Применение метода эквипотенциалей в задачах гидродинамики свободных турбулентных течений и фильтрации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



Ш праваx рукописи

Гребенев Владимир Николаевич

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЭКВИПОТЕНЦИАЛЕЙ В ЗАДАЧАХ ГИДРОДИНАМИКИ СВОБОДНЫХ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ И ФИЛЬТРАЦИИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения,

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2004

Работа выполнена в Институте вычислительных технологий СО РАН

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Черных Г.Г.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Капцов О.В.

доктор физико-математических наук,

профессор Шапеев В.П.

доктор физико-математических наук,

профессор Шелухин В.В.

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН, Москва.

Защита диссертации состоится "8" июня 2004 г. в "15" часов на заседании диссертационного совета Д212.174.02 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Н.И. Макаренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию нелинейных задач, возникающих в теории полуэмпирических моделей турбулентности и нелинейной фильтрации. Разработка методов исследования изучаемого класса задач является важным этапом их анализа, что позволяет, в частности, ответить на вопрос о корректности модели, изучить условия формирования фазовой структуры решения, проследить выход решений на асимптотический режим, описать классы частных решений и изучить другие качественные свойства решений.

Характерной особенностью рассматриваемых моделей является их существенная нелинейность, где наличие диффузионных, и конвективных членов в уравнениях вносит дополнительную сложность в их исследование.

Теория нелинейных диффузионных уравнений представляет собой-одну из активно разрабатываемых в настоящее время областей. Вместе с: тем, опыт ее применения при изучении рассматриваемого класса задач потребовал дополнительных усилий, связанных как с наличием вырождения уравнений на заранее неизвестных множествах, так и со сложной структурой самих моделей, что приводит к необходимости дальнейшего развития методов исследования нелинейных диффузионных уравнений и систем.

Применение топологических методов часто оказывается весьма эффективным инструментом при исследовании специфических свойств, присущих рассматриваемым моделям - геометрии множества вырождения уравнений, формы профиля решений, существования совокупностей решений (инвариантных многообразий) и некоторых других свойств.

В настоящей работе дается изложение применения метода эквипотен-циалей (линий и поверхностей уровня) при изучения такого рода особенностей в исследуемых задачах. Прежде всего в диссертации излагается: — применение метода линий уровня для исследования геометрии свободной границы, формы профиля решения, перемен знака производной и некоторых других свойств решений уравнений типа нелинейной фильтрации, уравнений с переменным направлением параболичности, нелинейных параболических уравнений и систем вырождающихся параболических уравнений, возникающих в задачах теории полуэмпирических моделей турбулентности;

-- применение метода дифференциальных связей (построение инвариантных многообразий) для нахождения различных классов решений

| гас национальна? I

1 I БИБЛИОТЕКА I

задач о развитии бессдвигового турбулентного слоя смешения и динамики дальнего плоского турбулентного следа и, кроме того, его использование для получения и обоснования алгебраических параметризаций высших моментов гидродинамических полей.

Метод линий уровня получил достаточно широкое расспростране-ние при качественном исследовании моделей механики жидкости и газа. В. И. Арнольд и Б. А. Хесин в своей известной монографии "Topological methods in hydrodynamicd отмечали успех применения данного метода. В задачах газовой динамики это работы А. А. Никольского, Г. И. Тага-нова, А. И. Рылова, Э. Г. Шифрина и других. А.С. Калашников, В. Кпегг для изучения свободных границ в задаче о фильтрации жидкости в пористой среде использовали линии уровня для аппроксимации границы области, заполненной жидкостью.

Существенный прогресс в изучении свойств решений нелинейных параболических уравнений связан с применением теоремы Штурма (S. Angenent//J. Reine Angew. Math. - 1988. - Vol.390. - P.79-96) о нулях решения однородного параболического уравнения. Данная теорема позволила исследовать динамику "свертывания"локально выпуклых плоских кривых (S. Angenent//J. Dí Geomet. - 1991. - Vol.33. - P.601-633), где, в частности, изучалось поведение функции числа вершин рассматриваемых кривых. S. Angenent, M. Gurtin (Arch. Rat. Mech. Anal. - 1989. - Vol.108. - P.323-391) на основе теоремы Штурма изучали геометрию свободных границ в задаче о фазовых переходах, анизотропные движения линий раздела фаз в задаче о плавлении твердого тела, эволюцию изотермальных линий раздела фаз в задачах многофазной термомеханики.

Форму профиля решений (аналитичных по переменной t) для линейных параболических уравнений изучали К. Kunisch, G. Peichl (J. Diff. Eq. - 1988. - Vol.75. - P.329-353.), которые существенно использовали аналитичность решения для изучения числа нулей производной uj.,t). Для уравнения нелинейной фильтрации (Ph. Benialan, J. Vazquez// Trans. Amer. Math. Soc. -1987. - Vol.299. - P.81-99) свойство сохранения формы профиля функции давления при изменении времени доказывалось на основе формулы Троттера-Като для полугрупп, порожденных операторами, полученными в результате расщепления правой части уравнения нелинейной фильтрации на диффузионный оператор и оператор типа Гамильтонна-Якоби. При этом существенно использовался конкретный вид уравнения.

Форму профиля функции давления газа с других позиций изучали V. Galaktionov, J. Vazquez (Math. Ann. - 1995. - Vol.303. - P.741-769),

которые применяли метод сравнения по пересечениям с классом точных решений с заведомо известными свойствами. Следует отметить, что эти подходы имеют ограниченные области применения. В методе линий уровня для параболических уравнений не используются указанные выше специфические особенности рассматриваемого класса уравнений, не требуется нахождение точных решений уравнений, исследование их свойств и применение теорем сравнения, так как лежащая в основании метода теорема Штурма, позволяющая находить линии уровня решения, не накладывает дополнительных ограничений на класс уравнений, а представляет фундаментальное свойство решений параболических уравнений.

Для уравнений переменного типа с "прямой"и "обратной" параболичностыо, также изучаемых в настоящей работе, применение метода линий уровня оказалось эффективным при исследовании множеств (интерфейсов), разделяющих области изменения типа уравнений. Уравнения данного вида возникают при описании динамики образования двухфазной смеси (J.W. Calm, J.E. Hiiliard// Л. Chem. Physics. - 1958. - Vol.28. - P.258-2G7), исследовании эффекта термоклипа в океане (А.С. Монин, А.В. Яглом. Статистическая гидромеханика Т.1. - С-Пб: Гидрометеоиздат, 1992), в моделях тепло- и массопереноса в стратифицированных турбулентных сдвиговых потоках (G.I. Barenblatt, М. Bertsch, R. Dal Passo, M. Ughi // SIAM Л. Math. Anal. -1993. Vol.6. - P. 1414-1439); при моделировании сложных турбулентных потоков (Н.Н. Япенко. Избранные труды. -- М.: Наука, 1991; Н.Н. Дненко,

B.А. Новиков, Т.И. Зеленяк // Числен, мет. механ. сплош.среды. - 1974. - Т.5. - С.35-46). При численном исследовании системы уравнений

газовой динамики первое дифференциальное приближение в методе частиц в ячейках для уравнений газовой динамики дает пример такого рода уравнений (Ю.И. Шокин, Н.Н. Яненко. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1985); в исследовании вязко-упругих неныотоновских жидкостей (J. Hunter, M. Slemrod // Phys. Fluids. - 1983. - Vol.25. - P.2345-2351; П.И. Плотников // ДАН. - 1993. - T.330- №6. - С.691-693); при изучении неравновесных фазовых переходов (А.А. Lacey, M. Shillor // IMA Л. Appl. Math. - 1983. - Vol.30. - P.215-230); в процессах образования встречных потоков в пограничном слое (В.Н. Монахов, О.Б. Бочаров // Динамика сплошной среды. - 1998. - Вып.113. -

C.107-113; Динамика сплошной среды. - 1978. - Вып.37. - С.27-39) и др. физических явлениях также возникают уравнения указанного типа.

Принцип максимума для данного класса уравнений в различной фор-

ме получали K.Hollig, J.A. Nohel, B.A. Новиков, М.М. Лаврентьев (мл.) и др. Априорным оценкам решений были посвящены работы Н.Н. Яненко В.А. Новикова, Т.И. Зеленяка, М.М. Лаврентьева(мл.), В.Н. Монахова, А.Г. Подгаева, О.Б. Бочарова, С.Г. Пяткова, K.Hollig, J.A. Nohel, J. Bona и др. Стационарные, автомодельные и некоторые другие частные решения были получены P.P. Ахмеровым, В.Н. Гребеневым, В.А. Новиковым, М. Slemrod, M. Gurtin, J. Carr. Вопросы существования и единственности решений освещались в работах В.А. Новикова, И.В. Шваб, С.Г. Пяткова, В.Н. Монахова, А.Г. Подгаева, О.Б. Бочарова, K.Hollig, J.A. Nohel и др. Мерозначные решения исследовались П.И. Плотниковым, М. Slemrod, DiPierna, L. Tartar, C. Elliott, R. Pego, A. Tzavaras. Численный анализ решений проводился Н.Н. Масловой, В.А. Новиковым, В.Ф. Кимом, Г.И. Зелинской, G. Streng, M. Abdel-Naby, K.Hollig, J.A. Nohel и др.

Список публикаций по параболическим уравнениям с переменным направлением эволюционности является весьма обширным. Мы не касаемся анализа работ посвященным различным регуляризациям для данного класса уравнений и вопросам связанных с предельным переходом в регуляризаторах.

Разработка методов исследований данного класса уравнений обусловлена их важными приложениями при изучении математических моделей, описывающих различные физические процессы. Особенностью данного раздела работы является развитие метода линий уровня в направлении исследования фазовой структуры решения уравнения, т.е. выделение областей, на которых не происходит изменения типа уравнения.

Современное исследование математических моделей, основанных на дифференциальных уравнениях с частными производными, включает изучение их инвариантных многообразий (поверхностей уровня в пространстве позволяющих получать инвариантные решения

эволюционных уравнений. Инвариантные свойства ряда полуэмпирических моделей турбулентности (включая (е, с) — ) с применением методов символьной алгебры для стратифицированных жидкостей изучались В.Г. Байдуловым, Ю.Д. Чашечкиным (ДАН. - 2002. - Т. 387. - №6), В.Г. Байдуловым, Д.В. Хангунян, Ю.Д. Чашечкиным (Препр. №695, ИПМ РАН. - 2001). Важным приложением к исследованию алгебраических параметризаций для высших моментов гидродинамических полей в полуэмпирической теории турбулентности является использование метода дифференциальных связей. Метод дифференциальных связей для выделения классов решений систем дифференциаль-

ных уравнений, позволяющий получать соотношения градиентного типа на искомые функции, совместные с исходной системой был предложен Н.Н. Яненко (Теория совместности и методы интегрирования систем нелинейных уравнений в частных производных. Тр.4 Всесоюзного мат. съезда. Т.2. - Л.: Наука, 1964), который указал на принципиальную возможность применения этого подхода для обоснования процедуры замыкания моментных уравнений в теории турбулентности. Приложение этой теории к уравнениям газовой динамики дано А.Ф. Сидоровым, В.П.Шапеевым и Н.Н.Яненко (Метод дифференциальных связей и его приложение в газовой динамике. - Новосибирск: Наука, 1984). Напомним, что в методе дифференциальных связей выделение частных решений системы дифференциальных уравнений осуществляется присоединением к ней дополнительных дифференциальных соотношений. Помимо нахождения конкретных классов решений метод дифференциальных связей открывает возможности для аналитических исследований, основанные на понятии инвариантного многообразия (O.V.Kaptsov//Nonlin. Anal. - 1992. - Vol.19. - Р.753-761). Наличие инвариантного многообразия приводит к исследованию систем дифференциальных уравнений на поверхностях уровня, определяемых соответствующими уравнениями. Дифференциальные связи, задающие инвариантное многообразие позволяют сократить число уравнений и заменить операцию дифференцирования некоторой алгебраической процедурой. Применение этого подхода к исследованию параметрических моделей турбулентпости позволило сформулировать концепцию для обоснования процедуры замыкания мохментных уравнений в рамках метода дифференциальных связей: алгебраические параметризации высших моментов модели интерпретируются, как уравнения инвариантных многообразий, порожденные соответствующими дифференциальными уравнениями модели. Последнее дало возможность обосновать известные алгебраические модели (К. Hanjalic, В. Launder // Т. Fluid Mcch. - 1972. - Vol.52. - 609638; О. Zeman, J. Lumley//J. Athmos. Sci. - 1976. - Vol.33. - P.1974-1988; W. Lewellen//In: Handbook of turbulence. Fundamentals and applications. V.I. - Plenum Press, 1977), дать инструмент для получения алгебраических параметризаций высших моментов, проанализировать некоторые известные алгебраические модели и предложить более простые схемы численной реализации моделей.

Основные цели диссертации сформировались в результате исследования ряда задач и состоят:

— исследовании бессдвигового турбулентного слоя смешения в однородном и стратифицированном потоке;

— • анализе и обосновании локально-равновесных приближений в алгебраических моделях турбулентности Ханьялика-Лаундера, Земана-Ламли, Прандтля;

— в изучении эволюции вспышки турбулентности в жидкости;

— исследовании динамики дальнего плоского турбулентного следа;

— изучении распространения примеси (тепла) в плоском безымпульсном турбулентном следе.

Рассматриваемые задачи решались в рамках полуэмпирической теории турбулентности колмогоровского типа (А.Н. Колмогоров// Изв. АН СССР. Сер. физ. - 1942. - Т.6. - №1-2. - С.56-58; А.С. Монин, А.В. Яглом. Статистическая гидромеханика. Т.1. - С-Пб.: Гидрометео-издат, 1992), и моделей турбулентности высокого порядка замыкания (К. Hanjalic, В. Launder//J. Fluid Mech. - 1972. - Vol.51. - P. 301-335.; О. Zeman, J. Lumley// J. Athmos. Asci. - 1976. - Vol.33. - P. 19741988; Kraichnan R.// Proc. Symps. Appl. Math. - 1962. -Vol.19. - P. 199225); B.B. Dyushin. Higher-moment diffusion in stable stratification. In: Closure strategies for turbulent and transition flows /Eds: Launder B.E. and Sandham N.D. - Cambridge University Press, 2002).

При изучении класса уравнений типа нелинейной фильтрации, описывающих нестационарную фильтрацию жидкости или газа в пористой среде, ставились следующие цели:

— исследовать структуру линий уровня решений данного класса уравнений и на этой основе изучить их геометрические свойства (сохранение формы профиля решения и формирование вогнутого профиля за конечное время);

— распространить полученные результаты на наиболее широкий класс нелинейных параболических уравнений.

Для уравнения переменного типа с так называемой "прямой"и "об-ратной"параболичностью ставились следующие задачи:

— изучить условия разрешимости задачи Коши, описать возможные типы интерфейсов и дать анализ структуры решения.

Основные результаты и их научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

1. На основе метода дифференциальных связей впервые обоснованы тензорно-инвариантные модели Ханьялика-Лаундера (для нестратифи-цированного потока) и Земана-Ламли (в случае стратифицированного потока) на примере задачи о бессдвиговом турбулентном слое смешения с использованием модели третьего порядка замыкания. Основным результатом является теорема о существовании инвариантного многообразия модели, что позволило получить решение задачи (найти частные

решения), как в случае устойчивой, так и неустойчивой стратификации потока ([1|- [4]), построить аптомодельные решения ([5]-[9|). Показано, что алгебраические параметризации для третьих моментов совпадают с уравнениями инвариантных многообразий, порождаемых рассматриваемыми моделями, а частота Брента-Вяйсяля является бифуркационным параметром при исследовании решений уравнения для временного масштаба турбулентности ([1], [2], [6]-(9]).

2. Выполнен анализ локально-равновесного приближения в задаче о дальнем плоском турбулентном следе (классическая трехпараметри-ческая модель Ханьялика-Лаундера). Установлено, что существование инвариантного многобразия рассматриваемой модели второго порядка связано с обращением в ноль скобки Пуассона для функций дефекта скорости и энергии турбулентности, указаны случаи реализации данного критерия. Численно-аналитическое исследование модели позволило дать обоснование правомерности используемого замыкающего соотношения в локально-равновесном приближении на основе метода дифференциальных связей. Представлена редукция изучаемой дифференциальной модели к более простому дифференциально-алгебраическому виду, что дает основу для нахождения класса точных решений [10]- [12]. Показано, что метод дифференциальных связей является эффективным инструментом при анализе используемых на практике полуэмпирических моделей турбулентности, в частности, при изучении дальнего плоского безымпульсного турбулентного следа. Важным приложением предложенного подхода является получение алгебраических соотношений для характеристик турбулентного потока. Оказывается, что некоторые эмпирические константы могут быть найдены исходя из полученных формул, вычисленные значения которых близки к экспериментальным 111].

3. В задаче об эволюции вспышки турбулентности изучаемой с привлечением однопараметрических (е:,Ц), (е,5) - моделей турбулентности (Г.И.' Баренблатт. Н.Е.Кочин и развитие механики. М.:Наука. 1984; О.Ф. Васильев, Б.Г. Кузнецов, Ю.М. Лыткин, Г.Г. Черных//Известия АН СССР. Серия МЖГ. - 1974. - №3. - С.45-52.) доказана разрешимость задачи с начальными данными в классе обобщенных функций ([13], [14]). Для (е,Ц) - модели установлено, что при гладких начальных данных задача Коши порождает динамическую систему в некотором функциональном пространстве, исследованы качественные свойства свободной границы, отделяющей турбулизованную область жидкости от области, незахваченной турбулентными возмущениями; даны оценки на энергию турбулентности и толщину турбулентного слоя; построен итс-

рационный процесс для нахождения свободной границы [15]. В задаче с сингулярно возмущенной начальной энергией турбулентности доказано существование обобщенного решения и установленно, что на асимптотической стадии процесса расплывания турбулетного пятна становится существенным слагаемое в уравнении, отвечающее за диссипацию энергии турбулентности [16].

4. При использовании упрощенной (е,е)-модели турбулентности в задаче об эволюции вспышки турбулентности доказано существование слабого решения решения задачи Коши и непрерывного решения с ограниченными обобщенными производными. Установлено, что граница тур-булизованной области является непрерывной кривой [17]- [19]. В задаче о бессдвиговом турбулентном слое смешения для (е,е)-модели доказана сходимость решения задачи Коши к автомодельному решению, полученному на основе модели третьего порядка замыкания [6] (см. п.1).

5. С использованием математической модели, включающей в себя уравнения баланса количества движений и кинетической энергии турбулентности, исследована динамика дальнего плоского безымпульсного турбулентного следа. Для течения жидкости в дальнем следе доказана теорема о корректной разрешимости задачи с начальными данными, найдено автомодельное решение и исследовано асимптотическое поведение решения задачи [20].

6. На основе (е,Ь)-модели для энергии турбулентности совместно с диффузионным уравнением для переноса пассивной примеси (тепла) турбулентным спутным потоком с нулевым суммарным избыточным импульсом изучена задача о распространении тепла от симметричного плоского нагретого тела. Доказаны теоремы о разрешимости задачи Коши, как в случае непрерывных начальных данных, так и для распеде-ления температуры, заданной в виде мгновенного источника [21].

7. Для уравнения типа нелинейной фильтрации изучены геометрические свойства функции давления. Доказано, что при определенных предположениях на начальные данные задачи решение сохраняет вогнутый профиль относительно пространственной переменной, а в случае, когда не предполагается вогнутость начального значения для давления получено, что за конечный промежуток времени формируется вогнутый профиль функции давления [22], [23]. Доказательство проведено с помощью метода линий уровня. Данной подход позволил расспространить полученные результаты на достаточно широкий класс нелинейных вырождающихся уравнений ([24], [25]).

8. Для уравнения переменного типа с "прямой"и "обратной "параболичностью исследовано возникновение интерфейсов.

Описаны некоторые возможные типы интерфейсов, в частности, построены примеры, показывающие, что интерфейсы для таких уравнений могут быть как линиями, так и множествами ненулевой меры. Полученная информация о поведении интерфейсов позволила доказать теорему о локальной разрешимости задачи Коши в классе непрерывных функций |27], [28].

Теоретическая и практическая ценность работы.

Дано применив и развитие метода эквипотенциален, как одного из инструментов математических методов исследования моделей механики сплошных сред, к различным задачам гидродинамики; разработан новый подход к анализу полуэмпирических моделей турбулентности; обоснованы используемые в параметрических моделях турбулентности алгебраические замыкающие соотношения для высших моментов (модели Ханьялика-Лаундера и Земана-Ламли); впервые получены редукции в моделях о бессдвиговом турбулентном слое смешения и дальнем турбулентном следе (модель Ханьялика-Лаундера), что является важным для численного моделирования турбулентных потоков. Метод дает возможность выделять различные классы решений и формулировать условия, гарантирующие корректность постановок рассматриваемых задач. Кроме того, изучение качественных свойств решений задач возникающих при исследовании динамики нелинейных диссипативных процессов, описываемых вырождающимися параболическими уравнениями, является дальнейшим вкладом в развитие теории нелинейных параболических уравнений и систем.

Представленные в диссертации исследования проводились в рамках различных программ и грантов поддержанных Целевыми программами СО РАН, Министерством образования РФ и грантовым центром при Новосибирском государственном университете, Российским фондом фун-даметальных исследований (коды проектов 97-014)0768 (руководитель), 05 01-00910 (исполнитель), 98-01-00736 (исполнитель), 014)1-00783 (исполнитель), Сибирским отделением РАН (интеграционный проект 20001 (ответственный исполнитель темы)) и INTAS (код проекта 97-2022).

Апробация работы. Основные научные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на совместных заседаниях семинара им. И.Г. Петровского и Московского математического об-ства (Москва 1987, 1995), 7 международном совещании "Laboratory modeling of dynamics processes in ocean" (Москва, 1993), Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1994, 1996, 1998), Сибирской школе "Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика"(Новосибирск, 1997), 2 Европей-

ской конференции "Elliptic and parabolic problems"(Pount-a-Mausson, France, 1994), 2 Азиатской математической конференции (Bangkok, Thailand, 1995), Международной конференции АМСА'95 "Advanced Mathematics, Computational and Applications"(Новосибирск, 1995), 15 IMACS World Congress on Scientific Computational, Modeling and Applied Mathematics (Berlin, Germany, 1997), семинаре по дифференциальным уравнениям (Sao Paolo Universidade, Brazil, 1997), Международной конференции "EquidifF99"(Berlin, Germany, 1999), Международной конференции посвященной 70-летию ак. С.К. Годунову "Mathematics in applications" (Новосибирск, 1999), 8 Европейской конференции по турбулентности "Advances in Turbulence VIII" (Barcelona, Spain, 2000), 16 IMACS World Congress on Scientific Computational, Applied Mathematics and Simulation (Lausanne, Switzerland, 2000), 17 Российско-Японском симпозиуме по вычислительной гидродинамике (Москва, 2000), 15 Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", посвященной 100-летию ак. М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2000), GAMM'2001 Annual Scientific Conference (Zurich, Switzerland, 2001), Международной конференции "Recent developments in applied mathematics and mechanics "посвященной 80-летию ак. Н.Н. Яненко (Новосибирск, 2001), International Congress of Mathematicians 2002 (Beijing, China), Международной конференции "Fluxes and structures in fluids"(С-Петербург, 2003), Международной конференции "Kolmogorov and contemprary mathematics" (Москва, 2003) и на ряде других. На различных стадиях выполнения работа обсуждалась на семинарах в Институте вычислительных технологий СО РАН, Институте теоретической и прикладной механики СО РАН, Институте математики им. Соболева СО РАН, Институте гидродинимики им. Лаврентьева СО РАН, Институте теплофизики им. Кутателадзе СО РАН, Институте проблем механики РАН.

Участие в работе конференций было бы невозможным без финансовой поддержки Интеграционной программы СО РАН, International Science Foundation, Travel grant of ICT Trieste and IMU-CDE, Российского фонда фундаментальных исследований, Грантового центра при Новосибирском государственного университета, Факультета прикладной математики университета Сан Паоло, Европейской программы INTAS, Grant of Seminar Angewandte Matematik of Swiss Federal Institute of Technologies, ICM2002 Grants Committee.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 28 работах, список которых приведен в конце автореферата. Из совместных публикаций в диссертационную работу включены результаты, получен

ные непосредственно автором.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, 17 разделов, которые по тематике собраны в пять глав и списка литературы из 180 наименования. Полный объем диссертации составляет 203 страницы.'

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Введение носит обзорный характер. Дается анализ имеющихся в литературе результатов, приведено краткое содержание диссертации.

Глава 1 «Бессдвиговый турбулентный слой смешения» содержит разделы 1 -4, в которых дается изложение нового подхода, основанного на методе дифференциальных связей для получения и обоснования процедуры замыкания моментных уравнений в параметрических моделях турбулентности.

Раздел 1 является вводным; содержит необходимые сведения из анализа симметрии дифференциальных уравнений, касающиеся понятия инвариантного многообразия для произвольной системы эволюционных уравнений и дается краткое описание стратегии замыкания моделей турбулентности.

В разделах 2, 3 формулируется и изучается модель турбулентного переноса в бсссдвиговом слое смешения. Детальное лабораторное экспериментальное исследование осуществленно Н.В. Алексенко, В.И. Букре-евым, В.А. Костомахой (ПМТФ. - 1985. - Т.149. - №1. - С.57-62). В случае отсутствия стратификации потока формулируется и исследуется автомодельная постановка задачи о бессдвиговом турбулентном слое смешения. Основным результатом раздела 2 является теорема о существовании параметрического семейства автомодельных решений. Кроме того показано, что особенностью полученного автомодельного решения является существование дифференциальных связей, которые выделяют данный класс решений. Установлено, что алгебраическое выражение для тройных корреляций (дифференциальная связь модели) совпадает с тензорно-инвариантной моделью (Ханьялика-Лаундера).

В разделе 3, в котором развиваются вышеупомянутые результы, изучается динамика бессдвигового слоя смешения для стратифицированного потока. Доказывается теорема о существовании инвариантного многообразия изучаемой модели, позволяющая получить решение задачи как в случае устойчивой, так и неустойчивой стратификации. Оказывается, что алгебраическая параметризация для третьих моментов (модель Земана-Ламли) задаст уравнение инвариантного многообразия рассматриваемой модели, а частота Брента-Вяйсяля является бифуркационным

параметром при исследовании решении уравнения для временного масштаба турбулентности.

Для описания бессдвигового слоя смешения между потоками, различающимися масштабом турбулентности, привлекается модель третьего порядка замыкания (Б. Б. Илюшин//ПМТФ. - 1999. - Т. 40. - №5. -С.871-876):

d{w3) _ а

dt ~ dz

kt{w )

dz

dt ~ dz

+ (2)

-e(l + ar2N2)*, (3)

где a = 2/3, к = 6cx/c3(ci + 2), 7 = 2c2(ci + l)/3cu S = 3c1c<f/2(c1 + 2), в = 2ce2(cj +2)/3ci, f = (w2)/e and a = <%n/8(ci +2)2. Используются следующие обозначения: w - вертикальная пульсадионная составляющая вектора скорости; (w2) - одноточечная корреляция второго порядка пульсаций вертикальной компоненты скорости; т — Eft - временной масштаб турбулентности; Е - кинетическая энергия турбулентности; е -спектральный поток кинетической энергии турбулентности; N2 = fio^'i N - частота Брента-Вяйсяля (значение N = 0 соответстует нестратифи-цированному потоку); /3 = 1/0 - коэффициент объемного расширения; 0 - средняя потенциальная температура; g - ускорение силы тяжести; с„* - эмпирические постоянные модели; угловые скобки (•) - знак осреднения.

Одно из инвариантных многообразий системы (1)-(3) имеет вид

D = {(w2),(w3),t : nl((u>%(v>3),i) = (w3) + mv2)(w2)z=0}. (4)

Для установления инвариантности множества D относительно потока порожденного системой (1)-(3) доказывается, что оператор 'Н1((ш2), (ш3),т) на множестве гладких решений системы (1)-(3) сохраняет знак. Справедлива

Теорема 3.1. Пусть {((ty2), (гиг), е)} - достаточно гладкое решение системы (1)-(3) такое, что f = (ги2)/е удовлетворяет условиям:

| = 0, § = (2а-7)(1 + а^2) + §. (5)

Предположим, что к — 5. Тогда оператор И1 является знако-инвариантным для системы (1)-(3).

Следствие 3.1. Уравнение И1((102),(ю3),т) = 0, которое определяет инвариантное множество системы (1)-(3), совпадает с алгебраической моделью тройных корреляций Земана-Ламли (О. Zeman, J. Lumley// I. Athmos. Sci. - 1976. - Ш.33. - P. 1974-1988);

Следующая теорема дает основу для нахождения различных классов решений.

Теорема 3.2. Пусть а(2а — 7) = а(д — а), § + 2а — 7 = в — « и к = 6.

Тогда множество Б является инвариантным многообразием системы (1)-(3), которая допускает редукцию на Б вида

(6)

где функция есть решение уравнения

Ё. л

= (о -а)(1+ ат2И2).

(7)

(8)

(9)

Начальные условия для уравнений определяются исходя из физической постановки задачи. Полученная редукция исходной системы позволяет находить различные решения задачи. Особое внимание уделено построению решений, как в случае устойчивой стратификации потока (Л^2 > 0), так и неустойчивой стратификации Сведение исходной систе-

мы к дифференциально-алгебраическому виду (6)-(9) дает возможность формулировать теоремы существования решений.

Последний раздел главы посвящен изучению асимптотического поведения модели второго порядка замыкания ((с, б) - модель) в задаче о турбулентном слое смешения. Устанавливается, что полученное автомодельное решение модели третьего порядка замыкания являтся асимптотическим решением - модели.

Глава 2 «Динамика дальнего плоского турбулентного следа» включает разделы 5-8. Цель данных разделов состоит в анализе используемых при моделировании турбулентных потоков локально равновесных аппроксимаций моментов второго порядка на основе метода дифференциальных связей. Исследование проводится на примере задачи о динамике дальнего плоского турбулентною следа, для сдвигового потока. В разделе 5 излагается (е,с, («V)) - модель (см., например,

W. Lewellen//In: Handbook of turbulence. Fundamentals and applications. V.I. - Plenum Press, 1977):

(10)

(11) (12)

Здесь ио - скорость невозмущенного потока; Щ = 1!о — и - дефект продольной осредненной компоненты скорости; , иц - коэффициенты вязкости;

"«1 = = р = <и "

е - энергия турбулентности, е - скорость диссипации энергии турбулентности в тепло, Р - порождение энергии турбулентности за счет градиентов осредненного движения. Касательное рейиольдсово напряжение* (и"гУ) определяется из дифференциального уравнения

тт д{и'у') _ в д(и'у') е ди

(14)

где 1^3 = Сает. В е л сг0 С(1, С(2, С^, Сфп Сф2, С„ эмпирические постоянные.

Алгебраической моделью касательного рейнольдсова напряжения (uV) служит формула (локально-равновесная аппроксимация)

(и',') = -С.теЩ.

(15)

Вывод соотношения (15) можно связать с инвариантностью множества Б относительно потока, порожденного системой (10)-(12), (14). Введем в рассмотрение множество Б:

В = {е,т, и, («V) : д1 (е,т, и, {и'ь')) = <«'и'> + С^геЩ = 0}. (16)

Важное место в доказательстве инвариантности множества Б имеют решения уравнения для

rr-1 f1 9 de P , e д de _ _ Л

^ Ыл Ty + 7 -1 - éd-y^d-y + - ад} =

[eSy dy edy dy e

6 dy at dy e ' J

При ae = 1 (такой выбор константы совпадает с рекомендуемым значением ае = 1 (В. Launder, A. Morse, W. Rodi, D. Spalding//NASА' Report. - 1973. - SP-321. - P.361-422; W. Lewellen// In: Handbook of turbulence. Fundamentals and applications. V.l. - Plenum Press, 1977), Cei = 1 (рекомендуемое значение равно 1.4) уравнение допускает решение т{х,у) = f/,(x) = Uq1(C(2 — 1)(а; + хо). Следующая теорема дает критерий инвариантности D:

Теорема 5.1. Пусть U\, е, е, {u'v') - достаточно гладкие решения системы (10)-(12), (14) и сте = Сп = 1. Предположим, что Сф2-СфхСц = Сц (Се2 — 1). Тогда множество D при f = тд является инвариантным многообразием системы (10)-(12), (14), если и только если скобка Пуассона {е,СМ = 0-

Используя

рекомендуемые значения констант Сф1, Сц, С(2 (W. Lewellen // In: Handbook of turbulence. Fundamentals and applications. V.l. Plenum Press, 1977), и вычисляя правую часть соотношения Сф2 — Сф1С^ — Сц(С(2 — 1) равную 0.081 получаем, что Сф2 незначительно отличается от Сф^Сц. Полученная величина Сф2 близка к используемым на практике ее значениями.

Следующие простые примеры описывают потоки с нулевой скобкой {е, E/i} = 0: беседвиговый поток с нулевым дефектом продольной осред-ненной компоненты скорости U\ = 0; поток с вырожденными компонентами ех = U\x — 0. Менее тривиальный пример - это течения, в которых порождение равно диссипации Р = е.

, . С целью проверки приведенного выше утверждения была выполнена серия численных экспериментов к.ф.-м.н. А.Г. Деменковым (сотрудником ИТ СО РАН). В качестве начальных условий задавались функции, согласованные с экспериментальными данными Таунсенда о вырождении дальнего плоского турбулентного следа за круговым цилиндром (А.А. Таунсенд. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом. - М.: Изд-во иностр. лит., 1959). Результаты расчетов (которые практически не зависят от параметров сетки) демонстрируют близость к нулю сеточного аналога скобки Пуассона; при этом рассчитанные с применением двухпараметрической (е,е) и трехпараметрической (е,б, (u'v1))

моделей турбулентности характеристики следа оказались практически идентичны.

Сложность данной модели не позволила аналитическими методами полностью проанализировать, на каких решениях реализуется равенство нулю скобки Пуассона {e,Ui} = 0.

В разделе б для линеаризованной модели дальнего плоского турбулентного следа (Л.И. Скурин//ИФЖ. -1970. - T.XVIII. Вып.5. - С. 916918) в рамках метода дифференциальных связей показано, что применение локально равновесного приближения для моментов второго порядка допустимо на автомодельных решениях. Основное отличие рассматриваемой здесь модели от вышеприведенной состоит в том, что для коэффициента турбулентной вязкости Vt используется представление Прандтля: Vi — xU\ ща*Ь, где х~ эмпирическая постоянная; UimAX(x)~ максимальное значение £/; при каждом фиксированном значении переменной г; L — L{x)~ масштаб турбулентности. Дается точная связь между коп-стантами модели, совпадающая с используемыми на практике соотношениями между ними. Кроме того, доказывается существование и единственность решения задачи с начальными условиями; сходимость к автомодельному решению при и изучаются качественные свойства полученного решения.

Раздел 7 посвящен изучению вопроса о применимости алгебраического выражения для тройных корреляций флуктация вертикальной компоненты скорости), которое, как правило, применяется в моделях второго порядка зымыкания (Hanjalic К., Launder B.E.//J. Fluid Mech. - 1972. - Vol. 52. - P.609-638.), на примере исследования задачи о динамике плоского безымпульсного турбулентного следа. Исследование начинается с изучения безымпульсного дальнего турбулентного следа в однородной жидкости на основе модели (Курбацкий А.Ф., Моделирование нелокального преноса импульса и тепла. - Новосибирск: Наука, 1988), полученной с использованием гипотезы квазинормальности Мил-лионщикова, которая применяется для параметризации диффузионных слагаемых в дифференциальном уравнении для тройных корреляций. С использованием метода дифференциальных связей анализируются слагаемые, описывающие порождение и диссипацию в дифференциальном уравнении для (и3). Наиболее важным для нас является слагаемое содержащее (va); согласно гипотезе Ханьялика-Лаундера оно может быть представлено в виде

Доказывается теорема об инвариантности множества

относительно потока, порожденного изучаемой системой дифференциальных уравнений. Как следствие, это позволяет найти автомодельное решение, анализ которого показывает, что граница плоского симметричного турбулентного следа с ростом расстояния от тела не изменяется. Данное обстоятельство есть следствие того факта, что в дифференциальном уравнении для тройных корреляций, выведенном с применением гипотезы Миллионщикова о квазинормальности и приводящей в ряде случаев к физически противоречивым результатам (Монин А.С., Яг-лом A.M. Статистическая гидромеханика. Т. 1,2. - С-Пб.: Гидрометео-издат, 1992) отсутствует механизм подавления вертикальных пульсаций скорости. Подход, предложенный Kraichnan R. (The closure problem of turbulence theory// Proc. Symps. Appl. Math. - 1962. - Vol. 19. - P.199-225) и основанный на разложении моментов поля скорости по кумулянтам, позволяет преодолеть недостатки гипотезы Миллионщикова. Процедура замыкания выполняется на уровне пятых моментов (Илюшин Б.Б.//ПМТФ. - 1999. - Т.40. - №5. - С.871-876). Показано, что данная модель адекватно отражает поведение динамики безымпульного турбу-леного следа. Полученные показатели вырождения турбулентного следа достаточно хорошо согласуются с известными Колмо-горовскими законами вырождения изотропного турбулентного потока. Кроме того, зти значения близки к предложенным значениям (Сабельников В.А. О некоторых особенностях турбулентных течений с нулевым избыточным импульсом // Уч. зап. ЦАГИ. - 1975. - Т.6. - Вьга.4. -С.71-74), опирающимся на экспериментальные данные о вырождении безымпульсных следов. Близкие законы вырождения были получены в численных экпериментах (Федорова Н.Н., Черных Г.Г. О численном моделировании плоских турбулентных следов // Матем. моделирование. -1994. - Т.6. - №10. - С.24-34).

В разделе 8 изучается задача о распространении тепла от симметричного нагретого тела в плоском турбулентном следе. Рассматривается спутное турбулентное течение жидкости с нулевым суммарным избыточном импульсом на больших расстояниях от тела. При этом (как показано, например, Н.Н. Федоровой, Г.Г. Черных //Мат. моделирование. -1994. - Т.б. - №10. - С.24-34) ролью дефекта продольной компоненты скорости можно пренебречь. Уравнение баланса кинетической энер-

гии турбулентности принимает вид

x > xо, —ОО < у < 00,

где Щ - скорость невозмущенного потока, Ь - характерный масштаб турбулентности для определения которого принимаем, что Ь составляет текущую часть половины толщины турбулентного следа /1(1). На границах ±к(х) турбулентного следа И^ = {(у,х) : —Н(х) < у < к{х),хо < я}

(т.е. области, где е > 0) ставятся условия непрерывности энергии турбулентности и потока турбулентной энергии

Для описания переноса тепла привлекается уравнение

и0

ов_

дх

ду ^вду)

Здесь К, - коэффициент турбулентной вязкости, Кв - коэффициент турбулетной диффузии, определяемые из соотношений Кг = ксу/?.Ь, К$ — кдл/еЬ] а, ке, ке - эмпирические постоянные. Уравнения дополняются распределением энергии турбулентности и температуры при х = Хд

причем неотрицательная функция ео в данной задаче должна быть четной относительно оси симметрии тела и равной нулю вне области следа. Предполагается, что ео(у), - непрерывные функции, положитель-

ные для и равные нулю при

Введением переменной

исходные уравнения перепишутся в виде

(18) (19)

(2о)

где и{у,1) = е^.Г1^)), Т(у,г) = в(у,Г1(х)), /(О = ЦгЦх)). Начальные условия соответственно примут вид

и(у, 0) = и0(у) = е0 (у), Т(у, 0) = Т0(у) = в0(у). (21)

Теорема 8.1. Пусть щ(у), Го (у) - заданные непрерывные финитные функции на числовой оси Д, положительные при |у| < 1 и равные нулю на Д \ (—1,1). Тогда существуют неотрицательные функции и, Т, / такие, что верно следующее: функции и 6 С (К х [0, со)), Т 6 С([0оо);£я(Л))П£°°(К х [0,оо), / € С[0,оо) (неубывающая положительная функция) удовлетворяют уравнениям (18)-(20) в смысле выполнения интегральных тождеств; при каждом £ > 0 определена производная (и3/2) у, которая является непрерывной относительно Ь функцией такой, что (и3/2)у € Ь£с(Дх(0, оо); С (В.))] существует обобщенная производная Ту е 1>20С(<2г П \У})\ в точках (х,4) 6 функции г», Т гладкие, уравнения (18)-(20) выполняются в классическом смысле и и(у, 0) = и0(у), Т{у,0) = То(у).

Далее формулируется результат о повышении гладкости полученного обобщенного решения; доказывается теорема единственности. Раздел заканчивается исследованием задачи с сингулярным начальным распределением температуры. Приводится теорема об обобщенной разрешимости сформулированной задачи.

Глава 3 «Расплывание турбулентного слоя жидкости» содержит разделы 9-12, которые посвящены изучению задачи об эволюции вспышки турбулентности в однородной неподвижной жидкости.

Рассматривается пространство, заполненное несжимаемой однородной жидкостью, в котором в начальный момент создается плоский горизонтально однородный симметричный турбулентный слой. Для описания процесса затухания вспышки турбулентности в рамках полуэмпирической теории турбулентности привлекаются одно- и двух-параметрические модели турбулентности. Численное моделирование в двумерных постановках в однородной и стратифицированной жидкостях с численным анализом автомодельности вырождения в однородной и пассивно стратифицированной жидкостях осуществлено в работах: О.Ф. Васильев, Б.Г. Кузнецов, Ю.М. Лыткин, Г.Г. Черных //Известия АН СССР. Серия МЖГ. - 1974. - Т.З. - С.45-52; Ю.М. Лыткин, Г.Г. Черных//Динамика сплошной среды. - 1980. - Вьш.47. - С.70-89. Автомодельные решения, также изучались Г.И. Баренблаттом (см., Сб.

Н.Е.Кочин и развитие механики. - М.:Наука, 1984; Nonlinear dynamics and turbulence. - Pitman, 1983), S.P. Hastings, L.A. Peletier//Euro.J. Appl. Math. - 1992. Vol.3. - P.391-341. Вопросы, связанные с исследованием корректных постановок начально-краевых задач для однопара-метрической (е, Ц)-модели турбулентности рассматривались S. Kamin, J.L. Vazques//Euro.J. App. Math. - 1992. - Vol.3. - Р.263-272. В этом направлении результаты, полученные автором и вошедшие в диссертацию были опубликованы в 1990, 1992гг. (см. [13], [15], [16]).

В разделе 9 устанавливается разрешимость в обобщенном смысле начально-краевой задачи, которая изучается в полубесконечной полосе = {(a;,i) : х > 0,t> 0}. Используется однопараметрическая (е, L)-модель, характеризуемая уравнением баланса турбулентной энергии

д дв е1 = ТхКд~х-*>

(22)

где К - коэффициет турбулентной диффузии, б - скорость диссипации турбулентной энергии, К = Kel/2L, с = aKeL~2; к, а — положительные постоянные, L - характерный масштаб турбулентности. Принимается, что характерный масштаб составляет фиксированную часть текущей толщины турбулентного слоя.

Особенностью полученного непрерывного решения является финит-ность в любой момент времени, что является типичным свойством

вырождающихся параболических уравнений. Более детальный анализ модели показывает, что изучаемая задача порождает аналитическую полугруппу в некотором фукциональном пространстве. Как следствие, устанавливается аналитичность решения задачи и свободной границы по переменной t. Здесь используются результаты S. Angenent(Proc. Ainer. Math. Soc. - 1988. - Vol.102. - No.2. - P.329-336), полученные для уравнения нелинейной фильтрации. Кроме того, предлагается конструкция построения итерационного процесса для нахождения свободной границы турбулентной области.

Задача об эволюции вспышки турбулентности, которая в начальный момент инициируется мгновенным источником, изучается в разделе 10. Доказывается теорема о существовании обобщенного решения задачи с начальным условием в виде 5-функции. Устанавливается, что на асимптотической стадии процесса расплывания турбулентного пятна становится существенным наличие диссипативного слагаемого в уравнении баланса кинетической энергии турбулентности (22).

В рамках (e,S)~модели (O.F. Vasiliev, В.G. Kuznetsov, Yu.M. Lytkin, G.G. Chernykh//Proceedings of the Conference on Turbulent Buyant

Convection. - Yugoslavia, 1976. - P. 123-136) для уравнения (22) в разделе 11 доказана теорема о разрешимости задачи Копта в классе обобщенных решений. В данной модели коэффициент турбулентной диффузии и скорость диссипации турбулентной энергии задаются равенствами К = ке2/б и е = ae3/2/S1/2, а характерный масштаб турбулентности полагается равным

L = 51/2, S =- I edx, emax = шах e(x,f).

emax J-oo |z|<oo

В разделе 12 для моделирования эволюции вспышки турбулентности на развитой стадии процесса изучается система вырождающихся параболических уравнений

д д et = Q^{Cieex) -с, ct = Q^(c2eex) - С3е, (23)

где С„ С2 - постоянные с размерностью времени; С% - постоянная размерности 1/t. Ставятся начальные условия:

Изучаются вопросы разрешимости задачи Коши и качественные свойства решения, которые включают исследование гладкости решения и структуры области, захваченной турбулентным возмущением

П[е] = {(х,*)еД2, e(x,t) > 0}.

Система уравнений (23) - система вырождающихся параболических уравнений. Трудность в ее изучении состоит во вхождении функции е в главные части обоих уравнений (в отличие от систем, изучаемых в работах А.С. Калашникова //Мат. сб. - 1987. - Т.133. - Вып.1. - С.11-24; Тр. семинара им. И.Г. Петровского. - 1983. - Вып.14. - С.78-88; Takasi Senba//Nonlinear Anal. - 1990. - Vol.19. - No.4. - P.789-805) и наличие диссипативного члена е (в отличие от работы М. Bertch, S. Kamin//SIAM J. Math. Anal. - 1990. - Vol.21. - No.4. - P.905-916).

Теорема 12.1 Пусть eo(x), £o(x) - непрерывные симметричные финитные функции, определенные на числовой оси R, такие что ео(х), бо(х) > 0 при |х| < 1, ео(х) = ео(х) = 0 на R \ (-1,1). Тогда существуют неотрицательные ограниченные функции е, е из C(R\), C(il[e])nL'oc(<3x)> q > 1, q < оо с обобщенными производньши (е3/2)х из Lf0C(QT), ех из L?oc(Qt П П[е]), удовлетворяющие уравнениям системы (24) в смысле выполнения интегральных тождеств.

Множество fî[e] интерпретируется, как область в жидкости, захваченная турбулентной вспышкой. Введем обозначения £(£) = sup íí(í, е) и C(t) = inf fi(í,e), где Ü{t,e) = {x€R: e{x,t) > 0,0 <t <T}. При í = 0, 4(0) = 1, C(0) = -1.

Приведем ряд свойств множества íí[e]: при всяком конечном Т, П[е] ограничено; при каждом t > 0 множество fl(¿,e) представляет собой непустой интервал; £(t) (Ç(t)) - монотонно возрастающая (убывающая) липшиц-непрерывная функция; имеет место безграничного расплыва-ния области захваченной вспышкой турбулентности: mesfi(í,e) —► оо при t —» оо.

При выполнении ряда требований на еох и ео* доказывается ограниченность обобщенных производных ех, ех] устанавливается, что e(x,t), е(х, t) являются гладкими функциями в П[е]; при х —» £(t)(Ç(t)) для п.в. t существует предел ex(£(t),t) = lim^^) е*(х, t)(ех(Ç(t),t) =• ex(i,í)), кроме того £t(¿) = —ex(Ç(t), t) соответственно Çt(t) ~ -в,(С(t),t) при п.в. t€ (0,Т).

Глава 4 "Нестационарное течение сжимаемой жидкости в пористой среде содержит разделы 13-14. В этой главе геометрические свойства решений вырождающихся параболических уравнений изучаются с единых позиций, с использованием теоремы Штурма о нулях решения однородного параболического уравнения. Исследование вогнутости профиля решения сначала проводится на примере задачи

(25)

где относительно параметра предполагается, что Затем

формулируются (и доказываются) результаты возможных обобщений на уравнения вида

(26)

где / = f(v,p,s) - аналитическая функция своих аргументов. Уравнение (25) является частным случаем (26) при f(v,p,s) = s + 7;г. Функция в изучении уравнения (26) играет важную роль. При техника исследования уравнения, основанная на регуляризации и построении аппроксимирующей последовательности для решения неприменима (S. Angenent//J. Rein Angew. Math. - 1988. - Vol.390. - P.79-96). В связи с этим, использование метода сравнения по пересечениям для исследования формы профиля решения не представляется возможным (V. Galaktionov, J. Vazquez//Math. Ann. - 1995. - Vol.303. - P.741-769; V. Galaktionov//J. London Math. Soc. - 1999. - Vol.59. - Р.955-Э77).

Теорема 13.3. Пусть i>o(z) - заданная функция с компактным носителем [-1,1] С R такая, что v0(x) G С3+а([-1,1]) (С2+а([-1,1]) при 7 > 0), v'q(x) < 0 на отрезке [-1,1]. Тогда при каждом t > 0 функция v(x,t) является вогнутой на множестве {v(x,t) > 0}.

В случае, когда Vq(x) не является выпуклой функцией, справедливы следующие утверждения.

Относительно го(х) предполагается, что vo g С1([0,1]), vqx имеет конечное число перемен знака и vox(—1) > 0, foz(l) < 0. Через n+(tk',vx) (n-(tk]vx)) обозначается максимальное число окрытых интервалов на которых vx(x,tk) > 0 (vx(x,tk) < 0).

Теорема 14.1. Пусть vqx удовлетворяет выше приведенным условиям. Тогда существует 0 < ta < оо такое, что n+(t;vx) = n-{t\vx) = 1 для всех t > ta, при t < ta функции n+(t;vx), n_(i;vx) являются кусочно-постоянными, точки разрыва совпадают с координатами ts, где vx имеет кратные нули; справедлива формула n+(i, — 0;их) + n_(i, — 0; vx) = Z(vx(-,tt)) - 1 +n+(i, + 0;иг) +n_(is + 0;из:), где 2(г;г(-,4„)) -порядок нуля производной.

Теорема 14.2. Пусть Vq имеет конечное число интервалов перемен знака и Vq ~ф. 0. Тогда существует 0 < h < оо такое, что профиль функции v(x,t) является вогнутым при t > tb на множестве {u(z,t) > 0}.

Раздел заканчивается теоремой о сохранении вогнутого профиля решения для уравнения (26). Дополнительно предполагается, что fw{v,p,s) = 0, a fv{v,p,s)|„=0 > 0.

Глава 5 «Динамика двухфазной смеси» с разделами 15, 16 посвящена изучению множеств (интерфейсов) разделяющих области изменения патаболичности уравнения

ut = иихх + иЦ= ^(u2)**), (x,t) eQt^Rx (0,Г), (27)

где не предполагается знакоопределенность функции и. Уравнение (27) возникает в контексте изучения уравнения Кэна-Хилларда

С< + £схххх = [ш(с)]и (28)

предложенного J.W. Cahn, J.E. Hilliard (J. Chem. Physics. -1958. - Vol.28. - P.258-267) для описания динамики образования двухфазной смеси. Характерной особенностью функции w является ее немонотонность (наличие, так называемых, спинодальных интервалов Van der Waals J.D. //J. Stat. Physics. - 1979. - Vol.20. - P. 197-244) Физические основы возникновения спинодальных интервалов даны в работах: Skripov V.P., Skripov A.V. //Sov. Physics Usp. - 1979. - Vol.22. - P.389-410; Gunton J.D., Droz

M. Introduction to the Theory of Metastable and Unstable States. Lect. Notes in Physics. -- Springer Verlag, 1983. При нулевой энергии фазового поверхностного взаимодействия (е = 0) уравнение (28) является уравнением переменного типа. В зависимости от знака w'(c) данное уравнение на частном решении может быть, как параболическим уравнением, так и обратным параболическим уравнением. Простейшим модельным уравнением вида (28) является уравнение со степенной зависимостью w = л2.

Целью данной главы является изучение фазовой структуры решения такого уравнения, а именно, выделение областей, на которых не происходит изменение типа уравнения, что позволяет затем найти решения рассматриваемых задач. Доказывается, что непрерывное слабое решение задачи Коши для уравнения (27) при некоторых предположениях на заданную непрерывную знакопеременную функцию иа{х) может быть представлено в виде и = u+ + и~ на некотором, вообще говоря малом, промежутке времени, где и+(> 0) и и~(< 0) - обобщенные решения соответствующих задач Коши для уравнения (27).

Введем в рассмотрение следующие множества:

которые по аналогии с задачами со свободными границами назовем нулевой, положительной и отрицательной фазами решения соответственно.

Под слабым решением уравнения в QT понимается функция

и 6 C(QT) П L°°(Qt), их 6 L%C(QT),

такая что

tl ¿2

J u(x,t2)il>(x, h)dxdt — J u(x,ti)i>(x,ti)dxdt — J J w/>t — uu-^^dxdt = 0

Xl II tl XI

для произвольных чисел ti < t-2, xi < x'2 таких что [яьХг] X , ¿2] € Qt, где яр € С1'1 Qt имеет компактный носитель для t 6 [ii,^]-

Пусть ы0(ж) - заданная непрерывная и ограниченная функция на R" такая, что ио(я) > 0 при х < 0, ио(0) = 0 и «0(1) < 0 для а < х < оо, щ{х) = 0 на отрезке [0, о], « < оо. Справедливы следующие утверждения.

Пусть существует слабое решение u(x, t) в Qt задачи Коши для уравнения (27) с начальной функцией ио(х). Тогда при Т* < Т, где Т* некоторое достаточно малое число, верно следующее представление

и(х, t) = u+(a:, t) + и~(х, t),

где u+(x,i) = u(x,t) > 0 для (x,t) € QT' П {x < £+(*)}> u+(«,t) = О для (x,t) 6 Qt• П {x > Î+(i)}, u~(x,t) = u(x,t) < 0 дня (x,t) € Qt• П {x > £+W}> u~(x, 't) = 0 для (x,t) e Qy П {x < £+(i)}> где - непрерывная функция такая, что 6 дМ+.

Пусть г«о(х) < 0, (uo(0) = 0) - заданная отрицательная непрерывная и ограниченная функция на Д~. Тогда существует такое продолжение ио(х) на R+ в область положительных значений, что задача Коши для уравнения (27) с начальной функцией щ(х), определенной на R, разрешима в малом по t в классе слабых решений.

Раздел заканчивается примерами иллюстрирующими динамику развития нулевой фазы.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Автор выражает глубокую признательность научному консультанту д.ф.-м.н., профессору Геннадию Георгиевичу Черных за внимание и поддержку на всех этапах работы над диссертацией.

Список публикаций автора

[1] Гребенев В.Н., Илюшин Б.Б. Метод дифференциальных связей в задаче о бессдвиговом стратифицированном слое смешения// Доклады РАН. - 2002. - Т.382. - №6. - С.764-768.

[2] Гребенев В.Н., Илюшин Б.Б. Об одном классе автомодельных решений задачи о бессдвиговом турбулентном слое смешения //Сиб. жур. индустр. математ. - 1999. - Т.2. - JV2 - С.51-59.

[3] Grebenev V.N., Ilyushin B.B. Invariants sets and explicit solutions to a third-order model for the shearless stratified turbulent flow//J. Nonl. Math. Phys. - 2002. - Vol.9. No.2. - P.144-156.

[4] Отчет о деятельности Российской Академии Наук в 2001г. Отделение информатики, вычислительной техники и автоматизации. Секция: Математическое моделирование. Вычислительная и прикладная математика для задач информатики. - М.: Наука, 2002.

[5] Гребенев В.Н., Илюшин Б.Б. О применении дифференциальных связей для анализа моделей турбулентности// Доклады РАН. -2000. - Т.374. №6. - С.761-764.

[6J Grebenev V.N., Dyushin B.B., Shokin Yu. I. The use of differential constraints for analyzing turbulence models// J. Nonl. Sci. Numer. Simul. - 2000. - Vol.1. - No.4. - P.305-317.

[7] Grebenev V.N., Ilyushin В.В. Algebraic parametrizations for the triple correlations in modeling the shearless turbulence mixing layer//Proceedings of the 8th Euro. Conference in Turbulence. "Advances in Turbulence VIII". - Barcelona, - Spain, 2000. - P. 359362.

[8] Grebenev V.N., Ilyushin B.B. On a class of self-similar solutions of a third-order model for the shearless turbulence mixing layer//Proceedings of 16 Imacs Worlds Congress. - Lausanne, 2000. Edited by: Michel Deville, Robert Owens. Dept. of Computer Science, Rutgers University, №№411-49. 5p.

[9] Grebenev V.N., Ilyushin B.B. The differential constraints method: application to analysis the shearless turbulence mixing laycr//PAMM. Proc. Appl. Math. Mech. - 2001. - Vol.1. - No.l. - P.426-427.

[10] Гребенев В.Н., Деменков А.Г., Черных Г.Г. Анализ локально равновесного приближения в задаче о дальнем плоском турбулентном следе //Доклады РАН. - 2002. - Т.385. №1. - С.57-60.

[11] Grebenev V.N., Chernykh G.G. Analysis of locally equilibrium approximation in momentumless turbulent plane \уаке//Вычисл. тех-иол. - 2003. - T.8. - №3. - C.U-24.

[12] Grebenev V.N. Invariant manifolds in parametric turbulent models// International Congress of Mathematics 2002, Abstract of Short Communications. Section of Mathematical Physics (August 20-28,2002, Beijing, China) - 2002, - P.286.

[13] Гребенев В.Н. О разрешимости задачи развития области турбули-зованнои однородной жидкости //ЖВМиМФ..- 1990. - Т.ЗО. - №4.

- С.616-619.

[14] Гребенев В.Н. Разрешимость задачи об эволюции турбулентного пятна в однородной жидкости на малом интервале времени// Дифф. уравн. - 1991. - Т.27. - №10. - С.1725-1733.

[15] Гребенев В.Н. О динамической системе, возникающей в задаче рас-плывания турбулентного слоя однородной жидкости// ЖВМиМФ.

- 1992. - Т.32. - №1. - С.123-135.

[16] Гребенев В.Н. Диффузия турбулентного пятна в задаче с сингулярно возмущенной начальной энергией турбулентности// ЖВМиМФ.

- 1992. - Т.32. - №12. - С.1916-1928.

[17] Гребенев В.Н. Об одной системе вырождающихся параболических уравнений, возникающей в гидродинамике//СМЖ. - 1994. - Т.35.

- №4. - С.670-682.

[18] Grebenev V.N. A system of degenerate parabolic equations which arises in hydrodynamics //2 Eur. Conf. Elliptic and Parabolic Problems. Book of Abstracts (June 13-17, 1994, Pont-a-Mousson, Prance) - 1994, -P.51-52.

[19] Гребенев В.Н. Нелинейные задачи полуэмпирической теории турбулентности// УМН. - 1995. - Т.50. Вып.4. - С.89.

[20] Grebenev V.N. Dinamica de una huella plana turbulenta alejada// Revista de Matem.: Teoria у Aplicac. - 1998. - Vol.5. No.4. - P.177-184.

[21] Гребенев В.Н. Распространение тепла в плоском безымпульсном турбулентном следе//ЖВМиМФ. - 1997. - Т.37. - №. - С.878-886.

[22] Grebenev V.N. Some geometrical properties of the solutions to the. porous medium equation// Proceedings of 2 Asian Mathematical Conference. Invited paper. (October 17-20, 1995, Thailand) - P.333-343. - Singapore: World Scientific, 1997.

[23] Grebenev V.N. Sobre la convexidad de la funcion de presion en el problema de la filtration no lineal//Revista de Matematica: Teoria у Aplicac. - 1998. - Vol.5. - No.l. - P.l-10.

[24] Grebenev V.N. Equipotential line method in nonlinear diffusion problems//Russian J. Numer. Anal. Math. Model. - 1999. - Vol.14.

- No.4. - P.327-338.

[25] Grebenev V.N., Shokin Yu.I. The equipotential line method//Proceedings of the Int. Conf. "Recent developments in Appl. Math, and Mech. Theory, Experiments and Practice". Devoted to N.N. Yanenko's 80th anniversary. - Novosibirsk, 2001. - P.84-102.

[26] Гребенев В.Н. Об одном преобразовании координат в задаче со свободной границей//СМЖ. - 1991. - Т.32. - №3. - С.39-46.

[27] Grebenev V.N. Interfacial phenomenon for one-dimensional equation of forward-backward parabolic type //Annali di Matematica Рига ed Applicata. - 1996. - Vol.CLXXV. No.IV. - P.379-394.

[28] Grebenev V.N. Interfacial phenomenon for one-dimensional equation of forward-backward parabolic type //Lorentz Center; Dynamical systems and pattern formations. Woikshop: Interfaces and parabolic regularization. (November 5-8, 1997, Leiden) - 1997. (http: //www.wi.leidenuniv.nl /hulshof /absracts6. html).

Подписано в печать 2004

Формат бумаги 60 х 86 х 1/16 Объем 1,25 п. л.

Тираж 100 экз. Заказ

Отпечатано в РИО ИВТ СО РАН 630090, г. Новосибирск, проспект академика Лаврентьева, 6

ó' 949 1

Введение

1 Бессдвиговый турбулентный слой смешения

1 Дифференциальные связи и алгебраические параметризации высших моментов гидродинамических полей

2 Автомодельное решение задачи о бессдвиговом турбулентном слое смешения.!$

3 Инвариантные многообразия, допускаемые моделью.

4 Сходимость к автомодельному решению.

2 Динамика дальнего плоского турбулентного следа

5 Анализ локально равновесного приближения.

6 Линеаризованная по Прандтлю модель дальнего плоского турбулентного следа.

7 Безымпульсный турбулентный след.

8 Распространение тепла в плоском безымпульсном турбулентном следе.

3 Расплывание турбулентного слоя в жидкости

9 Разрешимость начально-краевой задачи для однопараметри-ческой (е, Ь)-модели.

10 Диффузия турбулентного пятна при сингулярно возмущенной начальной энергии турбулентности.

11 Разрешимость задачи Коши для однопараметрической (е, S)~ модели.

12 Двухпараметрическая модель турбулентности в задаче о рас-плывании турбулентного слоя.

4 Нестационарное течение сжимаемой жидкости в пористой среде

13 Сохранение формы профиля функции давления.

14 Формирование вогнутого профиля решения.

5 Динамика двухфазной смеси

15 Фазовое разделение в смеси и вырожденное уравнение Кэна-Хилларда.

16 Фазовая структура решения уравнения.

17 Существование решения задачи.

Работа посвящена исследованию нелинейных задачг возникающих в теории полуэмпирических моделей турбулентности и нелинейной фильтрации. Разработка методов исследования изучаемого класса задач является важным этапом их анализа, что позволяет, в частности, ответить на вопрос о корректности модели, изучить условия формирования фазовой структуры решения, проследить выход решений на асимптотический режим, описать классы частных решений, и изучить другие качественные свойства решений.

Характерной особенностью рассматриваемых моделей является их существенная нелинейность; наличие диффузионных и конвективных членов в уравнениях вносит дополнительную сложность в их исследование.

Нелинейные диффузионные уравнения представляет собой одну из активно разрабатываемых в настоящее время областей теории дифференциальных уравнений в частных производных. Особое место в ней занимают квазилинейные параболические уравнения второго порядка и параболические системы квазилинейных уравнений, которые лежат в основе математических моделей, являющихся предметом настоящего исследования. Библиография, посвященная этому разделу, является достаточно обширной. Прежде всего это монографии А.А. Самарского, В.А. Галактионова, С.П. Курдюмова, А.П. Михайлова [бб] и Э. Митидиери, С.И. Похожаева [59], обзоры V. Galaktionov, J. Vazquez [118], К. Deng, Н. Levin [112] и другие, которые посвящены изучению необходимых условий существования решений параболических уравнений как на основе принципа сравнения, так и использования априорных оценок. Вместе с тем, опыт ее применения при исследовании рассматриваемого класса задач потребовал дополнительных усилий, связанных как с наличием вырождения уравнений на заранее неизвестных множествах, так и со сложной структурой самих моделей, что приводит к необходимости дальнейшего развития методов исследования нелинейных диффузионных уравнений и систем.

Применение топологических методов часто оказывается весьма эффективным инструментом при исследовании специфических свойств, присущих рассматриваемым моделям - геометрии множества вырождения уравнений, формы профиля решений, существования совокупностей решений (инвариантных многообразий) и некоторых других свойств.

В настоящей работе дается изложение применения метода эквипотен-циалей (линий и поверхностей уровня) при изучении такого рода особенностей в изучаемых задачах. Исследование "тонкой" структуры моделей является основой, которая позволяет выяснить механизмы образования тех или иных режимов, допускаемых рассматриваемыми задачами.

Прежде всего в диссертации излагается: применение метода линий уровня для исследования геометрии свободной границы, формы профиля решения, перемен знака производной и ряда других свойств решений уравнений типа нелинейной фильтрации, уравнений с переменным направлением параболичности, нелинейных параболических уравнений и систем вырождающихся параболических уравнений, возникающих в задачах теории полуэмпирических моделей турбулентности; применение метода дифференциальных связей (построение инвариантных многообразий) для нахождения различных классов решений задач о развитии бессдвигового турбулентного слоя смешения и динамики дальнего плоского турбулентного следа и, кроме того, его использование для получения и обоснования алгебраических параметризаций высших моментов гидродинамических полей.

Метод линий уровня получил достаточно широкое распространение при качественном исследовании моделей механики жидкости и газа. В. И. Ар

В. И. Арнольд и Б. А. Хесин в своей известной монографии [88] отмечали успех применения данного метода. В задачах газовой динамики это работы А. А. Никольского, Г. И. Таганова, А. И. Рылова, Э. Г. Шифрина и др. Для изучения свободных границ в задаче о фильтрации жидкости в пористой среде А.С. Калашников [36], В. Кпегг [156] использовали линии уровня для аппроксимации границы области, заполненной жидкостью.

Существенный прогресс в изучении свойств решений нелинейных параболических уравнений связан с применением теоремы Штурма [89] о нулях решения однородного параболического уравнения. Данная теорема позволила исследовать динамику "свертывания" локально выпуклых плоских кривых [90], где, в частности, изучалось поведение функции числа вершин рассматриваемых кривых. S. Angenent, М. Gurtin [91] на основе теоремы Штурма изучали геометрию свободных границ в задаче о фазовых переходах, анизотропные движения линий раздела фаз в задаче о плавлении твердого тела, эволюцию изотермальных линий раздела фаз в задачах многофазной термомеханики.

Форму профиля решений (аналитичных по переменной t) для линейных параболических уравнений изучали К. Kunisch, G. Peichl [160], которые существенно использовали аналитичность решения u(x, t) для изучения числа нулей производной ux(-, t). Исследования геометрии профиля решения для уравнения фильтрации идеального изотропного газа для функции давления v(x,t): vt = vvxx + 7(^)2, 7 > 0, проводились в работах J.L.Graveleau, Jamet P.J. [123] и Benilan Ph., Vazquez J.L. [102]. Было получено, что функция давления газа v(x, т), при (х, т) е suppv, сохраняет вогнутую форму относительно переменной х, если в начальный момент времени давление v является вогнутой функцией. Свойство сохранения формы профиля решения при изменении времени доказывалось на основе формулы Троттера-Като для полутрупп, порожденных операторами, полученными в результате расщепления правой части уравнения нелинейной фильтрации на диффузионный оператор и оператор типа Гамильтонна-Якоби. При этом существенно использовался конкретный вид уравнения.

Теорема 1 ([102]) Пусть vxx(xy 0) < —С, тогда vxx(xyt) < — C/(l + (m+ 1 )Ct) для (x,t) е MM) > 0}.

Оценка второй производной при (7=0 была получена в [123].

Форму профиля функции давления газа с других позиций изучали V. Galaktionov, J. Vazquez [119, 120], которые применяли метод сравнения по пересечениям с классом точных решений с заведомо известными свойствами. Было установлено, что существование вогнутого профиля функции давления v(x, t) является следствием того факта, что уравнение для v(x, t) допускает множество решений вида t) = (\2t -f а)+, Л, а £

Применение теоремы сравнения с данным классом решений (кусочно-линейные функции относительно переменной х) позволило выяснить форму профиля функции v(x, t). Этот подход оказался весьма продуктивным для изучения геометрических характеристик решений уравнений типа нелинейной фильтрации-абсорпции, которые зависят от наличия различных классов частных решений уравнений. Существование классов частных решений связано с инвариантными подпространствами, как правили конечномерными, для оператора, порожденного правой частью уравнения для функции давления v(x,t) и, как показано в [120], свойства (алгебраические и топологические) инвариантных подпространств порождают вполне определенные характеристики поведения общего решения. Следует отметить, что данные методики имеют ограниченные области применения. В методе линий уровня для параболических уравнений не используются указанные выше специфические особенности рассматриваемых уравнений, не требуется a priori знание точных решений и применение теорем сравнения, так как лежащая в его основании теорема Штурма, позволяющая находить линии уровня решения, не накладывает дополнительных ограничений на вид уравнения, а представляет фундаментальное свойство решений однородных параболических уравнений.

Для класса уравнений переменного типа с "прямой" и "обратной" па-раболичностью, также изучаемых в настоящей работе, применение метода линий уровня оказалось эффективным при исследовании множеств (интерфейсов), разделяющих области изменения типа уравнений. Уравнения данного вида возникают при описании динамики образования двухфазной смеси J.W. СаЬп, J.E. Hilliard [106], исследовании эффекта "thermocline" в океане А.С. Монин, А.В. Яглом [61], в моделях тепло- и массоперено-са в стратифицированных турбулентных сдвиговых потоках G.I. Вагеп-blatt, М. Bertsch, R. Dal Passo, М. Ughi [97, 98]; при моделировании сложных турбулентных потоков Н.Н. Яненко [76], Н.Н. Яненко, В.А. Новиков, Т.И. Зеленяк [78, 32]. При численном исследовании системы уравнений газовой динамики, первое дифференциальное приближение в методе частиц в ячейках для уравнений газовой динамики дает пример такого рода уравнений Ю.И. Шокин, Н.Н. Яненко [75]; в исследовании вязко-упругих ненютоновских жикостей J. Hunter, М. Slemrod [147] , П.И. Плотников [166]; изучении неравновесных фазовых переходов A. A. Lacey, М. Shillor [161]; в процессах образования встречных потоков в пограничном слое Прандтля-Мизеса (В.Н. Монахов [60], О.Б. Бочаров [10]) и других физических явлениях также возникают уравнения указанного типа.

Принцип максимума для данного класса уравнений в различной форме получали K.Hollig, J.A. Nohel [145], В.А. Новиков [62], М.М. Лаврентьев (мл.) [52] и др. Например, для начально-краевой задачи где w : R —► R - достаточно гладкая функция такая, что w'(0) = 0, w'(p) < 0 для р е (рьрг), w'(p) > 0 для р 6 (-оо,pi) U (j?2, w'(p) > d для некоторого d > 0 и >• 0) K.Hollig, J.A. Nohel [145] установили, что

Щ = Iw{ux)]s, (х, t)eDT = [0,1] х [0, Г],

0.1) и(х, 0) = и0(ж), X 6 [о, 1], пг(0, t) = «(<), u,(l, t) = /3(0, * € [0, Г],

0.2) (0.3) для if ^решения этой задачи при о; = (5 = 0 верно min{pi,min{ito(i) : х 6 [0,1]}} < ux(x,t) < max{p2,max-fu^x) : х Е [0,1]}}.

Для гладкого решения и £ С2'2 задачи (0.1)-(0.3) В.А. Новиков [62] получил, что тт{р1,тт{г1я;(ж,^) : (x,t) Е Г}} < ux(x,t) m&x{p2,ma,x{ux(x,t) : {x,t) £ Г}}, где Г = dDt \ (0,1) х {Т}.

Априорным оценкам решений уравнений переменного типа были посвящены работы Н.Н. Яненко, В.А. Новикова, Т.И. Зеленяка [76, 78], М.М. Лаврентьева(мл.) [53], В.Н. Монахова [60], А.Г. Подгаева, С.Г. Пят-кова [64], О.Б. Бочарова [10], K.Hollig [146], J. Bona (см. [146]) и др. Отметим некоторые из них. В работах [76], [146] для краевой (0.1)—(0.3) были получены следующие априорные оценки:

M->*)lk[o,i] < IWkpu] для п.в. t е [о,т], 1К|Ц2(£>т) < ^=IMU2[0,1]

Оценка вида hxh^Dr) < "lhK)IUco[o,i] получена различными способами в работах [78], [146]. Для решения уравнения с конвективным членом щ + иих = [ti>(ti,)]„ (х, t) G Dt = [0,1] х [0, Т] (0.4) с начально-краевыми условиями (0.2),(0.3) при а = (3 = 0 в [76], [32] были получены оценки

1М,*)11ъ[о,Ц<С для п.в. t 6 [0, Т], КО» *)IU2[o,i] < С для п.в. t € [0, Г], \Ы\ьг(£>т) < с>

IK||l2(Dt) < С, ||Mu*)]«lk(Dr) < с. Как отмечено в этих работах, аналогичные оценки верны и для задачи Дирихле. Используя технику функционалов Ляпунова, разработанную Т.И. Зеленяком в [33] для параболических уравнений, в случае, когда w представлена кубическим полиномом и u(x, t) 6 С3,3( Дг) является решением задачи Дирихле для уравнения (0.1) с нулевыми краевыми условиями, М.М. Лаврентьевым(мл.) в [52, 53] были получены оценки вторых производных

IKt|U2(DT.e) + IK*IUa(Dr,) < С<Г\ где е £ (0, Т]. Подобная оценка имеет место и для уравнения с конвективным членом (0.4).

Вопросы существования и единственности решений освещались в работах В.Н. Монахова [60], О.Б. Бочарова [10], К. Hollig, J.A. Nohel [145], А.Г. Подгаева и С.Г Пяткова [64], К. Hollig [146], В.А. Новикова и И.В. Шваб [63], С.Г. Пяткова [65] и др. Для начально-краевой задачи (0.1), (0.2) с данными Дирихле

0,0 = a(t), u( 1, t) = b(t), t 6 [0, T] (0.5) были доказаны

Теорема 2 ([63]) Для достаточно малых Hu'olUa u Т > 0 начально-краевая задача (0.1), (0.2), (0.5) имеет континуум обобщенных решений.

Теорема 3 ([63]) Пусть щ € тогда для некоторого Т > 0 начально-краевая задача (0.1), (0.2), (0.5) имеет по крайней мере одно обобщенной решение такое, что щ G .^(Аг)* [w(w®)]a; £ -^(Аг), их е Loo(Dt) и u(-,t) в Wc* для п.в. t £ [0,Г].

Последняя теорема доказана в специальном случае, когда w ~ кубический полином такой, что w(0) = 0. Для задачи Неймана подобная теорема установлена в [64]. В.Н. Монахов в [60] изучал проблему существования развитого пограничного слоя Прандтля. Задача сводится к исследованию параболического уравнения со знакопеременным коэффициентом при эволюционной производной

- И + v\u\l'2uxx = /(*), / = -2UUU (0.6) где U - скорость внешнего потока, v = const > 0 - коэффициент вязкости.

• Для уравнения (0.1) в области 1} = {д;,£|д;>0,0<£<1} изучалась следующая задача о встречных потоках [60]: и(х>к) = щ(х), u(0,f) = 0, u(oo,t) = /!(*), (0.7) где /i = U(t)\U(t)\, u0(x) > 0, щ(х) < 0, ик(0) = 0, к = 0,1. Наряду с задачей (0.6),(0.7) в области D\ — D(x\) = {x,t | 0 < х < #1,0 < t < 1} рассматривалась следующая регуляризованная задача для и(ж, е):

Lu = a(u)uxx + Euu - a(u)ut — /(i), e = e^o), (0.8) u = <p(x, t), (x, t) E dDi. (0.9)

Здесь tp = [(l-t)u0(x) + tul(xM(xl-l-x), |М|(Д+а) < М0\\щ, ui||f(2+e), I = [0,xi], Mo - постоянная, ф(р) - срезающая функция, a(u) = v{^j{sq1)\u\ + £0)1/2, o(u) = Ф(£о l|u|)sgnu.

Теорема 4 ([60]) Задача (0.6), (0.7) имеет no крайней мере одно обобщенное решение u(x,t), полученное как предел при е —► 0 обобщенных решений u(x,t,e) задач (0.8), (0.9). Функция u(x,t) обладает следующими свойствами: u(x,t) G В(Пт) = {Я3+а(Г2т) U Н1+а(Пт П Z>i)}Vm > 0; (и — <р) £ V^0(dD\); для любого конечного х\ > 0, х\ < оо выполняется интегральное тождество

L°(u, т/; Пт) + А(«, т/; Ет) = 0 Vт/ е C2(DX), т > 0, где L0 - билинейная форма; Le(u, г/; Г2) = (их, (ащ)х)—(р, rjt)+(fu, т/)+Г| = при е = 0, Л = lime Le(tt, 77; i?m), причем для функционала Л верна оценка

JA(u, 77; Ят)| < /C(Af, 17)®,m1/2. . '

Понятие мерозначного решения, введенного в рассмотрение в работах L. Tartar [171], R.J. DiPierna [113], использовалось С. Elliot [116] при изучении разрешимости задачи Дирихле для вырожденного уравнения Кэна-Хилларда (которое возникает в случае нулевой энергии фазового поверхностного взаимодействия двухкомпонентной смеси):

Как результат (см. [116]), было доказано существование мерозначного решения задачи (0.10)-(0.12) при cq Е Сх[0,1] для любого Т > 0. Теоремы существования в классе мерозначных решений задач Дирихле и Неймана для многомерного аналога уравнения (0.10) были получены М. Slemrod в [168], [169] и П.И. Плотниковым в [166]. В [168], [169] доказательство основывалось на переходе к пределу в регуляризованном с помощью слагаемого —еА2и уравнении (0.10). Гистерезисный характер поведения решения изучался в [166].

Список публикаций по параболическим уравнениям с переменным направлением эволюционности является весьма обширным. Мы не касаемся анализа работ, посвященных различным регуляризациям для данного класса уравнений и вопросам, связанным с предельным переходом в регуляризаторах. Нами основное внимание уделяется изучению фазовой структуры решения вырожденного уравнения Кэна-Хилларда, а именно, выделение областей, на которых не происходит изменения типа уравнения. Особенностью данного раздела работы является развитие метода линий уровня в направлении исследования фазовой структуры решения уравнения переменного типа. Сначала на основе метода линий уровня анализируется фазовая структура решения. Затем дается метод построения решения задачи Коши в некоторых специальных случаях задания начальных данных. с* = М с)]», (x,t)eDT,

0.10) с(х,0) = с0(х), х G [0,1], c(0,t) = c(l,t) = 0, *>0.

0.11) (0.12)

•Следующий цикл работ, представленный в диссертации, посвящен математическим вопросам теории полуэмпирических моделей турбулентности. Нелинейные параболические уравнения второго порядка и параболические системы уравнений, которые являются объектом данного исследования, лежат в основе рассматриваемых моделей. Наибольшее распространение для описания структуры турбулентных возмущений получили параметрические модели турбулентности.

Для описания процесса затухания вспышки турбулентности в рамках полу эмпирической теории турбулентности привлекаются одно-, двух-параметрические модели турбулентности. Численное моделирование в двумерных постановках в однородной и стратифицированной жидкостях с численным анализом автомодельности вырождения в однородной и пассивно стратифицированной жидкостях осуществлено в работах О.Ф. Васильева, Б.Г. Кузнецова, Ю.М. Лыткина, Г.Г. Черных [12]; Ю.М. Лытки-на, Г.Г. Черных [57]. Автомодельные решения изучались Г.И. Баренблат-том [99], [100], S.P. Hastings, L.A. Peletier [143] аналитическими методами для плоского горизонтально однородного симметричного турбулентного слоя (в одномерной постановке задачи), многомерный случай рассматривался в [124]. Вопросы, связанные с исследованием корректных постановок начально-краевых задач для однопараметрической (е, L)-модели турбулентности изучались S. Kamin, J.L. Vazques [152] (1992г.), которые доказали существование и единственность обобщенного решения задачи Коши. В этом направлении результаты, полученные автором и вошедшие в диссертацию были опубликованы в 1990, 1992г., (см. [15, 16, 17]). Инвариантные свойства ряда полуэмпирических моделей турбулентности (включая (е, г) —модель) с применением методов символьной алгебры для стратифицированных жидкостей изучались В.Г. Байдуловым, Ю.Д. Ча-шечкиным [4], В.Г. Байдуловым, Д.В. Хангунян, Ю.Д. Чашечкиным [5].

Анализ цитированной литературы позволил выявить (на момент начала исследований) ряд малоизученных вопросов в области доказателькорректности основных начально-краевых задач для параметрических моделей турбулентности, в изучении качественных свойств решений, в правильном выборе "определяющего" оператора модели на асимптотической стадии процесса, в нахождении автомодельных решений и классов частных решений. Указанные вопросы были практически не изучены для большинства моделей, возникающих в задачах теории полуэмпирических моделей турбулентности.

Важным инструментом исследования алгебраических параметризаций для высших моментов гидродинамических полей в полуэмпирической теории турбулентности является использование метода дифференциальных связей. Метод дифференциальных связей для выделения классов решений систем дифференциальных уравнений, позволяющий получать соотношения градиентного типа на искомые функции, совместные с исходной системой, был предложен Н.Н. Яненко [79], который указал на принципиальную возможность применения этого подхода для проверки процедуры замыкания моментных уравнений в теории турбулентности. Приложение этой теории к уравнениям газовой динамики дано А.Ф. Сидоровым, В.П. Ша-пеевым и Н.Н. Яненко [67]. Напомним, что в методе дифференциальных связей выделение частных решений системы дифференциальных уравнений осуществляется присоединением к ней дополнительных дифференциальных соотношений. Помимо нахождения конкретных классов решений метод дифференциальных связей открывает возможности для аналитических исследований, основанных на понятии инвариантного многообразия (см. [2]). Данное понятие является обобщением инвариантного множества, порожденного первыми интегралами системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Наличие инвариантного многообразия приводит к исследованию систем дифференциальных уравнений на поверхностях уровня, определяемых соответствующими уравнениями. Дифференциальные связи, задающие инвариантное многообразие позволяют сократить число уравнений и заменить операцию дифференцирования некоторой алгебраической процедурой. Применение этого подхода к исследованию параметрических моделей турбулентности позволило сформулировать концепцию для обоснования процедуры замыкания моментных уравнений в рамках метода дифференциальных связей: алгебраические параметризации высших моментов модели интерпретируются как уравнения инвариантных многообразий, порожденных соответствующими дифференциальными уравнениями модели. Последнее дало возможность обосновать известные алгебраические модели Ханьялика-Лаундера [141, 55] и Земана-Ламли [180], дать инструмент для получения алгебраических параметризаций высших моментов гидродинамических полей, проанализировать некоторые известные алгебраические модели и предложить более простые схемы численной реализации моделей для тестовых расчетов.

Таким образом, разрабатываемые в диссертации методы исследования задач гидродинамики свободных турбулентных потоков позволяют получить на их основе результаты являющиеся важными для понимания процессов, протекающих в изучаемых течениях.

Основные цели диссертации сформировались в результате исследования ряда задач и состоят: в исследовании бессдвигового турбулентного слоя смешения в стратифицированном потоке; в анализе и обосновании локально-равновесных приближений в алгебраических моделях турбулентности Ханьялика-Лаундера, Земана-Ламли, Прандтля; в изучении эволюции вспышки турбулентности в жидкости; в исследовании динамики дальнего плоского турбулентного следа; в изучении распространения примеси (тепла) в плоском безымпульсном турбулентном следе.

Рассматриваемые задачи решались в рамках полуэмпирической теории турбулентности колмогоровского типа [61, 100, 46, 47], и моделей турбулентности высокого порядка замыкания [141, 180, 149].

При изучении класса уравнений типа нелинейной фильтрации, описывающих нестационарную фильтрацию жидкости или газа в пористой среде, ставились следующие цели: исследовать структуру линий уровня решений данного класса уравнений и на этой основе изучить их геометрические свойства (сохранение формы профиля решения и формирование вогнутого профиля за конечное время), распространить полученные результаты на наиболее широкий класс нелинейных параболических уравнений.

Для уравнения переменного типа с так называемой "прямой" и "обратной" параболичностью ставились следующие задачи: изучить условия разрешимости задачи Коши, описать возможные типы интерфейсов и дать анализ структуры решения.

В работе получены следующие новые результаты:

1. На основе метода дифференциальных связей впервые обоснованы тензорно-инвариантные модели Ханьялика-Лаундера (для нестрати-фицированного потока) и Земана-Ламли (в случае стратифицированного потока) на примере задачи о бессдвиговом турбулентном слое смешения с использованием модели третьего порядка замыкания. Основным результатом является теорема о существовании инвариантного многообразия модели, что позволило получить решение задачи (найти частные решения), как в случае устойчивой, так и неустойчивой стратификации потока ([18]-[20]), построить автомодельные решения ([21], [19], [125], [129]). Показано, что алгебраические параметризации для третьих моментов совпадают с уравнениями инвариантных многообразий, порождаемых рассматриваемыми моделями, а частота Брента-Вяйсяля является бифуркационным параметром при исследовании решений уравнения для временного масштаба турбулентности ([18], [19], [126]—[129]).

2. Выполнен анализ локально-равновесных приближений в задаче о дальнем плоском турбулентном следе (классическая трехпараметрическая модель Ханьялика-Лаундера). Установлено, что существование инвариантного многобразия рассматриваемой модели второго порядка связано с обращением в ноль скобки Пуассона для функций дефекта скорости и энергии турбулентности; указаны случаи реализации данного критерия. Численно-аналитическое исследование модели позволило дать обоснование правомерности используемого замыкающего соотношения в локально-равновесном приближении на основе метода дифференциальных связей. Представлена редукция изучаемой дифференциальной модели к более простому дифференциально-алгебраическому виду, что дает основу для нахождения класса точных решений [22, 130]. Показано, что метод дифференциальных связей является эффективным инструментом при анализе используемых на практике полуэмпирических моделей турбулентности, в частности, при изучении дальнего плоского безымпульсного турбулентного следа. Важным приложением предложенного подхода является получение алгебраических соотношений для характеристик турбулентного потока. Оказывается, что некоторые эмпирические константы могут быть найдены исходя из полученных формул, вычисленные значения которых близки к экспериментальным [131].

3. В задаче об эволюции вспышки турбулентности, изучаемой с привлечением однопараметрических (е, L), (е, S) - моделей турбулентности доказана разрешимость задачи с начальными данными в классе обобщенных функций ([15], [23]). Для (е, L) - модели установлено, что при гладких начальных данных задача Коши порождает динамическую систему в некотором функциональном пространстве, исследованы качественные свойства свободной границы, отделяющей турбулизованную область жидкости от области, не захваченной турбулентными возмущениями; даны оценки на энергию турбулентности и толщину турбулентного слоя, построен итерационный процесс для нахождения свободной границы [16]. В задаче с сингулярно возмущенной начальной энергией турбулентности доказано существование обобщенного решения и установлено, что на асимптотической стадии процесса расплывания турбулентного пятна становится существенным слагаемое в уравнении, отвечающее за диссипацию энергии турбулентности [17].

4. При использовании упрощенной (е,£)-модели турбулентности в задаче об эволюции вспышки турбулентности доказано существование слабого решения задачи Коши и непрерывного решения с ограниченными обобщенными производными. Установлено, что граница турбулизованной области является непрерывной кривой ([24], [25]). В задаче о бессдвиговом турбулентном слое смешения для (е, £)-модели доказана сходимость решения задачи Коши к автомодельному решению, полученному на основе модели третьего порядка замыкания [126].

5. С использованием математической модели, включающей в себя уравнения переноса дефекта продольной осредненной компоненты скорости и кинетической энергии турбулентности, исследована динамика дальнего плоского безымпульсного турбулентного следа. Для течения жидкости в дальнем следе доказана теорема о корректной разрешимости задачи с начальными данными, найдено автомодельное решение и исследовано асимптотическое поведение решения задачи [133].

6. На основе (е, £)~модели для энергии турбулентности совместно с диффузионным уравнением переноса пассивной примеси (тепла) турбулентным спутным потоком с нулевым суммарным избыточным импульсом изучена задача о распространении тепла от симметричного плоского нагретого тела. Доказаны теоремы о разрешимости задачи Коши, как в случае непрерывных начальных данных, так и для распределения температуры, заданной в виде мгновенного источника [26].

7. Для уравнения фильтрации идеального изотропного газа в пористой среде изучены геометрические свойства функции давления. Доказано, что при определенных предположениях на начальные данные задачи решение сохраняет вогнутый профиль относительно пространственной переменной, а в случае, когда не предполагается вогнутость начального значения для давления, получено, что за конечный промежуток времени формируется вогнутый профиль функции давления [134, 135]. Доказательство проведено с помощью метода линий уровня. Данный подход позволил распространить полученные результаты на достаточно широкий класс нелинейных вырождающихся уравнений [136], [137].

8. Для уравнения переменного типа с "прямой" и "обратной" парабо-личностью исследовано возникновение интерфейсов. Описаны некоторые возможные типы интерфейсов, в частности, построены примеры, показывающие, что интерфейсы для таких уравнений могут быть как линиями, так и множествами ненулевой меры. Полученная информация о поведении интерфейсов позволила доказать теорему о локальной разрешимости задачи Коши в классе непрерывных функций [138, 139].

Представленные в диссертации исследования проводились в рамках различных программ и грантов, поддержанных Целевыми программами СО РАН, Министерством образования РФ и грантовым центром при Но* восибирском государственном университете, Российским фондом фунда-метальных исследований (коды проектов 97-01-00768 (руководитель), 9501-00910 (исполнитель), 98-01-00736 (исполнитель), 01-01-00783 (исполнитель), Сибирским отделением РАН (интеграционный проект 2000-1 (ответственный исполнитель темы)) и INTAS (код проекта 97-2022).

Основные научные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на совместных заседаниях семинара им. И.Г. Петровского и Московского математического об-ства (Москва 1987, 1995), 7 международном совещании "Laboratory modeling of dynamics processes in ocean" (Москва, 1993), Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1994, 1996, 1998), Сибирской школе "Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика" (Новосибирск, 1997), 2 Европейской конференции "Elliptic and parabolic problems" (Pount-a-Mausson, France, 1994), 2 Азиатской математической конференции (Bangkok, Thailand, 1995), Международной конференции AMCA'95 "Advanced Mathematics, Computationas and Applications" (Новосибирск, 1995), семинаре по дифференциальным уравнениям (Sao Paolo Universidade, Brazil, 1997), Международной конференции "Equidiff'99" (Berlin, Germany, 1999), Международной конференции, посвященной 70-летию ак. С.К. Годунову "Mathematics in applications" (Новосибирск, 1999), 8 Европейской конференции по турбулентности "Advances in Turbulence VIII" (Barcelona, Spain, 2000), 16 IMACS World Congress on Scientific Computational, Applied Mathematics and Simulation (Lausanne, Switzerland, 2000), 17 Российско-Японском симпозиуме по вычислительной гидродинамике (Москва, 2000), 15 Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", посвященной 100-летию ак. М.А. Лаврентьева (Новосибирск,

2000), GAMM'2001 Annual Scientific Conference (Zurich, Switzerland, 2001), Международной конференции "Recent developments in applied mathematics and mechanics" посвященной 80-летию ак. H.H. Яненко (Новосибирск,

2001), International Congress of Mathematicians 2002 (Beijing, China), Международной конференции "Fluxes and structures in fluids" (С-Петербург, 2003), Международной конференции "Kolmogorov and contemprary mathematics" (Москва, 2003) и на ряде других. На различных стадиях выполнения работа обсуждалась на семинарах в Институте вычислительных технологий СО РАН, Институте теоретической и прикладной механике СО РАН, Институте математике им. Соболева СО РАН, Институте гидродинамики им. Лаврентьева СО РАН, Институте теплофизики им. Кутателадзе СО РАН, Институте проблем механики РАН.

Участие в работе конференций было бы невозможным без финансовой поддержки Интеграционной программы СО РАН, International Science Foundation, Travel grant of ICT Trieste and IMU-CDE, Российского фонда фундаментальных исследований, Грантового центра при Новосибирском государственного университета, Факультета прикладной математики университета Сан Паоло, Европейской программы INTAS, Grant of Seminar Angewandte Matematik of Swiss Federal Institute of Technologies, ICM2002 Grants Committee.

Текст диссертации включает введение, пять глав и список литерату

Основные результаты, полученные в работе, сводятся к следующему.

1. На основе метода дифференциальных связей впервые обоснованы тезорно-инвариантные модели Ханьялика-Лаундера (для нестратифици-рованного потока) и Земана-Ламли (в случае стратифицированного потока) на примере задачи о бессдвиговом турбулентном слое смешения с использованием модели третьего порядка замыкания. Основным результатом является теорема о существовании инвариантного многообразия модели, что позволило получить решение задачи (найти частные решения), как в случае устойчивой, так и неустойчивой стратификации потока, построить автомодельные решения. Показано, что алгебраические параметризации для третьих моментов совпадают с уравнениями инвариантных многообразий, порождаемых рассматриваемыми моделями, а частота Брента-Вяйсяля является бифуркационным параметром при исследовании решений уравнения для временного масштаба турбулентности.

2. Выполнен анализ локально-равновесных приближений в задаче о дальнем плоском турбулентном следе (классическая трехпараметрическая модель Ханьялика-Лаундера). Установлено, что существование инвариантного многобразия рассматриваемой модели второго порядка связано с обращением в ноль скобки Пуассона для функций дефекта скорости и энергии турбулентности; указаны случаи реализации данного критерия. Численно-аналитическое исследование модели позволило дать обоснование правомерности используемого замыкающего соотношения в локально-равновесном приближении на основе метода дифференциальных связей.

Представлена редукция изучаемой дифференциальной модели к более простому дифференциально-алгебраическому виду, что дает основу для нахождения класса точных решений. Показано, что метод дифференциальных связей является эффективным инструментом при анализе используемых на практике полуэмпирических моделей турбулентности, в частности, при изучении дальнего плоского безымпульсного турбулентного следа. Важным приложением предложенного подхода является получение алгебраических соотношений для характеристик турбулентного потока. Оказывается, что некоторые эмпирические константы могут быть найдены исходя из полученных формул, вычисленные значения которых близки к экспериментальным.

3. В задаче об эволюции вспышки турбулентности, изучаемой с привлечением однопараметрических (е, L), (е, S) - моделей турбулентности доказана разрешимость задачи с начальными данными в классе обобщенных функций. Для (е, L) - модели установлено, что при гладких начальных данных задача Коши порождает динамическую систему в некотором функциональном пространстве, исследованы качественные свойства свободной границы, отделяющей турбулизованную область жидкости от области, не захваченной турбулентными возмущениями, даны оценки на энергию турбулентности и толщину турбулентного слоя, построен итерационный процесс для нахождения свободной границы. В задаче с сингулярно возмущенной начальной энергией турбулентности доказано существование обобщенного решения и установлено, что на асимптотической стадии процесса расплывания турбулентного пятна становится существенным слагаемое в уравнении, отвечающее за диссипацию энергии турбулентности.

4. При использовании упрощенной (е, е)-модели турбулентности в задаче об эволюции вспышки турбулентности доказано существование слабого решения решения задачи Коши и непрерывного решения с ограниченными обобщенными производными. Установлено, что граница турбулизованной области является непрерывной кривой. В задаче о бессдвиговом турбулентном слое смешения для (е, г)-модели доказана сходимость решения задачи Коши к автомодельному решению, полученному на основе модели третьего порядка замыкания.

5. С использованием математической модели, включающей в себя уравнения переноса дефекта продольной осредненной компоненты скорости и кинетической энергии турбулентности, исследована динамика дальнего плоского безымпульсного турбулентного следа. Для течения жидкости в дальнем следе доказана теорема о корректной разрешимости задачи с начальными данными, найдено автомодельное решение и исследовано асимптотическое поведение решения задачи.

6. На основе (е, £)-модели для энергии турбулентности совместно с диффузионным уравнением переноса пассивной примеси (тепла) турбулентным спутным потоком с нулевым суммарным избыточным импульсом изучена задача о распространении тепла от симметричного плоского нагретого тела. Доказаны теоремы о разрешимости задачи Коши, как в случае непрерывных начальных данных, так и для распределения температуры, заданной в виде мгновенного источника.

7. Для уравнения фильтрации идеального изотропного газа в пористой среде изучены геометрические свойства функции давления. Доказано, что при определенных предположениях на начальные данные задачи решение сохраняет вогнутый профиль относительно пространственной переменной, а в случае, когда не предполагается вогнутость начального значения для давления, получено, что за конечный промежуток времени формируется вогнутый профиль функции давления. Доказательство проведено с помощью метода линий уровня. Данной подход позволил распространить полученные результаты на достаточно широкий класс нелинейных вырождающихся уравнений.

8. Для уравнения переменного типа с "прямой" и "обратной" парабо-личностью исследовано возникновение интерфейсов. Описаны некоторые возможные типы интерфейсов, в частности, построены примеры, показывающие, что интерфейсы для таких уравнений могут быть как линиями, так и множествами ненулевой меры. Полученная информация о поведении интерфейсов позволила доказать теорему о локальной разрешимости задачи Коши в классе непрерывных функций.

Заключение

1. Алексенко Н.В., Букреев В.И., Костомаха ВА. Бессдвиговое взаимодействие двух изотропных турбулентных полей//ПМТФ. - 1985. -Т.149. - №1. - С.57-62.

2. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994.

3. Антонцев С. Н. Локализация решений вырождающихся уравнений механики сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО АН СССР, 1986.

4. Байдулов В.Г., Чашечкин Ю.Д. Инвариантные сойства уравнений движения стратифицированных жидкостей// ДАН. 2002. Т.387. -6. - С.761-764.

5. Байдулов В.Г., Хангулян Д.В., Чашечкин Ю.Д. Сравнительный анализ инвариантных свойств уравнений движения несжимаемой жид-костию. Москва, 2001. - 72с. - (Препринт/РАН. Ин-т проблем механики; №695).

6. Баренблатт Г. И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде //Прикл. математ. механ. 1952. - Vol.16. - Р.67-78.

7. Баренблатт Г.Г. Об автомодельных решениях задачи Коши для нелинейного параболического уравнения нестационарной фильтрациигаза в пористой среде//Прикл. матем. механ. 1956. - Т.20. - №6. -С.761-763.

8. Баренблатт Г.И., Галеркина H.JL, Лунева М.В. Эволюция вспышки турбулентности //Инж.-физ. журн. 1987. - Т.53. - №5. - С.733-740.

9. Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде //Прикл. матем. механ. 1952. - Т. 16. -С.67-78.

10. Бочаров О.Б. О первой краевой задаче для уравнения теплопроводности со знакопреременным коэффициентом//Динамика сплошной среды. 1978. Вып.37. - С.27-39.

11. Букреев В.И., Деменков А.Г., Костомаха В.А., Черных Г.Г. Диффузия тепла от линейного источника в плоском следе// Прикл. механ. техн. физ. 1996. - №4. - С.115-126.

12. Васильев О.Ф., Кузнецов Б.Г., Лыткин Ю.М., Черных Г.Г. Развитие области турбулизованной жидкости в стратифицированной среде //Известия АН СССР. Серия МЖГ. 1974. - №3. - С. 45-52.

13. Васильев О.Ф., Кузнецов Б.Г., Лыткин Ю.М., Черных Г.Г. Разви-. тие области турбулизованной жидкости в стратифицированной среде //Материалы междунар. симпозиума по стратифицированным течениям. Новосибирск, 1972. - С.2-14.

14. Граник И.С. К вопросу о локализации температурных возмущений в средах с объемным поглощением тепла//ЖВМиМФ. 1978. - Т.18. №(3). - С.770-774.

15. Гребенев В.Н. О разрешимости задачи развития области турбулизованной однородной жидкости //ЖВМиВФ. 1990. - Т.30. - №4. -С.616-619.

16. Гребенев В.Н. О динамической системе, возникающей в задаче рас-нлывания турбулентного слоя однородной жидкости// ЖВМиМФ. -1992. Т.32. - Ж. - С.123-135.

17. Гребенев В.Н. Диффузия турбулентного пятна в задаче с сингулярно возмущенной начальной энергией турбулентности// ЖВМиМФ. -1992. Т.32. - №12. - С.1916-1928.

18. Гребенев В.Н., Илюшин Б.Б. Метод дифференциальных связей в задаче о бессдвиговом стратифицированном слое смешения// Доклады РАН. 2002. - Т.382. №6. - С.764-768.

19. Гребенев В.Н., Илюшин Б.Б. Об одном классе автомодельных решений задачи о бессдвиговом турбулентном слое смешения //Сиб. жур. индустр. математ. 1999. - Т.2. - №2. - С.51-59.

20. Отчет о деятельности Российской Академии Наук в 2001г. Отделение информатики, вычислительной техники и автоматизации. Секция: Математическое моделирование. Вычислительная и прикладная математика для задач информатики. М.: Наука, - С. 76.

21. Гребенев В.Н., Илюшин Б.Б. О применении дифференциальных связей для анализа моделей турбулентности// Доклады РАН. 2000. -Т.374. №6. - С.761-764.

22. Гребенев В.Н., Деменков А.Г., Черных Г.Г. Анализ локально равновесного приближения в задаче о дальнем плоском турбулентном следе //Доклады РАН. 2002. - Т.385. №1. - С.57-60.

23. Гребенев В.Н. Разрешимость задачи об эволюции турбулентного пятна в однородной жидкости на малом интервале времени// Дифф. уравн. 1991. - Т.27. - №10. - С.1725-1733.

24. Гребенев В.Н. Об одной системе вырождающихся параболических уравнений, возникающей в гидродинамике//СМЖ. 1994. - Т.35. - №4. - С.670-682.

25. Гребенев В.Н. Нелинейные задачи полуэмпирической теории турбулентности// УМН. 1995. - Т.50. Вып.4. - С.89.

26. Гребенев В.Н. Распространение тепла в плоском безымпульсном турбулентном следе//ЖВМиМФ. 1997. - Т.37. - №7. - С.878-886.

27. Гребенев В.Н. Об одном преобразовании координат в задаче со свободной границей//СМЖ. 1991. - Т.32. - №3. - С.39-46.

28. Гребенев В.Н. Исследование разрешимости неклассической краевой задачи для нелинейных параболических уравнений с изменяющимся направлением параболичности. Автореферат диссертации на соискание уч. степени к.ф.-м.н. Новосибирск. 1987. 13 с.

29. Дмитриенко Ю.М., Ковалев И.И., Лучко Н.Н., Черепанов П.Я. Исследование плоского турбулентного следа с нулевым избыточным импульсом // Инж. физ. журн. 1987. - Vol.52. - №5. - Р.743-751.

30. Деменков А.Г., Черных Г.Г. О численном моделировании струйных течений вязкой несжимаемой жидкости//Вычислительные технологии. 1995. - Т.4. - №12. - С.119-131.

31. Железняк М.И., Мадерич B.C. Аналитические и численные решения уравнений турбулентного переноса//Материалы 2 Всес. школы по методам гидрофиз. исследований. Волны и вихри. Солнечногорск, 1986. - С.195-221.

32. Зеленяк Т.И. Об уравнении с диффузионным коэффициентом переменного знака//Математ. проб, химии. 1975. - Т.1. - СЛ11-115.

33. Зеленяк Т.И. Качественные свойства решений смешанной краевой задачи для полулинейных параболических уравнений//Математ. сб. -1977. Т.107. - №3. - С.486-510.

34. Илюшин Б.Б., Курбацкий А.Ф. К расчету бессдвигового слоя смешения //Сиб. физ. тех. журн. (Изв. СО АН). 1990. - Вып.4. - С.62-68.

35. Илюшин Б. Б., Курбатский А. Ф. К расчету бессдвигового слоя смешения // Сиб. физ.-тех. журн. (Изв. СО РАН). -1990. Т.З. - С.62-68.

36. Калашников А.С. О возникновении особенностей у решений уравнений нестационарной фильтрации//ЖВМиМФ. 1967. - Т.7. - N°. -С.440-444.

37. Калашников А. С. О некоторых нелинейных системах, описывающих динамику конкурирующих видов // Математ. сб. 1987. - Т.133. -Вып.1. - С. 11-24.

38. Калашников А. С. Об одном классе систем типа реакция — диффузия/ / Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1983. - Вып. 14. - С. 78-88.

39. Калашников А.С. О характере распространения возмущений в задачах нелинейной теплопроводности с поглощением // ЖВМиМФ. -1974. Т.14. №4. - С.891-905.

40. Калашников А.С. Вопросы теории вырождающихся параболичесих уравнений// Успехи матем. наук. 1987. - Т.42. - Вып.2. - С.90-111.

41. Калашников А. С. О дифференциальных свойствах обобщенных решений уравнений типа нестационарной фильтрации //Вестн. МГУ. Сер. I. матем. механ. 1974. - №1. - С.62-67.

42. Калашников А.С. О влиянии роста граничных данных на поведение температуры нелинейной нестационарной среды при больших значениях времени// Вест. МГУ. Сер. 1. матем. механ. 1986. - №2. -С.40-45.

43. Калашников А. С. Об одном классе систем типа "реакция — диффузия" // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1983. - Вып. 14. -С.78-88.

44. Калашников А. С. О диффузии смесей при наличии дальнодействия // ЖВМиМФ. 1991. - Т.31. - m. - С.424-435.

45. Калашников А. С. Вопросы теории вырождающихся параболических уравнений//Успехи математ. наук. 1987. Т.42. Вып.2. С.135-176.

46. Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения в несжимаемой жидкости //Изв. АН СССР. сер. физ. 1942. - Т.6. - №1-2. - С.56-58.

47. Колмогоров А.Н. Рассеяние энергии при локально изотропной турбу-лентности//ДАН АН СССР. 1941. - Т.32. - С.19-21.

48. Полубаринова-Кочина П.Я. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении в частных поизводных, встречающихся в теории фильтра-ции//ДАН СССР. 1948. - Т.63. - №6 - С.623-626.

49. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. 4.2. М.: Ф-М, 1968.

50. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1979.

51. Курбатский А.Ф. Моделирование нелокального преноса импульса и тепла. Новосибирск: Наука, 1988.

52. Лаврентьев М.М.(мл) Оценки решений для одного уравнения переменного типа //Математ. модел. 1989. - Т.1. - №11. - С.132-138.

53. Лаврентьев М.М.(мл). Априорные гладкость решений для некоторых уравнений переменного типа//Математ. модел. 1990. - Т.2. - №9. -С.145-153.

54. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

55. Левеллен В.//В сб.: Турбулентность. Принципы и применения. М.: Мир, 1980.

56. Н.В. Леснова. Взаимодействие изотропных турбулентных потоков в отсутствии сдвига средней скорости: Автореферат дис. . канд. физ.мат. наук / Ин-т теплофиз. АН СССР Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1988. - 28 с.

57. Лыткин Ю.М., Черных Г.Г. //Динамика сплошной среды. 1980. -Вып.47. - С.70-89.

58. Мейрманов A.M., Пухначев В.В. Лагранжевы координаты в задаче Стефана //Динамика сплошной среды. 1980. - С.301-335.

59. Митидиери Э., Похожаев С.И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производ-ных//Тр. МИАН. 2001. - Т.234. - С.1-383.

60. Монахов В.Н. Возвратные течения в пограничном слое //Динамика сплошной среды. 1998. - Вып.113. - С.107-113.

61. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Том 1,2. -С-Пб.: Гидрометеоиздат, 1992.

62. Новиков В.А. Теоремы существование и несуществования для одного класса уравнений переменного типа//ДАН СССР. 1980. - Т.253. -№(6). - С.1311-1313.

63. Новиков В.А., Шваб И.В. О неединственности и устойчивости некоторых решений нелинейных параболических уравнений с переменным направлением времени //Числен, мет. механ. сплош. среды. 1985. -Т.16. - №4. - С.53-76.

64. Подгаев А.Г., Пятков С.Г. О разрешимости краевой задачи для одного нелинейного параболического уравнения с переменным напрвле-нием времени//СМЖ. 1987. - Т.28. - №3. - С. 184-192.

65. Пятков С.Г. Разрешимость начально-краевых задач для нелинейных параболических уравнений с переменным напрвлением времени. Новосибирск, 1987. - (Препринт/АН СССР Сиб. отд-ние. Ин-т математ. №16).

66. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

67. Сидоров А. Ф., Шапеев В. П., Яненко Н. Н. Метод дифференциальных связей и его приложение в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.

68. Скурин Л.И. Аналитическое представление профиля пульсациионной энергии в следе.//Инж. физ. журн. 1970. - Т.18. - №5. - С.916-918.

69. Сабельников В.А. О некоторых особенностях турбулентных течений с нулевым избыточным импульсом // Уч. зап. ЦАГИ. 1975. - Т.6.- №4. С.71-74.

70. Таунсенд А. А. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом. М.: Изд-во иностр. лит., 1959.

71. Федорова Н.Н., Черных Г.Г. О численном моделировании плоских турбулентных следов // Матем. моделирование. 1994. - Т.6. - №10.- С. 24-3472. . Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968.

72. Харша Р.//В сб.: Турбулентность. Принципы и применения. М.: Мир, 1980.

73. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

74. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1985.

75. Яненко Н. Н. Избранные труды. Математика и Механика. М.: Наука, 1991.

76. Яненко Н.Н., Новиков В.А., Зеленяк Т.И. О свойствах решения нелинейных уравнений переменного типа//Числен, мет. механ. сплош. среды. 1974. - Т.5. - С.35-46.

77. Яненко Н.Н., Новиков В.А., Зеленяк Т.И. О свойствах решения нелинейных уравнений переменного типа//Числен, мет. механ. сплош. среды. 1974. - Т.5. - С.35-46.

78. Яненко Н. Н. Теория совместности и методы интегрирования систем нелинейных уравнений в частных производных/Тр. 4 Всесоюзного математ. съезда. Т.2. JL: Наука, 1964.

79. Яненко Н.Н., Новиков В.А. Об одной модели жидкости со знакопеременным коэффициентом вязкости//Числен, мет. механ. сплош. среды.- 1973.- Т.4. С. 142-147.

80. Arnold V.I., Khesin В.A. Topological methods in hydrodynamics. -Springer, 1998.

81. Aronson D., Crandall M.G., Peletier L. A. Stabilization of solutions of a degenerate nonlinear diffusion problem//Nonlinear Analys. TMA. 1982.- Vol.6. N210. P.1001-1020.

82. Aronson D. G., Vazquez J.L. Eventual C°°- regularity and concavity for flows in one dimensional porous media//Arch. Rat. Mech. Anal. 1987.- Vol.99. P.329-348.

83. Aronson D., Caffarelli L.A., Vazquez J. Interfaces with a corner point in one-dimensional porous medium flow//Comm. Pure and Appl. Math. -1989. Vol.XXXVIII. - P.375-404.

84. Alan V. Lair, Uniqueness for a forward backward diffusion equation with smooth constitutive function//Applicable Anal. 1988. - Vol.29. - P.177-189.

85. Alan V. Lair, Uniqueness for a forward backward diffusion equation// Trans. Amer. Math. Soc. 1985. - Vol.291. - P. 177-189.

86. Akhmerov R.R., On periodic travelling waves of equations with viscosity coefficient of variable sign//Nonlinear Analysis. TMA. 1989. - Vol.13.- P.803-817.

87. Akhmerov R.R., On structure of a set of solutions of Dirichlet boundary value problem for stationary one-dimensional forward-backward parabolic equation, Nonlinear Analysis. TMA. 1987. - Vol. 11. - P. 1303-1316.

88. Angenent S. B. The zero set of a solution of a parabolic equation //J. Reine Angew. Math. 1988. - Vol.390. - P.79-96.

89. Angenent S. B. On the formation of singularities in the curve shortening flow //J. Diff. Geometry. 1991. - Vol.33. - P.601-633.

90. Angenent S. В., Gurtin M. Multiphase thermomechanics with an interfa-cial structure 2. Evolution of an isothermal interface//Arch. Rat. Mech. Anal. 1989. - Vol.108. - P.323-391.

91. Angenent S.B. Large time asymptotics for the porous media equation// In: Microprogram. V.l. Proc. Nonlinear Diffusion Equations and Their Equilibrium States. (Ed. W.-M. Ni, L.A. Peletier, J. Serrin). (I). 1988.- P.21-34.

92. Angenent S. Local existence and regularity for a class of degenerate parabolic equations //Math. Anal. 1988. - Vol.280. - P.465-482.

93. Angenent S.B. Analyticity of the interface of the porous media equation after the waiting time// Proc. Amer. Math. Soc. 1988. - Vol.102. -P. 129-336.

94. Amann H. Quasilinear evolutions and parabolic systems//Trans. Amer. Math. Soc. 1979. Vol.249. - №2. - P. 191-227.

95. Aronson D.G. Regularity properties of flows through porous media// SIAM. J. Appl. Math. 1969. - Vol.17. - P. 461-467.

96. Barenblatt G.I., Bertsch M., Dal Passo R., Prostokishin A. and Ughi M.A mathematical model of turbulent heat and mass transfer in stably stratified shear flow//J. Fluid Mech. 1993. - Vol.253. - P.341-358.

97. Barenblatt G. I. Scaling, Selfsimilarity and Intermediate Asymptotics/ Cambridge Texts in Applied Mathematics. №14. - Cambridge, 1996.

98. Barenblatt G. I. Nonlinear dynamics and turbulence. Pitman, 1983. -P.48-60.

99. Bertsch M., Kamin S. A system of degenerate parabolic equation //SIAM J. Appl. Math 1990. - Vol.21. - №4. - P.905-916.

100. Benilan Ph., Vazquez J.L. Concavity of solutions of the porous medium equation. //Trans. Amer. Math. Soc. 1987. - Vol.299. - P.81-99.

101. Bertsch M., Kamin S. A system of degenerate parabolic equations // SIAM J. Math. Anal. 1990. - Vol.21. - №4. - P.905-916.

102. Bertsch M., Hilhorst D. The interface between regions where u > 0 and u < 0 in the porous medium equation//Preprint Univer. de Paris-Sud Math. 1989. №10. - P.l-25.

103. Benilan Ph., Ismail S. Ge'ne'rateuer des semi-groupes non line'aries et la formule de Lie-Trotter//Ann. Fac. Sci. Toulouse. 1985. - №7. - P.151-160.

104. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free energy of a nonuniform system. I. Interface free energy//J. Chem. Physics. 1958. - Vol.28. - P,258-267.

105. Cahn J.W. On the spinodal decomposition//Acta Metall. 1961. -Vol.9. - P.795-801.

106. Chernykh G.G., Dernenkov A.G. On numerical simulation of jet flows of viscous incompressible fluids //Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1997. - Vol.12. - №2. - P.lll-125.

107. Cherepanov P.Ya., Babenko V.A. Experimental and numerical study of flat momentuurriless wake//Int. J. Heat and Flow. 1998. - Vol.19. -P. 608-622.

108. Cimbala J.M., Park W.J. An experimental investigation of the turbulent structure in a two-dimensional momentumless wake//J. Fluid Mech. -1990. Vol.213. - P. 479-509.

109. Chorin A. Theories of Turbulence. Lecture Notices in Math. Vol.615. -Springer-Verlag, 1977.

110. Deng K., Levin H. The role of critical exponent in blow-up theorem: the sequel //J.Math. Anal, and Appl. 2000. - Vol.243. - 85-126.

111. DiPierna R.J. Measure-valued solutions to conservation laws//Archive Ration. Mech. Anal. 1985. - Vol.88. - №3. - P. 1-45.

112. Dias J.I., Kersner R. On a nonlinear degenerate parabolic equation in infiltration or evaporation through a porous medium//In: Preprint Univ. Wisconsin. Madison/Math. Res. Center. - 1983. Techn. Suirimmary Rept. №2502.

113. Di Benedetto E., Friedman A. Holder estimates for nonlinear degenerate parabolic systems //J. Reine Angew. Math. 1985. Vol.357. - P.l-22.

114. Elliot Ch.M. The Stefan problem with a non-monotone constitutive relation //IMA. J. Appl. Math. 1985. - Vol.35. - P.257-264.

115. Friedman A. One dimensional Stefan problem with nonmonotone free boundary//Trans. Amer. Math. Soc. 1968. - Vol.133. - P.89-114.

116. Galaktionov V., Vazquez J. The problem of blow-up in nonlinear parabolic equations//In: Preprint Univ. Bath. 2000. Math. 00/04/.

117. Galaktionov V.A., Vazquez J.L. Geometrical properties of the solutions of one-dimensional nonlinear parabolic equations//Math. Ann. 1995. -Vol.303. - P.741-769.

118. Galaktionov V.A. Concavity and i?-concavity of solutions of quasilinear filtration equations//J. London Math. Soc. 1999. - Vol.59. - №. - P.955-977.i

119. Galaktionov V. A. Quasilinear heat equations with first-order sign-invariants and new explicit solutions//Nonl. Analysis TMA. 1994. -Vol.23. - №12. - P.1595-1621.

120. Gilbert B. Diffusion mixing in grid turbulence without mean shear//J. Fluid Mech. 1980. - Vol.100. - P.349-365.

121. Graveleau J.L., Jamet P.J. A finite difference approach to some degenerate nonlinear parabolic equations//SIAM J. Appl. Math. 1971. - Vol.20. - №. - P.199-222.

122. Gracian F.Q., Vazquez J.L. Self-similar bursts existence and analytic dependence//Diff. Integ. Equat. 1995. - Vol.8. - №7. - P. 1677-1708.

123. Grebenev V.N., Ilyushin B.B. Invariants sets and explicit solutions to a third-order model for the shearless stratified turbulent flow//J. Nonl. Math. Phys. 2002. - Vol.9. №2. - P.144-156.

124. Grebenev V.N., Ilyushin B.B., Shokin Yu. I. The use of differential constraints for analyzing turbulence models// J. Nonl. Sci. Nurner. Simul. -2000. Vol.1. - №4. - P.305-317.

125. Grebenev V.N., Ilyushin B.B. The differential constraints method: application to analysis the shearless turbulence mixing layer//PAMM. Proc. Appl. Math. Mech. 2001. - Vol.1. - №1. - P.426-427.

126. Grebenev V.N. Invariant manifolds in parametric turbulent models// International Congress of Mathematics 2002, Abstract of Short Communications. Section of Mathematical Physics (August 20-28, 2002, Beijing, China) 2002, - P.286.

127. Grebenev V.N., Chernykh G.G. Analysis of locally equilibrium approximation in momentumless turbulent plane wake//Вычисл. техно л. 2003. - Т.8. - №3. - С.11-24.

128. Grebenev V.N. A system of degenerate parabolic equations which arises in hydrodynamics //2 Eur. Conf. Elliptic and Parabolic Problems. Book of Abstracts (June 13-17, 1994, Pont-a-Mousson, France) 1994, - P.51-52.

129. Grebenev V.N. Dinamica de una huella plana turbulenta alejada// Re-vista de Matem.: Teoria у Aplicac. 1998. - Vol.5. №4. - P.177-184.

130. Grebenev V.N. Some geometrical properties of the solutions to the porous medium equation// Proceedings of 2 Asian Mathematical Conference. Invited paper. (October 17-20, 1995, Thailand) P.333-343. -Singapore: World Scientific, 1997.

131. Grebenev V.N. Sobre la convexidad de la funcion de presion en el prob-lema de la filtracion no lineal//Revista de Matematica: Teoria у Aplicac. 1998. - Vol.5. - №1. - P.l-10.

132. Grebenev V.N. Equipotential line method in nonlinear diffusion prob-lems//Russian J. Numer. Anal. Math. Model. 1999. - Vol.14. - №4. -P.327-338.

133. Grebenev V.N., Shokin Yu.I. The equipotential line method//Proceedings of the Int. Conf. "Recent developments in Appl. Math, and Mech. Theory, Experiments and Practice". Devoted to N.N. Yanenko's 80th anniversary. Novosibirsk, 2001. - P.84-102.

134. Grebenev V.N. Interfacial phenomenon for one-dimensional equation of forward-backward parabolic type //Annali di Matematica Рига ed Applicata. 1996. - Vol. CLXXV. - №IV. - P.379-394.

135. Gunton J.D., Droz M. Introduction to the Theory of Metastable and Unstable States. Lect. Notes in Physics: Springer Verlag, 1983.

136. Hanjalic K., Launder В. E. A Reynolds stress model of turbulence and its application to thin shear flows// J. Fluid Mech. 1972. - Vol.52. -P.609-638.

137. Hanjalic K., Launder B.F. Fully developed asymetric flow in a plane channel// J. Fluid Mech. 1972. - Vol.51. - P.301-335.

138. Hastings S.P., Peletier L.A. On a self-similar solution for the decay of turbulent bursts//Euro.J. Appl. Math. 1992. - Vol.3. - P.391-341.

139. Herrero M., Vazquez J. The one-dimensional nonlinear heat equation with absorption: regularity of solutions and interfaces // SI AM J. Math. Anal. 1987. - V.18. - №1. - P. 149-166.

140. Hollig K., Nohel J.A. A diffusion equation with a nonmonotone constitutive function//In: System Nonlinear Partial Different. Equat. Proc Nato/London Math. Soc. Conf. Oxford: Reidel Publishing Company. -1983. P.409-422.

141. Hollig K. Existence of infinitely many solutions for a forward-backward heat equation//Trans. Amer. Math. Soc. 1983. - Vol.278. - P.299-316.

142. Hunter J., Slemrod M. Viscoelastic fluid flow exibiting hysteresis phase changes//Phys. Fluids. 1983. Vol.26. - P.2345-2351.

143. Hulshof J. Selfsimilar solutions of Barenblatt's model for turbulence //SIAM J. Math. Anal. 1997. - Vol.28. - №1. - P.33-48.

144. Ilyushin В. B. Higher-moment diffusion in stable stratification. //Closure Strategies for Turbulent and Transition Flows. Cambridge University Press, 2001.

145. Ilyushin B.B. Model of Fourth-Order Cumulants for Prediction of Turbulent Transport by Large-Scale Vortex Structure// J. Appl. Mechan. Tech. Phys. 1999. - Vol.40. - №5. - P.871-876.

146. Kalashnikov A.S. The effect of absorption in a medium in which thermal conductivity depends on temperature//USSR Сотр. Math. Math. Math. Phiz. -1976. Vol.16. - №3. - P.141-149.

147. Kamin S., Vazques J.L. The propagation of turbulence burst //Euro. J. App. Math. 1992. - Vol.3. - P.263-272.

148. Kamin S., Peletier L.A. Source-type solutions of degenerate diffusion equations with absorption // Israel J. Math. 1985. - Vol.50. - №3. -P.219-230.

149. Kamin S., Vazquez J. The propagation of turbulent burst//Euro. J. Appl. Math. 1992. - Vol.3. - P.263-272.

150. Karnin S., Peletier L.A., Vazquez J. Classification of singular solutions of a nonlinear heat equation//Duke Math. J. 1989. - Vol.58. - №3. -P.601-615.

151. Knerr B.F. The porous medium equation in one dimension//Trans. Amer. Math. Soc. 1977. - Vol.234. - P.381-403.

152. Knerr B. F. The behavior of the support of solutions of the equation of nonlinear heat conduction with absorption in one dimension // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. - Vol.249. - P. 409-424.

153. Kraichnan R. Closure problem in theory of turbulence //Proc. Symp. Appl. Math. XII. "Hydrodynamics instability". AMS, 1962.

154. Krassovskii Yu.P. On development of a layer structure of the thermo-cline//J. Sea Geophys. 1986. - Vol.5. - P.18-22.

155. Kunisch K., Peichl G. On the shape of the solutions of second order parabolic partial differential equations//J. Diff. Equat. 1988. - Vol.75. - P.329-353.

156. Lacey A.A., Shillor M. The existence and stability of regions with superheating in the classical two-phase one-dimensional Stefan problem with heat sources// IMA J. Appl. Math. 1983. - Vol.30. - P.215-230.

157. Lamb R.G. Diffusion in convective boundary layer//In: Atmosheric Turbulence and Air Pollution Modelling (ed. Nieuwstadt F., H van Dop).-Reidel, Boston MS 1982.

158. Lions J.L. Quelques methodes de resolution des problems aux limites non lineares. Paris, 1968.

159. Pope S.B., Haworth D.C. The mixing layer between turbulent fields of different scales//"Turbulent Shear Flows 5" (ed. Durst F. e.a.). -Springer-Verlag 1987. - P.44-53.

160. Proudman I., Reid W.H. On the decay of a normally distributed homogeneous turbulent velocity fields//Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1954. - Vol.247. - P.163-176.

161. Plotnikov P.I. Forward-backward parabolic equations and hysteresis// Russ. Math. Dokl. 1993. - Vol.330. - №6. - P.691-694.

162. Skripov V.P., Skripov A.V. Spinodal decomposition (phase transition via unstable states)//Sov. Physics Usp. 1979. - Vol.22. - P.389-410.

163. Slemrod M. Measure-valued solutions to a backward forward heat equation: a conference report//Nonlinear Evolution Equations Change Type/IMA Volumes in Math, and Appl. - №27. - New York: Springer-Verlag, 1990. - P.232-242.

164. Slemrod M. Dynamics of measure valued solutions to a backward-forward heat equation//J. Dynam. Diff. Equat. 1991. - Vol.3. - №1. -P. 1-28.

165. Takasi Senba. On the support properties of solutions for some degenerate quasilinear parabolic systems // Nonlinear Anal. 1990. - Vol.14. - №9. - P. 789-805.

166. Tartar L. Compensated compactness and applications to partial differential equations//Nonlinear Anal, and Mech. Herriot-Watt Symp. IV. Research Notes in Math. London: Pitman, 1979. - P. 136-192.

167. Vasiliev O.F., Kuznetsov B.G., Lytkin Yu.M., Chernykh G.G. Development of the turbulent mixed region in a stratified medium//Proc. ofthe conference on turbulent buyant convection. Dubrovnik, Yugoslavia, 1976. P. 123-136

168. Veeravali S.,Warhalt Z. The shearless turbulence mixing layer// J. Fluid. Mech. 1989. - Vol.207. - P.191-229.

169. Van der Waals J.D. The thermodynamic theory of capillarity flow under the hypothesis of continuous variation of density//J. Stat. Phys. 1979.- Vol.20. P. 197-244.

170. Vazquez J. Hyperbolic aspects in the theory of the porous medium equation/Proceedings of the Workshop on Metastability and PDE's. Minnesota, 1985.

171. Vazquez J. Convexity properties of the solutions of nonlinear heat equtions: Contributions to Nonlinear PDE. Vol.2. Pitman Res. Notes in Math., 1987.

172. Vazquez J. The interfaces of one-dimensional flows in porous rnedi-ume//Trans. Amer. Math. Soc. 1984. - Vol.285. - №2. - P.717-737.

173. Vazquez J. Asymptotic behaviour and propagation properties of the one-dimensional flow of gas in a porous medium // Trans. Amer. Math. Soc.- 1983. Vol.277. - №2. - P.507-527.

174. Vishnevskiy M. P., Zelenyak Т. I. Lavrentjev M. M. (JR). Large time behaviour solutions for nonlinear parabolic equations//Sib. Math. J. -1995. Vol.36. - №3. - P.510-530.

175. Zeman O. Lumley J. L. Modeling buoyancy driven mixed layer// J. Ath-mos. Asci. 1976. - Vol. 33. P. 1974-1988.