Применение метода Уэлча для построения состоятельных оценок спектральных плотностей многомерных временных рядов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ гч. УНИВЕРСИТЕТ

Я?

ос: о

^Т'ДК 519.24

<г

сч/

МИРСКАЯ ЕЛЕНА ИВАНОВНА

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА УЭЛЧА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ СОСТОЯТЕЛЬНЫХ ОЦЕНОК СПЕКТРАЛЬНЫХ ПЛОТНОСТЕЙ МНОГОМЕРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МИНСК 1997

Работа выполнена в Белорусском государственном университете

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент Труш H.H.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Леоненко H.H.

- кандидат физико-математических наук, доцент Зуев Н.М.

Оппонирующая организация - Институт математики HAH Беларуси

Защита состоится "ЛРЯбРЯ... 1997 года в 40. часов на заседании совета по защите диссертаций Д 02.01.08 в Белорусском государственной университете (220050, г. Минск, пр-т Скорины 4, Белгосуниверси-тет, главный корпус, ауд. 206).

С диссертацией можно ознакомиться б библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан октября 1997 года.

Ученый секретарь

совета по защите диссертаций

к.

V

H.H. Труш

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Статистический анализ временных рядов является одним из наиболее значимых в прикладном н теоретическом отношениях направлении математической статистики. Бурное развитие вычислительной техники значительно расширило сферы приложения методов статистического спектрального анализа временных рядов, которые в настоящее время широко применяются в самых разных областях наук» и практики, таких как радиоэлектроника и электротехника, точная механика, экономика, социология, медицина, страхование, биология, геофизика и многих других.

Наиболее актуальной задачей спектрального анализа временных рядов является построение состоятельных в среднеквадратическом смысле оценок спектральной плотности и исследование их статистических свойств. Задача оценивания спектральной плотности стационарного временного ряда имеет довольно богатую историю и рассматривалась в большом числе работ.

Среди непараметрических методов спектрального оценивания одним из наиболее распространенных является метод Уэлча, в котором для построения оценки спектральной плотности производится осреднение периодограмм, построенных по пересекающимся и непересекающимся интервалам наблюдений. Цель перекрытия - увеличить число осредкяемых отрезков при заданной дп-че временного ряда и тем самым уменьшить дисперсию итоговой оцеь:.:*. Д. Бриллинджер исследовал оценку, построенную по непересекающимся интервалам наблюдений. И.Г. Журбенко по предложению А.Н. Колмогорова при построении оценки спектральной плотности по методу Уэлча использовал полиномиальное окно просмотра данных. Им были найдены общие точные асимптотические выражения для смещения и дисперсии таких статистик, изучены асимптотики среднеквадратнческого уклонения в зависимости от характера гладкости исследуемого спектра.

В данной работе обобщаются результаты, полученные П. Уэлчем, Д. Бриллннджером, И.Г. Журбенко на многомерные временные ряды и произвольные окна просмотра данных, спектральные окна. Первые два момента построенных оценок спектральной плотности представляются в виде интегралов от произведения некоторых ядерных функций на взаимные спектральные плотности второго, семшшвариантные спектральные плотности четвертого порядков. Исследуется асимптотическое поведе-

ние и скорость сходимости моментов построенных оценок при ограничениях на гладкость рассматриваемых спектральных плотностей, окна просмотра данных и спектральные окна. Находится предельное распределение предложенных оценок.

Связь с крупными научными программами, темами.

Работа является составной частью госбюджетной НИР № 19941349 "Разработка математических методов и алгоритмов анализа, классификации и обработки экспериментальных данных", выполняемой кафедрой информационного н программно-математического обеспечения автоматизированных производств факультета прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета.

Цель и задачи исследования. Целью работы является построение состоятельных статистических оценок взаимных спектральных плотностей второго порядка многомерных временных рядов путем осреднения модифицированных периодограмм по пересекающимся и непересекающимся интервалам наблюдении.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

- исследование вспомогательных статистик, используемых при построении оценок;

- исследование асимптотических свойств и скорости сходимости математического ожидания и ковариации построенных оценок;

- нахождение предельного распределения оценок.

Научная новизна полученных результатов. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми и впервые опубликованы в работах автора.

Метод Уэлча обобщен на многомерные временные ряды и произвольные окна просмотра данных, спектральные окна.

Практическая значимость полученных результатов. Предложенные оценки спектральной плотности удобны для применений с использованием ПЭВМ при обрабатке данных в больших объемах и в режиме реального времени.

Экономическая значимость полученных результатов. Выполненная работа имеет теоретическое значение.

Осшлшые положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Асимптотическое поведение моментов двух оценок взаимной спектральной плотности ^многомерного стационарного случайного процесса, построенных по пересекающимся и непересекающимся интервалам наблюдений, в зависимости от ограничений на взаимные спектральные

плотности второго порядка н семшншариантные спектральные плотности четвертого порядки, а также ограничений на окна просмотра данных и спектральные окна.

2) Скорость сходимости первых двух моментов построенных оценок и предельное распределение состоятельных оценок.

Личный вклад соискателя. Содержание диссертации отражает личный вклад автора в проведенных исследованиях.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты до-кладыв;ишсь на научных семинарах кафедры информационного и программно-математического обеспечения автоматизированных производств Болгосуннверситета (1990, 1993-1997 гг.), на Межреспубликанской научно-практической конференции "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение" (Минск, 1990 г., 1994 г.), Республиканской научной конференции "Математическое и программное обеспечение анализа данных" (Минск, 1990 г.), Республиканской научно-методической конференции, посвященной 25-летию факультета прикладной математики и информатики Белгос-ушшерентета (Минск, 1995 г.), Международной научной конференции "Компьютерный ашишз данных н моделирование" (Минск, 1995 г.), математической конференции "Еругинские чтения-ПГ' (Брест, 1996 г.), V Межгосударственной научной конференцнн "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное н информационное обеспечение" (Минск, 1996 г.), VII Белорусской Математической конференции (Минск, 1990 г.).

Опубликованность 1 ультатоп. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, пяти глав, выводов и списка использованных источников. Она содержит 95 страниц. Библиография насчитывает 66 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе дан обзор литературы по теме исследований. Во второй главе дается общая методика исследований, сформулированы некоторые вспомогательные результаты, которые использованиеь пр» написании диссертации.

В третьей главе на каждом интервале разбиения наблюдений многс мерного стационарного случайного процесса введены вспомогательны статистики, используемые при построении оценок спектральных плот ностей, исследованы статистические свойства этих статистик.

Рассмотрим действительный стационарный случайный процес Л'(0 = {ЛГ.(О,в = М7}, * 6 £ = {0,±1,±2,...} с МА'(<) = С (МА'„(() = 0, а = ТГг), < 6 X, ковариационной матрицей П(т) = {Ла(,(г) а,6= г € 2, и матрицей спектральных плотностей /(А) = {/аь(А) а,6= 17?}, А € П = (-тг.тг].

Пусть Л'а(0), Ха(1), ... , Ха{Т-1) - Т последовательных наблюдений полученных через равные промежутки времени, за составляющей Ха(() процесса Х(4), 4 6

Предполагаем, что число наблюдений Т представимо в виде Т = ЬИ — (Ь — 1 )К, где Ь - число пересекающихся интервалов, содержащих по N наблюдений, а М, К - целые числа, 0 < К < N.

Заметим также, что если К = 0, то Т = ЬЫ, где Ь - число непересекающихся интервалов, содержащих по N наблюдений.

В § 3.1 рассмативается статистика

«/.(А,/) = (2тг £ - (/ - 1)(ЛГ - Л'))]2)-*#0(А,/),

«=(<-1)(*-К) (1)

I = 1,1/, А 6 П, которая называется модифицированным конечным преобразованием Фурье на 1-ом отрезке разбиения наблюдений, где

Яа(А,/) = £ С(<-(/-1)(^-Л'))Л'а(<)е-А<, (2)

1=(!-1)(/У-К)

< бД, а = 1,г - окна просмотра данных, которые обращаются в нуль при £ < 0 и £ ■ > /V, ограничены единицей и имеют ограниченную постоянной V вариацию. Заметим, что сглаживание наблюдений на каждом из отрезков разбиения производится одним и тем же окном просмотра данных.

Вычислены соу{(/0(А1,/),с/(,(А2,/)}, Бс1а(А,1), где I ~ 1 ,Ь, а,Ь = 1~г, А,АьА2 € П.

Показано, что

un i\\ T¡%h?<i>№<р)

cov{,e(AbOЛ(Ъ.О> - ^да^р,^

x e-Ux.-^Xí-iXN-K) J(e _ Лх.х - A2)/ob(x)dx, n

где 1

N-1 _

= (2* £ ^(р)^ь(Р)Г1 Ы*)*Ь(y), (3)

P=0

p=0

», y, Ai, Лг g П, o,b= l,r,/ =

В § 3.2 исследованы асимптотические свойства второго момента модифицированного конечного преобразования Фурье на /—ом отрезке разбиения. Показано, что если взаимная спектральная плотность /аь{%) непрерывна в точке х = Ai и ограничена на П, а окна просмотра данных ограничены единицей и имеют ограниченную вариацию, то

lira covídeíAi.^AÍAa,*)}580»

/У-foo

Ai, Aj еП,(А1 - Аз) jé 0 (mod 2тг), í = ТГЕ, а,Ь = ]~r.

В § 3.3 исследованы асимптотические свойства смешанного семиинварианта г»-го порядка модифицированного конечного преобразования Фурье на i-ом отрезке разбиения. Показано, что если сешшнвариантная спектральная плотность п-го порядка fai...a„(uii • • • ,Un-i) непрерывна в точке (А|,... ,A„_j) и ограничена на П"-1, окна просмотра данных I £ й, а а Т[7, ограничены единицей и имеют ограниченную постоянной V вариацию, выполняется соотношение '

sup/.../(«1— ,«n_i)idui...dun.i<C, (5)

где

.....««-i) - (W"1 х X

. р=0 . ' ■ , ■ '

х V?a, («l) X • ■ • X <PoK-t (u„-l)v«n(«l + •. • + "n-l), (б)

6 _

С - некоторая положительная постоянная, ^0(^)1 а — 1>г) заданы выра жением (4), то

]ш1 сига{г/01(Аь/),... ,с?0г>(Ап,/)} = О,

N—>00

а< = 17?, Аi еП,1 = 17«, / = 17Г, п > 2.

Используя последний результат доказано, что статистики ¿а|(А1,/),... Ау ф 0 (тоб 2п), у = 1,п, / = являются

асимптотически независимыми величинами, причем статистика ¿а(\,1) имеет предельное комплексное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и предельной дисперсией /аа(А) при А ф 0 (то<1 2тг) и имеет предельное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и предельной дисперсией /аа(0) при А = О (тос! 2?г).

В § 3.4 вычисляются первые два момента другой вспомогательной статистики на /-ом отрезке разбиения наблюдений многомерного временного ряда

А'-1 _

/оь(А,/) = (2тгХ;Л^(р)^(р))-1Яа(А,0Яь(А,/), (7)

р=0

которая называется модифицированной периодограммой, где На(Х,1) задается соотношением (2), , 4 6 Я - окна просмотра данных, / = 1,1«, А € П, а,Ь = Т7г.

Найдены математическое ожидание, дисперсия и ковариация статистики (7) на каждом из отрезков разбиения наблюдений.

В § 3.5 исследованы асимптотические свойства первых двух моментов модифицированной периодограммы на /-ом отрезке разбиения. Доказано, что если взаимная спектральная плотность /0ь(х) непрерывна в точке х = А и ограничена на П, окна просмотра данных а = 1, г,

( б Л, ограничены единицей и имеют ограниченную вариацию, то модифицированная периодограмма является асимптотически несмещенной оценкой взаимной спектральной плотности.

Также доказано, что если взаимная спектральная плотность /аь{х), а, 6 = 1,г, непрерывна в точке х = Аг и ограничена на П, семиинва-риантная спектральная плотность 4-го порядка ограничена на П3, окна просмотра данных ограничены единицей и имеют ограниченную вариацию, выполняется соотношение (5) при п = 4, то

lim cov{Iaib,(h,i),Ia]b3(^2,l)} =

N-tco

0, если Al ±Д2 ф о (mod 2л-),

C2/ei6i(A3)/61«,(A2), если At +Л2 = 0 (mod 27г),АьА2 ф 0 (mod тг), С,3/а10,(А2)/г,1ба(-А2))еслн Aj - Д2 = 0 (mod 2тг), Аь А2 ф 0 (mod тг), C2faib,(0)fbia,(0) + C3fatut(0)/b,b(0), если At = А2 = 0 (mod /г),

где

С = /о1 (r) /о1 fr)*»«. (*)

/о ЛП1 (x)hbl (в) Аг /J ha, (x)h¿, (x) dx '

c _ /о (g)ft«.(д)/о (*)ль, (*) Ф? Jo h°> (X)hb, (r) /о (X)hb (X) '

a^ Ь, = I^, Ai € П, » = 1,2, / = 171. При Ai = A2 = A, bi = 62 = b, <4 = o2 = a получено предельное выражение для.дисперсии статистики (7).

Таким образом, показано, что модифицированная периодограмма 1аь[А, /) не является состоятельной оценкой взаимной спектральной плотности.

В четвертой главе, используя методику Уэлча, в качестве оценки взаимной спектральной плотности рассматривалась статистика, построенная путем осреднения модифицированных периодограмм по пересекающимся и непересекающимся интервалам наблюдений, следующего вида

1 L

£ь(А)=£5>Ь(А,/), (Ю)

А€П, а,6 = Тг.

В § 4.1 вычислены первые два момента оценки (10). Показано, что

М/«ь(А) = J*»b{x)U{x + \)dx, п

где $ab(x) ~ $ai(x<х)' х е П, а, 6 = Î7r - ядро на множестве П.

Второй момент рассматриваемой статистики имеет следующий вид;

(8) (9)

1? п ^ а и (2*)3 ЕР"о' 'С (р)/г» (р)/>£(р)Н»(р)

Уб!4 „_ НЫ- л-,Л1/ , ГИЛ 1..\ -1~ ■ х

X <бДг/ + АьУ + А2)РЛ[(^ - А")(я + у)]/.,., (*)/*,*,(»)

где Ф^ь.оаьДУьУг.г/з), у) задаются выражениями (6) при п = 4, (3) соответственно, /а1ь1а1ь, (У1> У2> Уз) - семшшварнантная спектральная плотность 4-го порядка, а

п.-, Ь{ = 1,г, А,- еП, » = 1,2.

При А1 = Аг = А, й1 = 02 = а, Ьх = 62 = Ь получено выражение для дисперсии оценки (10).

В § 4.2 исследованы асимптотические свойства математического ожидания и ковариащш построенной оценки взаимной спектральной плотности. Доказано, что если взаимная спектральная плотность непрерывна в точке х = А и ограничена на П, окна просмотра данных ° — 1, г,

< 6 Л, ограничены единицей и имеют ограниченную вариацию, то статистика /об (А) является асимптотически несмещенной оценкой взаимной спектральной плотности /0ь(А), А € П, а, Ь = 1,г.

Доказана

Теорема 4.5. Если взаимная спектральная плотность /аь(х), а,Ь — , 1, г, непрерывна в точках Лх, Л2 и ограничена на П, семиинва-риантная спектральная плотность 4-го порядка ограничена на П3,окна

1 вша

(И)

просмотра данных { £ Л, а = 1 ограничены единицей л имеют

ограниченную постоянной V вариацию, выполняется соотношение (5) при п — 4, то для оценки /(1ь(А), А € П, а, Ь = 1,г, заданной выражением (10), справедливо соотношение

lim cov{fa,bl(\i),faib,(>v)} =

/V —i-oo

О, еелл Aj ± Аг ^ 0 (mod 2л-),

есляА,+А2 = 0 (mod 2я),Аь А2 о (mod яг), T*/aiaj(-\i)/Mj(--V»)> еелл Ai - А2 = 0 (mod 2tt),Ai, А2 ^ 0 (mod тг), %/°,b,(0)Aia,(0) + ^/.,.,(0)^6,(0), еелл Ai = Аг = 0 (mod jr),

где С2, С3 заданы соотношениями (8), (9) соответственно, о,-, Ь,- = 1,г, А, € П, i = 1,2.

При сохранении условий теоремы 4.5 показано, что

J rCi/.«(A)/w(A), при А ^ 0 (mod тг),

Jim D/ab(A) = I ^

w-«, * I г(Аь(0)Да(0) + C,/„(0)/bi(0)), при А = 0 (mod тг), где

С = /о'Л»(*)^/оЧ2(*)<Ь *

' (fiha(x)hb(x)dx)* '

a,b=l~r, А € П.

Таким образом, осреднение периодограмм позволяет уменьшить предел дисперсии оценки в число раз, равное числу интервалов.

В § 4.3 исследована скорость сходимости первых двух моментов оценки /аь(А), А € П, a,b = 1, г, заданной (10), в предположении, что /„(,(А), A G П, удовлетворяет следующему условию:

|/аь(я + А) — /оь(А)| < C|a'|tt, 0 < а < 1, (13)

для любых х € П, С - некоторая положительная постоянная, а,Ь= 1,г.

Доказано, что если взаимная спектральная плотность /<,(,(А), А 6 П, удовлетворяет соотношению (13), то справедлива следующая оценка величины смещения

|М/вЬ(Д) - /вЬ(А)| = 0(J |х'|°|Ф^(х-)|с/х), 0 < о < 1, п

где Ф?ь(х) = a;), a, b - Т, г, х, А 6 П.

Показано, что если взаимная спектральная плотность /аь(А), А 6 П, а,Ь= 1,г, ограничена на П, семиинвариантная спектральная плотность 4-го порядка непрерывна в точке (Ai, —Лх, — Аг) и ограничена на П3,окна просмотра данных h^ (£), t 6 R, а = 1, г, ограничены единицей и имеют ограниченную вариацию, выполняется соотношение (5) при п — 4, то

COv{/aibl (Ai), /а3Ь3(Л2)} = •АI ± А2 ф О (mod 2л-), А,- £ П, а,-, Ь,- = I~r, i = 1,2,

Дь(А) — ~/ааМ/м>(А)| =

= 0(±) + 0(J\x\°*?a(x)dx)+0(J\x\a<*8,(x)dx) II п

при А ф 0 (mod 7г),

|D/ab(A) - jfab(0)fba(0) - £/ов(0)/6Ь(0)| = 0(j)+

+ 0( J\x\°\<f>»(x)\dx) + 0( J \x\^a(x)dx) + 0(J MQ<(*)d*)

П n n

при A = 0 (mod ir), a,b — I7r, A G П, a C\ задается соотношением (12).

Пятая глава посвящена построению и исследованию оценки взаимной спектральной плотности, задаваемой выражением

Лб(А) = Wab( А - (Н)

«=i

где Wab(a;), х € R, а, b = 1,г - спектральное окно, которое является непрерывной, периодической функцией с периодом 2гг, имеет ограниченную вариацию и является ядром.

В § 5.1 исследованы асимптотические свойства первых двух моментов построенной оценки взаимной спектральной плотности. Показано, что если взаимная спектральная плотность /аь(х), а,Ь — 1,г, непрерывна в точке i = А и ограничена на П, окна просмотра данных (£), t € Я, а = 1, г, ограничены единицей и имеют ограниченную вариацию, то статистика /оь(А) является асимптотически несмещенной оценкой взаимной спектральной плотности. Доказана

Теорема 5.2. Если взаимная спектральная плотность /аь(х), а, Ь = 1,г, непрерывна в точках Ai,A2 11 ограничена на П, семпинва-рпантная спектральная плотность 4-го порядка ограничена на П3, окна просмотра данных h^(t), t € R, a = l,r, ограничены единицей я имеют ограниченную вариацию, выполняется соотношение (5) при п = 4 , спектральные окна удовлетворяют условию

Jw^b(x)dx<oo, (15)

п

то

lim cov{/0lbl(Ai),/0,6,(^2)} =0,

i —+оо

Ai € П, а,Д = 1^7, t = 1,2.

Таким образом, статистика /аь(А) в условиях теоремы 5.2 является состоятельной в среднеквадратическом смысле оценкой взаимной спектральной плотности.

В § 5.2 исследована скорость сходимости первых двух моментов статистики (14). Показано, что при выполнении соотношения (13) справедлива следующая оценка величины смещения

|М/вЬ(А)-/аг,(А)| = 0(у" + lyri^i^l^ + Ofi),

п п

где 0 < а < 1, а = <1г), г £ П, а,6 = Т~г.

Доказана

Теорема 5.5. Если взаимная спектральная плотность /аь(х), а,Ь = 1,г, непрерывна в точках Ai,A2 и ограничена на П, семпон-варпантная спектральная плотность 4-го порядка непрерывна в точке (Aj, -Aj, — А2) и ограничена на П3, окна просмотра данных ограничены единицей и имеют ограниченную вариацию, выполняются соотношения (5) при п = 4 я (15), то

cov{7eitj(A1),7e3b3(A2)} = O(i),

а, Д- = Т7г, А, еП,( = 1,2.

В § 5.3 исследовано предельное распределение оценки /аь(А), А 6 П, а,Ь = 1,г, с помощью семиинвариантного подхода. Доказана

12 _

Теорема 5.7. Если окна просмотра данных h^(t), t Е It, a ~ l,r, ограничены единицей и имеют ограниченную вариацию, выполняется соотношение

+оо -+-00

¡C • • £ .....tn-l)l <OOf (16)

11= —ОО /„_!=!— ОО

где ca,...Uo(íi,..., <„_i) - смешанный семиинвариант п-го порядка стационарного случайного процесса X(t) = {Хс(£),а — 1, г}, t € Z, то

lim cum{/Ó (, (Ai),... ,^„6„(An)} — О,

T-too

щ, b¡ «= I7r, А,- £ П, i = l,n, n > 2. Доказана

Теорема 5.8. В условиях теоремы 5.5 н при выполнении ограничения (16) статистики /„,(,, (At),... ,/а„ь„(А„) имеют асимптотическое совместное комплексное нормальное распределение с предельными ма-тематическими ожиданиями равными Ja,bt (Xi),... , /ü„<,„(An) и ковариационной структурой, заданной выражением

lim Гсоу{/01б,(А),7ааЬ:1(/«)} =

i —юо

2zQ л

= I We,(,1(A-a)W^,6,^+a)/ü,bj(a)/6iea(-a)da+

п

ЗтгС* Г

+ —jfp I Watbl(\-a)Wa,b,(ti~a)faiat{a)fbtb1{~a)do¡,

п

где С2, Сз заданы соотношениями (8), (9) соответственно', a¡,bi — 1,г, A,/i, А,- € П, i = 1, п.

ВЫВОДЫ

1) Оценка, построенная по методу Уэлча, путем осреднения модифицированных периодограмм по пересекающимся и непересекающимся интервалам наблюдений, является асимптот«чески несмещенной оценкой взаимной спектральной плотности, а дисперсия оценки в асимптотике

уменьшается п число раз равное числу интервалов разбиения наблюдений по сравнению с продельным значением дисперсии модифицированной периодограммы.

2) Оценка взаимной спектральной плотности, построенная путем сглаживания с помощью спектральных окон оценки, полученной по методу Уэлча, является асимптотически несмещенной и состоятельной в среднеквадратическом смысле оценкой взаимной спектральной плотности.

3) Сглаженная оценка взаимной спектральной плотности имеет асимптотическое комплексное нормальное распределение с заданными предельными математическим ожиданием и ковариацией.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Мирская Е.И. Некоторые свойства окон просмотра данных //Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение. Тез. докл. конф. - Минск, 1990. - С. 305.

2. Труш H.H., Мирская Е.И. Статистические свойства оценок спектральных плотностей по пересекающимся интервалам наблюдений //Математическое и программное обеспечение анализа данных. Тез. докл. конф. - Минск, 1990. - С. 122.

3. Труш H.H., Мирская Е.И. Статистические свойства оценок спектральных плотностей по пересекающимся интервалам наблюдений //Сб.науч.ст. "Проблемы компьютерного анализа данных и моделирования". - Минск, 1991. - С. 180-185.

4. Труш H.H., Мирская Е.И. Асимптотические свойства осредненных . оценок спектров второго порядка//Вести. Белорус, ун-та. Сер. 1, Физ.

Мат. Мех. - 1993. - № 3. - С. 35-38.

5. Мирская Е.И. Исследование скорости сходимости моментов некоторой оценки спектральной плотности //Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение. Тез. докл. конф. - Минск, 1994. - С. 163-164.

6. Мирская Е.И., Василенко Ж.В. Статистические свойства осред-ненной оценки спектральной плотности //Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение. Тез. докл. конф. - Минск, 1994. - С. 167-168.

7. Мирская Е.И. О скорости сходимости моментов некоторой оценки спектральной плотностн//Тез.докл.конф., посвящ. 25-летию ФПМИ -Минск, 1995. ч.1. - С. 139.

, 8. Труш H.H., Мирская Е.И. Статистические свойства одной оценки спектральной плотности// Сб.науч.ст. "Компьютерный анализ данных и моделирование". - Минск, 1995. - Т.2. - С. 261-204.

9. Мирская Е.И. Исследование скорости сходимости моментов сглаженных оценок спектральных плотностей //Вести. Белорус, ун-та. Сер. 1, Физ. Мат. Мех. - 1995. - № 2. - С. 51-5G.

10. Мирская Е.И. Исследование статистических свойств одной оценки спектральной плотности// "Еругинскне чтения-Iii". Тез. докл. конф. -Брест, 199G. - С. 19.

11. Мирская Е.И. Асимптотические свойства семиинварианта п-го порядка модифицированного конечного преобразования Фурье //Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение. Тез. докл. конф. - Минск, 1996. - С. 155.

12. Мирская Е.И., Омельянчук С.Н. Исследование статистических свойств осредненной оценки спектральной плотности //Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение. Тез. докл. конф. - Минск, 1990. - С. 156.

13. Мирская Е.И. О предельном распределении оценки спектральной плотности //VII Белорусская Математическая конференция. Тез. докл. конф. - Минск, 1996. ч.З. - С. 25-26.

14. Труш H.H., Мирская Е.И. О скорости сходимости моментов оценок спектральных плотностей //Весщ АН Беларусь Сер. ф1з.-мат. на-вук..- 1996, Ks 4. - С. 54-59.

15. Мирская Е.И. Модифицированное конечное преобразование Фурье . на каждом отрезке разбиения наблюдений / Ред. журн. " Изв. АН Беларуси. Сер. фиэ.-мат. н." - Минск, 1997. - 27 с. Деи. в ВИНИТИ 26.03.97, N2 931-В 97.

16. Труш H.H., Мирская Е.И. Модифицированная периодограмма на каждом отрезке разбиения наблюдений / Рад. журн. " Изв. АН Беларуси. Сер. физ.-мат. н." - Минск, 1997. - 23 с. Деп. в ВИНИТИ 26.03.97, № 932-В 97.

15

РЕЗЮМЕ

Мирская Елена Ивановна

Применение метода Уэлча для построения состоятельных оценок спектральных плотностей многомерных временных рядов

Ключевые слова: временной ряд, стационарный случайный процесс, спектральная плотность, оценка, конечное преобразование Фурье, периодограмма.

Объект исследования - многомерный стационарный случайный процесс.

Целью диссертации является построение состоятельных статистических оценок взаимных спектральных плотностей второго порядка многомерных временных рядов путем осреднения модифицированных периодограмм по пересекающимся и непересекающимся интервалам наблюдений.

Оценки спектральных плотностей, рассматриваемые в работе, основаны на конечном преобразовании Фурье наблюдений.

Основные результаты диссертации:

- вычислены моменты двух оценок взаимной спектральной плотности, построенных путем осреднения модифицированных периодограмм по пересекающимся и непересекающимся интервалам наблюдений для многомерных временных рядов, произвольных окон просмотра данных и спектральных окон;

- исследовано асимптотическое поведение и скорость сходимости первых двух моментов рассматриваемых оценок;

- найдено предельное распределение предложенных оценок.

Полученные в диссертации результаты являются новыми и могут

быть использованы, когда необходимо обрабатывать данные в больших объемах, а также в режиме реального времени. Результаты могут быть использованы для проведения научных разработок и в учебном процессе.

1С

РЭЗЮМЭ

Морская Алена 1ванауна

Прымяненне метаду Уэлча для пабудовы слушных ацэнак спектральных шчыльнасцей многомерных часавых радоу

Ключавыя словы: часавы рад, стацыянарны выпадковы працэс, спектральная шчыльнасць, ацэнка, канечнае пераутварэнне Фур'е, перыяда-грама.

Аб'ект даследавання - мнагамерны стацыянарны выпадковы працэс.

Мэтай дысертццьп з'яуляецца пабудова слушных статыстычных ацэнак узаемных спектральных шчыльнасцей другога парадку мнагамерных часавых радоу шляхам асярэдшвання мадыф^кавиных перыяда-грам па перасякальных I неперасякальных штэрвалах наз1ранняу.

Ацэнш спектральных шчыльнасцей, разгледжаныя у рабоце, заснава-ны на канечным пераутварэнш Фур'е наз'фанняу.

Асноуныя вынш1 дысертацьп:

- выл ¡чаны моманты дзвюх ацэнак узаемиай спектральная шчыльна-сщ, пабудаваных шляхам асярэдшвання мадыфшаваных перыядаграм па перасякальных ! неперасякальных ¡нтэрвалах наз^ранняу для мнагамерных часавых радоу, адвольных вокнау прагляду далых 1 спектральных вокнау;

- даследаваны асшптатычныя паводзшы 1 хуткасць збежнасш пер-шых дзвюх момантау раэгледжаных ацэнак;

• знойдзена лш1тавае размеркаванне прапанаваных ацэнак.

Атрыманыя у дысертацьп вынш з'яуляюцца новым! 1 могуць быць выкарыстаны, кал! неабходна апрацоуваць даныя у вялшх аб'ёмах, а таксама ^ рэжьше рэальнага часу. Вышк1 могуць быць выкарыстаны для праоядзеиня навуковых распрацозак 1 у вучэбным працэсе.

17

SUMMARY

Mirskaya Elena Ivanovna

The use of the Welch method for construction of consistent estimates of multiple time series spectral densities

Key words: time series, stationary stochastic process, spectral density, estimate, the finite Fourier transform, pcriodogram.

Object of investigation - multivariate stationary stochastic process.

The aim of the study is to construct consistent stochastic estimates of mutual spectral densities of second order multiple time series by means of averaging of modified periodograms over overlapping and nonoverlapping observation intervals.

The spectral densities estimates considered in the thesis are based on the finite Fourier transform of observations.

The main results of the dissertation:

- moments of two estimates of mutual spectral density constructed from averaging of modified periodograms over overlapping and nonoverlapping observation intervals for multiple time series , arbitrary data windows, and spectral windows have been calculated;

- an asymptotic behavior and degree of convergence of the first two moments of examined estimates have been investigated;

- the limiting distribution of suggested estimates has been found.

The results obtained in the thesis are new and may be used when one need process a great amount of data, especially in the read time. They also can be applied in scientific investigations and for educational purposes as . well.

¿JLuj)-