Представимость полуточных гомотопических функторов на категориях пунктированных пространств и спектров тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

,1 V] 1 * '

московски« орде11л ленина и ордена трудового красного знамени педагогический государственный университет

имени В. И. ЛЕНИНА

Специализированный Совет К 053.01.02

Па правах рукописи

МАТВЕЕВ Алексей Григорьевич

ПРЕДСТАВИМОСТЬ ПОЛУТОЧНЫХ ГОМОТОПИЧЕСКИХ ФУНКТОРОВ НА КАТЕГОРИЯХ ПУНКТИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ И СПЕКТРОВ

Специальность 01.01.04 — геометрия п топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Москва 1992

РОССИЙСКАЯ гссударсг^;,.

библиотека

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительного института им. В. В. Куйбышева.

Научный руководитель:

доктор физико-математических паук, профессор РУДЯК 10. Б.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ПОСТНИКОВ М. М.

кандидат физико-математических паук АХМЕТЬЕВ П. М.

Ведущая организация: Коломенский педагогический институт.

Защита диссертации состоится .....1992 г.

в ./.Р...... часов на заседании специализированного совета

К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина но адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 301.

С диссертацией ложно ознакомиться н библиотеке МИГУ пл. В. И. Ленина. Адрес: 119435, Москва, Малая Пироговская, д. 1, МПГУ им. В. И. Ленина.

Автореферат разослан .....

Ученый секретадьтециалпзированного совета /ГУ\) Г. А. КАРАСЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача нахождения общих условий представимости гомотопически инварианТних функторов имеет большое значение в алгебраической топологии и изучалась рядом авторов. Э.Х.Браун ^ доказал теорему представимости, названную Р.Свит-цером ' "поворотным моментом в развитии алгебраической топологии".' Другие теоремы представимости бнли доказаны Дк. Адамеом * и А.Хеллером^'. Условия- теоремы Брауна послужили для А.Дольца'^ основой для изучения полуточных функторов. Теорема Брауна относится к функторам, определенным не категории связных (пунктированных клеточних) пространств С\Д/ В основном приложении теоремы Бреуна от условия связности удавалось избавиться аа счет специальных свойств когомологий, а в общем случае этот вопрос оставался открытым. В ряде работ имеются указания на актуальность подобного вопроса. Так, М.М.Постников в этой связи отмечает в работе , что на категории [С\А/*] (всех) пунктированных клеточных пространств "ничего не известно о представимости функторов ... (даже принимающих значения в категории групп)".

1) Вхо^г. Е.Х. - Аил. Мо.и.,19Са, V.

2) Свипцер Р. Длгебрвическвя топология - гомотопии и гомологии. -М.¡Наука, 1985.-с.203.

3) -Т^о&эд,, У.Ю, £ 185-13 8.

4) НеМ* I -1*1 м*л*. Ьс,1т<улз,е.5н-Щ

5) Дольц А.-Математика, 1970, 14:1, с.3-93.

6) Постников М.М. Лекции по алгебраической топологии. Теория гомотопий клеточных пространств.~М.:Няука, I985.-c.I59.

В настоящей работе проведено исследование задачи распространения теоремы Брауна на категории [С\Д/*Д • Получено отрицательное решение для функторов со значением в категории множеств к по-ложителыше решение для функторов со значениями в,категории групп. Полученные результаты о структуре категории [СМ*] могут найти применение в дальнейшем исследованиях общих условий представимости Дикторов.

Проведенное также в настоящей работе исследование случая стабильной гомотопической категории [$ Р£СТ] обусловлено значением этой категории в стабильной теории гоыотопии С см. ), где могут найти применение полученные результаты о представили функторах и их связях с теориями когоуологий.

Таким образом, актуальность данной работы обусловлена как естественно возникшими вопросами, так и возможными приложениями.

Цель работы. Основные положения, внесенные на защиту.

Целью работы является изучение вопроса о том, влечет ли полуточность функтора его представимость, для случаев категории пунктированных клеточных пространств ^СМ'З к стабильной гомотопической категории ^$Р£СТ]. Этот вопрос назван в работе для Краткости проблемой Бреуна. В работе сделано следующее.

1. Для категорий определенного-типа введено понятие базисной подкатегории, и доказан критерий представимости, заключающийся в представимости ограничения Диктора на базисную подкатегорию. Построена бпзисмвя подкатегория категории » к постоен пример полуточного, но непредставимого функтора, дающий отрицательное решение проблемы Брауна для категории •

2. Доказана теорема представимости полуточных функторов на категории [СУу/*] со значениями в категории групп, чем для функторов данного типа дано положительное решение проблемы Брауна.

3. Доказаны теоремы представимости полуточных функторов и теорий когомологнй для стабильной гомотопической категории и теорема единственности продолжения теории когомологий с категории пространств

[СДУ] на категорию[£РЕСТ]. В частности, дано положительное решение стабильной проблемы Брауна.

На защиту взносятся упоминаемые в п.п. 1-3 результату

Нруиня.ч новизна. Теоретическая и практическая ценность результатов. Все основные результаты диссертации являются ловили. Работа является теоретическим исследованием. В ней дано решение проблемы, отмеченной рядом авторов в качестве актуальной (си. ,

Доказана новая теорема представимости. Полученные результаты, касающиеся структурного анализа категорий с разложением по типу разложения на связные компоненты, могут найти применение в дальнейших исследованиях по общий условиям представимости функторов со значениями в категории множеств. Кроме того, непосредственно в работе указана возможность некоторого упрощения доказательств результатов работы '. Результаты, полученные в стабильной ситуации, по-существу, давт возможность отождествления в этом случае таких понятий как полуточнне функторы, теории когомологий и спектры. Показана также возможность применения полученных результатов к упрощению доказательств ряда свойств стабильной категории (см.*^) к получению некоторых новых свойств.

Методы исследования. Несвязность пространств'в исследуемых в настоящей работе случаях потребовала изменения методов в сравнении с теми, которые применялись в предшествующих работах по представимости функторов I) - 4). Для различных типов функторов применяется критерий представимости, осиоваккый на введением в работе понятии базисной подкатегории. Дяя построения контрпримера в случае (функторов со значениями в кетегории множеств использована введенная в работе конструкция полуточного функтора на категории [С^У'З по заданному полуточмоыу функтору па категории (непуиктироваиннх) пространств [СУ\/] . В случае &1?0иР2 -яначных функторов используются действия групп на множествах, естественные в категорном сиысяв. Использован пример А.Хеллера ' полуточного непредставимого функтора на категории [СУ*/] .

При исследовании стабильных аналогов теоремы Брауна систематически исплиьзуютсж гомотопические свойства спектров и перенесенные в категории спектров методы (обобщенных) теорий когомологиЯ, включая функторы -Е^т.1 .

Апробация работы и публикации. Результат«, изложенные в диссертации, доклпдывчл,ись и обсуждались на семинаре по алгебраической топологии под руководством проф. Ю.Плотникова и проф. А.й,Чернявского в М11У в 1985 г., на научном семинаре Уяфедрн высшей

ъ

математики ЫИСИ под руководством проф. С.Я.Хавинсоиа в 1989 г. К в 1992. г., на секции математики научно-технической конференции МКСИ в 1990 г., на международной.конференции по алгебраической топологии в Оакстепеке (Мексика) 3~П имя 1991 г;

Основный результаты диссертации опубликованы в двух статьях, список которых приводится в конце реферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, трех глав, разбитых на 17. параграфов, зеклпченхя и списка литературы, содержащего 39 наименований. Объем основного текста - П2 страниц.

содержаний: работы

Во введении показано, как предшествующие результаты по пред-ставимым и полуточным функторам приводят к постановкам основных задач, изучаемых в диссертации; приводятся основные результаты работы и их обсуждение.

Глава I носит предварительный характер и посвящена обзору . предшествующих результатов по представ/мости и полуточностн функторов, формулировке основных задач. При этом детально изложен подход к понятию полутрчиого функтора с позиций общей теории категорий, характеризующий ого как слабо непрерывный функтор,из

Р* -категории в категорию множеств. Подобный подход кратко намечен в работе . Обозначения основных категорична которых определены изучаемые в работе функторы, приведены выше. Морфизмгза являются гомотопические классы, что обозначено квадратными скоб-кямк. Категорки значений обозначены . Это категория множеств SETS , групп GROUPS или абелевнх групп АВ GROLTPS , так что определен игнорирующий функтор I : SETS

Глава II посвящена исследованию проблемы представимости полуточных функторов на категории [ C/W* 1 . Для данной категории эта проблема, названная вгае проблемой Брауна, заключается в вопросе о том, является ли условие связности в теореме Брауна существенным. Показано, что для SETS -анвчных функторов теорема! Брауне не распространяется ив категорию [CW], к тем самым проблема Бряупо решается отрицательно. Условие, связности не может бить отброшено без замены какими-либо дополнительными условиями. Затеи

указаны подобные дополнительные условия, состоящие в таи, что функтор принимает значения в категории групп.

В §1 рассмотрены категории, неяваннуе в работе псевдоаддитив-иыми, для которых имеет смысл вводимое далее в ?2 понятие базисной подкатегории. Псевдоаддитивная категория - это категория с конечными копроизведениями и коточиой в смысле А.Дольда . Категория с произвольными копроизведениями и коточкой называется сильно псевдооддитивной.

Рассмотрим объекты категории пунктированных множеств SETS* как малые дискретные категории, а ыорфизмы - как функторы. Для ¡\ € SETS* отмеченный элемент обозначим или, короче, 0 . ' Пусть - псевдоаддитивная категория и ®с <jg такая подкате-

гория, что 0 <= , где О - коточка категории ^ .

2.1.* Определение Функтор X А-*£25 называется моносемейством (объектов, категории §5 )> если

«V У.(0)-О

т .Я(4.)фо ,

Дня моносемейств Y- В—*" SJ ж X'• А—определич морфиам Y —X как пару су) , где SETS'(в, Л) . я £ ; у -*■' 5< ® ~ естественное преобразование.

МоносемеОства и ух иорфиэм« составляют категорию, которая будет обозначаться

Пусть In. : Ф —- вложение категорий, определяемое следующим образом. Если Хё^ХФО . = {0,Х} , а для

кот)очки 0€ £0 Тл(Р) = {0} . Если ^ ! Y-^X ~ морфизм, то =(|У <f ) - морфизм иояосемейств, однозначно определенный условиями;

= Л при YФО, ХФО

при Y + 0 (3>

Здесь (0,4) я t-fl, —множество индексов моносемейства 1и,(Х) np* X Ф О . » ес*ь аиаЧенмв естественного преобра-

зования на объекте jj> « fo .

Копроияведение определяет идя сильно псевдоаддитивиой категория iyHKTOp IJ ; <й5> —, ЯИЬЧвНИ)" froTipif) обозначим х л

U(X) = X ,

Для, певвдояддитивной категории ^ еоответствугацвя ситуация аналогична и лишь учигувпет условия коиечности ^U :

Соотношения рассмотренный« г^р» «ми и функтор»ыи

описьгб«лэтся коммутативной диаграммой ($)

/ (б)

2.3. Определение. Пусть в предыдущих условиях к обозначениях функтор U является изоморфизмом категорий и задам обратим» изоморфизм Ъс. ■ 4j —rtyiOy так, что коммутативна диаграмма (8)

<25 >

V i>o S5

(в)

В этом случае называется базисной подкатегорией категории & . » фуМтор- называется разложением по базисной подкатегории <8$ '.'или, короче, разложением.

В конечной ситуации к соответствующим обозначениям добавляется слева буква

,<Й > % • * - ктх,

'<55'

Примеру подобной ситуации даит категория ^ = и подка-

тегория связных пространств « ЦЬо*. CW], категория ^ = SETS * подкатегория <85 = - { о/) , те О соответствует 0 , а 1 -- одноточечному множеству, я ряд других.

Базисные подкатегории примепяптся в вопросах продолжения функторов с nyumvm свойствами.

Сначала устанавливается, что категория <85 является относительно вложения 1«, : S& —базисной подкатегорией сильно псевдоапдитивиой категории <<§0> , а фупктср U : <й5> ■

является адцитнвичы . '

^^Co.V) Нумерация преддожвккв к дквгрг.мм в автореферате такая же, к*к в диссертации. . .

Пусть - категория значений, заданная в гл. I (си. вг

те). Двойственная категория -§> . сильно псевдоапдитивна, причем копроизведением служит прямое произведение, а коточкой - одноточечное множество О . О -функтор определяется условием FCO) = 0 . где F : iÖ —•*■ .

2.11.Лемма. Пусть задан О -функтор У : §5Torna существует единственное продолжение ({¡ункторя до аддитивного функтора

> тяк, что коммутативна диаграмма (II).

lrv </55 > (И)

2.12.Ле»»мя. Е предыдущих условиях существует единственное продолжение функтора F : 66 —1- о)** до аддитивного функтора

Предыдущая лемм» позволяет отождествлять аддитивные (функторы У с их ограничениями на базисную подкатегорию "ёб .

Следующая лемма содержит критерий представимости, неоянокрятпо используемый в дальнейшем.

2.15.Лемма. Для представимости функтора F ' Чэ —необходимо и достаточно,чтобы его ограничение на базисную подкатегорию было предстявимо некоторым объектом категории ^ .

При связном X > X Ф ф пространство Х+ , полученное из X добавлением изолированной отмеченной точки + , называется квазиевявным.

Определим категорию CCVV+] . Объектами категор1и tCW+З являются пунктированные связные пространства у квазисвязнуе пространства. Для описания морфизмов удобно ввести понятие ранга объектов х(Х), О 4 • Xi [CW;]. Положим г(Х.) = i при X.fpt

«[cewCW^.x ч(Х+) = 2> пля ивазисвязного Xt

Тогда морфизмы определяются условиями: <!) категория является подкатегорией категории [CW'3 , (П) если г(У) < 't(X) . то множество мор^измов

X) = ф пусто, (ffl) каждый морфивм индуцирует на множестве «оппонент сЮрьектииное отображение.

Значение ввезенной ктегорип/Тпределиетгя следующей леммой.

'М'7.Ленмп. Категория tCW+З **л«етсг ^"чисио? г» т-тторгеГ'

категории [CVV'J •

В § 3 изучаются свойства конструкции F - Ф, позволяющей

построить по полуточному функтору dp ■, Jf.vk/l-rSE.T&'^n злуточнкй функтор

Ç".[CW3--r SETS ^ .

Для этого в сглу лемм 2.1?. к 2Л7 достаточно встроить функтор F : [cw;i —» SETS'*.

Для X.«Lcw;l гСХ.^М полоом F(X^=0 . Если X+«[CW;] и t(X.J)=2, ,то га.е последнее множество получено уз

добавлением отмеченного элемента, обозначенного символом 0 . Для морфизмов вида —^ i у полагаем

п в остальных случаях значение F1 на мор(?изме определяется условием сотгррненкя отмеченного элемента.

^ 3. 6.Лемма. Если функтор ф '.[СЛ/Д —»SETS полуто"ен, то функтор

f~Ф • [C.W]'—»-SETS удовлетворяет* аксиоме Майера-Вьеториса.(см.

Г:\

Из леммы 3.f. непосредственно следует 3.7.Теорема. Если функтор ф : [CV/}—>- SE.TS полуточен, то Функтор F =$: [С W"]-г SETS ,также полу точен.

В § 4 дано отрицательное решение проблемы Брауна для ^ETS* -анячннч- функторов..

4.1.Теорема. Пусть Ф ifc-W] —г StTS-полуточнмй функтор, -одноэлементное множество, и функтор SETS

представим некотором пространством К € "1 . Тогда функтор ф представим некоторь™ пробтранством ¡^е [cen-CW].

4.2.Следствие. Существует полуточдай, но непредставимый функтор F:[CW] — SETS •

В склу теорем 3.7. у 4.1. в качестве функтора с такими свойствами можно, взять непредставимий полуточннй функтор A/: ^Wj-^SETS, построенный А.Хеллером в работе.

В § 5 проделана подготовительная рьбота для доказательства в ? С- теорем»' представимости GROUPS -значим* функторов.

Пусть задан полуточнь'й функтор F : [CW] —»- SETS ' По геореме Гряуня он представим на связных пространствах X. € CC.W.J 3 » 1 » при помощи некоторого пространства- К. :

EX., К-У » F(X.> ./ (30)

Полагая = и.» 0,1,2 ... » ПОЛу°ИМ ГРУППЫ g-и. для и •

пучктировпнное множество Q.0 с отмеченни* элементом ое (тв •

Структура пунктированного простргнстваX.задается вложением £ : —у X . В силу связности пространства X морфиэм гомотогп.-ерсяоП категории е. однозначно orpriMPH. Конусом'вложения

пространство с вибриссой X? » получающееся ичХ.

при клеи вопием отрезки 0>,V] правки концом 1 к отме'/еннйй точке *еХ.. (си. Отмеченной тонкой пространство Х^ сщтаетсг свободная конец 0 отрезка ( вибриссы). Вложение порождает то^нуй последовательность Пуппе . .

хГ-—s' —...

В силу полуточности функтора Y' точна последовательность пунктированных множеств '

fr,— F(xf).--F(X*) — fro '"(32)

Положим ф=ф^ = )+ , тоща Ф : twwdW] SETS' , и (32) принимает вид "

. G-ч — — Ф(Х) Go1 ' (35) ' : -

Положим ф„(Х) = СФ(е)ГЧо)

5.3.Определение. Функтор называется ядром

полуточного функтора F . .

Из результатов работы вытекает, "то определено дсйстпие группы на множествер(хТ)так, что ядроф,,^') изоморфно пространству орбит этого действия. ' , •

В категорН'^^пространстьа X. и X. изоморфны в-силу стяги--впемостг вибриссы, поэтому действие груПпм fr{ переносится jia f^X.-) с сохранением указанного свойства.

Для полуторного функтора *К.. где К. (Х-^^К^КГ)* имеем Ge= О , тек как теорема Брауна обеспечивает связность классифицирующего . пространства. Кроме того, в отом случае - ^tCK.) - фунда-

ментальная' группа.

Б п. 5.5. докапывается эквивзрввнтностъ представляющего изоморфизма (30) относительно указанных в^те действий.

Пусть -ft,: X. —XT гомотопическая- эквивалентность, обратнгя факторизации по вибриссе, и пусть через Ч* обозначена, ее композиция с фоктор-отобряжением отождествления концов вибриссы

- г: X. — X.* — S£vX, . (43)

Torus действие ^(К.) ив [XvK-.y япдьется ДипграммоК (44)

На'множестве задано также каноническое действие <Туня.п~

ментальноЧ групп" (см. Это цействге сопоставляет каждому

гомотопическому классу петли и каждому гомотопическому ■■

клс ссу|; Х.-*-К. гом jT'TM'ecic! й класс : X.-»-К. отображения, гомотопного исходному вдоль пути \ )f, •

В слвцуо.щеП демме устанавливаете:», что в случае представимого функтора"* К« эти действия совпадают.

5.7.Лемма .Действие группы ^(К..) на множестве t^-^.T • определенное диаграммами (-13) и (И) , совпадает с каноническим действием.

Основное свойство канонического действия состоит в том, что ИЛ* связного пространства К. множество • где Уч = Х(К.) , есть

пространство орбит этого действия

На атом,ьместе с предыдущим^ основано доказательство основного утверждения § Ь.

5.6.Теорем". Пусть F [CW']->- SETS полу точи ей функтор, К. - его классифицирующее пространство на категории ^ьол CW"] ,ф- Функтор,- заданный рг венсгвом Ф(Х)=Г(Х^> = (ФС^УЧ0) - ядро функтора (см. опрел. 5.3.), Тогда функтор фо представим пространством К . гае К =100 '

В § С доказана теорема представимости.

С.З.Теорема. Всякий полуточнкй функтор F: [СW]-*-GROUPS

npeflCTiiBHM.

Здесь же отмечено, что ссылка на результат теоремы 6.3. позволяет упростить вывод из теоремн Брауна основной теоремы о представимости .Q. -спектром прока вольной теории когоыологнй

Глава III посвяцена ивучению вопросов представимости полуточ-ныг функторов, определенна на стлбпльной гомотопической категории или кятегорни'спектров в смысле Дж.М.Еордиана ' , которая обозначена [¿р|=СД!]- Пойчбная постановка вопроса, как отмечалось выше, связана кок с тем, »го проблема Ррауна имеет скысл для функторов на этой категории, т?к и с тем, что эта котегоргг является в настоящее

'^Постников М.Ы. Лекции но алгебраической топологии. Основы тебрии гомотопий ~М.:Наука, I9Ü4. ~с.Т74-175.

р \ 5

Тоглин В.Л,, 5укс Д.Б. Начальной курс топологии. Геометрические главы. ~М.: Наука, 1977.