решить проблему Мин-, невского при помощи метода ДОТУ-матриц заведогло нельзя.

Естественно, возникла необходимость получения еозмозсно лучшей спаяки для ßiK /стр. 7/ при помощи ДОТТ-ьгетода. Эту задачу обычно ps:::aj>T так: рассматривают уни/с^улярную репетку А и среди решеток 2) Д / 2) - пробегает полный набор диагональных укшоду-лярнцх ултриц/ пытаатся нгйтг решетку ~ Ai .о ултрпчныгг Оазисом Äi таким, чтобн параллелепипед натянутый на столбцы этсй катрвдк, шэд длину каксимальной диагонали, как мочено меньше. Обозначим эту длину через 2. £ . Тогда шг? радиуса. £ содержит stot параллелепипед и, значит, фундаментальную область решетки А . Н.П.Долбшшн показал, что

U -§-л*(<мГ4+0.

Диссертант получил следующую сценку для Ь :

/теорема У, стр. 12/. Теорема У доказывается при помощи теорема ЗУ.

3 [И] уточнена эта оценка /теорема ZU, стр.14/. &еннс, показано, что . Д л - . lüi^l.

Остановимся на некоторых деталях доказательства теорем Ш. В [б] теорема Ш доказываемся при условии dii HiCTj^O • При доказательстве этой теоремы была выявлена интересная связь однородных минимумов унимодулярных взаимных решеток А и Л* размерности три. Именно, установлений, что

Jf'iAl^^JTCA).

Отсжда следует, что — '-------

N~(А) £

ля любой трехмерной унимодулярной решетки. ч Ii

Отметим, что ю.:звтся решетки, у которых /v (Aj — • Необходимость установления, \ :о есть представление SiOTU с lU\J ! 0 ups ?L - 3 вызвана тем, чтобы доказать теотгс;,^ ''"дствяе теооемы 513.

Кратко остановимся на теореме УШ, которая опубликована в [ 6J . Попытка решить задачу £D ОТI/ хотя бы для И = 4 наталкивается на значительные трудности, тесно связанные со структурой чисто вещественных алгебраических полей четвертой степени. Как отмечалось вше, для больших размерностей Kl /по крайней мере для И = 28SC / существует матрицы, у которых нет представления в виде 2)ОТ"Т/ .

Б связи с эти?; возникла необходимость выявления необходимых и достаточных условий /или хотя бы достаточных/ для возможности представления заданной }гатрицы Д в виде 3) £77"!/ .

Во второй главе еквсдятся пеобходгглые и достаточные условия для того чтобы заданная матрица А была ДСТУ-катрицей. Эти условия сфсрдулировакы в таком виде, что их приложения к ресениз вопроса о предсталенги кале эффективны для больших размерностей, но зато они приносят успех для спрокогс класса решеток, в-частности, решеток, которые имеют калнй однородный минимум. Заметим, что отрицательный результат в ДОТУ-задаче получен При помощи нахождения класса идеалов в чисто Ееаественном алгебраическом поле, в котором целый идеал с наименьшей, нормой, для которой

(/Vot (S ) < ! о! | П. / d - дискриминант поля/.

Тогда у решетки , которая отвечает идеалу ,

любой базис не есть ДОТУ-матрица. Отметим, что теорема Ш устанавливает аакт существования ДО ГУ-окре отгости матрицы A-^tOi TL 1Д при keiCHicTiZV^O.

Теперь кратко о теореме УТ. Она дает возможность судить об "изолированности" ДОТУ-матркц, а также позволяет использовать Э2Л в проблематике ДОТУ-матрин небольпгих размерностей. Поясним сказанное. При помоги Бопроса о представимости заданной матрицы А е виде произведения четырех матриц , I? . Т . обычно поступают следующим сбвазсм: рассматривают матшцу

I

и подбирают диагональную унимодулярную матрицу 5-) и унимодулярнув целочисленную матрицу I/ таким образом, чтобы для матрлз»

AsSb^ATT^iZi.....zm) . .

- 1В -

выполнялась условия Г(2<) ~ "'' = Г£ £ . трудности

/по крайней мере для Ц = 4/ возникают при значениях определителей Грама, близких к единице. ЭШ может дать значения с наперед заданной точностью / в разумных пределах/. Е связи о этак появляется система из Теоремы разрешимости. Важность теоремы разрешимости особенно следует подчеркнуть в связи с использованием ЭЖ и таблиц алгебраических, инвариантов, так как из результатов работы [7] следует, что трудности решения вопроса о представимости матриц в виде ДОТУ относятся к матрицам, отвечающим алгебраическим модулям чисто вещественных алгебраических полей. Отметим, что при доказательстве Теоремы разрешимости пришлось прибегнуть к элементам топологии, в частности, использовать теорему о неподвижной точке.

Остановимся кратко на теоремах 1 ж XI. Первая пз них дополняет, в частном случае, теорему П и дает яфхектив^'ю оценку сверху для ДОТУ-окрестносте! треугольных матриц. Оказывается, что ДОТУ-окрестности вс^х Т-матриц одинаковы /определение Т-матриц на стр. II/. Еторая, интересна уже тем, что является своего рода "слабым" контрЕозражением работам П.Грубера, Н.Ахмедопа, Е.Ф.Ску-бенко. Именно, эха теорема утвервдает, что у любой решетки раз-' мерности Я существует ДОТУ-подрешеткв ограниченного индекса.

Основные результата диссертации опубликованы в работах:

I. Нарзуллаев Х.Н. Относительно неоднородной линейЕОй ' проблемы Ыиго.некого .//Исследования по обыкновенным дифференциальным уравнениям. "Фан".Ташкент.1967,с.110-11&. 2..Щ а р з у д л а е в Х.Н. К проблеме Минковского относительно системы линейных неоднородных форм.// Мат.занетки, 1969, т.5,вып.1,с.107-116. • ------

3. Карзуллаев Х.Н. О представлении унимодулярной мат-

рица в виде ДОТУ для К = 3.// Мм .заметки, 1975, т.З, вып. 2,с.213-221.

4. Нарзуллаев Х.Н. 0 радиусе покрытия подобных решеток//

В сб.Вопросы алгебры и теории чисел.СамГУ,Самарканд,12й2, с.22-36.

5. Нарзуллаев' Т.Е. Относительно представления матриц в

виде ДСТ7 для К. » 4.// Рук.дэп.и ЕШй^ 21.09.Ы, & 4553» дед.

£. Нар а у л л а е е I.E. 05 окрестности казрпсн дсау.//Записки

каучк.сйьсккароз Ш::*ЛГ79',т.91,с.171-172. v. Н а р з у л л а е ъ Х.Н. Тесрешг ысимцет Для ЛОТУ-матрип.//Записки коучк.сс; ;'кгрог> J1CÍ2.19ь1,т. 32,0.93-99. ь. Б а р з у л л а е ъ Х.Н, , С к у б с н ко Ь.Ф. Уточнение опенки ezzpiVTEsecscrs- ;:;:н;.7,у."а произведения неоднородна* линег-екх фор? .//Запкс:::: н:-учн. семинаров ШЖ.197Э,т.82,'с.оо-94. 2. Н в р з у л л asp ".Н. С произведении линейных неоднородных фор:.;,/Ллт. закетк::. 1974, т. It,екп.3, с .365-374.

10. Н а р з у л л а е в Х.Н. Теорем переноса и их приложения к

проблеме Кин.-овскогс.//Труды СамГУ,вып.286,1975,с.49-52.

11. 5 а р з у л л а е в Х.Н. С совместных приближениях.,// Труды

СамГУ,новая серия,вып.315,1976,с.54-53.

12. Haps у л л а е в Х.Н. О совместных приближениях.//Зсесошн.

симпозиум по теории чисел.Алма-Ата, 1970,тезисы докл.,о.бЗ.

13. К в. р з у л л а е в Х.Н. К совместным приблкзвнияк.//Трудк Саи-

ГУ, £ 191,1571,с.12-17. -

14. Н а р з у л л а е в Х.Н. К проблеме (.Янковского относительно

системы неоднородных линейных форм.//ДАН СССР.1966,т.180, >; £,с.Т298-129Э.

15. Н а р з у л л а е-в' Х.Н.,С к у б е н к о Б.Ф. К опенке снизу

постоянной Эрмита.//Рук.деп.в ВИНИТИ 21.09.81,£ 4554-деп. 15. Н а р з у л л а е в Х.Н. ДСТУ-окрестности треугольных матриц к опенка сверху индекса ДОТУ-подрешеток Заданной реаетки.// Рук.деп.в ЫЗЙТЙ lE.'t:5.83,í 130-деп.

17. Нарзуллаев Х.Н. Уточнение радиуса покрытия подобных

решеток.//Рук.деп.в ВИНИТИ 15.05.83,£ 131-деп.

18. Нарзуллаев Х.Е. К теории ДСТУ-матрпц.Ззфектявизаоия

ДСП-окрестностей.//Зсесовзн.конф.по конструктивным методам теории чисел.Тбилиси,1985,тездокл.с.176-177.

19. Нарзуллаев Х.Н. С радиусе покрытия резеток.//Всесоюзн.

конф.по конструктивным метода:-.; и алгоритмам теории чисел. Минск, 1989,тез.докл.с.IC8. 2С. Нарзуллаев Х.Н. ОС зсрфективизаг^и ДСТУ-окрестностей

треугольных матриц.//Респуол.научн.-теоретпч.конф.по теории чисел и ее прилаяениям.Таткеят,1992,тез.докл.с.£5. 21. Н а р з у л л а е в Х.Ч. 00 одном новом подходе к совместные приолихенЕям.//5 сС¿Вопросы алгебры и теории чисел.СамГУ, _ ачгзрканд,19Э0,с.4-15к ' !

ЕИХ*ЕЛЬ£Г ТЕСРШАСИ ШДСШРИ ЗА ДОТУ УСУЛИБИ ССНЛАР

1ЕСМЕТРШСШИНГ БИР 2ИНСЛИ ЕУЛМГАН МАСАШАРИЕИ ТЕЮЩРШГА ТАТБ11КЕАРИ

;Аннотаххля

Сснлар геометрияси буНича эълон кяланган пшдарлинг асосай купчилиги Ужшовскийнинг И. -узгарувчшш И -та бяр зинсли оулма-ган чизщули ¡хсркалэрнинг кусайткаси ^акдгаги муаимссига баэгиалангьн. Бу муазгко ду^идагкча таърихланади: ^ар бзф А уникодуляр панкара учун Я*- дан олинган ихтиерии С зекторда ( С А

туплам /Уц= оулганда бущ эмас, бу ерда

. лГ:

Бу муамио сснлар иометрияышнг марказпй муаммолар-пдан оири бу-либ, жаз;он математикларининг купчилягинлнг дшрртини узига жалб грлган.

Хозирги пайтда бу гипотеза Я- ■=■ 2, 3 , 4 , 5 Султан доллар учун исботлангая.

Сснлар геометргасининг дэярли барча касалаларида Елнхфелъдт теорекаси шлатнладя. Диссертацияда Елихфельгт теореуасядан Мин-ховский теоремаскнанг аналоги келтиркб чк^арилган. Еу натяжа лем-ка паялида ифодалангая будяб,. ушбу лекма ердамдца щу яайтгача маълум • будгак к. янгк иатяжалар олинган. Бу натжяалар дассзртацилнинг I бобида келтирилгая. Хусусая, ■'¿шхоесд'-'й муаккоси оуйича олинган натегалгр Е.Еомбьзри за П.Грубер натжгсаларига ^рагадца кучлиро^-дир. ыизкоескийшшг бир хиеоли булмаган муаымосининг катта улчамли султан холя учун дастлабки натиаа Н.Г.Чеботарев тсмокздан олинган.— Хеь-нро^ Н.Г.Чеботаревнинг ватяжасшя Л.Ыорделл, Г.Дэвзнпорт, 3. 2ci.-6i.ep2, П.Грубер ва Б.а.Скубенколар яхшшаштан.

Дзссертадг.яккнг I бобдда Б.Ф.Скубенхэнинг диссертант томояидан днлдп анидлаитиргдггн натпзася келтирютан. Ушоу ¿оСда оиргаликдаги

у. бу ь-д--»углар учуг

max ( Ipt + c^l,..., ! p* l) 6 (£*%)

тенгсизлик уркнли булади. Янги уелуб е^лгашда ip-йидаги натижалар олинган:

а/ к. —► дз с к —* 2 + £"* эканлгГЕ курсат-ЕЛган. Бу Блихдельдтнанг оригинал наикасвдан иборат;

б/ ~ Гу. булганда Я = I ва 2 султан доллар учун

й~ кикг ^уйидаи эффектов ба^осл олкяган. Еуни таь^идлад яеракхи, яу пайтгача 1К нкнг шагудлигг маълук булиб, уни ^йвдан ба^о-лаш каълум эмас эди. .*

йкккнчг бобла диссертант тошонидак кшлаб чш$илган янги усул /ДСЗУ усулц/ баен килккган. Ьу усул ердамида дуёкдаги фактлар ур-катллгок: '

1. Агар кхткерик ^акшрс? »'лтрилани Д01У шаклида тагвирлаш -муккин .булсг, у з;олдн Мкнковсюгй гапотезаси 'уривлк булади.

2. &кпнчи ва учинчи тартибли схтисрий матрицалар ДОГУ Еан-" лидагн ыатрпггалардир.

3. Бир жкнсли киникуми етарлича кичик булган турт улчакли-унюлодуляр пакжараникг ихтиерии базиси ДОЛ саклгдаги матридадан иборат.

4. Махсус куринисдаги матрица хоскас булган зрлда, ихтаерпй тартибли 1ла:рзданинг етарлича кичик атрофи ДОТУ шаклвдаги ыатрн-цадан иборат.

Учбурчакли матрицаларнинг ДОТУ атрофлари учун -шрридан эффектов ба^слаш ^ссил цилинган. П. -улчамли ихтиериЗ панжаранянг чегараланган индексли ДОТУ-кксм иаязсараси мавхуд эканлкгн исйот дилинган.

Ъуядав тавщари иккинчи бобда берилган панхаранпнг Фундаментах со^асини узида са^ловчи шар радиусвни ба^олаш 1$аралган. Хосил jp-линган ба^о шу паиттача каълум Султан ба^олардан кучлиро^днр.

V ¿t. --

THE ЙРРПШШ OF THE BLICHFtLDT THEOREM ft№LQ6UE5 AHB ¡J 0 T U METHOD TO IKUESTI6ftTIHS HOHKOMGSE8E3US PROBLEMS OF GEOMETRY OF NUMBERS

The naaber geosetry literature is aainly devoted to the Minkowski problsa on product of К linear hoangeneous foras froa Я variables. The problea is this: for each unjaodular lattice A and arbitrary vector С froa й?" the set is non-eapty when'/■<*= X ahare {(Ци-j

jv.jv": ii^.-^Ji J fc-iM =

This problea is one of the key problems in the mzher ¿80-setry and it has attracted attention of aathsaaticians of sany-countries, At srejant this hypothesis has been proves for Ki = i, * Ъ M f.

ftlaost all the prabless of the utiaber geouetry eaploy the BHchfaldt theorea. The dissertation presents the analogue of the Minkowski theorea which is derived froa the Sllchfeldt tbsorea and fornuiated in the fora of l.aaa. Chapter I sives ' the s&ii-knosm and new results obtained by this ieMa. In particular the result an the Minkowski рго{)1ея Is better than that of 3obbiari E. and P.Sruber. The first resui1 on the nanhoaunoeene-■ aus Minkowski problea for learge dinentions was obtained by Chebofcarev which has later.bean improved by L, Morcell, ii. Davenport. E. Boabieri, Sraber and 3.F. Scribenko. Chapter 1 shews the authotrs result-on this probls* uhish defines core precisely the result obtained by 3.F. Scubenco. The chapter also contains a new approach to feint Biophantine approximations usinj? one of the 21 ichfeldt theorea variants. Lat dA, «¿» be'-arolf--

rary r<?al nuabar. There exist infinitely aany of naturai nasmers fx. •..,./>*. such that the inequality,

max. Upi+iJil'-'-f + *

r;r »c ¿ffaciive astisaiisn-fna. hsl;« U

•f, b«-er -jlcTjlstsd shea fl = i,?.. It should be noted that • . . i -0« ^ kr.ovn to exist,fcct the esiiEation

:-,--':.>•;•:■;- ret /!"«. «a? r.oi kncun.

i r*e eithoi /1'CTU tstbed/ elaborated by the sirtser. Spring •.r.ti mUit.! ifollcvinfE facts have been, establlshsd:

. If any rsal sstrix Is present sbif- in the fcrc cf DSTl" t.v Minsajrsski'r hypo'.nesis ii true.

U?'j c>" tM second and third orders sr<? PC7L' ;a>

".

3. Any basis it»e uaisodalar lattice ii iiseatlon 4 rtcsoffnso'is Binlsus ir sufficiently susli i* a DC7U ratriv.

A ft ieieniiy nsi^boarbocd of tne arbitrary crcer

zv.riz is j 5CTU sstris the special fsrs cf satrix ir nori-

: i'h':!:-,

I, if. ;:.;?e~t:ve t?~izc-ii-:n frca ebcv? :or SCTO t.s igrt efrrhc-:f :r i ¿c.r.i'.r r.;*.r isies hi; been piv^r; and it ii prcv-c that ;"r lt.v i'tirce of the ft diseitien there- existr

i'ibl.r,t:ce o.' thr restricted-index.--

Moreeve: , chs?t»r It present an estisat ion cf bill r»dtttf uhich contsir.s the fjncacental daaain cf the jive's lattice. The estimation giver, is better as cospsred rith the existing ones.