Автомодельные решения иерархии моделей дальнего турбулентного следа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

003493260

На правах рукописи

Ефремов Илья Александрович

Автомодельные решения иерархии моделей

дальнего турбулентного следа

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 МАР 2010

Красноярск - 2010

003493260

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении Высшего профессионального образования "Сибирский федеральный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Капцов Олег Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Царев Сергей Петрович

кандидат физико-математических нау Родионов Александр Алексеевич

Ведущая организация: Институт вычислительных

технологий СО РАН, г. Новосибирск.

Защита состоится 02 апреля 2010 года в /V : О & ч. на заседании диссертационного совета ДМ 212.099.18 при Сибирском федеральном университете по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26, корпус Ж, ауд. 1-15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета (г. Красноярск, ул. Киренского, 26).

Автореферат разослан «2Г» ОД. 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

К.А. Кирилл

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Моделирование турбулентности -это одна из наиболее сложных и нерешенных проблем в гидродинамике и теоретической физике. В настоящее время существует достаточно большое количество полуэмпирических математических моделей, которые с различной степенью приближения описывают турбулентность в жидкостях и газах. Это градиентные модели (модели первого приближения), дифференциальные модели (модели второго приближения), а также модели, в которых учитываются уравнения на третьи моменты. Широкая распространенность турбулентных течений, их большое значение для множества разнообразных практических задач и интерес к ним теоретиков говорит об актуальности исследований в этом направлении. Для нахождения решений данных моделей обычно применяются конечно-разностные алгоритмы. Представляет большой интерес редуцировать системы уравнений с частными производными к обыкновенным дифференциальным уравнениям и построить решения полученных систем, которые удовлетворительно согласовываются с экспериментальными данными.

Цель диссертационной работы:

- провести групповой анализ моделей турбулентности в однородной и в пассивно стратифицированной среде в приближении дальнего следа;

- получить представления для инвариантных решений, построить решения редуцированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, провести сравнение полученных решений с экспериментальными данными.

Научная новизна работы. В диссертации построены и исследованы автомодельные решения иерархии моделей дальнего турбулентного следа. Выполнен теоретико-групповой анализ соответствующих моделей. Построенные автомодельные решения удовлетворяют всем граничным условиям. Найдены первые интегралы редуцированных систем. Полученные решения удовлетворительно согласуются с экспериментальными

данными на качественном и количественном уровнях.

Теоретическая и практическая ценность работы. Найдены базисы допускаемых алгебр Ли операторов, позволяющие найти преобразования для перехода от систем уравнений с частными производными к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены первые интегралы для некоторых рассмотренных систем и построены решения редуцированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих естественным краевым условиям. Полученные решения адекватно описывают наблюдаемые процессы на качественном и количественном уровне. Предложенные подходы и варианты решений могут использоваться в теории и практике при моделировании и описании природы дальнего турбулентного следа.

Личное участие автора в получении представленных научных результатов. Все результаты, включенные в диссертацию, принадлежат лично автору. В совместных работах вклад соавторов равнозначен.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на VI международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005);

- на VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006);

- на VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007);

- на международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях" (Санкт-Петербург, 2007);

- на международной конференции "Алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях [1-4], 2 из них - в журналах из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, списка используемых литературных источников. Работа изложена на 97 страницах, иллюстрируется 25 рисунками. Список цитируемой литературы включает 55 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, представлена научная новизна и практическая значимость работы. В первой главе, в разделе 1.1, представлен ряд полуэмпирических моделей турбулентности в однородной и в пассивно стратифицированной среде. В разделе 1.2 приведены "упрощенные" модели в приближении дальнего турбулентного следа. В разделе 1.3 для всех рассматриваемых моделей выполняется теоретико-групповой анализ. Рассматривается (к — е) модель в приближении дальнего турбулентного следа, которая имеет следующий вид

Эй 13/. к2 ЗиЛ

1- =--I 1г г...--I

йдх у3ду у £ ду)

дк 10/. к2дк\ к2 (ди\2

дв \ д ( яср1к2де\ , , (ди\2 е2

иод^ = ^ уъТду) + ) ' С£2Т'

где щ - скорость набегающего потока, и - дефект скорости, к - кинетическая энергия турбулентности, е - скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, Сц, с£\, сЕг, сг£ - эмпирические константы; э = О для плоского течения и й = 1 в осесимметричном случае. В дальнейшем будем считать скорость набегающего потока равной единице.

Для системы (1) формулируется и доказывается следующая теорема о базисах допускаемой алгебры Ли.

Теорема 1 Система (1) в плоском случае допускает пятимерную алгебру Ли операторов, базис которой состоит из трех операторов переноса и двух операторов растяжения. В осесимметричном случае -четырехмерную алгебру Ли, базис которой содержит два оператора переноса и два оператора растяжения.

Базис допускаемой алгебры Ли операторов для плоского случая состоит из операторов

X - Э х - а X — ^

= х^- - - 2к-^- - Зе^-, ах ои дк ое

д д л, д п Э Х5 = у— + и— + 2 к— + 2е—, ду ои дк ае

и для осесимметричного случая из операторов

у _ & _ д

д д п1 в п д

ах ои дк ое

д Э „, д п 8 Х4 = у— + и— + 2 к— + 2е—. ду ои дк ое

Далее рассматривается трехпараметрическая (к — е — и[и'^) модель в приближении дальнего турбулентного следа вида

ди _ 13 дх у$ду

дк _ ( , ди_

и°дх у$ ду \ С>1 е ду) ду '

щ

£ ди е2

где щ - скорость набегающего потока, и - дефект скорости, к - кинетическая энергия турбулентности, е - скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, из = и'и' - напряжение Рейнольдса, см, с£ 1, с£2, аЕ, с$, с/1, с/2 ~~ эмпирические константы; 5 — 0 для плоского течения Н5=1в осесимметричном случае.

Для системы (2) также формулируется и доказывается теорема о базисах допускаемой алгебры Ли.

Теорема 2 Система (2) в плоском случае допускает пятимерную алгебру Ли операторов, базис которой состоит из трех операторов переноса и двух операторов растяжения. В осесимметричном случае -четырехмерную алгебру Ли, базис которой содержит два оператора переноса и два оператора растяжения.

Базис допускаемой алгебр Ли операторов для плоского случая состоит из операторов

и для осесимметричного случая из операторов

В плоском случае Х\, Хг, Хз - операторы переноса по х, у, и соответственно, а Х4, Х5 - операторы растяжения по а; и у. В осесимметричном случае оператор переноса по у отсутствует.

В разделе 1.3 найдены базисы допускаемых алгебр Ли для других рассматриваемых моделей. Для модифицированной {к — е — иЩ) модели в приближении дальнего турбулентного следа базисы допускаемых алгебр Ли совпадают с базисами (3), (4) для трехпараметрической (к-е—и[и'3) модели в приближении дальнего турбулентного следа. Также строятся базисы допускаемых алгебр Ли для модели третьего порядка в приближении дальнего следа.

Наряду с движением однородной жидкости большой практический интерес представляет случай так называемых стратифицированных потоков, то есть движения температурнонеоднородных или разноплотност-ных сред. Далее будут рассматриваться пассивно стратифицированные среды, то есть среды, где присутствует стратификация, но без учета сил тяжести. Для описания плоского турбулентного следа в пассивно стратифицированной среде привлекается следующая математическая модель

ди <9 ш

(5)

и°дх ду

(6)

П°дх ду

8е д

(7)

дт д

с*7 +

к2дш\ в ди

(8)

и°дх ду

др а ( к2дР\ д Срк2

дв д ( к2дв\ п к2 (др \2 ве

= щ \свтэ^)+ рт (тгу-1)- стт <10>

где щ - скорость набегающего потока, и - осредненный дефект продольной компоненты скорости, к - кинетическая энергия турбулентности, е - скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, ю - касательное турбулентное напряжение Рейнольдса, р - осредненный дефект плотности, в = р2 - дисперсия флуктуаций плотности; сге, см, с5, с\, сг, с/1, с/2, ср, с$, ст - эмпирические константы. Первые четыре уравнения системы (5)- (8) представляют собой уравнения трехпараметрической модели турбулентности в приближении дальнего следа. Уравнения (9), (10) описывают трансформацию поля плотности под действием турбулентной диффузии. Замыкание осуществлено с применением простейшей градиентной гипотезы; используется также приближение дальнего следа. Слагаемые, содержащие в качестве сомножителей коэффициенты ламинарной вязкости и диффузии, отброшены в предположении малости, так как рассматривается развитое турбулентное течение. Базис допускаемой алгебры Ли для модели (5)—(10) состоит из операторов

у - а у-5 У-5

А1 — я"~> 2 — -Г-, Лз — —, Лц — —,

ох оу ои ар

д д д д Хь = х— - и— - 2к— - Зе— - 2ш—, ах ои о к ое ои)

д д п1 д п д п д д ппд

Модель плоского турбулентного следа за нагретым цилиндром имеет вид

ди д / к2 ди\

щТх = Ту\с»7Ту)> <и>

ио

дк д ( к2дк\ к2 (ди\2

дТ

щд:; = —иг- (14)

д(^) ^ 2кдТ е— = дуС1р~~~ду--Уду ~ С1Тку Т >

ох ау е оу ду к

где щ - по-прежнему скорость набегающего потока, и - дефект осред-ненной продольной компоненты скорости, к - кинетическая энергия турбулентности, е - скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, Т - осредненная температура, у'Т' - турбулентный поток тепла, Т'2 - дисперсия флуктуаций температуры. Эмпирические константы модели сге, Сц, с\, сг, ст, с\р, с\т задаются. Первые три уравнения системы (11)—(16) - уравнения (к — е) модели турбулентности в приближении дальнего следа. Уравнения (14)—(16) описывают трансформацию поля температуры под воздействием турбулентной диффузии в следе.

Базис допускаемой алгебры Ли для этой системы состоит из операторов

_ д _ д д д Х1_а? Х2 = ¿у Хъ = м Ха~ЭТ'

д д д д д д Х5 = х--и—- 2к— - Зе— + Т— + 2!П -==, ох ди дк де дТ дгр2

д . а . д . „ д „ д д

ду ди дк де дТ

Последняя из рассматриваемых моделей служит для описания безымпульсного турбулентного следа. Она записывается в виде

ди _ д_ ( , №ди и°дх у$ ду V С/1 £ ду

дк 1а/, к2дк\ = <17>

де 19/ ,сак2 де\ е"

п, ^о г2

Пйдх у3 ду у а£ б ду) °е2 к '

где щ - скорость набегающего потока, и - дефект скорости, к - кинетическая энергия турбулентности, е - скорость диссипации кинетической энергии турбулентности, см, с£2, сг£ - эмпирические константы; г = 0 для плоского течения и з = 1 в осесимметричном случае.

Система (17) имеет следующий базис допускаемой алгебры Ли для плоского случая

и для осесимметричного случая

V д У д У д

д д д д д д Х* = Х1Гх-2кдк-3£1Ге> Х> = % + 2кдк + 2£Те-

Таким образом, найдены базисы допускаемых алгебр Ли для всех рассматриваемых моделей.

Во второй главе строятся автомодельные решения системы (1), удовлетворяющие краевым условиям:

а) условия невозмущенного потока

и—► О, к 0, е—>0 при у —> оо;

б) условия симметрии

ди дк де

—- = — = — = 0 при у = 0. ду ду ду

Для модели (1), на основе полученных результатов в главе 1, строится представление для решений вида

и = х?-1и{г), к - х2а~2К($, £ = х2а-3Е{$, (18)

где I = у/ха - автомодельная переменная, а а - параметр автомодель-ности. Подставляя представление (18) в исходную модель (1), приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

К"= Е

сЙК2

Е" = ^ [{2а - 3)Е - Е'аЬ + се2^ - слКи'2^ +

(Е' 2К'\ аЕ? , ч

Как показано в статье Капцова О.В., Шанько Ю.В. "Семейство автомодельных решений одной модели дальнего турбулентного следа" система (19) имеет первый интеграл. Для плоского случая, 5 = 0, первый интеграл имеет вид

с^'К2

—---Ь аш — сотгв^

Ь

а в осесимметричном случае, при s = 1, первый интеграл выглядит следующим образом

CfJJ'K2t ,

--h at U = const.

E

Константы, в силу граничных условий, равны нулю. Параметр автомо-дельности а определяется из закона сохранения

оо

J udy = const. -00

1 1 Для плоского случая а = -, для осесимметричного а = -.

А о

Для построения решений редуцированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений ставятся краевые условия

U'(0) = К'{ 0) = Е'(0) = 0, U(h) = K{h) = E(h) = 0, h = l.

Данная задача будет решаться "методом стрельбы". Способ, описанный в статье Капцова О.В., Шанько Ю.В. "Семейство автомодельных решений одной модели дальнего турбулентного следа", позволяет упростить поиск начальных данных в точке t = 0 для плоского случая.

Для модели (2) представление для автомодельных решений имеет следующий вид

u^x^Uitl k = x(2a-VK{t), е = x^2a~^E(t), w = x^2a-2)W{t),

где t = y/xa - автомодельная переменная.

Редуцированная система обыкновенных дифференциальных уравнений запишется в виде

sW

W' = + atU' - (а - 1)U, (20)

Z

к» _ 2(g - 1 )ЕК - atEK' - EWU' + E2 [

CflK2

r„(Ef IK' s\ , N

(2a - 3)E2K - atEKE' - cslE2WU' + ce2E3

E =-Vk*-+

„ _ 2(a - l)EW - оШГ c/i^W - cf2EK2U' csK2 + +

+W\E--K--t)+ (23)

Лемма. Для системы (20)-(23) найден первый интеграл для плоского

W + atU = const,

и для осесимметричного случая

Wt + at2U = const.

Константы, в силу граничных условий, равны нулю. Параметр автомо-дельности а = — в плоском случае и а — — - в осесимметричном. Для

и J

системы (20)—(23) ставились естественные краевые условия

Ж(0) = О, U'( 0) = К'{ 0) = Е'{ 0) = 0, U(h) = K{h) = E(h) = W{h) = 0, /i = l.

Решения систем согласуются с экспериментальными данными на качественном и количественном уровнях.

Для модели (5)—(10) представление для автомодельных решений следующее

и = xa~lU{t), k = x2a~2K(t), е = x2a~*E(t), w = x2a'2W{t), р = xaH(t), в = x2aR(t),

где Ь = у/ха - автомодельная переменная.

Для построения решений редуцированной системы обыкновенных дифференциальных уравнений ставятся краевые условия

Ж(0) = Я (0) = 0, и\ 0) = К'{ 0) = Е'(0) = 0) = 0, и{ 1) = К{ 1) = Е(1) = = Я( 1) = Я(1) = 0.

Можно показать, что редуцированная система допускает первый интеграл. Для рассмотренной модели (11)—(16) также найдено представление для автомодельных решений

и = ха~1и{Ь), к = х2а~2КЮ, е = х2а~3Е(г), Т = хр~а+1С(1), ИТ = Т2 = х2!'~2а+2Р{1),

где £ = у/ха - автомодельная переменная, а, /3 - параметры автомодель-ности и получена редуцированная система

Лтт - 1 тГ* - 2с»ки'к' _ ^К2Ц'Е' СцК2Ц" 2 2 Е Е2 + Е '

" = 1 (Ё- _ Е - 1к'е\ к' _ _ -'2

,, . (Е' 2К'\ и Е аЕ (С2Е3 2Е2 ЬЕ'Е\

-м'.

.. 2с1 РКМ'К' с1рК2М'Е' , с1рК2М" 2 , ЕМ - 2 =-Е---Р-+ --3 ~ С1Т~Г'

Лемма. Редуцированная система (24) допускает два первых интеграла:

с U'К2 1

+ =:tu = const, (25)

h 2

M-\tG = const. (26)

A

В силу граничных условий константы равны нулю.

Используя соотношения (25), (26), приходим к упрощенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений и строим решения этой системы, удовлетворяющие следующим краевым условиям:

= Е'{ 0) = G'(0) = F'(0) = 0, U{h) = K(h) = E(h) = G{h) = F(h) = 0, h = 1.

Для модели (17), которая описывает безымпулъсный след, представление для решений имеет вид

u = xtU(t), к = x2a~2K(t), e = x2a~3E{t),

где t = y\xa - автомодельная переменная. Редуцированная система, тогда запишется в виде

щЕ / , \ „,(Е' 2К'\ sK' IE2

щЕае (, Е2\ (Е' 2К<\ зЕ?

Построенные решения редуцированных систем удовлетворяют краевым условиям. При этом наблюдается достаточно хорошее согласование с экспериментальными данными.

Основные результаты диссертационной работы:

1. Проведен теоретико-групповой анализ шести моделей турбулентности в приближении дальнего следа;

2. На основе допускаемых операторов построены представления для решений, получены редуцированные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдены первые интегралы для этих систем;

3. Построены решения редуцированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющие естественным краевым условиям. Найденные решения согласуются с экспериментальными данными на качественном и количественном уровнях.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю д.ф-м.н., профессору О.В. Капцову за постановку задачи, помощь и ценные советы при работе над диссертацией.

Материалы диссертации опубликованы в работах:

1. Капцов О.В., Ефремов И.А. Инвариантные свойства модели дальнего турбулентного следа // Вычисл. технологии. Новосибирск ИВТ СО РАН. - 2005. - Т. 10, №6. с. 45-51.

2. Капцов О.В., Ефремов И.А, Шмидт A.B. Автомодельные решения модели второго порядка дальнего турбулентного следа // Прикладная механика и техническая физика. - 2008. -Т. 49, №2. - с. 74-78.

3. Ефремов И.А., Капцов О.В., Черных Г.Г. Симметрии и решения полуэмпирических моделей турбулентности // МФТИ. Сборник научных трудов "Симметрии дифференциальных уравнений". - 2009. - с. 79-88.

4. Ефремов И.А., Капцов О.В., Черных Г.Г. Автомодельные решения двух задач свободной турбулентности // Мат. моделирование. - 2009. -Т. 21, №12. - с. 137-144.

Работа по теме диссертации выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов: 0701-00489, 04-01-00130, 04-01-00209).

Ефремов Илья Александрович Автомодельные решения иерархии моделей дальнего турбулентного следа Автореф. дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук Подписано в печать 40.02.2<м0г. Заказ №1382.

Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Отпечатано в ИПК СФУ 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82

Введение

1 Допускаемые алгебры Ли для различных моделей турбулентности

1.1 Некоторые модели турбулентности.

1.2 Дальний турбулентный след за телом.

1.3 Нахождение алгебр Ли для различных моделей дальнего турбулентного следа.

1.3.1 (к — е) модель в приближении дальнего следа

1.3.2 Трехпараметрическая (к — £ — и[иj) модель в приближении дальнего следа.

1.3.3 Модифицированная (к — е — u^u'j) модель (модель Роди) в приближении дальнего следа.

1.3.4 Модель третьего порядка в приближении дальнего следа.

1.3.5 Плоский турбулентный след в пассивно стратифицированной среде.

1.3.6 Плоский турбулентный след за нагретым цилиндром

1.3.7 Безымпульсный след.

2 Расчет моделей дальнего турбулентного следа

2.1 (к — е) модель в приближении дальнего следа.

2.2 Трехпараметрическая (к — е — u'v') модель в приближении дальнего следа.

2.3 Турбулентные следы в пассивно стратифицированной среде

2.4 Безымпульсный след.

Из истории развития техники в период эпохи возрождения можно установить, что устройство каналов, водопроводов и других гидротехнических сооружений побуждало отдельных исследователей проводить наблюдения и измерения скоростей течения воды в каналах. С помощью этих наблюдений и измерений можно было обнаружить различие скоростей движения воды по мере удаления от свободной поверхности ко дну канала и по мере удаления от середины канала к его боковым стенкам. Но отсутствие математического аппарата не давало возможности описать или объяснить эти явления. Начало же математическому моделированию турбулентности было положено работой О. Рейнольдса [51]. Идеи Рейнольдса были подхвачены Прандтлем [50], Тейлором [54], Колмогоровым [21], работы которых послужили фундаментом для современных моделей турбулентности. Огромный интерес к проблеме турбулентности легко объяснить распространенностью этого явления в природе, его важностью для различных паук и современных технологий. Действительно, ведь большинство движений жидкостей, газов и плазмы, которые встречаются в природе и технике, оказываются турбулентными. Например, струйные течения в верхней тропосфере и облака в атмосфере также находятся в турбулентном движении. Течение воды ниже поверхности океана оказывается турбулентным. Пограничные слои, нарастающие на крыльях летательных аппаратов, являются турбулентными. Течения воды в реках и каналах, движение природного газа и нефти в трубопроводах, следы судов, подводных лодок, крыльев летательных аппаратов (самолетов, ракет) являются турбулентными. Большинство процессов горения включают турбулентность и часто зависят от нее. Процессы химической технологии используют турбулентность для смешения и гомогенизации смесей жидкостей и ускорения скоростей химических реакций в жидкостях и газах. Таким образом, исследование турбулентности охватывает весьма широкую область разнообразных физических приложений.

В 1937 году Тэйлор и Карман дали следующее определение: "Турбулентность - это неупорядоченное движение, которое в общем случае возникает в жидкостях, газообразных или капельных, когда они обтекают непроницаемые поверхности или же когда соседние друг с другом потоки одной и той же жидкости следуют рядом или проникают один в другой". Согласно этому определению, рассматриваемое течение должно удовлетворять условию неупорядоченности. Действительно, неупорядоченность является крайне важной особенностью. Вследствие неупорядоченности не представляется возможным описать движение во всех деталях как функцию времени и пространственных координат. Но турбулентное движение не упорядочено в таком смысле, что поддается описанию с помощью законов теории вероятности. При этом оказывается возможным указать средние значения различных величин, например: скорости, давления, температуры и т. п., что является весьма важным обстоятельством. Если бы турбулентное движение было полностью неупорядоченным, оно не поддавалось бы никакому математическому анализу.

С опубликования первых работ Рейнольдса прошло уже более столетия. Многие исследователи занимались этой проблемой, но до сих пор не существует общего подхода к описанию турбулентного движения сплошных сред. Уравнения движения могут быть подвергнуты подробному анализу, но пока не удается провести аккуратные количественные вычисления, не полагаясь в той или иной степени на экспериментальные данные. Статистический анализ нелинейных уравнений гидродинамики всегда ведет к ситуации, при которой число неизвестных оказывается больше числа определяющих уравнений. Это так называемая проблема замыкания в теории турбулентности. Поэтому при решении задач турбулентного движения жидкостей и газов приходится использовать физические соображения, основанные на экспериментальных данных, чтобы восполнить пробел между реальными турбулентными течениями и определяющими уравнениями. Это означает, что теория турбулентности, являясь частью современной классической физики, и зачастую развивается как физика - в тесном контакте с экспериментом. Построение теории турбулентности опирается на опытные данные. Теория же должна объяснять экспериментальные закономерности. Вполне возможно, что в будущем удастся построить полностью формальную теорию турбулентности. Однако более реальным представляется развитие физической модели турбулентности.

Теория турбулентности ограничена в том же самом отношении, в каком была бы ограничена динамика жидкости, если бы соотношение Стокса между напряжением и скоростью деформации в ньютоновской жидкости было неизвестно. Поэтому распространенное приближение в описании турбулентности состоит в формулировании соотношения между напряжением и скоростью деформации, включающего генерируемую самой турбулентностью вихревую (или турбулентную) вязкость, которая играет роль, подобную роли молекулярной вязкости в ламинарных течениях. Это приближение основано на физически некорректной аналогии между механизмами молекулярного и турбулентного переноса импульса, тепла и вещества.

Молекулярная вязкость - это физическое свойство жидкостей и газов, в то время как турбулентность - свойство движения сплошной среды. Это означает, что описание эффектов турбулентности с помощью понятия турбулентной вязкости не может быть, вообще говоря, полным и исчерпывающим. Однако современные исследования наводят на мысль, что в некоторых ситуациях можно из аналитических соображений говорить о турбулентной жидкости, а не о турбулентном течении жидкости. Так называемые турбулентные жидкости оказываются неньютоновскими. Они проявляют свойство вязкопластичности и обнаруживают при определенных условиях эффекты памяти. Память постепенно затухает со временем, так что представляется вполне возможным развить полулокальную теорию, связывающую турбулентные напряжения со средней скоростью деформации. С математической точки зрения сложность заключается в том, что общее решение нелинейных дифференциальных уравнений Навье-Стокса получить не удается. Комбинация случайности и нелинейности делает уравнения турбулентности крайне трудными для анализа.

На настоящий момент существуют достаточно много моделей, описывающие турбулентность. Это и модели первого приближения (градиентные модели), такие как модели Буссинеска, Прандтля [49, 50], Тейлора [54], Кармана [47], Рейхарда, так и модели второго приближения (дифференциальные модели), такие как модели Невзглядова-Драйдена, Колмогорова-Прандтля, Брэдшоу, Коважного-Секундова, Jlo-ундера, Ханжалика-Лоундера, Роди. Из отечественных исследователей большой вклад в теорию турбулентности внесли Колмогоров [21], Давыдов [6, 7, 8], Абрамович [38], Секундов [36], Лойцянский [25], Гиневский [4], Обухов [29] и другие [5, 23, 24, 26, 27, 32, 41, 42]. Активно используются модели, в которых выписываются уравнения моментов третьего порядка [22]. Но несмотря на обилие моделей во всех из них используются эмпирические константы, определяемые опытным путем. Совершенно не очевидно, что более сложные модели описывают турбулентность лучше, чем более простые. Важно заметить тот факт, что для более сложных моделей необходимы и более подробные начальные и граничные условия, относящиеся, например, к различным компонентам напряжений и потоков, а эти условия в практических задачах обычно трудно измеримы. Часто в задачах об окружающей среде даже более существенные граничные условия не могут быть заданы с требуемой степенью точности, и решение может зависеть от точности задания этих условий сильнее, чем от точности описания турбулентности, так что в этих случаях использование сложных моделей турбулентности себя не оправдывает.

Целью диссертационной работы было проанализировать основные модели турбулентности в однородной и в пассивно стратифицированной средах в приближении дальнего следа. В работе рассматривались несколько моделей, а именно:

- (к — е) модель дальнего турбулентного следа (в приближении пограничного слоя) ди 1д Г s еди\ U°dx у3 ду \ Cfl Е ду / ' дк id t s рдк\ е (ди\2

Щдх у3ду у C/i е дуJ Cfl е \ду) и — = —— ( + с с к (—У -с

Щдх ys ду \ ае е ду) °elC/i \ду ) 52 к '

- трехпараметрическая (k—e—u'v') модель дальнего турбулентного следа (в приближении пограничного слоя) ди Id (yW) = — ox ys ду дк 1 д ( s &дк\ —ди U°dx ys ду \ Cfi е ду J UV ду д£ 1 д f ч к2 д£\ £, —т—,ди ч

U"di = V'd-у ) + к^ д-у ~ Сг2£)' du'v' 1 д ( . к2 du'v'\ £ ди к2 u'v' = У cs---— - -cjiu'v' + cf2k---scs--х-. дх у3ду \ £ ду J к ду £ уг

Для этих двух моделей, в главе 1, будут сформулированны и доказаны теоремы о допускаемых алгебрах Ли. Также, в этой главе, будут сформулированны соответствующие утверждения

- для модифицированной (к — £ — u'v') модели Роди ди 1 д дх уsду и—- —— f SU —^ + Р - £ Щдх у3 ду \У Щду) и — - —— f ^ + - fc P - с И

19/. du'v'\ u'v' .

Щ= — д- — - si/fi—r - («о ~ 1> ^--mu'v'-, ox ys dy \ dy J у ду к

- для плоского случая модели третьего порядка (приближение дальнего следа) ди du'v' uoir- — дх ду ди'2 du'2v' ——ди (и'2 2\ 4 —-ди 2 ~эГ + 2 д~у ~С1£\к ~ з) ~ Г2и% ~ з£' dv'2 dv'3 fv'2 2\ 2 —du 2 = ~ С1£{Т ~ з J + 3C2UV^ - з£' dw'2 dw'2v' fw'2 2\ 2 -—ди 2 = ""^ЧХ ~ з) + 3C2UV^ " Г' du'v' du'v'2 £-7-7 \~?)ди ~вг "+ ( С2) cs д v'2kde е—^ди е2

Щ— = —---— + cel-u'v'— - се2—, ох а£ ду е ду к ду к du'2v' „ , ,0ди ——du'v' —9du'2 u'2v'e 2u'v'2— - 2u'v'—--v'2— - c3—-—, дх ду ду ду к dv'3 -о <Э?/2 ^о-ъ— = --сзdx dy к dw'2v' -#dw'2 w'2v'e U° dx dy °3 к ' du'v'2 —лди —odu'v' -^-.dv'2 u'v'2e uQ—— = v'3---2v/2:i-jl - u'v'—--c3 дх ду ду ду к

- для модели плоского турбулентного следа в пассивно стратифицированной среде ди du'v' U°dx ду ' дкд( —ди

U°dx ду \ м е ду J UV ду де д ( к2де\ е ( -—ди \ ох ду \ е ду J к \ ду J du'v' д ( к2 du'v'\ е—7 .ди щ~д.Г = а? V) ~C/1 ки + ^V дрд( д срк2

U°dx ду \ '0 £ ду) ду £

U°dx ду \ * £ ду) °р £ \ду ) °Т к ' для дальнего турбулентного следа за нагретым цилиндром ди д / к2ди\ U°dx ду \ м £ ду /' дкд( &дк\ к? fduV

U°dx ду \C/i £ ду) C/i е \ду) д£ д (сик2 <9е\ , {ди\ 2

Щдх ду £ ду) ^ \ду) °е2 к ' дТ д(у'Т') U° дх ду d(v'T') д k2d(v'T') 2k дТ

U° дх ду°1р e ду 3 dy ^k0^1 дТ" д к2 д{Т ) дТ е~2

Щ-w- - -5-С1 р-----2v'T'—--сттТ , ох ду е оу оу к

- для модели, которая описывает безымпульсный турбулентный след ди ( s №ди\

U° дх ys ду \ Cfl е ду J ' дк^д ( s ^дк\ U° дх ys ду \ £ ду J ' де ]д ( s^tfdA £ U°дх ys ду \ а£ £ ду) °£2 к '

Далее на основе этих утверждений построены представления для решений, редуцирующие системы уравнений с частными производными, описанные выше, к системам обыкновенных дифференциальных уравнений и выписаны соответствующие краевые условия для всех моделей.

В начале первой главы диссертационной работы приводятся основные классические математические модели турбулентности. Далее рассматриваются "упрощенные" модели в приближении дальнего турбулентного следа. Проводится групповой анализ этих моделей по известной схеме [30], строятся базисы допускаемых алгебр Ли для плоских и осесиммет-ричных случаев, и соответствующие таблицы коммутаторов. Для двух моделей подробно доказаны теоремы о базисах допускаемых алгебр Ли. Результаты, полученные в главе 1, используются далее.

Во второй главе данной работы изучаются решения моделей дальнего турбулентного следа. Получить решения помогают допускаемые операторы растяжения. Система уравнений с частными производными редуцируется к системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Из физических соображений выбираются краевые условия, удовлетворяющие условиям задачи. Далее решается краевая задача "методом стрельбы". Сложность решения задачи заключается в нелинейности обыкновенных дифференциальных уравнений, но эту сложность, по-видимому, можно обойти разложением решения к окрестности особой точки в ряд, как это было показано в статье [20]. Данный метод применяется для выбора начальных данных при использовании "метода стрельбы". Стоит отметить, что системы особо чувствительны к начальным данным. Приведены графики решений редуцированных систем и произведен сравнительный анализ с доступными экспериментальными данными.

Основные результаты диссертационной работы:

- проведен теоретико-групповой анализ для шести моделей турбулентности в приближении дальнего следа;

- на основе допускаемых операторов построены представления для решений, получены редуцированные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдены первые интегралы для этих систем;

- построены решения редуцированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющие естественным краевым условиям. Найденные решения согласуются с экспериментальными данными на качественном и количественном уровнях.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12, 13, 17, 18], а также докладывались на VI Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005) [16], VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006) [9], Международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях" (Санкт-Петербург, 2007) [19], Международной конференции "Алгебра и ее приложения"(Красноярск, 2007) [10], VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007) [11]. Данная работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 07-01-00489, 04-01-00130, 04-01-00209).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Капцову Олегу Викторовичу за постановку задач и ценные советы, а профессору Г.Г. Черных и доктору физико-математических наук В.Н. Гребеневу за предоставленные материалы и внимание к работе.

Основные результаты диссертационной работы:

- проведен теоретико-групповой анализ шести моделей турбулентности в приближении дальнего следа;

- на основе допускаемых операторов построены представления для решений, получены редуцированные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдены первые интегралы для этих систем; .

- построены решения редуцированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющие естественным краевым условиям. Найденные решения согласуются с экспериментальными данными на качественном и количественном уровнях.

1. Бруяцкий, Е. В. Турбулентные стратифицированные струйные течения / Е. В. Бруяцкий. — Киев: Наук, думка, 1986.

2. Вишик, М. И. Математические задачи статистической гидромеханики / М. И. Вишик, А. В. Фурсиков. — М.: Наука, 1980.

3. Гибсон, М. М. О расчете свободных горизонтальных турбулентных течений со сдвигом в условиях влияния естественной конвекции / М. М. Гибсон, Б. Э. Лоундер // Теплопередача. Сер. С. — 1976. — Т. 98, № 1.-С. 86-94.

4. Гиневский, А. С. Теория турбулентных струй и следов / А. С. Ги-невский. — М.: Машиностроение, 1969.

5. Гребенев, В. Н. Применение метода эквипотенциалей в задачах гидродинамики свободных турбулентных течений и фильтрации / В. Н. Гребенев // Дис. д-ра физ.-мат. паук. — 2004.

6. Давыдов, Б. И. К статистической динамике несжимаемой турбулентной жидкости / Б. И. Давыдов // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 127, № 4. - С. 768-771.

7. Давыдов, Б. И. К статистической турбулентности / Б. И. Давыдов // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 127, № 5. - С. 980-982.

8. Давыдов, Б. И. К статистической динамике несжимаемой турбулентной жидкости / Б. И. Давыдов // Докл. АН СССР. 1961. - Т. 136, № 1.-С. 47-50.

9. Ефремов, И. А. Инвариантные решения модели ханжалика-лоундера / И. А. Ефремов // Тез. докл. VII Всерос. конф. молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых). — 2006.— С. 46.

10. Ефремов, И. А. Групповые свойства модели турбулентности третьего порядка / И. А. Ефремов // Тез. докл. междунар. конф. "Алгебра и ее приложения". — 2007. — С. 50-51.

11. Ефремов, И. А. Плоский турбулентный след за нагретым цилиндром / И. А. Ефремов // Тез. докл. VIII Всерос. конф. молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. — 2007. — С. 47.

12. Ефремов, И. А. Автомодельные решения двух задач свободной турбулентности / И. А. Ефремов, О. В. Капцов, Г. Г. Черных // Мат. моделирование. — 2009. — Т. 21, № 12. — С. 137-144.

13. Ефремов, И. А. Симметрии и решения полуэмпирических моделей турбулентности / И. А. Ефремов, О. В. Капцов, Г. Г. Черных // МФТИ. Сборник научных трудов "Симметрии дифференциальных уравнений". 2009. — С. 79-88.

14. Ибрагимов, Н. X. Группы преобразований в математической физике / Н. X. Ибрагимов, — М.: Наука, 1983.

15. Иевлев, В. М. Турбулентное движение высокотемпературных сплошных сред / В. М. Иевлев. — М.: Наука, 1975.

16. Капцов, О. В. Автомодельные решения "к — е" модели турбулентности / О. В. Капцов, И. А. Ефремов // Тез. докл. VI Междунар. конф. "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике".- 2005.- С. 56-57.

17. Капцов, О. В. Инвариантные свойства модели дальнего турбулентного следа / О. В. Капцов, И. А. Ефремов // Вичисл. технологии. Новосибирск ИВТ СО РАН. — 2005. — Т. 10, № 6. С. 45-51.

18. Капцов, О. В. Автомодельные решения модели второго порядка дальнего турбулентного следа / О. В. Капцов, И. А. Ефремов, А. В. Шмидт // Прикладная механика и техническая физика. — 2008. Т. 49, № 2. - С. 74-78.

19. Капцов, О. В. Инвариантные решения модели турбулентности / О. В. Капцов, И. А. Ефремов, В. А. Шмидт // Тез. докл. междунар. конф. "Потоки и структуры в жидкостях". — 2007. — С. 240-241.

20. Колмогоров, А. Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости / А. Н. Колмогоров // Изв. АН СССР Сер. физ. — 1942. Т. 6, № 1/2. - С. 56-58.

21. Коловандин, Б. А. Моделирование теплопереноса при неоднородной турбулентности / Б. А. Коловандин. — Минск: Наука и техника, 1980.

22. Курбацкий, А. Ф. Моделирование нелокального переноса турбулентного импульса и тепла / А. Ф. Курбацкий. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988.

23. Курбацкий, А. Ф. Введение в моделирование турбулентного переноса импульса и скаляра / А. Ф. Курбацкий. — Новосибирск: Академическое изд-во "Гео", 2007.

24. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. — М.: Наука, 1987.

25. Миллионщиков, М. Д. К теории однородной изотропной турбулентности / М. Д. Миллионщиков // Докл. АН СССР. — 1941, — Т. 32, №9.-С. 611-614.

26. Монин, А. С. Статистическая гидромеханика / А. С. Монин,

27. A. М. Яглом. — Спб.: Гидрометеоиздат, 1992.

28. Мошкин, Н. П. О численном моделировании динамики турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде / Н. П. Мошкин, А. В. Фомина, Г. Г. Черных // Вестник НГУ, Серия: матем., механика, информ.— 2004.— Т. 4, № 3/4. — С. 63-92.

29. Обухов, А. М. О распределении энергии в спектре турбулентного потока / А. М. Обухов // Докл. АН СССР.- 1941,- Т. 32, № 1.-С. 22-24.

30. Овсянников, Л. В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. — Новосибирск, 1966.

31. О леер, П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер. — М.: Мир, 1989.

32. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике /

33. B. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев, А. А. Родионов.— Новосибирск: Наука, 1994.

34. Развитие области турбулизованной жидкости в стратифицированной среде / О. Ф. Васильев, Б. Г. Кузнецов, Ю. М. Лыткин, Г. Г. Черных // Изв. АН СССР, сер. МЖГ. 1974. - № 3. - С. 45-52.

35. Распространение тепла от линейного источника в плоском турбулентном следе / В. И. Букреев, А. Г. Деменков, В. А. Костомаха,

36. Г. Г. Черных // Прикладная механика и техническая физика. — 1996.-№5.-С. 115-126.

37. Роди, В. Модели турбулентности окружающей среды / В. Роди // Методы расчета турбулентных течений. — 1984. — С. 227-322.

38. Секундов, А. Н. Феноменологическая модель и экспериментальное исследование турбулентности при наличии пульсации плотности / А. Н. Секундов. — Москва: Наука, 1977.

39. Таунсенд, А. А. Структура турбелентного потока с поперечным сдвигом / А. А. Таунсенд. — М.: Изд-во иностр. лит., 1959.

40. Теория турбулентных струй / Г. Н. Абрамович, Т. А. Гиршович, С. Ю. Крашенинников и др. — М.: Наука, 1984.

41. Фрост, У. Турбулентность, принципы и применения / У. Фрост, Т. Моулдер.- М.: Мир, 1980.

42. Хинце, И. О. Турбулентность. Ее механизм и теория / И. О. Хин-це.-М.: ИЛ, 1963.

43. Черных, Г. Г. Введение в численное моделирование свободных турбулентных течений / Г. Г. Черных. — Новосибирск: НГУ, 1996.

44. Chernykh, G. G. Numerical models of jet flows of a viscous incompressible fluid / G. G. Chernykh, A. G. Demenkov // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling1997.— Vol. 12, no. 2.— Pp. 111125.

45. Freymuth, P. Structure of temperature fluctuations in the turbulent wake behind a heated cylinder / P. Freymuth, M. S. Uberoi // Phys. Fluids. 1971. - Vol. 14, no. 12. - Pp. 2574-2580.

46. Hanjalic, K. A reynolds stress model of turbulence and its application to thin shear flows / K. Hanjalic, В. E. Launder // J. Fluid. Mech.— 1972. Vol. 52, no. 4. — Pp. 609-616.

47. Hassid, S. Similarity and decay laws of momentumless wakes / S. Hassid // Phys. Fluids. 1980. - Vol. 23, no. 2. - Pp. 404-405.

48. Heat, mass and momentum transfer in free turbulent mixing / S. C. Lee, P. T. Harsha, J. E. Auilet, C. L. Lin // Stanford Univ. Press. — 1972. -Pp. 215-230.

49. Karman, T. Mechanische aehnlichkeit und turbulenz / T. Karman // Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Kl. — 1930. — Pp. 58-68.

50. Launder, В. E. The numerical computation of turbulent flow / В. E. Launder, D. B. Spalding // Сотр. Meth. Appl. Mech. and Eng. — 1974. Vol. 3. — P. 269.

51. Prandtl, L. Bemerkungen zur theorie der freien turbulenz / L. Prandtl // Z. angew. Math, and Mech. — 1942. — Vol. 22, no. 5. — Pp. 241-243.

52. Prandtl, L. Uber ein neues formelsystem fur die ausgebildete turbulenz / L. Prandtl, K. Weighardt // Nachr. Ges. Wiss., Math.-Phys. Kl — 1945. Vol. 11A. - Pp. 6-19.

53. Reynolds, O. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion / O. Reynolds // Phil Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. — 1984. — Vol. 186.-Pp. 123-161.

54. Rodi, W. A new algebraic relation for calculating the reynolds stresses / W. Rodi /1 ZAMM. 1976. - Vol. 56. - Pp. 219-221.

55. Taylor, G. I. The transport of vorticity and head through fluids in turbulent motion / G. I. Taylor // Ibid. 1932. — Vol. 135. - Pp. 685706.

56. Taylor, G. I. Production and dissipation of vorticity in a turbulent fluid / G. I. Taylor // Proc. Roy. Soc. Ser. A. — 1938,- Vol. 164.-Pp. 15-23.

57. Voropaeva, О. F. Dynamics of a far momentumless turbulent wake in passively stratified media / O. F. Voropaeva // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. ~ 2004. — Vol. 19, no. 1. — Pp. 83-102.