Спектральное оценивание методами максимальной энтропии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

р Г - о - 5 ДЕК '

ГОСКОМИТЕТ РФ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИПЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 538.56:519.25) 621391.244

САНЫЧЕВ ВАЛЕРИЙ ТИМОФЕЕВИЧ

СПЕКТРАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ МЕТОДАМИ МАКСИМАЛЬНОЙ ЭНТРОПИИ

Автореферат днссертяции на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

01. №4.03 - радиофизика

ТОМСК - 1994

Работа выполнена в Сибирском физико-техническом институте при Тонекоы государственном университете

Официальные оппоненты:

доктор физико -ыатеиатичоских наук, член ко{.роспо;шент РАН (г.Тоиск)

доктор технических наук, профессор

Творогов С. Д. Пуговкин ь.В.

(г.Тоыск)

доктор физико-яатецатических наук, профессор (г.Тоыск)

Демин Н.С.

Ведущая организация - Вычислительный центр СО РАН

Зашита состоится Февраля 1995 г.

в 14 час 30 шзд. нг заседании специализированного совета Д 063.S3.02 по зашито диссертаций на соискаггие ученой сте-пэни доктора наук при Томском государственном университете (634010. г.Тоиск. пр.Ленина. 36).

С диссертацией иожно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан "Ш." ноября_ 1994 г.

Ученый секретарь спйциализированного совета Пойзнер Б.Н.

(г.Новосибирск)

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Спектральное оценивание - один из важнейших способов обработки сигналов любой природа. Современная радиофизика не мыслится без спектрального оценивания. Объясняется это тем. что радиофизика, как никакая другая наука, имеет дело с колебательными процессами и перед ней постоянно возникают задачи. требующие разработки новых методов обработки сигналов и новых форм их описания. В то же время сферой применения спектрального оценивания может являться любой раздел науки, имеющий дело с обработкой дискретизированных сигналов.

Актуальность и краткая характеристика проблемы В Настоящее время количество методов спектрального оценивания исчисляется десятками. Причин такого обилия методов несколько, основная из них - некорректность задачи спектрального оценивания. Одному и тому же ограниченному набору данных может соответствовать множество различных спектров.

Традиционные спектральные оценки представляют спектральное разложение моментов наблюдаемых величин: спектр первого порядка является Фурье-образом уровня сигнала.спектр второго порядка, или спектральная плотность мощности (СПМ) - Фурье-образ корреляционной функции сигнала, спектры более высокого порядка отвечают семиинвариантам. В условиях, когда набор исходных данных существенно ограничен, вычисление конечных рядов Фурье дает искаженную оценку спектров.

Ограниченность набора исходных данных допускает аппроксимацию спектров различными функциями, в связи с чей возникает проблема обоснования выбора аппроксимирующих выражений. "В ряде случаев подобное обоснование монет производится на основе принципа максимальной энтропии <МЭ>. Метод МЭ. предложенный в 1067 году американским ученым Дж.Бергом, завоевывает все большую популярность. Оценки спектров.полученные этим методом, обладают наибольшим статистическим весом относительно других оценок.поскольку они могут быть реализованы

з

наибольшим числом способов.

Формулировку метода МЭ Берга нельзя считать универсальной по ряду причин. Во-первых этот метод применим только при оценке СШ. то есть спектров второго порядка, и не применим к оценкам спектров других порядков. Во-вторых, заложенное в основу метода определение энтропии в виде функционала СПМ получено Шенноном для частного случая случайных процессов. а именно; для сигналов, являющихся результатом линейной -фильтрацией белого шума: В-третьих, метод предлологает. что исходные данные представлены отсчетами автокорреляционной функции.тогда как в эксперименте чаше всего приходится иметь дело с существенно ограниченнш набором отсчетов уровня сигнала.

Важность проблемы, обил1е методов, недостаточная разработанность теоретической базы, позволяющей обоснованно выбирать соответствующие условида эксперимента параметрические модели спектральных функций и алглоритыы оценки их параметров - все это делает проблему разработки методов спектрального оценивания с единной теоретически обоснованной позиции актуальной.

цели диссертации - разработка теоретических положений, позволяющих проводить наиболее общее и полное спектральное описание полей, дискреткжированных по конечному числу пространственно-временных точек.

Решение этой проблемы основывается на описании статистических свойств исследуемых процессов с помошыо функции плотности распределения колебаний СФПРК). определенной в фазовом пространстве частот и комплексных амплитуд. Подобное описание диктуется не только потребностями теории спектрального оценивания. Проблема ставится шире - установление взаимосвязи медду макропараметрами случайных процессов и юс микропараметрами. Макропараметры - это наблюдаемые величины, а микропараметры - параметры отдельных колебаний, суперпозиция которых составляет исследуемый процесс. Как правило, непосредственно микропараметры не поддаются наблюдению, и речь может вестись лишь об оценке их функции распределения (ФПРЮ.

Вся информация, сосредоточенная в ФПРК. как правило, исследователю не требуется - его чаще интересуют спектральные функции, являющиеся моментами ФПРК. Следовательно, необходимо установить функциональную связь ФПРК. исходных данных и спектральных функций.

Поскольку принцип максимальной энтропии используется при решении указанных проблем в качестве основного, целесообразно от определения энтропии посредством ФПРК перейти к ее определению в виде функционалов спектральных функций.

Решение задачи спектрального оценивания завершается оценхой значений множителей Лагранжа. соответствующих набору исходных данных. В вычислительном отношении эта самая трудоемкая часть задачи, приемлемого строгого решения которой до настоящего времени не предложено. Поэтому одной из задач диссертационной работы, наряду с попыткой строгого решения проблемы, является разработка приближенных методов спектрального оценивания.

Таким образом, цель диссертационной работы кратко можно отразить тремя пунктами:

- установление статистической взаимосвязи между макропараметрами пространственно-временных полей и их микропараметрами на основе введения ФПРК;

• - получение выражений энтропии в виде функционалов спектральных функций;

- получение выражений спектральных функций, максимизирующих значение энтропии, и разработка методов оценки неопределенных множителей Лагранжа. входящих в эти выражения.

На защиту выносятся следующие положения: 1.Более общее и полное спектральное описание полей, дис-кретпзированных по конечному набору пространственно-временных точек, реализует функция плотности распределения колебаний, определенная в многомерном фазовом пространстве частот и комплексных амплитуд. Параметрический вид этой функции определяется на основе решения вариационной задачи по максимизации энтропии. Собственно спектральное оценнивание сводит-

ся к оценке параметров ФПРК по значениям набора исходных данных. Традиционные спектральные функции, такие как комплексный спектр и спектральная плотность мощности, а также спектры других порядков являются соответствующими моментами ФПРК.

г.Выражения энтропии является следующими функционалами спектральных функций от нулевого до второго порядка включительно:

гп гп

Н,^ р<о>)1п((Ор-ХХ )/р Н2=Х р(">1п(0/р )<3и/2л,

о

1П .

н,=21п/0 г<з(ы) ¿и/гп. где р(и>) - спектральная плотность колебаний. Х(оО- спектральная плотность уровня сигнала, или комплексный спектр. - спектральная плотность мощности.

з.Общий вид спектральных функций, максимизирующих значение энтропии, следующий:

0(ы > :р(а>) (Х^+4Х0 .

где а- масштабный множитель. а Л, Ла - тригонометрические полиномы конечного порядка, коэффициенты которых определяются значениями отсчетов сигнала и его корреляционной функции.

4.Статистическое описание системы объектов со случай-ньми параметрами при нарушения принципа равной вероятности производится двумя взаимно дополняющими друг друга функциями плотности вероятности: одна отражает статистические закономерности ансамбля вцелом и определяется законами сохранения, другая - определяется индивидуальными свойствами элементов ансамбля.

Научная новизна результатов работы определяется тем. что впервые;

- для решения задач спектрального оценивания введена -многомерная функция плотности распределения колебаний, описывающая на микроуровне статистические закономерности пространственно-временных полей.тогда кж исходные данные рассматриваются как ыакропараыетры этих полей;

- на основе использования принципа максимума энтропии

б

получена параметрическая модель ФПРК. учитывающая ограниченность объема исходных данных;

- получены новые выражения энтропии в виде функционалов спектральных функций, являющиеся обобщением шенноновской энтропии, используемой в традиционных методах спектрального оценивания;

- получены новые параметрические выражения спектральных функций, максимизирующих значение энтропии, позволяющие совместно оценивать спектры от нулевого до второго порядков включительно;

- для частного случая установлена взаимосвязь понятий энтропии, вероятности, законов сохранения и наблюдений;

- вместо определения энтропии Больцмана, лежапего в основе всех яругах форм энтропии, в случае нарушения принципа равной вероятности в качестве функционала энтропии предложено использовать выражение, включающее в себя две функции плотности вероятности.

Обоснованность и достоверность ВЫДВИНУТЫХ НЭУЧНЫХ П0Л0-

жений и основных результатов работы определяется

- внутренней непротиворечивостью полученных результатов;

- соответствием результатов оценок спектра, полученных автором, известным классическим законам, например, спектру излучения черного тела;

- согласием общего спектрального выражения энтропии с шеннонов ски.1 функционалом;

- результатами машинного моделирования;

- соответствием результатам оценок спектров, приведенных " в других работах.

Научная ценность работы определяется тем. что:

- предлагаемые в диссертационнной работе принципы описания сигналов ориентированы на решение задач спектрального оценивания и могут служить теоретической основой при разработке методов и алгоритмов оценки спектров, адаптированных к услови5М эксперимента;

- использование пршпшпа максимальной энтропии позволяет избежать субъективных суждений о качестве спектральных

оценок и позволяет выбирать из множества возможных решения статистически наиболее достоверные;

»п в

- определение энтропии в виде и,«/0 ¿>(*>)1п(<Ор~хх >/*> ><)<*/гп является наиболее универсальны* а может применяться при исследовании процессов, комплексный спектр которых отличен от нуля, тогда как шенноновское определение, широко используемое в настоящее время в спектральном оценивании, соответствует частному случаю, когда в выражении н, 1 и х<»)=0.

- предложены новые выражения спектральных Функций, максимизирующих значение энтропии.

Практическая эначивость положений И результатов исследований определяется те», что:

- разработанные автором и щдадстав ленные в диссертационной работе шесть различных алгоритмов спектрального оценивания оформлены в виде программ для ЭВМ. предназначенных для расчета спектров сигналов в сложной обстановке;

- предложенный диссертантом метод инвариантных подпространств обладает высокой чувствительностью, не дает ложных деталей в спектре, позволяет производить, сверхразрешение близких спектральных линий имоает использоваться при исследовании спектральной структуры полей любой размерности:

- разработанные соискателем методы пространственной обработки радиосигналов позволяют оценивать угловые координаты источников излучения с близкой к предельно допустимой соотношениям Рао-Крамера точностью при минимальном количестве элементов антенной решетки, что позволяет получать существенную экономию средств и материалов;

- предложены новые алгоритмы спектрального оценивания, являющиеся строгими реализацией методов максимальной энтропии - методы полюсов и собственных векторов, которые ыогут использоваться в качестве эталонов при апробации приближенных ыетодов. , "

Апробация работы. Результаты исследования по теме диссертации докладывались и обсуждались на 12 конференциях, совещаниях и семинарах различного ранга, а именно: на II

в

Всесоюзном совещании - семинаре по некогерентному рассеянию, проведенном в г.Харькове в 1978 г.; на всесоюзной школе-семинаре по некогерентному рассеянию, организованной Полярньм геофизическим институтом Кольского филиала АН СССР в 1978 г.Мурманск, на хп Всесоюзной крнференши по распространению радиоволн в г.Томске в 1978 г,; на xxiii областной научно-технической конференции НТО РЭС им.A.C.Попова, посвященной Дню радио и проведенной в г.Новосибирске в 1980г.; на XIX всесоюзном семинаре по проблемам метрологического обеспечения систем обработки измерительной информации, проведенной в г.Иркутске в i960 г.; на II Всесоюзной научно-технической конференции "Теория и техника пространственно-временной обработки сигаалов".г.Свердловск; 1989 г.. на областной научно-технической конференции НТО РЭС им.Д.С.Попова, г. Томск -lesa; на Ii- -л и HI--.1-. Всесоюзных научно-технических конференциях "Методы представления и обработки случайных сигналов и полей".г.Харьков. 1991 и 1093 гг.:на vn и viii Всесоюзных совещаниях "Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике", Новосибирск. 1985 и 1991 гг.; на международной конференции по физике оолнечно-эемных связей -г.Алга-аты. 1994 г.

Список пуаликоции диссертанта насчитывает 70 наименований. из них 2/3 работ посвящены исследованию функций распределения систем многих частиц, а i/з - непосредственно задачам спектрального оценивания, названия основных публикаций по материалам диссертации приведены в списках литературы диссертации и автореферата.

* Связь с плановыми работали. В Диссертации обобщены МНОголетние исследования, выполнение в Сибирском физико-техническом институте в рамках плановых научно-исследовательских работ, ответственным исполнителем которых являлся диссертант.

соавторство. Самые ранние работы соискателя С1-4]. касающиеся исследования спектров радиосигналов, выполнялись совместно С П-М.НаГОрСКИМ И В.Г.СПШЙЫМ (1978 г.). С 1988 по 1891 г.ахтивное участие в разработке методов ортогонализа-ции и обращения матрицы исходных данных принимал А.А.Пыхалоз-

Ни выполнена большая часть расчетов на ЭВМ при апробации этих методов.

Обсуждение результатов исследований проводилось в коллективе лаборатории СФТИ. руководимой Е.Д.Тельпуховским, при участий Г.А.Пономарева и сотрудников возглавляемой им ка-кафедры радиофизики ТГУ. Автор благодарит всех их за внимание и помощь при выполнении работы.

Личное участив автора заключалось в непосредственном проведении всех исследований, включая постановку задач, разработку методов их решения, составление программ, проведение расчетов и анализ полученных результатов. Материал 10 и И глав получен при участии ыл.н.с. А.А.Пыхалова.

структура и ооьеи диссертации. Работа состоит из введения, трех частей, содержащих 12 глав, и заключения. Полный объем работы составляет 276 страниц, из них - 223 машинописных страниц основного текста. 29 страниц, содержащих 47 рисунков. 24 страницы списка литературы из 214 наименований.

Содержание работы следующим образом распределено по разделам .

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется цель работы, выносимые на защиту положения, актуальность проблемы, научная новизна, достоверность, практическая значимость исследований, их апробация. Дается общая характеристика работы и приводится распределение материала по разделам диссертации. Отмечается вклад автора в проведении исследований и выражается признательность коллегам за помощь в работе.

о пороои части объединены четыре главы, посвященные истории возникновения и изложению основных классических методов спектрального оценивания. Рассматриваются параметрические и дискретные модели спектров. Особое внимание уделено истории возникнове!1ия понятия энтропии и примерам плодотворного использования этого понятия в физических исследованиях, в первой главе излагается история становления и разви-

тяя методов спектрального оценивания. Приводятся краткие описания классических методов оценивания, в частности, методов периодограмм и коррелограмм, Анализируются достоинства и недостатки этих методов. Самый сушественнкй недостаток пери-одограммныг оценок - наличие боковых лепестков.Причина появления этих лепестков определяется предположением, что за пределами окна наблюдений сигнал отсутствует. Увеличение интервала наблюдений не избавляет от боковых лепестков, а лишь увеличивает их число.

Для ослабления урозня боковых лепестков используются всевозможные окна сглаживания. Однако в этом случае действует своеобразный принцип дополнительности - чем ниже уровень боковых лепестков, тем шире основной лепестсх периодограмм, следовательно ниже разрешающая способность метода. В главе представлены результаты численного исследования, проведенного соискателем, свойств оптимальных окон сглаживания, соответствующих функциям Слепяна.

Вторая глава посвящена параметрическим методам спектрального оценивания. Проводится краткий анал13 свойств параметрических оценок. Больиая часть параметрических методов основывается на априорных предположениях о характере исследуемого процесса. Однако четких критериев справедливости этих предположений, как правило, не существует. Поэтому одним из решающих факторов при выборе модели является соображение математического удобства представления спектров. Наиболее распространенной является рациональная модель, представляющая спектр в виде отношения двух тригонометрических "полиномов. Когда числитель отношения - константа, модель спектра называется авторегрессионной (АР), спектр скользящего среднего <СС> представляется тригонометрическим полиномом и совпадает с коррелограммной оценкой. В обшем случае, когда отличны от константы и числитель и знаменатель, оценка спектра называется авторегрессионной со скользящи средним (АРСС).

В третьей гларв излагаются методы оценки дискретных спектров сигналов, в том числе дискретное ангармоническое преобразование Фурье, алгоритм которого разработан соискате-

леи. Условно методы оценки язукретгвзс спектроз можно разделить на три группы. Первую, наиболее шюгочисленну» группу представляют метода, использующие АР-модель сигнала. К ним относятся методы собственных векторов, Прони. Писаренко. В этих методах на первом этапе находятся коэффициенты авторегрессии, а затем вычисляются значения частот компонент сигнала. Для этой цели отыскиваются корни полинома, образованного АР-коэффициентами. Расчеты завершаются оценкой амплитуд компонент сигналов.

В методах второй группы АР-модель не используется, а значения частот и амплитуд оцениваются непосредственно по набору исходных данных. . Примерами таких методов являются Дискретное ангармоническое преобразование Фурье (ДАПФ) [5-7], статистический метод фильтрации синусоид. В ДА® автор использовал разложение пространства наблюдений на два ортогональных подпространства-- сигнальное и шумовое. В последствии этот прием использовался и при разработке других методов. Сигнальное подпространство должно удовлетворять двум условиш: его размерность должна быть минимальной, а ориентация должна обеспечивать максимальность значения проекции сигнала на это подпространство. Приводятся результаты испытания алгоритма ДА®.

Третью группу составляют методы максимального правдоподобия. Эти методы занимают промежуточное положение между методами первых двух групп. Для оценки параметров модели сигнала, максимизирующих функцию правдоподобия в них могут как использоваться, так и не использоваться АР-модели.

Методы оценивания дискретных спектров желательно использовать при наличии априорной информации о дискретном характере спектра сигнала. Отдавать предпочтение какому-либо одному из изложенных методов нет достаточных оснований. Боле'. ■ того,эти метода могут использоваться совместно. Например, результаты метода Прони. будучи использованы в качестве нулевого приближения, могут быть уточнены при необходимости ЦАПФ.

в четвертой главе более подробно, чем в первой. освещена

история возникновения понятия энтропии и примеры плодотворного использования этого понятия в физических исследованиях.

Практически все методы спектрального оценивания- используют те или иные предположения о характере сигнала. Так периодограммная оценка предполагает отсутствие сигнала вне интервала наблюдений, что. разумеется, не соответствует действительности.Выбор АРСС-модели диктуется скорее соображениями удобства аппроксимации процесса, чем физическими принципами. Сигналы с дискретными спектрами соответствуют идеализировании процессам. Вообще ситуация, когда характер сигнала известен заранее, скорее исключение, чем правило. Поэтому естественен интерес специалистов по спектральному оцениванию к общим физическим принципам, которые бы позволили из множества допустимых результатами наблюдений оценок спектра выбирать наиболее обоснованную-

Последнюю четверть века большой популярностью при проведении спектральной обработки сигналов пользуется принцип максимума энтропии (МЭ). В спектральном оценивании это принцип сводится к формальной оптимизации шенноновского определения энтропии в виде интеграца логарифма СПМ. Для более глубокого физического понимания смысла энтропии с целью грамотного использования этого понятия в теории спектрального оценивания в главе кратко излагаются примеры применения энтропии в термодинамике и кинетической теории гааов.при исследовании спектра излучения черного тела, в теории информации и, наконец, приводится вывод выражения оценки СПМ методом МЭ.

Вторая часть, содержащая четыре главы с 5- й по 8-ю. носит полностью теоретический характер. Основные результаты исследований этой части представлены в публикациях диссер- .

танта (8-14 ,18, 23, 24 ] .

Пятая глава играет ключевую роль в диссертационной работе. Здесь наряду с традиционными способами описания случайных процессов с помсшью функций распределения наблюдаемых случайных величин, моментов этих функций и спектральных фтакшй моментов предлагается новый способ представления

случайных процессов, использующий функцию плотности распределения колебаний (ФПРК). Основой предлагаемого представления является своеобразный синтез идей Фурье. Плакка. Воль-имана и Гиббса.

С точки зрения математики любая интегрируемая функция представима интегралом Фурье. Физическим аналогом подобного представления является набор колебаний, суперпозиция которых отождествляется с исследуемым процессом. Каждое из колебаний описывается двумя параметрами частотой «> и комплексной амплитудой а. Статистические свойства ансамбля колебаний описываются функцией плотности распределения колебаний, определенно?! в фазовом пространстве частот и амплитуд. В разделе представлены выражения, определяющие функциональную связь ФПРК со спектральными функциями и моментами наблюдаемых величин.

Применение принципа МЗ тесно связано с условием стационарности исследуемого процесса. Для коротких временных последовательностей вывод о стационарности исследуемого процесса бывает трудно обосновать. Более того, многие исследуемые процессы заведомо не являются стационарными. В то же время принцип МО применим лишь к стационарным или квазкстацонарньм процессам. В термодинамике, когда макропараметры системы изменяются медленно, в каждый фиксированный момент времени функция распределения, описывающая эту систему, близка к равновесной. Соответствующие такому изменению макроларамет-ров процессы называются адиабатическими.

Идею адаабатичности можно использовать при спектральной обработке сигналов. Каждое измерение рассматривается как результат усреднения большего набора колебаний. Функция распределения этого набора в каждый фиксированный момент времени считается равновесной. Временная зависимость измеряемых величин определяется "медленнш" изменением параметров функции распределения.

В класс адиабатических процессоз могут быть внесены и быстро изменяющиеся сигналы, если эти изменения определяются только фазами, поскольку, хотя наблюдаемые величины изменяются быстро. ФПРК меняется медленно и может считаться ква-

зиразневесной.

в шестой главе получаются новые выражения энтропии в виде функционалов спектральных функтлга от нулевого до ВТОрО-

ггт ^

го порядка включительнор(и)1п( <ср-хх )/рэ)аи/2т.

2П 2ТТ /-.

Нг=/ р(ы)1п(0/рг)с1и>/2т, Иэ = 21п/о УЗ(^) сЫ/21. где Р(«> -

о

спектральная плотность колебаний (СГК). Х(^> - спектральная плотность уровня сигнала (СПУ). в(ь>)- спектральная плотность мощности.

Первое определение энтропии язляется сам;м универсальпъм и может применяться при исследовании нестационарных процессов. Второе следует из первого при хс«)=о. область его применения - стационарные в широком смысле процессы. Оптпмиза-ция н2 по р позволяет получить выражение для на. Если в н2 положить р<")-1. то получается шенноновское определение энтропии. широко используемое в настоящее время в спектральном оценивании.

Сольная глава посвящена поиску выражений спектральных функций, максимизирующих значе.'ше энтропии. Здесь в качестве примера, иллюстрирующего непротиворечивость нового подхода известным классическим результатам,предлагается вывод спектра излучения черного тела.

Рассмотрение решенных проблем с новых позиций целесообразно по ряду причин. Во-первых, для иллюстрации возможностей нового подходя, во-вторых, для проверки его справедливо-вости на известных решениях, а в третьих, взгляд на старые задачи под другим ракурсом может обнаружить неожиданные нюансы. Одним из таких нюансов можно считать отсутствие понятия излучения и поглощения фотонов при новом выводе формулы Планка. Предпологается лишь, что в окружающем пространстве равномерно распределены волны с плотностью р<«>. определяемой законами классической электродинамики. При взаимодействии этих волн с веществом их энергия может изменяться дискретным образом, но сами волны не исчезают и новые не излучаются. Подобная точка зрения ни в коей мере не противоречит формализму квантовой электродинамики.

В этом ке разделе выводятся новые спектральные фукшпши, соответствующие максимуму энтропии для функционаловполученных в предыдущей главе. Если оценка СШ. максимизирующая шенноновский функционал энтропии обратно пропорциональна первой степени тригонометрического полинома, то оценка, максимизирующая энтропию нв, обратно пропорциональна второй степени подобного полинома,

Наряду с МЭ-оценками СШ получены выражения МЭ-оценок для СПК и-СПУ.. когда в качестве исходной информации используются не только автокорреляционная последовательность, но и непосредственно отсчеты сигнала.

Восьмая глава касается проблем и перспектив развития энтропийных методов спектрального оценивания.

Развиваемое в рамках настоящей работы направление энтропийных методов спектрального оценивания основывается на аналогии со статистической физикой. Возникающие при этом проблемы в большей степени определяются отсутствием полной адекватности задач спектрального оценивания и статистической физики. Эта же неадекватно. гь является побудительной силой поиска новых путей как при решении задач спектрального оценивания. так и при исследовании понятия энтропии. Настоящая глава посвящена исследованию проблемы - при каких условиях" целесообразно использовать принцип максимума энтропии и в какой форме, какими свойствами об.гадают оценки МЭ? Указываются вопросы, требующие специального исследования.

В силу наглядности в этом разделе большое внимание уделено примерам с игральной костью. Лишь на первый взгляд кажется, что эти задачи далеки от спектрального оценивания. В действительности это не так - разбив фазовое пространство амплитуд и частот колебаний на дискретное число ячеек, можно задачу спектрального оценивания свести к примеру с игральной костью, у которой каждая грань соответствует одной из ячеек фазового пространства.

В статистической термодинамике имеется лишь одна проблема: распределение заданного количества энергии Е между и тождественными системами. Решается эта проблема двумя способами:

1в

методом наиболее вероятных распределении и методом средних значений Дарвина-Фаулера. Являясь строгим, метод Дарвина-Фаулера достаточно сложен и в настоящее время редко упоминается. Но именно этим методом доказывается равенство средних и наиболее вероятных распределений.Причем это равенство реализуется не просто за счет совпадения положения максимума с положением среднего, а за счет того, что класс состояний, соответствующий максимальной степени вырождения при выполнена ни закона сохранения энергии исчерпывает почти все состояния ансамбля Гиббса.

То, что справедливо в статистической физике, может не выполняться в спектральном оценивании, потому что как топологические. так и геометрические свойства множеств состояний могут оказаться иньми. В статистической физике одна функция определяет поверхность состояний — гамильтониан системы. В спектральном оценивании каждому отсчету соответствует некоторая гиперповерхность, пересечение поверхностей, соответствующих всем наблюдаемым данным. определяет поверхность состояний. Эта поверхность может быть многосвязной и ¡меть очень сложную форму. Как проводить усреднения по таким поверхностям? Будут- ли МЗ-оценки соответствовать средним?

Больиман определил энтропию в виде логариЗма степени комбинаторности состояний. В сснове выбора этого определения лежит принцип равной вероятности. Впервые этот принцип был высказан в J845 г. английским исследователем Дж.Уотерстоном. однако его работа была первоначально отклонена и опубликована лишь спустя 40 лет-Больцман самостоятельно пришел к этому принципу в юса году. Согласно этому принципу для молекул нет каких-либо предпочтительных уровней энергии - они с равной вероятностью могут занимать любой доступный законом сохранения энергии уров!?нь, Если бы било иначе, т.е. вероятности занимать уровни энергии определялся бы набором различных чисел х(,х2----- то вероятность состоянии уже не бала

бы пропорциональна их комбинаторности, и для ее вычисления следовало бы использовать полиномиальное распределение.

При нарушения принципа ровной вероятности рчслреде-

лении энергии по всем степеням свободы элементов системы вместо определения энтропии Больдаана, лежащего в основе всех других форм энтропии, в качестве функционала энтропии предлагается использовать выражение, аналогичное расходимости Кульбака-Либлера. Различие этих функционалов смысловое -в расходимости Кульбака-Либлера одна из функций вероятности рассматривается как априорная, а другая - апостериорная, з новом функционале энтропии обе функции подлежат оцениванию: одна - исходя из законов сохранения, другая - по независящим от законов сохранения результатам наблюдений. Таким образом, описание подобных стохастических систем предлагается производить двумя взаимно дополняющими друг друга функциями вероятности: одна отражает статистические закономерности ансамбля вцелом. другая - определяет индивидуальные свойства элементов ансамбля.

На примере с неправильной игральной костью показано, как вычислять эти две функции вероятности.

третья часть отведена под изложение конкретных методов спектрального оценивания, разработанных диссертантом и являющихся строгими или приближеннши реализациями методов МЭ.

.в девяток главе для решения задач спектрального оценивания по заданному набору значений статистик предлагаются' методы вычисления неопределенных множителей Лагранжа. входящих в качестве параметров в выражения спектральных функций.

Следует сказать, что к настоящему времени отсутствуют эффективные алгоритмы оценки спектров, основанные на вычис-. лении множителей Лагранжа. Многие из методов, претендующие на принадлежность к методам МЭ. чаще всего являются их приближенными реализациями. Строгие решения являются скорее исключением, чем правилом. Тем не менее, можно рекомендовать некоторые общие пршщипы вычисления иножетелей Лагранжа, которые могут быть использованы при проведении уникальных расчете®. когда соображения экономии машинного времени не.играют существ ешгой роли. В качестве такого общего правила предлагается решзть систему лагранжезых дифференциальных уравнений первого порядка. Ас«;лтотичеокое решение такой системы

1В

соответствует искомым значениям множителей Лагранжа. В вычислительном отношении этот путь чрезвычайно трудоемкий.

Поскольку выражения СПМ максимума энтропии имеет чисто полюсную форму, вычисление множителей Яагранжа может быть заменено поиском полюсов СПМ [15]. В разделе предлагается алгоритм такого поиска и приводятся результаты его испытаний.

Второй метод оснозьпзается на поиске собственных векторов корреляционной функции. Оценки МЭ СПМ получены для двух форм энтропии: шенноновской и н9. Выражения СПМ представляются суммами периодограмм собственных векторов умноженными на соответствующие множител! Лагранжа. СПМ. соответствующая шенноновской энтропии, обратно пропорциональна первой степени суммы, а СПМ. максимизирующая н3, - второй. В первом случае множители Лагранжа обратно пропорциональны собственны! числам, а во втором они обратно пропорциональны корню квадратному из собственных чисел. Показано, что оценка СПМ. максимизирующая шенноновскую энтропию, эквивалентна оценке Кейпонэ. Для различных моделей сигнала прозедены оделенные испытания той и другой оценок. В результате этих испытаний установлено, что для шумоподобных сигналов предложенная форма оценок множителей Лагранжа является удовлетворительной, тогда как при нал!чие в сигнале детерменированных компонент для установления соответствия оценок СПМ исходник отсчетам корреляционной последовательности требуется уточнение значений неопределенных множителей Лагранжа.

в десятой главе, учитызая. что строгие методы спектрального оценивания методами максимума энтропии, основанные на вычислении множителей Лагранжа. достаточно трудоемки и не всегда реализуемы, предлагаются метод ортогонал^-зашга и метод обращения матрицы исходных данных. Методы являются приближенными реализациями метода максимальной энтропии. Как следует из вида оценок СПМ методами собственных векторов основной вклад в суммы дают периодограммы собственных векторов, соответствующих минимальным собственным значениям. т.е. векторов, представляющих шумовое подпространство. ДОетод ортогонализации позволяет достаточно простыми средст-

ваш-находить периодограммы шумового подпространства [16.19] .

Испытания метода ортогонализации проводилось на моделях-сигнала. представляодего собой суперпозицию дискретных линий я белого шума. ЦеА испытаний - установление точностных характеристик оценок. выявление способности обнаруживать слабые сигналы на фоне более сильных компонент и шума, оценка уровня боковых лепестков. Для сравнения брались усредненные периодограммные оценки спектре». оценки по методу Берга и многосегментному методу Берга. Качество оценок метода ортогонализации по всем сравниваемым параметрам была лучше указанных методов.

Одним из основных недостатков метода ортогонализации является несохранение соотношений интенсивностей спектральных состовляюаих. Этот недостаток легко устраняется, если амплитуды компонент вычислять в результате решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений, предложенных в этом разделе.

В случаях, когда размерность шумового подпространства су-цественно меньше размерности информационного подпространства. накапливаемые в процессе ортогонализации ошибки приводят к абсурдам: сумма периодограмм информационного подпространства может оказаться больше значения размерности всего прос-' транства наблюдений, что чревато появлением сингулярных или отрицательных значений в оценках СШ. Второй предлагаемый в разделе метод оценки СПМ избавлен от этих недостатков. Кратко суть метода заключается в формировании из набора исходных данных квадратной матрицы, последующего обращения этой матрицы и вычисления суммы периодограмм столбцов обратной матрицы. Оценка СПМ обратно пропорциональна полученной сумме периодограмм £28].

Являясь достаточно простым в реализации на ЭВМ. метод обращения позволяет получать высококачественные и устойчивые к шумам оценки СПМ. Тестовые испытания метода и сравнительный аналиа с методом Берга показали ряд его преимуществ:

- отсутствие необходимости выбора порядка модели, от величины которого в сильной степени зависят оценки СШ! па-

га

раметряческих методе», в том числе метода .Берга;

- несмеяениость оценок значений частот спектральных составлявши сигнала;

- меньшая выборочная дисперсия оценок значений частот;

- устойчивость оценок;

- достаточно узкий главный максимум (менее зях дискрета Ш№). что позволяет с высокой точность» определять частоты спектральных составлявших;

- отсутствие искажений в соотноиении янтенсивнСстей спектральных составляющих сигнала;

- более точное, чем в методе Берга, соответствие рассчитанной СПИ исходным значениж автокорреляционной функции;

-надежное разрешение двух близких по частоте источников; , - отсутствие расщеплений линий в спектре.

Повышение качества оценок, которое позволяет получать метод обращения, в сравнении с методом Берга, связано в первую очередь с более полнда его соответствием принципу МЭ. Испол>эование исходной информации в виде матриц, образованных непосредственно из отсчетов данных, выгодно отличает метод обращения от других методе», основанных на применении автокорреляционных матриц,

в одиннаддатоя главе представлены алгоритмы и результаты испытаний методе» ортогонализашга и обращения применительно к оценке угловых энергетических спектров [17,21,231. В случаях, когда интерес представляют лишь азимутальные углы, все методы. разработанные для оценивания энергетических спектров временных ряде®, могут использоваться без существенных изменений. Более того, методы ортогонализации и обращения позволяют определять углы прихода излучения по полупространству.

Оценки двумерных спектров сопряжены с большими затратами времени на вычисления. Особенно эти затраты велики при оценках СПМ. имеющих очень узкие лепестки. В этом случае для поиска максимумов необходимо производить сканирование рельефа СПМ с очень мелким шагом. Модернизация методов ортогонализации и обращения в некоторых случаях позволяет существенно сократить время расчетов.

.Для исследования точностных характеристик указанных выше алгоритмов были проведены расчеты на ЭВМ. В расчетах использовались модели регистрации амплитудно-фазового распре-делишя сигнала по раскрыву квадратных антенных решеток и прямоугольных реаеток, состоящих из двух параллельных антенных линеек. Результаты расчетов представлены в диссертации в виде различных графиков.

Методы ортогонализации и обращения не требовательны к конфигурации антенных решеток. Для иллюстрации этих способностей методов были проведены расчеты пеленгов источников на кольцевой антенной решетке из 25 элементов при отношении |?А=15 <й - радиус решетки. >• - длина волны излучения).

Отличительная особенность рассмотренных в данной главе методов является простота реализации алгоритмов на ЭВМ, высокая точность оценивания пеленгациоиных углов, способность разрешать источники, угловое расстояние между которыми меньше дискрета ДПФ. достаточно высокое быстродействие.

.Двенадцатая глава полностью отведена под изложение спектрального оценивания ме.^дом инвариантных подпространств <МШ1)[13,22,23]. Этот метод отличается от других, предложенных соискателем, большими потенциальными возможностями - он применим для оценивания спектров сигналов любой размерности.' Например, с его помощью можно обрабатывать пространственно-временные реализации сигналов, определять угловые координаты источников излучения и оценивать их временные спектры.

Основой метода является расщепление пространства наблюдения на два ортогональных подпространства; сигнальное и шумовое. Однако способ поиска орт сигнального подпространства существенно отличается от способа метода ортогонализации. Обязательное требование: выборки должны быть эквидистантными по каждой из координатных осей.

Приводятся примеры оценок одномерных, двумерных и трехмерных спектров. Результаты расчетов сравниваются с даннши других работ.

В одномерном случае особое внимание уделялось исследованиям чувствительности, разрешающей способности, устойчивости

оценок, отсутствию в них снесений и л«ших деталей. Оценга СПМ согласно МИЛ оказалась несмещенной, устойчивой по отношению к изменения* начально! фазы косинусоиды и не имела лишних деталей в спектре, свойственных методам Берга и обращения. Испытание разрешающей способности и чувствительности оценок МИЛ проводились на модели сигнала из 64-х отсчетов, соответствующей суперпозиции окрашеного шума и трех дискретных линий, одна из которых на га дБ слабее других. ИИП позволил разрешить две близко расположенные линий и обноружил слабую линию. Причем оценка МШ1 сохранила отношения интенсивностей дискретных компонент исходного сигнала.

В двумерном случае прототипом для сравнения использовался метод максимального правдоподобия. Численный эксперимент проводился для модели сигнала, дискретизированного по раскрыву квадратной антенной решетки из 23x23 элементов. В задачу эксперимента входило определение точности пеленгации нескольких источников при различных отношениях сигнал/пум(^).

Отличительной особенностью МИЛ является практически полное отсутствие боковых лепестков. поэтому значения углов прихода излучения определяется по положению пиков двумерного рельефа СПМ. Точности пеленгации обоих сравниваемых методов близки при м=2,5, но с ростом к точность оценок МИЛ становилась лучше.

Трехмерный вариант МИЛ наряду с пеленгационньми углами предполагает определение значений частоты источников. Исследование рельефа трехмерных СШ осуществлялось экономичным способом.Использовалась квадратная антенная решетка с числом элементов з*з. Представлены результата анализа сигнала из 5 и из ю дискретных линий.динамический диапазон интенсивностей линий составлял 40 дБ. Для первого случая число временных отсчетов бралось равкьмм 13, для второго -39. Фиксировались все лшии исходного сигнала, .потные всплески не появлялись ни в одном случае. Значения пеленгациошшх углов источников с хорошей точностью ложились на расчетные кривые.

Кроме разовых испытаний проводились статистические испы-

тания путем повторного проведения оценок СПМ для - моделей сигнала, у которых изменялись лишь реализации 'пума и начальные фазы плоских волн при неизменных остальных параметрах излучения. Во всех случаях все источники излучения надежно фиксировались. а точность определения параметров излучения была близка к предельно допустимой, определяемой соотношениям Рао-Краыера.

в заключении сформулированы основные результаты настоящей диссертации. На основе полученных результатов делаются следующие практические выводы и даются рекомендации:

1.Методы МЭ позволяют получать устойчивые, статистически обоснованные оценки спектра. Эти методы необходимо применять в ситуациях, когда достоверность вывода является одним из главных требований при обработке сигналов.

2.Когда из соображений оперативности обработки сигналов используются методы, не являющиеся МЭ-методами, желательно проведение метрологических испытаний подобных методов. Для нужд таких испытаний необходим набор эталонных спектров. Одним из возможных слос^^ов получения эталонов является метод расчета полюсных моделей спектров. предложенный в диссертации.

3.Пра определении угловых координат источников излучения по результатам измерения на антенных решетках произвольной конфигурации хорошие результаты позволяют получать предложенные в диссертационной работе методы ортогонализации и обращения матрицы исходных данных.

4.При проведении комплексных исследований на эквидистантных антенных решетках, когда наряду с угловш местоположением источников следует оценивать их энергетические спектры рекомендуется использовать метод инвариантных! подпространств .

В целом полученные в диссертации результаты могут быть квалифицированы как новые способы представления статистических свойств сигналов, позволяющие провести глубокие теоретические обоснования энтропийных методов спектрального оценива кия и имеющие важное научное и прикладное значение при ис-

следовании природа сигналов как радиофизического. так и иного происхождения.

Работа завершена при финансовой поддержке Российского

фонда фундаментальных исследований (код проекта 93-012-1065)

ЛИТЕРАТУРА

1. П.М.Нагорский. В.Т.Сарычев Применение сложных сигналов для исследования ионосферы методом некогерентного рассе-ЯНИЯ//ХП Всесоюзная конференция по распространенно радиоволн: Тез. ДОКЛ. -ТОМСК. 1978.- ЧаСТЬ 1,- С.35-37.

2. П.М.Нагорский. В.Т.Сарычев, В.Г.Спицын. О связи характеристик спектра отраженного от ионосферы коротковолнового радиосигнала со спектром источников инфразвука//*Iг Всесоюзная конференция по распространению радиоволн: Тез. ДОКЛ. -ТОМСК, 1978.- ЧаСТЬ 1.- С.140-143..

3.Сарычев В.Т. О фааоманипулгоованных сигналах при некогерентном зондировании ионосферы.//Некогерентное рассеяние радиоволн. - Апатиты.; Кольский филиал АН СССР. 1083. -С. 95-101.

4.Сарычев В.Т. Применение фазоманипулированных сигналов для Нексгерентного зондировании ионосферы//Электродинамика и распространение волн.-Томск; Изд.ТГУ,1982.-С-58-65.

5.Сарычев В.Т. Дискретное адаптивное преобразование Фурье// ш Всесоюзный семинар "Проблемы метрологического обеспечения систем обработки измерительной информации": Тез. ДОКЛ.-М, 1980.-с.49-50.

6.Сарычев В.Т. Преобразование Фурье в произвольном базисе// XXIII областная научно-техническая конференции НТО РЭС им.А.С.Попова, посвященная Дню ради: Тез. докл. - Новосибирск. 1900.- С.110-

7.Сарычев В-Т- Дискретное ангармоническое преобразование Фурье//Изв.вузов.Радиоэлектроника.-1981.-н 8.-с.102-104.

8-Сарычев В.Т. Равновесные функции распределения и законы сохранен»я//Численные методы статистического моделирования. Новосибирск.: ВЦ СО АН СССР. 1987 - с.160-135.

9.Сарычев В-Т. Моделирование стационарных процессов ансам-

бдем гармонических источников на основе метода максимальной энтропии.-Томск, 1989.-23С. (Дел в ВИНИТИ N4176-B 88)

10-Сарычев В-Т. Моделирование стационарных процессов на основе метода максимальной энтропии//Груды vni Всесоюзного совещания "Методы Понте-Карло е вычислительной математике и математической физике".- Новосибирск.1991.-С.61-64.

11.Сарычев В-Т. Оценка спектров стационарных процессов методом максимальной энтропии//Труды II Всесоюзной научно-технической конференции "Методы представления и обработки случайных сигналов и полей". Харьков, I99i.-C.9i.

12. Сарычев В-Т. Метод максимальной энтропии в спектральном оценивании//Изв.вузов Радиофизика.-1991 ,-n 2.-C.U7-162.,'

13.Сарычев В.Т. Спектральное оценивание и энтропия//Иэв.вуз/ Физика. - 1993. - N 10. - С. 117-127. i

14.Сарычев В.Т. Законы сохранения, наблюдения, вероятность 'к энтропия// "Методы представления и обработки случайных

сигналов и полей": тезисы докл. ш мевдунар. научно технической конференции . Харьков. 1983.

15.Сарычев В.Т. Оценка спи.тров стационарных процессов в полюсных моделях//Изв. вузов. Радиоэлектроника--isai. - н i

-С-107-109.

1в.Пыхалов A.A.. Сарычев В.Т. Применение ортогонализаши выборок исходных данных в спектральном оценивании//Тезисы докладов и 'Всесоюзной научно-технической конференции "Теория и техника пространственно-временной обработки сигналов". Свердловск, 1888.-С. 77-78.

17.Пыхалов А-А..Сарычев В-Т- Определение угловых и частотных характеристик сигналов на основе обращения матрицы исходных данных//Проблеиы радиотехники, электроники и связи: Тез. докл.обл. научно-технической конференции {ПО РЭС им. А.С.Попова. -Томск. 1989.-Часть 1- С 43.

1в.Сарычев В.Т. Моделирование стационарных процессов дискретный набором источников//Проблемы радиотехники, электроники и связи: Тез. докл.обл. научно-технической конференции НТО РЭС им. А.С.Попова. -Томск. 1989.-Часть 1- С 45.

10.Пыхадав A.A., Сарычев В-Т. Спектральное оценивание мето-

дом ортогонализации//Изв. вузов. Радиоэлектроника•- 1аьи.

-Н 8.-с.84-97

20. Пытало в A.A.. Сарычев В.Т. Спектральное оценивание стационарных процесгов на основе обращения матрицы входных данных//Изв.вузов.Радиоэлектроника.-1 esl.-H l.-C-110-112.

21.Пыхалов A.A.. Сарычев В.Т. Оценка угловых координат и интенсивности поля точечных источников излучения в полупространств е//Изв.вузов.Радиоэлектроника.-1991.-н 4.-С.72-74.

22.Сарычев В.Т.Оценка спектров многомерных сигнапов методой инвариантных подпространств//"Методы предстввлеютя и обработки случайных сигналов и полей": тезисы докл.m меж-дунар. научно-технической конфереьиии.- Харьков. 1993.

23.Сарычев В.Т. Спектральное оценивание методами максимальной энтропии. Томск: Изд. ТГУ. 1994. - 255 с.

.Сарычев В.Т. Статистическое спектральное оценившир//Меж-дународная конференция по физике солнечно-зенннх связей.-Алио-аты. 1994. -с, 4£

^ОП ТГУ. Тонок,2S,Никитича.^."