Когомологии малых категорий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи ХУСАИНОВ Ахмот Аксавов*п

УДК 513.83

когоматогии МАЛЫХ КАТЕГОРИЙ 01.01.04 - Геометрия к топология

Автореферат диссертации на соискание учояой степени кандидата (Еизико-математическкх наук

Новосибирск - 1991

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете имени Ленинского комсомола.

Научшй руководитель - доктор фиг:ко-математических паук,

профессор В.И.Кузьминов

Офйдаальнке оппоненты - доктор фйзико-математических наук,

профессор А.В.Зарелуа кандидат физико-математических наук, М.А.Батанин

Ведущая организация - Московский государственный

университет им.Ломоносова

Защита состоится "__"__;_1991 года в__

часов на заседании специализированного сэввта Н 002.23.02 при Институте математики Сибирского отделения АН СССР по адресу; 630090, НоБосибирск-90, Уюшэрситетский проспект, 4.

С диссертацией могло ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "_"_;_1991 г.

Учбш:.'1 секретарь специализированного совета

к.ф.-м.н.

С/иу

В.В .Иванов

Актуальность теш. В .оследвое ъуемя интерес к теория когомологий малых категорий возродился но нескольким причинам. Одна из таких причин связана с построением, исследованием на сходимость и вычислением спектральных. последовательностей связывающих. (обобщенные) когомологии ¡¡ространств с когомологиями копредела этих .юстра^тв. Зти вопросы изучались С.Араки к 3. Иосимурой, А.К.Бусфилдом и Д.М.В.аном, Г.Сигалом, Р.М ^югтом. Среди друга: причин можно назвать результат Х.-И. Бауэса и I1. Вирминга о том, что когомологии Хохиильда-Митчела малой категории мокко рассматривать как когомологии категории факторизация. Поэтому некоторое проблем« теории размерности Хохгаильда-Мктчела могут бить решены классичешатм. методами, развитыми О.АЛаудадом и К.-Е.Россом. Как показал Б.Митчел, ьти проблемы тесно связаны с теорией глобальной размерности категории функторов принимающие значения е аСеловсй категории, основанной в работах Гильберта и Мате. Мяторас к этой теории не ослабел до егмого последнего времени.

Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение когомологических и гомотопических свойств дгпграмм определенных на малых категориях. Строится спектральная последовательность сходящаяся к когомологиям копродела малых, категорий, а также гомотопический аналог этой спектральной последовательности. Разработанные методы применяются к построения и изучению на сходимость спектральной последовательности морфизма сшшшциальшх множеств дня обобщенных теорий когомологий, а также применяются к изучению когомологий прямого предела малых категорий. Это позволяет оценить когомологическую размерность,

размерность Хохыильда-Митчола, размерность Бауэса-Виршингь копредела малых категорий б .локально направленном и направленном случаях. й'сслсдуется спектральная лосл довагельнссть морфизма для когомологических систем хооМ-Мциентов, превращающаяся в спектральную последовательность Серра когда системы коэффициентов локвлыы, а морфизм является расслоением. Строится спектральная последовательность, связывающая группы расширений диаграмм, определенных па малой категории и принимающих значения в абелввой категории с группами расширешгй значений этих диаграмм и когомологкямя Еоуэсь-Еиршикга их области определения.

Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Развитые автором методы могут быть применены для изучения обобщенных теорий когомологий компактно-по-роаденных хаусдорфовых пространств, когомологий направленного копредела групп, когомологий алгебры инцидентности.

Апробация работы. Основные результаты докладывались -на расширенном совместном заседании Московского математического общества и Московского топологического семинара, посвященном памяти !_кадемика П.С.Александрова (Москва, 1988), на Международной конференции по алгебре (Новосибирск, 1989) и на '■ 2-ом Советско-японском симпозиуме по топологии ("Теория размерности и смежные вопросы", Хабаровск, 1989).. Результаты также докладывались и обсуждались на семинарах "Топология" и "Теория колец" в Институте Математики СО АН СССР.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы.

Объем работы. Диссертационная работа изложена ка 114 странах. Библиография содержит 56 наименований.

coj^piahik гавоты

Пусть ¡й - абелевэ категория с произведениями. - категория функторов, определенных на малой категории с и приима-щих значения в «а. Рассмотрит.» собственный класс су коротких точных последовательностей 0->F'->F->?"->о з категории c«j, таких что для каждого се<п последовательность 0-/F' (о)->р(о)--> Р"(о)->0 расщепляется в т. Тогда категория <c«J абелеь^ и обладает достаточный числом су-инъектлвкых бъектов. Определены n-тые правые относительные производные Нп(<г,-): т.а->у1 фупкто-рз предела JLimT :««»-> «а. Функторы Р:с->«1 из малой категории с в «л будем называть диаграммами, а ебт-екты lin(<£,F)oa - n- 1ми когомологкями малой категории « с коэфициантями в диаграмме Р. (В данной работе доказывается, что когомологт; категории с коэффициентами в диаграмме изоморфна яогомологяям категории в смысле Андре, чем оправдывается такоо определение.)

Пусть Е - множество, рассматриваемое к-л; дискретная категория. Про абелеву категорию л говорят, что она допускает Е-произведения (соотв. Е-суммы), если ;;ля любого АеЕ«1 существует произведение пве£А(е) erf- (соотв. сумма 1е^А(ьг/)- Если, сверх того, функтор произведения lircE=nE: Е*2->»4 (соотв. oolimE=£E ) точен, то мы будем говорить, что а допускает точные Е-произве-деккя (соотв. Е-суммы). Вели абелева категория «4 допускает точные Мог(€)-прои£веденил, то функторы { Нп(с,~) :Ск!->а! }пг0 являются правыми сателлитами функтора lim^: с

Пусть S:i.-->D - функтор из малой категории с в ироизЕОлг ную категорию в. Слоем s/d над объектом del) называется категория, множество объектов которой Ob(S/u) состоит из пэр (о,а)

(гдо oei, («:S(o)->d) elior(iD)), а м^рфизмами мэжду любыми двумя таккш парами (е,а)->(с' ) служат Тройки (ДеС(о,0' ),с-,а' ) такие что выполнено соотношение a'-s(p)=« . Забывающим функтором слоя называется функтор Qd:S/d-><£, принимающий значения Qd(/3,o:,a* )=р на морфизмэх, и Qd(o,c<)^o на объектах. Двойственно определяется кослой ¿/¡3 для dcOb(sD): объекты кослоя d/s сугь пары (o,a:d->S(o)) (где OtC, ае Мог (и)), а («орфизмы -тройки вида (р:с->о',a,a') (ГДЭ реЫог(с), а.а'ьНо^(Ю)), УДОВ-лотвсрякщие соотношению , Забывающий функтор сопо-

ставляет тройке ее первый элемент и также обозначается Qd> ЕСЛИ Б - ЛОЛЙОЗ ЕЛОЖ0ШЭ, то положим c/d=s/d.

Пусть, например, дсд0епб - стандартное вложение категории д конечных линейно упорядоченных множеств вида [п]={о,1,...,п} (где п=о,1,...) л монотонно неубывающих отображений в категорию симхшшиальных множеств. Пусть ХеД°Епз. Объекты слоя д/х будут называться симплексами симшшциалыюго множества X. Пусть и#<с - нерв малой категории с. Слои д/с полного вложения ДcCаt в категорию Cat малых категорий изоморфны слоям д/н^с .

В §1 главы I изучаются границы применимости спектральной последовательности, полученной Андре в предположении точности (всех) произведений

Теорема 1.1.13. Пусть S:C->ID - функтор из малой категории с в малую категорию ю, и пусть F:<c->«r - диаграмма в полную абелеву категорию «4. Тогда, если в л точны Мог(ю)-произведения то существует спектральная последовательность нр(ю, {Hq(d/s,FQd)}d£lD) => нр+<1«с,]?)

Эта теорема позволяет обобщить на малые категории спект-

ральную послодс. этельность произведения частично упорядоченных множеств, полученную ранее Россом и Лаудалом.

Приводится пример, показывающий, что при отказе от предположения точности Мог(в)-произведений б абелевой категории rf, теорема 1.1.13 неверна.

Нам удобно будет ввести обозначение lim^F = pln(<r,f). Белу абелева категория «t обладает суммами, то двойстзешо опре -деляются левые су-производные функтора i lim®: <r«t->«i, и мы обозначим /je через oolim^ .

Б 53 главы I строится основная спектральная последовательность. Всякая абелева категория >4 опргделяет некоторый класс ул г Ab, состоящий из всех таких абеловых груш Сель, что выполнено условие

Hom(G,a)=Ext(G,a)=0 для кззд0г0 А€г4. (Здесь Нои - символический функтор морфизмов, определенный Митчелом, s Ext - его частные производные по первому аргументу ). Обозначим через Zrßis-Mb функтор,-сопоставляющий множеству свободную абелеву группу, порожденную *тим множеством.

Пусть • тс:Р->т - Функтор из малой категории О б произволь ную категорию т. Пусть Url}ieI - да'^-мма объектов категории Т, тогда морфизмы Х°":У1 опг^иляют функторы я/Х^л/Х*-) n/x-i. '1' • • •> :;i/>:1->oolim1-{n/Xi}} - копредел категорий п/хЧ " еорсмй I.Г*. 4. Пусть <4 - абелева категория с точными произведениями. Тогда, если абелева группа colimJiztTMpJ.X1))} принадлежит классу ул (для всех п>0 и реР) то, для любой диа граммы' с: coiimI{n/x1} л , существует' спектральная последовательность первой четверти

= 1!лРп {1-i^-l -G' X • } => Hmp+qG 1° я/Х1 1

Параграф 3 глаиа I посвящен спектральной последователь-кости копредела малых категорий.

С любой диаграммой малых категорий {яЛ^х и конусом над ней свяжем отображение симплициальных множеств:

ct»soolimiN*«.i)->N:(t<c. Для. любого симплекса а:Мп]->Пвс, положим ф*(<7) - расслоенное произволение ф а а.

Теорема 1.3.2. Пусть диаграмма {а^}, конус {ф^с^-хс} над диаграммой {с^} и абелона категория т с точными произведения!«! обладают следующими свойствами:

1) Группа ooiira^tz)} принадлежит y*t (nz0,q>0),

2) Гомоморфизм Hq(<i>* (cr))->Hq(pt) является изоморфизмом для всех qiO, сеД/<С .

Тогда для любой диаграммы F: <с->«4 существует спектральная последовательность первой четверти

l|'q=lim^o{limgiP«0i} => limP+qP .

В направленном случае, ч также в случаях рассмотренных Лауда-лом и Андре выполнено условие 1), и морфизм Ф является изоморфизмом. Поэтому ста теорема включает все три случая.

Глава II посвящена гомотопическим свойствам диаграмм, принимающих значения в категории полных пунктированных симплициальных множеств. В этой главе доказывается, что для любого морфизма категории с выделенным множеством объектов и абелевой категории коэффициентов существует спектральная последователь, ноет* превращающаяся в спектральную последовательность Серра, как, только обратимы мс^.физмы (гомологической) системы когоыо-

логий слоев. Более того, сущестР'/ет соответствующая гскотош-ческая эквивалентность, если коэффициенты лэжат р. кате' ^pvin полных-симллициальных множеств. Строится и исследуется на сходимость спектральная последовательность морфлз!. . для обобщенных теорий когомологий.

Пусть п:Р->т - функтор из малой категории I' ? произвольную категорию т. Обратным образом <t>*{o) мзрфкзма сг:л(р)->У относительно морфизма ф:Х~>У называется предел диаграммы x ---> У <--- ti(p) (т.е. расслоенное произведение фи с) в категории т. Обратные образы определяют диаграмму (сг))а .

Теорема п.4.1. Пусть ф: х->у - мор^ткзм категории т, п: Р->Т - полное вложение малой категории Р в категорию т. Если для всех реР и с:тг(р)->У существуют обратные образы Ф*(сг)е<р, то для любой диаграммы с :л/х->«а из rt/x в абелеву категорию ¡4 с точными произведениями, существует спектральная последовательность первой четверти

lim1 „ { lira0' , G"X } => lin£/4 G (я/У) п/Ф*(<х) ° n/X

( ^(f) есть композиция те п/ф*(а) с морфизмом <Ма)->Х ). _

Если ф:Х->У - расслоение в категории симллициальных множеств, и морфизмы диаграммы G-обратимы, то мы получаем спектральную последовательность Серра.

Приводится пример когда, несмотря на то, что системы коэффициентов необратимы, из Теоремы II.4.1 все же мокно получить спектральную последовательность расслоения.

Обозначит через Non(x) полную подкатегорию категории д/Х, состоящую из невырожденных симплексов ^имплициального множества X. Пусть R - кольцо с I.

о

Следствие Ii.4.7, Пусть h* -• теория когомологий, определенная нь категории скмгоиикальшх множеств, принимающая значения н категории R-модулзй. Предполагается что h* удовлетворяет аксиомам суммы и слабой гомотопической эквивалентности. Тогда для любого морфи?ме «:Х->У сиютлшшглышх множеств существует спектральная последовательность q

""^¿/7)0 Ü)W)>},

сшзашшэя с некоторой, фильтрацией R-модуля h*(X). Если всякий подоимплекс н&вцрозденногэ симплекса из Y чевыровден, то зтэ спектральная последовательность сильно сходится в каждом но следу шоГ случаев

1) Категория Коп(У)0 имеет конечную когомологическую размерность (например, все дли.1Ы цепей aQ<a^<.. .<&п невирожденкнпх симплексов с раничены некоторым натуральным числом н ). ■'

2) Ii - коммутативное иетерово кольцо конечной глобальной размерности, категория Non(V) - псевдонапраЕлена, R-модули hn(*V)) - конечнопорокдены.

В gi главы III коучветгея когомолопш категории с коэффи-ииеьта>гй э нагурэлььой системе. Доказиуаотся что если категория о. частично упорядоченным множеством, то -размерность DLrn i" Бэуася-ij.itr"'' Г""'-'' ркосги dim с л<>хииг -да-Митчела, Оцееъ жэ приводится .одно из ыторзенах. с.' -дотвий теоремы 1. "и 21

T&_cypei.ia Пусть Tct'линейно.упорядоченное подмно-

жество' l «ккейно упорядоченного мзояеетва а. Если .для каждой

пары з<Ь элементов a,bet существует йлоуэнт ieî /довле ¿оряв-унций соотношению a s i s о, то °

dira i; s. 1 + supa(:C.{ dins (luía) ) } .

3 частности, неравенство dim й s 3 {для линейно упорядоченного множества вещественных чисел к) не зависит от гипотезы континуума, чем опровергается предположение Митчела о то« что а случае 2*0 = (где пг2) -неет место, равенство dim к - п+2.

Для заданной малой категории с рассмотрим следузду» категорию с' (факторизаций). Мнокестзэ оъ(«• )=Мог(<с) состоит из ^орфизмов категории с, а множество морфг-мов («,р) - из пар (х.у) «орфизмов категории с, таюи. что композиция х-а-у определена и равна р . Натуральной системой (объектов аболэвой категории d) на œ называется произвольная диаграмма

Пусть р - натуральная система (объектов полной абелевой категории 4) на с. Положим по определению Hn(c,F)=lim^,l\ (Это определение оправдывается предлоз:ением III. 1.2.)

Следуя Бауэсу и Виршингу, полосам Dim с = o.d.í'. Пусть dim с -размерность Хохшльда-Митчела категории с.

Предложение III.1.6. Пусть t - частично упорядоченное множество. Тогда Dira с = dim «о ■

Это предложение позволяет вычислить размерность Dim любого вполне упорядоченного кнонества.

Следующая теорема обобщает оценки размерности din полученные Митчелом в направленном случае, а также дает новые оценки размерности Хохяильда-Митчела и размерности Бауэса- ' Г"ршшга направленного копредела малых категорий и локально

направленного покрытия категории.

Определение. Диаграмма Е: 1->Епз называется локально наиразл чным покрытием (множества coliir. Е), если выполнены следующ1е условия 1"!-'2:

(í1) для кздшх хеЕ^. .y.iii^, и f:,1->i,f' :k->i таких, что Ef(x)=2f,(у), существует индекс leí и Вд]-)физмы g:l->j, s':i->k И zeE^, такие что í-íi^'-S' иЕ^, (z)-y, (Г2) vyc¿:.¡ и vrff*:j->i, таких что , (у),

существуют морфизм g:k->j и элемент zeEj. , такие что s-g=í's и Е (z)=y .

о

,„1згр1.к.;э сгслшшцкальных множеств {X1>i_I называется локально líaripñMeffiíb'M покрытием (сикплшдаального множества oolin^íx*}), если vn¿o дпагр-л-ж {x¿>ieT - локально направленное покрытие.

Teopeva ш.1.11. Пусть {\i:e:i->t=colimI{Ei}} - конус копредела диаграмм малых категорий l'í^}, и F - натуральная система R-модулей на категории с. Спектральная последовательность тиль е|* г=11т?о Шга1(Р»хр> сходится к lim^t* ? в каждом из чюцукадх случаев 1)1- пс^вдоаапраЕленлая малая категория, г) .пиэгрглш нервА; ÍR,«^} есть локально направленное

покрытие нерзз н¥« категории с. Б каждом из перечисленных случаев имеют'место оценки Мм col5m{<£^} i. c.d.I° ■(• sup^',- {Dim } ' dto oolimí^) s o.d.I° 4 вир.р1 {diia ..'

Для .lajero функтора в:с->ю моаду малыми категориями и мэрфазма aü'-Xt категории с определена следу шал категория

S<cc> : МНОЖОСТБО Ob (S<a> ) COCT<"'T ИЗ ЗСЗВОЗМОЖНЧХ разлоV.0HY2:

морфизма « в композицию .двух мсрфизмов вида <l'->Sa->d. Ыор|из~ мами между такими разложений;м d'->Efv->d и d'->Sb->:l служат морфизкы ß:a->b категории с, делающие комму-rai ..вной диаграмму

В рабств доказано, что Hn(J>,F) a Hn(«,P'S' ) для л»к5ой натуральной системы объектов любой полной аоелевой кяуегорхи «г и пгО, если только если категории 3<а> тлеют гомологии точки, для всех « е оь(о'). (Теорема ïi_.i.14.)

Известно, что функ^лр S:i ->® сохраняет 11п:п (в том тесло неабелеБЫ при п-о,1) в случае когда слои функтора s стягиваемы. В то ке время из стягиваемости слоев не следует, что категории s<a> илеют гомологии точки. Достаточно рассмотреть функтор из одноточечной категории <£-[0] в категорию и, обладающую инициальным объектом Оес, полагая S{0)=0. (Можно взять, например, категорию B=[1M1] имеющую размерность Холтильда-Митчел.. равной двум. ) Этот простой пример дает ответ на вопрос Бауэса и Виршинга: Будет ли функтор,■сохраняющий (некоммутативные при п=о, 1 ) когомологии lin11 (VniO)'c коэффициентами в диаграммах, сохранять когомологии Нп с коэффициентами в натуральных системах (ответ - нет).

В следующем параграфе исследуются группы расширений з категории функторов из малой категории в абелеву. Пусть э* - собственный класс коротких точных последовательностей в абеловой категории ci, а £9> - кдэс коротких точны" последовательностей

о->?'~>?-->F"->o даагралк таких что vest последователь-кость 0->Г* (5)->F(o!->?"(o)->0 принадлелмт классу У.

Те'-тема ИТ.2.5. Пусть ? - собственный класс в абелевой категсрга л ii voce с/о - конечная категория. Тогда длч любых зизгрэмм î, с : с->«4 существует спектральная последовательность

?|• i/ng, (Ext*(Ps(а},С11«) » «> act^ (P.0)

пусть обозначает наибольшее натуральное п, при

котором extyu.B^ нетривиальны для всех а,В из категории «t. Соки адпохлмны условия теорем KI.2.5» то имеет место оценка

- gl.dim^Crf s <3bi.(<t) + gl.dimití . '

Работи автерэ по теме диссертаций

1. Хусяиков A.A. Когэмологил малых категорий с коэйищента-ми б абелеьой категория с точном произведениями// Сиб. матем. ¡кури. 1969, Т.30. N.4, С.2Ю-215.

2. Kusair.ov a.a. On Ext in diagrams category// Тезисы 2-го Со îtcko-Шюнского симпозиума "Теория размерности и .смехсные вопросы", Хабаровск - 1939. Препринт 1ШИ, 1989, • К.7, С.17. "

3. Hu3air¿ov A.A. Ochcrnology of small catégorisa// Q5c', in Genaro!.Topology, 1990, Vol.0, P.179-184.. .

4. Хусаиноь A.A. Гомотопическая эквивалентность накрытия и сиектральиги последовательность расслоения// Сиб. матем. кур:-:. 1991, Т. 32, N. 1, 0.14Í-U7.