Статистические спектральные методы обработки многомерных временных рядов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГ6 од

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2 6 ({ЮН 1393

На правах рукописи АЖАДДАР ЯСИН АЛЛУШ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ МНОГОМЕРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Специальность: 01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

МИНСК - 1993г.

Работа выполнена в Белорусском Государственном университете

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук

Труш H.H.

Официальные оппоненты:-доктор физико-математических наук, профессор Апанасович В.В. -кандидат физико-математических наук, ст. научный сотрудник Синькевич Д.В. Ведущая организация Гомельский государственный университет

Защита состоится Z& и+еИЯтз г. в Ü час. на заседании специализированного совета к 056.03.17 при Белорусском государственном университете по адресу: 220080, Республика Беларусь, г.Минск, проспект Ф. Скорины 4, главный корпус, вуд. 20б.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан _Ч- июня 1993 года.

Ученый оектретарь специализированного совета ДОЦент

Ю.В. Меленец

Актуальность тоцц. в настоящее время значительно расширились теоретические исследования и практическое применение методов статистического анализа временных рядов во многих областях человеческой деятельности: при исследовании космоса, в сельском хозяйстве, радиофизике, вкономике, медицине, биологии. Как правило, при еюи применяется аппарат стационарных случайных процессов, который достаточно полно излокен в работах А.Я. Хинчина, А.Н.Колмогорова, Дж.Дуба, Г.Крамера, Ю.А.Розанова, А.М.Яглома и других ученых. Оообое внимание уделяется стационарным случайным процессам с дискретным временем, что обусловлено широким использованием компьютерной техники для реализации разработанных методов и алгоритмов.

В последнее время одним из важных направлений исследования является непараметрический статистический спектральный анализ временных рядов, которому посвящена настоящая диссертационная работа и который состоит в необходимости оценки бесконечного числа неизвестных параметров. Имеется целый ряд монографий и статей, которые посвящены непараметрическому спектральному анализу стацйонарных случайных процессов, а именно работы И.И.Ибрагимова , И.Г.Журбенко , Р.Ю.Бенткуса, Т.Андерсона ,Д.Брил-линджера , Э.Хенна, Дж.Бокса, Дж.Дженкинса , В.А.Алексеева , С.Ю.Ефроймовича, М.С.Пинскнера, А.Н.Ширяева , Н.Н.Леоненко, М.И.Ядренко , А.М.Яглома , М.Бартлетта .У.Гренандера, М.Розен-блатта , Э.Парзена ,Р. Отнеса, Л. Эноксона и других.

Наиболее актуальной задачей спектрального анализа временных рядов является построение состоятельных в среднеквадрати-ческом смысле оценок основных характеристик втих рядов и иссле-

давание их статистических свойств, используя ограничения на спектральные плотности рассматриваемого процесса. В настоящей работе строятся состоятельные оценки математического ожидания, взаимных, ковариационных функций и спектральных плотностей многомерных временных рядов, вычисляются их моменты, исследуется асимптотическое поведение моментов оценок при ограничениях на гла, кость взаимных спектральных плотностей второго и семиинвариант-ных спектральных плотностей четвертого порядков, а также ограничениях на окна просмотра данных и спектральные окна. Тематика рассматриваемой диссертации примыкает к работам И.Г.Журбенко , Д.Бриллшдаера, Т.Андерсона , Н.Н.Труша и других.

Цель работа. Основной целью работы является дальнейшее развитие методов построения и исследования статистических оценок взашшх ковариационных функций и взаимных спектральных плотностей второго порядка многомерных временных рядов. Автором ставилась задача представления моментов построенных оценок в виде интегралов от произведения некоторых ядерных функций на спектральные плотности второго и четвертого порядков и нахождение их асимптотик при ограничениях на спектральные плотности.

би'этода исследования. В диссертационной работе используются современные методы теории вероятностей, математической статистики, случайных процессов, математического анализа, алгебры. При построении оценок взаимных спектральных плотностей использовалась методика, основанная на конечном преобразовании Фурье наблюдений.

^ Основные результаты работы, выносшше на защиту.

1. Исследованы статистические свойства оценки математи-

ческого ожидания процессов о нерегулярными наблюдениями. Иооле-доввны асимптотические свойства вторых моментов построенной статистики и найдено ее предельное распределение.

2. Исследованы свойства оценок взаимной ковариационной функции и взаимной спектральной плотности многомерного стационарного случайного процесса. Вычислены моменты построенных оценок и исследовано их асимптотическое поведение в зависимости от ограничений на спектральные плотности второго и четвертого порядков, а также ограничений на окна просмотра данных и спектральные окна.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и впервые опубликованы или представлены к опубликованию в работах автора.

Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейшем, например, для изучения зависимостей между составляющими многомерных временных рядов.'

АпрЬбация работы. Основные результаты докладывались на научных семинарах кафедры информационного и программно-математического обеспечения автоматизированных производств Белгосуни-вероитета (1992г.,1993г.), конференции математиков Республики Беларусь (г.Гродно, 1993г.), конференции, посвященной памати' Лобачевского (г.Минск, 1993г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы или представлены к опубликованию в 4-х работах.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, которые включают 15 параграфов и списка литературы , содержащего 90 наименований. Объем диссертации

страниц машинописного текста.

В главе I изучаются методы анализа многомерных временных рядов. Вводятся основные характеристики многомерных стационарных случайных процессов.

Пусть X(t) = i Хи ( t ), а = Vr }, teZ-r - мерный стационарный случайный процесс о г - мерным вектором математического

ожидания пГ= (ma, а = 1,г),

m = ЫХ (t) = const,

а а

t g Z, ковариационной матрицей

R(t) = { R .(t); a,b = ÎTr }, т € Z,

a D

R (Г) = M(X (t+t) - m )(X (t) - m. ),

ас a в ь d

t,t с Z, и матрицей спектральной плотности

Î(X) = ( f „(X), a,b = ÏTr }, X e {-Я,Я} = П,

Bb

a xa (0), 2a(1). ••• > x (T-1) - T последовательных, полученных через равные промежутки наблюдений за процессом Х^(t), t € Z,

а = 1,г. Далее вводятся характеристики высших порядков, а

именно смешанные моменты n-го порядка m^ (ti,...

1 ' n

,t ,) , смешанные семиинварианты n-го порядка с (t....

п-1 а.••1

>t а=1,г, 1=1,n, t,e Z, 3=1,n-1, семиинвариантные спект-

п-1 1 j

ральные плотности n-го порядка î (Х,...Х ), \ ,е [-It,Jl],

а ... а 1 n J

. Приводятся соотношения, связывающие смешанные моменты и смешанные семиинварианты п-го порядка. Как оценку математи-

ческого омвдания та в литературе рассматривают статистику вида

Л Л Т-1

ш = I х (г) ,

Т 1-0 а

t е г, а=Т7? .

Показано, что имеет место представление

к

D m = -О- f t (х) Ф" (х) dx, Т -f " Т

где f (х) спектральная плотность, а

*1(х) = —L- А? (х) (1)

^ 2лТ

есть функция, называемая ядром Фейера,

sin хТ

Ат (х) = —=-=£- . (2)

т Bin

\

Рассматривались асимптотические свойства второго момента оценки математического охидашя. Показано, что если спектральная плотность faa(X), X е П непрерывна в точке X = О, то

lim Т D m = 2lt f (0),

m 4 в aa

T —> a>

__A

a=1,r, и m^ является состоятельной оценкой математического ожидания га . Также доказывается асимптотическая нормальность ота-

А

тистики та в предположении, что рассматриваемый процесс является m-зависимым. Далее предполагается, что нерегулярность

в наблюдениях за стационарным случайным процессом

ХЩ я ( Х^(1;), а = 17г }, t е 21, носит случайный характер, то

есть наблюдаемые значения могут быть представлены в виде:

__= Ха(1;) йл(±),

а =Т7г. Ъ = 0,!Г-1, где Т - число наблюдений. По полученным наблюдениям отроится оценка математического ожидания процесса Х('Ь) = { Ха(1;), а = Т7г }, 1; е 1, и проводится ее статистический анализ.

Пусть йа(1;), t е 1, а =ТГ?,последовательность случайных

величин, для которых

/ 1, если в момент 1; X (Ю наблюдаема; \ 0, если в момент 1; Х^Ъ) ненаблюдаемая

причем Р{<1 (Ю =1} = р > О, Р {<1 (Ю = 0} = а , р + ч = 1,

в В В А в в

а =1,г. Далее предположим, что выполнены следующие ограничения:

а) Лв(г) - последовательность независимых случайных величин, X € 2;

б) последовательность <1а(•(;), t е 1, а =17г не зависит от процесоа X t е 1, а =1,г.

По полученным наблюдениям отроится оценка математического ожидания процеоса X(t) = {хв(1;), а = ТТг }, * е I, и приводится ее статистический анализ.

В качестве оценки математического ожидания ша рассматривалась статистика

л Т-1

в = —!— £ " ТР .1-о "

а

л»

а = 1,г. Имеет место следующий результат

Ы ш = т , , » ■ .

где

или

а

о T-i _ Ш q

Dm = — Е 1 (т) ( 1—— ) R (г) + Ч ' , 3? t«o а Т " TP

1, X ф о,

ij*) = 1

[ (2Р ) г = о,

D i - s f (у) ф_(у) dy + (га^ + * i (у) dy) . - rp _г " г TP"-*"

где ФТ(у) задается равенством (1).

Показано,что если спектральная плотность Г>в(М непрерывна

в точке X = О, то

q „ *

lim Т Ъ m = 2 I f (О) + ( га3 + J- 1 (у) dy).

. Т—» со а аа г* а -I аа

Исследуется предельное распределение статистики ш^.Пуоть X(t) = (xa(t), а = 77? } , t е Z, m - зависимый отационарный случайный процесс с М х (t) = m = О. Тогда статистика

1

т й ■ ' Е y.(t)

/Т"

р

t«o

имеет предельное нормальное распределение о математическим ожиданием 0 и асимптотической дисперсией

4- ^„(0) + 2 й (1) + ... + 2 И (и )• '

X В \д В & ва

а

В главе 2 приводятся статистические свойства оценки взаимной ковариационной функции многомерных временных рядов.

Пусть Ха(0), ... ,Х (Т-.1) - Т последовательных наблюдений г-мерного случайного стационарного процесса Х(1;) = {X (Ю,

а = ТТг }, 1 е 1,о математическим ожиданием Ы Ха(1;) =0,а = 1,г, Л € Ъ, неизвеотной взаимной ковариационной функцией Н ь(и),

в Ь

а,Ъ= ТТг, и € г. Оценку для К (и) рассмотрим в виде

аЬ

н (ц) = —1_ V"1 х (ии) х (1;)

*ь • Т-и ¿0 а ь

а,Ь = 1,г , и=0,Т-1.

А

Оценка Н (и) величины Е Ли) является несмещенной, так как

вЬ вЬ

м й Ли) = Й (и), и = О, Т-1.

а Ь вЬ

Вычислены дисперсия и ковариация оценки взаимной ковариационной функции.Показано, что

((Г-иИТ-в) ооу (Й (и),К Ш) = в1Ь1 з я

= 11{ й3т-и^ 000 +

-к -к

+ Л т_и(Х+7) Л и.9(1+у) 000 Г <итИц-К) ] } х

{-1/а(1(ц-д)(1-у))

1 - *ь ь <Х) е +

а1а3 13

+ 1 и (V) Г (X) е I (17 йХ +

а1Ьа 1ва >

Г г Г Г а * г (X +■ X ) (и-£)

I И { 4 т-<008 [ -Чг-] +

-г,-я -г

Г (Х.+ XJ(f-U) , N -

+ л „ (X + X) Л (X + X > OOS Г 1 J- } К

Т —u 1 а' ц-д 12 L ^ J }

(ц-g) (X + X )

-1-Г-3- 1 X u+ 11 j

в 3 Ö 1 3 к

" dXl dXa dl 3

где ЛТ(Х) задается (2), a^i^a'1^ = TT? , u,g = О.ГЙ.

Рассматргвались асимптотические свойства второго момента оценки взаимной ковариационной функции. Предполагая, что функции i . . (X4,X„,XJ , f . (X) , 1 . (X) непрерывны , 1 1яа з 1 я 3 Vi за

Waa,ba = ^ ' Т0 •

Ига oov { R (u), R . (g)} = О, т—> » aibi аа а

и.е = 0,3?-1.

Л

Находится предельное распределение й (и) с использованием

а Ь

семиинвариантного подхода.

Третья глава посвящена построению оценки взаимной спектральной плотности многомерных временных рядов и исследованию ее статистических свойств.

Рассматривалось модифицированное конечное преобразование Фурье наблюдений многомерных временных рядов и его свойства. Пусть тлеется выборка Т последовательных наблюдений Х{1;),

t=o,T-1, за - г - мерным стационарным временным рядом X(t) с компонентами X (t^a^l.r и tf Xa(t) =0. '

Рассматривалась статистика, основанная .на конечном преоб-

разовании Фурье наблюдений Хв(t), t=0,T-1,

т-i

И ( Ъ/ А ( ь/ t*

t-0

= 1 X (t) eiU (3)

А . L. а а

а= 1,р, X е П a h][ft; - окно просмотра данных. Далее рассматривалась следующая статистика :

_ , t т-1 _ „ ч-î/a d*(X) = {гя J^tj]2 } i][U>.

a=1,r, X e П, которая 'называется модифицированным конечным прет т т образованием Фурье. Вычислены Mda(X), Dda(X),oov (d^iXj),

т

db(Xa)>. Показано.^что Hd*(X) = О,

oov{dI(X,).d?(XJ) =

t»o

* 1 Ь 3 f T-l „ „ Л1/3 / T-l „ „

t№ia } {t№via }

1 L.mO ' » t «0 '

i a

Г ^b(-X1+ x,-Xa+ x ) Xab(x) dx.

' i

x

-f

где a,b = T7r, Xt,Xa € П,

♦¡bd.y) = {a» J^ftjh^tj}" pTaW pfrj (4)

trjx) = ?К<Ъ> e,Kt '

D dT(X-) = * Фт (x-X) f (x) dx. * -i " "

X € П.

Далее рассматривались асимптотические свойства второго момента конечного преобразования Фурье. Получено, что если + 00

£ lui (R (u) I < », а,Ь = ТГг, X., Х„ 6 П, X - X * О(mod 2К),

аа 12 12

ТО

тУ"» oov tdI < (V> =

и „lim D dT(X) = f (X) для X € П, a,b = Т7г.

Т оо а а а

В предположении, что окна просмотра данных ограничены единицей, имеют ограниченную вариацию, получена

оценка lorn {d (XJ, d* (XJ}|.

al Ь 2

Далее показано, что если

Т-1

Е (Inj + lual+ ...+lukll) х

ui-••uuüi<T-1)

* loai...Bk(ui' ••• 'Vi*1 < »•

(Т(1|0.,....Л.....Vi>l<:»'

u. • • =7 (T-l ) 1 к 1 k- 1

для k > 2, то

cum {dT (X ), ... ,dT (X,)} -4 О .

а 1 а, k _.

1 k T —> со

Используя последний результат, показано, что статистики dT (X ),

_ 1

..., dT (X ), X * О (mod 2л), i=1,k являются асимптотически . ak k 3

независимыми величинами, причем статистика d* (X) имеет предельное нормальное комплексное распределение о нулевым матема-

тическим ошзданием и предельной дисперсией *аа(Х) для X * О (mod 2я) ц имеет нормальное распределение о нулевым математическим ожиданием и предельной дисперсией *ва(0) для X = 0 (mod 2л). Вычисляются моменты модифицированной периодограммы многомерных. временных рядов и исследуются .их йтатистичеокие свойства. Рассмотрим статистику

1

ГГ-;-— а).

2« Е итт птьм

, _ в ь

¿пО

которую будем называть'модифицированной периодограммой многомерных временных рядов, где 1^(Х) задается соотношением (3). Доказано, что

М 1т. (X) = * Фт. (х-Х) 1 (х) йх.

а Ь V а

где Фт. (х) = ФМх.х) , X е П, и

АО 1о

211 ТЁ*' Ьт («Ь* (t)hт

ооу {I* ь (Х4), I* ь(Ха) } = .^«>1 1

1 1 а а. т-1 _ т-1 „.

( I h* (t)h* (t)) ( £ h* (t)h* (t)) t=o l l t=o a a

-JJJ f.fh^„iJW V V Уз - V «

9 114a

* u w (у» yn> У J dy,dyody„ +

"а* "з ^а з

(V л* (1)) II ь* С*>>

. 1=о 1 а 1-0 1_а

+---X

(V ь* <и)) (ТЕ Ь* (I))

1=о а1 Ь1 1=о "а а

п

х Г I (х) Фт (х-Х .х-Х ) бл Г Г (у) Ф* (У-Х.,У-Х_) (!У+ \ а1ва а1аз 1 3 1 а 1а 1 3

- Я - и

(Т1 Ьт (М* (Ш (ТЕ ^ <Ю)

4 *=о » а ь=о Ь1 "а

(Т Я* и)^ (1)) Ьт (Ю^ (Ь))

1=о 1 1 1=о а а

ш 12 12

- к

-х„) ау.

где г (1,у) задается соотношэнием (4),

аЬ

Фа Ь а Ь„УЯ' У^ ~ „ Т-1 „

1522 (2л) I 11т (юн* (Ю1гт с г (*>

1=о а1 1 "а а

К (У,) < (У3К <У3) < (У^Уа+Уэ) •

1 1 а з

а., Ь, = 1,г, 1=1,2, а I ^ ^ (X,, Х„, Х„) - сешшнвариантная

1 I а. Ь .а Ь_ 1 2 3

1 1 а а

спектральная плотность 4-го порядка.

При X. = Х„ =Х, а = а = a, b = ъ = ъ находится дисперсия

13 1 3 13

модифицированной периодограммы многомерных временных рядов.

В предположении, что спектральные плотности четвертого и второго порядка удовлетворяют некоторым условиям гладкости, а окна просмотра данных ограничены .и имеют ограниченную вариацию,

и J/J 1 Ф1 ь - ь (yi' уа* Уз^'^^а^з < 00 ' нах°датся. что

113 2

п*

lira oov {IT w (X,), 1г ,UJ } = О , где X ± X * O(mod 2Я), Т-» оо "iV "а а 2 1 2

X, ,Х„ е П, а, ,а .b„ ,Ъ = "ТТг . Доказано, что ( С > £> - слиЛ(л)

12 1213 4 '

<\i (X) f U), X * О (mod 2Я);

11m D ITU (X) = | ьь

г-» » eb lei (X) t (X) +. I

т-> «О вь lei (X) i (X) + IafX) , X = 0 (mod 2*),

fta bb ab

где a,b = iTr , X с П, то есть показано, что статистика I* (X).

й b

не является состоятельной оценкой взаимной спектральной плотности i t(X), а,Ь = 1Тр , X е П. Как следует из работ Д.Брил-ib

линдкера в качестве состоятельной оценки взаимной спектральной плотности можно рассмотреть статистику

fT.(X) = ' WT (х) ITh(x+X) dx,

AD ^ lb Ab

где функция ffT, (x), называемая спектральным окном, удовлетво-

AD

ряет следующим уоловиям: - непрерывная, четная, перио- .

дическая о периодом 2И функция такая, что при любом с > О справедливо WT. (х) —* 0 равномерно в области е s |х| * к

Ab

J 1* (х) dx = 1, ■i *ь

вир S IWT (x) I dx < CO .

T -If a

В последнем параграфе приводится краткий обзор пакетов прикладных программ по статистическому анализу временных рядов, а тага;е прикладные программы вычисления оценок некоторых характеристик временных рядов для конкретных реализаций.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1.Алкаддар Ясин. Оценка спектральных плотностей многомерных временных рядов. Тезисы докладов конференции математиков Беларуси, Гродно, 1992 г., о. 154.

2.Алкаддар Ясин. Асимптотические свойства моментов спектральных статистик многомерных временных рядов. Тезисы докладов конференции, посвященной памяти Лобачевского, Минек, 1993 г.

3.Труш H.H., Алкаддар Ясин. Модифицированное конечное преобразование Фурье многомерных временных рядов. (В печати .

4.Труш H.H., Алкаддар Ясин. Некоторые свойства оценки спектральной плотности для многомерных стационарных случайных процессов. (В печати).