Эффективные по точности и быстродействию алгоритмы решения задач спектрального анализа случайных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГ6 од

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН 2 1 кМгЖз$^ОРЕТГ1ЧЕСКОП II ПРИКЛАДОМ МАТЕМАТИК!)

на правах рукописп

АБЛТОВ НУРЛЫЕЛИ ТУЛЕПБЕРГЕНОВИЧ

ЭФФЕКТИВНЫЕ ПО ТОЧНОСТИ И БЫСТРОДЕЙСТВИЮ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА СЛУЧАВШИХ ПРОЦЕССОВ

01.01.07 - вычислительная иатемптикя

Автореферат

диссертации на соискание ученой степонн кандидата физико-математических наук

Алматы - 1993

Padasa шпссшеви в Иаозигут© хабвравтшш с^.В.Ц.Гдуашаа Акадсагд неук Украязц

Научный руководдаолы

докгор фнзико-матшатичеокЕЕ шук, професоор ЗДИГАКА В.К.

Официальные оппоненты»

Вадуцоа предприятие!

доктор у&хничоокш: нау^, т^д^щ; All Hi, профосоор АМЕГЕАЫЗ В.Ц.

к.лдпда? физша>-маге1]агач801Щ£ юук, старжИ научный сотрудник КАСЫЮВ О,

Казахской государственный университет

Защита состоится c^e&cj? 1993 г» a I6°°iao.

да заседании слецищщзЕрованного оовег-а К 0C6.II.UI в Инотктуто теоретической л прикладной катсцаткЕВ АН Hi по едраоу» 480061» Адглатц, ул.Пушшша, £25.

С диссертацией msaio ознакомиться s библиотек Шютптута. Ав-гора^орат разослан " 1939 х.

Учений секретарь одед.совета и 003.II.01

д.Ф.-и.н., н;с и.и.гахшбердщзв

- з -

ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из основных направлений развития вычислительной математики является совер^ шенствованйе теории погрешностей вычисления, исследование вопросов сравнительного анализа вычислительных алгоритмов (в.а) и построение оптимальных (в том или ином смысле) алгоритмов решения задач вычислительной и прикладной математики.

История науки и ее многочисленные приложения дают нам много примеров использования оценки спектральной плотности случайных процессов для решения задач цифровой обработки сигналов (ЦОС), автоматического регулирования, распознавании образов, формирования представлений о строений вещества, закономерностях явлений, происходящих на Солнце, приложениях к медицинской диагностике (кардиограммы, электроэнцефалограммы) и т.д. Следовательно, качество и достоверность оценки спектральной плотности случайных процессов оказывают реаащее влияние на формирование наших представлений об исходном образе.

В данной диссертационной работе методы и результаты исследований, используемые в вычислительной и прикладной математике, например, в теории оптимальных алгоритмов, быстрых ортогональных преобразований применяются для вычисления -оценок спектральной плотности Бх(и) и ьзаимоспактральной плотности Б^ш) стационарных эргодических случайных процессов

оо

(1)

О

оо

(2)

о

где ^^(т), Г1Ху(т:) - соответственно, корреляционная и взаимо-корреляциокнан функция данного процесса.

В последние годы в работах советских и зарубежных авторов основное внимание уделяется построению аффективных по быстродействию алгоритмов вычисления оценок спектральной и взашо спектральной плотностей случайных процессов путем использования различных быстрых дискретных ортогональных преобразований. Работ, посвященных оптимизации этих алгоритмов по точности практически нет. Как правило, для вычисления оценок Бх(и) и Б^ш) используется квадратурная формула прямоугольников, которая из-за специфики подынтегральных функции (обе Подынтегральные функции, т.е. и ^(т) ( ^(х) ) и со вол являются быстроосциллирувдиыи) не обеспечивает требуемой точности.

Таким образом, тема . диссертационной работы, посвященная разработке оптимальных по точности алгоритмов вычисления оценок спектральной и взаимоспектральной плотностей случайных процессов йвляется актуальной.

Цель работы:

- построить оптимальные по точности алгоритмы вычисления оценок спектральной и взаимоспектральной плотностей случайных процессов;

- использовать различные модификации быстрого преобразования фурье (БПФ) для оптимизации по быстродействию предлагаемых в работе алгоритмов вычисления оценок спектральной и взаимоспектральной плотностей случайных процессов;

- получить оценки основных характеристик (точность, требуемая память и время решения задачи) предложенных в работе алгоритмов;

- разработать соответствующее математическое- обеспечение и проверить его эффективность на практических задачах.

Научная новизна. В настоящее время известны подходы к построению аффективных по быстродействию алгоритмов вычисления оценок спектральной и взаимоспектральной плотностей случайных процессов. Что же касается оптимизации по точности вычисления оценок ^(и) и Б^Сы), то используются квадратурные формулы численного интегрирования, которые будут давать хорошую точность в том случае, если подынтегральная функция является достаточно гладкой и не Окстроизменяющейсн. Для построе-

ния алгоритмов, пригодных для практически любой осцилляции подт ■интегральной функций ( что имеет место при вычислении оценок Sx(io) И Syytu) ), необходимо заранее учитывать наличие осциллирующего множителя и особенности подынтегральной функции ( в (1) и (2) и корреляционная функция и функция cos иг являются быстроосциллнрующимн ). Рассматриваемый в дИссертацш подход позволяет оптимизировать алгоритмы вычисления оценок Sx(w) и S^.C«) по точности и быстродействию. Построены новые оптимальные по точности .алгоритмы вычисления оценок спектральной и вза-имоспектралыгой плотностей стационарных эргодических случайных процессов. Для получения этих результатов были построены оптимальные по точности алгоритмы вычисления синус и косинус преобразовании Фурье для ряда классов подынтегральных функций, в которые целесообразно "погружать" R^t) и R^t) •

Для оптимизации по быстродействию предлагаемых в работе алгоритмов используется модификация алгоритма БПФ по основанию восемь, которая (среди других оснований алгоритма БПФ) является наиболее экономичной по числу вычислительных затрат'.

Построены оценки основных характеристик (точности, времени и требуемой памяти ЭВМ) разработанных в диссертации алгоритмов и программ.

Теоретические результаты доведены до библиотеки вычислительных и оценочных программных модулей вычисления синус и косинус преобразован™ Фурье для ряда классов подынтегральных функции, прямого и обратного дискретного преобразования Фурье действительного и комплексного сигналов, оценок спектральной и взаи-моспек^ралытой плотностей стационарных эргодических случайных процессов, а такие вычисления основных характеристик предлагаемых вычислительных модулей. Программы написаны на языке Фортран.

Методы исследования. В диссертационной работе исследования проводились на основании методов и результатов, разработанных в вычислительной математике, математическом анализе, теории сложности вычислений и теории быстрых ортогональных преобразований.

Методика построения оптимальных по точности алгоритмов и выбор критерия оптимальности основаны на идеях, изложенных в роботах Я. G, Eaxpfuoba, Х.Вожьняшвского, fi. М .лилейкина,

В .-К. Задираю*, В.В.Иванова, Н.П.Корнейчука, С.М.Никольского, А.Г.Сухарева, Дк.Ф.Трауба и др. авторов..

Оптимизация по быстродействию алгоритмов вычисления оценок 3„(ы) и основаны на работах В.М.Амербаева, А.В.Ефимова,

Кули и Тьюки, В.Г.Лабунца, Г.Нуссбаумера, Ч.М.Рейдера и других авторов.

Практическая ценность-, я в н е д -рение результатов работы . Практическая ценность работы заключается в создании программных средстг, которые могут быть широко использованы в различных областях науки и техники, таких, как цифровая обработка сигналов, автоматическое регулирование, распознавание образов, медицинская диагностика, обработка речевых сигналов, геофизика и сейсмология и др.

На основе предложенных в диссертации алгоритмов разработаны библиотеки программ решения выделенных классов задач, вычисления их основных характеристик (точности, времени и требуемой памяти ЭВМ), тестовых задач.

Достоинством созданного программного обеспечения является наличие оптимальных по точности алгоритмов, оценочных программных модулей для вычисления априорных абсолютных оценок основных характеристик соответствующих вычислительных модулей. Эти программы входят в качестве функционального наполнения в пакет прикладных программ "ЦОС-Г1, предназначенный для решения задач цифровой обработки сигналов и разработанный в лаборатории оптимизации численных методов Института кибернетики им.В.М.Глущ-кова АН Украины по заданию ГКНТ СМ СССР (номэр государственной регистрации 01860045740 ). Пакет "ЩХМ'" внедрен в ряде организации страны.

¿про б а ция результатов работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуздались на республиканских школах-семинарах "Вопросы оптимизации вычислений" (г.Одесса, 1939 г., г.Киев, 1990 г.), конференции молодых ученых Института кибернетики им. В.М.Глушкова АН Украины ( г.Киев, 1939-1991 гг.), заседании семинара " Оптимизация вычислений" научного совета АН Украины по проблема "Кибернетика" (1988 1991 гг.), в Институте математики АН.. Украины. на семинара

чл.- корр. АН Украины Н.П.Корнейчука (г.Киев, 1989 г.), в Институте математики и механики АН КАзахстаиа на семинаре академика' АН Казахстана В.М.Амербаева (г.Ллма-Ата,1990 г.), на республиканской конференции "Экстремальные задачи теории приближения и их приложения" (г.Киев, 1990 г.).

Публикаций .По результатам диссертации опубликовано 7 работ.

Структура диссертации . Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии из 80 названий и приложения.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность выбранной теш исследования, определены цели и задачи исследования, приводится краткое изложение содержания диссертации и полученных результатов го главам.

В первой главе изложены основные понятия и некоторые результаты, которые неоднократно используются в диссертации (рассматривается постановка задачи оптимизации вычислительных алгоритмов по точности и быстродействию), а также приводится обзор результатов по тематике диссертационной работы.

В §1.1 определены основные характеристики задач и вычислительных алгоритмов, сложившиеся в практике численного решения задач вычислительной и прикладной математики с помощью ЭВМ. В качестве основных характеристик . рассматриваются следующие: Т(IД,У)-необхо димое время решения задачи, И(Г,X,У)-необходимая память ЭВМ; Е(1,Х,У)- мера полной погрешности решения задачи, где 1,ХД- конечные совокупности параметров, от которых существенно зависят соответственно задача, алгорит... и ЭВМ. Приведены некоторые способы их оценки.

В §1.2 изложены элементы теории погрешностей, которые используются в работе для оценки полной погрешности предлагаемых вычислительных алгоритмов. Рассмотрены причины возникновения и способы оценки полных погрешностей решения задач прикладной математики с помощью совеменных ЭВМ.

Р §1.3 дается постановка, задачи оптимизации шчиолении. Задача оптимизации вычислений состоит в минимизации одной из введенных характеристик (в общем случае по I,X,Y) при соблюдении определенных ограничений на остальные. ' Дается определение оптимальных, асимптотически оптимальных и оптимальных по порядку по точности и быстродействию вычислительных алгоритмов.

Вторая глава посвящена построению оптимальных по точности алгоритмов вычисления оценок синус и косинус преобразований Фурье и спектральных плотностей случайных процессов.

Нередко при решении задач традиционными методами мы не получаем требуемого значения некоторого показателя качества решения, например, решения с заданной точностью или с максимально возможной точностью. В таких случаях бывает полезно, а иногда и необходимо, приманить оптимальный по соответствующему критерию алгоритм решения задач. Это дает возможность либо получить искомое решение, либо при заданной исходной шгформации показать, что его получить невозмокно.

Существенная особенность рассматриваемой ниже постановки задач на оптимальность состоит в том, что связь меры погрешности с различными видами' погрешности решения данной задачи численного интегрирования естественно приводит к новым конкретным областям неопределенности задания исходной информации, которые ранее не рассматривались и весьма важны в приложениях. Данный подход позволяет строить оптимальные численные ml¿ода. При этом предполагается, что необходимые вычисления выполняются точно.

Рассмотрим интеграл более общего вида,- чем (1)-(2), а именно, задачу построения оптимальных по точности алгоритмов вычисления интегралов от быстроосциллирущих функций вида

Ь

С f COS их 1

11|2 (Ш) = j f(X) |aln(lK jdx . (3)

a

в случае, когда подынтегральная функция f(x) принадлежит некоторому классу функции Р, информация о f(x) задана в N узло -вых точках Жу 3=1.2,...,Н из отрезка 1а,ЬЗ ее значениями f(x,), 3=1,2,...N и 2ти(Ь-а). Очевидно, что если в качест-

Bö подынтегральной функции f (х) рассматривается корреляционная функция Н^т) (HjyCc)), то получаем исходную задачу (1) (

(2) ). На основании метода граничных функций (МГФ) в качестве оптимального по точности алгоритма вычисления интегралов вида

(3) берется I {£)- чебышевский центр области неопределенности значении интеграла 1{ш), причем р*(Р)- чебышевский радиус

областп. неопределенности значении 1(ы) или погрешность пред*

ставлзния 1(ы) при помощыэ чебшнэвского центра I (F) является погрешностью таким образом построенного алгоритма на классе функции Р, где •

1*(Р ) - (I+( Р ) + 1~( 7 )) У 2, ' (4)

р*< Р ) - { I+( Р ) - Г( Р )) / 2, (5)

1+ (Р ) = вир I(w>, 3 (Р ) = Inf I(w), (б) f€P • Г€?

под 1(ы) будем понимать один из интегралов вида (3).

Для построения оптимального по точности алгоритма вычисления интеграла 1(ы) с помощью МГФ необходим определить верхнюю + -

I (Р ) и нижнюю I (Р ) границы области неопределенности значений этого интеграла. Для этого . необходимо построить верхнюю + -

f(x) и нишюю f(x) границы области неопределености значений

4

функций 1(х). Отметим, что f (х) и f(x) для всех рассматриваемых в работе классов функций Р строятся, исходя либо из геометрических соображений, либо из решения некоторой экстремальной задачи. Вид этих функций приведен в §2.2.

В качестве классов функции Р рассматриваются следующие классы функций:

1) Qj- класс ограниченных функций вида

Q1= (f(x) € Q°:Ln $ f(х) < L, x € ta,b]>,

где - класс функций, заданных на fa,b] и таких, что найдется такая точка xt € (a,b), что функция f(x) (f(x) € Q,) не убнва-

ет на ta,xA) и не возрастает на (хл,Ы; 2) Q - класс

m

чество экстремумов

2) Qm~ класс ограниченных функций, имеющих известное коли-

С^ = { f(x) е : Ьн < f(х) s L, х € Са,Ы },

где класс функций, заданных на ta.bl и имеющих минимальное число отрезков монотонности равное т+1 ( монотонность можэт быть нестрогая);

3) Q1>n- интерполяционный класс ограниченных функций

вида ни

Q1jN = { ф(х) € Q,: ф(х ^ = fN},

где хы=(х,,х2.....Xj,), fM = <f1fr2f ...,fN)i причем xj4

fJ= f(Xj), фиксированы;

4) Q^j,- интерполяционный класс ограш1Ч(лшых функций, имеющих известное количество экстремумов

Чп.Ы = { <Р(Х> € V «Р^ = fN Выбор этих классов связан со спецификой подынтегральной

функции R^CO и НхуМ в (1), (2).

§ 2.1 посвящен построению границ области неопределенности

значений подынтегральной функции f(x) из классов G1, Qm, Q, fJ,

Qm,N-

В 2.1.2. доказано, что в случае рассмотрения косинус преобразования Фурье верхняя f+(x) и нижняя f~(x) границы области неопределенности значений подынтегральной функции f(x)e имеют следующий вид:

+ N +

Г(х)= U ГЛх),

¿V1

где

fi(X).= {

max(fl_1 созшх £ 0, х ( ix±_t ,х±3« minify t^t соашх ^ 0, х <е [xi_1 I,

(?)

{miníí. ,,f,), созшх > 0, x € tx. .,x. 1,

i-i i 1-1 i (8)

maxif^., совшх í 0, i с [x1_1,x1l,

в случае, если внутри отрезка [х1_1.xj нет локальных экстремумов функций f(x);

{L, cosux £ О, х i [х. . ,х, ],

1-1 i

шахСГ1_1,ít}, cosux í 0, х ( [xli1,xll,

a f~(x) определяется соотношением (8) в случае, если внутри отрезка tx^', х±3 есть локальный максимум;

Г mln (f. . ,f,), cosux Hi х с tx, , ,хч ], Í7(x) « \ 1-11 1-1 1

1 I Ьн, С08ШХ $ О, X € tX1_1,X1J,

a í+(x) .определяется соотношением (7) в случае, если внутри отрезка (х^,, X.J есть локальный минимум.

В п.2.2.3-2.2.4 построены верхние f+(x) и никние f~(x) границы области неопределенности значений функций f(х) из интерполяционных классов Q. .. и Q м в случае сильной осцилляции •

1 га, И

подынтегральной фушеций в (3) (леммы 3-10).

В § 2.2 построены оптимальные по точности алгоритш вычисления синус и косинус преобразования Фурье в случае, когда подынтегральная функция f(x) принадлежит одному из следующих классов функций: Qj, Q • , Q1 N, Qm N. При рассмотрении классов функции Q, и Qm определены также оптимальные сетки узлов интегрирования. Например, для класса F = Q »¿случены следующие резуль тэты.

Пусть f(x) € Q „ м и I+(2n) , соответственно,

ш | N

верхняя и нижняя границы области неопределенности значении косинус преобразования Фурье (йх выражения приведены В диссертации в формулах (2.23), (2.24)). Тогда при выполнении некоторого условия на взаимное расположение узлов интегрирования и нулей функ

1ШЙ cos uix для погрешности■вычисления интеграла 11 (и) на классе пассивных алгоритмов Кы справедлива оценка (теорема 2 )

Ъ

p(Kjj, QJ = (ra+1) J coa ых dx / <2N + 2). a

Построен оптимальный ао точности алгоритм t теорема 2 ), Оптимальная сетка узлов интегирования х^' = (х*. ..., х^) построенного алгоритма задается следующим образом: .

х± b

J |cos ых| dx = J jcoa ux| dx / (N+1), 1= гТн, x* = a.

Xí-1 ' a

Аналогичные результаты получены для синус преобразования Фурье.

Поскольку вычисления оценок спектральной и взаимоспектральной плотности стационарных аргодических случайных процессов является задачей численного интегрирования, а подынтегральной функцией является, соответственно, корреляционная и взаимокорреляционная функция, которую можно погрузить в класс-С^ Q^ N, то для построения эффективных по точности алгоритмов вычисления оценок Sx(u) и Syy(w) применены полученные теоретические результаты. В §2.3 построены оптимальные по точности алгоритмы вычисления оценок Sx(w) и S^u). При этом в полной мере учтене априорная информация о подынтегральной функции. Данный подхол позволяет получать состоятельные оценки спектральной и взаимоспектральной плотности стационарных эргодаческих случайных процессов без использования "окон" данных и частотных "окон", bh6oj и применение которых бывает затруднен без достаточной априорно! информации о случайных процессах.

В предыдущем параграфе рассматривалась задача вычислена оценок Sx(w) и Sxy(oj) для стационарных аргодических случайныз процессов. На практике не всегда изучаемые процессы двляютс$ стационарными. Поскольку не существует класса нестационарны! случайных процессов и нельзя разработать общие м тодц анализа, необходимо выделить отдельные классы нестационарности, для кото-

рых следует разработать эффективные Методы исследования. Поэтому в § 2.4 рассмотрена задача эффективного вычисления состоятельных оценок спектральных плотностей для некоторых классов нестационарности случайных процессов. Задача вычисления состоятельных сценок спектральных плотностей нестационарных случайных процессов своаЛТСя к задаче вычисления интеграла с максимально возможной точностью. Для решения этой задачи использована теория, разработанная во второй главе работы.

Третья глава диссертационной работы посвящена описания программного обеспечения, разработанного на основании полученных в работе теоретических результатов и входящего в комплекс программ "ЦОС-1предназначенный для решения задач цифровой обработки сигналов. Приведены результаты решения контрольных примеров.

В приложении приведены листинги некоторых разработанных программ, описанных в третьей глзве диссертационной работы и входящих в комплекс программ "ДОС - 1".

Все программа, общим обьемом около 1000 операторов Фортрана, оформлены в виде библиотек вычислителышх, оценочных программных модулей и тестовых задач. Библиотека вычислительных модулей состоит из:

-набора подпрограмм, вычисляющих прямое и обратное дискретное преобразование Фурье (ДПФ) действительного и комплексного сигналов с помощью алгоритма БПФ по основанию 8, двоично-инверсное упорядочивание компонент одномерного и р-мерного . эм-плексного сигналов;

-набора подпрограмм вычисления оценки спектральной плотности стационарных эргодических случайных процессов (вычислен1 "окон" сг.иниваш1я исходных данных и частотных "окон", первичных и сглаженных оценок спектральной плотности и оценки корреляционной функций с помощью алгоритма БПФ по основанию 8);

-набора подпрог^ змм вычисления оценки взаимоспектралыюй

плотности стационарных эргодических случайных процессов;

- набора подпрограмм, реализующих оптимальные по точности алгоритмы вычисления оценок Бх(ы) и (<<}).

Библиотека оценочных модулей состоит из мс улей, вычисляю

прт оценки основных характеристик ( Е, Г и М ) указанных выше программ..

Одним из достоинств созданного программного обеспечения является наличие оценочных моду^эй, позволяющих определять оценки основных характеристик соответствующих вычислительных модулей. Оценочные модули могут быть использованы при сравнительном анализе различных вычислительных алгоритмов решения задач с целью выбора наилучшего алгоритма, для выбора наилучших значений управляющих параметров программ, а также для обеспечения методики тестирования программ с целью определения их качества.

Работа выполнена в лаборатории Оптимизации численных методов Института кибернетики им.В.М.Глушкова АН Украины.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Построены верхние и нижние границы области неопределенности значений подынтегральных функций в синус и косинус преобразованиях Фурье для ряда классов подынтегральных функций (fvDeQ,, с^, qlfN, qm>N ).

2. Построены оптимальные по точности алгоритмы вычисления оценок синус и косинус преобразований Фурье для ряда классов подынтегральных функций ( f(x) € С^, Q1jH, ).

3. Определены оптимальные сетки узлов алгоритмов приближенного вычисления синус и косинус преобразований Фурье для подын-твгралмшх функций из классов Q , и Q т.

4. Разработаны эффективные по быстродействию алгоритмы вычисления оценок преобразования Фурье, синус и косинус преобразований Фурье, спектральной и взаимоспектральной плотностей стационарных эргодических случайных процессов за счет использования различных модификации алгоритма БПФ.

'5. На основании предложенных алгоритмов разработаны библиотеки программ решения выделенных в работе классов задач, а также библиотеки оценочных программных модулей и тестовых задач.

Основные положения. диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Абатов Н.Т. Оптимальные по точности алгоритмы вычисления интегралов от некоторых быстроосциллирующих функций // Ин-т кибернетики им.В.М.Глушкова АН Украины.- Киев, Í989.- 22 с. Деп. В ВИНИТИ 07.09.1989 г., JS 5728 - В89.

2. Задирака В.К., Абатов Н.Т. Оптимальный по точности алгоритм вычисления косинус преобразования Фурье для одного класса функций // Численные методы и технология разработки пакетов прикладных программ.- Киев: Ин-т кибернетики им.В.М.Глушкова АН Украины, 1990,- 0.61-68.

3. Задирака В.К., F, Абатов Н.Т. Оптимальные по точности алгоритмы решения одной задачи численного интегрирования для двух классов функций // Экстремальные задачи теории приближения и их приложения: Тезисы докладов республиканской научной конференций (Киев, 29-31 мая 1990 г.).- Киев: Ин-т математики АН Украины, 1990.- 0.61.

4. Задирака В.К., Остапенко 0.0., Абатов Н.Т. Интегрирование быстроосциллируодих функций с максимальной точностью // Ин-т кибернетшет им.В.М.Глушкова АН Украины.- Киев, 1990.- 36 с.-Деп. В ВИНИТИ 16.11.1990 Г., Л 5807-В90.

Б. Задирака В.К., Абатов Н.Т. Оптимальный по точности алгоритм решения одной задачи численного интегрирования // Укр. мат. курн.- 1991.- 43, Я 1,- С.53-60,

6. Абатов Н.Т. К оптимальному по порядку точности вычислению интегралов от быстроосциллирующих функций одного класса //Технология и методы решения задач прикладной математики.-Киев: Ин-т кибернетики им.В.М.Глушкова АН Украины, 1951.0-124-126.

7. Задирака В.К., Абатов Н.Т. Об оптимальной по точности оценке спектральной плотности .// Моделт:рование и оптимизация.-Киев: Ин-т кибернетики им.В.М.Глушкова АН Украины, 1991.- С.49-52.

Отпечатано гг.Кустанай ОУС и А заказ 77¿ тираж 100