Дифференциальные операторы и анализ Фурье: теоремы вложения с предельным показателем и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Столяров Дмитрий Михайлович

Дифференциальные операторы и анализ Фурье: теоремы вложения с предельным показателем и их приложения

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 7 НОЯ 2014

Санкт-Петербург - 2014

005555789

005555789

Работа выполнена и лаборатории математического анализа ФБГУЫ Санкт-Петербургского отделения математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук (ГТОМИ РАН).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, директор ПОМИ РАН Кисляков Сергей Витальевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических паук, профессор, visiting professor of Indiana University Эйдерман Владимир Яковлевич

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики ФГБОУ ВПО Государственного университета морского и речного флота им. адмирала. С. О. Макарова Васин Андрей Васильевич

Ведущая организация: ФГБУН Математический институт им. В. А. Стеклова, Российской Академии Наук (МИАН).

Защита состоится «22» декабря 2014 г. в 16.30 па заседании диссертационного совета Д002.202.01 п Санкт-Петербургском отделении математического института им. В. А. Стеклова РАН по адресу Санкт-Петербург, наб. р. Фон-тапки 27, 191023.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и па сайте ПОМИ РАН, http:,//www.p dmi. ras. ru/.

Автореферат разослан «_L2_¡> *<o *Fj>9_2014 г.

диссертационного совета, д. ф.-м. и.

Ученый секретарь

Зайцев А. 10.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Теоремы вложения с предельным показателем для переопределенных систем дифференциальных уравнений — активно развивающаяся в последнее десятилетие область, разработка которой началась с пионерской работы Бургейпа и Брезиса. В эту область также внесли лепту такие всемирно известные математики как Стсйн и В. Г. Мазья. Приложения полученных в диссертации теорем вложения к классификационным вопросам теории бапахопых пространств завершают многолетние исследования С. В. Кислякова.. Пелчинского и др. Все это показывает, что тема работы актуальна.

Цель диссертационной работы состоит в получении анизотропных теорем вложения для переопределенных систем дифференциальных уравнений, изучении связанных с ними билинейных неравенств типа теорем вложения, а, также применении полученных результатов к вопросам теории банаховых пространств и геометрической теории меры.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер.

Методы исследований. Комплексный анализ, анализ Фурье, геометрическая теория меры.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на петербургском семинаре по комплексному и линейному анализу в ПОМИ РАН (Санкт-Петербург), на семинаре но теории функций многих действительных переменных и се приложениям к задачам математической физики МИАН (Москва), семинаре по функциональному анализу ИМ ПАН (Варшава) и семинаре по геометрии банаховых пространств факультета математики Ягел-лонского университета (Краков).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех статьях автора, в журналах из списка ВАК.

Основные результаты. Работа посвящена некоторым соболевским теоремам вложения и их приложениям к задачам функционального анализа и геометрической теории меры. Теоремы вложения данной работы отличаются от классических тем, что младшие производные функции или набора функций оцениваются в терминах линейных комбинации производных старших порядков. Эта особенность проявляется в основном только при предельных показателях суммируемости (некоторые случаи, когда наличие линейных комбинаций интересно для непредельных показателей, рассмотрены отдельно). Применяемые в нашей работе методы наиболее приспособлены к случаю двух переменных (тем не менее, иногда они допускают большее количество переменных). Кроме того, в основном речь пойдет о вложении в гильбертово пространство. Однако наши теоремы вложения анизотропно однородны. Для систем дифференциальных уравнений наш результат, по-видимому, первый обладает этим свойством (в последнее десятилетие другими авторами активно исследовались изотропно однородные теоремы вложения для переопределенных систем). Также нами рассмотрен класс билинейных неравенств, тоже по-видимому, новый. Основное приложение наших теорем вложения — решение некоторых вопросов о неизоморфности пространств гладких функций, порожденных дифференциальными операторами, пространству С(К). Кроме того, мы даем приложение теорем вложения к задачам о сингулярности векторпозначных мер, подчиненных дифференциальным условиям.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из пяти глап, первая есть введение, последняя — заключение, а также библиографии и приложения. Общий объем диссертации 200 страниц, из них 188 страниц текста. Библиография включает 66 наименований на 7 страницах.

Содержание работы

Основные результаты диссертации сформулированы в виде пяти теорем. За некоторыми из этих теорем кроются более общие утверждения, однако они

требуют длительных пояснений; мы приглашаем заинтересованного читателя обратиться к тексту диссертации для ознакомления с ними. В скобках после номера теоремы, определения или леммы мы указываем ее номер п диссертации, а также даем ссылку на страницу.

Теорема 1 (Теорема 1.2.1, стр. 10). Пусть k,l,N — натуральные числа, а комплексные, меры ограниченной вариации /ío,/ti,. • • jMw <■ компактными носителями в пространстве К2 таковы, что

Тогда существуют

'V

a--1-k ства W0 2 il' ¡

j=o

функции /ь /2? • ■ • i In ), такие что

' dlh = /хо;

O'ih ~ д'Л = /i Ü ■ )

0¡fj - táfj-i = /Ъ-ь

di JN — д12/к-1 = (¿N-I; — — llN

(1)

113 npoempau-

(2)

« £ \\fj\ ¿=1

< ^ var ¡ij.

j=o

Поясним формулировку теоремы. Под мерой мы понимаем счетно-аддитивную функцию множества, мера но обязана быть положительной, может принимать комплексные значения. Символами и д? мы обозначили операторы дифференцирования по первой и второй координатам соответственно (дифференцирование понимается в обобщенном смысле). Пространство И^""'^ есть однородное пространство Соболева дробной гладкости, норма

в пом задана, формулой

11/11и/(»-я)

К2

В случао N = 2, когда система (2) состоит из двух уравнений, теорема 1 превращается в неравенство

№.

(к-1 - * I- 1 - ' 1 ^ 2 21' 1 2И>

<

Это неравенство является частным случаем теоремы вложения В. А. Солон-никова из работы [1]. Теорема Солониикова есть обобщенно классического вложения Соболева И^К^) ^ на случай анизотропной однородно-

сти; наиболее точный (по различным интерполяционным параметрам) результат в этом направлении принадлежит В. И. Коляде, см. работу [2|. Теорема 1 отличается от классических теорем вложения тем, что условие принадлежности пространству Ь\ накладывается на линейные комбинации производных разных функций. Таким образом, это теорема вложения для векторных полег1 Теоремы вложения такого типа активно исследуются в последнее десятилетие, начиная с работы [3] Бургейна и Брозиса, см. обзор [4]. Однако до нашей работы все теоремы вложения такого типа были изотропно однородными. В случао к = I (когда однородность изотропна) Теорема 1 является частным случаем теоремы пан Шафтиигена из работы [5]. Таким образом, теорема. 1 обобщает и теорему Коляды, и теорему паи Шафтиигена, и по-видимому, не может быть сведена к этим двум утверждениям.

Также в диссертации получен вариант теоремы 1 для функций на торе (пункт 2.5.2, стр. 99). Условие компактности носителя заменяется условием правильности функции. Обобщенную функцию на торе мы называем правильной, если се преобразование Фурье обнуляется на всех координатных плоскостях.

Доказательство теоремы 1 основано на одной билинейной оценке. Мы также изучали и другие билинейные неравенства типа теорем вложения.

Определение 1 (Определение 1.2.2, стр. 11). Пусть к и I — натуральные числа, а и ,в — вещественные неотрицательные? числа, а а и т — комплексные ненулевые числа. Символом ВЕ(Аг, I, а, (3, ст, т) мы будем обозначать утверждение о том, что неравенство

</,.9>^(К1)| < № ~ ||Л1(ка) Ш - ^)5||£1(Е2) (3)

выполнено для всех функций / и д из класса. Шварца.

Символом а>!,М)(Е2) обо значено потенциальное пространство Бссселя, скалярное произведение в нем задано формулой

н2

тчжалм^ы20^. (4)

Оказалось, что истинность утверждения ВЕ довольно сильно зависит от свойств чисел к, I, а, ¡3, ст и т. Важно разделять эллиптический и неэллиптический случаи.

Определение 2 (Определение 1.2.3, стр. 12). Четверка чисел (к,1,(т,т) называется эллиптичной, если многочлены — ар]1 и — т^1, т\ = (2т)1~кт, О"! = (— 1)1~к(2тУ~ка, не имеют вещественных корней, кроме (0, 0).

В дальнейшем, т\ всегда, обозначает (2т)1~кт, 0\ всегда, обозначает (—1)'_^(2тгг)'-*;(т, если не оговорено противное-

Теорема 2 (Теорема 1.2.4, стр. 12). Пусть к и I — натуральные числа, а четверка (к,1,а,т) эллиптична. Утверждение ВЕ(к,1,а, 0,сг,т) верно тогда и только тогда, когда одно из чисел к и I нечетно, а = /3 = а числа о[ и Т\ имеют ненулевые мнимые части одного знака.

Таким образом, в предположении эллиптичности мы точно знаем, когда билинейные неравенства выполняются, а когда — нет. В неэллиптическом случае ситуация намного сложнее, имеются лишь частичные результаты.

Теорема 3 (Теорема 1.2.5, стр. 12). Пусть числа к и I натуральны, одно из них нечетно, к ф I. Предположим, что а и т — комплексные числа, тпакие что оба чиыа Т\ = (2тг1)1~кт и а\ = (—1)1~к(2т)1~ка вещественны. Тогда утверждение ВЕ(&, I, а, Т) верно.

Отметим важное отличие? результатов типа теоремы 1 от теорем 2 и 3. В двух последних теоремах слева в основном неравенстве (3) фигурирует потенциальное пространство неформально принадлежность функции / этому пространству означает, что д^до / есть квадратично-суммируемая функция. То есть, теоремы 2 и 3 устанавливают принадлежность некоторой одной смешанной производной пространству Ьо (на самом деле, все еще немного сложнее, так как речь идет о скалярном произведении двух функций). В теореме 1 же доказано вложение в пространство Соболева IV'., 2 21' 2 2к . Принадлежность функции / этому пространству неформально означает,

к---— 1-1-Л.

что д1 2 21 / и д2 2 2к / суть квадратично-суммируемые функции. Нетрудно видеть, что отсюда следует, что при всяких а и /3, таких что точка (а, /3) — выпуклая комбинация точек (к — | — щ, 0) и (0,1 — ^ — ^), функция / принадлежит пространству СР^*'9'. Заключение теоремы 1 сильнее, чем заключения теорем 2 и 3 в том смысле, что принадлежность пространству 1*2 утверждается про целый "отрезок из производных", а не про одну производную (индекс которой, точка (^р, безусловно, лежит па упомянутом отрезке). Все классические теоремы вложения (которые читатель может найти в книге [б] или работах [1, 2]) дают в результате вложение в пространство Соболева (или пространство Бесова), то есть, сразу "отрезок" (или "симплекс" в старших размерностях) производных. Билинейные оценки типа теорем 2 и 3 этим свойством принципиально не обладают, поэтому неясно, насколько их можно считать теоремами вложения.

Более похожи на теоремы вложения квадратичные неравенства, то есть неравенства вида

11/11^ >(й,, < ||(а? - тд')1\\Ь1т ||(0? - ^)/||£1(К2).

Для таких неравенств мы не смогли пока что получить аналог теоремы 2, однако в диссертации предъявлены серии параметров (к, I, а, <7, т), для которых утверждение ВЕ неверно, в то время как соответствующее квадратичное неравенство верно (пункт 2.5.1, стр. 94). Это покапывает, что квадратичные неравенства представляют особый интерес.

Теперь перейдем к результатам о пространствах гладких функций. Для того, чтобы их сформулировать, нам понадобится несколько определений.

Определение 3 (Определение 1.2.6, стр. 14). Пусть Л — аффинная гиперплоскость в пространстве Будем говорить, что гиперплоскость Л положительна, если она пересекает все положительные координатные полуоси.

Напомним читателю, что многогранником Ньютона полинома ак€к называется выпуклая оболочка тех точек к 6 для которых о,к ф 0. Многогранником Ныотона набора полипомов назовем выпуклую оболочку их многогранников Ныотона.

Определение 4 (Определение 1.2.7, стр. 14). Пусть Р — конечный набор полиномов в М1*. Опорная гиперплоскость к выпуклому многограннику Л/"(Р) называется допустимой, если она положительна и не отделяет многогранник М{Р) от начала координат.

Следующее определение обобщает понятие старшей части однородного полипома на случай анизотропной однородности.

Определение 5 (Определение 1.2.8, стр. 14). Пусть Р = {Рь Р2, - ■ ■, Р(} — конечный набор полиномов в пространстве М'г, Л — допустимая гиперплоскость для этого набора. Многочлены, которые получаются из многочленов набора Р выкидыванием мономов, индексы которых не принадлежат гиперплоскости Л, называются Л-старшими частями многочленов Р:.

Теорема 4 (Теорема 1.2.9, стр. 15). Пусть Р = {Рь Р-2,..., Р(} — конечный набор полиномов в М^. Предположим., что существует допустимая гиперплоскость Л, такая что среди А-сгпаришх частей полиномов Р^ '] = 1,2, ■ есть две непропорциональных. Тогда пространство СР(Т1) не вкладывается дополняемо в пространство С {К).

Напомним читателю, что подпространство У банахова пространства X называется дополняемым, если существует ограниченный линейный проектор из пространства. X на пространство У. В частности, из теоремы 4 следует, что пространство Ср не изоморфно пространству С (К).

Эвристически, теорема, утверждает, что если среди полиномов Р) в каком-то смысле нет старшего, то соответствующее пространство гладких функций не изоморфно пространству С (К). В диссертации мы также получаем и утверждения противоположного толка (пункт 3.3.2, стр. 163): если старший полином есть и он в некотором смысле невырожден (эллиптичен), то пространство Ср изоморфно пространству С {К). Теорема 4 имеет множество предшественников. В работах [7-9] доказывались частные случаи теоремы 4, когда полиномы Pj суть мономы (тогда пространство Ср можно трактовать как пространство функций определенной гладкости). Дальнейшее развитие темы привело к рассмотрению пространств Ср общего вида, в работах [10, 11] был доказан частный случай теоремы 4, когда допустимая плоскость ортогональна вектору (1,1,..., 1), это как раз соответствует случаю изотропной однородности. В некотором смысле, теорема 4 завершает серию работ [7-11], придавая результату разумную общность.

Теорема 4 выводится из теоремы Гротондика об операторах из пространства типа Ь\{у>) в гильбертово пространство и теоремы 1. На самом дели, обе упомянутые теоремы (теоремы 1 и 4) выводятся из некоторой абстрактной «теоремы вложения». Из нее есть другие интересные следствия, например, неравенство

11/11ЬЕЗ)<||51/||£1(ЕЗ)||(а22 + а1)/||,1(113),

имеющее простой пид, но, по-видимому, новое. Кроме того, упомянутое абстрактное обобщение позволяет докапывать вложения, когда производные функции (или их линейные комбинации) — не меры, а Фурье-следы мер старших размерностей на "двумерных поверхностях". Поясним это па примере классического вложения Соболева с предельным показателем И'^К2) ¿2(М2). Зафиксируем некоторое измеримое отображение Ф : R —> R'i_1. Пусть обобщенная функция / G 2)'(К2) с компактным носителем такова, что

6/(6,6) = ¿1(6, Ф(&)); 6/(6,6) = /Ь(6, Ф(6)); Pi, Р2- меры на

В таком случае, ||/||£j < varpi + varp2-

Наконец, приведем наши результаты о гладкостях векторных мер. Гладкость меры мы будем измерять при помощи нижней размерности Хаусдорфа (в дальнейшем обозначаемой просто символом dim).

Определение 6 (Определение 1.2.10, стр. 16). Нижней размерностью Хаусдорфа меры /х на метрическом пространстве назовем инфимум чисел а, таких что существует борелевское множество F хаусдорфовой размерности не более а, удовлетворяющее условию fi(F) ^ 0.

Теорема 5 (Теорема 1.2.11, стр. 16). Пусть векторная мера ц = (/¿1, Ц2, • • ■, fJ-d) "я пространстве Rrf такова, что для некоторой обобщенной функции / 6 <S'(Rd) и натуральных чисел mj имеют „место равенства dj'J / = fij, j = 1, 2,..., d. D таком случае, dim //. ^ d — 1.

Эту теорему можно рассматривать как проявление принципа неопределенности (см., например, книгу [12]). Классическая теорема братьев Рисс утверждает, что аналитическая мера ограниченной вариации на окружности (т.о. мера, у который коэффициенты Фурье с отрицательными номерами равны нулю) абсолютно непрерывна по мере Лебега. Обобщить это утверждение на случай произвольной размерности позволяет знаменитая теорема Укиямы из работы [13]. Пусть 0 : Sd~1 —> Crf\{0} — бесконечно гладкое отображение. Предположим, что выполнено условие Укиямы: для всякого вектора £ € 5rf_1

векторы и ()(—£,) не пропорциональны над С. В таком случае, любая мера из класса Мд, определяемого условием

абсолютно непрерывна относительно меры Лебега в Mrf. Это утверждение по сути принадлежит Укияме (хотя он его не формулировал).

С другой стороны, из фольклора известно, что если / 6 ВУ(Е';), то dim V/ ^ d — 1, например, см. лемму 3.76 в книге [14]. Переводя на наш язык, если ji G Л4цд, здесь Id — тождественное отображение на сфере, то dim \i (1—1. Войчеховский и М. М. Рогинская в работе [15] предложили следующую гипотезу.

Гипотеза 7 (Гипотеза 1.3.1, стр. 30). Пусть в : <Sd_1 Cd \ {0} есть отображение, класса С00. Если образ отображения в содержат d линейно независимых векторов, то для всякой меры /1 Е Мв верно неравенство dim ¡.i^ d — 1.

В той же работе они показали, что если образ отображения в содержит хотя бы два непропорциональных вектора, то dim /х ^ 1 для всех ц € МоИх подход опирался на теорему братьев Рисс и некоторую оценку в пространстве Ьг

Теорема 5 получена развитием метода Войчеховского и М. М. Рогинской. Теорема братьев Рисс заменена усиленной леммой Фростмана, леммой 8, оценка же в ¿2 — теоремой вложения. Отмстим, что все утверждения о размерности, кроме теоремы 5, которые мы приводили — изотропно однородны, в то время как теорема 5 допускает анизотропную однородность. Остается открытым вопрос о необходимости однородности вообще в вопросах такого типа.

Усиленная лемма Фростмана представляет отдельный интерес. Это утверждение не попало в основные результаты диссертации, потому что оно выглядит уж очень естественным, и хоть автор и не нашел его в литературе, может быть неновым.

Лемма 8 (Лемма 4.1.1, стр. 169). Пусть tp : Rd —>■ Е — неотрицательная гладкая функция с носителем в единичном шаре, зависящая, только от евклидовой нормы аргумента, и убывающая при его увеличении, такая что <р(х) = 1 при |х| si Если борелевская, комплекснозначная. мера ¡1 такова, что для некоторых параметров а и (i для любого набора B,..(xj) попарно непересекающихся евклидовых шаров ¿-.мерного пространства имеет место равномерная по набору шаров оценка

то dim/i ^ а.

Символом ip\ здесь обозначена функция <р(А-1-). Отличие нашей леммы от классической леммы Фростмана состоит в том, что наша версия позволяет работать с знакопеременными (или даже комплексиозпачиыми) мерами.

Цитированная литература

1. Солонников В. А. О некоторых неравенствах для функций из классов Wp{Rn) Ц Зап. научи, сем. ЛОМИ. 1972. Т. 27. С. 194-210.

2. Коляда В. И. О вложении пространств Соболева // Мат. зам. 1993. Т. 54, № 3. С. 48-71.

3. Bourgain J., Biezis Н. On the equation div Y — f and application to control of phases // Journ. AMS. 2002. Vol. 16, no. 2. P. 393-426.

4. van Schaftiiigen ,T. Limiting Bourgain-Brezis inequalities for systems of linear differential equations-. Theme and variations // Journ. fixed point, th. appl. 2014. P. 1-25.

5. van Scliaftingen J. Limiting Sobolev inequalities for vector fields and cancelling linear differential operator's // Journ. EMS. 2013. Vol. 15, no. 3. P. 877-921.

6. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. Москва: Наука, 1975.

7. Кисляков С. В., Сидоренко Н. Г. Отсутствие локальной безусловной структуры в анизотропных пространствах гладких функций // Сиб. мат. жури. 1988. Т. 29, № 3. С. 64-77.

8. Kwapieri S., Pelczyriski A. Absolutely summing operators and translation-invariant. spaces of functions on compact abelian groups // Math. Naehr. 1980. Vol. 94. P. 303-340.

9. Pelczyriski A., Senator K. On isomorphisms of anisotropic Sobolev spaces with "classical Banach spaces'' and a Sobolev type embedding theorem jj Stndia Math. 1986. Vol. 84. P. 169-215.

10. Кисляков С. В., Максимов Д. В. Изоморфный пит пространства гладких функций, порожденного конечным, набором, дифференциальных операторов Ц Зап. научи, сем. ПОМИ. 2005. Т. 327. С. 78-97.

11. Максимов Д. В. Изоморфный тип пространства гладких функций, порожденного конечным набором дифференциальных операторов. II // Зап. паучн. сем. ПОМИ. 2006. Т. 333. С. 62-65.

12. Iiavin V., Joricke В. The Uncertainty principle in harmonic analysis. Springer, 1994.

13. Uchiyama A. A constructive proof of the Fefferman-Stein decomposition of BMO(M") //Acta Math. 1982. Vol. 148, no. 1. P. 215-241.

14. Ambrosio L., Fusco N., Pallara D. Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems. Oxford Math. Mon. 2000.

15. Roginskaya, M., Wojciechowski M. Singularity of vector valued measures in t-errns of Fourier transform j j Jonrn. Fourier Anal. Appl. 2006. Vol. 12, no. 2. P. 213-223.

Список публикаций

• Кисляков С. В., Максимов Д. В.. Столяров Д. М., Пространства гладких функций, порожденные, неоднородными дифференциальными выра-жениялш// Фупкц. ап. и ого прил.. 2013. Т. 47. п. 2. Стр. 80-92.

• Столяров Д. М., Билинейные теоремы вложения для дифференциальных операторов в М2// Зап. научи, сем. ПОМИ. 2014. Т. 424. Стр. 210-235.

• БМупгоу Б. М., \Vojeicehowski М., Dimen.4i.on о/ упкИепЬ телнигея// С. И. Mat.li. 2014. Уо1. 352. Рр. 791-795.

Подписано в печать 30.10.2014 Формат 60x90/16 Бумага офсетная. Уел. печ. л. 2,25 Тираж 100 экз. Заказ 488

Отпечатано в типографии «Адмирал» 199178, Санкт-Петербург, В.О., 7-я линия, д. 84 А