Применение J-функтора к исследованию конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

и ¿и

а ^

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ АН БССР

На правах: рукоппси •ПАЛЬЧИК Эдуард Шкй!лович

применение ¿г-яушора к ксвдшнио

КОНЕЧНЫХ 1рупп

(OI.OI.CS - математическая логика, алгебра и теория чисел)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Минск - 1991

Работа выполнена в Могилевском машиностроительном институте. '

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

КАЗАРИН Леи Сергеевич доктор физико-математических наук РОМАНОВСКИЙ Александр Васильевич доктор физикочлатематических наук ------------------------------СЫСКИН Сергей Александрович

Ведущая организация - Московский государственный университет

Защита состоится " 3> " АиЛорЯ 19э£г. в 1Г часов на заседании специализированного совета Д 006.19.01 .1». Институте математики АН БССР по адресу: 220072, Минск,- ул. Сурганова, II.

С диссертацией можно ознакомиться в библйотеке Института математик: АН БССР.

Автореферат разослан " ■> " 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук

А.С.Рапинчук

. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. За последние три десятилетия теория конечных групп обогатилась в идейном и техническом отношении. Особенно большое место в исследованиях по конечным группам в последнее время занимают исследования конечных яросгах групп. Богатый спектр технических приемов современной теории конечных групп вдохновляет на исследование слокных ситуаций.

Далее т пользуемся стандартными обозначениями и терминологией, принятии в теории конечных групп ^. Отметим только, что р - это простое число, к если Р есть р-группа, то А(Р) (Ае(Р)) - множество абелевых (элементарных абелешх) подгрупп максимального порядка в Р, J(P), Je(P) ~ характеристические подгруппы (введенные Д.Томпсоном) в Р, порожденные соответственно элементами из А(Р) и Ае(Р).

Среди различных методов современной теории конечных груш основным дяя классификации конечны;: простых групп считается локальный теоретико-групповой анализ Этот метод естественным образом продолжает предыдущий важный методологический раздел теории конечных групп - теорию представлений ,и теорию характеров Идеи метода локального анализа заложены в уникальной работе ^К Локальная теория конечных •групп изучает семейство локальных подгрупп в конечной группе. При этом р-докальной подгруппой группы X называют норма-

^ Горенстейн Д. Конечше простые групш. Введение в их классификацию. - М.: Мир, 1985. - 352 с.

Jh ompson Z-.^eLt US'. Sotirot*(>Ltity. g-toups of odd ozdez. - frtctf. Math.1963, * 13,

лизатор любой ее неединичной р-подгруппы. Термин р-слкяяие восходит к Р.Врауэру и означает сопряженность в группе X подмножеств из склгг.ской р-подгруппы группы X. Фундаментальная работа Д. Мь перина ^ устанавливает "поэтапное" сопряжение элементов из скловской р-подгруппы Р группы X элементами из

нормализаторов некоторых подгрупп из Р. Оригинальная работа--------

Д.Глаубермана ^ устанавливает достаточное условие того, чтобы альперкнекая поэтапная сопряженность состояла из одного этапа.

К числу нерешенных вопросов теории конечных групп относится вопрос о (Z.J)-факторизации конечных р-скованных групп для р/2.

Цель работы. Целью настоящей диссертационной работы является: (I) разработка техники работы с J- и Je-функторами Мя нечетных простых чисел р; (2) завершение общей картины о (z,Je)- и (2,^)-фшсторизациях конечных р-скованных (и даже р-локалышх) групп; (3^ применение некоторых /результатов из (2) к решению задач "о выталкивании" для р^2,3, с существовании нетривиальных р-факторгрупп в конечных группах, о классификации некоторых конечных простых групп по свойствам одной максимальной подгруппы.

Метода исследования. В работе используются три главных методологических аспекта современной теории конечных групп:

(3)

Жрегсп Sytow Lnltzsectùoi cuicLfu.Uon.-3--Jie$zitcL, 196*t * е>*тгур. zzz -241.

^&£а.и.вегтап. G. A ckoLUxcéezcséic Suëyzoap of cl p-stccêee gгоц.р. ~ CocncccL. ^МаАк.^Ш^ V. 20, л/S, p. 1101-m £.

(Г) теоэеткко-мнонествеиный анализ; (2) теория конечных линейных ipynn; (3) р-локальный анализ, основанный на изучении (как мохло более узких) семейств р-локалькых подгрупп конечной Х'рупгк.

На,/чная новизна. В работе получены следующее основные новые результаты:

1. Классифицированы конечные квазипростне группы X, содержащие абелзву р-подгруппу А такую, что !А! ¡Д/CgCA)!, где Е - точный и неприводимый КХ-модуль, К есть G-F(p) , а при р--2,3 ХЛ(Х) является известной простой группой (для р=2 и элементарной абелевой группы А результат получен з v J ).

2. Перечислеш композиционные факторы конечных р-ско-ванных (и р-охокальшх) групп X с силовской р-подгругтой р, которые не допускают факторизацию (Томпсона-Глаубепмэна^ вида X=N(je(P))U(z(P))=M(j{P)lC(Z(P)) (для р=2 л функтора Je

(6U

результат доказан з ).

3. Доказан общий результат "о выталкивании" для конечных групп и любого простого числа р, исключающий аз рассмотрения случаи, когда максимальная р-локальная р-ековон-ная подгруппа М в группе X обладает строением: М/0р("Д) 2

Z Ckecr*<f и Spoz ".где рф<% , См(Ор(К)>£Ор(М).

4. Доказана непростота конечной группы X с глаксималь-ной р-за'лкнутой подгруппой нечетного порядка М такой, что

(5)

Jisch.Sa.ckez М. &F(2.)-lepzzsentaction S of finite yzoocps-Jme-z. Ma.tk.7-.,1931 10Ч^Ч}р. 685-7Ц.

(6) Jtckiocchez M. On ike. fa.tiu.7e of the Thompson fa-UoiUcction. in 2-c.on.lt?ctimci $zoupi. -Р-гос. London JHath. Soc19Я1, и. 43, V3> p. 4Z$.

- 5 -

f«"t/Ol4M)^I. (Этот результат усиливает теоремы из ^ и f^J.

Практическая ценность. Результаты работы представляют теоретическое значение. Универсальный результат о- факторизации р-скованных (,. р-локальных) конечных груш является важным инструментом р-докального анализа. __________

__Публикации - и апробация' работа. Основные результата диссертации опубликованы з работах автора [ij - [ Ii] Кроме того, результаты данной работы в различные года докладывались на семинарах, алгебраических симпозиумах и конференциях. В 1975 году - на семинаре отдала алгебры ИШ УНЦ Ah СССР в Свердловске, руководимом профессором А.И.Старостиным, и на Всесоюзном алгебраическом симпозиуме в Гомеле; в IS76 году - на семинаре по общей алгебре МГУ, руководимом член-корреспэедонтом АН СССР А.И.Кострикиным; в 1977 году -на Минском городском алгебраическом семинаре, руководимом академиком АН ЕССР Д.Л.Супруненко; в 1981 году - на ХУХ Всесоюзной алгебраической конференции з Ленинграде; в 1984 году - на семинаре академика АН СССР В. II. Платонова; в TS87 году - на ХГХ Всесоюзной алгебраической конференции во Львова; в 1288 году - на заседании Школы по теории групп ь Ярославле; в IS89 года,- на XI Всесоюзном симпозиуме го теории групп в Свердловске.

Tkompton 7inLte groups, ariik fuecL-point- f-гее.

auiomozpkiim. of pzime ozcLez. -Tzoc. J\fa.tJ)ca.cL.

Sei. UiJff 19S3, v. fJ4t p. 57S> -SB1.

^ Романовский A.B. Группы с холловскими нормальными делителями. - Конечные группы. - Мн.: Наука и техника, 1966, с. 98 - 1Г5.

- 6 -

Структура и объем раооты. диссертация содержи с страниц машинописного текста и состоит из четырех глав, первая кз которых носит вводный характер. Библиография -37 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

3 глазе I вводятся обозначения, определения основных используемых понятий, дается история вопроса и обзор результатов, полученных другими авторами в данном направлении. Приводится также список основных используемых результатов .

В §1 вводятся основные определения и обозначения. Устанавливается терминология.

Определения. Псда.шожестзо Т называется слабо (сильно-) замкнутым в подгруппе В относитачьно группы X, если Т £ 3 - X и дяя любых х <=• X (и уе Т1 из Г45В следует Тх-Т (и? В следует у* б Т). Д/сть р - простое число и X есть группа с Ор/(Х)=1. Тогда X называется р-скоаанной, гели £ Ор(X). Если же Ор/то X является р-скозанкой, если Х/О0/(Х) .является р-скованной. Если для любой силсвской р-подгруппы Р из X имеет мрсто: х€Р влечет хеа(Р5, то х называется с-элемэнтом в X относительно р. Если Ф^СХ) есть множество всех р-подгрупп группы X, то функтором р-сопря-женности ка X называется отображение К г.яокестза Ф_(Х) в Фр(Х), которое обладает свойства!®: (I) К(Р)£Р для каждого РбФрОО; (2) КО»VI ДЛЯ 1УР<ГФр(Х); (3^ КГР*)»(К(Р))Х. Примерам! К могут служить функторы .г, 2J, ъ и другие. Скесг(р) - множество конечных групп лиевского типа, определенных над конечным шлем характеристики р. Скесг'ср) -

подмножество простых групп в Ckecr(p) . Обозначим через Tï. и 171 множества следующих простых групп:

71 ={АК, KiQ; PSpz/<(2) , к 2 2; к53 ;UK(2),

к > 3; LF4 (2)' ; Gz (Z)' ; L 3 к (Ч ) ; ; fy (Ю ;

гЕ~(2); Eg(2); e£(41; E?(2); EgW; E8i4l7 и______

_______uCkecAp) - f %гзе>zG-zaeT} .

m =fak. к >5; LK(2e);UK(2e), ; С?(ге)} .

К-группа - это группа, у которой неабелевы компоиицион-ные факторы являются известными простыми группами.

В §2 излагается история той части р-локального анализа, которая связана с функторами j, je, zj.

В §3 главы I приводятся используемые результаты. Глава II посвящена доказательству С-теореш, которая расширяет z-теорему Д.Епаубермаяа ^ и естественным обоазом соединяет результат о с-элементе (относительно с результатом Д.Рзльдшмидта Заметим, что QdL(<j) = $>LiZ<f)A. А V , где V- \/(2,ср есть 2-мерн'ое векторное пространство над &F(q)

2.2.12. С-теорема.Пусть X есть конечная группа с силов-ской р-подгруппой Р. Если в M(J(P)ï имеется с-элемент х £ Р, то имеет место одна из возможностей: Ш х есть с-элемент в X, и это всегда выполняется, если X есть QcL(p)-свободная группа, или х=уР дая некоторого элемента у s z(P) ; более

Y

того, если х есть с-элемент в X, то < Хр > есть абеле-

&£а.ссёсгтап Q. Cenizaf! etemenis of соге-^гее çzcups. - Ле^ёгсс, /566, и. Ч, а'3} р. 401 - 420.

CroicLickmicLi Э. 2-fiction. ¿п finite azoupir Лпп. J4a.ik.f 19ТЧл Bel. fO-HT-,

ва сильно замкнутая в Р относительно X подгруппа; (2) в X имеется р-докальная подгруппа со специальными свойствами и определенным образом вложенная в X.

В главе III приводятся некоторые следствия ;з С-тео-ре?я1. Например. следующая теорема является прямым сбобще-нием известной теореш Д.Томпсона - Д.Глаубермана о нормальном р-донолнекии.

З.Г.1Г. Тгорр.'.к. Густь X - конечная группе, с сватовской р-подгруппой Р, р > 2, Т= г-'Л?)), Т<зи(.т(Р)^. Если свлозская 2-годгруппа из ьг(о (Р)> централизует Т, то Т сятыга замкнута в Р относительно X и к(Т)/оР(н(Т)) £ Х/Ор(Х).

Отметим и следующий критерий нэпростотн.

3.3.4. Теорема. Русть X - конечная группа с силовской р-гаадгругшой Р, р> 2. Рредпололсим, что я(Р)=М есть максимально подгруппа в X и М/0р(М)/1. Если в М есть нильпотен-тная холловская / 2,р]-подгруппа, или 2 не депит порядок группы М, то или ,/(Р)сХ, или г(Р)<Х, или Х/0р(Х)^1.

Выше ш отметали, что теорема 3.3.4 усиливает соответственные результаты; из работ ^ и

Сл едущая теорема обобщает результат Б. Бауман на из

3-3.8. Теорема. Пусть X есть конечная простая группа с силовской 2-подгрупчой Р. 1/хе 2(Р>, х2=1, К=С(х) и 0^(К) есть обобщенная подгруппа Фиттинга в К. Если м(Р)

Всситам В. ¿поС&ске Огир-

■реп rn.it еспег п.1£ройепЫп тосхСтлвеп ЮЛег-угирре. - £ ле^гсс; *28,л/1>р. 119- 9 -

есть максимальная подгруппа в X, то X изоморфна одной из следующих групп: <1) Ь^ , (*р . ¿¿¡(с^), всюду = ,2*. К>1 ; (2) Ьг(уУ . ВДе ~ прйстсв тасло вВДа

В главе 1У доказывается результат о (г,^-факторизации конечных р-локальных хрупп. Технологический прорыв здесь обеспечивается удачным соединением теории ¿г-функто-ра с результатом о квадратичных парах для р^2 (Д.Томпсон. Ч.Хо).

В §1 доказывается ряд вспомогательных фактов. В §2 указываются две характеристические подгруппы р-локальной группы X (то есть, группы х с 0_(Х VIВ §3 классифициро-

г-*- ^

ваны так называемые г (^р)-пары:

4.3.Г. Теорема. Пусть X есть квазипростая группа, р делит порядок группы X, й - точный и неприводимый КХ-модуль, К - поле Галуа порядка р. Пр>/ р=2,3 пусть X является К-группой. Если X содержит абелеву р-подгруппу А такую, что 1АСе(А)1 >, Ш, то имеют место следующие утверждения:

(I) р=2, х/гш <= ш ; (я) р-3, х/г(х) € П : (з) р»5, х/2<х) ё Скесг*(р) ~{Е3(ре)}.

Один из. главных результатов в §4 следующий:

4.4.6.' Теорема. Цусть X есть конечная группа с силов-ской р-подгруппой Р, 0р(Х)^1. При р=2,3 пусть X есть К-группа. Предположим, что выполняется одно из условий: (I) р=2 и X не имеет композиционных факторов в Т¥\ ; (2) р= ' =3 и X не имеет композиционных факторов в 7Ь ; (3) р^5 и X не имеет композиционных факторов во множестве СкесЛр)-- (%(Ре)} • Тогда X имеет подгруппу Н индекса (5-р^, и=0

при р^2,3, такую, что Н=МН^(Р) }Сн(г(Р) л Ор(Н)>=И]1(1ге(Р)). •Сн(3(Р)л 0р(Н))'.

В §5 дается достаточный критерий р-разрешимости р-ско-ванной группы.

Главный результат в §6 - следующий тзезулътат "о выталкивании" :

4.6.2. Теорема. Пусть X - конечная группа с силовской р—подгруппой Р, С(0р(Х))£ Ор(Х), 1/0ь(Ъ)=Х есть квазяпро-стая группа. Цусть при р=2,3 X является К-группой. Предположим, что X есть максимальная р-^скальная подгруппа конечной группы У. Предчслсяим также, что еыполня&тсл одно из условий: (I) ;>--?. и Х/гШ $.771 <?.) р=3 и Х/Ш)Ф $71 ; (з) р 55 и Х/2(Х) $ Скео-*ср)-{Е <ре)} . тог-

Я" / о

да для любой подгруппы Р , удовлетворяющей условию 0р{Х)--Р0 £ Р £ Р, имеет место одно из утверждений: 2(Р ) £ £2(Х), либо J(P )=^г{Р0). В частности для любой цепи подгрупп Р0с Рг С... г: р с РК=Р имеем:

(1°) < (Р0),ку{Рг),...,иу(Рк) > £ X;

Х^лХ не содержит Р у ё У.

Теорег.и 4.3.1, 4.4.6, 4.6.2 являются точными форму-ляровкьмл результатов, упомянутых вгме на странице 5, соответственно в пунктах I, 2, 3.

В §7 имеются некоторые теоретико-числовые лети, использующиеся в рассуждениях главы ГУ."

В заключение автор выражает искреннюю благодарность А.Е.Зьлесск0!Ц7 за полезные советы, постоянное внимание и моральную поддержку.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

- П -

1. Пальчик З.М. К теореме Елаубермана. - Известия АН БССР, сер. физ.-матем. к., 1975, N5, с. 12Г -122.

2. Пальчик 3..VÎ. О конечных ^-свободных группах. ДАН БССР, 1976, т.20, M2, с. Т06Г. - 1063.

3. Пальчик Э.М. Конечные простые группы, силовская 2-под-группа которых содержит циклическую подгруппу индекса 16. - пйатем. сб., 1979, т.10Э(15О, N2CSV, с. 203 - 223.

4. Пальчик Э.М. р-факторгруппы конечных i"pyiin. - Известия АК БССР, сер. физ.-матем. и., 1981, N2, с. 53 - 59.

5. Пгльчик ЭЛЛ. О конечных группах с р-замкнутой максимальной подгруппой. Подгруппсвое строение конечных групп. -№.: Наука и техника, £931, о. 55 - G2.

6. Пальчик Э.М. О свойствах конечных скованных групп. -Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. -Мн. : Наука и технике, Г986, с. 95 - 99.

7. Пальчик Э.М. К теореме Ашоахера. •- X Всесоюзн. симпоз. по теории групп, тезисы докладов, Минск, I98S, с. 169.

8. Пальчик Э.М. Факторизация конечных р-скованных групп, -XIX Всесоюзн. алгебр, конф., тезисы сообщений, ч. II, Львов, 1987, о. 212.

9. Пальчик Э'.М. К (Z,J,К)-свойствам конечных р-локальных групп. - Междун. конф. по алгебре ,• тез. докл. по теории групп, Новосибирск, 1989, с. 89.

10.Пальчик Э.М. О G-F(p) -представлениях конечных групп. -Вопросы теории групп и гомологической алгебры, Ярославль, 1990, с. 159 - 162.

11.Пальчик Э.М. (z,j)-свойства конечных р-локальных групп. -Алгебра и анализ, I99E, т.З, вып. I, C.203-22Ï.